人教版数学八年级上册 第十四章 整式乘除与因式分解 知识点归纳
第十四章+整式乘法及因式分解复习+课件+2024-2025学年人教版数学八年级上册
例题：下列运算是否正确。A正确；B错误 ×
× ×
计算： x3(-x)5+(-x4)2-(2x2)4 +(-x10)÷(- x)2
解：原式= =
=
解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆
注意点： （1）指数：加减
数：不同底数 转化
幂乘除 幂的乘方 同底数
例： 若10x=5,10y=4,求102x+3y-1 的值.
知识要点: 一、幂的4个运算性质
二、整式的加、减、乘、除法则
三、乘法公式
四、因式分解
考查知识点：（当m,n是正整数时） 1. 同底数幂的乘法：am · an = am+n 2. 同底数幂的除法：am ÷ an = am-n ； a0=1(a≠0)
3. 幂的乘方: (am )n = amn 4. 积的乘方: (ab)n = anbn
解：102x+3y-1 =
=
当10x=5,10y=4时
原式=
考查知识点：
1、单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式．
2、单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项 式的每一项，再把所得的积相加。
即：m(a+b+c)= ma+mb+mc
三数和的平方公式： (a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc
例. 已知a+b=5 ，ab= -2，
求（1）a2+b2 （2）a-b
a2+b2=(a+b)2-2ab
(a-b)2=(a+b)2-4ab
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.3.1同底数幂的除法(图文详解)
（2）a4 ÷a ；
（3）(ab) 5÷(ab)2；（4）（-a）7÷（-a）5
（5）(-b) 5÷(-b)2
【解析】(1) x8÷x2=x8-2=x6.
(2)a4÷a =a4-1=a3. (3)(ab) 5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3. （4）(-a)7÷(-a)5=(-a)7-5=(-a)2=a2
am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数， 并且m>n).
a0=1 (a≠0)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1．计算：
（1）（28）·28=216 （2）（52）·53=55
（3）（102）·105=107（4）（a3）·a3=a6
上述运算能否发现
商与除数、被除数
2.计算：
有什么关系？
（1）216÷28=（ 28 ） (2）55÷53=（ 52 ）
（3）107÷105=（102）（4）a6÷a3=（ a3 ）
x2y2
5.下面的计算结果对不对?如果不对,应当怎样改正?
(1) x6÷x2=x3; x4
(2) 64÷64=6; 1
(3) a3÷a=a3; a2
(4) (-c)4÷(-c)2=-c2. (-c)2=c2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
6.已知:xa=4，xb=9，
求(1) xa-b；(2) x3a-2b
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
同底数幂相除，底数没有改变，商的指数应该等
于被除数的指数减去除数的指数 . 一般地，我们有
为什么 a≠0呢？
am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数， 并且m>n).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
第14章整式知识点
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．⑵幂的乘方：()n m mn a a =（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．⑶幂的乘方：()nn n ab a b =（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．（4）幂的除法：n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（5）零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．（6）负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加4.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++； ()2222a b a ab b -=-+ 二、因式分解：因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.1同底数幂的乘法(图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有什么关系？ 103 ×102 = 10（ ） 23 ×22 = 2（ 5 ）= 10（ 3+2 ）； a3× a2 = a（ 5 ） = 2（ 3+2 ）； 5 = a（ 3+2 ） .
猜想:am · an= am+n ?(m、n都是正整数)
A．2x
B．2x5
C．2x6
D．x5
3.填空：
（1）x5 ·（x3 ）= x 8 （2）a ·（ a5 ）= a6 （3）x ·x3（ x3 ）= x7 （4）xm ·（ｘ2m ）式分解
4.计算： ①（a+b）2×(a+b)4×[-(a+b)]7 【解析】原式=（a+b）2×(a+b)4×[-(a+b)
3.计算:（-a）2×a4
【解析】原式 = a2×a4 =a6
（-2）3×22
原式 = -23 ×22 = -25
当底数互为相反数时， 先化为同底数形式.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（淮安·中考）计算 a3 a2 的结果是( B )
A．a6
B．a5
C．2a3
D．a
2.（重庆·中考）计算2x3·x2的结果是（ B ）
=(am·an ) ·ap
=(a·a·… ·a)(a·a·… ·a)(a·a·… ·a)
=am+n·ap =am+n+p
m个a =am+n+p
n个a p个a
am·an·ap = am+n+p
（m、n、p都是正整数）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点
整式是一个或多个代数式的和、差或积。
整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念，是解决各种代数问题的基础。
本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。
一、整式的乘法1.1 单项式的乘法：单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。
例如：2x ×3y = 6xy，-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法：多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。
例如：(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法：单项式的除法是指单项式除以单项式。
例如：4x^2 ÷ x = 4x，10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。
2.2多项式的除法：多项式的除法是指多项式除以多项式。
例如：(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式，其中每个整式都是原来整式的因式。
例如：12x^2+8xy，将其因式分解为4x(3x+2y)。
3.1 提取公因式：如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除，那么这个公因式就是整式的一个因子。
例如：12x^2+8xy，公因式是4x。
3.2分解差的平方：差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。
例如：x^2-9，可因式分解为(x-3)(x+3)。
3.3 分解二次三项式：二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。
例如：x^2+2xy+y^2，可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1：将多项式4x^2+16x因式分解。
解：这个多项式2x的平方加4x的倍数，所以可以因式分解为4x(x+4)。
例2：将多项式a^2-9因式分解。
解：由差的平方公式可得，a^2-9=(a-3)(a+3)。
例3：将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（ ）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022， 即2020n =20202022， ∴n =2022． 故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（ ）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ） 或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ）， 故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（ ）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ） 答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）． 故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2， 即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解． 解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（ ）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键． 填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______． 答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
人教版数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解小结-课件
套 二项式：套平方差 三项式：套完全平方与十相乘法
看： 看是否分解完
3、因式分解应用：
1.从左到右变形是因式分解正确的是( D )
A.x2-8=(x+3)(x-3)+1
B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2
C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y)
D. 2 a2-1（ 2a2-1） （ 2a1） (a1)
3
考查知识点：（当m,n是正整数时）
1、同底数幂的乘法：am ·an = am+n
2、同底数幂的除法：am ÷ an = am-n ；
a0=1(a≠0)
3、幂的乘方: (am )n = amn
若(x-3)x+2=1,
4、积的乘方: (ab)n = anbn
求 x的值
5、合并同类项:
解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆
2
4
22
2.下列各式是完全平方式的有( D )
① x2－４2x41
③x22xy+ y2
② x2 x 1 4
④ 1x2 - 2xyy2 93
A.①②③ C. ①②④
B.②③④ D.②④
把下列各式分解因式：
1. x 5 - 16x 2. –4a 2+4ab- b 2
（1）提公因式法 （2）套用公式法
1、计算(-2)2008+(-2)2009 2、计算：(12)2009(12)2008 3、计算: 2005+20052-20062
4、计算: 3992+399
1.当n为自然数时,化简明 (5)2n15(5)2n
的结果是
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第十四章 整式乘除与因式分解
知识点归纳:
一、幂的运算:
１、同底数幂的乘法法则:n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）
同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如:532)()()(b a b a b a +=+•+
2、幂的乘方法则：mn n m a a =)((n m ,都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-
幂的乘方法则可以逆用:即m n n m mn a a a )()(== 如:23326)4()4(4==
3、积的乘方法则：n n n b a ab =)((n 是正整数)。
积的乘方,等于各因数乘方的积。
如：(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-
４、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷
5、零指数；10=a ,即任何不等于零的数的零次方等于1。
二、单项式、多项式的乘法运算:
6、单项式与单项式相乘，把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
如：=•-xy z y x 3232 。
7、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,
即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式）。
如:)(3)32(2y x y y x x +--=。
8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
9、平方差公式:22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如:))((z y x z y x +--+ ＝
10、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±
完全平方公式的口诀:首平方,尾平方，首尾２倍中间放，符号和前一个样。
公式的变形使用：(1)ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+；ab b a b a 4)()(22-+=-
222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- ；222)()]([)(b a b a b a -=--=+-
(2)三项式的完全平方公式： bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
1１、单项式的除法法则:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
注意:首先确定结果的系数（即系数相除）,然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
如：b a m b a 242497÷-
12、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即:c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)(
三、因式分解的常用方法．
1、提公因式法
(1)会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分:①系数一各项系数的最大公约数;②字母——各项含有的相同字母;③指数——相同字母的最低次数;
（２)提公因式法的步骤:第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是,提取完公因式后,另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
(3)注意点:①提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的．
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：
①平方差公式: a ２-b ２= （a+ｂ)(a-b)
②完全平方公式:ａ2＋2ab ＋b ２=(ａ＋b)2
a 2-2a
b ＋b 2=(ａ-b ）2
３、在数学学习过程中,学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。
如：对于任意自然数n ，22)5()7(--+n n 都能被动２4整除。
练习题
1.若225722+-++m n n m b a b a 的运算结果是753b a ，则n m +的值是( ）
A.-2
B.2C ．-３ D ．３
2．若a 为整数，则a a +2一定能被（）整除
Ａ．２ Ｂ．3C.4 D ．5
3.若ｘ2+２(m-3)x+１6是完全平方式,则m 的值等于…………………( )
A.3Ｂ.-5C.7．
ﻩD.7或－1
4．如图,矩形花园A ＢCD 中，AB=a ，ＡD=b ，花园中建有一条矩形道路L ＭＱＰ及一条平行四边形道路R ＳＴK,若ＬM=RS=c ，则花园中可绿化部分的面积为（ ）
Ａ．2b ac ab bc ++-
B.ac bc ab a -++2
C ．2c ac bc ab +--
Ｄ.ab a bc b -+-22
５．分解因式：=-+-ab b a 2122＿＿___＿
____＿_＿____＿_＿__＿___.
6.3x （７-x ）=18－x(３x-1５);
7.(x+3)(x-７)+８＞(x+5)(ｘ-1）.
８．2,3==n m x x ，求n m x 23+、n m x 23-的值。