调和级数发散性的多种证明方法
级数收敛与发散的判定方法
级数收敛与发散的判定方法级数是由一系列连加的无穷项组成的数列。
在数学中，判断一个级数是收敛还是发散是一个重要的问题。
下面我将介绍几种常见的方法来判定级数的收敛性或发散性。
一、正项级数收敛判定法正项级数是指级数的每一项都是非负数。
对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判定其收敛性或发散性。
1. 比较判别法：如果一个正项级数的每一项都小于等于另一个已知收敛的正项级数的对应项，那么这个级数也是收敛的；如果一个正项级数的每一项都大于等于另一个已知发散的正项级数的对应项，那么这个级数也是发散的。
2. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。
3. 根值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的根的比值，如果这个比值的极限存在且小于1，则级数收敛；如果大于1，则级数发散；如果等于1，则无法判定。
二、交错级数收敛判定法交错级数是指级数的每一项交替正负。
对于交错级数，我们可以使用以下方法进行判定。
1. 莱布尼茨判别法：对于交错级数，如果级数的每一项绝对值递减趋向于零，并且满足单调性条件，即后一项的绝对值不大于前一项的绝对值，那么该级数收敛。
三、级数收敛判定法对于非正项级数，也有一些方法可以判定其收敛性。
1. 绝对收敛判别法：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛。
2. 条件收敛判别法：如果一个级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么它是条件收敛的。
四、其他级数的判定方法除了上述常见的判定法外，还有一些特殊的级数判定方法。
1. 积分判别法：将一个级数与一个函数的积分进行比较，如果积分收敛，则级数收敛；如果积分发散，则级数发散。
2. 定积分法：将级数的前n项求和表示为一个关于n的函数，然后对该函数进行定积分，如果定积分收敛，则级数收敛；如果定积分发散，则级数发散。
总结：级数的收敛与发散的判定方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法、绝对收敛判别法、条件收敛判别法、积分判别法和定积分法等。
调和级数敛散性判断-最新年文档
调和级数敛散性判断
调和级数的证明方法至少有20种左右，在此不一一列举，根据多年探索，我认为下面方法比较简单：
证明
其中：
易证：
事实上，
显然，数列s中，有无穷多个至少大于
S发散
结论：调和级数
可以组合成无穷多个大于某个数的上述括号项的子列，这是它发散的本质原因。
提示：aj理解时相对有点难度，从中往两边读就较易理解。
8.所以我们在考察级数时，其通项虽然趋于0，但由于其子列的组成元素可以任意多，子列的个数也是无穷多的。
9.我们在考察研究级数时，子列可刻划出它的某些性质。
10.我们拆散或组合子列会给我们研究带来某些方便
11.8中的两个无穷是值得我们深思的，提醒我们不能轻易通过通项的值作出结论
12.级数的这些无穷使它魅力无限，吸引着无数的数学工作者耕耘其中。
建议：若证明无误，且若尚无别人作过这样的证明，高校教材若采用此种证明会更有助于学生对调和级数的的理解和掌握。
126更正
二、因排版失误,误将本刊2009年4月第四期总第74期,第038页,作者:孙毅，标题应为《余庆县小腮镇水利建设中的问题及对策》。
特此更正，并向作者致歉。
魅力中国杂志社
2009年5月22日。
调和级数的发散及其应用[1]
![调和级数的发散及其应用[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/8e4dade5102de2bd96058887.png)
∑n
1
F =
1 2
∑ n 也是发散的 ,利用比较审敛法 ,
1 1 1 1 + + +… + + …是 3 5 7 2n - 1 1
n ( n + 1) =
故无穷级数 1 + 发散的 。
G =
…… 所以 C + D + E + F + G + … =
1 2 3 + + + 2 6 12 1
( 2 ) 因为 un = ,而
n =1
系式 un ≤ vn ( n = 1, 2, ……) ,则
∞
n n n =1
显然 , S n > ln ( n + 1 ) 而当 n → ∞时 , ln ( n + 1 ) → ∞ ,所以 S n → ∞
. 即调和级数发散 。 2. 4 约翰 ・ 伯努利的证法 1 1 + + 2 6
( 1 )当级数 ( 2 )当级数
+
1
∫x dx =
n +1
1
ln x
n +1
1
= ln ( n + 1 )
1
x
其几何意义是双曲线 y = 覆盖的面积 ,如图 1 所示 :
在
1, n + 1 上所
1 2n
S2 n - S n =
1
n +1
+
1
n +2
+… +
1 1 > + 2n n +n
1
n +n
+… +
调和级数发散的证明
PINGDINGSHAN UNIVERSITY毕业论文(设计)题目 :调和级数发散的几种证明方法院（系）:数学与信息科学学院专业年级:数学与应用数学（专升本 2009级）姓名:贾线茹学号:093030118指导教师: 毛凤梅副教授2011 年 4月 12日PINGDINGSHAN UNIVERSITYThesis(design)Subject:Several Harmonic Series Divergence ProofCollege:Mathematics and Information ScienceMajor and Grade:Mathematics and Applied Mathematics, Upgraded2009Name：Jia Xian RuNo:093030118Advisor:Associate Professor Mao Feng MeiApril 12, 2011原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文，是在指导老师的指导下独立进行研究所取得的成果．毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、证法、观点等，均已明确注明出．除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果．对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本声明的法律责任由本人承担．论文作者签名：日期：关于毕业论文使用授权的声明本人在指导老师指导下所完成的论文及相关的资料，知识产权归属平顶山学院．本人完全了解平顶山学院有关保存、使用毕业论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权平顶山学院可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本毕业论文．如果发表相关成果，一定征得指导教师同意，且第一署名单位为平顶山学院．本人离校后使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为平顶山学院．论文作者签名：日期：指导老师签名：日期：调和级数发散的几种证明方法摘要本文给出了调和级数发散性的18种证明方法，分为三大部分内容分别来证明．其证明方法参见了各种资料,进行了整理．有的采用与原证不同的叙述,比原证更具体明了,有的是用有关定理或命题导出来的．此篇论文的写作目的是通过对调和级数发散的证明，更好地掌握正项级数敛散的证明方法，以及更深一步了解级数与数列之间的关系．关键词：调和级数发散性部分和收敛积分Several Harmonic Series Divergence ProofAbstractIn this paper, Divergent Harmonic Series 18 kinds of Proof Methods, the contents were divided into three parts to prove. The Proof Methods see the variety of information were consolidated. Some of the original card with a different account than the original Permit more specific and clear. Some proves are guided by the relevant theorems or propositions out.The purposes of this paper is to reconcile the series diverges by the proof and better understand the convergence of series of positive proof, as well as a deeper understanding of series and series of relationships.Key words:harmonic series, divergent, partial sum, convergence, integral目录前言 (1)第一章 运用正项级数的定理、定义证明 (2)1. 1 部分和发散，则级数发散 (2)1.1.1 利用欧拉常数证明 (2)1.1.2 级数的部分和可任意大 (4)1.1.3 级数的部分和的子列发散 (4)1.1.4 广义积分法 (5)1.2 级数n 项余和的敛散性 (6)1.3 柯西收敛准则 (7)1.4 比较判别法 (7)1.5 比较判别法的推论 (8)第二章 运用正项级数的命题证明 (9)2.1 级数1n n a∞=∑与212n n n a ∞=∑具有相同的敛散性 (9)2.2 级数1n n a∞=∑的 n na 的极限存在性 (10)2.3 级数()10n n n a a ∞=>∑与1n n n a S ∞=∑的关系 ................................................................................... -11- 第三章 运用额外定理、定义证明 .. (12)3.1 数列与级数的关系 (12)3.1.1 数列的子列与级数11n n ∞=∑的关系 ............................................................................-12- 3.1.2 级数11n n ∞=∑的子级数发散 ..........................................................................................-13- 3.2 高斯判别法.. (14)3.3 拉阿伯判别法 (14)3.4 厄耳克夫判别法 (15)3.5 运用拉格朗日定理 (15)3.6 积分判别法.............................................................................................................................-16- 参考文献 ................................................................................................................................................. -18- 致谢 (19)- 1 -。
调和级数的发散性与素数的无穷性漫谈（3）
调和级数的发散性与素数的无穷性漫谈（3）调和级数发散性的其他证明我们前面介绍了文艺复兴时代意大利数学家蒙哥里（ M. Pietro）在1647年证明调和级数发散的方法漫谈欧拉与（调和）级数求和(1)。
后来著名的约翰·伯努利（John Bernoulli）及其哥哥雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli)在这个问题上也很有故事，我们将来叙述。
但这三位不知道中世纪黑暗时期法国学者奥穆雷（Nicole d'Oreme，约1323-1382）早就给出过一个证明。
我们前面介绍了文艺复兴时代意大利数学家蒙哥里（ M. Pietro）在1647年证明调和级数发散的方法。
后来著名的约翰·伯努利（John Bernoulli）及其哥哥雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli)在这个问题上也很有故事。
伯努利家族是数学史上重要、不多的家族。
中国历史上可能算得上重要数学家族的或许只有明末清初的“梅氏数学家家族”。
梅氏家族自梅文鼎开始，祖孙四代人，有不少数学家。
哥哥雅各布是概率论的重要奠基人，著有《猜度术》，常用的伯努力分布就是以他的名字命名的。
我们后文将要提到的伯努利数，也是以雅各布的名字命名的。
我们在另一篇系列文章的主角之一——双纽线，伯努利也研究过。
弟弟约翰与雅各布相差13岁，一开始雅各布教弟弟约翰学数学，倾囊相授。
但弟弟的数学才能很快就超过了哥哥。
后果是，兄弟之情的小船说翻就翻。
约翰在许多问题上有贡献，如导致变分法产生的最速降线问题的求解。
约翰在培养学生方面很有贡献。
不但为自己家族培养数学家，还有才能超过老师的学生欧拉——也是我们文章的主角，以及有钱的法国人罗必塔（Marquis de l'Hôpital）。
约翰出卖知识产权，教罗必塔（Marquis de l'Hôpital）学数学以获得高额的工资。
后者则把约翰所教的内容写成著作《阐明曲线的无穷小分析》（Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes），在1696年发表。
调和级数发散的证明方法
调和级数发散的证明方法
调和级数是指形如1/1+1/2+1/3+...+1/n+...的无穷级数。
虽然初看起来这个级数的每一项都很小，但是这个级数却是发散的，也就是说它的和无限大。
下面介绍一种简单的方法来证明调和级数的发散性。
假设调和级数收敛到一个有限的值S，即：
1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... = S
那么，我们可以将这个级数分成若干个部分，每部分包含若干项，如下所示：
(1/1) + (1/2 + 1/3) + (1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7) + ...
显然，每一部分都比上一部分小，因为每一部分包含的项数更多，但是每一项的值却更小。
然后，我们可以将每一项都写成2的幂次方的倒数，如下所示： (1/1) + (1/2 + 1/2^2) + (1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^3 + 1/2^3^) + ...
这样，对于每一部分，我们可以用如下的方式来估计它的值：
第一部分的值为1；
对于第二部分，每一项都小于等于1/2^2，所以第二部分的值小于等于1；
对于第三部分，每一项都小于等于1/2^3，所以第三部分的值小于等于1；
以此类推，对于第n部分，每一项都小于等于1/2^n，所以第n
部分的值小于等于1。
因此，整个级数的值小于等于1+1+1+...=n，这显然是无限大的，因为n可以取任意大的数。
因此，调和级数是发散的。
调和级数发散
调和级数发散调和级数是数学中的一个重要概念，它是指一个无穷级数，其中每一项都是调和数。
调和数是指一个数列，其中每一项都是其前一项的倒数加一。
调和级数的一般形式为1+1/2+1/3+1/4+……+1/n+……。
虽然这个级数看起来很简单，但是它却有一个非常有趣的性质：它是发散的。
为什么调和级数会发散呢？这是因为调和级数的每一项都是比前一项小的，但是它们的和却无限大。
这个结论可以通过比较调和级数和一个更简单的级数来证明。
例如，我们可以比较调和级数和等比级数1+1/2+1/4+1/8+……。
这个级数的每一项都是调和级数的对应项的一半，因此它的和是2。
由于调和级数的每一项都比这个级数的对应项大，因此调和级数的和必须大于2，也就是说，它是发散的。
调和级数的发散性质在数学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，调和级数可以用来描述电荷分布的势能。
在这种情况下，调和级数的发散性质意味着电荷分布的势能是无限大的，这是一个非常重要的结论。
调和级数的发散性质也可以用来解释一些看似奇怪的现象。
例如，我们知道，在一个无限大的平面上，如果我们随机地放置一些点，那么这些点之间的最短距离将会趋近于零。
这个现象看起来很奇怪，但是它可以通过调和级数的发散性质来解释。
具体来说，我们可以将平面上的每一个点看作是调和级数的一个项，然后将这些项按照它们之间的距离从小到大排序。
由于调和级数的发散性质，我们知道这个级数的和是无限大的，因此在这个级数中，距离最小的两个点之间的距离必须趋近于零。
调和级数的发散性质是数学中一个非常有趣的现象，它不仅有着广泛的应用，而且可以用来解释一些看似奇怪的现象。
因此，我们应该认真研究调和级数的性质，以便更好地理解数学和物理学中的一些重要概念。
调和级数∞∑n=11＼n发散性证明及讨论
调和级数∞∑n=11＼n发散性证明及讨论
于文恺
【期刊名称】《天津轻工业学院学报》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】调和级数发散性证明及讨论于文恺（基础科学系）调和级数是级数理论中一个较为重要的发散级数。
许多级数的敛散性需借助于它来讨论。
对于调和级数发散性的证明，往往采用较繁琐的传统证明方法。
本文将给出证明调和级数发散的另外两种方法，并对与之相关的几个命题...
【总页数】3页(P91-93)
【作者】于文恺
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O173.1
【相关文献】
1.调和级数sum from n=1 to ∞(1/n)发散性的证明及讨论 [J], 关泽满;
2.关于调和级数(∞∑n=11/n)的发散性的几种简单证明 [J], 乐春红
3.调和级数(∞∑n=1)1/n发散性的两种证明方法 [J], 洛桑
4.调和级数sub from n=1 to ∞ 1/n发散性证明及讨论 [J], 田桂林
5.调和级数sum (1/n) from n=1 to ∞发散性的证明 [J], 段佩
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邯郸学院本科毕业论文高昌摘要调和级数是数学分析中一个典型的正项发散级数，证明它发散性的方法有很多．本文主要给出了证明调和级数发散的11种比较常见的方法．笔者将搜集到的证明调和级数发散的方法进行了进一步的整理，使之成为一套具有简单逻辑性的体系．根据各种方法的特点，笔者把这些方法分别归在了比较类、柯西类、积分类和级数和为无穷大类四个大类下．在每个大类下都有两个到四个不同的证明方法．为了方便将各种方法放在一起进行比较，笔者在对各种方法进行整理时，对原来有些方法的书写和步骤都有所改动，呈现形式与原证不同．关键词调和级数发散性判别收敛Proofs of the divergency of harmonic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou XijuanAbstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proof method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the originallicense different.Key words Harmonics Series Divergency Discriminate Convergency目录摘要 (I)外文页 (II)1 引言 (1)2 调和级数发散性的证明方法 (1)2.1 比较类 (1)2.2 柯西类 (3)2.3 积分类 (4)2.4 和为无穷大类 (5)3 总结 (7)参考文献 (8)致谢.............................................................. 错误！未定义书签。
调和级数发散性的多种证明方法１ 引言调和级数是级数中具有代表性的一个级数，很早人们就开始对它发散性的证明进行研究．并且不少知名的学者和大数学家都参与其中．最早证明调和级数发散的是法国学者尼古拉奥雷姆)13821323(-，在极限概念完全理解之前400年证明的．后来，大数学家伯努力也给出了一种经典的证明．随着科学的不断发展，到现在证明调和级数发散的方法有近二十种．本文主要讲搜集到的比较常见的证明调和级数发散的11种方法并进行了进一步的整理，按照比较、柯西、积分、和为无穷大四个条件进行简单归类，使之形成一套比较完备的体系，更方便读者对各种证明方法的阅读和比较．为了方便比较，有些方法采取了与原证不同的呈现形式．本论文对《数学分析》中级数敛散性学习和研究，尤其是初学者，会有很大帮助．2 调和级数发散性的证明方法2.1 比较类比较判别法是证明正项级数敛收敛或发散最常用的方法．多数情况下，利用我们所熟知的收敛或发散的级数与未知的级数进行比较，就能得出结论．对于调和级数，利用比较法证明其发散的思路主要有两类．一是利用加括号法则，把原级数变形，再通过放缩或其它方法得到一个熟悉的并且使它大于调和级数的发散级数．通过比较判别法得出结论．二是找到一个发散级数，并且它的通项与调和级数的通项比是一个非零常数，这就可以由找到的级数的发散性判定调和级数的发散性．下面给出的前两种方法用的是第一种思路，后两种是第二种思路．方法1 依次将∑∞=11n n一项，一项，二项，四项，八项，十六项 括在一起得 ++++n 131211++++++++++++++=--)21221121()81716151()4131(21111m m m ，这是一个新级数，敛散性与原级数相同．它的各项均大于级数+⨯++⨯+⨯++-m m 21281441221211++++++=2121212121 的对应项．显然，第二个级数是发散的．由比较判别法知，调和级数∑∞=11n n发散.（此方法是法国学者尼古拉奥雷姆)13821323(-在极限概念被完全理解之前的400年证明的）． 方法2 依次将∑∞=11n n九项，九十项，九百项， 括在一起得 ++++n 131211 ++++++++++++=)999110111001()991111101()91211(，这是一个新级数，敛散性与原级数相同．它的各项均大于级数+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫⎝⎛+++900909100011000110001100110011001101101101+++=100090010090109 +++=109109109 的对应项．显然，第二个级数是发散的．由比较判别法知，调和级数∑∞=11n n 发散．方法3利用不等式：)1ln(x x +>++++n131211， 它的各项均大于下面级数的对应项+++++++)11ln()211ln()11ln(n.假设上面的级数是收敛的，则它的和大于它的部分和。
它的部分和为)11ln()211ln()11ln(n++++++nn 1ln 23ln 2ln ++++=)1134232ln(+⨯-⨯⨯⨯=n nn n()∞→∞→+=n n )1ln(.所以，第二个级数是发散的．通过比较判别法可知，调和级数∑∞=11n n发散． 方法4 应用级数∑∞=1n na（其中)021≥≥≥≥≥ n a a a 与级数n a n n212∑∞=有相同的收敛性．取() ,2,11==n n a n ，031211>>>> ，而级数 ∑∑∑∞=∞=∞==⨯=112112122n n n nn n n a 发散．故调和级数∑∞=11n n发散． 2.2 柯西类柯西准则及其相关推论也是证明级数收敛或发散的常用方法．证明调和级数发散，我们可以用级数发散的柯西准则，也可用级数收敛的柯西准则得出矛盾结论（反证法）．本节中方法一用的是级数发散的柯西准则，方法二用的是级数收敛的柯西准则．方法1[]31级数发散的充要条件：存在正数ε，对任何正整数N ，以及存在正整数)(N m >和p ，有ε≥++++++p m m m u u u 21.对于调和级数++++n131211， 令m p =，则有m m m m u u u ++++++ 21m m m 212111+++++=m m m 212121+++≥ 21=.因此，取21=ε，对任何正整数N 和m p =符合上述条件，所以调和级数是发散的．（此方法被多本大学数学教材采用，做为应用柯西准则证明级数发散的典型例题）．方法2级数收敛的柯西准则：任意正数ε，存在正整数N ，以及任意正整数)(N m >和p ，有ε<++++++p m m m u u u 21 .假设调和级数收敛，则存在)(N m >使021→++++++p m m m u u u .令m p =，有m m m m u u u ++++++ 21m m m 212111+++++=m m m 212121+++≥ 21=（不以0为极限）, 从而得出矛盾，故调和级数∑∞=11n n发散． 2.3 积分类 方法1 定理[]121设f 为[]+∞,1上非负递减函数，那么正项级数∑)(n f 与非正常积分⎰+∞1)()(x d x f 同时收敛或发散．取x x f 1)(=，则f 在[]+∞,1上为非负递减函数．则由定理知级数∑∑+∞=+∞==111)(n n nn f 与⎰+∞1)(1x d x 同时收敛或发散．因为+∞=+==+∞→+∞+∞→+∞⎰⎰)1ln(lim )(1lim )(111n x d x x d x n n ，故调和级数∑∞=11n n发散．方法2采用数形结合的方法．利用积分的几何意义，根据面积大小，得出调和级数的部分和发散． 调和级数的部分和ns n 131211++++=由上图的阴影部分面积可知 第一块矩形的面积11=A ,第二块矩形的面积212=A , 第三块矩形的面积313=A ,……第n 块矩形的面积nA n 1=. 所以，阴影部分的总面积为n n A A A A s ++++= 321，它显然大于曲线xy 1=下在1=x 到1+=n x 之间的那一块面积)1ln(111+=⎰+n xn ， 即)()1ln(∞→+∞→+>n n s n .可见，调和级数部分和n s 没有极限，故调和级数∑∞=11n n 发散． 2.4 和为无穷大类和为无穷大是证明级数发散的最直接的方法．和可以是整个级数的和，也可以是级数的部分和．利用和为无穷大证明调和级数和为无穷大一般利用反证法，得出调和级数和或调和级数的部分和是一个有限数为假．本节给出的前两种方法证明的是整个调和级数的和为无穷大，最后一种方法证明的是调和级数的部分和为无穷大．方法1xy 1=以1)1(11216121=++++++ n n 为基础，先证明这个等式． 21121-=，312161-=，4131121-=…，111)1(1+-=+n n n n ， 11111141313121211)1(11216121+-=+-++-+-+-=++++++n n n n n )(1∞→=n .设 ++++=nA 13121，则 +++++++=)1(2041236221n n n A , 1)1(12011216121=+++++++=n n C , 2121)1(120112161=-=++++++=C n nD , 3161)1(1301201121=-=++++++=D n nE , 41121)1(1421301201=-=++++++=E n nF , 51201)1(1561421301=-=++++++=F n nG , ……+++=+++=+++++312112041236221G F E D C . 所以有1+=A A ，没有一个有限数会大于等于自己，所以A 是无穷大．即调和级数∑∞=11n n 发散．（此方法是大数学家约翰伯努利作出的经典证明）．方法2 以不等式),2(311111N n n nn n n ∈≥>+++-为基础． 先证明这个不等式．由nn n n 311111-+++- )111()111(+----=n n n n nn n n )1(1)1(1+--= 0)1()1(2>+-=n n n n 得),2(311111N n n nn n n ∈≥>+++-，所以有 133413121=>++, 2163716151=>++, 31931019181=>++, ……++++=ns 131211 +++++>n1312111 s +>1.如果s 是一个有限数，s 不会大于自己．即s 为正无穷大，故调和级数∑∞=11n n 发散． 方法3 利用反证法，假设s nn =∑∞=11，则s s n n =∞→lim ，s s n n =∞→2lim ，因此有 0)(lim 2=-=-∞→s s s s n n n （1） 但另一方面，由于对一切n 有21212121112=⨯>+++++=-n n n n n s s n n ， 可知0)(lim 2≠-∞→n n n s s （2）显然，结论（1）与结论（2）矛盾,所以，假设错误.因此，调和级数∑∞=11n n 发散. 3 总结该论文给出了证明调和级数发散的11种常见的证明方法，并按照一定的方法进行了归类，让读者在阅读时有一定的整体性．证明调和级数发散性的方法，除了本文给出的11种，还有许多．比如说利用高斯判别法、欧拉常数等有关知识也可以将其证明．调和级数发散性的证明对其它正项级数的证明起到了“尺子”的作用．对调和级数发散性的研究不仅丰富了调和级数的证明方法，同时也为一般正项级数发散性的证明提供了更广阔的空间．在对级数发散性的证明时，用到的有可能不仅仅是文中所给的几种方法，而是需要将几种方法综合运用．所以证明级数发散时，没有固定的方法，要灵活．参考文献：[1] 华东师范大学数学系．数学分析（下册）（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2004:1-24[2] 任亲谋．数学分析习题解析 (下册)[M].陕西：陕西师范大学出版社，2004[3] 裴礼文．数学分析典型问题与方法 [M].北京：高等教育出版社，1993[4] 夏晓峰. 调和级数发散的几种证明[J].本溪冶金高等专科学校院报，2000（12）:44-45[5] 马艳宝. 关于调和级数发散性的五种证明方法[J]. 商业文化（下半月），2010（2）.127[6] 张竟成. 关于调和级数∑∞=11n n发散的几种证明方法以及它的应用[J]. 岳阳职业技术学院学报，2006（5）.21[7] 姜洪文. 对调和级数∑∞=11n n的分析[J]. 沈阳师范学院院报，2002（7）:170-172[8] 黄永东. 证明调和级数∑∞=11n n发散性的7种证明方法[J]. 西北民族学院院报，2001（3）：1-3[9] 费定辉.吉米多维奇数学分析习题集题解 [M]. 山东：山东科学技术出版社，1999:98-99.[10] "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003。