北师大版初三数学上册《矩形》知识讲解及例题演练

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矩形
【学习目标】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即
矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心
的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的
直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，
从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对
边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，
矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相
等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直
角三角形.
要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的
前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；
②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三
角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形的性质
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1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，
且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；
(2)PA＝PQ．
【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等
边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进
一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．
【答案与解析】
证明：(1)∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°．
∵ △PBC和△QCD是等边三角形，
∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，
∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．
∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°
(2)∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC．
∵ △PBC和△QCD是等边三角形，
∴ PB＝PC，QC＝DC＝AB．
∵ AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．
∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ．
【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出
有用的结论作论据即可．
举一反三：
【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，
点A落在点处．
(1)求证：；
(2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予
证明．
【答案】
证明：(1)由折叠可得．
∵ AD∥BC， ∴ ，

(2)猜想．理由：
由题意，得，．
由(1)知．
在中，∵ ，，，，

2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，
∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．
【思路点拨】∠BOE在△BOE中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE有困难，转为
考虑证BO＝BE．由AE平分∠BAD可求∠BAE＝45°得到AB＝BE，进一步可得等
边△AOB．有AB＝OB．证得BO＝BE．
【答案与解析】
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
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∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD．
∴ AO＝BO．
∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE＝45°．
∴ ∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE．
∴ BE＝AB．
∵ ∠CAE＝15°，∴ ∠BAO＝60°．
∴ △ABO是等边三角形．
∴ BO＝AB，∠ABO＝60°．
∴ BE＝BO，∠OBE＝30°．

∴ ∠BOE＝．
【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等
腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解
决．
类型二、矩形的判定

3、如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF
交BC于点F，连接BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．
【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推
出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；
（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，
DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，
根据矩形的判定推出即可．
【答案与解析】
证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，

∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
∵在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
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∴平行四边形DFBE是矩形．
【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，
全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运
用性质进行推理的能力．
举一反三：
【变式】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，
且∠ABC+∠ADC=180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？
【答案】
（1）证明：∵A0=C0，B0=D0
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，
∴∠FDC=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴∠ODC=54°
∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．
类型三、直角三角形斜边上的中线的性质

4、如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．
求证：FG⊥DE．
【答案与解析】
证明：连接EG、DG，∵ CE是高，
∴ CE⊥AB．
∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点，

∴ EG＝BC，同理DG＝BC．
∴ EG＝DG．
又∵ F是ED的中点，
∴ FG⊥DE．
【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推
出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分
成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设
法用此性质解决问题．
举一反三：
【变式】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B
在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，
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其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A；
解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE＋DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最
大，
此时，∵AB＝2，BC＝1，

∴OE＝AE＝AB＝1，

DE＝，
∴OD的最大值为：.