二次函数与一元二次方程
c＝0 c>0 c<0
第15讲┃ 考点聚焦
考点3
二次函数图象的平移
将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－ h)2＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均 可由抛物线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图15－1 ：
图15－1
第15讲┃ 考点聚焦
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用顶点 式，利用顶点的平移来研究图象的平移．
9 ∴点P 的坐标是－3，－ ， 2
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形
9 27 NPMO的面积，∴S ＝3× － ＝ . 2 2
第15讲┃ 归类示例
变式题 [2013·绵阳改编]已知抛物线：y＝x2－2x＋m－1 与 x 轴只有一个交点，且与 y 轴交于 A 点，如图 15 － 3，设它 的顶点为B. (1)求m的值； (2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是 等腰直角三角形； (3) 将此抛物线向下平移 4 个单位后，得到抛物线 C′，且 与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，求抛物线C′的关 系式和直线EF的关系式．
b
ab>0(b与a同号) ab<0(b与a异号)
第15讲┃ 考点聚焦
c
b－ 4ac
2
特殊 关系
经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有惟一交点 2 b －4ac＝0 (顶点) 与x轴有两个不 2 b －4ac>0 同交点 2 b －4ac<0 与x轴没有交点 当x＝1时，y＝a＋b＋c 当x＝－1时，y＝a－b＋c 若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0 若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0
第15讲┃ 归类示例 ► 类型之三 二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
命题角度： 1. 二次函数的图象的开口方向，对称轴，顶点坐标， 与坐标轴的交点情况与a，b，c的关系； 2. 图象上的特殊点与a，b，c的关系． 例4 [2012·重庆] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象如图15－4所示， 对称轴x＝－ .下列结论中，正确的 是( D )
第15讲┃ 归类示例
1．采用由“点”带“形”的方法．图形在平移时，图 形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离，抛物 线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决． 2．平移的变化规律可为： (1) 上 、 下 平 移 ： 当 抛 物 线 y ＝ a(x － h)2 ＋ k 向 上 平 移 m(m>0)个单位后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋ k＋m；当抛物线 y＝ a(x－h)2 ＋k向下平移 m(m>0)个单位后， 所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h)2＋k－m. (2) 左 、 右 平 移 ： 当 抛 物 线 y ＝ a(x － h)2 ＋ k 向 左 平 移 n(n>0) 个单位后，所得的抛物线的关系式为 y ＝ a(x － h ＋ n)2 ＋ k ；当抛物线 y ＝ a(x － h)2 ＋ k 向右平移 n(n>0) 个单位 后，所得的抛物线的关系式为y＝a(x－h－n)2＋k.
第16讲┃ 回归教材
解：(1)设上涨后，每件单价为x元，则 y＝(x－60)[300－10(x－80)] ＝(x－60)(300－10x＋800) ＝(x－60)(1100－10x) ＝－10x2＋1700x－66000， 即y＝－10x2＋1700x－66000. (2)y＝－10x2＋1700x－66000 ＝－10(x－85)2＋6250. 因为－10＜0，所以当x＝85时，y有最大值，y最 大值＝6250. 即单价定为85元时，每月销售商品的利润最大， 最大利润为6250元．
图15－3
第15讲┃ 归类示例
解：(1)抛物线与x轴只有一个交点，说明Δ＝0，∴m＝2. (2)证明：∵抛物线的关系式是y＝x2－2x＋1，∴A(0，1)， B(1，0)， ∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB，∴∠BAC＝ ∠OBA＝45°，A，C是关于对称轴x＝1的对称点，∴AB＝BC ，∴△ABC是等腰直角三角形．
第15讲┃ 归类示例 ► 类型之四 二次函数的图象与性质的综合运用
命题角度： 二次函数的图象与性质的综合运用． 例5 [2013·连云港] 如图15－5，抛物线y＝－x2＋ bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为 抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边 形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3. (1)求该抛物线所对应的函数关系式；
第15讲┃ 归类示例 (2)求△ABD的面积；
(3) 将三角形 AOC绕点 C逆时针旋转 90°，点 A对应点为点 G， 问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
图15－5
第15讲┃ 归类ห้องสมุดไป่ตู้例
[解析] (1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长， 先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该 函数的关系式． (2)根据(1)的函数关系式求出A、B、D三点的坐标 ，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出 △ABD的面积． (3)首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G 的坐标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断 即可．
第15讲┃ 归类示例
第15讲┃ 归类示例
(1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形， 充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的 性质解决问题的关键． (2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待 定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式． (3)已知二次函数图象上的点 (除顶点外)和对称轴 ，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标．
第15讲┃ 归类示例
例3 [2012·广安]如图15－2，把抛物线y＝0.5x2平移得到 抛物线m. 抛物线m经过点A(－6,0)和原点(0,0)，它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线y＝0.5x2交于点Q，则图中阴影部分 27 的面积为________ ． 2
图15－2
第15讲┃ 归类示例
[解析 ] 过点P作PM⊥y轴于点M. ∵抛物线平移后经过原点O和点A(－ 6，0)， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝－3， 1 得出二次函数的关系式为：y＝ (x＋ 3)2＋h， 2 将(－ 6，0)代入，得 1 9 2 0＝ ( －6＋3) ＋h ，解得h＝－ ， 2 2
1 0，故本选项错误；D项，∵对称轴为直线x＝－ ，图象与x轴的一个交点的横坐 2 标x1的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的横坐标x2的取值范围为x 2＜－ 2， ∴当x＝－2时，4a－2b＋c＜0，即4a ＋c＜2b，故本选项正确． 故选D.
第15讲┃ 归类示例
二次函数的图象特征主要从开口方向、与x轴有 无交点，与y轴的交点及对称轴的位置，确定a，b，c 及b2－4ac的符号，有时也可把x的值代入，根据图象 确定y的符号．
第15讲┃ 归类示例 ► 类型之二 二次函数的图象的平移 命题角度： 1. 二次函数的图象的平移规律； 2. 利用平移求二次函数的图象的关系式． 例2 [2013·扬州]将抛物线 y＝x2＋ 1先向左平移 2个单 位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式 是( B ) A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2 [解析] 抛物线y＝x2＋1的顶点为(0，1)，将点(0，1)先向 左平移2个单位，再向下平移3个单位所得到的点的坐标 为(－2，－2)，所以平移后抛物线的关系式为y＝(x＋2)2 －2.故选B.
第15讲┃ 二次函数与一元二次方程
第15讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－ 4ac 的符号 方程ax2＋bx＋c ＝0有实根 的个数 不相等 实根 两个________ 相等 两个________ 实根 没有 实根 ________
抛物线y＝ax2 ＋bx＋c与x轴 的交点个数
第15讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 二次函数与一元二次方程 命题角度： 1．二次函数与一元二次方程之间的关系； 2．图象法解一元二次方程； 3．二次函数与不等式(组)．
例1 抛物线y＝x2－4x＋m与x轴的一个交点的坐标为(1， (3，0) ． 0)，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是________ [解析] 把(1，0)代入y＝x2－4x＋m中，得m＝3， 所以原方程为y＝x2－4x＋3， 令y＝0，解方程x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3，0)．
A．abc>0 B．a＋b＝0
C．2b＋c>0 D．4a＋c<2b
图15－4
第15讲┃ 归类示例
[解析]
A项，∵开口向上，∴a＞0.∵与y轴交于负半轴，∴c＜0.∵对称
b 轴在y轴左侧，∴－ ＜ 0，∴b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B项，∵对称轴 2a b 1 x＝－ ＝－ ，∴a＝b，故本选项错误；C项，当x＝1 时，a＋b＋c＝2b＋c＜ 2a 2
2个
1个 没有
Δ>0
Δ＝0 Δ<0
第15讲┃ 考点聚焦 考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、 b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系
项目 字母 字母的符号 图象的特 征 开口向上 开口向下 对称轴为y 轴 对称轴在y 轴左侧 对称轴在y 轴右侧
a
a>0 a<0 b＝0
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二次函数与一元二次方程_课件
=0
没有交点
没有实根
＜0
有交点
有实根
≥0
归纳
△＜0 △=0
△＞0
求抛物线与坐标轴的交点 如何求抛物线与坐标轴的交点？ 如何确定抛物线与x轴的交点个数？
例题 答案：
例题
答案：有(2.5,0),(-1,0) 归纳：一元二次方程
,则抛物线
例题 不与x轴相交的抛物线是（ D ）
练习——求交点 （0，-5）
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第二步：取平均数 取2和3的平均数2.5， 当x=2.5，y=-0.75<0． 那根是在2与2.5之间， 还是2.5与3之间呢？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第三步：取异号缩小范围 一定得让相应的y值异号， 这样才能保证抛物线穿过x轴， 即根在该范围之间． 当x=2.5时，y<0， 当x=2时，y<0， 当x=3时，y>0， 所以根是在2.5与3之间
解：（3）当h = 20.5时，
因为
，所以方程无实根．
球的飞行高度达不到 20.5m .
思考 （4）球从飞出到落地要用多少时间? 解：（4）落地即h = 0，
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ， 即0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面．
讨论
通过刚才的例子可以发现，
二次函数
何时为一元二次方程？
例题
可以通过不断缩小根所在的范围，来估计一元二次方程的根 第四步：再取平均数 取2.5和3的平均数2.75， 当x=2.75，y=0.0625 > 0． 第五步：再取异号 所以根是在2.5与2.75之间
所以该抛物线与 x 轴有两个交点．
22.2.1二次函数与一元二次方程
（2）请求出球飞行的最大 水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大 高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛 物线，求出其解析式．
解：(1) y 1 x2 8 x 1 (x 4)2 16
55
5
5
⸫抛物线开口向下，顶点为
4，16 5
，对称轴为x=4
(2)令y=0 ，得： 1 x2 8 x 0 55
(3)指出(2)的图像中，使y＜0时， x的取值范围及使y ＞0时， x的取值范围
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其
飞行路线满足抛物线 y 1 x2 8 x ，其中y（m）是 55
球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离
球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方 向、顶点坐标、对称轴．
的值永远为正的条件是__a_>_ 0,△<0 __
３.求抛物线 y=−2(x+1)2+8 ①与y轴的交点坐标; ②与x轴的两个交点间的距离.③何时y＞0?
(1)抛物线y=x2+2x−3与x轴的交点有（ C）
A.0个 B.1个
C.2个
D.3个
(2)抛物线y=mx2−3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）开口方向，开口大小； （2）对称轴； （3）顶点（最低点或最高点）。
y
y
o
x
o
x
二次函数y=ax2的图象与y=ax2+k的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上（或向下）平移得到：
当k＞0时，抛物线 y=ax2向上平移|k|个单 位，得y=ax2+k
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大 高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛 物线，求出其解析式．
解：(1) y 1 x2 8 x 1 (x 4)2 16
55
5
5
⸫抛物线开口向下，顶点为
4，16 5
，对称轴为x=4
(2)令y=0 ，得： 1 x2 8 x 0 55
(3)指出(2)的图像中，使y＜0时， x的取值范围及使y ＞0时， x的取值范围
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其
飞行路线满足抛物线 y 1 x2 8 x ，其中y（m）是 55
球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离
球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方 向、顶点坐标、对称轴．
的值永远为正的条件是__a_>_ 0,△<0 __
３.求抛物线 y=−2(x+1)2+8 ①与y轴的交点坐标; ②与x轴的两个交点间的距离.③何时y＞0?
(1)抛物线y=x2+2x−3与x轴的交点有（ C）
A.0个 B.1个
C.2个
D.3个
(2)抛物线y=mx2−3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）开口方向，开口大小； （2）对称轴； （3）顶点（最低点或最高点）。
y
y
o
x
o
x
二次函数y=ax2的图象与y=ax2+k的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上（或向下）平移得到：
当k＞0时，抛物线 y=ax2向上平移|k|个单 位，得y=ax2+k
二次函数与一元二次方程的关系
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、＝0 2a
x
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
二次函数与一元二次方程的关系
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式 中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－ 6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4 范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2 ＜4.
• (3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式 中试值．
• 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6 ＝0.562 5＞0； • 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范 围内，
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的根。
1 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象 如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
• 2．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A （﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 ．
• 3．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直 线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。
(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一 二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ． 无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 ．例3图 变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 。
二次函数与一元二次方程不等式关系
• m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的两个交点关于原点对称？ • m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的正半轴有两个交点？ • m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的负半轴有两个交点？ • m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 x 轴的正负半轴都有交点？ • m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8经 过原点？
• 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有 实数根，那么 • 函数y=ax2+bx+c的图像与 x轴有 0 ______ 个交点； • 不等式ax2+bx+c<0的解集是______
（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解 （2）当a<0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数。
思考4：
x1 1, x2 3 x1 0, x2 2 x1 x2 1
x 1或x 3
1 x 3
1 x 3且x 1
＜
＜
＞
＞
=
＞
＜
x1 3, x2 1
3 x 1
x 3或x 1
x 0或x 4
x 0或x 4
0 x4
是一个 。
X1 =X2 ＝－b/2a
x ≠ x1的一切实 数
没有实数根
x<x1或x>x2 x1<x<x2
所有实数 无解
• 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有 实数根，那么 • 函数y=ax2+bx+c的图像与 x轴有 0 ______ 个交点； • 不等式ax2+bx+c<0的解集是______
（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解 （2）当a<0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数。
思考4：
x1 1, x2 3 x1 0, x2 2 x1 x2 1
x 1或x 3
1 x 3
1 x 3且x 1
＜
＜
＞
＞
=
＞
＜
x1 3, x2 1
3 x 1
x 3或x 1
x 0或x 4
x 0或x 4
0 x4
是一个 。
X1 =X2 ＝－b/2a
x ≠ x1的一切实 数
没有实数根
x<x1或x>x2 x1<x<x2
所有实数 无解
二次函数一元二次方程
②
由①②消去y得S 3x2 5x
当x
5 2 ´（
3）
5 6
时，S
最大
3（´ 5）2 6
5´
5 6
米 25（ 2）
12
答：略。
讨 ●请你把这节课你学到了东西告诉你的同 论 桌，然后告诉老师？
这节课应有以下内容：
二次函数与一 元二次方程的 关系
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值 确定，求x的值时，二次函数就变 为一元二次方程。即当y取定值时， 二次函数就为一元二次方程。
4.抛物线y=x2-3x+2 与y轴交于点＿＿(0＿,2＿) ,与x轴交
于点＿(1＿,0＿) (2,0＿) .
K≠0 5图.如象图知,,抛关物于线x的y=方ax程2+abxx2++bcx的+对c=称0的b轴2两-是4个a直c根线≥分0x别=-是1,由
x1=1.3 ,x2=＿-＿3.3＿
6.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则 k的取值范围（ B ）
（2）请求出球飞行
的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞 行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路 线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
作业
课本：p56-57页 复习巩固
选做题：如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y＝－x2＋3.5运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的 中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面 的高度为2.25米，请问他距离篮框中 心的水平距离是多少?
升华提高
弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系
《二次函数与一元二次方程》数学PPT课件
虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
判别式(△)
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）
（x2，0）
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有唯一个
交点(- ，0)
图象
y
x
有两个不同的解
x=x1，x=x2
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
化简得t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点
符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代
x1=-2，
x2=1
x1=x2=3
无实根
思考探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么
关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
判别式(△)
b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c
（a≠0）
b2-4ac>0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）
（x2，0）
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有唯一个
交点(- ，0)
图象
y
x
有两个不同的解
x=x1，x=x2
（2）当h=20时，20t-5t2=20，
化简得t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
思考：结合图形，你知道为什么在1)中有两个点
符合题意，而在2）中只有一个点符合题意？
情景思考
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代
x1=-2，
x2=1
x1=x2=3
无实根
思考探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么
关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程不等式的关系表格
二次函数与一元二次方程不等式的关系表格
二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系可以通过表格的形式进行总结。下面是一个简单的表格：
概念
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
定义
y = ax^2 + bx + c
ax^2 + bx + c = 0
ax^2 + bx + c > 0 (a > 0)或ax^2 + bx + c < 0 (a < 0)
图像Байду номын сангаас
抛物线
交点或无实根
与x轴的交点或区间
根的性质
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时在区间内恒成立，有时不恒成立
判别式
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
根与系数的关系
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
无特定关系(但与方程的根有关)
最值问题
可能存在最小值或最大值，取决于a的正负和Δ的值
无特定最值问题(但与方程的解有关)
可能存在区间内的不等式恒成立问题，取决于a的正负和Δ的值
这个表格简要概述了二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系。
二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系可以通过表格的形式进行总结。下面是一个简单的表格：
概念
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
定义
y = ax^2 + bx + c
ax^2 + bx + c = 0
ax^2 + bx + c > 0 (a > 0)或ax^2 + bx + c < 0 (a < 0)
图像Байду номын сангаас
抛物线
交点或无实根
与x轴的交点或区间
根的性质
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时在区间内恒成立，有时不恒成立
判别式
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
根与系数的关系
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
无特定关系(但与方程的根有关)
最值问题
可能存在最小值或最大值，取决于a的正负和Δ的值
无特定最值问题(但与方程的解有关)
可能存在区间内的不等式恒成立问题，取决于a的正负和Δ的值
这个表格简要概述了二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系。
21.3 二次函数与一元二次方程
出，4s时落回地面。
?
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实
数根（精确到0.1）. y
方法: (1)先作出图象;
(2)写出交点的坐标;
（-1.3、0）、（2.3、0）
x
(3)得出方程的解. 1
x =-1.3，x =2.3。
用你学过的一元二次方程的解法来解，
准确答案是什么？
?
小结：
本节课你有什么收获？
(1)证明 : 令y 0, 得2 x2 mx m2 0 (m)2 4 2 m2 9m2 0
不论m取何值, 抛物线与 x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2x2 mx m2 上 0 2 12 m 1 m2 即m2 m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为(2,0)
?
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考 虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题:
(1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间?
∵（-4）²-4*4.1＜0，
当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根
它的高度为15m。
（2）解方程
（4）解方程
20=20t-5t²
0=20t-5t²
t²-4t+4=0
t²-4t=0
t 1=
t
2
=2.
当球飞行2s时，
t1 =0， t2 =4. 当球飞行0s和4s时，
t
它的高度为20m。 它的高度为0m，即0s飞