交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数 (1)
交错级数审敛法
交错级数审敛法
提及交错级数，我们可以想起微积分中积分方法之一“交错级数定理”，它是“浓厚”理论，从证明角度来看，既复杂又有趣，例如，将求和类型积分表示中的常数变量和一个
无穷级数统一求出所求。
交错级数审档法是一种求解无穷级数的方法。
该方法的工作原理是：
首先，将化简的级数化为符号形式，使级数可以分解成不同的项；
其次，将每一项与相应的系数相乘；
然后，将所有的结果相加；
最后，用完整的数学证明来证明已结果是正确的。
也就是说，交错级数审档法是一种整理无穷级数并计算其值的方法，该方法用于将一
个无穷级数拆分为若干项进行处理，让计算更加容易和准确。
举例来说，假设我们想求解（1+1/2+1/4+1/8+...）的值。
首先，我们可以将级数表
达式拆分为（1 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...），并将每一项乘以其系数，即（1 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1/2 + 1 * 1/4 + 1 * 1/8 + ...），最后将所有项相加即可得到最后的结
果为2。
此外，交错级数审档法还可以用于证明数学定理等。
例如，我们想证明ϕ=(1+√5)/2为黄金比例，则可以将这个8次方程式拆分成8个项，并将每项乘以对应的系数
（1+1/2+1/4+1/8+...），然后将所有项相加即可得出1+√5=ϕ^2，从而证明ϕ就是黄金比例。
综上所述，交错级数审敛法是一种简单易用的、方便而有效的数学算法，它可以用来
计算无穷级数的值，也可以用于数学证明。
交错级数的概念与性质
交错级数的概念与性质交错级数是指由一系列交替正负的项组成的无限级数。
正负交替的规律使得其求和结果相对不稳定，因此需要特殊的方法来讨论其性质。
本文将介绍交错级数的概念、收敛性和一些有趣的性质。
一、概念设 ${a_n}$ 是一个单调递减到零的正项数列，则$${\sum_{n=1}^{\infty}}(-1)^{n+1}a_{n}$$称为交错级数。
例如，${1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{5},-\dfrac{1}{6},\cdots }$ 是一个以$\dfrac{1}{n}$ 为项的交错级数。
二、收敛性交错级数的递减性决定了其求和的有限性。
事实上，若交错级数的通项 $a_n$ 递减到零，则其必收敛。
具体而言，根据莱布尼茨判别法，对于单调递减到零的正项数列 ${a_n}$，其对应的交错级数收敛，并有估计式：$${\left|{\sum_{n=1}^{N}}(-1)^{n+1}a_{n}-{\sum_{n=1}^{\infty}}(-1)^{n+1}a_{n}\right|}\leqslant a_{N+1}$$实际上，交错级数的收敛性更一般。
此处给出两个例子：（1）$\ln 2$ 的交错级数 $${\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$$ 显然是递减的正交错级数，但其和为 $\ln 2$，即其收敛。
（2）勒让德定理告诉我们，$\pi$ 可以由如下交错级数计算：$$\dfrac{\pi}{4}={\sum_{n=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}$$ 然而，该级数并不单调递减，其部分和逼近$\dfrac{\pi}{4}$ 的速度也相当缓慢，如下例所示：$$\begin{aligned} {\sum_{n=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}&=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots\\ &=1-\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right)+\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}\right)+\cdots \\ &\geqslant 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} \\ &=\dfrac{5}{12} \\\end{aligned}$$因此，交错级数虽然具有有限项和无限项和的两种情况，但一定是条件收敛的。
交错级数审敛法综述
级数的审敛法。从研 究成果 看, 对 于正项 级数的 研究比 较
充分, 而针对交错级数 的研究 却显 不足。为 了呈现 国内 对
于交错级数审敛法的 最新成 果的整 体概貌, 同时 为进一 步
研究交错级数的审敛 法提供 些许素 材, 对 交错级 数的审 敛
法加以综述。
关键词: 交错级数; 审敛法; 综述
中图分类号: O 173
文献标识码: A
文章编号: 1004 8626( 2011) 02 0070 04
R eview on the Convergence- D ivergence
Tests of A lternate Series
ZHANG Y ong m ing
( Beijing In stitu te of G raph ic Commun ication, Be ijing 102600, C h ina)
div ergence two term s, th is leads to study w ide ly and deeply on the convergence d ive rgence test o f ser ies of infin ite constan t term s, and a lo t of tests are presented. T he results for the se ries o f the pos itive term s are abundant re la tive ly, but the re su lts for the a lternate series are inadequate. T o show the latest ach ievem ents dom estic overall profile of the convergence diver gence tests o f the alterna te ser ies, as w ell as to provides som e m ater ia ls for further study ing on the conve rgence d iverg ence tests o f the alte rnate se ries, the rev iew on the convergence d i vergence tests of a lterna te ser ies is presented. K ey word s: a lternate series; conve rgence d iverg ence test; re
交错级数知识点总结
交错级数知识点总结1. 交错级数的定义首先，我们来看交错级数的定义。
交错级数是指一个级数的各项（正项和负项的交替相加）相互交替出现的级数。
一般来说，交错级数可以表示为\[ a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n \]其中，\( a_n \)是级数的第n个项，\( (-1)^{n-1} \)为交错项的符号。
2. 交错级数的性质接下来我们来讨论交错级数的性质。
交错级数有一些特殊的性质，其中最重要的性质就是其部分和序列的单调性。
对于交错级数\[ S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n \]其部分和序列\( \{ S_n \} \)具有单调性，即对于所有的正整数n，有\[ S_1 \geq S_3 \geq S_5 \geq \cdots \geq S_2 \geq S_4 \geq S_6 \geq \cdots \]这个性质是研究交错级数收敛性的重要前提。
此外，交错级数还具有便于估计收敛和误差的特点。
在实际计算中，通过对交错级数的部分和序列进行估计，往往可以得到该级数的收敛性和误差范围，因此交错级数在数学和工程领域有着广泛的应用价值。
3. 交错级数的收敛性交错级数的收敛性是研究交错级数最为关键的问题之一。
对于交错级数\[ S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n \]其收敛性由莱布尼茨判别法给出。
莱布尼茨判别法指出，如果交错级数的正项\( a_n \)严格单调递减趋于零（即\( a_{n+1} \leq a_n \)且 \( \lim_{n \to \infty}a_n = 0 \)），那么交错级数收敛。
此外，交错级数的收敛性还可以通过比较判别法、绝对收敛和条件收敛等方法进行判断。
交错系列求和
交错系列求和在数学中，交错系列求和是指求解由正负交错的项组成的数列求和的问题。
交错系列求和通常用于分析交替出现的现象或计算含有正负交错项的数值问题。
本文将简要介绍交错系列求和的概念及其应用，并提供一些常见的求和公式和计算方法。
一、交错系列求和的概念交错系列求和是指将由正负交错的项组成的数列的各个项进行累加得到的求和结果。
在交错系列求和中，正负交错的项可能以不同的方式交替出现，其中正数项和负数项的大小和间隔可能不同。
二、交错系列求和的应用交错系列求和在实际问题中有许多应用，以下是其中的几个常见例子：1. 交错级数交错级数是由正负交错项组成的级数，其中每一项的绝对值逐渐递减。
交错级数常用于分析周期性变化问题或计算交替排列的数值。
例如，在交替电流中，正负交替的电流值可以用交错级数进行求和。
2. 泰勒级数泰勒级数是一种特殊的交错级数，用于表示一个函数在某一点附近的展开式。
泰勒级数可以通过交错系列求和来近似计算函数值，特别适用于复杂函数的估计计算。
3. 数值计算交错系列求和在数值计算中也有重要应用。
例如，在数值积分中，可以使用交错系列求和来近似计算无法直接求解的积分值。
此外，交错系列求和还可以用于数值解法中的误差分析和收敛性判断。
三、常见交错系列求和公式在交错系列求和中，有一些常见的公式可以帮助我们计算求和结果。
以下是其中的几个例子：1. 裴蜀定理裴蜀定理是指对于任意整数a和b，存在整数x和y，使得ax + by= gcd(a, b)，其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。
裴蜀定理提供了一种求解线性交错型求和问题的方法。
2. 开尔斯特拉公式开尔斯特拉公式是计算自然对数的一个交错系列求和公式，表示为ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...。
开尔斯特拉公式可以通过交错系列求和的方法来逼近计算自然对数的数值。
3. 莱布尼茨公式莱布尼茨公式是计算圆周率π的一个交错系列求和公式，表示为π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...。
11.3 交错级数和任意项级数
(2)
n1
(1)n
n2 en
lim un1 n un
lim (n 1)2
e n n1
en n2
lim
n
1
e
n
n
1
2
1 e
1
n1
(1)n
n2 en
收敛, 因此
n1
(1)n
n2 en
绝对收敛.
高等数学
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收敛
令
vn
1 2
(
un
un
)
( n 1, 2 , )
显然 vn ≥ 0 ,且 vn ≤ un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
而 un 2vn un
n1
un , 2vn 收敛
n1
n1
un 收敛
n1
高等数学
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例2 证明下列级数绝对收敛 :
高等数学
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例1 讨论级数
的收敛性.
解
显然
所以
时单调递减，则
由莱布尼兹定理，
收敛.
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用Leibnitz 定理判定下列级数的敛散性:
(1) 1 1 1 1 (1)n1 1
收敛
234
n 1 n! 1
(2) 1 1 1 1
内容小结
任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
绝对收敛
Leibniz判别法:
un ≥ un1 0
交错级数
( −1) n −1un 收敛． 收敛． 所以交错级数 ∑
n =1
首页
∞
×
因为有 所以
S 2 m ≤ u1 ,
S = lim S n = lim S 2 m ≤ u1 .
n→ ∞ m →∞
即交错级数的和不大于第一项的绝对值 u1 ． 由于
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
un 的余项
| Rn |= un+1 − un + 2 + un + 3 − un+ 4 + L
对一切
首页
×
u2v1 u2v2 u2v3 L u2vn L u3v1 u3v2 u3v3 L u3vn L L L L L L L L L L L L L
首页
unv1 unv2 unv3 L unvn L
×
可以按各种方法排成不同的级数， 这些乘积 ui vj 可以按各种方法排成不同的级数，常用 的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相加， 的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相加，于是有
n
σk = v1 + v2 +L+ vk (k = 1,2,L, n)
2 1 2 3 2 n−1
则有如下分部求和公式成立
∑ε v = (ε −ε )σ +(ε −ε )σ +L+(ε
i=1 i i 1
−εn )σn−1 +εnσn
, 证 以 v1 =σ1,vk =σk −σk−1 (k = 2,3,L n) 分别乘以
首页
×
定理12.15 阿贝尔判别法) 定理12.15 (阿贝尔判别法) 若 { an } 为单调有界 数列，且级数∑b 收敛，则级数∑ 收敛． 数列，且级数 n 收敛，则级数 anbn 收敛． 定理12.16 狄利克雷判别法) 定理12.16 (狄利克雷判别法) 若数列 { an } 单调 递减趋于零，又级数 的部分和数列有界， 递减趋于零，又级数∑bn 的部分和数列有界，则级数 ∑ anbn 收敛． 收敛．
交错级数及其求和
交错级数及其求和交错级数是一类特殊的级数，它的每一项的正负号交替出现。
本文将探讨交错级数的性质，以及如何求和。
1. 交错级数的定义交错级数一般形式为：S = a₁ - a₂ + a₃ - a₄ + ...其中，a₁、a₂、a₃...是级数的各项。
2. 绝对值递减条件交错级数的收敛性与其项的绝对值是否递减相关。
对于交错级数来说，若存在常数M，对于所有的n，都有|aₙ₊₁| ≤ |aₙ| ≤ M，则称交错级数满足绝对值递减条件。
3. 交错级数的收敛性对于绝对值递减的交错级数，我们可以通过利用莱布尼茨（Leibniz）判别法来判断其收敛性。
莱布尼茨判别法指出，如果交错级数满足绝对值递减条件，并且其首项绝对值趋于零，即lim(n→∞) |a₁| = 0，则该交错级数收敛。
4. 交错级数的求和对于满足莱布尼茨判别法的交错级数，我们可以通过对其部分和的上下限进行分析，来求得级数的和。
设交错级数的部分和序列为Sn =a₁ - a₂ + a₃ - ...+(-1)ⁿ⁻¹aₙ。
当Sn的上下限序列Sₙ和Sₙ₊₁满足以下条件时，级数的和S可以确定：- Sₙ ≤Sn ≤ Sₙ₊₁，当n为奇数- Sₙ₊₁ ≤ Sn ≤ Sₙ，当n为偶数以上条件提供了一个有效的区间，我们可以通过逐步逼近确定级数的和S。
5. 交错级数的实例下面通过一个例子来说明交错级数的求和方法。
考虑交错级数S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...首先，我们可以验证这个级数满足绝对值递减条件。
对于所有的n，绝对值递减条件都被满足，因为每一项的绝对值都比前一项小。
接下来，我们观察部分和的序列Sₙ的行为。
通过计算，我们可以得到如下结果：S₁ = 1S₂ = 1 - 1/2S₃ = 1 - 1/2 + 1/3S₄ = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4...通过观察Sₙ和Sₙ₊₁之间的关系，我们可以发现以下规律：- 对于奇数n，Sₙ₊₁不断接近于Sn，比Sn稍微增加一点- 对于偶数n，Sₙ₊₁不断接近于Sn，比Sn稍微减少一点通过以上观察，我们可以得出结论，交错级数S的和位于Sn和Sₙ₊₁之间，而这两个部分和序列不断逼近于一个定值。
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交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数
摘要交错级数1-1/2+1/3-1 /4+1/5-1/6+....+[(-1)^(n-1)]/n=ln2= 1/（n+1）+....+1/（2n-1）, 这一科学成果是依据调和级数的数频理论得出的，它揭示了交错级数与调和级数的一种联系。
这一数频理论的原理是等式或等价，有别与经典的近似理论。
它是数学发展的未来趋势。
关键词交错级数；调和级数；数频公式；无穷大；ln2; 欧拉系数
1.调和级数的数频公式
先来研究调和级数的直接数频公式，这是没有先例的，尽管之前有一些间接的，但都不是依据等式得来的，不足为凭。
n ≥3，设S3=1＋1／2＋1／3, 1／2*S3＝1／2＋1／4＋1／6，(1)
1/2* S3=S3-1/２*S3=（１＋１／２＋１／３）－（１／２＋１／４＋１／６）
＝１＋１／３－（１／４＋１／６）＝１／２＋１／４＋１／６﹙2﹚﹙1﹚＝﹙2﹚, 可得交错级数数列，
∴１－１／２＋１／３＝２﹙１／４＋１／６﹚＝１／２＋１／３；
再设Ｓ５＝１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５，
１／２*S5=1／2＋1／4＋1／6＋1／8＋1／10=S5-1／2*S5 , ﹙3﹚S5-1／2*S5=﹙1＋1／2＋1／3＋1／4＋／5﹚－﹙1／2＋1／4＋1／6＋1／8＋／10﹚
=1＋1／3＋1／5－﹙1／6＋／8＋1／10﹚, ﹙4﹚∵﹙3﹚=﹙4﹚,
∴1＋1／3＋1／5-﹙1／6＋1／8＋1／10﹚＝1／2＋1／4＋1／6+1／8＋1／10 , 可得交错级数数列，1－1／2＋1／3－1／4＋1／5＝2﹙1／6＋1／8＋1／10﹚。
再设S7=1＋1／2＋1／3＋1／4＋1／5＋1／6＋1／7,
1／2*S7=1／2＋1／4＋1／6＋1／8＋1／10＋1／12＋1／14,＝S7－1／2*S7,
可得1－1／2＋1／3－1／4＋1／5－1／6＋1／＝1／4＋1／5＋1／6＋1／7 ;
同理可得交错级数数列1－1／2＋1／3－1／4＋1／5－1／6＋1／7－1／8＋1／9
=1／5＋1／6＋1／7＋1／8＋1／
9；.. ...................................... 当n为奇数时，n→∞,
1－1／2＋1／3－1／4＋······＋1／﹙2n－1﹚
＝1／﹙n+1﹚＋1／﹙n＋2﹚＋.....＋1／﹙2n－1﹚; (5)
当n为偶数时, n→∞,
∑［﹙－1﹚^﹙n－1﹚]*﹙1／2n﹚＝∑[﹙－1﹚^﹙n-1﹚]*[1／﹙2n－1﹚] －1／2n
＝1－1／2＋1／3－1／4＋……＋1／﹙2n－1﹚－1／2n,
＝1／﹙n＋1﹚＋1／﹙n＋2﹚＋....＋1／﹙2n－1﹚－1／2n. ﹙6﹚
以上﹙5﹚、﹙6﹚公式就是调和级数的数频公式。
这一数频公式首次突破了调和级数没有直接的完整的公式的表达的历史空白，突破了调和级数至今只有近似的理论向完整理论转变的局限，无疑，这奠定了数频理论的正确的发展基础。
如果在假设的条件下，认可欧拉的结论是正确的，即早在1665年，牛顿在他的《流数法》中推导出第一个幂级数，
ln﹙1+x﹚=1 －x²／2＋x³／3-……+[﹙-1﹚^﹙n-1﹚]*﹙ｘ＾ｎ）／ｎ］
欧拉在1734年利用牛顿的成果，首先获得了
1－1/2＋1／3－1／4＋……＋［﹙－１﹚^﹙n－1﹚］／ｎ＝ln2; n→∞. ﹙７﹚
比较﹙５﹚、﹙６﹚、﹙7﹚这３个表达式，在ｎ→∞时，可以认为它们是等价的，从而有，１
－１／２＋１／3－１／4＋．．．．．．＝ｌｎ２，
ｌｎ２＝１／﹙ｎ＋１﹚＋１／﹙ｎ＋２﹚＋．．．．．＋１／﹙２ｎ－１﹚，或者
ｌｎ２＝１／﹙ｎ＋1）+1/（n+2)+．．．＋１／﹙２ｎ－１﹚－１／﹙２ｎ﹚．
在ｎ到２ｎ的调和级数
∑１／ｎ＝１／﹙ｎ＋１﹚＋１／﹙ｎ＋２﹚＋．．．＋１／﹙２ｎ－１﹚
或者∑１／ｎ＝1/﹙ｎ＋１﹚＋1/（ｎ＋2﹚＋.．．．＋１/（２n-1）-1/（2n)
＝ｌｎ２
是收敛的。
＜完毕＞公式（5）或（6）与（7）的关系表明，交错级数的确是无穷大n到2n的调和级数。
2 . 调和级数发散的条件
明白了在1 到n无穷大项的交错级数是n到2n的调和级数，它是收敛的，由此可以继续证明n/2
到n的调和级数也是收敛的；n/2到n/4，n/4到n/8，……，如此往复直到1，它们都是收敛于ln2，所
以调和级数:
1+1/2＋1/3+1/4+ ……+1/n=(1+1/2+ 1/4 +1/8+.....)nln2 =nln2 .
(8) . 其中n为无穷大.
事实上，根据欧拉的调和级数表达式1+1/2 +1/3+1/4+1/5+....+1/n.=ln(n+1)+r,
r为欧拉系数
同样可以来证明，在n到2n的无穷大调和级数是收敛于ln2. 1/（n+1)+1/（n+2)+...+1/(2n)=1+1/2+1/3+...+1/(2n ) -[1+1/2+ +1/3+...+1/n]
=ln(2n+1)+r2-ln(n+1)-r1
=ln[(2n+1)/(n+1)]+r2-r1
=ln[2-1/(n+1)]+0
=ln2 （ n→∞ ,r2,r1可看做差别不大的欧拉系数）
可依次证明n到n/2，n/2到n/4，n/4到n/8，……,它们之间的调和级数都收敛于ln2 .将它们
依次相加起来，nln2=(n/2+n/4+n/8+n/16+……)ln2，可得（8）式. 总之，调和级数的发散性是指1到1/n充分小时而言的，在(1/n充分小到1/2n且1/n→0)之间的
调和级数收敛于ln2, 即交错级数的实质是n到2n的调和级数的收敛于ln2这一结论在理论上否
定了调和级数在无穷大n时继续无限增加的可能.
3. 调和级数的数频表达式2
确切地讲，调和级数至今还没有一个科学的表达式，即使欧拉的表达式也不例外.
1+1/2+ 1/3+1/4+....+1/n=ln﹙n＋1﹚+r 就完全不符合所有有限的n值，例如
1 ≠ln﹙1＋1﹚＋r; 1＋1/2≠ln﹙2＋1﹚＋r;
1+1／2＋1／3≠ln﹙3＋1﹚＋r; ……
这在事实上，欧拉的表达式就完全脱离了实践基础而不能作为完全的科学理论.下面给
出调和级数的数频表达式2, 完整地反应了这一级数的规律.
根据1＝1／2＋1/2^2＋1／2^3＋.....＋1／2^n＋....
1／2＝1／3＋1／3^2＋1／3^3＋……＋1／3^n＋....
1／3＝1／4＋1／4^2＋1／4^3＋....＋1／4^n
＋.....
.
…….......……..........……............……...........……﹙1﹚式
1／n＝1／﹙n＋1﹚＋1／﹙n＋1﹚^2＋…＋1／﹙n＋1﹚^n＋…
将以上各式相加，
1＋1／2＋1／3＋…＋1／n＝﹙1／2＋1／2^2＋1／2^3＋.....＋1／2^n＋…﹚
＋﹙1／3＋1／3^2＋1／3^2＋....＋1／3^n＋... ﹚
＋..........……............……...........……
＋﹙1／﹙n＋1﹚＋1／﹙n ＋1﹚^2＋...＋1／﹙n＋1﹚^n＋.....
将此等式按指数相同的重新合并排列，有﹙2﹚式
1＋1／2＋1／3＋...＋1／n＝1／2＋1／3＋...＋1／﹙n＋1﹚＋...
＋1／2^2＋1／3^2＋.....＋1／﹙n＋﹚^n＋...
＋1／2^3＋1／3^3＋...＋1／﹙n＋﹚^3＋....
＋……....……......…….…….....…….
＋1／﹙n＋1﹚^n＋1／﹙n＋1﹚^n＋...＋1／﹙n＋1﹚^n ＋...
如果记作ζ1＝1＋1／2＋1／3＋...＋1／n＋...
.……....…….......……......…….
ζn＝1＋1／2^n＋1／3^n＋....＋1／n^n＋.... ﹙2﹚式可化为：ζ1＝[ζ1－1-1／﹙n＋1﹚]＋[ζ2－1-1／﹙n＋1﹚^2]＋……
＋[ζn－1-1／﹙n＋1﹚^n]＋.....,
＝∑ζn－n－1／n, ﹙n＝1,2,3,... ﹚.
或者记为∑ζn＝n＋1／n, n＝2,3,.4,...
参考文献
[1] 同济大学数学系主编高等数学第六版
[2] 北京大学数学科学学院数学分析第二册北京大学出版社.。