质心的定义公式及解释
质心运动质心如何影响物体的整体运动
质心运动质心如何影响物体的整体运动质心运动：质心如何影响物体的整体运动质心是物体的一个特殊点，可以用来描述物体的整体运动状态。
在物理学中，质心运动和质心的性质十分重要，对于研究物体的运动具有重要意义。
本文将重点介绍质心运动的概念和质心如何影响物体的整体运动。
1. 质心的定义和计算方法质心是物体的一个点，它具有以下性质：- 质心位于物体的对称轴上；- 物体上所有点到质心的距离乘以质点的质量之和等于零；- 质心是物体的一个固定点，无论物体如何变形或移动，质心的位置不变。
计算质心的方法取决于物体的形状和密度分布。
对于均匀密度的物体，质心位于物体的几何中心。
而对于不均匀密度的物体，可以利用积分来计算质心的位置。
2. 质心运动的概念质心运动是指质心随着时间的推移而移动的过程。
当物体受到外力或外力矩的作用时，质心会随着外力的作用而产生加速度，从而改变其位置和速度。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在该物体上的合外力成正比，质心也不例外。
质心的加速度可以通过下面的公式计算：F = ma其中F是物体受到的合外力，m是物体的质量，a是质心的加速度。
3. 质心的影响质心的运动对物体的整体运动有着重要的影响。
以下是质心运动对物体整体运动的几个具体影响：3.1 保持平衡：当物体受到外力作用时，质心会产生加速度，但物体的整体运动状态仍然保持平衡。
这是因为物体上所有点的加速度都与质心的加速度相同，质心运动不会导致物体发生旋转或倾斜。
3.2 简化分析：通过研究质心的运动，可以简化对物体运动的分析。
可以将物体的复杂运动分解为质心的平动运动和围绕质心的自转运动两个部分，分别研究它们的运动规律。
3.3 确定力的合力点：质心的位置可以用来确定物体受力的合力点。
当物体受到多个力的作用时，可以通过计算质心位置来确定合力点的位置，从而进一步分析物体的受力情况。
3.4 影响整体运动轨迹：质心的运动轨迹决定了物体的整体运动轨迹。
当质心的运动轨迹为一条直线时，物体的整体运动是直线运动。
数学二质心公式参数方程
数学二质心公式参数方程质心是物体的一种特殊点，它可以用来描述物体的平衡状态，也可以用来计算物体的重心。
在平面几何中，我们可以通过数学公式来计算二维平面图形的质心，这个公式就是数学二质心公式。
数学二质心公式是一个基础的几何公式，它可以用来计算平面图形的质心坐标。
在二维平面中，一个点的坐标可以用两个参数来表示，因此数学二质心公式可以用参数方程的形式来表示。
对于一个平面图形，我们可以将它分成若干个小区域，然后对每个小区域的面积和质心进行计算，最后将它们的加权平均值作为整个图形的质心坐标。
具体来说，假设我们要计算一个平面图形的质心坐标，它的参数方程为：x = f(t)y = g(t)我们可以将这个图形分成若干个小区域，第i个小区域的面积为Ai，质心坐标为(xi, yi)。
我们可以通过以下公式来计算每个小区域的面积和质心坐标：Ai = 1/2 ∫[ti, ti+1] (y(t) x'(t) - x(t) y'(t)) dtxi = 1/Ai ∫[ti, ti+1] (x(t) + x(ti)) (y(t) x'(t) - x(t) y'(t)) dtyi = 1/Ai ∫[t i, ti+1] (y(t) + y(ti)) (y(t) x'(t) - x(t) y'(t)) dt其中x'(t)和y'(t)分别表示f(t)和g(t)的导数。
通过以上公式，我们可以得到整个平面图形的质心坐标，从而可以用这个坐标来描述这个图形的平衡状态。
总结数学二质心公式参数方程是一个用来计算平面图形质心坐标的基础公式，它可以通过将图形分成若干个小区域来进行计算。
通过这个公式，我们可以更加深入地了解平面图形的性质，从而更好地应用于实际问题中。
质心系(精心整理)
r (m1 m2 )vC
r rC
dpC dt
drC dt
(m1
MC rC
m2
)vC
F外
dLC dt
0
rC
rC
dpC
dt
dpC dt
rC F外
MC
dLC dt
角动量 定理在质心系中也成立。 而不论质心系是否为惯性系。
1. 质心
Y
质点系的质量
中心，简称质心。
具有长度的量纲，
描述与质点系有
C
关的某一空间点
的位置。
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。
刚体的质心相对自身位置确定不变。
质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。
mi
riO
riC
c
i
每一个位矢
riO
，动量可写为
mi viO：
o
rCO
riO riC rCO (1)
mi viO
mi viC
mi vCO
(2)
10
因在riC为 质、v质 心iC 心 系表相 中示对 质的于 心第质的i个心速质的度点位也相矢恒对恒为于为零质零心vC，CC的即0位rCC矢和0,速所度以。
rCC
mi riC
i
0
m
vCC
mi viC
高中物理中质心概念的应用
高中物理中质心概念的应用一、质心的定义与系统总动量一个系统由多个质点组成，各质点的质量和位置矢量分别为m 1、r 1，m 2、r 2，m 3、r 3，……则该系统的质心的位置矢量为i i C m r r M =∑，其中M =m 1+m 2+m 3+….写成直角坐标系下的分量式为i i C m xx M =∑，i iC m y y M =∑，i i C m zz M =∑.上式变形，对时间求导，容易得出d d d d d d C C i i i i i ir r Mv M m r m m v t t t ====∑∑∑ .即：一个系统的总动量可以用系统总质量M 与质心C 的速度v C 的乘积。
二、质心与重心、重力势能重心即重力的等效集中作用点，其定义与质心类似：i i i CG i im g r r m g =∑∑ .从这个定义来看，如果重力场是匀强场，则重心与质心重合，高中物理中，大多数情况下，物体或质点系所占空间都不够大，因此可将物体所在区域视为匀强重力场，因此质心与重心重合；但是重力场若非匀强场，则重心与质心是有偏离的这点需要特别注意。
另一方面，也可利用力平衡和力矩平衡的方法来确定重心的位置，这就是所谓悬挂法和支撑法的基础。
有上述定义可以看出，质点系的重力势能可以用重心来计算：CG i i i i ih m g m g h ⋅=∑∑ 匀强重力场中，上式可以简化为：C i i Mgh m gh =∑。
这就是不可视为质点的物体——比如链条、软绳等物体重力势能可用重心（质心）计算的基础。
【例1】(2017·全国卷Ⅲ，16)如图1，一质量为m 、长度为l 的均匀柔软细绳PQ 竖直悬挂。
用外力将绳的下端Q 缓慢地竖直向上拉起至M 点，M 点与绳的上端P 相距13l 。
重力加速度大小为g 。
在此过程中，外力做的功为()A.19mgl B.16mgl C.13mgl D.12mgl [答案]A三、质心与动能如果物体只做平动，物体上各个部分的速度完全相同，则物体可视为质点，动能当然能够用质心来计算；但是物体倘若还转动，或物体内各个部分相对质心还有运动，则由克尼希定理，有CM 2k k12C E E Mv =+，其中CM CM 2k 1()2i i E m v =∑为各质点相对质心的动能之和，CM i v 是各质点相对质心的速度。
[整理版]质心、刚心、重心
![[整理版]质心、刚心、重心](https://img.taocdn.com/s3/m/53b24a4028ea81c758f578c9.png)
[整理版]质心、刚心、重心质心质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
在一个N维空间中的质量中心，坐标系计算公式为:X表示某一坐标轴mi 表示物质系统中，某i质点的质量xi 表示物质系统中，某i质点的坐标。
质点系质量分布的平均位置。
质量中心的简称。
它同作用于质点系上的力系无关。
设 n个质点组成的质点系，其各质点的质量分别为m1，m2，…，mn。
若用r1 ，r2，…，rn分别表示质点系中各质点相对某固定点的矢径，rc 表示质心的矢径，则有rc,Image:质心1.jpgmiri,Image:质心1.jpgmi。
当物体具有连续分布的质量时，质心C的矢径rc,Image:质心2.jpgρrdτ,Image:质心2.jpgρdτ，式中ρ为体(或面、线)密度;dτ为相当于ρ的体(或面、线)元 ;积分在具有分布密度ρ的整个物质体(或面、线)上进行。
由牛顿运动定律或质点系的动量定理，可推导出质心运动定理:质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和。
由这个定理可推知:?质点系的内力不能影响质心的运动。
?若质点系所受外力的主矢始终为零，则其质心作匀速直线运动或保持静止状态。
?若作用于质点系上外力的主矢在某一轴上的投影始终为零，则质心在该轴上的坐标匀速变化或保持不变。
质点系的任何运动一般都可分解为质心的平动和相对于质心的运动。
质点系相对某一静止坐标系的动能等于质心的动能和质点系相对随质心作平动的参考系运动的动能之和。
质心位置在工程上有重要意义，例如要使起重机保持稳定，其质心位置应满足一定条件;飞机、轮船、车辆等的运动稳定性也与质心位置密切相关;此外，若高速转动飞轮的质心不在转动轴线上，则会引起剧烈振动而影响机器正常工作和寿命。
曲线的质心公式
曲线的质心公式
曲线的质心公式是通过对曲线上的每个点进行加权平均来计算曲线的平衡点。
对于曲线上的每一个点，我们可以定义其质量为曲线在该点的切线长度。
质心的横坐标是曲线上所有点的质量乘以对应点横坐标的加权平均值，纵坐标是曲线上所有点的质量乘以对应点纵坐标的加权平均值。
具体的公式如下：
设曲线为y = f(x)，在区间[a, b]上。
假设曲线上的每个点都具有一个质量函数m(x)，则曲线的质心的横坐标为：
x_c = (1/M) * ∫[a, b] x * m(x) * √(1 + (f'(x))^2) dx
其中，M = ∫[a, b] m(x) * √(1 + (f'(x))^2) dx
曲线的质心的纵坐标为：
y_c = (1/M) * ∫[a, b] f(x) * m(x) * √(1 + (f'(x))^2) dx 这个公式可以推广到三维空间的曲线，只需要将x和y替换为x、y、z，并在积分中使用三维切线长度。
需要注意的是，曲线的质心可能位于曲线的延长线上，它不一定在曲线上的某个点上。
需要特别提醒的是，在实际应用中，计算曲线的质心可能比较复杂，需要进行数值积分等计算方法来逼近结果。
12.3质心运动定理(理论力学课件)
m1g
m2g
c1 c c2 e
t
x
Rx Ry
Rx—— 是螺栓给电动机的水平动反力，它与电动机的角速 度有关，而电动机给螺栓的剪力则与Rx等值反向。
Ry—电动机在铅垂方向上所受的全反力， 当Ry >0时，其方向向上，它来自地面； 当Ry <0时，其方向向下，故知它必来自螺栓拉力，这
时电动机有跳离地面的趋势所以地面未受压而不会给电
m2g
Rx Ry
y
c1 c c2 e
t
x
式中：x1=y1=0，是外壳与定子的质心c1的坐标； x2、y2是转子c2的坐标。
设初瞬时，c2位于x轴上，经过时间t后，转角φ＝ωt，
于是有：
x2 e cost y2 esint （2）
xc
m2 x2 m1 m2
；yc
m2 y2 m1 m2
（1）
x2 e cost y2 esint （2）
p = mvc mivi
设其角速度为w，质心C至转轴 的 距 离 为 e ， 则 由 式 （ 12.15 ） 可 知 ， 此刚体动量的大小为
p = mvc me
显然，当刚体质心位于转轴上时， 则不论转动角速度多大，其动量恒 等于零。
vC
drC dt
mivi p (12.14) mm
p = mvc
①如果 FRe 0 mac 0
则质心作匀速直线运动；
则 vc cont
②若开始静止，则质心位置始终保持不变。
如果作用于质点系的所有外力在某一轴上投影的代数和 恒等于零。则质心沿该轴的坐标保持不变。
以上结论，称为质心运动守恒定律。
③注意：
只有外力才影响质心的运动，内力不影响质心运动， 且没有外力时，质心运动守恒，原为静止的质点系保持静 止。
质心、刚体
3
质心运动定理
F合外 mac
质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。 牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的， 那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体
4
质心的性质
①质心在整个物体的包络内
②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
③几个物体的质心满足质心组合关系
15
例 带电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运动，与前方相距l
的不带电小球B发生弹性碰撞。求从开始到发生k次碰撞电场对 小球A所做的功。 m, q>0 m B A 分析碰撞过程 第一次碰撞用时
2l 2ml a qE / m t1 a qE
第k次碰撞用时
tk 2kt1 t1
12
质心系中质点系动能定理
质心系中质点系动能定理的微分形式
dW 外 dW 内 dW 惯 dEk
dW惯 mi ac dr i ac d mi ri ac d mrc 0
i
质心系中质心位置矢量为常量
drc 0
质心 刚体
1
1 质心
1.1 质心 质心运动定理
每个质点的质量、位矢和受力： mi , ri , Fi
质点系的总质量
质点系所受合力
质点系的运动
m mi
i
mi ri 2 2 d i d F Fi mi ai 2 mi ri m 2 dt i dt m i i
6
1.2 质点系动力学量的分解
质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。 在质心系中质心静止
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质心的定义公式及解释
x
质心的定义公式及解释
质心是抽象几何中的一个概念，指定义在一个图形、图像、图象或者其他形式的对象上的一个坐标点，它代表这个图形、图像等的中心，是这些物体的“心”所在。
质心的定义
质心的定义公式：
C＝∑in (Xi，Yi)
其中，C 为质心的坐标，Xi,Yi为第i个点的坐标，n为点的个数。
质心的解释
质心表示一组点（即一个图形、图像、图象等）的中心，即整体的中心重心。
它可以用来表示多边形、多维图形以及其他复杂图形的中心，其中，如果所有的点都位于图形的同一直线上，则质心即为整个图形的中点。