通信原理樊昌信版第11章差错控制编码1讲解
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第11章 差错控制编码要点
0 A 1 2
e
d0
2018/10/4
3 B 汉明距离
位错码，则其位置不会
超出以O点为圆心，以2
为半径的圆。
因此，只要最小码距不小于3，码组A发生两位 以下错码时，不可能变成另一个许用码组B，因而能 检测错码的位数等于2。 同理，若一种编码的
0 A 1 2
e
d0
3 B 汉明距离
最小码距为d0，则将能检测 (d0 - 1)个错码。
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信息位 晴 云 阴 00 01 10
监督位 0 1 1
雨
11
0
（1）分组码的一般结构 分组码的符号：(n, k) n ——码组的总位数，又称为码组的长度（码长） k —— 码组中信息码元的数目 n－k =r ——码组中的监督码元数目，或称监督位数目
2018/10/4
（2）分组码的码重W 分组码中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重。 （3）分组码的码距d 把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距 离，简称码距。码距又称汉明距离。 例如： 000——晴 011——云 101——阴 110——雨
（4）编码效率（简称码率） ：
信息码元数量（k）和总码元数量（n）之比：k/n 理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高 传输可靠性，即有效性换取可靠性。
2018/10/4
11.2 纠错编码的基本原理
引例——理解检错与纠错 设有一种由3位二进制数字构成的码组，它共有8 种不同的可能组合。若将其全部用来表示天气，则可 以表示8种不同天气： 000——晴，001——云 010——阴，011——雨 100——雪，101——霜 110——雾，111——雹 其中任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将 变成另一个信息码组。这时，接收端将无法发现错误。
e
d0
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3 B 汉明距离
位错码，则其位置不会
超出以O点为圆心，以2
为半径的圆。
因此，只要最小码距不小于3，码组A发生两位 以下错码时，不可能变成另一个许用码组B，因而能 检测错码的位数等于2。 同理，若一种编码的
0 A 1 2
e
d0
3 B 汉明距离
最小码距为d0，则将能检测 (d0 - 1)个错码。
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信息位 晴 云 阴 00 01 10
监督位 0 1 1
雨
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0
（1）分组码的一般结构 分组码的符号：(n, k) n ——码组的总位数，又称为码组的长度（码长） k —— 码组中信息码元的数目 n－k =r ——码组中的监督码元数目，或称监督位数目
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（2）分组码的码重W 分组码中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重。 （3）分组码的码距d 把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距 离，简称码距。码距又称汉明距离。 例如： 000——晴 011——云 101——阴 110——雨
（4）编码效率（简称码率） ：
信息码元数量（k）和总码元数量（n）之比：k/n 理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高 传输可靠性，即有效性换取可靠性。
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11.2 纠错编码的基本原理
引例——理解检错与纠错 设有一种由3位二进制数字构成的码组，它共有8 种不同的可能组合。若将其全部用来表示天气，则可 以表示8种不同天气： 000——晴，001——云 010——阴，011——雨 100——雪，101——霜 110——雾，111——雹 其中任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将 变成另一个信息码组。这时，接收端将无法发现错误。
(樊昌信第七版)通原第11章信道编码2
给定信息位后，可以直接按上式算出监督位， 结果见下表： 7
第11章差错控制编码
信息位 a6 a5 a4 a3 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 监督位 a2 a1 a0 000 011 101 110 110 101 011 000 信息位 a6 a5 a4 a3 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 监督位 a2 a1 a0 111 100 010 001 001 010 100 111
S1 S2 S3 001 010 100 011
错码位置 a0 a1 a2 a3
S1 S2 S3 101 110 111 000
错码位置 a4 a5 a6 无错码
5
第11章差错控制编码
由表中规定可见，仅当一位错码的位置在 a2 、a4、a5或a6时， 校正子S1为1；否则S1为零。这就意味着a2 、a4、a5和a6四个 码元构成偶数监督关系：
9
第11章差错控制编码
线性分组码的一般原理
线性分组码的构造
H矩阵 上面(7, 4)汉明码的例子有 a 6 a 5 a 4 a 2 0 a6 a5 a3 a1 0 a a a a 0 4 3 0 6 现在将上面它改写为
1 a 6 1 a5 1 a 4 0 a3 1 a 2 0 a1 0 a 0 0 1 a 6 1 a5 0 a 4 1 a3 0 a 2 1 a1 0 a 0 0 1 a 6 0 a5 1 a 4 1 a3 0 a 2 0 a1 1 a 0 0
上式中已经将“”简写成“+”。
第11章差错控制编码
信息位 a6 a5 a4 a3 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 监督位 a2 a1 a0 000 011 101 110 110 101 011 000 信息位 a6 a5 a4 a3 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 监督位 a2 a1 a0 111 100 010 001 001 010 100 111
S1 S2 S3 001 010 100 011
错码位置 a0 a1 a2 a3
S1 S2 S3 101 110 111 000
错码位置 a4 a5 a6 无错码
5
第11章差错控制编码
由表中规定可见，仅当一位错码的位置在 a2 、a4、a5或a6时， 校正子S1为1；否则S1为零。这就意味着a2 、a4、a5和a6四个 码元构成偶数监督关系：
9
第11章差错控制编码
线性分组码的一般原理
线性分组码的构造
H矩阵 上面(7, 4)汉明码的例子有 a 6 a 5 a 4 a 2 0 a6 a5 a3 a1 0 a a a a 0 4 3 0 6 现在将上面它改写为
1 a 6 1 a5 1 a 4 0 a3 1 a 2 0 a1 0 a 0 0 1 a 6 1 a5 0 a 4 1 a3 0 a 2 1 a1 0 a 0 0 1 a 6 0 a5 1 a 4 1 a3 0 a 2 0 a1 1 a 0 0
上式中已经将“”简写成“+”。
通信原理差错控制编码课件
汉明码特点:
式
中的等号成立，即:
最小码距： 编码效率：
d0 = 3 （纠1或检2）
r 是不小于3
的任意正整数
当 n很大和 r 很小时，码率 Rc 接近 1。
答：最小码距: d0 =3
故能 纠1 或检2
线性分组码的一般原理 H ---监督矩
阵
将前面(7, 4)汉明码的监督方程：
改写为：
表示成如下矩阵形式：
A(x) = h(x)g(x)
而生成多项式 g(x) 本身也是一个码组，即有
A (x) = g(x)
∵码组 A(x)是一个 (n – k)次多项式，故 xkA(x) 是一个n次多项式。
由式
可知， xk A(x)在模 (xn + 1) 运算下也是一个码组，故可写成
38
上式左端分子和分母都是n次多项式，故商式Q(x) = 1。上式可化成
§11.5
（n, k）线性分组码
基本概念
线性码：按照一组线性方程构成的代数码。
即每个码字的监督码元是信息码元的线性组合。 代数码：建立在代数学基础上的编码。
汉明码的构造原理
只有一位监督元
---监督关系式
若 S=0，认为无错（偶监督时）；若 S=1，认为有错 。---检错
若要构造具有纠错能力的（n，k）码，则需增加督元的数目。
在上表中的(23, 12)码称为戈莱(Golay)码。其最小码距为7，能纠3个 随机错码；其生成多项式系数 (5343)8 = (101 011 100 011)2，对应 g(x) = x11 + x9 + x7 + x6 + x5 + x + 1，且解码容易，实际应用较多。
差错控制编码要点
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2
第3页/共67页
10.1 差错控制编码的基本原理
常用的差错控制方式
1. ARQ(Automatic Repeat Request)方式 (自动请求重发或检错重发)
发端发送出可以发现错误的码字。经过传输到接 收端译码后，如果没有发现错误，则输出。如果发现 错误，则自动请求发端重发，直到正确接收到码字为 止。
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第12页/共67页
10.1 差错控制编码的基本原理
码间距离d 及检错纠错能力 码字：由信息位和监督位组成的一组码元。
用C = ( cn-1 cn-2 … c0 )表示。
（许用码、禁用码） 码元： 组成码字的元素，用Ci表示。 码长：码字中码元的个数，用n表示。
码组：由多个许用码组成的一组码字。
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第8页/共67页
10.1 差错控制编码的基本原理
香农有扰信道编码定理：
在有扰信道中只要信息的传输速率R小于信道容 量C，总可以找一种编码方法，使信息以任意小的差 错概率通过信道传送到接收端，即误码率Pe可以任意 小，而且传输速率R可以接近信道容量C。但若R > C， 在传输过程中必定带来不可纠正错误，不存在使差错 概率任意小的编码。
9
第10页/共67页
10.1 差错控制编码的基本原理
减小误码率Pe的两种途径：
（1）n 及 R一定时，增加信道容量C。由图可见，E(R) 随C的增加而增大。由信道容量公式知， 增加C， 可通过增加S和B来实现；
（2）在C及 R一定的情况下，增加n可以使Pe指数减小。
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第11页/共67页
我国电传机传输汉字采用的是“5中取3” 恒比码，其码长 为5，码字中“1”的个数为3。这种码我国称为保护电码。码长 为5的二进制数共有32种组合，选择其中含有3个“1”的组合作 为许用码，为10个。
通信原理樊昌信版第11章差错控制编码1
发 能够发现错误的码 应答信号
编码器和缓 冲存储器 双 向 信 重发控制 道
收
解码器
信 源
输出缓冲 存储器
收 信
指令产生器
正确时输出 错误时删除
者
19
6、自动要求重发(ARQ)系统
①停止等待ARQ系统
停顿时间
Tw 发送端： 1
TI
2
ACK ACK
3
NAK
3
接收端：
1
2
3
发现错误
20
发端在Tw时间内送出一个码组； 收端收到后检查。 如果未发现错误，则发回一个认可信号 (ACK) 给发送端，发送端收到ACK信号再发 下一个码组 若检测到错误，则发回一个否认信号(NAK)， 发送端收到NAK信号后重发前一码组，并再 次等候ACK信号或NAK信号 发送两个码组之间有停顿时间TI，影响了传 输效率。半双工状态。
34
6、码距和检纠错能力的关系
一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这 种编码的检错和纠错能力。 为检测e个错码，要求最小码距 d0 e + 1
0 A 1 2 3
e
d0
B
汉明距离
35
A、B都为许用码；
A e dmin
1
B
A发生e个错；
B不能靠在球面上，否 则收到B无法判断是否 为错码；
dmin≥e+1
37
A t
1 t dmin
B
A、B都为许用码； A、B都发生t个错； dmin≥2t+1
纠正t个错码 为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求 最小码距:
d0 e t 1
(e t )
38
0 A
1
编码器和缓 冲存储器 双 向 信 重发控制 道
收
解码器
信 源
输出缓冲 存储器
收 信
指令产生器
正确时输出 错误时删除
者
19
6、自动要求重发(ARQ)系统
①停止等待ARQ系统
停顿时间
Tw 发送端： 1
TI
2
ACK ACK
3
NAK
3
接收端：
1
2
3
发现错误
20
发端在Tw时间内送出一个码组； 收端收到后检查。 如果未发现错误，则发回一个认可信号 (ACK) 给发送端，发送端收到ACK信号再发 下一个码组 若检测到错误，则发回一个否认信号(NAK)， 发送端收到NAK信号后重发前一码组，并再 次等候ACK信号或NAK信号 发送两个码组之间有停顿时间TI，影响了传 输效率。半双工状态。
34
6、码距和检纠错能力的关系
一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这 种编码的检错和纠错能力。 为检测e个错码，要求最小码距 d0 e + 1
0 A 1 2 3
e
d0
B
汉明距离
35
A、B都为许用码；
A e dmin
1
B
A发生e个错；
B不能靠在球面上，否 则收到B无法判断是否 为错码；
dmin≥e+1
37
A t
1 t dmin
B
A、B都为许用码； A、B都发生t个错； dmin≥2t+1
纠正t个错码 为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求 最小码距:
d0 e t 1
(e t )
38
0 A
1
通信原理第11章-差错控制编码全章课件
编 码 前 A •E
编 B码C
•后 • D
信噪比 (dB)
§11.4
简单的实用编码
11.4.1 奇偶监督码
编码规则：
只一位监督码元 奇监督码 偶监督码
适用：
（∵不知错码位置） 检测随机出现的零星差错。
码率：
k n 1 RC n n 很高 （只有一位监督位）。
例
解 根据偶数监督规则：
编出的码字应为 ： 11011
证明：
d0 e1
d0 2t 1
d0 e t 1 (e t)
§11.3
纠错编码的性能
系统带宽和信噪比的矛盾
例
右图所示的某种编码性能
Pe
10-1
A点
10-2 10-3
B点
10-4
10-5
可见：不增大发送功率, 就能
降低误码率约一个半数量级。
10-6
2PSK调制
编 码 前 A• • 编 B• 码 C •后 • D
（n,k) 线性分组码译码的三个步骤：
2) 由S 找到错误图样E； 3) 由公式 A = B + E 得到译码器译出的码组。
线性分组码的性质
① 封闭性
A1和A2
(A1+A2)
证明：若A1和A2是两个码组，则有 A1 HT = 0 和 A2 HT = 0， 将两式相加，有 A1 HT + A2 HT = (A1 + A2) HT = 0 （证毕）
故能 纠1 或检2
线性分组码的一般原理 H ---监督矩阵
将前面(7, 4)汉明码的监督方程：
改写为：
a6 a5 a4 a2 0 a6 a5 a3 a1 0 a6 a4 a3 a0 0
(樊昌信第七版)通原第11章信道编码1
第11章差错控制编码
纠错码与检错码是从应用角度划分的。如果换一个角度，从不同的 侧面去看问题，可以对纠错码作出不同的归类。 (一) 按照对信息序列的处理方法分成分组码和卷积码。 分组码（Block code）——将信息序列每k位分为一组，编码器对 每组的k位信息按一定的规律产生r个校验位（监督元），输出长度 为n=(k+r)的码字。每一码组的(n-k)个校验位仅与本码组的k个信息 位有关，而与别组的信息无关。 卷积码（convolutional code）——编码器给每k0位信息加上(n0-k0) 位校验后得到长度为n0的码字。与分组码不同的是，该码字的编码 运算不仅与本段k0位信息有关，而且还与位于其前面的m组k0位信 息有关。我们称这种码为 (n0,k0,m)卷积码。 (二) 按照校验位与信息位的关系，分为线性码与非线性码。 线性码(linear code)——校验元是信息元的线性组合，编码器不带 反馈回路。 非线性码(nonlinear code)——校验元与信息元不满足线性关系。由 于非线性码的分析比较困难，早期实用的纠错码多为线性码。但当 今发现的好码很多恰恰是非线性码
8
第11章差错控制编码
11.2 纠错编码的基本原理
分组码基本原理：举例说明如下。
设有一种由3位二进制数字构成的码组，它共有8种不同 的可能组合。若将其全部用来表示天气，则可以表示 8种 不同天气，
例如：“000”（晴），“001”（云）， “010”（阴），“011”（雨）， “100”（雪），“101”（霜），
通信原理
1
通信原理
第11章差错控制编码
2
第11章差错控制编码
11.1 概述
通信原理第11章差错控制编码分析
接收端将接收到的信码原封不动地转发回发端， 并与原发送信码相比较，若发现错误，发端再重 发。
发
数据信息 数据信息
收
图11.1-6 信息反馈法
第11章 差错控制编码
11.1
概述
收端把收到的数据序列全部经反向信道送回发
端，发端比较发出和送回的数据序列，从而发 现有否错误，如果有错误，发端将数据序列再 次传送，直到发端没有发现错误。
编码二： 消息A----“00”；消息B----“11” 最小码距2 若传输中产生一位错码，则变成“01”或“10”， 收端判决为有错（因“01”“10”为禁用码组），但 无法确定错码位置，不能纠正，该编码具有检出 一位错码的能力。 这表明增加一位冗余码元后码具有检出一位错 码的能力
第11章 差错控制编码
11.1
概述
差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性 前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。 差错控制编码是在信息序列上附加上一些监督 码元，利用这些冗余的码元，使原来不规律的或 规律性不强的原始数字信号变为有规律的数字信 号。例如奇偶校验。 差错控制译码则利用这些规律性来鉴别传输过 程是否发生错误，或进而纠正错误。
11.2
差错控制编码的基本原理
（2）最小码距与检错和纠错能力的关系
一个码能检测e个错码，则要求其最小码dmin≥e+1
一个码能纠正t个错码，则要求其最小dmin≥2t+1 一个码能纠正t个错码，同时能检测e个错码，则要
求其最小码距
dmin≥e+t+1 (e>t)
第11章 差错控制编码
11.2
11.1
概述
（1）检错重发法（ARQ） Automatic Repeat reQuest 收端在接收到的信码中发现错码时，就通 知发端重发，直到正确接收为止。例如奇偶 校验。 检错重发方式只用于检测误码，能够在接 收单元中发现错误，但不一定知道该错误码 的具体位置。 需具备双向信道。
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2
0、复习
模拟信源：在无线广播中，信源一般是一 个语音源（话音或音乐）；在电视广播中，信 源主要是活动图像的视频信号源。这些信源的 输出都是模拟信号，所以称之为模拟信源。
信源编码：将模拟信息源的输出转化为数 字信号，即A/D转换。 信源编码目的：提高通信有效性，减少原 消息的冗余度。
3
差错出现原因
外界噪声
传输中码间串扰 解决方法
合理地设计基带信号、调制/解调方式、 采用均衡技术、发送功率等因素，使误比 特率降低。
差错控制措施。
4
差错控制编码属信道编码，要求在满足有 效性前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。
差错控制编码是在信息序列上附加上一些 监督码元，利用这些冗余的码元，使原来不规 律的或规律性不强的原始数字信号变为有规律 的数字信号。例如奇偶校验。
21
6、自动要求重发(ARQ)系统 ②拉后ARQ系统
发送数据
重发码组
重发码组
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
9 10 11 9 10 11 12
NAK9
ACK1 接收数据
NAK5
ACK5
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
9 10 11 9 10 11 12
有错码组
有错码组
其发送端不停地送出一个个连续码组，不再
等候收端返回的ACK信号 一旦收端发现错误并返回NAK信号，则发端 从下一码组开始重发前面的N个码组 N的大小取决于信号传递及处理所带来的延时
不需要反馈信道，特别适合只能提供单向信
道场合。 自动纠错，不要求检错重发，延时小，实时 性好。 若纠错较多，则编、译码设备复杂，传输效 率低。
13
（3）反馈 (feedback) 校验 (checkout)
接收端将接收到的信码原封不动地转发 回发端，并与原发送信码相比较，若发现 错误，发端再重发。
15
（4）检错删除
发现错误后，删除，不需重发。 适合少数特定系统中，发送码元中有大量多
余度，删除部分接收码元不影响应用。 核心问题：发现错误、纠正错误
16
5、差错控制编码
常称为纠错编码 (Error-Correcting Coding) 监督码元：前述除第3种外，都是在接收端 识别有无错码。所以在发送端需要在信息码 元序列中增加一些差错控制码元，称为监督 码元。 不同的编码方法，有不同的检错或纠错能力。
第11章
11.1 概述
差错控制编码
11.2 纠错编码的基本原理
11.3 纠错编码的性能 11.4 简单的实用编码 11.5 线性分组码 11.6 循环码
1
11.1
概述
数字信号在传输过程中受到干扰的影响， 使信号波形变坏，发生误码，可以采用一些 方法解决。
有效性——信源编码 可靠性——信道编码
发 能够发现错误的码 应答信号
编码器和缓 冲存储器 双 向 信 重发控制 道
收
解码器
信 源
输出缓冲 存储器
收 信
指令产生器
正确时输出 错误时删除
者
19
6、自动要求重发(ARQ)系统
①停止等待ARQ系统
停顿时间
Tw 发送端： 1
TI
2
ACK ACK
3
NAK
3
接收端：
1
2
3
发现错误
20
发端在Tw时间内送出一个码组； 收端收到后检查。 如果未发现错误，则发回一个认可信号 (ACK) 给发送端，发送端收到ACK信号再发 下一个码组 若检测到错误，则发回一个否认信号(NAK)， 发送端收到NAK信号后重发前一码组，并再 次等候ACK信号或NAK信号 发送两个码组之间有停顿时间TI，影响了传 输效率。半双工状态。
差错控制译码则利用这些规律性来鉴别传输 过程是否发生错误，或进而纠正错误。
5
1、差错控制编码分类 按功能分：检错码和纠错码 按监督码元与信息码元关系分：线性码与 非线性码
按信息码元与监督码元之间的约束关系分： 分组码与卷积码 按纠正差错的类型分：纠正随机错误的码 与纠正突发错误的码
8
3、信道类型 随机信道：错码的出现是随机的 突发信道：错码是成串集中出现的 混合信道：既存在随机错码又存在突发错 码
9
4、差错控制方法
检错重发
前向纠错
反馈校验
检错删除
10
（1）检错重发 Error Detection retransmission
发
能够发现错误的码
应答信号
收
收端在接收到的信码中发现错码时，就通知 发端重发，直到正确接收为止。如奇偶校验。 检错重发方式只用于检测误码，能够在接收 单元中发现错误，但不一定知道该错误码的具 体位置。 需具备双向信道。
11
（2）前向纠错（FEC） Forward Error Correction
发 能够纠正错误的码 收
发送端将信息序列编码成能够纠正错误的
码，接收端根据编码规则进行检查，如果有 错自动纠正。
12
（2）前向纠错（FEC） Forward Error Correction
发 能够纠正错误的码 收
22
6、自动要求重发(ARQ)系统 ③选择重发ARQ系统
重发码组 发送数据 重发码组
1
2
3
4
5
6
7
5
8
9 10 11
ACK5
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编码效率(简称码率) ：设编码序列中信息码 元数量为k，总码元数量为n，则比值k/n 就是 码率。
冗余度：监督码元数(n-k) 和信息码元数 k 之比。 理论上，差错控制以降低信息传输速率为代 价换取提高传输可靠性。
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6、自动要求重发(ARQ)系统 Automatic Repeat reQuest
6
2、误码类型
随机误码、突发误码 随机误码 错码出现是随机的、错码之间统计独立 由随机噪声引起 存在随机误码的信道称为随机信道／无记 忆信道
又存在 较长的无差错区间，且差错之间相关。 例如：脉冲噪声；存储系统中磁带的缺陷 或读写头接触不良引起的；用手机过涵洞。 存在这种差错的信道称为突发信道/有记忆 信道。
发
数据信息 数据信息
收
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（3）反馈 (feedback) 校验 (checkout)
发 数据信息 数据信息
不需要纠错、检错的编、译码器，设备简单。 需要反向信道，实时性差。 发端需要一定容量的存储器以存储发送码组。 仅适应于传输速率较低，信道差错率较低，具
收
有双向传输线路及控制简单的系统。