劳斯法分析系统稳定性及不稳定性的改进方法分解
劳 斯 判 据
图4-1 系统的结构图
1
K
系统的闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
1
s
(s 1
1)(s K
2)
s3
K 3s2
2s
K
s (s 1)(s 2)
系统的闭环特征方程为
s3 3s2 2s K 0
劳斯判据
1.4 劳斯判据在系统分析中的应用
列出劳斯表为
s3
1
2
s2
3
K
s1 6 K 3
s0
D(s)
n
(s pj )
n1
n2
(s pl ) (s2 2k s k2 )
j 1
l 1
k 1
n1
将式（4-2）展成部分分式形式 C(s)
Al
n2
Bk
l1 s pl k 1 s2 2k s k2
（4-2） （4-3）
式中 Al —— C(s) 在闭环实极点 pl 处的留数；
Bk —— C(s) 在闭环复数极点 s k jk 1 2 处的留数。
方法一：用一个接近于零的很小的正数来代替这个零，并据其计算出劳斯表中的其 余各项。
方法二：用代入原方程，重新列出劳斯表，再用劳斯判据判断系统的稳定性。
劳斯判据
1.3 劳斯判据的特殊情况
【例 4-3】 已知系统的闭环特征方程为
s4 2s3 s2 2s 1 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。
在劳斯表第1列系数中，ε是接近
在零初始条件下，若闭环系统的输入信号 r(t) 在[0，) 上满足 r(t) N ，而在此输入信
号作用下的输出响应 c(t)
g( )r(t
)d
满足
第五章 劳斯稳定性判据
B：对实际“小偏差线性化”的近似线性系统，偏差达到 一定范围之后，系统不再稳定。 2.稳定性指的是自由震荡之下的稳定性，即输入为零，系 统在初始偏差不为零时的稳定性；也即是讨论自由振荡是收敛 还是发散。
5.2 系统稳定的充要条件
设系统或环节的微分方程为：
y
(n)
(t ) an1 y
( m)
( n 1)
i ( s ii ) i i 1 i2 2 2 s p s 2 s j 1 i 1 j i i i
n1
aj
Байду номын сангаас
n2
06-7-20
控制系统的稳定性分析
9
c(t ) e
j 1
n1
p jt
i eii t cos i 1 2 t i eii t sin i 1 2 t
b1 a3 a1b2 b1 a5 a1b3 b1 a7 a1b4 c1 , c2 , c3 b1 b1 b1 e1 d 2 d1e2 f1 e1
这样可求得n+1行系数
06-7-20
控制系统的稳定性分析
17
这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数 的完整阵列呈现一个倒三角形。 注意： 为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个 行，并不改变稳定性结论。
a1s a0 0
2. 对于二阶系统，
只要 a1 , a0 都大于零，系统就是稳定的。
2 a a 1 1 4 a 2 a0 2 a2 s a1s a0 0 s1, 2 2a2 只有 a2 , a1 , a0 都大于零，系统才稳定（负实根或实部 为负）。
a0 s1 , a1
系统稳定性分析实验报告
一、实验目的1. 理解系统稳定性的基本概念和稳定性判据。
2. 掌握控制系统稳定性分析的方法和步骤。
3. 分析系统开环增益和时间常数对系统稳定性的影响。
4. 通过实验验证稳定性分析方法的有效性。
二、实验原理系统稳定性分析是自动控制理论中的一个重要内容，主要研究系统在受到扰动后能否恢复到原来的稳定状态。
根据系统传递函数的极点分布，可以将系统分为稳定系统和不稳定系统。
稳定系统在受到扰动后，其输出会逐渐恢复到原来的平衡状态；而不稳定系统在受到扰动后，其输出会发散，无法恢复到原来的平衡状态。
三、实验仪器1. 自动控制系统实验箱一台2. 计算机一台3. 数据采集卡一台四、实验内容1. 系统模拟电路搭建根据实验要求，搭建一个典型的控制系统模拟电路，如图1所示。
电路中包含一个比例积分（PI）控制器和一个被控对象。
被控对象可以用一个一阶环节表示，传递函数为G(s) = K / (Ts + 1)，其中K为开环增益，T为时间常数。
图1 系统模拟电路图2. 系统稳定性分析（1）观察系统的不稳定现象在实验箱上设置不同的K和T值，观察系统在受到扰动后的响应情况。
当K值较大或T值较小时，系统容易产生增幅振荡，表现为不稳定现象。
（2）研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响通过改变K和T的值，观察系统稳定性的变化。
分析以下情况：1）当K值增加时，系统稳定性降低，容易出现增幅振荡；2）当T值减小时，系统稳定性降低，容易出现增幅振荡；3）当K和T同时改变时，系统稳定性受到双重影响。
（3）验证稳定性分析方法的有效性使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据，分析系统传递函数的极点分布，判断系统是否稳定。
将实验得到的K和T值代入传递函数，计算特征方程的根，判断系统稳定性。
五、实验步骤1. 搭建系统模拟电路，连接实验箱和计算机。
2. 设置实验箱参数，调整K和T的值。
3. 观察系统在受到扰动后的响应情况，记录数据。
4. 使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据，分析系统稳定性。
劳斯判据判定稳定性
劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
第四章稳定性分析——劳讲义斯判据4-1
21
THANKS
第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程：
a 5 s 5 a 4 s 4 a 3 s 3 a 2 s 2 a 1 s a 0 0
9
s5
a5
a3
a1
s4
a4
a2
a0
s3
A1
a4a3 a5a2 a4
A2
a4a1 a5a0 a4
0
s2
B1
A1a 2 a 4 A2 A1
13
s5
1
52
s4
1
51
s3
0 ( )
10
s2
5 1
10
s1 5 1 2 0 0
5 1
s0
1
00
5 1 0
5 12
0
5 1
劳斯表中第一列元素符号的变化两次， 说明特征方程有两个正实部的根，所以系统不 稳定。
14
（2）某一行元素全为零 在劳斯表中，如果出现某一行元素全为零，
说明特征方程存在大小相等符号相反的实根 和（或）共轭虚根，或者共轭复根。
s0 2 0
因劳斯表中第一列元素无符号变化，所以系统稳 定。 令： ss1 1
20
原特征方程，经过整理，得到 s1 特征方程：
s1 35s1 23s110
s
3 1
1
3
s
2 1
5
1
s
1 1
2.8
0
s
0 1
1
0
劳斯表中第一列元素符号变化一次，所以有一 个特征方程根在垂线 s1右边。即有一个根在阴影 区内。
即输出增量收敛于原平衡工作点，线性系统稳定 。
试用劳斯判据判断系统的稳定性解
这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。
例如 p , p j, p j
显然，系统是不稳定的。
处理方法：利用全 0 行的上一行各元构造一个辅 助方程，式中均为偶次。以辅助方程的导函数的 系数代替劳斯表中的这个全 0 行，然后继续计算
下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通
原 始 数 据
b1 b2 e2
c2 c3
1 a1 c1 b1 b1
a3 b2
s2 s1 s0
1 a0 b1 a1 a1
1 a0 b2 a1 a1
a2 a3
a4 a5
计 算 数 据
1 a1 c2 b1 b1
东北大学《自动控制原理》课程组
a5 b3
5
（2）劳斯判据
p1,2 j 2 , p3,4 j 2 , p5,6 1 j 2
END
东北大学《自动控制原理》课程组
14
稳定的充分必要条件
系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的 极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也 就是所有的闭环特征根 p j 分布在s平面虚轴的左 侧 ，即
Re[ p j ] 0
东北大学《自动控制原理》课程组
3
3.5自动控制系统的代数稳定判据
不需要求“根”，直接利用特征方程的系数 就可以判断系统的稳定性的方法。 劳斯判据是其中的一种。
代数判据
东北大学《自动控制原理》课程组
4
（1）列劳斯表的建立
a0 s 特征方程式：
劳斯表：
n
a1sn1 an1s an 0， a0 0
s a0 s n 1 a1 s n2 s n 3 c1 e1 f1 g1
机械系统的稳定性分析与改进
机械系统的稳定性分析与改进引言：机械系统作为现代工业生产中不可或缺的一部分，其稳定性对于生产效率和产品质量有着重要的影响。
因此，对机械系统的稳定性进行分析与改进，对于提高工业生产效益具有重要意义。
本文将从机械系统的稳定性原理、影响因素以及改进方法等方面进行论述。
一、机械系统稳定性的原理机械系统的稳定性是指在工作过程中所能维持良好运转的能力。
机械系统的稳定性与涉及的物理原理密切相关，主要包括以下几个方面：1. 动力学平衡机械系统的稳定性与其动力学平衡密切相关。
动力学平衡是指系统在运动中各个部分所受的力和力矩之间达到平衡状态，使得系统不会出现晃动或倾斜的情况。
动力学平衡的实现需要考虑多个因素，包括重心位置、惯性力、摩擦力等。
只有在动力学平衡的基础上，机械系统才能实现稳定运动。
2. 结构刚度与强度机械系统的结构刚度和强度也是影响其稳定性的重要因素。
结构刚度指的是机械系统在受力情况下的变形程度，刚度越大，系统越不容易发生变形。
结构强度则影响系统在受力情况下的承载能力，强度越高，系统越不容易发生破损。
只有结构足够刚度和强度，机械系统才能在运行过程中保持稳定。
3. 动力学特性机械系统的动力学特性也对其稳定性有着重要影响。
动力学特性包括系统的自然频率、阻尼比等指标。
自然频率是指系统在无外界干扰的情况下的固有振动频率，影响系统对外界干扰的响应程度。
阻尼比则决定了系统振动衰减的速度，越高的阻尼比意味着系统衰减振幅得越快，更加稳定。
二、机械系统稳定性的影响因素1. 外界环境因素机械系统的稳定性受到外界环境因素的影响较大。
例如，温度变化、湿度、气压等因素都会对机械系统的性能产生影响。
同时，外界环境中存在的振动、震动等干扰也会对机械系统的稳定性造成不利影响。
2. 摩擦与磨损机械系统中的摩擦力以及由此引起的磨损也是影响其稳定性的主要因素之一。
摩擦力会增加机械系统的能耗，并产生热量，进而导致机械部件的磨损。
磨损会使得机械系统的性能下降，从而影响其稳定运行。
线性定常系统稳定性分析
5/15/2020
21
[处理办法]：可将不为零的最后一行的 系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s 求导所得方程的系数代替全零的行。大 小相等，位置径向相反的根可以通过求 解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数 的。
[解]：劳斯阵如下
s5 1 24 23 s4 2 48 46 s3 0 0 0
s3 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得： Q(s) 2s4 48s2 46或Q(s) s4 24s2 23
其导数为：Q(s) 4s3 48s将4，48或1，12代 替 s3 行，可继续排列劳斯阵如下：
s5 1 24 23 s4 1 24 23 s3 1 12 0
特征方程为：s3 3s2 2s k 0
5/15/2020
26
劳斯阵： s3 1 2 s2 3 k 6k s1 3 0 s0 k
要使系统稳定，必须
①系数皆大于0，k 0
②劳斯阵第一列皆大于0
有2
k 3
0
k
6
0
k
6
k 0
所以，临界放大系数 Kp 6
5/15/2020
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确定系统的相对稳定性（稳定裕度）
10
充要条件说明
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0, s
a0 a1
,
只要a0 , a1都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
自动控制控制系统的稳定性分析
系统的闭环传递函数为 RC((ss))=s(Ts+1)K(s+1)+K
G(s)s=2 s1
s1(T1+s+T+T-1TK)K(s+K1) 1+T
s0 K
特征方程式:
系统稳定的条件
Ts3+(1+T)s2+s+K=0
1+T-TK>0 K>0
1+T T
>K>0
编辑ppt
13
第五节 控制系统的稳定性分析
2．加入比例微分环节
编辑ppt
2
第五节 控制系统的稳定性分析
二、劳斯稳定判据
根据稳定的充分与必要条件,求得特 征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对 于高阶系统求解方程的根比较困难。
劳斯稳定判据是根据闭环传递函数 特征方程式的各项系数,按一定的规则排 列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符 号的变化情况来判别系统的稳定性。
9
第五节 控制系统的稳定性分析
如果劳斯表中某一行的元素全为零， 表示系统中含有不稳定的实根或复数根。 系统不稳定。
此时，应以上一行的元素为系数，构 成一辅助多项式，该多项式对s求导后， 所得多项式的系数即可用来取代全零行。 同时由辅助方程可以求得这些根。
下面举例说明:
编辑ppt
10
第五节 控制系统的稳定性分析
下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。
编辑ppt
3
第五节 控制系统的稳定性分析
设系统的特征方程为
a0sn +a1sn-1 + …+an-1s+an=0
根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：
sn a0 sn-1 a1 sn-2 b31
劳斯法分析系统稳定性及不稳定性的改进方法
邢台学院物理系《自动控制理论》课程设计报告书设计题目：劳斯法分析系统的稳定性及不稳定性的改进措施专业：自动化班级：＿学生姓名:学号: 4指导教师：2013年3月24日邢台学院物理系课程设计任务书专业：自动化班级：2013 年 3 月 24 日摘要劳斯判据，Routh Criterion，又称为代数稳定判据。
劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。
由此劳斯获得了亚当奖。
劳斯判据，这是一种代数判据方法。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性，由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。
劳斯稳定判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系数正，负符号的变化情况来判别系统的稳定性。
本次课程设计以劳斯判据为例，研究控制系统的稳定性分析问题，并对结构性不稳定系统的改进措施进行分析。
关键词：劳斯判据特征方程式正根稳定性劳斯表系数结构性目录1 劳斯稳定判据1.1 劳斯稳定判据原理1.2 实际例题分析1.3 全零行与临界稳定2 结构性不稳定系统的改进措施2.1 改变环节的积分性质2.2 加入比例微分环节3 总结及体会参考文献1 劳斯判据1.1 劳斯判据原理劳斯判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系统正，负号的变化情况来判断系统稳定性。
根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表。
c ca a c c c c a a c c c c a a c c s a aa a a c a a a a a c a a a a a c s aaa s a a a s n n n n 134317133413331513241323131314317061331504123130211325311420-=-=-=-=-=-=---若特征方程式的各项系数都大于零（必要条件），且劳斯表中第一列元素均为正值，则所有的特征根均位于s 左半平面，相应的系统是稳定的。
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邢台学院物理系
《自动控制理论》
课程设计报告书
设计题目：劳斯法分析系统的稳定性及不稳定性的改进
措施
专业：自动化
班级：＿
学生姓名:
学号: 4
指导教师：
2013年3月24日
邢台学院物理系课程设计任务书
专业：自动化班级：
2013 年 3 月 24 日
摘要
劳斯判据，Routh Criterion，又称为代数稳定判据。
劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。
由此劳斯获得了亚当奖。
劳斯判据，这是一种代数判据方法。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性，由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。
劳斯稳定判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系数正，负符号的变化情况来判别系统的稳定性。
本次课程设计以劳斯判据为例，研究控制系统的稳定性分析问题，并对结构性不稳定系统的改进措施进行分析。
关键词：劳斯判据特征方程式正根稳定性劳斯表系数结构性
目录
1 劳斯稳定判据
1.1 劳斯稳定判据原理
1.2 实际例题分析
1.3 全零行与临界稳定
2 结构性不稳定系统的改进措施
2.1 改变环节的积分性质
2.2 加入比例微分环节
3 总结及体会
参考文献
1 劳斯判据
1.1 劳斯判据原理
劳斯判据是根据闭环特征方程式的各项系数，按一定的规则排列成所谓的劳斯表，然后根据表中第一列系统正，负号的变化情况来判断系统稳定性。
根据特征方程的各项系数排列成下列劳斯表。
c c
a a c c c c a a c c c c a a c c s a a a a a c a a a a a c a a a a a c s a a a s a a a s n n n n 13
43171334133315132413231313143
1
7061331504123130211325311420-=-=-=-=-=-=---
若特征方程式的各项系数都大于零（必要条件），且劳斯表中第一列元素均为正值，则所有的特征根均位于s 左半平面，相应的系统是稳定的。
否则系统为不稳定或临界稳定，实际上临界稳定也属于不稳定。
劳斯表中第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。
1.2 实际例题分析
例题1：某系统的特征方程为：0100s 24s 8s )s (D 23=+++=，判断系统稳定性。
解：系统的特征方程为 0100s 24s 8s )s (D 23=+++= 劳斯表： s 3 1 24
s 2 8 100 s 1 92 s 0
100
第一列同号，所以系统稳定。
例题2：设闭环系统传递函数为5
43220
17123)(2
34523++++++++=s s s s s s s s s G ，判定该系统是否稳定。
解：系统特征方程为054322345=+++++s s s s s 劳斯表 ： s 5 1 1 4
s 3 －0.5 1.5 0 s 2 9 5 0 s 1 16／9 0 0 s 0 5 0 0
第一列元素中出现负数，系统不稳定
例题3：某反馈控制系统的特征方程为:010)32(523=++++s k ks s 试确定使该闭环系统稳定的K 值。
解：系统特征方程为:010)32(523=++++s k ks s 劳斯表 ： s 3 1 2k+3 s 2 5k 10
s 1 2
232
k k k +- 0
s 0 10 0 解得K>0.5
1.3全零行与临界稳定
1） 劳斯表第一列中出现系数为零，而其余系数不全为零
用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表 。
如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
例题：某系统特征方程为： 判定该系统是否稳定。
如不稳定，求不稳定根的个数。
解：系统特征方程为: 0122234=++++s s s s 0
122234=++++s s s s
s 3 2 2 0 s 2 0（ε） 1 0
s 1 2ε-2
ε 0 0
s 0 1 0 0
系统不稳定，有两个位于S 右半平面的根。
2）劳斯表某行系数全为零的情况。
表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。
至少要下述几种情况之一出现：
1）大小相等，符号相反的一对实根； 2）一对共轭纯虚根；
3）对称于虚轴的两对共轭复根；
例题：某系统的特征方程为： 判断系统稳定性。
解：系统特征方程为: 劳斯表 ： s 5 1 3 －4 s 4 1 3 －4 s 3 0 0 0 s 2 25 0 0
-∞
=-
→ε
ε2
2lim 0
+
-
-
+
→--→1
2
2,2
2ε
εε044332345=--+++s s s s s 044332345=--+++s s s s s
s 0 －8 0 0
构造辅助方程43)(24-+=s s s A 对A(s)求导
s s ds
s dA 64)
(3+= 由劳斯表可知有一个特征根在S 的右半平面，系统属于临界稳定，即不稳定。
2. 结构性不稳定系统的改进措施
如果无论怎样调整系统的参数，也无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。
如图3-17所示的系统。
闭环传递函数为
特征方程式为
=0
根据劳斯判据，由于方程中s 一次项的系数为零，故无论K 取何值，该方程总是有根不在s 左半平面，即系统总是不稳定。
这类系统称为结构不稳定系统。
解决这个问题的办法一般有以下两种：
2.1 改变环节的积分性质
可用比例反馈来包围有积分作用的环节。
例如，在积分环节外面加单位负反
馈，见图3-18，这时，环节的传递函数变为
从而使原来的积分环节变成了惯性环节。
图3-17所示系统中的一个积分环节加上
单位负反馈后，系统开环传递函数变成为系统的闭环传递函数为
特征方程式：
劳斯表： s3 T 1 s2 1+T K
s1 1
1
T TK
T +-
+
s0 K
根据劳斯判据，系统稳定的条件为,即
所以，K的取值范围为
可见，此时只要适当选取K值就可使系统稳定。
2.2. 加入比例微分环节
如图3-19所示，在前述结构不稳定系统的前向通道中加入比例微分环节，系
统的闭环传递函数变为
劳斯表： s3 T Kτ
s2 1 K
s1 K(τ－T)
s0 K
系统的稳定条件为,即
可见，此时只要适当选取系统参数，便可使系统稳定。
三、总结及体会
稳定性是对控制系统的最基本要求，稳定性完全取决于系统本身的结构和参数。
线性系统稳定的充分必要条件是其特征方程根全部位于s平面左半平面上。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
判断系统是否稳定通常采用系统稳定性判据，其中劳斯判据就是最常采用的一种稳定性判据。
劳斯判据是根据系统特征方程系数构成的劳斯阵列来判断系统稳定性的。
劳斯判据不仅可以判别系统稳定不稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。
另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。
物理中所用到的系统模式很多，然后系统稳定性判据的主要意义在于能够在判断的基础上对不稳定系统进行改进，使其变成稳定性系统，最终到达进行操作系统的目的。
参考文献
[1] 黄坚. 自动控制原理. 科学出版社, 2007
[2] 黄忠霖. 自动控制原理的MATLAB实现. 国防工业出版社, 2007
[3] 广西物理报期刊. 2010
[4] 张静.MATLAB在控制系统中的应用. 北京：电子工业出版社. 2007
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