高中数学选择性必修三 7 4二项分布与超几何分布
高中数学7-4二项分布与超几何分布7-4-2超几何分布新人教A版选择性必修第三册
故 Y 的分布列如下
Y
0
1
2
3
P
343 512
147 512
21 512
1 512
题型三
超几何分布的综合应用
典例 3 目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境．垃圾分类把 不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失．某
5,6,7,8. P(X＝5)＝CC14C47 33＝345，
P(X＝6)＝CC24C47 23＝1385， P(X＝7)＝CC34C47 13＝1325， P(X＝8)＝CC4447＝315.
故所求分布列为
X
5
6
7
1 35
(2)根据随机变量的分布列可以得到大于 6 分的概率为 P(X>6)＝P(X
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
3 10
3 5
1 10
E(X)＝0×130＋1×35＋2×110＝45.
[规律方法] 超几何分布的应用 (1)超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女 生选举问题等． (2)这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相 对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的“合格”与“不合格”，球 的“红色”与“非红色”，学生的“男生”与“女生”等． (3)在实际问题中需通过关注的实际对象来确定M的值． (4)注意超几何分布问题涉及三个参数的特征和顺序．如产品问题 中，H(n，M，N)的意义是“超几何分布(取出产品数，所有产品中不合 格品数，所有产品数)”．
的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望．
7.4二项分布与超几何分布- 人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册讲义
1.伯努利实验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验2.n 重伯努利实验我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利实验，显然，n 重伯努利实验具有如下共同特征： ①同一个伯努利试验重复做n 次 ②各次试验的结果相互独立3. 二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p （0＜P ＜1），用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为，()()1n kk kn P X k C p p -==-0,1,2,,k n =如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作(),X B n p注意：二项分布的均值与方差(1)二项分布的均值:在n 次独立重复试验中,若X~B(n,p)，则E(X )=np.(2)二项分布的方差:若离散型随机变量X 从二项分布，即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).1.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为()k n kM N MnNC CP X kC --==，k=m,m+1,m+2,…，r其中n，N，M*N∈,M N≤,n N≤,{}max0,m n N M=-+,{}min,r n M=,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布2.超几何分布的均值设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=MN, 则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率,则E(Xn)=p,即E(X)=np.例题1.某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过，已知队员甲投篮1次投中的概率为23，如果甲各次投篮投中与否注意：超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体容量但需要知道“成功率”;超几何分布中的概率计算实质是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质是相互独立事件的概率问题.互不影响，那么甲3个轮次通过的次数 X 期望是（ ）A. 3B. 83C. 2D. 53【答案】 B【解析】在一轮投篮中，甲通过的概率为 P =13×23+23=89 ，通不过的概率为 p̅=19 ， 由题意可知，甲3个轮次通过的次数 X 的取值分别为 0,1,2,3 ， 则 P(X =0)=(19)3=1729 ；P(X =1)=C 31×89×(19)2=24729 ； P(X =2)=C 32×(89)2×19=193729； P(X =3)=(23)3=827(89)3=512729，数学期望 E(X)=0×1729+1×24729+2×192729+3×512729=83，或由二项分布的期望公式可得 E(X)=3×89=83， 故答案为：B ．例题2.已知随机变量与满足分布列 ξ~B(3,p) ，当 p ∈(12,23) 且不断增大时，（ ） A. P(ξ=2) 的值增大，且 D(ξ) 减小 B. P(ξ=2) 的值增大，且 D(ξ) 增大 C. P(ξ=2) 的值减小，且 D(ξ) 增大 D. P(ξ=2) 的值减小，且 D(ξ) 减小【答案】 A【解析】依题意得 P(ξ=2)=C 32p 2(1−p) =−3p 3+3p 2 ， 令 f(p)=−3p 3+3p 2 ，则 f ′(p)=−9p 2+6p =−9(p −13)2+1 ，当 p ∈(12,23) 时， f ′(p) 为递减函数，所以 f ′(p)>f ′(23)=−9(23−13)2+1=0 ，所以 f(p) 在 (12,23) 上为单调递增函数，即当 p ∈(12,23) 且不断增大时， P(ξ=2) 的值增大.D(ξ)=3p(1−p)=−3(p −12)2+34 在 (12,23) 上为单调递减函数，即当 p ∈(12,23) 且不断增大时， D(ξ) 减小.故答案为：A.例题3.已知袋中装有除颜色外完全相同的5个球，其中红球2个，白球3个，现从中任取1球，记下颜色后放回，连续摸取3次，设 ξ 为取得红球的次数，则 P(ξ=2)= （ ） A. 425 B.36125C. 925D.54125【答案】 B【解析】由题意知， ξ~B(3,15) ，由二项分布的概率计算公式得 P(ξ=2)=C 32⋅(25)2⋅35=36125 ，故答案为：B 。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品习题课件 第七章 二项分布与超几何分布 二项分布
0
3
4
17
81
40
81
24
81
B级 关键能力提升练
9.有位同学参加某项选拔测试,每位同学通过测试的概率都是(0 < < 1),假设每位
同学能否通过测试是相互独立的,则至少有1位同学通过测试的概率可表示为() D
A.(1 − ) B.1 − C. D.1 − (1 − )
[解析]由题意，得 ⋅ ( − ) ≤ ( − ) ,
∴ ( − ) ≤ .
∵ < < ,∴ . ≤ < .
11.（多选题）若随机变量 ∼
A.1
1
(5, ),则(
3
B.2
C.3
[解析]依题意，得( = ) =
×
A.服从二项分布B.( = 1) =
8
3
8
81
C.的均值() = D.的方差() =
8
3
[解析]由二且每个数位上的数字互不影响,故的所有可能取值为0，1，2，3，4，则
,
( )( ) = ,
( −
则( ) = ( )，( ) > ( ).故选.
)
=
.
=
，
4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮
水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海
2
3
某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为 ,则该地在该季节连续三天内,至少有两天
出现大潮的概率为() A
7.4.2 超几何分布 课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三
我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结
果相互独立，此时服从二项分布，即~（4，0.08）.
思考：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布？
如果不服从，那么的分布列是什么？
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，
−
C
C−
（＝）＝ C ，＝，
+ 1， + 2， … ，.
∗
其中，， ∈ ， ≤ ， ≤ ，＝{0， − + }，＝{，}.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布.
超几何分布的均值
（）＝.
RJ·A
例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少
有1件不合格的概率.
解：设抽取的10个零件中不合格品数为，则服从超几何分布，且＝30，＝3，
＝10. 的分布列为
10−
C3 C27
（＝）＝
，＝0，1，2，3.
10
C30
至少有1件不合格的概率为
（ ≥ 1）＝（＝1） + （＝2） + （＝3）
C13 C927 C23 C827 C33 C727
＝ C10 + C10 + C10
30
30
30
≈ 0.719 2.
也可以按如下方法求解：
10
C30 C27
（ ≥ 1）＝1 − （＝0）＝1 − 10 ≈ 0.719 2.
C30
14
0.004 85
0.002 17
人教版高二下数学选择性必修第三册-7.4 二项分布与超几何分布(第1课时)【课件】
思考题2 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后
第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率； (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
【思路分析】
【解析】 令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B 5，45 ，故其分布
∴P(X＝1)＝C51×12×1－124＝352.
(2)令1－p＝q，根据二项式定理，P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝ n)＝Cn0p0qn＋Cn1p1qn－1＋Cn2p2qn－2＋…＋Cnnpnq0＝(q＋p)n.
因为p＋q＝1，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n)＝1， 即分布列P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n满足性质 k∑＝n 0 Cnkpk(1－ p)n－k＝[(1－p)＋p]n＝1.
【解析】 (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验． (2)某人射击击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验． (3)每次抽取，试验的结果有三种，因此不是n重伯努利试验． 探究1 n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验相互独立，互不影响． (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生或不发生．
(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C41×
4 5
×
1－453×45≈0.02.
题型三 二项分布及其均值与方差
例3
(1)若离散型随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝
5 2
，D(X)＝
5 4
数学人教A版选择性必修第三册7.4.2超几何分布
C63 3
C31C62 5
C32C61 3
C33 1
P( X 0) 3 , P( X 1)
, P( X 2)
, P( X 3) 3 ,
3
3
C9 21
C9
28
C9
14
C9 84
故 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
5
21
15
28
3
3
C9 84
C9
14
考试题目——超几何分布
(2)若样本中[20,25)和[40,45]年龄段的所有居民都观看了会议讲话，社区计划
从样本里这两个年龄段的居民中抽取3人分享此次观看会议的感受，设X表示
年龄段在[20,25)的人数，求X的分布列及数学期望.
解：年龄在[20,25)的有60×0.01×5=3人，年龄在[40,45]的有60×0.02×5=6人，
析：采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次
抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X~B(4，0.08)，
∴X的分布列：P( X k ) C 0.08 0.92
k
4
k
4 k
, k 0,1,2,3,4
问题1.2：已知100件产品中有8件次品，分别采用无放回的方式随机抽取4件.
P78-例4.从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，
则X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5.
分组演练：超几何分布(认清X,N,M,n)
P78-例5.一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进
7.4.2超几何分布课件2024-2025学年人教A版选择性必修第三册
二、探究新知
1.问题. 已知100件产品中有8件次品,分别采用有放回 和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品 数为X,求:随机变量X的散布列.
如果采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率为0.08 且各次抽样的结果相互独立,此时X~B(4,0.08).
如果采用不有放回抽样,那么抽到4件产品中次品数X是
PM2.5日均值(微 克/立方米)
[25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85]
频数
3
1
1
1
1
3
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,求恰有一天
空气质量到达一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超 标的天数,求ξ 的散布列．
,k
m, m 1, m 2,, r.
其中n,
N,
M
N,M
CNn
N,n N,m
max0, n
N
M, r
min
n, M.
得,
E(
X
)
k
r m
k
C C k nk M NM CNn
M
r k m
C C k 1 nk M 1 N M CNn
(kCMk MCMk11)
(易知,(1 x)N1 (1 x)M1 (1 x)NM , 等号两侧展开式的xn1的系数相等)
两种摸球方式下,随机变量X服从二项散布和超几何散布.
这两种散布的均值相等都等于8.
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
0
但从两种分步的概率分步图看,超几何散布更 集中在均值附近.
7.4 二项分布与超几何分布(原卷版) 人教版高中数学精讲精练选择性必修三
7.4二项分布与超几何分布考法一二项分布【例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为0.7,0.2,0.1，乙击中8环､9环､10环的概率分别为0.6,0.2,0.2，且甲､乙两人射击相互独立.(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X的分布列与数学期望.【一隅三反】1．（2024·内蒙古赤峰）已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有A，B，C三位毕业生应聘该单位，假设A，B，C三位毕业生笔试合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23.(1)求A，B两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；(2)记随机变量X为A，B，C三位毕业生中通过招聘的人数，求X的分布列与数学期望.2．（2024上·内蒙古鄂尔多斯）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；(1)求a的值以及这批产品的优质率；(2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件数为X，求X的分布列与数学期望.考法二超几何分布【例2】（2023上·内蒙古呼伦贝尔）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有m个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为2 15 .(1)求m的值；(2)现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望.2．（2023上·江苏南通·高三海门中学校考阶段练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X 个红球，则分得X 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.3．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按[)[)[)[)[)[)[)[]60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在[)70,75和[)85,90内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在[)70,75内的学员人数为X ，求X 的分布列与数学期望．考法三二项分布与超几何分布的辨析【例3-1】（2023湖南）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X【例3-2】（2023上海）下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（）①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数ξ；②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数ξ；④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数A．0B．1C．2D．3【例3-3】（2024·天津）已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望.【一隅三反】1．（2024北京）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（）A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X2．（2023安徽）(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（）A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标3（2023上·陕西西安）某中学进行校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机抽取4道来回答．竞分．赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得5(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.5，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲的总得分为X，求X 的期望和方差；(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列．4（2023云南）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．考法四二项分布与超几何分布随机变量概率最值【例4-1】（2024上·北京丰台）2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．(1)当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；(2)从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【例4-2】（2024上·河南漯河）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯+∞月用电范围（度）[0,210](210,400](400,)某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124214215220225420430(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户=时对应的概率为k P，求k P取得最大值时k的值.数为Y，当Y k【一隅三反】1．（2024·全国·模拟预测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．(1)当25α=时，若发送0，则要得到正确信号，试比较单次传输和三次传输方案的概率大小；(2)若采用三次传输方案发送1，记收到的信号中出现2次信号1的概率为()f β，出现3次信号1的概率为()g β，求()()f g ββ-的最大值．2．（2024上·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）某种植户对一块地的()*,2n n N n ∈>个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.(1)从n 个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？(2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？(3)当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？3．（2024上·北京昌平）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所90,100,100,110,110,120,120,130,130,140，并整理得到如下购汽车性能的评分，将数据分成5组：[)[)[)[)[]频率分布直方图：(1)求m的值；(2)该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为E X；X元，求X的分布列和数学期望()(3)用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为Y，问()=的值最大？（结论不要求证明)P Y kk k=⋯为何值时，()0,1,2,,10考法五二项分布与超几何分布与其他知识的综合【例5】（2024上·山东日照·高二统考期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分．(1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率；(2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了0.1，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛．【一隅三反】1．（2023下·江西赣州·高二校联考阶段练习）（多选）在等差数列{}n a 中，238,4a a =-=-．现从数列{}n a 的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为X ．则下列结论正确的是（）A ．X 服从二项分布B ．X 服从超几何分布C ．()123P X ==D ．()95E X =2．（2024·江苏）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为15，第二天选择餐厅乙就餐的概率为45；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为25，第二天选择餐厅甲就餐的概率为35．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是12，选择餐厅乙就餐的概率是12，记某同学第n 天选择餐厅甲就餐的概率为n P ．(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望()E X ；(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出{}n P 的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．3．（2024·山西吕梁）吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可．(1)若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了16，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？4．（2024·黑龙江哈尔滨）这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期望；n+个的概率为n a，求{}n a的前n项和n S；(2)记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n个的概率为n b，当n b取最大值时，求n的值．一．单选题1．（2024下·山东东营）随机变量X 服从二项分布：()10,0.5X B ，则它的期望()E X =（）A ．0.5B ．2.5C ．5D ．102．（2023上·广东深圳·高二校考期末）若100件产品中包含10件次品，有放回地随机抽取6件，下列说法正确的是（）A ．其中的次品数X 服从超几何分布B ．其中的正品数Y 服从二项分布C ．其中的次品数X 的期望是1D ．其中的正品数Y 的期望是53．（2024上·广西桂林·高二统考期末）已知在10件产品中有2件次品，现从这10件产品中任取3件，用X 表示取得次品的件数，则()1P X ==（）A ．12310C C B ．1228310C C C C ．2138310C C CD ．1123310C C C 4．（2023下·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X 的数学期望为（）．A ．2B ．4C ．32D ．925．（2024上·广东深圳）一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（）A ．715B ．815C ．15D ．126．（2021上·高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码；②X 表示取出的最小号码；③X 表示取出的白球个数；④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分减去4的差.这四种变量中服从超几何分布的是（）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③④7．（2023下·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为35，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X ，则以下选项正确的是（）A ．X 的可能取值为1，2，3，4，5B ．322532(2)C 55P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3X =的概率最大D ．X 服从超几何分布8．（2024上·河南·高二校联考期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为1X ，期望和方差分别为()()11,E X D X ；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为2X ，期望和方差分别为()()22,E X D X .则下列判断正确的是（）A ．()()12E X E X <B ．()()12E X E X >C ．()()12D X D X >D ．()()12D X D X <二．多选题9．（2024上·江西上饶·高二统考期末）若随机变量1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有（）A ．()2426122C 33P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．期望()43E X =C ．期望()213E X -=D ．方差()214D X -=10．（2023上·高二课时练习）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则下列结论正确的是（）A ．3(2)7P X ==B ．随机变量X 服从二项分布C ．随机变量X 服从超几何分布D ．8()5E X =11．（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知()()()73,(01),4328X B p p P X P X ~<<=+==，且21Y X =+，则（）A ．14p =B ．()32E X =C ．()34D X =D ．()()12E Y D Y -=11．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为X ，则（）A ．X 服从二项分布B ．X 的值最小为1C ．()325P X ==D ．()2E X =127．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号n 次，每次发射信号“1”的概率均为p ．记发射信号“1”的次数为X ，记X 为奇数的概率为1f ，X 为偶数的概率为2f ，则下列说法中正确的有（）A ．当3n =，12p ≥时，()122P X ≥≤B ．12p =时，有12f f =C ．当10n =，45p =时，当且仅当8X =时概率最大D ．102p <<时，1f 随着n 的增大而增大三．填空题13．（2024上·江西南昌·高二江西师大附中校考期末）在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X ．若9()4E X =，则(2)P X ==．14．（2023·陕西西安·西安市长安区第二中学校联考模拟预测）若随机变量()π25,sin 06X B θθ⎛⎫~<< ⎪⎝⎭，且()6D X =，则()E X =.15．（2024上·辽宁·高二校联考期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为X ，则(3)P X ≥=.16．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为13，向右下落的概率为23，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，...，10，则小球落入号格子的概率最大.(图片仅供参考)四．解答题17．（2024下·北京海淀·高三101中学校考开学考试）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19]，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．13,17的概率；(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[)(2)从全校学生中随机选取3人，记ξ表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[)15,17的人数，求ξ的分布Eξ；列和数学期望()(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为a､平均数的估计值为b（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出,a b的大小关系．18．（2024·全国·模拟预测）为增强体质，锤炼意志，让学生享受运动乐趣，享受校园生活，某学校举办全员运动会．该校高三某班的同学报名参加游泳比赛、田径比赛、球类比赛这三类比赛（每人必须报名参加比赛且只能报一类），其中报名参加游泳比赛、田径比赛、球类比赛的人数占本班人数的比例依次为11,,22a a -（其中102a <<）．现从该班学生中任选3人，以频率估计概率．(1)若被选取的3人参加比赛的类别互不相同的概率为16，求a 的值；(2)记X 为选取的3人中报名参加田径比赛和报名参加球类比赛的总人数，求X 的分布列和数学期望．19．（2023·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立102周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了200名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．成绩区间[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100频数10314380279假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的20%，试估计获奖分数线；(2)该市决定从全市成绩不低于80分的学生中随机抽取4人参加省级党史知识竞赛，成绩在[]90,100的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．20．（2024上·江西赣州·高二统考期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X 的分布列和期望；(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？21（2024上·广东广州）某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A ､B ､C ，经引种试验后发现，引种树苗A 的自然成活率为0.8，引种树苗B ､C 的自然成活率均为()0.70.9p p ≤≤.(1)任取树苗A ､B ､C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及()E X ；(2)将（1）中的()E X 取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率.该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B 种树苗多少棵？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布课后篇巩固提升基础达标练1.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为23,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( ) A.827B.6481C.49D.89解析当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P=C 322321-23×23=3×49×13×23=827,故选A .2.已知X~B (n ,p ),E (X )=8,D (X )=1.6,则n 与p 的值分别为( ) A.100和0.08 B.20和0.4 C.10和0.2D.10和0.8X~B (n ,p ),所以{np =8,np (1-p )=1.6,解得n=10,p=0.8.3.已知随机变量X~B (100,0.2),则D (4X+3)的值为 ( )A.64B.256C.259D.320X~B (100,0.2),∴D (X )=100×0.2×0.8=16.D (4X+3)=16D (X )=16×16=256.4.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{a n },a n ={-1,第n 次摸取红球,1,第n 次摸取白球,如果S n 为数列{a n }的前n 项和,那么S 7=3的概率为( )A.C 75×(13)2×(23)5B.C 72×(23)2×(13)5C.C 75×(13)5D.C 72×(23)2S 7=3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为23,摸取白球的概率为13,则S 7=3的概率为C 72×(23)2×(13)5,故选B .5.(2020河北高二月考)在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为( ) A.542B.435C.1942D.821,有两种情况:0个正品、4个次品或1个正品、3个次品,由超几何分布的概率可知,当0个正品、4个次品时,概率为C 44C 104=1210.当1个正品、3个次品时,概率为C 61C 43C 104=24210=435.所以正品数比次品数少的概率为1210+435=542.6.(2019江苏高二期末)10件产品中有2件次品,从中随机抽取3件,则恰有1件次品的概率是 .A 为“从中随机抽取3件,则恰有1件次品”,则P (A )=C 82·C 21C 103=715.7.在4次独立重复试验中,事件A 发生的概率相同,若事件A 至少发生1次的概率为6581,则在1次试验中事件A 发生的概率为 .,事件A 发生的概率为p ,由题意知,1-(1-p )4=6581, 所以(1-p )4=1681,故p=13.8.某市公租房的房源位于A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为 .,这是4次独立重复试验,设申请A 片区房源为A ,则P (A )=13,所以恰有2人申请A 片区的概率为C 42·(13)2·(23)2=827.9.网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去A 网购物,掷出点数小于5的人去B 网购物,且参加者必须从A 网和B 网选择一家购物. (1)求这4个人中恰有1人去A 网购物的概率;(2)用ξ,η分别表示这4个人中去A 网和B 网购物的人数,令X=ξη,求随机变量X 的分布列.,得这4个人中,每个人去A 网购物的概率为13,去B 网购物的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去A 网购物”为事件A i (i=0,1,2,3,4),则P (A i )=C 4i13i 234-i(i=0,1,2,3,4).(1)这4个人中恰有1人去A 网购物的概率为P (A 1)=C 41(13)1233=3281. (2)X 的所有可能取值为0,3,4, 则P (X=0)=P (A 0)+P (A 4)=C 40130×234+C 44134×23=1681+181=1781, P (X=3)=P (A 1)+P (A 3)=C 41131×233+C 43133×231=3281+881=4081, P (X=4)=P (A 2)=C 42132232=2481. 所以随机变量X 的分布列为能力提升练1.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为( ) A.0.33B.0.66C.0.5D.0.45n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为C 54·0.94(1-0.9)≈0.33,故选A .2.在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( ) A.[0.4,1] B.(0,0.4]C.(0,0.6]D.[0.6,1),C 41·p (1-p )3≤C 42p 2(1-p )2,∴4(1-p )≤6p.∵0<p ≤1,∴0.4≤p ≤1.3.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12,在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是( ) A.516B.25C.58D.132,在5次测量中恰好2次出现正误差的概率P=C 52·(12)2×(12)3=516.4.设随机变量X~B (2,p ),随机变量Y~B (3,p ),若P (X ≥1)=59,则P (Y ≥1)= .X~B (2,p ),∴P (X ≥1)=1-P (X=0)=1-C 20(1-p )2=59,解得p=13.又Y~B (3,p ),∴P (Y ≥1)=1-P (Y=0)=1-C 30(1-p )3=1927.5.(2020潍坊高三月考)有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X 表示取得次品的件数,则P (X ≤1)= .,P (X ≤1)=P (X=0)+P (X=1)=C 53C 83+C 52C 31C 83=1056+3056=57.6.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 . 解析由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P 必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为C 53123·122=C 53125=C 52125=516.7.(2020广西高三模拟)甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是45,乙能答对其中的8道题,规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选. (1)求甲恰有2个题目答对的概率; (2)求乙答对的题目数X 的分布列;(3)试比较甲、乙两人平均答对的题目数的大小,并说明理由.∵甲在备选的10道题中,答对其中每道题的概率都是45,∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率P=C 42(45)2(15)2=96625. (2)由题意知乙答对的题目数X 的可能取值为2,3,4,则P (X=2)=C 22C 82C 104=28210=215,P (X=3)=C 21C 83C 104=112210=815,P (X=4)=C 84C 104=70210=13,故X 的分布列为(3)乙平均答对的题目数E (X )=2×215+3×815+4×13=165.∵甲答对题目数Y~B 4,45, ∴甲平均答对的题目数E (Y )=4×45=165. ∵E (X )=E (Y ),∴甲平均答对的题目数等于乙平均答对的题目数.8.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率.(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?解(1)记“甲连续射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A 1,则事件A 1的对立事件A 1为“甲连续射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.故P (A 1)=C 44234=1681.所以P (A 1)=1-P (A 1)=1-1681=6581. 所以甲连续射击4次,至少有1次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A 2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B 2,则P (A 2)=C 42×232×1-232=827, P (B 2)=C 43×343×1-341=2764.由于甲、乙射击相互独立, 故P (A 2B 2)=P (A 2)P (B 2)=827×2764=18.所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后,被终止射击”为事件A 3,“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i=1,2,3,4,5), 则A 3=D 5D 4D 3(D 2D 1∪D 2D 1∪D 2D 1), 且P (D i )=14.由于各事件相互独立,故P (A 3)=P (D 5)P (D 4)·P (D 3)P (D 2D 1∪D 2D 1∪D 2D 1) =14×14×34×1-14×14=451 024. 所以乙恰好射击5次后,被终止射击的概率为451 024.素养培优练(2020福建高三模拟)一款小游戏的规则如下:每轮游戏要进行三次,每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球,若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分,若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分,若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分(即获得-10分).(1)设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X ,求X 的分布列;(2)玩过这款游戏的许多人发现,若干轮游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了,请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.每次游戏,出现“两个都是红球”的概率为P=C 22C 52=110.X 可能的取值为0,1,2,3, 则P (X=0)=C 30(1-110)3=7291 000,P (X=1)=C 31110·(1-110)2=2431 000, P (X=2)=C 32(110)2·(1-110)=271 000,P (X=3)=C 33(110)3=11 000,所以X 的分布列为(2)设每轮游戏得分为Y. 由(1)知,Y 的分布列为E (Y )=-10×7291 000+20×2701 000+200×11 000=-1.69. 这表明,获得分数Y 的均值为负.因此,多次游戏之后大多数人的分数减少了.。