激光原理与技术9

得： n 1
n 1
0
当 >0，表现为吸收，正常色散！

G
当 <0，表现为增益，反常色散！
n 1
0 G

无论什么原因，起振后，一定阻尼 回到平衡态。——自发辐射概念
0
其解为： x 由：
x0e
t / 2 i 0 t
e
t / 2 i t P Nex P0e e
得到 P 的辐射场为： E E e t / 2ei0 t 0
相应辐射光强： I E E I et I e t / r 0 0 表明辐射场不再是单色的！ r 1/ 按频率有一定的分布
有：
0
2c ( 0 ) i
~
1 c 2
0
2 00
应用： k 0 2 π c 0
n 1 / 2 1
k
~虚部描述吸收或增益 ~实部描述色散
~ 2 ( 0 ) z iknz i0t Ex ( z, t ) E0ei
P pi ΔV
极化强度
D 0E P N p Ne x 原子数密度 ~ 0 r E ~ ~ ~ 线性关系， 线性极化率 P E 0 (1 ) E 0
Δ N
2π
§3.1 经典理论
g N ( , 0 ) Δ N / 2π 洛仑兹函数 ( 0 ) 2 (Δ N / 2) 2
相应的吸收(增益)线型称为洛仑兹线型 其中： g N ( 0 )
2 4 4 4 21 πΔ N A21
gN(0)
gN(,0)

Δ N

0
g N ( , 0 )d 1
N 为线宽(FWHM)：
gN(0)/2
N

2π

A21 1 2 π 2 π 21
0

§3.1 经典理论
2. 色散关系
由：
n 1 / 2
( 0 )c Δ N
n 1
( 0 )c Δ N
Ne2 Δ N / 2π g N ( , 0 ) 2π 代入得到： 2 2 4 0mc ( 0 ) (Δ N / 2)
Ne2 4 0 mc
g N ( , 0 )
Δ N / 2π ( 0 ) 2 (Δ N / 2) 2
e ~ Ex ( z ) ~ m x ( ) 20 ( 0 ) i
解得：
§3.1 经典理论
根据：
P Nex
~ P 0 E
2 1 Ne~ x ( ) Ne ~ ( ) 得到： i ~ 0 Ex ( z ) 0m 20 ( 0 ) i
§3.1 经典理论
2 Ex ( z ) ~ 2 E ( z ) 0 解定态波动方程： 0 0 x z 2
得： 其中：
~ Ex ( z, t ) E0ez ei0t
~ i i0 0
且：
0
1 00
~ i 若把 表示为：
谐振动，理想自发辐射
§3.1 经典理论

0 无外场作用，Ex=0，小辐射阻尼： x
2 0 x x
2 0 x x
2 e20 2 x x 0x 0 3 6π 0c
2 x 0 x x0
e202 6π 0mc3
~ 2 ( 0 ) z iknz i0t Ex ( z, t ) E0e e e
相应光强为： I ( z )
k
忽略了固有损耗
I 0e
k ( 0 ) z
e
k ( 0 ) z
ez

dI k 吸收系数 c Idz
所以：
Ne2 2(0 ) / 0m0 1 4(0 )2 / 2
Ne 2 1 0 m 0 1 4( 0 ) 2 / 2
1 2 ( 0 ) i 20 20 ( 0 ) i 40 (0 )2 2 2
结果
吸收 增益 色散 展宽 频率变化 自发辐射 除自发辐射 全部 能量关系
4. 速率方程 光子(概念) (唯象量子理论)
§3.1 经典理论 一、电偶极子近似模型
it 光波场：Eopt E0e
Maxwell方程场源
原子中的电子： + x
x 0 成为电偶极子 x 0 +、重合，
条件：E E内(109 V/m )
~ ~ 否则： ( E )
P PL PNL P、E 非线性关系
二、自发辐射的经典解释 P ?
模型：经典振子
§3.1 经典理论
O F ma F 原子内部回复力 外电场力 辐射阻尼力
、都是频率的函数！不同的频率，极化率不同。 表明物质 对不同频率的入射光表现出不同的吸收(增益)； 表明对不同频
率的入射光表现出不同的折射率(色散现象)
§3.1 经典理论 五、吸收(增益)线型和色散关系
1. 吸收(增益)线型
考虑到、的作用，入射光波场随z、t的变化为：
磁力(洛仑兹力) ~ 0
+

x
原子中电子满足的方程：
e2 kx eEx 0 m x x 3 6π 0c

无外场作用，Ex=0，并忽略辐射阻尼：
kx m x
x x0 e
i0t
0 k / m
E e x
i0t Eopt E0 e
2 ~ E (r ) 0 0 E (r ) 0
2
~ ~ 式中 0 (1 ) i
2
0
2 设：光波沿z向传播，满足平面波近似，有： 2 z
2 E( z) 2 ~ 0 0 E ( z ) 0 2 z
2 Ex ( z ) ~ 2 E ( z ) 0 若光波为x向线偏振光： 0 0 x z 2
2 0
x~ x ( )eit
仍用振子模型+强迫力(外场)：
e ~ x x Ex ( z )eit x m
有：
e ~ 2~ 2~ x ( )eit i~ x ( )eit 0 x ( )eit Ex ( z )eit m
激光原理与技术
西安电子科技大学 技术物理学院 刘继芳
第三章 光和物质相互作用理论
——谱线加宽、增益及器饱和
相互作用概念： 原子系统中的电子
固体中的离子 辐射 吸收 光波场
理论层次
光波场
1. 经典理论 2. 半经典理论 3.量子理论 电磁波 (Maxwell) 电磁波 量子力学
物质
经典谐振子 量子力学 量子力学 能级(跃迁)
§3.1 经典理论 三、吸收、色散的Maxwell理论
由介质中的波动方程：
2 2 E (r , t ) E (r , t ) P(r , t ) 2 E (r , t ) 0 0 0 0 t t 2 t 2 i0t 固有本 假设入射光波场是单色的=0， E(r , t ) E(r )e 征损耗 得到定态波动方程(HemHoltz)：
I ( z ) I 0 e k ( 0 ) z
0 增益， 0 吸收；
决定折射率 n 1 / 2
§3.1 经典理论 四、、求解
~ it 外场不为0时： E x ( z, t ) E x ( z )e
无外场的辐射场：
x x0et / 2ei0t