18.2.2菱形(2)----菱形的判定
18.2.2.2 菱形的判定-2018年八年级下册数学名师学案(人教版)
18.2.2.2 菱形的判定-2018年八年级下册数学名师学案（人教版）1. 菱形的定义菱形是指具有以下特点的四边形：•四条边的长度相等；•相邻两条边之间的夹角都是直角。
2. 菱形的性质2.1 对角线的性质菱形的两条对角线有如下性质：•两条对角线相等；•两条对角线平分菱形的内角；•两条对角线的交点为菱形的两个相邻顶点的连线中点。
2.2 内角的性质菱形的内角有如下性质：•两个相邻的内角为直角；•两个不相邻的内角之和为180°。
3. 菱形的判定判断一个四边形是否为菱形，可以根据以下条件进行判定：3.1 边长判定判断一个四边形的四条边是否相等，如果都相等，则该四边形是菱形。
3.2 角度判定判断一个四边形的四个内角是否为直角，如果都是直角，则该四边形是菱形。
3.3 边长和角度综合判定判断一个四边形既满足边长相等又满足角度为直角的条件，则该四边形是菱形。
4. 实例分析实例1已知四边形ABCD，满足AB = BC = CD = DA，且∠DBC = 90°，则判断四边形ABCD是否为菱形。
解：根据边长判定可知ABCD的四条边相等，满足菱形的边长条件。
由于∠DBC = 90°，满足菱形的角度条件。
综合边长和角度判定，可以得出结论，四边形ABCD是菱形。
实例2已知四边形EFGH，满足EF = FG = GH = HE，且∠FGH = 120°，则判断四边形EFGH是否为菱形。
解：根据边长判定可知EFGH的四条边相等，满足菱形的边长条件。
由于∠FGH = 120°，并不是直角角度，不满足菱形的角度条件。
综合边长和角度判定，可以得出结论，四边形EFGH不是菱形。
5. 总结菱形是一种四边形，它具有四条边相等和相邻两条边之间的夹角为直角的特点。
菱形的对角线相等，并且平分菱形的内角。
我们可以通过判定四边形的边长和角度是否满足菱形的条件，来确定一个四边形是否为菱形。
在考试和解题过程中，我们可以运用菱形的判定方法，准确地判断一个四边形是否为菱形，从而解决与菱形相关的问题。
人教版八年级数学下册教案：18.2.2菱形的性质与判定
-举例：给出具体菱形的边长或对角线长度，计算其周长和面积。
2.教学难点
-理解并运用菱形性质的难点：
-难点一：对角线垂直平分性质的理解。
-解释：学生需要理解为何菱形的对角线会互相垂直平分，以及这一性质在解决问题时的应用。
-突破方法：通过实际操作，如折纸、绘图等，让学生直观感受这一性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“菱形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解菱形的基本概念。菱形是四边相等的四边形，它在几何图形中有着特殊的位置和性质。它是平面几何中的重要图形，广泛应用于日常生活和各类工程设计。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了菱形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点二：判定过程中的逻辑推理。
-解释：学生在判定菱形时，需要运用逻辑推理来支持结论。
-突破方法：引导学生通过画图、列性质、推理等步骤，逐步建立严密的逻辑思维。
-计算难点：
-难点一：周长与面积公式的记忆与应用。
-解释：学生需要记住周长和面积的计算公式，并在实际问题中正确应用。
-突破方法：通过实际例题，让学生在实践中加深记忆，并提高应用能力。
人教版八年级数学下册教案：18.2.2菱形的性质与判定
18.2.2_菱形的判定_课件(H)
1、如图，已知在□ABCD中， AD=2AB，E、F在直线AB上，且 AE=AB=BF，说明CE⊥DF.
D M C N
E
A
B
F
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点 O，DE∥AC,CE ∥BD. 求证：四边形OCED是菱形
A
O B C D E
3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN 交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN 于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形 A
C
菱形ABCD
数学语言
∵在四边形ABCD中 AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
菱形常用的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
+邻边相等 =
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
③有四条边相等的四边形是菱形。
四条边相等+ =
1、老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
A
D AC⊥BD B C B C A D
□ABCD
菱形ABCD
数学语言
∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
取一张长方形纸片,对折两次,并沿图(3)中的斜 线剪开,把剪下的1这部分展开,平铺在桌面上.
1 (1) (2) (3)
剪出的这个图形是哪一种四边形?
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
5 5 4 3 3 4
3
┍
4
3
4
5 5
5
5
有一组邻边 相等的平行四 边形叫做菱形
对角线互相 垂直的平行四 边形是菱形
有四条边相等的 四边形是菱形。
2、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√ ） （ ╳）
人教版八下数学18.2.2菱形 课时2 菱形的判定教案+学案
人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 菱形课时2菱形的判定教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.2．了解菱形的现实应用和常用判别条件．过程与方法目标1．从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.2．让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力.情感、态度与价值观目标1．让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯.2．通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用. 【教学重点】菱形的定义和判定定理的运用．【教学难点】探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．【教学过程设计】一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究知识点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 1如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 2如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD 即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA ＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD 是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形例 3 如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF .(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解析：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE ＝CE ，AD ＝CD .然后根据CF ∥AB 得到∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，利用“AAS ”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE ＝CF .然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝F A .从而得到EC ＝EA ＝FC ＝F A ，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF 为菱形．证明：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED .在△AED 与△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS)；(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF .∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．知识点二：菱形的判定的应用【类型一】 菱形判定中的开放性问题例 4如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD ∥BC ，∴∠F AD ＝∠AFB .∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠F AD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF .同理ED ＝CD .∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF .又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC ⊥EF .方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用例 5 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF .(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由． 解析：(1)首先利用“SSS ”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF .在△BCF 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ， ∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°， ∴∠EFD ＝∠BCD .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、教学小结本节课你有哪些收获?学生归纳小结菱形的判定方法:(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形四、学习检测1.下列说法正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的定义与判定定理直接辨别各选项正确与否.由菱形的定义,可知一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,因此,选项B正确.故选B.2.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( )A.①③B.②③C.③④D.①②③解析:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,一组邻边相等的平行四边形是菱形,因此①③都可以判定平行四边形ABCD是菱形.故选A.3.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的判定定理(四条边相等的四边形是菱形)即可判定,由题中图的作法可知AD=AB=DC=BC,∴四边形ABCD是菱形.故选B.4.一个平行四边形的一条边长是3,两条对角线的长分别是4和2,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么?求出它的面积解析:先根据题意画出相应的图形,如图.根据平行四边形的对角线互相平分,可求出OB及OA的长,由勾股定理的逆定理可得∠BOA为直角,进而得AC⊥BD.根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得平行四边形ABCD为菱形.根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得菱形ABCD的面积.解:这是一个菱形.理由如下:如图,▱ABCD中,AC=4,BD=2,AB=3,∴OA=AC=2,OB=BD=.∵OA2+OB2=22+()2=9,而AB2=32=9,∴OA2+OB2=AB2.∴△AOB是直角三角形,∠AOB=90°.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).S菱形ABCD=AC·BD=×4×2=4.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形课时1 矩形的性质1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形．2．菱形的性质和判定的综合运用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形课时1矩形的性质学案【学习目标】1．理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；2．会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；3．掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习重点】理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习难点】会会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算．【自主学习】一、知识回顾1．菱形的定义是什么？性质有哪些？2．根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？有一组邻边_____的______________是菱形.数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形二、自主探究知识点1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形想一想前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？猜想：对角线互相_________的平行四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,AC ⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA____OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA______BC.∴四边形ABCD是________.要点归纳：菱形的判定定理：对角线互相_______的____________是菱形.几何语言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.【典例探究】例1如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．【跟踪练习】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CD知识点2：四条边相等的四边形是菱形活动1已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？AC的长为半径作弧,小刚：分别以A、C为圆心,以大于12两条弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.想一想根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？猜想：四条边__________的四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD , BC=AD.∴四边形ABCD是___________.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是__________.要点归纳：菱形的判定定理：四条边都______的四边形是菱形.几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形 ABCD是________.【典例探究】例2如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形.例3 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．方法总结:四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．例4如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH 是菱形.【跟踪练习】1.如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？2.如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？3.如上图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？4.在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？探究点3：菱形的性质与判定的综合运用【典例探究】例4如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．方法总结:判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．【跟踪练习】如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.三、知识梳理内容菱形的判定定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm，那么平行四边形的面积是_____________.3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BCC．∠B=60°D．∠ACB=60°4.下列图形中,不一定为菱形的是()A.四条边相等的四边形B.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形C.一组邻边相等的平行四边形D.有一个角为60度的平行四边形D(解析:根据菱形的判定定理作答即可.)3.如图所示,△ABC中,E,F,D分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥AC,DF∥AB.要使AEDF是一个菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个条件是.AE=AF(解析:(答案不唯一)添加AE=AF或DE=DF或AD是∠BAC的平分线或AE=ED,AF=FD等都可以.)4.木工师傅在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你能说出其中的道理吗?解:四条边相等的四边形是菱形.5.已知菱形的周长为24,一条对角线长为8,求菱形的面积.解:由题意知菱形的边长为6,故另一条对角线长为4,故菱形的面积为×8×4=16.4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.求证：四边形O CED是菱形.6.如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD 于点G.求证四边形ACGF是菱形.证明:∵AF∥CD,FG∥AC,∴四边形ACGF为平行四边形,∵CE是△ABC外角∠ACD的平分线,∴∠ACF=∠FCG,∵AF∥CG,∴∠AFC=∠FCG,∴∠ACF=∠AFC,∴AF=AC,∴▱ACGF为菱形.5. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE ∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.8.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE,AF分别是∠ABC,∠DAC的平分线,BE和AD交于G,试说明四边形AGFE的形状.解:四边形AGFE是菱形.理由如下:由∠BAC=90°,AD⊥BC,易得∠BAD=∠C,∵∠AGE=∠ABG+∠BAG,∠AEB=∠EBD+∠C,又∵∠ABG=∠EBC,∴∠AGE=∠AEG.∴AE=AG.由AF是∠DAC的平分线,易知AF⊥GE且AF平分GE.同理可得BE⊥AF且BE平分AF.∴AF与GE垂直且互相平分,从而可知四边形AGFE是菱形.6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．9.如图(1),在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=DC,∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于M,H.(1)求证CF=CH;(2)如图(2),△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并证明你的结论.(1)证明:∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形,且AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=45°.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECH,即∠ACF=∠DCH,在△AFC 和△DHC 中, ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,DCH ACF DC AC D A ∴△AFC ≌△DHC (ASA),∴CF =CH. (2)解:菱形,证明如下:∵∠BCE =45°,∴∠ACF =∠BCE =∠DCH =45°,即∠ACD =135°, 又∠A =∠D =45°,∴在四边形ACDM 中,∠AMD =360°-∠ACD ∠A －∠D =135°, ∴∠ACD =∠AMD ,∴四边形ACDM 是平行四边形.又AC =CD ,∴四边形ACDM 是菱形.。
人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《菱形的判定》说课稿
人教版数学八年级下册18.2.2第2课时《菱形的判定》说课稿一. 教材分析《菱形的判定》是人教版数学八年级下册18.2.2第2课时的一节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
教材通过引入平行四边形和矩形的性质，引导学生探究菱形的性质，从而得出菱形的判定方法。
教材还通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平行四边形和矩形的性质，对这两种图形的性质有一定的了解。
但是，学生对菱形的性质和判定方法可能比较陌生，需要通过课堂学习和练习来掌握。
此外，学生可能对数学证明的方法和技巧还不够熟练，需要在课堂上进行引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、探究等活动，培养自己的观察能力、动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂学习，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够掌握菱形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
2.教学难点：学生对菱形判定方法的灵活运用，以及对数学证明的方法和技巧的掌握。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：本节课采用问题驱动法、合作交流法和引导发现法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件进行辅助教学，通过展示图片、动画等形式，帮助学生直观地理解菱形的性质和判定方法。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的菱形图形，如钻石、骰子等，引导学生对菱形产生兴趣，激发学生的学习动机。
2.探究菱形的性质：学生通过观察、操作等活动，发现菱形的性质，教师引导学生总结出菱形的判定方法。
3.讲解与练习：教师通过讲解例题，引导学生运用菱形的判定方法解决问题，然后布置一些练习题，帮助学生巩固所学知识。
4.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和知识点，帮助学生形成知识体系。
菱形的判定
△AOE≌△COF
A
E
D
O
B
F
C
例3：如图，顺次连接矩形ABCD各边
中点，得到四边形EFGH，
求证：四边形EFGH是菱形。
A
E
D
F
H
B
G
C
例4：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高,∠BAC 的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G． 求证：四边形EGFC为菱形． C
43 F E
1
5
A2
平行四边形
对角线互相平分
四条边都相等
矩形 菱形
作业
课本P58页第 2 题 课本P60页第6、10题 练习册 P 25-27 页
A
D AB=BC
A
D
B
C
□ABCD
AB = BC
□ABCD
B
C
菱形ABCD
四边形ABCD是菱形
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在□ABCD 中，AC ⊥ BD 求证：□ABCD是菱形
证明：∵四边形ABCD是□
A
∴OA=OC B
又∵ AC ⊥ BD;
O D
∴BA=BC
C
∴ □ABCD是菱形
D
C
O
A
B
思考: 请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你 能判断重叠部分ABCD的形状吗？
A D
BC
思考: 请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断
重叠部分ABCD的形状吗？
A
D
F
∟
B EC
例2：已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂
直平分线与边AD，BC分别交于E，F． 求证：四边形AFCE是菱形
《18.2.2 菱形的定义、性质和判定》课件
D
C
你能否证明四边形AEDF是
菱形？
菱形性质的应用
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其 中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=900, DE 1 BD 1 10 5cm.
A
2
2
AE AD2 DE 2 132 52 12cm.
在△ABD中，
又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B
O C
同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
D
边 菱形的两组对边平行且相等 A
O
C
菱形的四条边相等
B 数学语言
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
∴∴∴∴∠OA∴A∠ADBD∠D=A=AOBD∥BC+CA=∠B;=CO∠CC=ABD∠B==CCOBDB=ADAC180°
∵ AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
活动三 归纳总结
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.有四条边相等的四边形是菱形.
活动四 学以致用
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
34
43
5
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
A D
O
C B
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形 的边长为 5 ，面积为 4 。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线 AC长为16 ，此菱形的边长为 10 。
（3）:菱形对角线的平方和等于一边平方
18.2.2菱形知识归纳与题型分析(教案)
d.设计相关练习题，让学生反复练习，加深理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“菱形知识归纳与题型分析”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过形状像钻石的图案？”（如衣服上的图案、装饰品等）这个图案实际上就是菱形的一种体现。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索菱形的奥秘。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬片制作菱形，并测量其对角线长度，计算面积。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“菱形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调菱形的性质、判定方法和面积计算公式这两个重点。对于难点部分，如判定方法的灵活应用和几何证明，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与菱形相关的实际问题，如如何计算一个菱形的面积。
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对菱形的性质和判定方法掌握得还算不错，但在具体的题目应用和几何证明上，部分学生还存在一些困难。我意识到，理论知识虽然重要，但如何将理论应用到实践中去，还需要我们共同努力。
首先，我觉得在导入新课环节，通过日常生活中的例子引入菱形的概念，这一点做得很好，学生们明显对课程产生了兴趣。但在讲授过程中，我发现有些学生对菱形的判定方法还不够熟练，可能是我讲解得不够细致，或者是例题展示不够充分。在今后的教学中，我需要针对这部分内容进行加强，让学生更好地理解并掌握。
18.2.2 菱形(第2课时)
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
18.2特殊的平行四边形
18.2.2菱形
（第2课时）
你知道如何判别菱形吗？
提示……
D
菱形
平行四边形
四边形
？
A B
O
C
？
菱形
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）四条边都相等的四边形是菱形.
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形 已知:如图,在四边形ABCD中, D AB=BC=CD=DA.. A C 求证:四边形ABCD是菱形. 分析:利用菱形定义和两组对边分别相 B 等的四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形.. ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
菱形的判定
第十八章平行四边形18.2.2 菱形第2课时菱形的判定学习目标：1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理；2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.重点：经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理.难点：会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.一、知识回顾1.菱形的定义是什么？性质有哪些？2.根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？有一组邻边_____的______________是菱形.数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.一、要点探究探究点1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形想一想前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？猜想：对角线互相_________的平行四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA____OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA______BC.∴四边形ABCD是________.要点归纳：菱形的判定定理：对角线互相_______的____________是菱形.几何语言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.典例精析例1如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3-4）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-10）针对训练在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CD探究点2：四条边相等的四边形是菱形活动1已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？小刚：分别以A、C为圆心,以大于12AC的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.想一想根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？猜想：四条边__________的四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD , BC=AD.∴四边形ABCD是___________.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是__________.要点归纳：菱形的判定定理：四条边都______的四边形是菱形.几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形 ABCD是________.典例精析例2 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AC,EF = ED.求证：四边形CDEF是菱形.例3 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．方法总结:四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．例4如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片11-20）教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片11-20）针对训练1.如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？2.如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？3.如上图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？4.在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？典例精析例4 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．方法总结:判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．针对训练如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.二、课堂小结内容菱形的判定定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明教学备注4.探究点3新知讲授（见幻灯片21-23）1.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．2.一边长为5cm 平行四边形的两条对角线的长分别为24cm 和26cm ，那么平行四边形的面积是_____________.3.如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，连接AD ，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（ ）A ．AB=BCB ．AC=BC C ．∠B=60°D ．∠ACB=60°4.如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC,CE ∥BD.求证：四边形O CED 是菱形.5. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD.求证：四边形ADCE 是菱形.6.如图,在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交BC 于点E ，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 为菱形；（2）AE ，BF 相交于点O ，若BF=6，AB=5，求AE 的长．当堂检测教学备注 配套PPT 讲授5.课堂小结（见幻灯片30）6.当堂检测 （见幻灯片24-29）教学备注6.当堂检测 （见幻灯片24-29）。