压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题(四大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(特殊四边形)及参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊四边形）()1求该抛物线的表达式；()2点P在该抛物线上，点Q在y轴上，要使以点形，求所有满足条件的点P的坐标．2．如图，已知抛物线223=--+y x x的左侧），与y轴交于点C．点E为抛物线对称轴上的一个动点：(1)当点E 在x 轴上方且CE BD ∥时，求sin DEC ∠(2)若点P 在抛物线上，是否存在以点B ，E ，C ，P 求出点P 的坐标；(3)若抛物线对称轴上有点E ，使得55AE DE +取得最小值，连接限抛物线为点M ，从请直接写出AM 的长度．3．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0A -(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是抛物线上的一点，当ABD △的面积为(3)点P 是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q(1)求出抛物线与直线的解析式；(2)已知点K为线段AD上一动点，过点K作AH，求AHD的最大面积；(3)若点M是x轴上的一动点，点N是抛物线上一动点，当以点顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线第四象限上的一个动点，过点P 作PQ AC ∥交BC 于点Q ．①如图1，记APQ △面积为1,S BPQ 面积为2S ，求12S S +的面积最大值及此时点P 的坐标．②如图2，若将QP 沿直线BC 翻折得到QE ，且点E 落在线段AC 上，求此时点P 的坐标．6．如图，抛物线y ＝﹣54x 2+bx +c 与直线y ＝12x +c 相交于A （0，1），B （3，52）两点，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，在线段AB 上方的抛物线上取一点D ，过D 作DF 轴，垂足为点F ，交AB 于点E ．（1）求该抛物线的表达式；（2）求△ABD面积的最大值；（3）连接BD、CE，四边形BDEC能否成为平行四边形？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（2，'''．1）．将此矩形绕点O逆时针旋转90°，得到矩形OA B C（1）求过点A、A'、C'的抛物线的解析式；（2）将矩形OABC沿x轴正方向平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离．12．如图，在平面直角坐标系中，点()3,4A -、()5,10B -在抛物线2y x bx c =++上，点P 为该抛物线上一点，其横坐标为m ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 与点A 关于该抛物线的对称轴对称时，求PAB 的面积；（3）当该抛物线在点B 与点P 之间部分（含点B 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标之差为3时，求m 的值；（4）点Q 为该抛物线的对称轴上任意一点，当以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P 的坐标．13．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()3,0，点C 的坐标为()0,3，点C 与点D 关于抛物线的对称轴对称．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为抛物线对称轴上一点，连接BD ，以PD PB 、为边作平行四边形PDNB ，是否存在这样的点P ，使得PDNB 是矩形？若存在，请求出tan BDN ∠的值；若不存在，请说明理由；(3)点Q 在y 轴右侧抛物线上运动，当ACQ 的面积与ABQ 的面积相等时，请直接写出点Q 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，与y 轴交于点()0,3B ．P 是该抛物线上一点，其横坐标为m ，作点P 关于原点O 的对称点Q ．当线段PQ 不与坐标轴垂直时，以PQ 为对角线构造矩形PMQN ，该矩形的边均与某条坐标轴垂直．(1)求该抛物线对应的函数解析式；(2)当点P 是该抛物线的顶点时，求点Q 的坐标；(3)当点B 在矩形PMQN 的边上时，求m 的值；(4)当0m >，且矩形PMQN 与该抛物线有三个交点时，直接写出m 的取值范围．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线()10y kx k =+>与y 轴交于点D ，与抛物线在第一象限交于点于点M ，记CPM CDMS m S =△△，试求m 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，m 取最大值时，点Q 是x 轴上的一个动点，点参考答案：t。
二次函数中考压轴题四边形的存在性问题解析
二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选【例1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．【答案】解：（1）当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3。
∵点A 在点B 的左侧，∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。
当x=0时，y=3。
∴C 点的坐标为（0，3）。
设直线AC 的解析式为y=k 1x+b 1（k 1≠0），则111b =3k +b =0⎧⎨-⎩，解得11k =3b =3⎧⎨⎩。
∴直线AC 的解析式为y=3x+3。
∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4）。
（2）抛物线上有三个这样的点Q 。
如图，①当点Q 在Q 1位置时，Q 1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q 1的坐标为（2，3）；②当点Q 在点Q 2位置时，点Q 2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q 2坐标为（1+7，﹣3）；③当点Q 在Q 3位置时，点Q 3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q 3的坐标为（1﹣7，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+7，﹣3），Q 3（1﹣7，﹣3）。
（3）点B 作BB′⊥AC 于点F ，使B′F=BF ，则B′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求。
过点B′作B′E ⊥x 轴于点E 。
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(特殊四边形问题)
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）1．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标； (3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线223y x x =--+与x 轴相交于点A 、B （点B 在点A 左侧），与y 轴相交于点C ．(1)求点A 到直线BC 的距离；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，过点P 作PF y ∥轴交BC 于点F ，求PEF !周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y '，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点M ，N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线()213022y x x n n =-->与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．(1)如图1，若5AB =，则n 的值为______（直接写出结果）；(2)如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；(3)如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴于点E ，若:1:4AE ED =，求n ． 4．已知抛物线23y ax bx =++（0a ≠）交x 轴于()0A 1，和()30B -，，交y 轴于C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若M 为抛物线上第二象限内一点，求使MBC V 面积最大时点M 的坐标；(3)若F 是对称轴上一动点，Q 是抛物线上一动点，是否存在F 、Q ，使以B 、C 、F 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(y x bx c b =++，c 是常数）经过点(0,4)-，其对称轴是直线1x =．点A 在这个抛物线上，其横坐标为m ，点B 、C 的坐标分别为(,2)m m -、(1,2)m m --，点D 在坐标平面内，以A 、B 、C 、D 为顶点构造矩形ABCD ．(1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当点A 、B 重合时，求m 的值；(3)当抛物线的最低点在矩形ABCD 的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标之差为(0)h h >，求h 的值； (4)当该抛物线在矩形ABCD 内部的部分的图像对应的函数值y 随x 增大而减小时，直接写出m 的取值范围． 6．如图，直线4y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线2y ax x c =++经过B ，C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCE V 面积的最大值及点E 的坐标；(3)Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线BC 下方抛物上一动点，连接PB ，PC ，求PBC V 面积的最大值以及此时点P 的坐标； (3)在（2）中PBC V 的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q ，M 为y 轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图1，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴相交于点A 、B （点B 在点A 左侧），与y 轴相交于点(0,3)C ．已知点A 坐标为(1,0)，ABC V 面积为6．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，过点P 作PF y ∥轴交BC 于点F ，求PEF !周长的最大值及此时点P 的坐标：(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y '，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点M ，N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．在直角坐标系中，抛物线()2102y x bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点．其中点()2,0A -，点()4,0B ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，在直线1:2l y x n =-+经过A 点，与y 轴交于D ．在直线l 下方的抛物线上有一个动点P ，连接PA ，PD ，求PAD V 面积的最大值及其此时P 的坐标．(3)将抛物线y 向右平移1个单位长度后得到新抛物线1y ，点E 是新抛物线1y 的对称轴上的一个动点，点F 是原抛物线上的一个动点，取PAD V 面积最大值时的P 点．若以点P 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F 的坐标，并写出求解其中一个F 点的过程．10．如图，抛物线212y x bx c =-++经过点()8,0A 和点()0,8B -．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点(),E E x y 是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当（2）中的平行四边形OEAF 的面积为32时，请你判断平行四边形OEAF 是否为菱形，并说明理由． 11．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧）、直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中点C 的横坐标为2．(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；(2)若点Р是线段AC 上的一个动点，过点Р作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段PE 长度的最大值； (3)若点G 是抛物线上的一个动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出．．．．所有满足条件的点F 的坐标；如果不存在，请说明理由． 12．如图（1），一块钢板余料截面的两边为线段OA ，OB ，另一边曲线ACB 为抛物线的一部分，其中C 点为抛物线的顶点，CD OA ⊥于D ，以OA 边所在直线为x 轴，OB 边所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位代表1米．已知1OD =米，2DA =米，4CD =米．(1)求曲线ACB 所在抛物线的函数表达式；(2)若在该钢板余料中截取一个一边长为3米的矩形，设该矩形的另一边长为h 米，求h 的取值范围； (3)如图（2），若在该钢板余料中截取一个PBD △，其中点P 在抛物线ACB 上，记PBD △的面积为S ，求S 的最大值．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =++（0a ≠）与x 轴交于点()4,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ．点D 的坐标为()0,4．(1)求二次函数的解析式及点A 的坐标．(2)如图1，点E 为该抛物线在第一象限内的一动点，过E 作FE y ∥轴，交CD 于点F ，求EF 的最大值及此时点E 的坐标．(3)如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D 旋转180︒得到新抛物线y '，点N 是新抛物线y '上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M ，使得点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标，并写出其中一个点M 的求解过程．14．在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线2224y x x =-++与x 轴的交点为A 、B ．与y 轴的交点为C ．(1)请你求出点A 、B 、C 的坐标并直接写出直线BC 的关系式；(2)若点F 是直线BC 上方抛物线上的任意一点，连接FB 、FC ，请你求出FBC V 面积的最大值；(3)点D 在该抛物线的对称轴上，点E 是平面直角坐标系内的任意一点，以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是矩形，则点E 的坐标是__________（请直接写出答案） 15．综合与探究 如图，抛物线213222y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．过点A 的直线与抛物线在第一象限交于点()5,3D ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AD 的函数表达式．(2)点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交直线AD 于点F ．试探究是否存在一点P ，使线段EF 最大．若存在，请求出EF 的最大值；若不存在，请说明理由．(3)若点M 在抛物线上，点N 是直线AD 上一点，是否存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是以BD 为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，且5OA OB =．直线BD 与y 轴的交点为点0C ⎛ ⎝⎭，与x 轴的夹角30CBO ∠=︒，与抛物线交于点B 和点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴交直线BD 于点E ，点P 是抛物线上一点，且位于第三象限，连接、PE PD ．点M 为抛物线对称轴上动点，过点M 作MN y ⊥轴交y 轴于点N （M 、N 位于直线BD 的下方）．当PDE △面积最大时，求PM MN +的最小值． (3)点S 为平面内一点，在抛物线的对称轴上是否存在点R ，使得点B 、D 、R 、S 构成的四边形为菱形？若存在，直接写出点R 坐标；若不存在，请说明理由． 17．综合与探究 如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于点A 和B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点P 在直线AC 下方的抛物线上运动．(1)求点B 的坐标和直线AC 的解析式；(2)如图1，过点P 作PD y ∥轴交直线AC 于点D ，过点P 作PE AC ⊥，垂足为E ，当P D E △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在x 轴上运动，以点B ，C ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，借助图2探究，请直接写出符合条件的点M 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，点B 是这条直线上第一象限内的一个点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，已知ABD △的面积为18．(1)求点B 的坐标；(2)如果抛物线212y x bx c =-++经过点A 和点B ，求抛物线的解析式；(3)已知（2）中的抛物线与y 轴相交于点C ，该抛物线对称轴与x 轴交于点H ，P 是抛物线对称轴上的一点，过点P 作PQ AC ∥交x 轴于点Q ，如果点Q 在线段AH 上，且AQ CP =，求点P 的坐标．参考答案：1．(1)2246y x x =-++ (2)126,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫⎪⎝⎭2．(1)(2)当点P 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，PEF !94+(3)7544⎛⎫- ⎪⎝⎭，或(3-或(3- 3．(1)2(2)11(2，395),(82-，39)8 (3)278n =4．(1)223y x x =--+(2)31524⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)存在，点Q 的坐标为()23-，或()45-，-或()25，-5．(1)224y x x =-- (2)3m = (3)1 (4)112m <≤6．(1)2142y x x =-++(2)()2,4E(3)点P 的坐标为75,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或73,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭或53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)2=23y x x -- (2)315(,)24P - (3)17(,)24N -或533(,)24N 或57(,)24N --8．(1)223y x x =-+(2)当315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PEF !94(3)点M 的坐标为：(3.6)或13,865⎛⎫- ⎪⎝⎭或(3-或(3-9．(1)2142y x x =-- (2)PAD V 面积最大值为258，此时，135,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)335,28F ⎛⎫- ⎪⎝⎭或527,28F ⎛⎫- ⎪⎝⎭或311,28F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．(1)21582y x x =-+-，顶点坐标为95,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． (2)()24406428S x x x =-+-<<；(3)见解析11．(1)()1,0A -，()3,0B ，1y x =+ (2)94(3)存在，(3,0)-，(1,0)，(40)，(40)12．(1)()214y x =--(2)02h <≤ (3)25813．(1)2184y x x =-++，()0,8A (2)8，()4,8E(3)存在，()2,1M --或()2,7M -或()2,3M --，见解析14．(1)(1,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，24y x =-+；(2)2FBC S =V ；(3)13(,22E 或23(,22E 或351(,)24E 或4313(,)24E -；15．(1)()1,0A -，()4,0B ，()0,2C -，1122y x =+ (2)存在，EF 的最大值为92(3)存在，点M 的坐标为()0,2-，2⎛ ⎝⎭或2⎛ ⎝⎭16．(1)2y x x =(2)578(3)2⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭17．(1)点B 的坐标为()20，，直线AC 的解析式为4y x =--， (2)()24--，(3)()24--，或()1-或()1-+； 18．(1)()46B ， (2)21262y x x =-++ (3)()26，或922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，。
专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9上人教版)
专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法类型一、平行四边形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点(3)如图2，设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为边形CDPM 是平行四边形？若存在，直接写出点【答案】(1)22y x=-(2)①23922S t t =-+；②点P 到直线BC 的距离的最大值为(3)存在，()1,6M 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①在图1中，过点P 作PF y ∥轴，交BC 于点P 的坐标为()2,23t t t -++，则点F 的坐标为(t 2139222S PF OB t t =⋅=-+；②根据二次函数的性质得出当32t =时，S 取最大值，最大值为面积法求得点P 到直线BC 的距离，进而得出P （3）如图2，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点设直线BC 的解析式为将()3,0B 、()0,3C 代入30,3m n n +=⎧⎨=⎩，解得：∴直线BC 的解析式为∵点P 的坐标为(,t t -∴点F 的坐标为(,t -∴(223PF t t =-++-∴1322S PF OB =⋅=-②12S PF OB =⋅=-∵302-<，∴当32t =时，S 取最大值，最大值为抛物线2y x bx =-++∴抛物线的对称轴为直线 1D C x x -=，∴1P M x x -=，∴2P x =，()2,3P ∴，在223y x x =-++中，当()0,3C ∴，∴3C D y y -=，∴3M P y y -=，∴6M y =，∴点M 的坐标为()1,6；当2P x ¹时，不存在，理由如下，若四边形CDPM 是平行四边形，则 点C 的横坐标为0，点∴点P 的横坐标12t =⨯又 2P x ¹，(1)求点C 的坐标；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点此时点P 的坐标；(3)抛物线顶点为M ，在平面内是否存在点若存在请求出N 点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()4,5C (2)315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点N 的坐标为：()154N -，，【详解】（1）解：在2=23y x x --中，令解得：11x =-，23x =，()()1,0,3,0A B ∴-，直线y x m =+经过点()1,0A -，∴01m =-+，解得：1m =，∴直线AC 的解析式为1y x =+，联立方程组，得2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得：1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩()4,5C ∴；（2）如图1，设点2(,23)P n n n --，则点∴2212334()PE n n n n n =+---=-++ 10-<，∴当32n =时，PE 取得最大值254，此时，（3） 2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线顶点为()14M -，，如图2，点,,,A B M N 为顶点的四边形是平行四边形时，设①BM 为对角线时，AN 的中点与BM ∴(1)3122m +-+=，04022n +-+=，解得：∴()154N -，，②AM 为对角线时，BN 的中点与AM ∴31122m +-+=，04022n +-+=，解得：(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使得PA PC +值最小，求最小值；(3)点M 为x 轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N ，使以边形为平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)215222y x x =--(2)552(3)54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）把()1,0A -，()5,0B 两点代入求出a 、b 的值即可；（2）因为点A 关于对称轴对称的点B 的坐标为()5,0，连接BC 点坐标即可；（3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论．拋物线的解析式为212y x =-∴其对称轴为直线2b x a =-=-当0x =时，52y =-，50,2C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()5,0B ，∴设BC 的解析式为(y kx b =+5052k b b +=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，解得：12k =，52b =-，∴BC 的解析式为1522y x =-，当2x =时，1532222y =⨯-=-，①当点N 在x 轴下方时，抛物线的对称轴为2x =，0,C ⎛- ⎝154,2N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，②当点N 在x 轴上方时，如图，过点在2AN D △和2M CO △中，22N AD AN N DA ∠⎧⎪⎨⎪∠⎩252N D OC ∴==，即2N 点的纵坐标为21552222x x ∴--=，解得：2x =+25214,2N ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，35214,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述符合条件的N 的坐标有⎛ ⎝【点睛】本题考查的是二次函数综合题，式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（意进行分类讨论．(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E 在x 轴上运动，点F 在抛物线上运动，当以点B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E 的坐标．【答案】(1)213222y x x =-++(2)存在，3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)541,02⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或541,02⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(7,0)或(1,0)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分两种情况：以C 为顶点，即CP CD =；以D 为顶点，即CD =等腰三角形的定义建立方程即可完成；（3）分三种情况：当BC 是对角线时；当BE 是对角线时；当BF 是对角线时；分别设点与F 的坐标，利用中点坐标公式即可求解．【详解】（1）解：∵点B 的坐标是(40)，，点C 的坐标是(02)，，∴16602a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴所求抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）解：存在(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)232333y x x =-++(2)()2,33E 2039⎫⎪⎭或532,339⎛⎫⎪⎝⎭）根据待定系数法求解即可；∵232333y x x =-++()23143x =--+，∴()1,43D ．令232333y x x =-++中0y =，则解得=1x -或3x =，抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点∵四边形EFGH 是菱形，EFG ∠∴EF FG GH EG ===，∵60EFG ∠=︒，∴EFG 是等边三角形．∴60FEG EF FG ∠=︒=，，∵()2,33E ，()0,33C ，(1,4D ∴2CE CD ==，()24333-+同理可证： EFG 是等边三角形，∵CF FE =，=GE FE ，∴DG ∴CDG CEG ∆∆≌．∴DCG ∠=∴直线CG 的表达式为：33y =与抛物线表达式联立得33y y ⎧=⎪⎨⎪=-(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是直线AC 上方拋物线上一动点，连接BC ，AD ADM △的面积为1S ，BCM 的面积为2S ，当121S S -=时，求点(3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴交直线上是否存在点E ，使以P ，Q ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)223y x x =-++(2)271,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或271,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．(3)符合条件的点E 有三个，坐标为：()0,1E ，(10,132E -【分析】（1）把点()30A ，和()10B -，代入解析式求解即可；（2）由121S S -=得121S S =+从而121ABM ABM S S S S +=++ 程求解即可；（3）分类当CQ 为对角线和菱形边时，利用直线AC 与x 轴成标的方程，进而求出点的坐标．【详解】（1）把点()3,0A 和()1,0B -代入得：93330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）设(),D x y ，对于抛物线223y x x =-++，令0x =，则()0,3C ∴．121S S -= ，121S S ∴=+．∵()30A ，，()0,3C ，∴3OA OB ==，45OCA ∴∠=︒，此时四边形CEQP 是正方形．PQ EQ ∴=．设()2,23P m m m -++，则23PQ m m =-+，23m m m ∴-+=，解得m =此时32OE OC m =-=-=②当CQ 为菱形的边时，如图设()2,23P m m m -++，则∴HQ m =，2PQ m =-+作QH OC ⊥于点H ，45OCA ∠︒= ，∴22CQ HQ m ==．∴23CE PQ m m ==-+=解得：132m =-，23m =()323213OE =+-=+()10,132E ∴-，(20,1E +综上所述，符合条件的点【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点（点A 在点B 左侧），与(1)求ABC 的面积；（3）解：∵抛物线212y x x =--∴()211942212y x x x =--+=-2＋＋∵将抛物线2142y x x =--+沿着水平方向向右平移∴新抛物线为：()112y x =--2＋∴原抛物线与新抛物线的交点，∴()()1111992222x x -=--22＋＋＋，∴解得：0x =，【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与特殊图形，二次函数的平移规律，掌握二次函数与特殊图形的位置关系是解题的关键．类型三、矩形存在性问题(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出【答案】(1)2142y x x =--(2)335,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；254(3)()4,8M -、()8,4N -【分析】（1）把点()4,0A 和点B a 、b 的值；（2）先用待定系数法求出直线2211,422D t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，然后求出最大值时t 的值，即可求出点P （3）假设抛物线上是存在点M ，一条边的四边形为矩形，过点O 点A 且与OH 平行的直线解析式，经计算验证可得过点立方程可求得M 的坐标，通过平移即可求得点【详解】（1）解：把点()4,0A 和点∵()4,0A ，()0,4C -，∴OAC 为等腰直角三角形，∴点H 为AC 的中点，即(H 则OH 所在的直线方程为y =∵四边形AMNC 为矩形，∴过A 与直线AC 相垂直的直线函数解析式中的∴设AM 所在的直线解析式为∵点A 在直线AM 上，(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)将抛物线L 向右平移1个单位，得到新抛物线对称轴l 上是否存在点D ，使得以点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()1,0A -，()3,0B (2)存在，点D 的坐标为()2,1或【分析】（1）分别令0y =和x （2）先求得平移后的抛物线L 角线时，根据矩形的性质求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则解得11x =-，23x =，当AD 为对角线时，连接AC ，过点 ()1,0A -，()0,1C -，∴1OA OC ==，∴45OCA ∠=︒∴45OCG ∠=︒∴1OG OC ==，∴()1,0G ．设CG 所在直线解析式为y kx =+将()0,1C -，()1,0G 代入得，⎧⎨⎩解得11k b =⎧⎨=-⎩，∴CG 所在直线解析式为1y x =-当2x =时，1211y x =-=-=．∴()2,1D ．当AD 为边时，同理过点A 作AC 易得AH 所在直线解析式为y =当AC 为对角线时，DE 也为对角线，∴此种情况不存在．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设PBC 的面积为S ，求S 坐标；(3)已知M 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N ，使以B 的四边形是矩形？若存在，直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22+3y x x =-+(2)S 最大值为278，315(,)24P (3)存在，点1(2,(317))2N +或1(2,(317))2-或(2,1)-或(4,1)．【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，设抛物线(1)(y a x x =+解；（2）如图，过点P 作PD AC ⊥，垂足为点D ，交BC 于点E ，设(,P m 的解析式3y x =-+，于是23PE m m =-+，从而13(22S PE OC m ==- 时，S 最大值为278，进而求得315(,)24P ；设2(,23)P m m m -++设直线BC 的解析式为y kx =033k hh =+⎧⎨=⎩，解得13k h =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+则点(,3)E m m -+，2PE m =-∴2113(22S PE OC m ==´-+ ∴当32m =时，S 最大值为2782915233344m m -++=-++=∴315(,)24P ；（3）存在．设(1,)M p ，如图，223BC =222(13)(0)CM p p =-+-=如图，当BM 为对角线时，∠222BM CM BC =+，即26p p -+01330n p q +=+⎧⎨+=+⎩解得21n q =-⎧⎨=⎩∴点(2,1)N -如图，当CM 为对角线时，MBC ∠222BM BC CM +=，即26p p -+(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P 满足PAB PBA ∠=∠，求点P 的坐标；(3)设M 是抛物线的对称轴上一点，N 是坐标平面内一点，正方形的面积．【答案】(1)32x =-(2)()51,51P --+(3)正方形AMPN 的面积为172或372【分析】（1）由4y x =+可知()4,0A -，()0,4B ，进而求得抛物线解析式为即可得抛物线的对称轴方程；（2）由题意可知PAB PBA ∠=∠，可知PA PB =，进而值OP 其与AB 交于点Q ，可得()2,2Q -，可求得OP 的解析式为则90PDM ACM ∠=∠=︒∴DPM PMD PMD ∠+∠=∠∴(AAS PDM MCA △≌△∴PD MC =，MD AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422MD AC ==-=，则90PEM ACM ∠=∠=︒∴EPM PME PME ∠+∠=∠∴(AAS PEM MCA △≌△∴PE MC =，ME AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422ME AC ==-=，则P y CE MC ME ==+=即：32P x m =-，P y m =-(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线(2)在点P 的运动过程中，求使四边形(3)点N 为平面内任意一点，在（2N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点【答案】(1)()1,0A -，()3,0B ，C (2)32m =-(3)()1221,2Q +，2252,2Q ⎛+ ⎝【分析】（1）分别令0y =，0x =，可求出点∵()3,0B ，()0,3C ，∴3OB OC ==，∴BOC 是等腰直角三角形，∴点()221,2Q +，∴()22132322EQ =+--=-∴PE EQ =，此时点()221,2Q +使得以P ，E 如图，过点E 作EQ PM ⊥于点Q ，过点由（2）得：45BED ∠=︒，∵PM BC ∥，∴45BED DPQ ∠=∠=︒，∴PEQ ，PSQ 是等腰直角三角形，∴此时点Q 使得以P ，E ，Q ，N 为顶点的四边形是正方形；∴132222PS SE PE -===，∴点5232,12S ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，对于321y x =-++，当5212y =-时，222x =+，(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH 点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点标．【答案】(1)抛物线的解析式为2142y x x =-++；(2)4EH =；(3)点N 的坐标为()44，或7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的解析式为4y x =-+，设2142x E x x ⎛ ⎝-++，对称性质求得21422H x x x ⎛⎫- ⎪+⎝-+⎭，，推出2122GH EF x -=-+矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；（3）先求得直线AC 的解析式为24y x =+，分别过点M 、E 作90OPE MQO ∠=∠=︒，90OEP ∠=︒∴OEP MOQ ≌△△，∴PE OQ =，PO MQ =，设2142m E m m ⎛⎫ ⎪⎝-++⎭，，∴PE OQ m ==-，12P m O M Q ==-∵点M 在直线AC 上，∴244212m m m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，解得m =当4m =时，()04M ，，()40E ，，即点M 与点C 重合，点E 与点B 重合时，四边形当1m =-时，512M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，512E ⎛- ⎝，点O 向左平移52个单位，再向下平移则点E 向左平移52个单位，再向下平移∴551122N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，即7322N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．课后训练(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 、Q 为直线BC 下方抛物线上的两点，点Q 的横坐标比点过点P 作PM y ∥轴交BC 于点M ，过点Q 作QN y ∥轴交BC 于点N ，求值及此时点Q 的坐标；(3)如图3，将抛物线()230y ax bx a =+-≠先向右平移1个单位长度，再向下平移长度得到新的抛物线y '，在y '的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E D 、E 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为2=23y x x --(2)当1a =时，max ()4PM QN +=，()2,3Q -(3)()1,2E --或()5,2-或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）设()2,23P a a a --，则()21,4Q a a +-，进而得到(),3M a a -，(N 出222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+，最后根据二次函数的性质即可解答；（3）分以BC 为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．【详解】（1）解：把()1,0A -和()3,0B 代入()230y ax bx a =+-≠，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1a =，2b =-∴222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+∴当1a =时，max ()4PM QN +=∴()2,3Q -．（3）解：由题意可得：()()()222=1213152x y x x x x --'---=---=-，∴y '的对称轴为2x =∵抛物线()230y ax bx a =+-≠与y 轴交于点C ．∴()0,3C -,∵()3,0B ,∴3OC OB ==,45BCO CBO ∠=∠=︒；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的下方，过D 作DF y ⊥轴，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FD =，∴2CF FD ==,325OF =+=,即点()2,5D -，∴点C 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D ，则点B 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到()5,3E -；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的上方，y '的对称轴为2x =与x 轴交于F ，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FO =，∴321BF =-=，∵45CBO ∠=︒，即45DBO ∠=︒，∴321BF FD ==-=,即点()2,1D ，∴点B 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D ，则点C 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点()1,2E --；如图：当BC 为矩形对角线时，设∴BC 的中点F 的坐标为32⎛ ⎝∴2322322m d n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得：m d =⎧⎨+⎩又∵DE BC =,∴()()22222133d n -+-=+联立173d n d n ⎧-=±⎪⎨+=⎪⎩，解得：∴点E 的坐标为3171,2⎛-- ⎝综上，存在()1,2E --或(5,的四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上的动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线y x =上的动点，当点P 在第四象限时，求四边形PBDC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)已知点E 为x 轴上一动点，点Q 为平面内任意一点，是否存在以点P ，C ，E ，Q 为顶点的四边形是以PC 为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2=23y x x --(2)278，315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3333,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭；3333,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；(3,3)-；(3,2)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设()2,23P m m m --，则(,3)H m m -，23PH m m =-+，则2139()228BPC S t ∆=--+，当32t =时，BPC △的面积最大值为从而求出此时四边形PBDC 面积的最大值，P 点坐标；（3）设()2,23P m m m --，(,0)E n ，分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可．【详解】（1）解：将(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-中，得309330a b a b --=⎧⎨+--⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．∴该抛物线的函数表达式为2=23y x x --．（2）解：作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设直线BC 的表达式为：y kx =+得303k n n +=⎧⎨=-⎩，解得13k n =⎧⎨=-⎩，3y x ∴=-．设()2,23P m m m --，则(,H m m ∵BPC CPH BPHS S S =+△△△∴1122BPC S PH OG PH BG =⋅+⋅△∴(21322BPC S PH OB m =⨯=-+△∴28323272BPC S m ⎛⎫=-+ ⎪⎝-⎭△，∴当32m =时，BPC △面积的最大值为BC 与直线y x =平行，1122DBC OBC S S OB OC ∴==⋅=△△∴四边形PBDC 面积的最大值为当32m =时，2332322y ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=315,24P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭（3）解：设()2,23P m m m --，I.如图，当点E 在原点时，即点∵四边形PECQ 为正方形，∴点3(3,)Q -，II.如解图3-2，当四边形PECQ 作PI x ⊥轴，垂足为I ，作QH ⊥又∵90CEO OCE ∠+∠=︒，∴OCE PEO ∠=∠，∴(ASA)OCE PEI ≅ △∴3CO IE ==，22EO IP m ==-同理可得：3QH CO IE ===，∴3OE OI IE m =+=+，HO IO=∴2323m m m +=--，解得：m ∴3332HO IO +==，∴点)33(3,32Q +-，同理可得：PI OE CH ==，IE QH =∴3OE IE IO m =-=+，∴2233m m m =---，解得：m =∴3332HO IO -+==，∴点3,(Q -IV.如解图3-4，当四边形PECQ 为正方形时，同理可得：PI OE CH ==，EI HQ =∴2323m m m -=--，解得：m =∴2HO IO ==，∴点(3,2)Q ，综上所述：点Q 坐标为3333,2⎛+- ⎝【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、数解析式、正方形性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．3．如图，抛物线212y x bx c =++与物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点综上所述，341,22N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或341,22N ⎛- ⎝【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，平行四边形的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．4．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax =(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x m =与x 轴交于点求出抛物线上点M 的坐标；(3)若点P 为抛物线y ax =位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点，在（构成平行四边形？若能构成，求出【答案】(1)223y x x =-++(2)315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)1(2-，15)4或3(2-，7)4或【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；（2）由“直线x m =与x 轴交于点的坐标，进而可得出AN 再利用二次函数的性质，即可求出（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为点的坐标特征，可求出点点P 的坐标为(1,)m ，点Q 线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于得出n 值，再将其代入点【详解】（1）解：将(1,0)-09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：∴抛物线的表达式为y =-（2） 直线x m =与x 轴交于点∴点M 的坐标为2(,m m -。
压轴题04 二次函数中四边形的存在性四种考法(学生版) 2023-2024学年九年级数学上册(人教版
压轴题04 二次函数中四边形的存在性四种考法目录解题知识必备............................Error! Bookmark not defined.压轴题型讲练 (2)题型一、平行四边形的存在性 (2)题型二、菱形的存在性 (14)题型三、矩形的存在性 (25)题型四、正方形的存在性 (36)压轴能力测评（5题） (48)一、平行四边形的存在性问题1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类;2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x 上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定)3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形分类讨论:当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标;当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解.4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可二、菱形的存在性问题(常为含 60°角的菱形)通常有两大类:1.已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形;2已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:3.计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解三、矩形的存在性问题等价于直角三角形的存在性问题（其特点往往是2定点2动点），通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标。
分类的依据往往是以已知两点所在线段为边或对角线进行分类讨论。
2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形
2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与四边形1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点D是直线AC上方的抛物线上一点，求△DCA面积的最大值，以及△DCA面积取得最大值时，点D的坐标；（3）点P是直线AC上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．3．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y ＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD ⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F 的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC 周长最小，直接写出P，Q的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标；（2）在二次函数的图象位于x轴上方的部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过点M、N作x轴的垂线，分别交x轴于点H、G．①当四边形MNGH为正方形时，求MN的长；②当四边形MNGH为矩形时，求矩形MNGH周长的最大值．7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，同时有一动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△OPM是直角三角形？8．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；（2）直线ME与BC交于点N，点P为直线BC上方抛物线上一点，在直线BC上是否存在一点Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；（3）点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C 是直角三角形时，直接写出点F的坐标．10．如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，与x轴交于另一点A，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过E作EF∥y轴交x轴于点F，交直线BC于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段EM的最大值；（3）在（2）的条件下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求出该抛物线的解析式；（2）点D为抛物线在第四象限内图象上一个动点，设点D的横坐标求为x，四边形ABDC的面积为y1．①求四边形ABDC的面积y1关于x的解析式；②求出使得四边形ABDC的面积y1最大的点D的坐标；（3）在抛物线y＝ax2+bx+c上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．12．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）13．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点E，使B、D、E、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的E点坐标；如果不存在，请说明理由．14．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，M是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）连接MO、MC，并把△MOC沿CO翻折，得到四边形MO M′C，那么是否存在点M，使四边形MO M′C为菱形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点M运动到什么位置时，四边形ABMC的面积最大，并求出此时M点的坐标和四边形ABMC的最大面积．17．如图，已知抛物线C1：y＝﹣x2，平移抛物线y＝x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．19．如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．（1）a0，b2﹣4ac0（填“＞”或“＜”）；（2）若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标；（2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P 的坐标，然后根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE 面积S的最大值；（3）根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性质可以求得点Q的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，∴，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，，得，∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），∴设点P的坐标为（p，2p+6），＝＝﹣（p+）2+，∴S△P AE∵﹣3＜p＜﹣1，取得最大值，此时S△P AE＝，∴当p＝﹣时，S△P AE即△PAE面积S的最大值是；（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，∴OA＝PQ，∵点A（﹣3，0），∴OA＝3，∴PQ＝3，∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），∴，解得，或（舍去），当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．2．【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，得，即可求解；（2）过点D作DE∥x轴交x轴于点F，交直线AC于点E，设点D坐标为（m，﹣m2+m ﹣2），求直线AC的关系式为：y＝x﹣2，利用平行的性质点E的坐标可表示为（m，m﹣2），用m的代数式表示出DE＝﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，△DCA面积＝×4（﹣m2+2m），利用函数来讨论最值问题，即可求解；（3）存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m﹣2），①如图，点Q在x轴上方，利用平行知识表示出P点坐标为（m﹣1，﹣m2+m﹣4），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m﹣1）﹣2＝﹣m2+m﹣4，解得m＝1或3（1舍去），即可求解；②如图，点Q在x 轴下方，利用平行知识表示出P点坐标为（m+1，﹣m2+m），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m+1）﹣2＝﹣m2+m，解得m＝2±，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0）、B（1，0）两点，∴，解得：，∴此抛物线的解析式：y＝﹣x2+x﹣2；（2）过点D作DE∥x轴交x轴于点F，交直线AC于点E，设点D坐标为（m，﹣m2+m﹣2），设直线AC关系式为：y＝px+q，把A（4，0）和C（0，﹣2）代入，得，∴，直线AC的关系式为：y＝x﹣2，∴点E的坐标可表示为（m，m﹣2），∴DE＝﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）＝﹣m2+2m，+S△CDE∴△DCA面积S＝S△ADE＝DE•AF+DE•OF＝ED•AO＝×4（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，△DCA的面积最大，最大面积为4，此时点D坐标为（2，1）；（3）存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点，BC为一边的四边形是平行四边形，设点Q的坐标为（m，﹣m2+m﹣2），①如图，点Q在x轴上方，∵BC∥PQ，从B，C坐标可得B点向左平移个单位，再向下平移2个单位得到点C，∴点Q向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，∴P点坐标为（m﹣1，﹣m2+m﹣4），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m﹣1）﹣2＝﹣m2+m﹣4，∴m＝1或3（1舍去），此时点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）；②如图，点Q在x轴下方，∵BC∥PQ，从B，C坐标可得C点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点C，∴点Q向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，∴P点坐标为（m+1，﹣m2+m），把点P坐标代入直线y＝x﹣2，得，（m+1）﹣2＝﹣m2+m，∴m＝2±，此时点Q坐标为（2+，），点P坐标为（3+，）或点Q坐标为（2﹣，），点P坐标为（3﹣，）．∴点Q坐标为（3，1），点P坐标为（2，﹣1）或点Q坐标为（2+，），点P坐标为（3+，）或点Q坐标为（2﹣，），点P坐标为（3﹣，）．3．【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a （x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），进而得出PE＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质可得：当m＝﹣时，PE有最大值，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，＝PF•EF＝PE2，∴S△PEF∴当m＝﹣时，S＝×（）2＝；△PEF最大值（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．4．【分析】（1）令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，可得A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，可得C（0，﹣8）；（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，根据题意得E（m，m2+2m ﹣8），D（m，﹣2m﹣8），即可得出DE＝﹣m2﹣4m，利用△ACO∽△DOF，建立方程求解即可；（3）分三种情况：CM为对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，可得出N（﹣1，﹣6），根据CM＝PN＝CN＝，即可求出答案；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），建立方程求解即可；③当CM为对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），根据N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，即可求得答案．【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8）；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，∵直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，∴E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m，设DE交x轴于点F，则F（m，），∴OF＝﹣m，∴AF＝m﹣（﹣4）＝m+4，DF＝2m+8，∵OD⊥AC，EF⊥OA，∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，∴∠DOF＝∠OCD，∴△ACO∽△DOF，∴＝，∴OC•DF＝OA•OF，∴8（2m+8）＝4（﹣m），解得：m＝﹣，∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣）2﹣4×（﹣）＝；（3）存在，如图2，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，∴分三种情况：CM为对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，﹣6），CN＝＝，∴CM＝PN＝，∴M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣）；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，解得：a＝，∴M3（0，﹣），③当CM为对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，∴M4（0，﹣12），综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．5．【分析】（1）求出B （2，﹣1），A （4，0），再将点O 、点A 、点B 代入抛物线y ＝ax 2+bx +c ，即可求解解析式；（2）①设F （2，m ），G （x ，x 2﹣x ），由已知可得（x ﹣2）2+＝，整理得到m （m ﹣x 2+2x ）＝0，因为任意一点G 到定点F 的距离与点G 到直线y ＝﹣2的距离总相等，所以m ＝0，即可求F 坐标；②设过点F 的直线解析式为y ＝kx ﹣2k ，M （x M ，y M ），N （x N ，y N ），联立直线与抛物线解析式得x 2﹣（4+4k ）x +8k＝0，则有x M +x N ＝4+4k ，x M •x N ＝8k ，y M +y N ＝4k 2，y M •y N ＝﹣4k 2，由①可得+＝+＝1；（3）作B 点关于y 轴的对称点B '，作C 点关于x 轴的对称点C '，连接C 'B '交x 轴、y 轴分别于点P、Q，四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，求出B'（﹣2，﹣1），C'（3，），可得直线B'C'的解析为y＝x﹣，则可求Q（0，﹣），P（，0）．【解答】解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），∴B（2，﹣1），∴A（4，0），将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2+bx+c，得到，解得，∴y＝x2﹣x；（2）①设F（2，m），G（x，y），∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|，∴（y+2）2＝y2+4y+4，∵y＝x2﹣x，∴（y+2）2＝y2+4y+4＝y2+x2﹣4x+4＝y2+（x﹣2）2，∴G到直线y＝﹣2的距离与点（2，0）和G点的距离相等，∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等，∴（x﹣2）2+＝，整理得，m（m﹣x2+2x）＝0，∵距离总相等，∴m＝0，∴F（2，0）；②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（x M，y M），N（x N，y N），联立，整理得x2﹣（4+4k）x+8k＝0，∴x M+x N＝4+4k，x M•x N＝8k，∴y M+y N＝4k2，y M•y N＝﹣4k2，∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，∴+＝+＝＝＝1，∴+＝1是定值；（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，∵点C（3，m）是该抛物线上的一点∴C（3，﹣），∵B（2，﹣1），∴B'（﹣2，﹣1），C'（3，），∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，∴Q（0，﹣），P（，0）．6．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等，进而求解；②当四边形MNGH为矩形时，由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，即可求解．【解答】解：（1）由题意抛物线y＝ax2+bx+3经过B（﹣1，0）、C（3，0）两点，则，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点A（1，4）；（2）设点M坐标为M（m，﹣m2+2m+3）（m＞0），①若四边形MNGH为正方形，则MN＝MH，且MN∥MH，即点M、N的纵坐标相等．由（1）得抛物线的对称轴为直线x＝1，则点N的横坐标为2﹣m，∴点N坐标为（2﹣m，﹣m2+2m+3），∴MN＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，∵MN＝MH，∴2m﹣2＝﹣m2+2m+3，解得：或（舍去），∴；②当四边形MNGH为矩形时，由①MH＝﹣m2+2m+3，MN＝2m﹣2，则矩形MNGH周长＝2[（﹣m2+2m+3）+（2m﹣2）]＝﹣2（m﹣2）2+10，∴当m＝2时，矩形MNGH周长的最大值为10．7．【分析】（1）根据点O，A的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的解析式，再将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，即可得出顶点B的坐标；＝S△ABO （2）当运动时间为t时，结合点P，M的运动速度可得出0≤t≤3，由S四边形ABPM 可得出四边形ABPM的面积关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可﹣S△POM解决最值问题；（3）当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形①当∠OPM＝90°时，由∠BOA＝60°，∠PMO＝30°，则OM＝2OP，即t＝6﹣2t，即可求解②当∠OMP＝90°时同理可解．【解答】解：（1）将O（0，0），A（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x．∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，∴顶点B的坐标为（3，3）．（2）当运动时间为t时，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，OM＝6﹣2t．∵当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动，∴0≤t≤3．＝S△ABO﹣S△PO＝•OA•y B﹣•OM•PC＝×6×3﹣×（6﹣2t）×则S四边形ABPMt＝（t﹣）2+．∵＞0，∴当t＝时，四边形ABPM的面积取最小值，最小值为；（3）设直线OB的解析式为y＝kx，将B（3，3）代入y＝kx，得：3＝3k，解得：k＝，∴直线OB的解析式为y＝x．过点P作PC⊥x轴于点C，如图所示．设点P的坐标为（x，x），则点C的坐标为（x，0）．∵tan∠POC＝＝，∴∠POC＝60°．当∠APO＝90°，则cos∠POC＝＝，∴OP＝3．∵OP＝1×t＝3，∴t＝3．当t＝3时，M和O点重合，M，O，P不构成三角形，①当∠OPM＝90°时，①当∠OPM＝90°时，∵OM＝2OP，即2t＝6﹣2t，t＝1.5；②当∠OMP＝90°时，∵∠BOA＝60°，∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，即t＝2（6﹣2t），∴t＝．8．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可．（2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．②分三种情形：如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，分别求解即可．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．9．【分析】（1）先求出直线BC与x轴交点的坐标，再将其和A（﹣1，0）代入函数解析式，求出待定系数的值即可；（2）画出图形，根据平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，列出方程求得结果；（3）利用相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质列方程解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3过点B和点C，∴B（3，0）、C（0，3），OB＝OC＝3，把A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+2x+c，得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点M的坐标为（1，4）．（2）对于直线y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴N（1，2）．设P（m，﹣m2+2m+3）．若MN是平行四边形的一边，如图1，则PQ∥MN且MN＝PQ＝2，Q（m，﹣m+3），∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝2，解得：m1＝2，m2＝1（不符合题意，舍去），∴Q（2，1）若MN是平行四边形的对角线，如图2，∵线段MN的中点为坐标为（1，3），且点Q与点P关于点（1，3）成中心对称，∴Q（2﹣m，m2﹣2m+3），∵点Q在直线y＝﹣x+3上，∴m2﹣2m+3＝﹣（2﹣m）+3，解得m1＝0，m2＝2（不符合题意，舍去），∴Q（0，3）．综上所述，点Q的坐标为（2，1）或（0，3）．（3）如图3，∠A'FC＝90°，作FG⊥x轴于点G，则FG＝A'G，设F（m，﹣m+3），则﹣m+3＝m﹣1，解得m＝2，∴F（2，1）；如图4，∠CA'F＝90°，作FG⊥x轴于点G，则∠FA'G＝90°﹣∠OAC＝∠A'CO，∴＝＝tan＝∠A'CO＝，∴FG＝A'G，∴﹣m+3＝（m﹣1），解得m＝，∴F（，）．综上所述，点F的坐标为（2，1）或（，）．故答案为：（2，1），（，）．10．【分析】（1）点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，将点C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），EM＝﹣2x2+12x，即可求解；（3）分AM是边、AM是对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，则点C、B的坐标分别为：（6，0）、（0，12），抛物线y＝3ax2+10x+3c经过B，C两点，则3c＝12，故抛物线的表达式为：y＝3ax2+10x+12，将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+10x+12；（2）设点E（x，﹣2x2+10x+12），则点M（x，﹣2x+12），EM＝（﹣2x2+10x+12）﹣（﹣2x+12）＝﹣2x2+12x，∵﹣2＜0，故EM有最大值，最大值为18，此时x＝3；（3）y＝﹣2x2+10x+12，令y＝0，则x＝﹣1或6，故点A（﹣1，0），由（2）知，x＝3，则点M（3，6），设点P的横坐标为：m，点Q的坐标为：（，s），①当AM是边时，当点A向右平移4个单位向上平移6个单位得到点M，同样，点P（Q）向右平移4个单位向上平移6个单位得到点得到点Q（P），即m±4＝，解得：m＝﹣或，故点P（﹣，﹣）或（，﹣）；②当AM是对角线时，由中点公式得：﹣1+3＝m+，解得：m＝﹣，故点P（﹣，）；综上，点P的坐标为：（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，）．11．【分析】（1）用待定系数法即可求解；＝S△AOC△DOC+S△DOB＝﹣x2+x+6（0＜x＜3），即可求解；（2）由y＝S四边形ABDC（3）分∠QBC、∠QCB为直角两种情况，利用函数的性质分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3），∴，解得，∴该抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①如图，设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD、AC．则0＜x＜3，x2﹣2x﹣3＜0则△AOC的面积＝，△DOC的面积＝x，△DOB的面积＝﹣（x2﹣2x﹣3），＝S△AOC+S△DOC+S△DOB＝﹣x2+x+6（0＜x＜3）；∴y＝S四边形ABDC②∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y的最大值为，此时，点D（，﹣）；（3）有两种情况：如图2，过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点F，连接Q1C．∵∠CBO＝45°，∴∠FBO＝45°，BO＝OF＝3．∴点F的坐标为（0，3）．∴直线BF的解析式为y＝﹣x+3．则，解得，∴点Q1的坐标为（﹣2，5）．如图（3），过点C作CG⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点G，连接BQ2．∵∠CBO＝45°，∴∠CGB＝45°，OG＝OC＝3．∴点G的坐标为（﹣3，0）．∴直线CG的解析式为y＝﹣x﹣3．由，解得，∴点Q2的坐标为（1，﹣4）．综上，在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．12．【分析】（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5），即可求解；＝AB（y C﹣y D），即可求解；（2）S四边形AMBC（3）抛物线的表达式为：y＝x2，即可求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x ﹣，点M坐标为（2，﹣3）；（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），S四边形AMBC＝AB（y C﹣y M）＝×6×（9+3）＝36；（3）y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）2﹣3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y＝x2，则定点D与动点P之间距离PD＝＝，令t＝，则x2＝3t，可得PD＝，当t＝﹣＝﹣时，PD有最小值，∵t≥0，∴3﹣2m≤0，即m≥时，PD的最小值d＝；当m＜时，3﹣2m＞0，t≥0，∴t2+（3﹣2m）t+m2≥0，故当PD最小时，t＝0，即x＝0，∴当点P与点O重合时，PD最小，即PD的最小值d＝|m|∴d＝．13．【分析】（1）将A、D的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值．（2）根据抛物线的解析式即可得到其对称轴及B点的坐标，由于A、B关于抛物线对称轴对称，连接BD，BD与抛物线对称轴的交点即为所求的P点，那么PA+PD的最小值即为BD的长，根据B、D的坐标，即可用勾股定理（或坐标系两点间的距离公式）求出BD的长，也就求得了PA+PD的最小值．（3）此题可分作两种情况考虑：①BE∥DG；根据抛物线的解析式可求得C点坐标，可得C、D关于抛物线对称轴对称，即C、D的纵坐标相同，所以CD∥x轴，那么C点就是符合条件的G点，易求得CD的长，根据平行四边形的性质知BE＝CD，由此可得到BE的长，将B点坐标向左或向右平移CD个单位即可得到两个符合条件的E点坐标；②BD∥EG；根据平行四边形的性质知，此时G、D的纵坐标互为相反数，由此可求得G点的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求得G点的坐标；那么将G点的横坐标减去3（B、D横坐标差的绝对值），即可得到两个符合条件的E点坐标；综上所述，符合条件的E点坐标应该有4个．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（2）由：y＝x2+2x﹣3得：对称轴为：，令y＝0，则：x2+2x﹣3＝0，∴x1＝﹣3，x2＝1，∴点B坐标为（1，0），而点A与点B关于x＝﹣1对称，∴连接BD与对称轴的交点即为所求的P点．过点D作DF⊥x轴于点F，则：DF＝3，BF＝1﹣（﹣2）＝3，在Rt△BDF中，BD＝，∵PA＝PB，∴PA+PD＝PB+PD＝BD＝，即PA+PD的最小值为．（3）存在符合条件的点E，①在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则有：y＝﹣3，故点C坐标为（0，﹣3），∴CD∥x轴，∴在x轴上截取BE1＝BE2＝CD＝2，得BCDE1和BDCE2，此时：点C与点G重合，E1（﹣1，0），E2（3，0）．②∵BF＝DF＝3，∠DFB＝90°，∴∠FBD＝45°，当G3E3∥BD且相等时，有G3E3DB，作G3N⊥x轴于点N，∵∠G3E3B＝∠FBD＝45°，∠G3NE3＝90°，G3E3＝BD＝，∴G3N＝E3N＝3；将y＝3代入y＝x2+2x﹣3得：，∴E3的坐标为：，即，同理可得：，综上所述：存在这样的点E，所有满足条件的E点坐标为：E1（﹣1，0），E2（3，0），E 3，．14．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）设P（m，﹣m2+4m），C（m，m）可得PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）由（2）可知，由AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．推出点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC 和四边形ADP′C′是平行四边形，求出直线DP的解析式，利用方程组即可解决问题；【解答】（1）解：把O（0，0）和点A（3，3）代入y＝ax2+4x+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．（2）解：0＜m＜3，PC＝PB﹣CB，∵B（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+4x上，C在OA上，A（3，3），∴P（m，﹣m2+4m），C（m，m）∴PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，当D（，0）时，PC max＝，答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．（3）由（2）可知，∵AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．∴点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC和四边形ADP′C′是平行四边形，∵直线OA的解析式为y＝x，∴直线DP的解析式为y＝x﹣3，由，解得或，∴m的值为．15．【分析】（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点代入求出a、b、c的值即可；（Ⅱ）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（Ⅲ）分点N在x轴下方和上方两种情况进行讨论．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（Ⅱ）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，连接BC，如图1所示，。
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(特殊四边形)(含答案)
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊四边形）1．如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为A （﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P 坐标．2．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y 轴交于点C，连接AC．(1)求m的值及该抛物线的对称轴；(2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)若点在第一象限，连接(3)是否存在这样的点，使以点请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．P P P(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一动点，求四边形PBEC 面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点C，平移后点A的对应点为点A'，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y'的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点M，使以点M、Q、A'、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．6．如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点D与点C 关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点．设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．(1)求点A、点B、点C及抛物线的顶点坐标；(2)当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形？7．如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点的直线交线段于点，且，求的正切值；(3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．8．如图，抛物线经过等腰的，两点，，．2y ax bx c =++x (1,0)A -(3,0)B y (0,3)C D C AB E :3:5ACE CEB S S ∆∆=CEA ∠P Q x D C P Q P 2y x bx c =-++Rt OAB V A B (03)A ，90OAB ∠=︒(1)求抛物线的解析式；(2)若点是上方抛物线上的动点，交于点，当点位于何处时，四边形是平行四边形，求点的坐标．9．已知一个二次函数的图象经过A （1，0）、B （3，0）、C （0，）三点，顶点为D ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求经过A 、D 两点的直线的表达式；(3)设P 为直线AD 上一点，且以A 、P 、C 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．C AB CD AB ⊥OB D C ACDO C 3-10．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．(1)求抛物线的解析式．(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点S关于m的函数关系式，并求出S(2)求抛物线表达式；(3)如图，点为直线上方、抛物线上一点，过点作矩形，且轴，求当矩形为正方形时点的坐标．13．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．(1)求此二次函数的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，点E 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AE 交对称轴于点F ，试判断四边形CDEF 的形状，并证明你的结论．D AC D DHEF DF x ∥DHEF D14．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．15．【实践探究】数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：1()230y ax bx a =+-≠x ()()1,0,3,0A B -y C 2,P Q BC Q P 1P PM y ∥BC M Q QN y ∥BC N PM QN +Q 3()230y ax bx a =+-≠11y 'y 'D E ,,,B C D E E(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过?请通过计算进行说明（货船看作长方体）；(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F ，交抛物线对称轴于点E ，提出了以下两个问题，请予解答：①如图2，B 为直线上方抛物线上一动点，过B 作垂直于x 轴，交x 轴于A ，交直线于C ，过点B 作垂直于直线，交直线于，求的最大值．②如图3，G 为直线上一动点，过G 点作x 轴的垂线交抛物线于点H ，点P 在坐标平面内．问：是否存在以E 、G 、H 、P 为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G 点的坐标；若不存在，请说明理由．6m 10m 0.5m 0.2m 6m 3.2m y x =OF OF BA OF BD OF OF D BD CD +OF参考答案：。
2023年九年级中考数学复习：二次函数综合压轴题(特殊四边形问题)(附答案)
2023年九年级中考数学复习：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）1．已知抛物线23y ax bx =++的图象与x 轴相交于点A 和点()10B ,，与y 轴交于点C ，连接AC ，有一动点D 在线段AC 上运动，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交x 轴于点F ，4AB =，设点D 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接,AE CE ，当ACE △的面积最大时，求出ACE △的最大面积和点D 的坐标； (3)当2m =-时，在平面内是否存在点Q ，使以B ，C ，E ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线=2321y x -与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2=38y x bx c ++经过A ，C 两点，与x 轴的另一个交点为点B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为第四象限的抛物线上一动点，连接BD ，与AC 相交于点E ，设点D 的横坐标为t ，EDK EB＝，求K 与t 的函数关系，及K 的最大值和此时点D 的坐标； (3)在（2）中K 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移4个单位，点F 为点D 的对应点，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．3．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y x x c c =--+>的图象与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ．抛物线的顶点为E ，若点B 的坐标是()1,0，点D 是该抛物线在第二象限图象上的一个动点．(1)求该抛物线的解析式和顶点E 的坐标；(2)设点D 的横坐标是a ，问当a 取何值时，四边形AOCD 的面积最大；(3)如图，若直线OD 的解析式是3y x =-，点P 和点Q 分别在抛物线上和直线OD 上，问：是否存在以点P Q O C ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q 的坐标4．如图， 拋物线2y x bx c =-++交y 轴于点(02)A ，，交x 轴于点(40)B ，、C 两点，点D 为线段OB 上的一个动点（不与O B 、重合)，过点D 作DM x ⊥轴，交AB 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AN 和BN ，当ABN 的面积最大时，求出点D 的坐标及ABN 的最大面积； (3)在平面内是否存在一点P ，使得以点A ，M ，N ，P 为顶点，以AM 为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()()3010A B -，，，两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接OD ，过点A 作AE OD ⊥于点E ，若=2OE AE ，求点D 的横坐标；(3)若点P 是抛物线对称轴上一动点且在x 轴的上方，点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，如果以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．6．在平面直角坐标系xoy 中，一次函数34y x m =-+的图像经过点()4,0B ，交y 轴于点A ，二次函数2y x bx c =++的图像经过点A ，且对称轴为直线=1x -．(1)请求出m，b，c的值；(2)点C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点P，使得以点P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，不必说明理由；若不存在，请说明理由；(3)将直线AB向下平移a个单位，使得直线AB与抛物线有且只有一个交点，求a的值；(4)点D在y轴上，且位于点A下方，点M在二次函数的图像上，点N在一次函数的图像上，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．7．如图1，已知抛物线2y x bx c=++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），且tan∠OAC=12．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AC下方对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQ//x轴交抛物线于点Q，过点P作PR∠x轴交AC于点R，若32PQ PR+=，求点P的坐标；(3)将抛物线2y x bx c=++向右平移一个单位，向下平移一个单位得到新抛物线，在新抛物线上有点M，在原抛物线对称轴上有点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．8．综合与探究：已知：二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点为()1,4D -，与x 轴交于B ，A 两点，与y 轴交于点()0,3C ，如图：(1)求二次函数的表达式；(2)在抛物线的对称轴上有一点E ，使得ACE △的周长最小，求出点E 的坐标； (3)若点N 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、N 、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()5,0A -，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若E 是线段AC 上方抛物线上一点，过点E 作EH x ⊥轴，交AC 于H ，F 是EH 的右侧，线段AC 上方抛物线上一点，过点F 作FQ x ⊥轴，交AC 于Q ，EH 与FQ 间的距离为2，连接EF ，当四边形EHQF 的面积最大时，求点E 的坐标以及四边形EHQF 面积的最大值；(3)将抛物线向右平移1个单位的距离得到新抛物线，点N 是平面内一点，点M 为新抛物线对称轴上一点．B ，C 也随之平移，若以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N 的坐标，并把求其中一个点N 坐标的过程写出来；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线2342y ax x =++与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧），与y 轴交于C 点，且2OB OC =，连接BC ．(1)求直线BC 的解析式；(2)若点M 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交线段BC 于点N ，当3MN =时，求M 点的横坐标． (3)连接AC ，以AC 、CB 为一组邻边作ABCD ，则点D 关于x 轴的对称点D '是否在该抛物线上？请说明理由．11．如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于A (-2，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，连AC 、BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM ∠x 轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（备用公式：点11()A x y ，与点22()B x y ，(1)求抛物线的表达式；(2)过点P 作PN ∠BC ，垂足为点N ．设M 点的坐标为M (m ，0)，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)试探究点M 在运动过程中，平面内是否存在点D ，使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是菱形．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于点A （4，0）和点B （−1，0），与y 轴交于点C ，连接AC ．点P 是第一象限内抛物线上的一点，其横坐标为m ．过点P 作PD ∠x 轴于点D ，交AC 于点E ，过点P 作PG ∠PD （点G 在点P 左侧），使12PG OA =，以PE 、PG 为邻边作矩形PEFG ．(1)求抛物线的解析式；(2)当点G 在抛物线上时，求矩形PEFG 的周长；(3)当直线AC 将矩形PEFG 的面积分为1：3两部分时，求m 的值．13．如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于(1,0)A -，()3,0B 两点，交y 轴于点()0,3C -，点P 是抛物线第四象限内的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点D 和点E ，当四边形PDOE 是正方形时，求P 的坐标；(3)连接AC 、BC ，过点P 作PQ AC ∥交线段BC 于点Q ，连接PA 、PB 、QA ，记PAQ 与PBQ 面积分别为1S ，2S ，设12=+S S S ，求S 的最大值．14．如图，抛物线2y ax x c =++经过(3,0)B ，52,2D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的解析式和点C 的坐标；(2)若点M 在直线BC 上方的抛物线上运动（与点B ，C 不重合），求使MBC 面积最大时M 点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．（请在图2中探索）15．如图，抛物线2y x bx c =++的图象与x 轴交于点A 点和B (3，0)，与y 轴交于点C (0，3)，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线在x轴下方上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；(3)在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点P和Q，使得以点M、N、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．抛物线22=+-与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），y ax bxB（4，0），与y轴交于点C．连接BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P 是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．17．如图∠，抛物线23y ax bx＝﹣与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交+于点C．(1)求抛物线23y ax bx =+-的解析式；(2)如图∠，连接BC ，点E 是第四象限内抛物线上的动点，过点E 作EF ∠BC 于点F ，EG y 轴交BC 于点G ，求△EFG 面积的最大值及此时点E 的坐标；(3)如图∠，若抛物线的顶点坐标为点D ，点P 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q ，使得以B ，D ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点B 的坐标为(1,0)，3OC OB =．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形AOCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A ，C ，E ，P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)223y x x =--+(2)当32m =-时，ACE S 的值最大为278，33,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)当Q 点为()3,0或()1,0-或()3,6-时，以B ，C ，E ，Q 为顶点的四边形为平行四边形2．(1)2382=123y x x -- (2)()2114483K t --+=，K 的最大值为13．此时412D -（，） (3)120（，）或()00， 或412-（，）3．(1)223y x x =--+，E ()1,4-； (2)32a =-时，四边形AOCD 的面积最大 (3)()3,9-或()2,6-或()1,3-或()1,3-4．(1)2722y x x =-++； (2)当2t =时，ABN 有最大值，最大值为8，此时D (2)0，； (3)P 853(0+，或(6)2，．5．(1)223y x x =-++ 561+ (3)点Q 的坐标为2143(,)-+或17)或(2,2)6．(1)3m =，2b =，3c =(2)存在，15)P ，2(0,5)P -，3(0,4)P ，450,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)12164a = (4)39,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或533,416⎛⎫- ⎪⎝⎭7．(1)2312y x x =+- (2)31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (3)55,416M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或525,416M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或11103,416M ⎛⎫- ⎪⎝⎭8．(1)223y x x =--+；(2)1,2；(3)()1,4-或()5,12--或()3,12-.9．(1)228255y x x =--+； (2)727210E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，215； (3)存在，答案见详解．10．(1)142y x =-+ (2)M 的横坐标为2或6(3)D '在抛物线上11．(1)211=++322y x x -(2)PN =2，当m =32时，PN 有最大值，最大值为16(3)平面内存在点D ，使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是菱形．点D 的坐标为(3，5)或2，-) 12．(1)239344y x x =-++ (2)778(3)=2m 或213．(1)223y x x =-- (2)113113P +--⎝⎭(3)S 有最大值为27814．(1)21322y x x =-++，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)315,28M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当32m =时，S 有最大值为2716 (3)满足条件的点P 坐标为154,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2214,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，332,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭15．(1)243y x x =-+(2)MN =最大94(3)存在点P 和Q ，使得以点M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形；点Q 的坐标为3772⎛-+ ⎝⎭，或3772⎛-- ⎝⎭，或6772⎛+ ⎝⎭，或6772⎛- ⎝⎭，16．(1)213222y x x =--； (2)存在，点P 的坐标为（32，0）或（50）或（4﹣50）或（﹣4，0）； (3)当m ＝2时，四边形CQMD 是平行四边形，理由见解析．17．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3；(2)E （32，154-）；△EFG 的最大面积8164； (3)满足条件的点P 有4个，坐标分别为（1，﹣51，﹣4﹣51，32-）或（1，4）18．(1)y＝34x2＋94x−3(2)13.5(3)存在P1（−3，−3），P2，3），P3,3）。
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2023年中考数学压轴题专项训练压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型）题型一：二次函数与平行四边形存在性问题例1．（2023•泽州县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C 两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数与矩形存在性问题例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．题型三: 二次函数与菱形存在性问题例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B （4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当√5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和√5PD+PE的最大值；（3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．题型四: 二次函数与正方形存在性问题例4．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）．（1）求c的值；（2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形ABCD．①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值；②当点C在抛物线上时，求m的值；③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围．一．解答题（共20小题）1．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．2．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式及点C的坐标．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥CD，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．3．（2023•武清区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由；（3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．4．（2023春•承德县月考）已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m（0＜m＜8），当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？5．（2023春•梅江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，其中OA＝1，OC＝3．（1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得P A+PC最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．（3）在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．6．（2022秋•云州区期末）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过x轴上的点A（6，0）和y轴上的点B，且对称轴为直线x=7 2．（1）求二次函数的解析式．（2）点E位于抛物线第四象限内的图象上，以OE，AE为边作平行四边形OEAF，当平行四边形OEAF 为菱形时，求点F的坐标与菱形OEAF的面积．（3）连接AB，在直线AB上是否存在一点P，使得△AOP与△AOB相似，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春•开福区校级月考）【定义】对于函数图象上的任意一点P（x，y），我们把x+y称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼值”．根据定义回答问题：（1）①点P（9，10）的“雅和”为；（直接写出答案）②一次函数y＝3x+2（﹣1≤x≤3）的“礼值”为；（直接写出答案）（2）二次函数y＝x2﹣bx+c（bc≠0）（3≤x≤5）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“雅和”相等，若此二次函数的“礼值”为1﹣b，求b，c的值；（3）如图所示，二次函数y＝x2﹣px+q的图象顶点在“雅和”为0的一次函数的图象上，四边形OABC 是矩形，点B的坐标为（5，﹣3），点O为坐标原点，点C在x轴上，当二次函数y＝x2﹣px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023春•无锡月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象分别与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点B作BC的垂线交对称轴于点M，以BM、BC为邻边作矩形BMNC．（1）求A、B的坐标；（2）当点N恰好落在函数图象上时，求二次函数的表达式；（3）作点N关于MC的对称点N'，则点N'能否落在函数图象的对称轴上，若能，请求出二次函数的表达式；若不能，请说明理由．9．（2022秋•开福区校级期末）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝1，则BC＝；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC，为直径，AP＝2，PC＝8，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣2，0），C（1，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为6√3，若二次函数y＝ax2+bx+c （a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．10．（2022秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣2，3）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若O（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣2，2），B（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有3个公共点时，直接写出n的取值范围．11．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=3 4．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−b a，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”．12．（2023春•南关区月考）已知抛物线y=−12x2+bx+c（b、c是常数）的顶点B坐标为（﹣1，2），抛物线的对称轴为直线l，点A为抛物线与x轴的右交点，作直线AB．点P是抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．（1）b＝，c＝．（2）当点Q在线段AB上（点Q不与A、B重合）时，求PQ的长度d与m的函数关系式，并直接写出d的最大值．（3）当抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标．13．（2023春•南关区校级月考）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点A （﹣1，0）和点B （3，0）．点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为m ． （1）求b 、c 的值；（2）当△P AB 的面积为8时，求m 的值；（3）当点P 在点A 的右侧时，抛物线在点P 与点A 之间的部分（包含端点）记为图象G ，设G 的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，求h 与m 之间的函数关系式；（4）点Q 的横坐标为1﹣3m ，纵坐标为m +1，以PQ 为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．14．（2023•九台区校级一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2ax ﹣a （a 为常数）． （1）若点（2，﹣1）在抛物线上． ①求抛物线的表达式；②当x 为何值时y 随x 的增大而减小？（2）若x ≤2a ，当抛物线的最低点到x 轴的距离恰好是1时，求a 的值；（3）已知A （﹣1，1）、B(−1，2a −12)，连结AB ．当抛物线与线段AB 有交点时，该交点为P （点P 不与A 、B 重合），将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，以PM 、P A 为邻边构造矩形PMQA ．当抛物线在矩形PMQA 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为32时，直接写出a 的值．15．（2023•靖江市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+32，以PQ、QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时．直接写出m的取值范围．16．（2022秋•临朐县期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C 在x轴的负半轴，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝2，且过点O，A．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）若在线段OA上方的抛物线上有一点P，求△P AO面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）若把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．17．（2023•道外区一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A （﹣4，0），点C（0，6），与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第一象限抛物线上一点，连接AD，BD，设点D的横坐标为t，△ABD的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，连接P A交y轴于点E，点F在线段BC上，点G在直线AD上，若tan∠BAD=12，四边形BEFG为菱形，求点P的坐标．18．（2023春•九龙坡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴于点C，连接BC，D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点G，求PE+PG的最大值，以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y=12x2+bx+c沿射线CB方向平移，平移后的图象经过点H（2，﹣1），点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．19．（2023•安徽一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y =−14x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0），点D 的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）若点F 为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD 面积的最大值；（3）如图2，将抛物线C 1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C 2，M 为抛物线C 2上一动点，N 为平面内一动点，问是否存在这样的点M 、N ，使得四边形DMCN 为菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023•九台区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点（﹣2，﹣1），点（1，2）．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （m ≠0）．以点A 为中心，构造正方形POMN ，PQ ＝2|m |，且PQ ⊥x 轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴右侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接BC ．当BC ＝6时，求点B 的坐标；（3）若m ＜0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m 的值．。