高等数学中常见的变量替换
高等数学中常见的变量替换
目 录引言………………………………………………………………(1) 一 极限运算中变量替换的应用………………………………………(1) (一) 对于 00(或∞∞)型极限………………………………………………(2) (二)对于∞－∞型极限…………………………………………………(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限xy n +∞→lim 的求法 (3)(四) 求数列的极限...............................................................(4) 二 不定积分运算中常用的变量替换 .......................................(6) (一) 三角函数代换............................................................(6) (二) 倒数代换..................................................................(7) (三) 指数代换..................................................................(8) (四) 不定积分⎰dx y f )(的计算，其中y 是由方程0),(=y x F 所确定的x 的函数.................................................................................(8) 三 定积分运算中常用的变量替换.......................................(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法...............(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算...............(10) (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。
考研数学：变量替换法
版权所有翻印必究/考研数学：变量替换法同学们都知道，在考研数学中极限的计算占有很大一部分比重，每年分值在10-15分之间，而在极限的计算中有一种非常重要的方法，即变量替换法——等价无穷小的替换，在这里我们就讲常见的等价无穷小替换公式及其证明方法为大家做一个整体呈现。
常见公式：当0x →时，sin arcsin tan arctan ln(1)1x x x x x x x e +- 21(1)1,1cos 2a x ax x x +-- ，以上公式就是我们在使用等价无穷小替换的时候常见的8个公式，大家一定要进行牢固的记忆，并且对于基本公式的证明也要熟记于心，以加强对变量替换法的理解，下面就给出大家完整的证明。
对于8个公式的证明首先需要用到高等数学中的两个重要极限，分别是100sin lim 1,lim(1),x x x x x e x→→=+=根据这两个公式就可以进行证明，首先1）先证明，当0x →时，sin arcsin x x x ：由于0sin lim1x x x →=，根据等价无穷小的定义知，sin x x ，又令arcsin t x =，则sin x t =，因此有00sin lim lim 1sin x t arc x t x t→→==，故得证arcsin x x 。
2）再证明，当0x →时，tan arctan x x x ：由于00000tan sin 1sin 1sin limlim lim lim lim 1cos cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→→==== ，根据等价无穷小的定义知，tan x x 。
又令arctan t x =，则tan x t =，因此有00arctan lim lim 1tan x t x t xt →→==，故得证arctan x x 。
3）再证明，当0x →时，ln(1)1xx x e +- ：这对公式的证明需要用到10lim(1),x x e →+=对等式的两端同时取对数，得100ln(1)limln(1)ln lim 1x x x x x e x→→++=⇒=，根据等价无穷小的定义知，ln(1)x x + ， 版权所有翻印必究又令1xt e =-，则ln(1)x t =+，因此有001lim lim 1ln(1)x x t e t x t →→-==+，故得证1x x e - 。
高考数学中的变量替换技巧与方法
高考数学中的变量替换技巧与方法高考是每个学生人生中最重要的考试之一，数学作为其中比较重要的科目之一，也让许多学生感到头疼。
当然，其中较为复杂的内容也让许多人深感困惑，很多学生认为数学涉及大量的公式和计算，而不是具有灵活性的思考方式。
然而，在数学中，变量替换技巧可以提高问题的解决效率，使数学的学习变得更加有趣和深入。
本文将为大家详细介绍高考数学中的变量替换技巧与方法。
I、变量替换的基本概念变量替换通常是以形式代数学为代表，其将问题转化为符合一般规律的表达式。
它不仅可以在求解过程中简化计算，而且可以让人们更好地理解数学的基本概念。
比如，把一个含有平方项的式子用变量替换成一个无平方项的式子，从而使问题变得更容易掌握。
因此，变量替换是数学学习中非常重要的内容。
II、变量替换的常见方法1、有理化分式在有理化分式中，一些常用的变量替换技巧可以让掌握的知识得到更灵活的使用。
例如，通过将分母用一次项代替 $x^2$，从而减少计算时的出错概率。
具体地说，对于一个含有$\frac{1}{x^2}$ 的式子，我们可以将其变为 $\frac{1}{x(x+1)} -\frac{1}{(x+1)^2}$ 的形式，这样通过变量替换可以让问题的简化力度得到提高。
2、配方法在配方中，变量替换的方法也经常被使用。
实际上，通过代入优化或变量替换的方法来求解问题是非常方便的。
例如，当解一个关于 $y$ 的方程时，我们经常会碰到类似于 $y^2+2y+1$ 的式子，这时我们不妨把 $y+1$ 替换为一个新的变量 $z$，即 $z = y+1$，也就是让 $y$ 用一个新的变量来表示，这样便可以转化为一元二次方程，方便计算。
3、三角函数变量替代对于三角函数的表达式，我们可以通过变量替换的方法来使其变得更加容易计算。
例如，对于 $\sin2x$ 这种形式的表达式，我们可以通过将 $2x$ 替换成一个新的变量 $z$，即 $z = 2x$，这样问题就可以转化为一个不包含三角函数的形式，更加符合人类思维逻辑，也更加容易解决。
高等数学中的多重积分计算技巧
多重积分在高等数学中是一个重要的概念和计算技巧。
它涉及到对多元函数在多个变量上的积分，是对一元函数积分的扩展和推广。
在计算多重积分时，可以运用一些技巧来简化计算和提高效率。
首先，需要了解多重积分的概念和性质。
多重积分可以分为定积分和不定积分。
定积分是指在一定的范围内对给定的函数进行积分。
不定积分是指对给定的函数进行积分，但没有具体的范围和上下限。
对于定积分，可以利用变量代换来简化计算。
变量代换即将积分变量换成其他变量，使得原来的积分变得更容易求解。
常用的变量代换方法有直角坐标系与极坐标系的转换、直角坐标系与球坐标系的转换、直角坐标系与柱坐标系的转换等。
通过适当选择不同的坐标系，可以消去一些变量，从而简化积分的计算。
对于不定积分，可以通过分部积分法、换元积分法等技巧进行计算。
分部积分法适用于需要对一个函数的乘积进行积分的情况，可以将乘积的积分变成两个函数的积分相减。
换元积分法可以通过适当的变量代换将原来的不定积分转化为一个更容易求解的形式。
另外，多重积分中还可以使用对称性等性质来简化计算。
如果被积函数具有对称性，可以将积分区域进行适当的对称分割，从而减少多重积分的计算步骤。
此外，还可以利用积分的可加性性质，将多重积分拆解成多个单重积分的和。
在实际应用中，多重积分经常用于计算物体的体积、质量、重心等物理量。
在计算这些物理量时，可以根据物体的几何形状选择适当的坐标系，并利用多重积分技巧进行求解。
总之，高等数学中的多重积分是一个重要的概念和计算技巧。
在计算多重积分时，可以利用变量代换、分部积分法、换元积分法等技巧进行简化和提高效率。
通过合理选择坐标系和利用对称性等性质，可以进一步简化计算。
多重积分在物理和工程等领域中有广泛的应用，可以用来求解物体的体积、质量、重心等物理量。
数学分析 重积分的变量替换变量替换公式
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:重积分的变量替换公式;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;内容提要:重积分的变量替换公式; 极坐标变换;柱面坐标变换;球面坐标变换.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).一般的变量替换现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).断言:ϕ(∂A)为零测集,从而∂ϕ(A)亦然,于是ϕ(A)可求体积.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).事实上,取δ>0,使得K={x|d(x,A)≤δ}⊂D.记C=max K Jϕ .根据覆盖引理的证明,任给ε>0,存在有限个小球B i⊂K,使得∂A⊂iB i,且iν(B i)<ε.记B i=B ri (x i),由拟微分中值定理可知ϕ(B i)⊂B Cri(ϕ(x i)),这说明ϕ(∂A)⊂iB Cri(ϕ(x i)),且这些球的体积之和小于C nε.于是ϕ(∂A)为零测集.从上述证明还可以得出,若 ψ(x)−ψ(y) ≤ρ x−y 且ψ将可求体积集B映为可求体积集ψ(B),则ν(ψ(B))≤ρnν(B).为了研究ϕ(A)的体积,我们将ϕ线性化并做误差估计.引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .引理1沿用以上记号,则任给ε>0,存在0<η<δ,使得当x∈A,d(x ,x)≤η时ϕ(x )−ϕ(x)−Jϕ(x)(x −x) ≤ε x −x .证明.在Bδ(x)中考虑函数F(y)=ϕ(y)−ϕ(x)−Jϕ(x)(y−x),则F(x)=0,JF(y)=Jϕ(y)−Jϕ(x).根据拟微分中值定理,存在ξ=x+θ(x −x)(0<θ<1),使得F(x ) = F(x )−F(x) ≤ Jϕ(ξ)−Jϕ(x) x −x ,由Jϕ在K上的一致连续性即可完成证明.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.引理2沿用以上记号,则当B⊂A可求体积且d(B)<η时ν(ϕ(B))≤[|det Jϕ(x)|+O(ε)]ν(B),x∈B.证明.考虑仿射变换L(y)=[Jϕ(x)]−1(y−ϕ(x))+x,则L◦ϕ(x )=[Jϕ(x)]−1F(x )+x ,于是当x ,x ∈Bη(x)时L◦ϕ(x )−L◦ϕ(x ) ≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε] x −x .由B⊂Bη(x)可得ν(L◦ϕ(B))≤[1+ [Jϕ(x)]−1 ε]nν(B).再由仿射变化的体积变化公式即可完成证明.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.(重积分的变量替换)设ϕ:D→R n为C1单射,且Jϕ处处非退化.设A可求体积,¯A⊂D,f在ϕ(A)中可积,则ϕ(A)f=Af◦ϕ|det Jϕ|.(1)特别地,ν(ϕ(A))=A|det Jϕ|.证明.不妨设A为矩形,且f非负.任给A的分割π={A ij},我们有ϕ(A)f=ijϕ(A ij)f≤ij[supϕ(A ij)f]ν(ϕ(A ij))证明(续).当分割充分细时,由之前的引理可得ϕ(A)f≤ijsupA ij[f◦ϕ]|det Jϕ(ξij)|ν(A ij)+O(ε),由Riemann和与积分之间的关系可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|+O(ε),令ε→0可得ϕ(A)f≤Af◦ϕ|det Jϕ|.根据反函数定理,ϕ:D→ϕ(D)可逆.如果对ϕ−1重复上述论证就可得到另一边的不等式.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.例1设0<p <q,0<a <b.抛物线y 2=px,y 2=qx 以及双曲线xy =a,xy =b 围成的区域记为A.计算积分I = A xy d x d y.解.积分区域是一个曲边的四边形,为了简化,我们令y 2/x =u ,xy =v ,则(u ,v )关于(x ,y )的Jacobi 行列式为∂(u ,v )∂(x ,y )= −y 2/x 22y /x y x =−3y 2/x =−3u ,因此(x ,y )关于(u ,v )的Jacobi 行列式为−(3u )−1.在这个变换下,积分区域变为矩形[p ,q ]×[a ,b ],因此I =q p d u b a v −(3u )−1 d v =16(b 2−a 2)ln q p.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.我们知道,在平面R2上有直角坐标(x,y)和极坐标(r,θ),其变换关系为x=r cosθ,y=r sinθ,r≥0,0≤θ≤2π.这个变换称为极坐标变换,其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=cosθ−r sinθsinθr cosθ=r.极坐标变换将(r,θ)平面上的矩形[0,R]×[0,2π]变为(x,y)平面上的圆x2+y2≤R2.不过,这个变换不是一一的,且在r=0处退化.尽管如此,由于此变换在(0,+∞)×(0,2π)上是一一的且非退化,因此将前面的证明略作改动即知,积分的变量替换公式对这个变换仍然成立.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.例子例2求椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)所包围的面积.解.作所谓的广义极坐标变换x=ar cosθ,y=br sinθ,r∈[0,1],θ∈[0,2π],其Jacobi行列式为∂(x,y)∂(r,θ)=a cosθ−ar sinθb sinθbr cosθ=abr,因此所求面积为10d r2πabr dθ=πab.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π].我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.我们再考虑R3中的坐标变换.如下的柱面坐标变换有时能用到:x=r cosθ,y=r sinθ,z=z,其Jacobi行列式也是r.与极坐标变换类似,R3中也有所谓的球面坐标变换:x=r sinθcosϕ,y=r sinθsinϕ,z=r cosθ,r≥0,θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]. 这个变换的Jacobi行列式为∂(x,y,z)∂(r,θ,ϕ)=sinθcosϕr cosθcosϕ−r sinθcosϕsinθsinϕr cosθsinϕr sinθcosϕcosθ−r sinθ0=r2sinθ.球面坐标和伸缩变换结合起来称为广义球面坐标变换.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.例3计算椭球x2a2+y2b2+z2c2≤1(a,b,c>0)的体积.解.用广义球面坐标变换:x=ar sinθcosϕ,y=br sinθsinϕ,z=cr cosθ,此变换的Jacobi行列式为abcr2sinθ,积分区域变为{(r,θ,ϕ)|r∈[0,1],θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]},因此椭球体积为V=10d rπabcr2sinθdθ2πdϕ=43πabc.在一般的欧氏空间R n中也有类似的(广义)球面坐标变换.。
用变量替换法求解某些类型微分方程问题
用变量替换法求解某些类型微分方程问题高等数学的常微分方程这部分内容，许多类型题目求解都需要变量替换这一重要工具，下面就运用变量替换方法解几种类型的常微分方程。
一、在求解一阶显式微分方程中的应用一阶显式微分方程如果能化成可分离变量方程，求解问题就解决了，很多类型的一阶方程可以通过适当的变量替换化为可分离变量方程。
（1）齐次方程，通过变量替换，化为以为未知函数的可分离变量方程。
（2）准齐次方程，其中为常数，且，至少有一个不为零。
如果由方程构成的方程组的解为，则同时作函数与自变量的替换，将其化为以为函数，以为自变量的齐次方程，然后再将齐次方程化为可分离变量方程，达到求解齐次方程的目的。
（3）一阶线性方程，其中为已知函数。
该方程对应的齐次方程的通解为，作替换，以此作为原方程的解，代入原方程中得从中解出，进而完成原方程求解。
（4）伯努力方程，其中n≠0，1作替换，将方程化为以z为未知函数的线性方程然后再按线性方程作替换求解。
（5）黎卡堤方程。
若已知它的一个解为，则作代换，代入原方程化为以u 为未知函数的伯努力方程。
对黎卡堤方程，其中都是常数，且a≠0，则当m=0，－2，（k＝1，2…）时，可经过适当的变量替换化为可分离变量方程。
（6）其它形式的一阶方程对其他形式的某些一阶微分方程，可以根据方程自身特点，适当选取灵活的替换方法，将其化为可分离变量方程，例如：对方程；令对方程；令对方程二、在求解某些类型高阶微分方程中的应用在求解某些类型高阶方程时，可以通过变量替换化为较低阶微分方程，进而达到求解目的。
（1）形如的高阶方程。
如能从中解出，则有，分离变量积分，如解出次，可求得方程通解。
如不能解出可通过替换引进参数t，将都写成t的函数，即将原方程写成参数方程。
然后由关系式，求出方程的参数形式通解。
（2）形如的方程作替换，方程化为新未知函数阶方程，如能求得该方程的通解再积分k次，便得原方程的通解。
（3）的方程作替换，视y为自变量，则可将方程化为关于新未知函数的阶方程，从而可能求出原方程的解，特别是二阶方程，＝0，通过上述替换可化为一阶方程，再利用一阶方程求解的某些方法求解。
高数极限知识点总结大一学生
高数极限知识点总结大一学生高数极限知识点总结在大一学生学习高等数学的过程中，极限是一个重要的概念和知识点。
理解和掌握极限的概念对于后续学习微积分等相关内容非常重要。
本文将对大一学生需要掌握的高数极限知识点进行总结和概述。
一、极限的定义极限是数学中的重要概念，指的是当一个变量趋近于某个值时，函数在这个值附近的表现。
对于一般函数，极限的定义如下：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数L，对于任意给定的ε（ε>0），都存在一个对应的δ（δ>0），使得当0 < |x-x0| < δ时，有|f(x)-L| < ε成立，那么就称函数f(x)在x0处的极限为L。
二、极限的性质1. 唯一性：若函数f(x)在点x0处存在极限，则该极限唯一。
2. 局部有界性：若函数f(x)在点x0处存在极限，则必然存在着它的一个去心邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界。
3. 局部保号性：若函数f(x)在点x0处存在极限且极限为L>0（或L<0），那么存在一个去心邻域，使得函数f(x)在该邻域内保持符号不变。
三、求解极限的方法1. 函数极限性质：函数的基本运算，包括四则运算、乘方运算、复合运算等。
2. 两个重要极限：〖lim〗_(x→∞) ((1+1/x)^x)=e 〖lim〗_(x→0) ((sinx)/x)=13. 无穷小量和无穷大量的关系：对于函数f(x)，当x趋近于某个值x0时，若f(x)的极限为0，则称f(x)是x→x0时的无穷小量。
四、常见的极限1. 基本初等函数极限：常数函数极限、幂函数极限、指数函数极限、对数函数极限、三角函数极限等。
2. 不定式极限：0/0型极限、∞/∞型极限、0*∞型极限、1^∞型极限等。
3. 复合函数极限：由若干个函数的运算和复合而成的函数的极限。
4. 变量替换法：常用的变量替换有有理函数的分子分母分别用t替换，指数函数与对数函数互为反函数等。
变量代换在高等数学中的应用
毕业论文（设计）论文（设计）题目：变量代换在高等数学中的应用姓名王中山学号 ***********院系数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级 12级应数一班指导教师翟鹏翔2016年04月20日新乡学院本科毕业论文（设计）目录1摘要变量代换法是研究和解决数学问题的方法之一，属于数学方法的一种，变量代换就是把困难的问题先进行变量代换，使它转化成容易的问题。
变量代换在高等数学里是一项十分重要的实用方法，它不仅仅是一种解题技巧，也是一种非常重要的数学思维方法，这种方法几乎贯穿了高等数学的全部内容，它具有灵活性和多样性的特点。
本文通过对变量代换法在高等数学里面函数、极限、微分、积分以及级数运算中的应用进行了总结，对变量代换法的应用进行深入探讨与研究，分析了它的特点和技巧，以便科学地、准确地来解决在学习过程中遇到的一些数学问题，同时也能够让学生在学习高等数学的过程中充分地把握并能够熟练、灵活运用好变量代换这种方法，提高学生的解题能力以及应变能力。
关键词：变量代换法；函数；极限；微分；积分；级数AbstractVariable substitution method is one way to study and solve math problems, a mathematical transformation method belongs, that is going to solve the problem is not easy to be the first variable substitution to make the conversion. It's in the process of learning mathematics is a very important practical methods, not only is an important problem-solving skills, mathematical thinking is an important approach that has permeated the entire contents of the higher mathematics, with flexible Features and diversity. Based on the method of calculation of variable substitution in various sections of higher mathematics are summarized in the application of variable substitution method in the application of certain aspects of higher mathematics in-depth discussion, analysis of the characteristics and skills, in order to science, accurately apply this method to solve math problems, while allowing students to fully grasp in learning mathematics and proficient, flexible use of this method is good to improve students' problem-solving abilitiesKey words：Variable substitution method;function;limitation；differential；integral；series引言目前在高等数学中所提到变量替代法,实质就是将所得到的某些高数当中的式子看作是一个完整的有机整体,然后再使用一个其它的变量来进行代换,从而使将遇到的复杂问题变成简单的问题,换言之,就是用其去变量代换一串比较复杂的式子从而使将代数式的运算变得简单一些,其实这也就是我们在初高中学习的过程中经常使用曾经使用的一种方法----换元法。
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目 录引言………………………………………………………………(1) 一 极限运算中变量替换的应用………………………………………(1) (一) 对于00(或∞∞)型极限………………………………………………(2) (二)对于∞－∞型极限…………………………………………………(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限xy n +∞→lim 的求法 (3)(四) 求数列的极限...............................................................(4) 二 不定积分运算中常用的变量替换 .......................................(6) (一) 三角函数代换............................................................(6) (二) 倒数代换..................................................................(7) (三) 指数代换..................................................................(8) (四) 不定积分⎰dx y f )(的计算，其中y 是由方程0),(=y x F 所确定的x 的函数.................................................................................(8) 三 定积分运算中常用的变量替换.......................................(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法...............(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算...............(10) (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。
...................................................(11) (四) 定积分等式的证明中所作的变量替换..............................(12) 四 解微分方程中变量替换的应用技巧.................................(14) (一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用........................(14) (二) 求解齐次方程 中变量替换的应用 (15)(三) 求解一阶线性方程中变量替换的应用 (15)五重积分中变量替换的应用 (16)(一) 二重积分计算中的变量替换 (16)(二) 利用直角坐标系计算 (18)(三) 利用柱面坐标系计算 (19)(四) 利用球面坐标系计算 (19)结束语 (19)参考文献 (20)高等数学中常见的变量替换鲁友栋（数学系 辽宁 中国）摘要 变量替换是解决高等数学问题的重要手段。
深入了解变量替换可以培养学生利用所学的知识灵活处理各种实际问题的能力。
因此，在高等数学中，如何使用和掌握变量替换是解决某些问题的关键；如何灵活的运用变量替换，是一个值得重视的问题。
本文通过几个实例详细介绍了“”型，“∞-∞”型，数列等几种极限运算中变量替换的应用和三角函数代换，倒数代换，指数代换等在不定积分运算中变量替换的应用，着重介绍了在定积分运算及解微分方程中变量替换的应用。
关键词 变量替换 积分 极限引言在各种各样的数学运算中，相应的解题方法也有千千万万，而其中有一种方法是变量替换。
变量替换在解题时不仅作为一种常用的数学方法而被广泛应用，更是一种常用的解题技巧。
在很多运算中，往往我们用很多方法都无法顺利求出结果，此时，我们不妨试用一下变量替换，它很可能会给我们带来意想不到的收获。
因此，变量替换又可以称之为在各种方法连连碰壁，走投无路的情况下，人们使出的“杀手锏”。
作为未来从事数学教育的工作者，如何正确使用变量替换这种方法是我们学习和解决问题的关键；而熟练掌握变量替换的解题方法是我们在今后教学中应力求达到的目标。
以下我就几种常见的运算如极限运算、不定积分的运算、定积分的运算、微分方程的运算中，由于正确使用了变量替换而给解题带来的方便之处，来浅谈一下变量替换作为一种数学方法和解题技巧的重要性。
一 极限运算中变量替换的应用(一) 对于00（或∞∞）型极限若用洛必达法则的结果比没用法则前还复杂，则应考虑用变量替换求解，常作的替换是令,...)2,1(,1==k xt k 例1，求下列极限：（1）100102limx e xx -→ （2）dt e xe x x t xx ⎰++→10102211arctan lim 解：（1）直接用洛必达法则，得原式102109931022lim 5011002lim x e x x e x x x x -→→=⋅= 此式比没用法则前还复杂，可见此路不通！考虑变量替换21x u =，得 原式0!50lim ...50lim lim 4950=====+∞→+∞→+∞→u u u u u u ee u e u ； （2）解：令xu 1=，得 原式⎰⎰⎰+=+++=+=+∞→+∞→+∞→u u t u u u u t u u ut u u uedt e ue ue dt e ue u dte u e u 020222222222lim 211lim arctan lim2)1(2)21(2lim242lim22222222222=++=+++=+∞→+∞→u u u u u u u u x eu e u eu eee u e .(二) 对于∞－∞型极限此种类型求极限一般采用根式有理化或通分，再用洛必达法则求解，或用“抓大头”求解。
（所谓“抓大头”就是取分子，分母中趋于＋∞最快的项）。
但是对于一些特殊的例子，应用变量替换。
[1]例1，求)]11ln([lim 2xx x x +-+∞→解：令xu 1=得原式uu u u u u u uu u u 2111lim)1ln(lim )]1ln(11[lim 02020+-=+-=+-=→→→ 21)1(21lim )1(2lim00=+=+=→→u u u u u u . 例2：求)(lim656656x x x x x --++∞→ 解：令xu 1=得 原式31661)1(61)1(61lim 11lim65650660=1+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=--+=--→→++u u u u u x u . (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限xyx +∞→lim 的求法。
解题方法：① 将隐函数0),(=y x F 化为参数式⎩⎨⎧==)()(t y y t x x② 将x y x ∞→lim 化为)()(limt x t y t t →的形式，0t 可由观察法得出。
[2] 例：设有方程)0(0333>=-+a axy y x ，求(1) 曲线的渐近线方程 (2)求出与渐近线平行的切线。
解：令tx y =，则t ax t x x 23333=+，进而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3231313t at y t at x (1) 1lim 3113lim lim 13321-==++==-→-→∞→t at t t at x y A t t x []a t t t t at t at t at Ax x f B t t x -=+-++=+++=-=-→-→∞→)1)(1()1(3lim )1313(lim )(lim 213321 故斜渐近线为：a x B Ax y --=+=，即0=++a y x(2) 方程0333=-+axy y x 的斜率为：22yax ayx y --=' 而渐近线的斜率：1-='y ，因为切线与渐近线平行，所以它们斜率相等，即122-=--y ax ayx ，即)())((y x a x y x y -=+-，解得x y =或a x y -=+，将a x y -=+代入方程得0=a (矛盾)，所以x y =。
将其代入0333=-+axy y x ，得切点)23,23(),0,0(a a . 故所求的切线方程：)0)(1(0--=-x y ，即0=+y x . 或者)23)(1(23a x a y --=-，即03=-+a y x . (四) 求数列的极限解题方法：① 先作出与数列同类形的连续变量x 的函数;②再求该函数当+∞→x 时的极限，该极限即为数列的极限。
例1求下列数列的极限：(1)nnn ab )11(lim -+∞→，其中0,0>>b a ; (2))1(lim -∞→n n a n ，0>a .解：(1)显然1=b 时，原极限为1当1≠b 时，先求xxx ab )11(lim1-++∞→。
由于22111111)1(ln lim 11lim 11lim )1(lim-+∞→-+∞→-+∞→+∞→--=-=-=-x x b b a x b a x a b a b x xx x x xx xx , 则aab x xx b e ab 1ln 1)11(lim ==-++∞→，故a nnn b ab 1)11(lim =-+∞→. (2)先求)1(lim 1-+∞→xx a x .a x x a a x a a x xx xx xx ln )1(ln lim1lim)1(lim 221111=--=-=--+∞→-∞→+∞→.故a a n n n ln )1(lim =-∞→. 例2：设数列{}n x 由下式给出：),2,1(,,21211 =+==+n x x x x n n n . 试求)111111(lim 21++++++∞→n n x x x . 解：易知{}n x 为正项数列，所以由n n n n nn x x x x x x >+=+=+)1(21 知{}n x 递增，于是0211≠=≥x x n 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x 1递减，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x 1有下界0，从而知⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x 1有极限.从)1(1+=+n n n x x x 知 1111211111+++++-=-===+n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x ① 于是,有11111121++++++=n n x x x S )11()11()11(13221+-++-+-=n n x x x x x x 1111211++-=-=n n x x x ② 设A x nn =∞→1lim，由①式变形为111111+-=+n n nn x x x x ，两边取∞→n 时的极限有001=⇒=-=+A A A AA所以由②式得2)12(lim lim 1=-=+∞→∞→n n n n x S例3：设)(21),(x y f x y x F -=，52),1(2+-=y y y F ，任选 00>x ，作)2,(001x x F x =)2,(112x x F x = ),2,(223x x F x =……,)2,(1n n n x x F x =+，……,证明：n n x ∞→lim 存在并求值。