含参不等式讲义
含参不等式题型知识讲解
含参不等式题型一、给出不等式解的情况，求参数取值范围：总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。
记住：“大小小大有解；大大小小无解。
”注：端点值格外考虑。
1：已知关于x 的不等式组3x x a>-⎧⎨<⎩。
(1)若此不等式组无解，求a 的取值范围，并利用数轴说明。
(2)若此不等式组有解，求a 的取值范围，并利用数轴说明2：如果关于x 的不等式组x a x b >⎧⎨<⎩无解，问不等式组11y a y b +≥⎧⎨+≤⎩的解集是怎样的?3、若关于x 的不等式组()202114x a x x->⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。
4、已知关于x 的不等式组2113x x m-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为2x >，则( ).2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤5、关于x 的一元一次不等式组x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) ...0.0A a b B a bC a bD a b ≥≤≥>≤< 6、若关于x 的不等式组841x x x m +-⎧⎨⎩的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 7、若关于x 的不等式组8x x m<⎧⎨>⎩，有解，则m 的取值范围是__ ___。
8、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 。
二、给出不等式解集，求参数的值总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。
方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的解集，再利用已知解集与所求解集之间的对应关系，建立方程。
1：若关于x 的不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，求()()11a b +-的值。
2：已知关于x 的不等式组()324213x x a x x --≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是13x ≤<，求a 的值。
第4讲 含参不等式--尖子班
第4讲 含参的不等式知识点1 含参的一元一次不等式含参的一元一次不等式（1）含未知数项的系数不含参数，如x ＞a ，（其中a 为常数）；（2）含未知数项的系数含参数，如mx ＞n ，（其中m 为参数、n 为常数）．【典例】1.已知不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32，则m 的值为 ． 【答案】94．【解析】解：去括号，得2m ﹣2x+1＞3x ﹣2， 移项，得3x+2x ＜2m+1+2， 合并同类项，得，5x ＜2m+3， 系数化为1，得，x ＜2m+35，∵不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32， ∴2m+35=32，解得m=94．2.若不等式（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 的取值范围是____________．【答案】a＜﹣1．【解析】解：∵当a+1=0，即a=-1时，0＞0不成立，∴当a+1=0时，不等式（a+1）x＞a+1无解集，∴a+1≠0，∵不等式（a+1）x＞a+1两边都除以a+1，得其解集为x＜1，∴未知数x的系数（a+1）为负，∴a+1＜0，解得：a＜﹣1，故答案为：a＜﹣1．3.关于x的两个不等式①3x+a2＜1与②1﹣3x＞0．（1）若两个不等式的解集相同，求a的值．（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．【答案】略．【解析】解：（1）由①得：x＜2−a3，由②得：x＜13，由两个不等式的解集相同，得到2−a3=13，解得：a=1；（2）由不等式①的解都是②的解，得到2−a3≤13，解得：a≥1．4.若关于x，y的方程组{3x+y=1−ax+3y=3的解满足x+y＜2，则a的取值范围为．【答案】a＞﹣4．【解析】解：{3x+y=1−a ①x+3y=3 ②，①+②得：4（x+y）=4﹣a，则x+y=14（4﹣a ）， 则14（4﹣a ）＜2，解得：a ＞﹣4． 故答案是：a ＞﹣4．【方法总结】1. 已知一元一次不等式（系数不含参）及其解集，求参数的值的思路． 如已知不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32，求m 的值，①求不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集为x ＜2m+35，②令2m+35=32，从而不难求出m 的值，2. 求一元一次不等式ax ＞b(a ，b 是常数)解集的思路．需要借助分类讨论思想，①若a ＞0，则不等式ax ＞b 的解集为x ＞ba ；②若a ＜0，则不等式ax ＞b 的解集为x ＜ba ；③若a=0，b ＜0，则不等式ax ＞b 的解集为任意实数；若a=0，b ≥0，则不等式ax ＞b 无解集．3. 已知一元一次不等式①和②的解集相同，求参数的值的思路．如关于x 的两个不等式①3x+a 2＜1与②1﹣3x ＞0，若两个不等式的解集相同，求a 的值．①分别求出不等式①和②的解集为x ＜2−a 3和x ＜13，②令2−a 3=13，从而不难求出a 的值．4. 已知一元一次不等式①的解都是②的解，求参数的取值范围的思路． 如关于x 的两个不等式①3x+a 2＜1与②1﹣3x ＞0，若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围的思路．①分别求出不等式①和②的解集为x ＜2−a 3和x ＜13，②令2−a 3≤13，从而不难求出a 的取值范围．【随堂练习】1．如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．【解答】解：移项得（2m﹣n）x＞5n﹣m，∵关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，∴2m﹣n＜0，且x＜，∴＝，整理得n＝m，把n＝m代入2m﹣n＜0得，2m﹣m＜0，解得m＜0，∵mx＞n，∴mx＞m，∴x＜．∴关于x的不等式mx＞n的解集是x＜．知识点2 含参的一元一次不等式组含参的一元一次不等式组常考题型1.给出不等式组解集的情况，求参数取值范围2.给出不等式组的解集，求参数的值3.给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围4.给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围【典例】1. 若关于x 的一元一次不等式组{x −2m ＜0x +m ＞2有解，则m 的取值范围为 ．【答案】m ＞23．【解析】解：{x −2m ＜0⋯①x +m ＞2⋯ ②，解①得：x ＜2m ， 解②得：x ＞2﹣m ，∵关于x 的一元一次不等式组{x −2m ＜0x +m ＞2有解，∴2m ＞2﹣m ，解得：m ＞23． 故答案是：m ＞23．2.已知不等式{2x −a ＜1x −2b ＞3的解集为﹣1＜x ＜1，求（a+1）（b ﹣1）的值为 ．【答案】﹣6．【解析】解：由2x −a ＜1，解得x ＜a+12．由x −2b ＞3，解得x ＞3+2b ．∵不等式{2x −a ＜1x −2b ＞3的解集为﹣1＜x ＜1，∴a+12=1，3+2b=﹣1，解得a=1，b=﹣2，∴（a+1）（b ﹣1）=（1+1）×（﹣2﹣1）=﹣6， ∴（a+1）（b ﹣1）的值为﹣6． 故答案为﹣6．3.如果关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数，则a 的取值范围是 ．【答案】﹣4＜a ＜5． 【解析】解：{x +y =3 ①x −2y =a −2②，①﹣②得3y=5﹣a ，则y=5−a 3， 把y=5−a 3代入①得x=3﹣5−a 3=4+a 3．则方程组的解是{x =4+a3y =5−a 3，∵关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数，∴{4+a3＞05−a 3＞0， 解得﹣4＜a ＜5． 故答案是：﹣4＜a ＜5．4.不等式组{3x −5＞15x −a ≤12有2个整数解，则实数a 的取值范围是 ．【答案】8≤a ＜13．【解析】解：解不等式3x ﹣5＞1，得：x ＞2， 解不等式5x ﹣a ≤12，得：x ≤a+125，∵不等式组有2个整数解，∴不等式组{3x −5＞15x −a ≤12整数解为3和4，则4≤a+125＜5，解得：8≤a ＜13， 故答案为：8≤a ＜13．【方法总结】1.给出不等式组解的情况，求参数取值范围，解题思路如下：①分别求出不等式组中每个不等式的解集，②确定参数的取值范围，记住：“大小小大有解；大大小小无解．”注意：端点值另外考虑．2.给出不等式组的解集，求参数的值，解题思路如下：①先求出含参不等式组中每个不等式的解集；②再利用已知解集和所求解集之间的对应关系，建立方程（组）；③解方程（组），从而求出参数的值．3.给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围，解题思路如下：①先求含参数的方程组的解，方程组的解用含参的式子表示出来；②列出题目中解满足的不等关系，将含参数的式子代入，转化为关于参数的不等式（组），③解不等式（组），从而求出参数的取值范围．4.给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围，解题思路如下：①先求出不含参数的不等式的解集；②再结合题意，在不含参数的不等式解集范围内找出连续的几个整数解；③参数的范围就在最后一个整数解差一个单位长度的范围内（借助数轴解决问题），注意：端点值特殊考虑．【随堂练习】1．已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1．（1）当a＝﹣2时，求x，y的值；（2）若x≤1，求y的取值范围．【解答】解：（1），①﹣②，得：4y＝4﹣4a，解得：y＝1﹣a，将y＝1﹣a代入②，得：x﹣1+a＝3a，解得：x＝2a+1，则，∵a＝﹣2，∴x＝﹣4+1＝﹣3，y＝1+2＝3；（2）∵x＝2a+1≤1，即a≤0，∴﹣3≤a≤0，即1≤1﹣a≤4，则1≤y≤4．2．已知关于x、y的方程组（实数m是常数）．（1）若x+y＝1，求实数m的值；（2）若﹣1＜x﹣y＜5，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，化简：|m+2|﹣|2m﹣6|．【解答】解：（1）将方程组中的两个方程相加，得3（x+y）＝6m+1，将x+y＝1代入，得6m+1＝3，解得m＝；（2）将方程组中的两个方程相减，得x﹣y＝2m﹣1，解不等式组﹣1＜2m﹣1＜5，得0＜m＜3；（3）当0≤m≤3时，|m+2|-|2m﹣6|＝（m+2）+（2m﹣6）＝3m-4．知识点3 一元一次不等式的应用一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【典例】1.某中学计划用2500元购买一批名著和辞典作为奖品，其中名著每套60元，辞典每本40元，现已购买名著24套，学校最多还能买多少本辞典？【答案】略．【解析】解：设学校能买x本辞典，∵名著每套60元，现已购买名著24套，辞典每本40元，学校能买x本辞典，∴购买24套名著费用=24×60（元），购买x本辞典费用=40x（元），∵购买24套名著费用与购买x本辞典费用和不超过2500元，，∴可列出关于x的一元一次不等式：40x+24×60≤2500，解得：x≤2612∵x为整数，∴x=26．答：学校最多能买26本辞典．【方法总结】一元一次不等式的应用解决此类问题关键在于掌握解列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【随堂练习】1．为了开展全校学生阳光体育运动活动，增强学生身体素质，张老师所在的学校需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：足球数量（个）篮球数量（个）总费用（元）第一次65750第二次37780第三次78742（1）张老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；（2）求足球和篮球的标价；（3）如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，张老师决定从该商场一次性购买足球和篮球50个，且总费用不能超过2200元，那么最多可以购买多少个篮球．【解答】解：（1）张老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售．理由：∵张老师在某商场购买足球和篮球共三次，只有一次购买时，足球和篮球同时打折，其余两次均按标价购买，且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，∴按打折价购买足球和篮球是第三次购买；故答案为：三；（2）设足球的标价为x元，篮球的标价为y元．根据题意，得，解得：．答：足球的标价为50元，篮球的标价为90元；（3）设购买a个篮球，依题意有0.6×50（50﹣a）+0.6×90a≤2200，解得a≤29．故最多可以买29个篮球．2．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．若顾客购物应付x元，请根据x的取值，讨论顾客到哪家商场购物花费少？【解答】解：（1）当x≤50时，在甲、乙两个商场购物都不享受优惠，因此到两个商场购物花费一样；（2）当50＜x≤100时，在乙商场购物享受优惠，在甲商场购物不享受优惠，因此在乙商场购物花费少；（3）当累计购物超过100元时，即x＞100元，甲商场消费为：100+（x﹣100）×0.9元，在乙商场消费为：50+（x﹣50）×0.95元．当100+（x﹣100）×0.9＞50+（x﹣50）×0.95，解得：x＜150，当100+（x﹣100）×0.9＜50+（x﹣50）×0.95，解得：x＞150，当100+（x﹣100）×0.9＝50+（x﹣50）×0.95，解得：x＝150．综上所述，当累计消费大于50元少于150元时，在乙商店花费少；当累计消费大于150元时，在甲商店花费少；当累计消费等于150元或不超过50元时，在甲乙商场花费一样．知识点4 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的实际应用问题，通常列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．【典例】1.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．这些书有多少本？学生有多少人？【答案】略．【解析】解：设有x个学生，那么共有（3x+8）本书，∵如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本，∴可知最后一人分到书的数的数量大于等于0且小于3，即0≤书的总数-（x-1）×5＜3，∴可列不等式组为{3x+8−5(x−1)≥03x+8−5(x−1)＜3，解得5＜x≤6.5，∵x为整数，∴x=6，∴共有6×3+8=26本，答：有26本书，6个学生．【方法总结】一元一次不等式组的应用解题思路①将题目中所给信息与数学思想联系起来，读懂题，列出不等式关系；②根据不等关系，列一元一次不等式组；③解一元一次不等式组；④从不等式组解集中找出符合题意的答案，并作答．【随堂练习】1．青县祥通汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【解答】解：（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则，解得，答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得18a+26（6﹣a）≥130，解得a≤3，∴2≤a≤3．a是正整数，∴a＝2或a＝3．共有两种方案：方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车；2．义安中学工会“三八妇女节”共筹集会费1800元，工会决定拿出不少于270元，但不超过300元的资金为“优秀女职工”购买纪念品，其余的钱用于给50位女职工每人买一瓶洗发液或护发素，已知每瓶洗发液比每瓶护发素贵9元，用200元恰好可以买到2瓶洗发液和5瓶护发素．（1）求每瓶洗发液和每瓶护发素价格各是多少元？（2）有几种购买洗发液和护发素的方案？哪种方案用于为“优秀女职工”购买纪念品的资金更充足？【解答】解：（1）设每瓶洗发液和每瓶护发素价格分别为x元和y元，则，解得．答：每瓶洗发液和每瓶护发素的价格分别为35元和26元．（2）设购买洗发液t瓶，购买护发素（50﹣t）瓶，则1800﹣300≤35t+26（50﹣t）≤1800﹣270解得22≤t≤25，因为t为正整数，所以t＝23，24，25，即有三种方案：第一种方案：购买洗发液23瓶，护发素27瓶，余下资金293元．第二种方案：购买洗发液24瓶，护发素26瓶，余下资金284元．第三种方案：购洗发液25瓶，护发素25瓶，余下资金275元．综合运用1.若不等式（k﹣4）x＞﹣1的解集为x＜−1k−4，则k的取值范围是．【答案】k＜4．【解析】解：∵不等式（k﹣4）x＞﹣1的解集为x＜−1k−4，∴k﹣4＜0，解得：k＜4．故答案为k＜4．2.关于x的两个不等式3x+a2＜1与3﹣3x＞0的解集相同，则a= ．【答案】-1．【解析】解：由3x+a2＜1得：x＜2−a3，由3﹣3x ＞0得：x ＜1， 由两个不等式的解集相同，得到2−a 3=1，解得：a=-1． 故答案为：-1．3.已知关于x ，y 的方程组{3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②（1）由方程①﹣②，可方便地求得x ﹣y= ；（2）若方程组的解满足x+y ＞0，则a 的取值范围是 ． 【答案】2a ； a ＞﹣1．【解析】解：（1）{3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②，①﹣②得，2x ﹣2y=1+3a ﹣1+a ， 即x ﹣y=2a ；（2）①+②得，4x+4y=1+3a+1﹣a ， 即x+y=12a+12； ∵x+y ＞0，∴12a+12＞0，解得a ＞﹣1； 故答案为2a ；a ＞﹣1．4.已知不等式组 {x +1＜a3x +5＞x −7无解，则a 的取值范围是 ．【答案】a ≤﹣5【解析】解：解不等式x+1＜a ，可得：x ＜a ﹣1；解不等式3x+5＞x ﹣7，可得：x ＞﹣6， 因为不等式组 {x +1＜a3x +5＞x −7无解，所以a ﹣1≤﹣6， 解得：a ≤﹣5， 故答案为：a ≤﹣55.关于x 的不等式组{x −a ＞01−x ＞0的整数解共有3个，则a 的取值范围是 ．【答案】﹣3≤a ＜﹣2．【解析】解：由不等式①得x ＞a ， 由不等式②得x ＜1，所以不等式组的解集是a ＜x ＜1，∵关于x 的不等式组{x −a ＞01−x ＞0的整数解共有3个，∴3个整数解为0，﹣1，﹣2， ∴a 的取值范围是﹣3≤a ＜﹣2．6.已知不等式组{x +2＞m +nx −1＜m −1的解集为﹣1＜x ＜2，则（m+n ）2018=_________．【答案】1．【解析】解：解不等式x+2＞m+n ，得：x ＞m+n ﹣2， 解不等式x ﹣1＜m ﹣1，得：x ＜m ，∴不等式组{x +2＞m +nx −1＜m −1的解集为m+n ﹣2＜x ＜m ，∵不等式组的解集为：﹣1＜x ＜2， ∴m+n ﹣2=﹣1，m=2， 解得：m=2，n=﹣1，则（m+n ）2018=（2﹣1）2018=1， 故答案为：1．7.已知关于x ，y 的二元一次方程组{4x +y =k +2x +4y =3的解满足0＜x+y ＜1，则k 的取值范围是 ． 【答案】﹣5＜k ＜0．【解析】解：将两方程相加可得5x+5y=k+5， ∴x+y=k+55，∵0＜x+y ＜1，∴{k+55＞0k+55＜1，解得﹣5＜k ＜0，∴k 的取值范围是﹣5＜k ＜0， 故答案为：﹣5＜k ＜0．8.某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价_________元出售该商品． 【答案】6．【解析】解：设降价x 元出售该商品，，则降价出售获得的利润是(22.5﹣x ﹣15)元，根据利润率不低于10%，列出不等式得，22.5﹣x﹣15≥15×10%，解得x≤6，故该店最多降价6元出售该商品．故答案为：6．9.某种毛巾的原零售价为每条6元，凡一次性购买两条以上（含两条），商家推出两种优惠方案：（1）两条按原价，其余按七折优惠；（2）全部按八折优惠．若在购买相同数量的毛巾的情况下，要使方案（1）比方案（2）合算，则最少要购买毛巾___________条．【答案】7．【解析】解：设购买毛巾x条，∵根据题意可得不等关系：2条毛巾的价格+（x﹣2）条毛巾的价格×0.7＜x条毛巾打8折的价格，∴可列出不等式为：6×2+6×0.7（x﹣2）＜6×0.8x，解得x＞6，∵x为最小整数，∴x=7，故答案为：7．＜1与②2（x﹣2）＞3x﹣6．10.关于x的两个不等式：①a+2x3（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；（2）若不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4，求a的取值范围．【答案】略．，【解析】解：（1）由①得：x＜3−a2由②得：x＜2，由两个不等式的解集相同，得到3−a=2，2解得：a=﹣1．故a的值为﹣1；（2）由不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4，得到3−a+1＜4，2解得a＞﹣3．故a的取值范围是a＞﹣3．11.某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．【答案】略．【解析】解：设用A型货厢x节，则用B型货厢（50﹣x）节，∵甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，∴x节A型货厢可装甲种货物35x吨，乙种货物15x吨；(50-x)节B型货厢可装甲种货物25(50-x)吨，乙种货物35(50-x)吨；∴x节A型货厢和（50﹣x）节B型货厢共装甲种货物为[35x+25(50-x)]吨，x节A型货厢和（50﹣x）节B型货厢共装乙种货物为[15x+35(50-x)]吨，∴{35x+25(50−x)≥153015x+35(50−x)≥1150解得28≤x≤30，∵x为整数，∴x只能取28，29，30，∴当x=28时，则50-x=22，当x=29时，则50-x=21，当x=30时，则50-x=20，共有三种调运方案：第一种调运方案：用A型货厢28节，B型货厢22节；第二种调运方案：用A型货厢29节，B型货厢21节；第三种调运方案：用A型货厢30节，B型货厢20节．12.某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？【答案】略．【解析】解：设生产A产品x件，则生产B产品（50﹣x）件，∴该工厂生产A种产品和B种产品一共投入资金为[0.6x+0.9(50-x)]元，∵该厂生产A种产品和B种产品投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，∴可列不等式组为：{0.6x+0.9(50−x)≤40 0.2x+0.4(50−x)＞16，解得：50≤x＜20，3∵x取整数，∴x可取17、18、19，共三种方案：①A 17件，B 33件；②A 18件，B 32件；③A 19件，B 31件；第一种方案获利：0.2×17+0.4×33=16.6万元；第二种方案获利：0.2×18+0.4×32=16.4万元；第三种方案获利：0.2×19+0.4×31=16.2万元；故可得方案一获利最大，最大利润为16.6万元．答：工厂有3种生产方案，第一种方案获利润最大，最大利润是16.6万元．21。
初一下册数学直升班培优讲义教师版第9讲 含参不等式组
模块一含参不等式组1．不等式组解集口诀设b＜a解集在数轴上表示的示意图口诀x a > x b >x a>b a同大取大x a ＜x b ＜x b＜b a同小取小x a ＜x b >b x a＜＜b a大小小大中间找x a > x b ＜无解b a大大小小无解了2．不等式组的常见题型（1）已知不等式组的解集情况，求参数的取值或取值范围；（2）整数解问题模块二含参不等式（组）和方程（组）综合解关于x的不等式组365(12)8 mx mxmx x m x-<-⎧⎨+>-+⎩．化简不等式组得411 38 mxmx<⎧⎨>⎩．①当0m>时，可化为11483xmxm⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，且81113412m m m-=-<，故解集为81134xm m<<；模块一含参不等式组②当0m <时，可化为11483x mx m ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，且811103412m m m -=->，故解集为11843x m m <<； ③当0m =时，原不等式组无解．【教师备课提示】这道题主要考查含参不等式组的基本解法．（1）若关于x 的不等式0521x a x ->⎧⎨-⎩≥-无解，则a 的取值范围为___________．（2）若不等式组232x a x a >+⎧⎨-⎩≤有解，试判断不等式组22x ax a >-⎧⎨<+⎩的解的情况．（1）不等式组化简得到3x ax >⎧⎨⎩≤，“大大小小没有解”，知3a >；再讨论当3a =时不等式组解的情况，发现亦为无解.3a ≥∴. （2）“大小小大中间找”，232a a +<-；当232a a +=-时，不等式组无解. 2a >∴，22a a -<+∴，∴不等式组的解集为22a x a -<<+.（1）（实外半期）关于x 的一元一次不等式组26x x x m -+>-⎧⎨<⎩的解集是4x <，则m 的取值范围是 ．（2）已知不等式组221x m x m ->⎧⎨->⎩的解集为5x >，则m 的值为．（3）如果不等式组2222xa bx b a⎧+>⎪⎨⎪-<⎩的解集是12x <<，则a b +=___________．（1）4m ≥．（2）不等式分别求解得到221x m x m >+⎧⎨>+⎩，求解需要讨论m 的取值范围.1︒当212m m ++≥时，即1m ≥时，解集为12x m >+， 5x >∵，125m +=∴，2m =∴，检验满足1m ≥. 2︒当212m m +<+时，即1m <时，解集为2x m >+，5x >∵，25m +=∴，3m =∴，检验发现不满足1m <，舍. 2m =∴．（3）解不等式组得到4222x b a a b x >-⎧⎪⎨+<⎪⎩，则可得421222b a a b-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得321a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，52a b +=∴． 【教师备课提示】例2和例3主要考查已知不等式组的解集情况，求参数的值或取值范围．（1）已知关于x 的不等式组0321x a x -⎧⎨->-⎩≥的整数解有5个，则a 的取值范围是______．（2）关于x 的不等式组5210x x a --⎧⎨->⎩≥共有4个整数解，则a 的取值范围是__________．（3）如果关于x 的不等式7060x a x b -⎧⎨-<⎩≥的整数解只有1，2，3，则a 的取值范围______，b 的的取值范围__________．（1）43a -<≤-；（2）10a -≤<；（3）07<a ≤，1824b <≤．【教师备课提示】这道题主要考查不等式组的整数解问题，先定范围，再定临界．（2014实外直升考试）不等式组21531365215x x x +-⎧-<⎪⎨⎪-≤-≤⎩①②的解集是关于x 的一元一次不等式1ax >-解集的一部分，求a 的取值范围_____________．分类讨论0a >、0a <的情况，113a -<≤，且0a ≠．【教师备课提示】这道题是含参不等式的综合考查，需要分类讨论，注意是一元一次不等式．（1）（育才半期）关于x的方程5(5)7(36)x a x a--=++的解为负数，则a的取值范围是____________．（2）已知关于x，y的方程组2743x y mx y m+=+⎧⎨-=-⎩的解为正数，化简|32||5|m m+--．（1）解方程得：412ax+=-，由0x<，得412a+-<，14a>-∴．（2）由题意得2743x y mx y m+=+⎧⎨-=-⎩，解得325x my m=+⎧⎨=-⎩．∴32050mm+>⎧⎨->⎩，解得253m-<<．∴320m+>，50m-<．∴|32||5|32543 m m m m m+--=++-=-．（1）方程组3151x y ax y a+=+⎧⎨-=-⎩的解满足不等式341x y+>．求a的取值范围．（2）（石室联中期末）若方程31533x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y->，则a的取值范围为．（1）3151x y ax y a+=+⎧⎨-=-⎩①②-①②：4x a=-①②：1y a=-，∴41x ay a=⎧⎨=-⎩，又∵341x y+>，解得38 a>-．（2）13a>．模块二含参不等式（组）和方程（组）综合关于x 、y 的方程组53310x y x y p +=⎧⎨+-=⎩的解是正整数，则整数p 的值为多少．3-⨯①②得到：31325312p x p y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由于都是正整数， 所以有00x y >>，即31305310p p ->⎧⎨->⎩，不等式组的解为1161053p <<，由p 是整数，知78910p =，，，.其中8p =，10不满足使得x y ，为整数，舍. ∴经验证7p =或9．当x 、y 、z 为非负数时，323y z x +=+，343y z x +=-，求334W x y z =-+的最大值和最小值．由题意得，323343y z xy z x+=+⎧⎨+=-⎩①②，把x 视为参数解方程， -①②：41z x =-，带回②中：573x y -=，所以解为57341x y z x -⎧=⎪⎨⎪=-⎩由0,0y z ≥≥得到5703410xx -⎧⎪⎨⎪-⎩≥≥，1547x ≤≤∴334357164269W x y z x x x x =-+=-++-=-∴∵567269)27x --≤(≤，故56727W -≤≤．（1）若不等式组12xx k<⎧⎨>⎩≤无解，则k的取值范围是（）A．2k<B．2k≥C．1k<D．12k<≤（2）使关于x的不等式组22xxx a+⎧>⎪⎨⎪-⎩≤有解的a的取值范围是（）A．2a<B．2a>C．2a≥D．2a≠（1）B；（2）B．（1）5ax a<的解集是15x>，则a的取值范围是（）A．0a<B．0a>C．0a≥D．0a≤（2）关于x的不等式组12x mx m>-⎧⎨>+⎩的解集是2x>-，则m=___________．（3）已知不等式组211x m nx m+>+⎧⎨-<-⎩的解集为12x-<<，则2016()m n+=___________．（1）A；（2）4-；（3）1．模块一含参不等式组（1）若关于x 的不等式组0321x a x -⎧⎨->-⎩≥的整数解共有3个，则a 的取值范围为______．（2）如果不等式组9080x a x b -⎧⎨-<⎩≥的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(,)a b 共有__________个．（3）若关于x 的不等式组01x a x a ->⎧⎨-<⎩的解集中的任何一个x 值均不在35x ≤≤范围内，则a 的取值范围是___________．（1）21a -<-≤；（2）72；（3）2a ≤或5a ≥．（1）已知关于x 、y 的方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩的解满足0x y >>，化简|||3|a a +-．（2）若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x ，y ，并且24k <<，求x y -的取值范围．（1）解方程组可得212x a y a =+⎧⎨=-⎩，又0x y >>，即2120a a +>->，相当于解不等式组：21220a a a +>-⎧⎨->⎩，解得2a >；当23a <≤时，原式3=；当3a ≥时，原式23a =-．（2）方程上下两式相减得到222x y k -=-，所以12kx y -=-由24k <<，推出01x y <-<．模块二 含参不等式（组）和方程（组）综合已知不等式组2372 6335x a bb x a-<+⎧⎨--<⎩（1）若它的解集是423x<<，求a，b的值．（2）若a b=，且上述不等式无解，求a的取值范围．（1）分别解两个关于x的不等式，得37225633a bxa bx++⎧<⎪⎪⎨-+-⎪>⎪⎩，因为已知不等式组的解集是423x<<，所以37223256343a ba b++⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，解这个方程组，得35ab=⎧⎨=⎩．（2）将b a=代入，分别解两个不等式，得5133x aax<+⎧⎪-⎨>⎪⎩．根据题意，应有3513aa-+≤．解这个不等式，得37a-≤．已知实数a，b，c满足623a b ca b cb c++=⎧⎪-+=⎨⎪⎩≥≥，求a的最大值与最小值．将b，c用a来表示，32932abac+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由0b c≥≥得39322a a+-≥≥，转换为不等式组为：39322932a aa+-⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩≥≥，解得332a≤≤.故a的最大值为3，最小值为3 2 .。
初中数学人教版春季班讲义(学生版) 第11讲 含参不等式--提高班
第11讲 含参的不等式知识点1 含参的一元一次不等式含参的一元一次不等式（1）含未知数项的系数不含参数，如x ＞a ，（其中a 为常数）；（2）含未知数项的系数含参数，如mx ＞n ，（其中m 为参数、n 为常数）．【典例】例1 （2020春•公安县期末）若关于x 的方程2()6x k x +=+的解是非负数，则k 的取值范围是( ) A ．3kB ．3k >C ．3kD ．3k <【方法总结】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据题意得出关于k 的不等式，难度适中．例2 （2020秋•肇州县期末）关于x 的方程359k x -=的解是非负数，则k 的取值范围是 ．【方法总结】本题主要考查对不等式的性质，等式的性质，解一元一次方程，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据已知得出不等式是解此题的关键．【随堂练习】1．（2020春•崇川区校级月考）若方程组325x y k x y k -=+⎧⎨+=⎩的解满足2x y +<，则k 的取值范围 ．2．（2020秋•天宁区校级期中）如果点(,)P m n 在第二象限两坐标轴夹角的角平分线上（不包括原点），那么关于x 的不等式23mx n m +>的解集为 ．知识点2 含参的一元一次不等式组含参的一元一次不等式组常考题型1.给出不等式组解集的情况，求参数取值范围2.给出不等式组的解集，求参数的值3.给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围4.给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围【典例】例1 （2020•科尔沁区模拟）若不等式组1132x x x m+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则m 的取值范围为( )A ．8mB ．8m <C ．8mD ．8m >【方法总结】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m 的不等式是解此题的关键．例2（2020春•渝中区校级期末）关于x 的方程323(2)x -=-的解为非负整数，且关于x 的不等式组2(1)323x x x x --⎧⎪+⎨⎪⎩无解，则符合条件的整数的值的和为( )A ．5B ．2C ．4D ．6【方法总结】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【随堂练习】1．（2020春•蒙阴县期末）若不等式组1194x ax +<⎧⎪⎨+-⎪⎩有解，则实数a 的取值范围是( )A ．36a <-B ．36a -C ．36a -D ．36a >-2．（2020春•舞钢市期中）已知关于x 的不等式组：2123x a x b +<⎧⎨->⎩的解集是32x -<<，则a b+的值为( ) A ．3-B ．2C ．0D ．6-知识点3 一元一次不等式的应用一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【典例】例1（2020秋•南岗区校级月考）某知识竞赛共有20道题，规定答对一题得10分，答错或不答都扣5分．本次竞赛中，浩轩要超过90分，则他至少答对道题．【方法总结】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确表示出小明的得分是解决本题的关键．根据浩轩得分要超过90分，就可以得到不等关系：小明的得分＞90分，设应答对x道，则根据不等关系就可以列出不等式求解．例2 （2020春•沙河口区期末）为了让居民早日用上天然气，市燃气公司要给某小区用户改装天然气．现有360户申请了但还未改装的用户，此外每天还有新的申请．已知燃气公司每个小组每天改装的数量相同，且每天新申请的户数也相同，若安排2个小组同时做，则30天可以改装完所有新、旧申请；若再增加3个小组同时做，则可以减少20天就改装完所有新、旧申请．（1）求该小区7天内有多少需要改装的新、旧申请用户？（2）如果要求在7天内改装完所有新、旧申请，但前3天只能安排4个小组改装，那么最后几天至少需要增加多少个小组，才能完成任务？【方法总结】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，设出未知数，根据等量关系建立方程组，难度一般．同时考查了一元一次不等式的应用．【随堂练习】1．（2020春•泰兴市期末）某品牌的电脑进价为4000元/台，按物价局定价的八折销售时，利润不低于800元，则此电脑的定价至少元．2．（2020春•徐州期末）科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用A种机器人80台、B种机器人100台，1小时共可以分拣6400件包裹，若A、B两种机器人各启用50台，1小时共可以分拣3500件包裹．（1）求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；（2）为了进一步提高效率，快递公司计划再购进A，B两种机器人共150台，若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于5000件，求最多应购进A种机器人多少台？知识点4 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的实际应用问题，通常列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．【典例】例1 （2020•芜湖三模）某街道组织志愿者活动，选派志愿者到小区服务．若每一个小区安排4人，那么还剩下78人；若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人．求这个街道共选派了多少名志愿者？【方法总结】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．例2 （2020秋•江岸区校级月考）某校组织七年级同学到教育基地学习，在安排男生宿舍时如果每间宿舍住4人，则还剩20人未住下，如果每间宿舍住8人，则没有空房，且有一间宿舍未住满，求该校七年级有多少名男生参加学习？【方法总结】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．【随堂练习】1．（2020•游仙区模拟）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．则符合要求的搭配方案有几种( ) A ．2 B ．3C ．4D ．52．（2020春•南岗区校级月考）把一批书分给小朋友，每人3本，则余8本；每人5本，则最后一个小朋友得到书且不足3本，这批书有 本．3．（2020秋•南岗区校级月考）把一批书分给小朋友，每人4本，则余9本；每人6本，则最后一个小朋友分到了书，但不足3本，这批书有 本．综合运用1．（2020春•开福区校级期中）已知关于x 的不等式(6)30m n x m n -+-<的解集是1x >，则(2)520m n x n m -+->的解集为 ．2．（2020秋•大渡口区月考）已知关于x、y的二元一次方程组325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩的解满足x y>，且关于x的不等式组212213147x ax+<⎧⎪-⎨⎪⎩无解，那么所有符合条件的整数a的个数为．3．（2020春•青川县期末）已知关于x的不等式组211x m nx m+>+⎧⎨-<-⎩，的解集为12x-<<，则2020()m n+的值是．4．（2020春•西岗区期末）大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是．5．（2020•日照二模）为了奉献爱心，贡献自己的一份力量，本次新冠状病毒疫情期间，九年级4班18名团员计划在家加工2250个口罩，奉献给社区志愿者，并规定每人每天加工a个口罩（a为整数），干了几天以后，其中4人因特殊情况没能继续，若剩下的同学每人每天多加工3个口罩，则提前完成了这次任务，由此可知a的值最多是（）A．8B．9C．10D．116．（2020春•金水区校级月考）某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x 道题，根据题意得（）A．10x﹣5（20﹣x）≥120B．10x﹣5（20﹣x）≤120C．10x﹣5（20﹣x）＜120D．10x﹣5（20﹣x）＞1207．（2020春•南岗区校级月考）“端午节”将至，某商家预测某种粽子能够畅销，就准备购进甲、乙两种粽子．若购进甲种400个，乙种200个，需要用2800元；若购进甲种粽子700个，乙种粽子300个，需要4500元．（1）该商家购进的甲、乙两种粽子每个进价多少元？（2）该商家准备2500元全部用来购买甲乙两种粽子，计划销售每个甲种粽子可获利3元，销售每个乙种粽子可获利5元，且这两种粽子全部销售完毕后总利润不低于1900元，那么商家至少应购进甲种粽子多少个？8．（2020秋•江夏区期中）某工厂计划m天生产2160个零件，安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成．（1）直接写出a与m的数量关系：；（2）若原计划16天完成生产任务，但实际开工6天后，有3名工人外出参加培训，如果剩下的工人要在规定时间里完成这批零件生产任务，每人每天至少要多加工多少个零件？9．（2020秋•雨花区期中）为了美化校园，我校欲购买甲、乙两种工具．如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．（1）甲、乙两种工具每件各多少元？（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1100元，那么甲种工具最多购买多少件？。
第一课原创 含参不等式及其含参等式
(1 x)n 1 nx
注：伯努利不等式常见的推论：
ⅰ: 若x＞-1,且α≤0 或α≥1，则 (1 x) 1x
ⅱ:若x＞-1,且0≤α ≤1 ，则 (1 x) 1x
ⅲ:若xi＞-1 , 则 (1 x1 x2 xn ) (1 x1)(1 x2 )(1 xn ) (当且仅当n=1时等号成立)
2.应用：
i：作用：换序变结构 ii：用途：解证求最值
注：最常见的是将 b1 ,b2 ,,bn 配凑为
①a1, a2,, an
② 1 , 1 ,, 1
a1 a2
an
③常数列
14 排序不等式
已知 a1 ≤ a 2 ≤ a3 ≤…≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤…≤ bn
若 c1 , c2 , c3 , …, cn 是 b1 , b2 , b3 , …, bn 的任意一个排列,
sin x＞cosx
sin x＜tanx sin x＞tanx
sin x＜cosx
1.若 sin x 2.若 cos x 3.若 tan x 4.若 sin x 5.若 sin x
常用结论要背熟
0 ,则 x 0 ,则 x 0 ,则 x cos x ,则 x tan x ,则 x
15 分数的性质 (糖水不等式，调日术，插值定理)
若 ac
bd
,a,b,c,d,m,n＞0,则
a ma nc c b mb nd d
特例1：若 a 1,a,b,m＞0,则 a a m 1
b
b bm
注：真分数的分子分母加同一正数后放大
特例2：若 a 1 ,a,b,m＞0,则 a a m 1
高中数学 3.2含参不等式课件 新人教A版必修5
3、若关于 x 的不等式 ax2 1 x c 0 的解集
a
为{x|- 2< x< 1},则 a __1_,c ___-_2_.
4、判别下列问题正误,并说明理由。
（1）不等式 a2(x 1) 0 与 x 1 0 同解 ( )
(2) 不等式(x 1)(x a) 0 的解集是 (1,a) （ ）
不等式的解集
ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0
(a>0)
(a>0)
{x|x<x1或x>x2} {xΔ<0 时,方 程无实根
R
φ
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3
想一想：若一元二次不等式ax2 bx c 0
的解集是 R，你能得出怎样的结论？
a 0
0
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4
2、函数 y lg(3x2 7x 10) 的定义域是 _(___1_,__1 0 )
解：原不等式 (x a)(x 2) 0 当 a 2时，( x 2)2 0 x 2
当 a 2时，x a或x 2
当 a 2时，x 2或x a
综上：当 a 2时，原不等式的解集是{x x 2}
当a 2时，原不等式的解集是 x x a或x 2
当a 2时，原不等式的解集是 x x 2或x a
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例 2、解关于 x 的不等式 ax2 (a1)x10,(a0)
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例 2、解关于 x 的不等式 ax2 (a 1)x 1 0,(a 0)
解：原不等式 (ax 1)(x 1) 0 (x 1)(x 1) 0
a
a 0 1 1原不等式的解集是{x x 1或x 1}
a
a
若 a R ,你会解此不等式吗？
高一第7讲 含参不等式的解法与均值不等式(教师) - 副本
高一第7讲 不等式（含参）的解法一、复习与巩固（一）绝对值不等式： 1、绝对值的意义意义： 在数轴上a 表示a 对应的点到原点的距离，a b -表示a 与b 之间的距离.代数表达式为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩它的一个重要性质是：a b a b a b -≤±≤+ 2、基本绝对值不等式的解法巧记方法为“小于取中间，大于取两边”. （5个基本不等式的求解） （1）a x <()0>a a x a ⇔-<<； （2）a x >()0>a x a x a ⇔><-或；（3）c b ax <+()0>c c ax b c ⇔-<+<；（4）c b ax >+()0>c ax b c ax b c ⇔+>+<-或；（5）()0,><+<d c d b ax c {ax b dax b c +<+>⇔（分别求出每一个不等式的解集，再求二者交集） 3、含多个绝对值不等式的解法 方法1:利用绝对值的几何意义. 方法2:利用零点分段进行讨论.（二）一元二次不等式：2 一元二次不等式的解题步骤（1）先判断二次项系数的正负，若为负，化为正数； （2）判断方程的判别式大于0，等于0，或小于0，解方程；（3）根据方程的根，结合变形后不等号的方向，写出不等式的解集，“大于（号）找两边，小于（号）找中间”. (三)分式、指数、对数不等式1.分式不等式分式不等式的等价变形：)()(x g x f >0⇔f(x)·g(x)>0，)()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 。
2.指数不等式 aa f x gx ()()>⇒()()()11当时，a fx g x >>；()()()201当时，<<<a f x g x ； 3.对数不等式a Nb N ba =⇔=log ， 1(00log log log )log m na a ab n a b b b b m a>>⇔=，，，等， l o g()l o g()a afx g x >⇒（1）当a >1时，g x f x g x ()()()>>⎧⎨⎪⎩⎪0；（2）当01<<a 时，f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0。
高一数学 初升高衔接班 第七讲 含参数的一元二次不等式讲义
第七讲含参数的一元二次不等式一、讲解范例20k??kx?2x x例1、解关于的不等式20??ax)?12)(x(x?x的不等式：、解关于例22?2kx?2xk?1xk的取值范围. 例取任何实数均成立，求3、若不等式对于2?6xx?3420?a?1xaax?(?1)?ax的取值4例、已知关于的二次不等式：，求集为的解R. 范围12?(m?2)x?(4xm?5?0)m分别有（例5、当取什么实数时，方程）①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1.2x kxkkk的取值范围. 2=02(例6、已知方程－+1)有两个负实根，求实数+4+32二、课堂练习22ax axa.的解集为R(，求实数－1)的取值范围1、已知(－-1) 1<0－2x mmxxmm（+ 2、关于的方程=0有两个不等的实根，则+(2）+1)的取值范围是：1111????). ＋,0)∪(0, ，＋－]；B.( )；－D.( A.(－,－)；C.[ －, ＋44442x kxk的取值范围.－(+4=0+2)3、若方程有两负根，求m207?x?mx??(m?1)8的取值范围是有两个负根，则实数、若方程 4222??x kxkky 的 =－2( －1)＋＋的两个实根，求＋1=0 关于、5、设αβ是关于方程y的取值范围解析式，并求6．解下列关于的不等式：（分类讨论）x x?a12（2）（1）)aa?0(?3，且??20?1?x?(a)x?(x?2)(x?3)a32（43））（0)?)(ax?2(x?20?11)x?ax?(a?x2 6）（（5）0?xax?1?)R(a?1??a x?12. 的取值范围对）若不、（1等式恒成立，求实数7a0?x(a?2)x?2(a?2)?4Rx?2?2mx?2xm的解集为2（）若不等式，求实数的取值范围.mR1?236?x?4x22）已知，、8（1}1xx??20},B{|a?(?)?0x?a?3|{A?xx?x1?x2（的取值范围. ，求实数，2）已知aB?B 且},0a?x1?a?xx{?B|()?AA?{x|}0?3x?422)?1(a(a?1)2的解集依次为与的不等式(3) 关于与01)?2(3a?x)?3(a?1x?Ax|?|x?22，若，求实数的取值范围.BA?Bax?a，若，4）设全集，集合（R?A B RU?}3?1|A?{x|?{?0},B?x||2x1?x求实数的取值范围. a22?2x?8??{x|x0}B6{A?x|x?x??0},，5（）已知全集，RU?22?0}ax?3a|C?{xx4?若，求实数的取值范围.a C (AB)?5三、作业122)11??x?(x?2ax xa的取值范围是都成立，对一切实数1．如果不等式2 2kx?kx?1?0kx>0)，不等式都成立，那么k．如果对于任何实数的取值范围是( 222ax axaax的取值范的值恒为负2(，求－1)3．对于任意实数 (5，代数式－43－－)－围222??x kkyxk的＋1=0的两个实根，求 =关于α4．设、β是关于方程－2( －1)＋＋y解析式，并求的取值范围m20?7?5?3x(m?)x的取值范围5. 若方程，则实数4的一个根大于，另一个根小于4是620XX—019学年度第一学期生物教研组工作计划指导思想以新一轮课程改革为抓手，更新教育理念，积极推进教学改革。
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解：（1）当a=0时，原不等式的解集为
。
（2）当a>0时，方程
，△=4－4a。
①若△>0，即0时，方程
的两个解为
，
，
。
所以原不等式的解集为
。
②若△=0，即a=1时，原不等式的解集为
。
③若△<0，即a>1时，原不等式的解集为R。
④当a<0时，一定有△>0，方程
两个解为
，
。
，且
原不等式的解集为
。
总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次 不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨
。
当a>0时，解集为
当a<0时，解集为
。
由以上几例可以看出，求解含参数的不等式（组）问题，与最简单的不等式的解法密切相关，也是
分类讨论的出发点，若能紧紧抓住基础知识，将复杂问题分解为基本问题，就会理清思路，化繁为简，
快速解题。
含参数的不等式解法归类解析
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含参数的不等式解法归类解析
求解含参数的不等式集中了解不等式的基础知识、基本技能，常与分类讨论相结合，成为各类 考试中的重点和难点。
分类讨论的关键在于弄清为什么要分类，从什么角度进行分类。
一、含参数的一元二次不等式的讨论策略
例1 解关于x的不等式
。
分析：对含参数的一元二次不等式的解题思路一般为先讨论二次项系数，后对“△”进行讨 论。需要的话还要对根的大小进行比较。其过程跟我们画二次函数的过程是一致的。
（2）当a≠0时，原不等式化为
。②
对于不等式②，分子中的系数a不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以 一个负数，不等式的方向要改变。
当a>0时，原不等式等价于
由于
，可直接写出解集。
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当a<0时，
。
由
。
综上，当a=0时原不等式的解集为
正确解法：当a<0时，得
。
当 时，得①
或②
。
由①解得
。
由②得
。
此时分类可知，若
，解得
。
若 ，此不等式无解。
综上，当a<0时，原不等式解集为R；
当
时，原不等式解集为
；
当 时，原不等式解集为
。
总结：解含绝对值不等式的基本思路：一是从定义出发，直接去掉绝对值符号；二是根据绝对 值的定义通过分类讨论，特别是对不等式中对参数的讨论去掉绝对值符号，将原不等式转化为不含绝对 值的不等式求解；三是数形结合，利用函数图象求解；四是将较复杂的绝对值不等式等价转化为最简单 的绝对值不等式求解。
论。（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不 知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含 有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大 小进行比较。
二、含参数的绝对值不等式的讨论方法
例2 解关于x的不等式
。
错解：
当
时，解得
当
时，解得
。 。 。
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剖析：此解法没有对a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。解绝对值不等式的关键是去
掉绝对值符号，由于a的范围不确定，所以解题时需对a进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑
0≤a<4和a≥4两种情况。
三、含参数的分式不等式的讨论方法
论。
例3 已知
，解不等式
。
分析：这是一个含参数的分式不等式，主要策略是化为不等式组讨论或转化为整式不等式讨
解：原不等式化为
①
策略一：分式不等式的最基本形式是 用移项、通分转化为最基本形式。
，对于任意一个分式不等式，应当首先
（1）当a=0时，原不等式为
。
在①中，分子中x的系数含有字母a，分类讨论就从这里引起。