调和级数 eulergamma ln
欧拉当年是怎么一步步“压榨”调和级数的？
欧拉当年是怎么一步步“压榨”调和级数的？1735年，巴塞尔级数和的成功破解，让欧拉逐步坐稳了18世纪数学盟主的地位。
我们先来回顾一下巴塞尔级数是什么？巴塞尔级数如果把这里的2改成1，那就是大名鼎鼎的调和级数。
戏谑地说，调和级数应该是巴塞尔级数的大哥，因为无论从诞生的历史，还是内容的深度上都远胜于二弟。
为啥这个级数有个如此清新的名字？调和级数“调和”什么呢？这个级数名字源于泛音及泛音列（泛音列与调和级数英文同为harmonic series）：一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的1/2、1/3、1/4……等等。
调和级数看到这个级数，就有种让人想去求和的冲动。
但是对一个数列来说，想求和，首先你要证明收敛性才行，巴塞尔级数的收敛性很好证明。
但是对于调和级数，敛散性却不是那么显而易见。
中世纪的欧洲大约在1360年，尼克尔·奥里斯姆就已经证明调和级数是发散的了，既然是发散，也就就不能求出来这个级数的和了。
他证明的方法，其实不算什么高深技巧，用到的是一种证明不等式的基本方法，放缩法。
我读高中的时候，数学课上还专门讲过，印象里最深的就是，老师说：放缩一定要适量，放缩法用得恰到好处，结论是不证自明的，要是放缩地太狠，不但得不到最后结论，甚至还会把你误入歧途。
好像现在高中数学里已经取消这个方法了，毕竟，相对于其他解题方法，放缩法的任意性要更高，也更难掌握一些。
下面我们来看一下，这位中世纪的数学家是如何来证明调和级数的发散性的。
奥里斯姆关于调和级数发散的证明(1) 式中[ ]内的项一次递增成2n个，为什么要这么操作？这样操作之后，(2)式中就可以把[]内的每一项都缩小到2-n，于是每个[]内的项相加都等于1/2,这样持续下去，就可以得到调和级数的和大于无穷多个1/2了，显而易见，调和级数是发散的。
哪里都有你——欧拉这是人们对于调和级数第一次探索的成果。
后来的研究过程中，人们越来越想用别的计算公式来逼近调和级数的和，因为调和级数和太过繁杂了。
从一道经典调和级数的证明想到的
2020 年第 19 卷第 21 期从一道经典调和级数的证明想到的□牛志伟赵临龙【内容摘要】通过调和级数发散性证明方法的研究，发现即可以从正向讨论其发散性；也可以从反向否定其收敛性。
这给人们研究问题，提供了重要的思考方法，对于认识数学内涵的本质所在有着重要意义，并且可以增强数学的思维能力和 提高数学的解题能力。
【关键词】调和级数；发散性；正向讨论；反向否定【基金项目】本文为陕西省“高层次人才特殊支持计划”项目（编号：2019TZJH 01)和安康学院硕士点培育学科专项课题（编号：2016 A Y XNZX 009)研究成果。
【作者单位】牛志伟，赵临龙；安康学院数学与统计学院一、 问题的提出例1证明级数I 丄=丨+士 + | +…+丄发散。
n = i n z 3 n人们常将这个级数称为调和级数（Harmonic series ),这是为 什么？“调和”实际上也就是“和谐”（harmonic )，它是由古希腊 毕达哥拉斯学派（不一定是毕达哥拉斯本人）最早发现、命名 并加以系统研究的一个数学概念。
如果一个数列各项取倒 数后成等差数列，那么原数列就称为调和数列，即和谐的一 列数⑴。
对于数列U n 丨，因为an 、am 与其调和平均数（harmonicmean)H = 2 的倒数，正是构成了一个等差数列:丄、l /an + l /am an1/an $1/a |"、丄，于是它们本身a …、H 、a |…就构成了一个调和2am数列，居中的那个数就称为左右两数的调和平均数。
对于调和级数:s i = i 丄=1 +|+| +……+丄+……i = i 1 2 3 n(1)大约在1360年，尼克尔•奥里斯姆（Nicole Oresme ;约1320〜1382年）已经证明调和级数发散，但知道的人不多。
17世纪时，皮耶特罗•曼戈里、约翰•伯努利和雅各布•伯 努利完成了全部证明工作[2]。
二、 证明方法研究本问题的证明方法较多，大多从以下途径解决问题。
调和级数
[编辑本段]形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数，它是p=1 的p级数。
调和级数是发散级数。
在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。
很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。
他的方法很简单：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调合级数也是发散的。
调和级数的推导[编辑本段]随后很长一段时间，人们无法使用公式去逼近调合级数，直到无穷级数理论逐步成熟。
1665年牛顿在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数：ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。
结果是：1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)他的证明是这样的：根据Newton的幂级数有：ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...于是：1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...代入x=1,2,...,n，就给出：1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - .........1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...相加，就得到：1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...... 后面那一串和都是收敛的，我们可以定义1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + rEuler近似地计算了r的值，约为0.577218。
欧拉常数的证明
调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：由于ln(1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）于是调和级数的前n项部分和满足Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/ n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+l n(1+1/n)-ln(n)=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)由于lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0因此Sn有下界而Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln( n+1)]=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)将ln(1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)> 0即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn单调递减。
由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。
在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。
调和级数的计算
调和级数的计算调和级数是数学中一类特殊的级数，它的计算方法和性质都有一定的特点。
在本文中，我们将探讨调和级数的计算方法以及一些相关的性质。
我们来看一下调和级数的定义。
调和级数是指形如1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n的级数，其中n是正整数。
调和级数的计算方法比较简单，只需要将各个分数相加即可。
例如，当n=1时，调和级数的和为1/1=1；当n=2时，调和级数的和为1/1 + 1/2 = 1.5；当n=3时，调和级数的和为1/1 + 1/2 + 1/3 = 1.8333...。
可以看出，随着n的增大，调和级数的和也越来越大。
调和级数的计算方法虽然简单，但是其性质却非常有趣。
首先，调和级数是发散的，也就是说，调和级数的和可以趋向于无穷大。
这是因为当n趋向于无穷大时，每一项的分母趋近于无穷大，所以每一项的值趋近于0，而无穷个0相加的和就是无穷大。
调和级数的发散速度比较慢。
我们可以发现，调和级数的和与自然对数的关系比较密切。
实际上，调和级数的和与自然对数的差值是一个常数，这个常数被称为欧拉常数，通常用e来表示。
欧拉常数的近似值约为0.5772156649。
这个结论被称为调和级数的收敛速度定理，它告诉我们调和级数发散的速度比较慢，比大多数其他发散级数要慢得多。
调和级数还有一个有趣的性质，就是它可以用来近似计算无穷级数的和。
例如，我们可以利用调和级数来计算自然对数的近似值。
根据调和级数的定义，我们可以得到如下的等式：1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = ln(n) + γ + ε，其中ln(n)表示自然对数，γ表示欧拉常数，ε表示一个无穷小量。
通过调和级数，我们可以用γ来近似表示自然对数的值。
这个方法在实际计算中非常有用，可以简化计算的复杂度。
除了上述的性质，调和级数还有许多其他的有趣特点和应用。
例如，在概率论和统计学中，调和级数可以用来计算排列组合的概率，求解一些复杂问题；在物理学中，调和级数可以用来分析波动现象和振动系统等。
几何级数和调和级数的计算
将原调和级数错位排列，并相减得到新的交错级数，从而简化计算。例如，对于 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n，将其错位排列为 1/2, 1/3, ..., 1/n, 1/(n+1)，然后与原级数相减得到新的交错级数，其前n项和可以用近似公式进行估算。
调和级数错位相减
05
CHAPTER
对于首项为a，公比为r的几何级数，其第n项an的公式为：an=a×rn−1an = a times r^{n-1}an=a×rn−1
几何级数的通项公式表明，任意一项都等于首项与公比的幂的乘积，其中幂指数是项数减1。
几何级数前n项的部分和Sn的公式为：Sn=a(1−rn)1−rSn = frac{a(1 - r^n)}{1 - r}Sn=1−ra(1−rn)
几何级数和调和级数的计算
汇报人：XX
2024-01-28
目录
几何级数概述调和级数概述几何级数与调和级数的比较几何级数与调和级数的计算技巧几何级数与调和级数在数学中的应用总结与展望
01
CHAPTER
几何级数概述
几何级数是一种数列，其中任意一项与它的前一项的比值是一个常数。这个常数被称为公比。
如果公比绝对值小于1，几何级数收敛；如果公比绝对值大于或等于1，几何级数发散。
几何级数与于形如a, ar, ar^2, ..., ar^(n-1)的等比数列，其前n项和为Sn = a(1-r^n)/(1-r)，特别地，当|r|<1时，无穷等比数列的和为S = a/(1-r)。
调和级数求和公式
对于形如1, 1/2, 1/3,..., 1/n的调和数列，其前n项和没有简单的封闭形式，但可以用近似公式Hn ≈ ln(n) + γ（其中γ为欧拉常数）来估计。
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调和级数是发散的。 证明方法： 比较审展资料: 级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。
欧拉-马歇罗尼常数
欧拉-马歇罗尼常数马歇罗尼常数是⼀个数学常数，定义为调和级数与⾃然对数的差值：欧拉-马歇罗尼常数它的近似值为，欧拉-马歇罗尼常数主要应⽤于数论。
⽬录 [隐藏]1 历史2 性质2.1 与伽玛函数的关系2.2 与ζ函数的关系2.3 积分2.4 级数展开式2.5 渐近展开式3 已知位数4 相关证明历史[编辑]该常数最先由瑞⼠数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1735年发表的⽂章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。
欧拉曾经使⽤C作为它的符号，并计算出了它的前6位⼩数。
1761年他⼜将该值计算到了16位⼩数。
1790年，意⼤利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni）引⼊了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到⼩数点后32位。
但后来的计算显⽰他在第20位的时候出现了错误。
⽬前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是⼀个有理数，那么它的分母位数将超过10242080(Havil,p. 97)性质[编辑]与伽玛函数的关系[编辑]。
与ζ函数的关系[编辑]。
积分[编辑][1]。
级数展开式[编辑]。
.。
的连分数展开式为：（OEIS中的数列A002852）.渐近展开式[编辑]。
已知位数[编辑]的已知位数⽇期位数计算者1734年5莱昂哈德·欧拉1736年15莱昂哈德·欧拉1790年19Lorenzo Mascheroni1809年24Johann G. von Soldner1812年40 F.B.G. Nicolai1861年41Oettinger1869年59William Shanks1871年110William Shanks1878年263约翰·柯西·亚当斯1962年1,271⾼德纳1962年3,566 D.W. Sweeney1977年20,700Richard P. Brent1980年30,100Richard P. Brent和埃德温·麦克⽶伦1993年172,000Jonathan Borwein1997年1,000,000Thomas Papanikolaou1998年12⽉7,286,255Xavier Gourdon1999年10⽉108,000,000Xavier Gourdon和Patrick Demichel2006年7⽉16⽇2,000,000,000Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo2006年12⽉8⽇116,580,041Alexander J. Yee2007年7⽉15⽇5,000,000,000Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo2008年1⽉1⽇1,001,262,777Richard B. Kreckel2008年1⽉3⽇131,151,000Nicholas D. Farrer2008年6⽉30⽇10,000,000,000Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo2009年1⽉18⽇14,922,244,771Alexander J. Yee和Raymond Chan2009年3⽉13⽇29,844,489,545Alexander J. Yee和Raymond Chan相关证明[编辑]1. ^的证明：⾸先根据放缩法（）容易知道，，以及。
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调和级数、欧拉常数和自然对数是数学中常见的概念，它们在许多数学领域中都有重要的应用。
本文将重点介绍这三个概念，并给出它们的定义、性质和应用。
一、调和级数
1. 定义：调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的无穷级数。
2. 性质：调和级数发散，即其部分和无上界。
3. 应用：调和级数在物理学、工程学和计算机科学中有广泛的应用，如振动系统、非线性动力学和数据压缩算法中都有调和级数的身影。
二、欧拉常数
1. 定义：欧拉常数，记作γ，是调和级数的极限值，即
γ=lim(n→∞)(1+1/2+1/3+...+1/n-lnn)。
2. 性质：欧拉常数是一个无理数，其数值约为0.xxx。
3. 应用：欧拉常数在数论、概率论和统计学中有重要应用，如在研究素数分布、随机游走和概率极限定理等方面发挥着重要作用。
三、自然对数
1. 定义：自然对数，常记作ln，是以自然常数e为底的对数函数，即ln(x)=∫(1/x)d x。
2. 性质：自然对数函数是严格单调递增的，其导数恰好是其自身，即(d/dx)lnx=1/x。
3. 应用：自然对数在微积分、概率论和金融工程中有广泛的应用，如
在微分方程的求解、概率密度函数的计算和利率模型的建立中都离不开自然对数函数。
结论
调和级数、欧拉常数和自然对数是数学中重要的概念，它们不仅在纯数学中有重要的地位，而且在物理学、工程学和金融学等应用科学中也发挥着重要作用。
对这三个概念的深入理解，将有助于我们更好地理解数学规律、解决实际问题，并推动科学技术的发展。
四、调和级数的性质和收敛性
4.1 调和级数的性质:
调和级数是一种特殊的级数，其部分和的增长速度极慢，因此呈现出一些特殊的性质。
我们来看它的性质：
a) 调和级数的部分和无上界，即无法通过有穷个调和级数的部分和来将其限定在一个有限的范围内。
这是因为调和级数的每一项都是正数且递增，所以将其部分和限制在某个值，就需要无穷多项的和无穷次加和的结果才能达到。
而这是不可能的，因此调和级数的部分和无上界。
b) 调和级数与自然对数的关系：调和级数与自然对数之间有着密切的通联。
事实上，当 n 趋向于无穷大时，调和级数与自然对数之间的关系可以用极限表示为：
lim (n→∞) (1+1/2+1/3+...+1/n - ln n) = γ
这表明欧拉常数γ 是调和级数的极限，这也是欧拉常数得名的原因。
c) 调和级数的发散性：调和级数的部分和并没有一个有限的极限，也就是说，无论取多大的 n，调和级数的部分和都会无限增加。
这表明调和级数是发散的。
4.2 调和级数的收敛性讨论:
尽管调和级数本身是发散的，但在某些情况下，调和级数的一部分可能会收敛。
调和级数的谐波分解便是调和级数在特定条件下的一个收敛分解，它将调和级数按照奇数项和偶数项分别组合，得到两个经过重新排列的级数，其中奇数项级数和偶数项级数均是收敛的。
因此在某些特定的情况下，调和级数的部分是可以收敛的。
五、欧拉常数的性质和相关定理
5.1 欧拉常数的性质:
欧拉常数γ 是一个重要的数学常数，在数学研究中具有广泛的应用。
由于欧拉常数的定义涉及了调和级数的极限，因此它与调和级数有着密切的关系。
下面我们来探讨一下欧拉常数的一些性质：
a) 无理数性质：欧拉常数γ 是一个无理数，这意味着它不能用任何有限小数位数的小数表示。
这一性质使得欧拉常数的精确值不可能被准确地用有限位数的小数表示，只能用近似值来描述。
b) 常见表达式：欧拉常数γ 有许多与自然对数 e 相关的表达式，例如：γ = lim (n→∞) (1+1/2+1/3+...+1/n - ln n)
γ = ∑(n=1 to ∞) (1/n - ln(1+1/n))
γ = ∫(0 to 1) (1 - 1/(1+x) e^(x) dx)
c) 欧拉常数与数论的关系：欧拉常数与数论中的许多重要问题有着密
切的通联，比如黎曼 zeta 函数、素数分布等问题都涉及欧拉常数及其相关扩展形式的研究。
5.2 相关定理和性质:
欧拉常数也出现在许多数学定理和性质中，这些定理和性质是与欧拉
常数的性质和行为紧密相关的。
比如：
a) 调和级数渐近行为定理：调和级数的收敛的速度随着 n 的增大而减小。
具体而言，调和级数的部分和与自然对数 ln(n) 之差随着 n 的增
大而趋于欧拉常数γ。
b) 费马点函数：费马点函数是一种与欧拉常数相关的特殊函数，其表
达式中包含了欧拉常数γ。
费马点函数在数论和分析中有着重要的应用，它与欧拉常数之间的通联体现了欧拉常数在这些领域的重要性。
6. 自然对数函数的性质和应用
6.1 自然对数函数的性质:
自然对数函数 ln(x) 是微积分中常见的函数，它是以自然常数 e 为底的对数函数。
下面我们来探讨一下自然对数函数的一些性质：
a) 单调性：自然对数函数是严格单调递增的，即对于 x1 > x2，有
ln(x1) > ln(x2)。
这一性质使得自然对数函数在数学建模和问题求解中有着重要的应用，尤其是在微积分中的极值问题和微分方程的求解中。
b) 导数性质：自然对数函数的导数恰好是其自身的倒数，即 (d/dx)
ln(x) = 1/x。
这一性质使得自然对数函数在微分方程的求解和微积分
中的应用中具有重要地位。
c) 泰勒展开：自然对数函数的泰勒展开式为 ln(1+x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ...。
这一展开式在数值计算和近似计算中有着重
要的应用，特别是在数学建模和工程领域。
6.2 自然对数函数的应用:
自然对数函数在许多领域中都有着广泛的应用，下面我们简要介绍一
些常见的应用：
a) 概率密度函数计算：自然对数函数在概率论和统计学中有着重要的
应用，特别是在概率密度函数的计算中，它常常与指数函数相结合，
用来描述随机变量的概率分布。
b) 利率模型的建立：在金融工程中，自然对数函数与指数函数一起常常被用来建立利率模型和金融衍生品的定价模型，它们在金融工程与量化投资中有着重要的地位。
c) 微分方程的求解：自然对数函数在微分方程的求解中有着重要的应用，特别是在描述动力系统和物理系统的微分方程中，自然对数函数能够帮助科学家和工程师解决实际问题。
总结：
调和级数、欧拉常数和自然对数函数是数学中重要的概念，它们在数学理论和科学应用中都具有重要的地位。
以调和级数为起点，经过欧拉常数的引入和自然对数函数的应用，使我们更好地理解了这三个概念之间的密切关系，并认识到它们在数学和应用科学中的广泛应用。
我们相信，对这些概念的深入理解，将有助于我们更好地理解数学规律、解决实际问题，并推动科学技术的发展。