高中数学立体几何测试题(10套)

立几面测试001

一、选择题

1、以下命题（其中a，b表示直线，α表示平面）

①若a∥b，b?α，则a∥α②若a∥α，b∥α，则a∥b

③若a∥b，b∥α，则a∥α④若a∥α，b?α，则a∥b

其中正确命题的个数是（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

2、已知m，n为异面直线，m∥平面α，n∥平面β，α∩β=l，则l（）

（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交

（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交

3、已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（）

A、b∥α

B、b与α相交

C、b?α

D、b∥α或b与α相交

4、A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是（）

（A）0个（B）1个（C）无数个（D）以上都有可能5、直线a∥平面α，点A∈α，则过点A且平行于直线a的直线（）

（A）只有一条，但不一定在平面α内（B）只有一条，且在平面α内

（C）有无数条，但都不在平面α内（D）有无数条，且都在平面α内6、直线a，b异面直线，a和平面α平行，则b和平面α的位置关系是（）

（A）b?α（B）b∥α（C）b与α相交（D）以上都有可能

7、梯形ABCD中AB//CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α

内的直线的位置关系只能是（）

（A）平行（B）平行和异面（C）平行和相交（D）异面和相交8、下列命题中，真命题的个数是（）

①a∥b，a，b异面，则b、c异面②a，b共面，b、c异面，则a、c异面③a，

b异面，a、c共面，则b、c异面④a，b异面，b、c不相交，则a、c不相交

A、0个

B、1个

C、2个

D、4个

二、判断下列命题的真假

9、过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行（）

10、若直线l?α，则l不可能与平面α内无数条直线都相交（）

11、若直线l与平面α不平行，则l与α内任何一条直线都不平行（）

12、过两异面直线a，b外一点，可作一个平面与

a，b都平行（）

三、填空题

13、ABCD-A1B1C1D1是正方体，过A、C、B1三点的

平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的位

置关系是。

14、已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意

一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平

行的是。

三、解答题

15、已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F

分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC

C

B1

A1

C1

D1

A B

D

P

D

B

A

C

16、、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点

求证：EF ∥平面BB 1D 1D

17、 已知异面直线a ，b 的公垂线段AB 的中点为O ，平面α满足a ∥α，b ∥α，

且O ∈α，M 、N 是a ，b 上的任意两点，MN ∩α＝P ，求证：P 是MN 的中点

C

B 1

A 1

C 1

D 1

A

B

D

立几面测试001

参考答案

一、1- 8 ACDDBDBA

二、9、×10、×11、×12、×

三、13、平行14、DC、D1C1、A1B1

四、15、证明：设PC的中点为G，连接EG、FG

∵ F为PD中点∴ GF∥CD 且GF=1

2

CD

∵ AB∥CD AB=CD E为AB中点

∴ GF∥AE GF=AE 四边形AEGF为平行四边形∴ EG∥AF ∴ AF?平面PEC EG?平面PEC ∴AF∥平面PEC

16、证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC OE=1

2

DC

∵ DC∥D1C1 DC=D1C1 F为D1C1的中点

∴ OE∥D1F OE=D1F 四边形D1FEO为平行四边形

∴ EF∥D1O ∴ EF?平面BB1D1D EG?平面BB1D1D

∴EF∥平面BB1D1D

17、证明：连接AN交平面α于Q，连接OQ、PQ

∵ A?b ∴ A、b可确定平面β

∴α∩β=OQ 由b∥α得BN∥OQ

∵ O为AB的中点∴ Q为AN的中点

同理 PQ∥AM 故 P为MN的中点

A

B

C

D

A`

B`

C`

D`

E

F 立几面测试002

一、选择题(每小题5分，共40分)

1、点P 在直线a 上，直线a 在平面α内可记为( )

A 、P ∈a ，a ?α

B 、P ?a ，a ?α

C 、P ?a ，a ∈α

D 、P ∈a ，a ∈α 2、直线l 是平面α外的一条直线，下列条件中可推出l ∥α的是( ) A 、l 与α内的一条直线不相交 B 、l 与α内的两条直线不相交 C 、l 与α内的无数条直线不相交 D 、l 与α内的任意一条直线不相交 3、空间四点A 、B 、C 、D 共面，但不共线，则下面结论成立的是( ) A 、四点中必有三点共线 B 、四点中必有三点不共线 C 、直线AB 与CD 必相交

D 、AB ∥CD 或BC ∥DA

4、已知正方形ABCD 中，S 是所在平面外一点，连接SA ，SB ，SC ，SD ，AC ，BD ，在所有的10条直线中，其中异面直线共有( ) A 、8对 B 、10对

C 、12对

D 、16对

5、在空间中，l ，m ，n ，a ，b 表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是( ) A 、若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α B 、若l ⊥m ，m ⊥n ，则m ∥n C 、若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α D 、若l ⊥α，l ∥a ，则a ⊥α

6、在四面体ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与AC 所成角为( ) A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°

7、在长方体ABCD-A`B`C`D`中，∠AB`B=45°，∠CB`C`=60°，则∠AB`C 的余弦值为( ) A 、

63 B 、62 C 、36 D 、4

6 8、A,B,C,D 四点不共面，且A,B,C,D 到平面α的距离相等，则这样的平面有( ) A 、1个 B 、4个 C 、7个 D 、无数个 二、填空题(每小题5分，共15分)

9、在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 为CB ，CD 上的点，且CF ∶CB=CG ∶CD=2∶3，若BD=6cm ，梯形EFGH 的面积 28cm 2

，则EH 与FG 间的距离为 。

10、三个平面α,β,γ将空间分成七部分，且α∩β=a ，β∩γ=b ，则a 与b 的位置关系为 。

11、a ,b 为异面直线，且a ,b 所成角为40°，直线c 与a ,b 均异面，且所成角均为θ，若这样的c 共有四条，则θ的范围为 。 三、解答题(共45分，14、14、17)

12、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E ，F 分别是A`B`，B`C`的中点。 求证：EF ∥面AD`C 。

13、已知PA ⊥正方形ABCD ，PA=AB=2，M ，N 为BC ，CD 中点， ⑴求C 到面PAM 的距离，⑵求BD 到面PMN 的距离。

A

B

C

D

P M

N O F

H

A

B

D A`

B`

C` D`

E

F

CE ⊥面

PAM

} OH ⊥面PMN

} 立几面测试002

一、选择题ADBCDCDC 二、填空题(每小题5分，共15分)

9、在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 为CB ，CD 上的点，且CF ∶CB=CG ∶CD=2∶3，若BD=6cm ，梯形EFGH 的面积 28cm 2

，则EH 与FG 间的距离为 8cm 。

10、三个平面α,β,γ将空间分成七部分，且α∩β=a ，β∩γ=b ，则a 与b 的位置关系为 平行 。

11、a ,b 为异面直线，且a ,b 所成角为40°，直线c 与a ,b 均异面，且所成角均为θ，若这样的c 共有四条，则θ的范围为 (70°，90°) 。 三、解答题(共45分，14、14、17)

12、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E ，F 分别是A`B`，B`C`的中点。 求证：EF ∥面AD`C 。

证明：连A`C`，由E ，F 分别为A`B`，B`C`的中点

则EF ∥A`C`， 又∵A`C`∥AC ， ∴EF ∥AC ∵AC ?面AD`C ∴EF ∥面AD`C

13、已知PA ⊥正方形ABCD ，PA=AB=2，M ，N 为BC ，CD 中点， ⑴求C 到面PAM 的距离，⑵求BD 到面PMN 的距离。 解：延长AM ，作CE ⊥AM 于E ∵PA ⊥正方形ABCD ， ∴PA ⊥CE ∵CE ⊥AM

∵AB=2，BM=1，CM=1 ∴AM=5，

∴CE=

CM AM

AB

?=

552 ∴C 到平面PAM 的距离为5

52

连AC 交BD 于O ，交MN 于F ，连PF ，过O 作OH ⊥PF ∵M ，N 为BC ，CD 中点， ∴MN ∥BD ∴BD ∥平面PMN ，

∴O 到平面PMN 的距离即为BD 到平面PMN 的距离。 ∵BD ⊥AC ，MN ∥BD ∵PA ⊥面ABCD ∴MN ⊥AC ， ∴PA ⊥MN ∴MN ⊥平面PAC ∴MN ⊥OH ∵OH ⊥PF

∵PA=2，AC=22，AF=

223，OF=2

2

∴PF=234 ∴OH=OF PF

PA

?=17172

A

D

P

N O F

H

立几面测试003

一、选择题 1．异面直线是指

( ) (A) 在空间内不能相交的两条直线 (B) 分别位于两个不同平面的两条直线

(C) 某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 (D) 不可能在同一平面内的两条直线

2．已知a 、b 是两条异面直线，直线c 平行与直线a ，那么c 和b ( ) (A) 一定是异面直线 (B) 一定是相交直线

(C) 不可能是平行直线

(D) 不可能是相交直线

3．已知a 、b 、c 均是直线，则下列命题中，必成立的是

( ） (A) 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c

(B) 若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交 (C) 若a//b ，b//c ，则a//c

(D) 若a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 也是异面直线

4．已知异面直线a 、b 分别在平面α、β内，且α∩β=c ，那么直线c

( ) (A) 一定与a 、b 交于同一点 (B) 至少与a 、b 中的一条相交 (C) 至多与a 、b 中的一条相交

(D) 一定与a 、b 中的一条平行，而与另一条相交 5．下列命题中，正确的是

( )

(A) 一条直线和两条平行直线中的一条直线相交，则必与另一条直线相交 (B) 一条直线和两条平行直线中的一条直线能确定一个平面

(C) 一条直线和两条平行直线中的任何一条直线无公共点，那么这三条直线互相平行

(D) 一条直线和两条平行直线中的一条直线是异面直线，且与另一条直线无公共点，则必与另一条直线也是异面直线 6．和两条异面直线都相交的两条直线是 ( )

(A) 平行直线 (B) 异面直线 (C) 相交直线(D) 异面直线或相交直线

7．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，12条棱互成异面直线的对数有 ( )

(A) 48对

(B) 36对

(C) 24对

(D) 12对

8．分别平行于两条异面直线的两条直线的位置关系是 ( )

(A) 异面直线 (B) 平行直线

(C) 相交直线

(D) 异面直线或相交直线

9．若θ是两条异面直线所成的角，则 ( )

(A) ],0(πθ∈

(B) ]2

,0(π

θ∈

(C) ]2

,0[π

θ

∈

(D) ）2

,0(π

θ

∈

10．已知a 和b 是成60o角的两条异面直线，则过空间一点且与a 、b 都成60o角的直线共有 ( )

(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

11．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有面对角线中，与AB 1成异面直线且与AB 1成60o的有 ( )

(A) 1条

(B) 2条

(C) 3条

(D) 4条

12．已知点A 是△BCD 所在平面外的一点，且△ABC ，△ACD ，△BCD 均是边长为a 的正三角形，若记异面直线AD ，BC 间的成角为θ，距离为d ，则

( ）

(A) a d 21,60=

?=θ

(B) a d 22,60=

?=θ

(C) a d 2

1,90=?=θ (D) a d 2

2,90=

?=θ 二、填空题

13．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列两直线成角的大小是：

（１） A 1A 和B 1C 1成角_________．A 1C 1和AB 成角__________． （２） A 1C 1和D 1C 成角_________．A 1C 1和BD 成角__________． 14．在长方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，∠BAB 1=∠B 1A 1C 1=30o，则

（１） AB 与A 1C 1成角________．AA 1与B 1C 成角_______． （２） AD 1与B 1C 成角_________．AB 1与D 1C 成角________．

15．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 、CC 1的中点，则异面直线

EF 与A 1C 所成角的大小是_______________．

三、解答题

16．已知：直线l //直线m ，直线n 与l 是异面直线，且n 与m 不相交，求证：m 、

n 是异面直线．

17．已知空间四边形ABCD 的四条边均为10，对角线BD =8，AC =16，求异面直线

AC 与BD 间距离．

18．在空间四边形ABCD 中，对角线AC=BD ，P 、Q 、R 、S 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：PR ⊥QS ．

立几面测试003

参考答案

一、选择题

1．D 2．C 3．C 4．B 5．D 6．D

7．C 8．D 9．B 10．C 11．D 12．D

二、填空题

13．（1）90o（2）45o（3）60o（4）90o

14．（1）30o（2）45o（3）90o（4）60o

2

15．arccos

3

三、解答题

16．题示：用反证法．

17．25．

18．提示：证明PRQS为菱形．

立几面测试004

一．选择题：

1．直线a和平面β都垂直于同一平面，那么直线a和平面β的位置关系是（）。

（A）相交（B）平行（C）线在面内（D）线在面内或平行

2．直线a和平面β都与同一直线平行，那么直线a和平面β的位置关系是（）。

（A）平行（B）线在面内（C）线在面内或平行（D）线面相交3．直线L//平面α，α⊥β，那么L和平面β的位置关系是（）。

（A）线在面内（B）平行（C）相交（D）（A），（B），（C）中的情况都有可能

4．若a,b是两条平行直线，且都不垂直与平面α，那么a,b在平面α内的射影为（）。

（A）两条平行线（B）相交的两直线

（C）两条平行线或同一直线（D）相交的两直线或同一直线5．相交的两直线都是平面α的斜线，那么这两斜线在平面α的设影是（）。

（A）同一直线（B）相交的两直线

（C）两条平行直线（D）一直线或两相交直线

6．若三个平面把空间分成６个部分，那么这三个平面的位置关系是（）。

（A）三个平面共线

（B）有两个平面平行且都与第三个平面相交

（C）三个平面共线或两个平面平行且都与第三个平面相交

（D）三个平面两两相交

7．有下面几个问题：（1）若a//平面α,b⊥a,则平面α⊥b.（2）若a//平面α,平面α⊥平面β，则a⊥平面β.(3)若a,b是两平行线，b?平面α,则a//α.(4)若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β,则平面α//平面γ。其中不正确的命题个数是（）。

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

8．有下面几个问题：（1）两点可以确定一条直线。（2）过三点必有一个平面。（3）空间存在四点不在同一平面内。（4）一直线上有两点在平面α内，则其上第三点必在平面α内。其中正确的命题个数是（）。

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

9．A为直二面角α－l－β的棱上的一点，两条长度都是a的线段AB，AC分别在平面α，平面β内，且都与l成45?角则BC的长是（）。

（A）a（B）3a（C）a或3a（D）a或5a

10．一直线和两条相交直线都相交，那么它们所确定的平面的个数是（）。

（A）3 （B）2 （C）1 （D）1或3

11．已知直线l与平面α成30°角，则在α内（）。

（A）没有直线与l垂直（B）至少有一条直线与l平行（C）一定要无数条直线与l异面（D）有且只有一条直线与l共面

12．在同一平面内射影长相等的两条线段的关系是（）。

（A）如果有一个公共端点，它们必等长

（B）如果等长，则必有一个公共端点

（C）如果平行，它们必等长

（D）如果等长，它们必平行

13．对于下列判断，正确的是（）。

（A）两条异面直线所成的角的范围是[0,

2

π

]

（B）斜线与平面所成的角的范围是[0,

2

π

]

（C）二面角的取值范围是[0,

2

π

]

（D）若直线与平面α所成的角为

4

π

,直线b?α,a∩b=φ, 则a与b所成的角的

取值范围是[

4

π

,

2

π

]

14．已知异面直线a、b成80°角，在空间里取一点，过这点能作与a、b都成60°角的直线的条数是（）。

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

15．在空间四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，BC ＝AD ，AC ＝BD ，则∠BAC ＋∠CAD ＋∠DAB 的大小是（ ）。

（A ）180° （B ）90° （C ）小于180° （D ）在区间[90°, 180°]内 二．填空题：

16．AB 是异面直线a ,b 的公垂线段，AB =2cm ,a ,b 所成的角为90?,A 、C ∈a , B 、D ∈b , AC =4cm , BD =4cm ，那么C 、D 间的距离是 。

17．三个平面两两垂直，那么它们的交线共有 条。这些交线的相互关系是 。

18．两个平面αβ,都与第三个平面γ相交，那么它们的交线的条数是 。 19．若长为2的线段MN 是异面直线a ,b 的公垂线段，A ，M ∈a ,B ,N ∈b , AM =6,BN =8, AB =2

14, 那么异面直线a ,b 所成的角是 。

20．一条长为4cm 的线段AB 夹在直二面角α－EF －β内，且与αβ,分别成30?，

45?角，那么A 、B 两点在棱EF 上的射影的距离是 。

21．夹在直二面角α－MN －β内的线段PQ （P ，Q ?MN ）与α，β所成的角分

别为θθ12,,则θθ12+应满足的条件是 。

22．已知点P 不在异面直线a ,b 上，那么过P 点可作 条直线分别与 a ,b 构成异面直线。

23．已知二面角α－MN －β是60?,P ∈α,PQ ⊥β于Q ，且PQ =6cm ，则Q 到α的距离是 。

24．A ,B 是平面α外的两点，它们在平面α内的射影分别是A B 11,,若A 1A ＝3,BB 1=5, A 1B 1=10，那么线段AB 的长是 。

25．?ABC 中， ∠B =90?，AB =2BC ，若BC //平面α，AB 和平面α所成的角为θ, 那么θ= 度时，?ABC 在平面α内的射影是等腰直角三角形。 三．解答题：

26．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 1、O 2、O 3分别是面AC 、面B 1C 、面CD 1的中心，求直线A 1O 1与直线O 2O 3所成的角。

立几面测试004

数学练习答案

一．选择题

二．填空题

16．6 17. 3;两两垂直18. 1或2或3 19. 60°20. 2 21 0°<θ1+θ

2<90°22. 无数23. 3 24. 41

2

26

2或25 . 60°

三．解答题26．90°

立几面测试005

一、选择题（每题5分）

1．△ABC 所在平面α外一点P 到三角形三顶点的距离相等，那么点P 在α内的射影一定是△ABC 的（ ） A 、外心

B 、内心

C 、重心

D 、以上都不对

2．设直线a 在平面M 内，则平面M 平行于平面N 是直线a 平行于平面N 的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件

C 、充要条件

D 、非充分非必要条件

3．设α，β是两个不重合的平面，m 和l 是两条不重合的直线，α∥β的一个充分条件是（ ）

A 、ββαα∥，∥，且，m l m l ??

B 、m l m l ∥，且，βα??

C 、m l m l ∥，且，βα⊥⊥

D 、m l m l ∥，且∥，∥βα

4．若a ，b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数是（ ）

b a b a b b a a b b a a b b a a ⊥????

α?α⊥α⊥??

??

⊥αα

⊥????⊥αα

????⊥α⊥④∥③

∥②∥①

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

5．）

的位置关系是（

与平面，则直线平面∥且若直线ααb a b a ⊥ A 、α?b B 、α?b C 、αα?b b 或∥ D 、ααα?b b b 或∥相交或与 6．若空间四边形两条对角线的长度分别是6和8，所成角是45°，则连接各边中点所得四边形的面积是（ ） A 、224

B 、212

C 、26

D 、12

7．ααα∥，则∥，∥若，有下列命题：①与平面，已知直线221121l l l l l l

）（，其中真命题的个数有∥，则∥，若④∥，则，③为异面直线，，则，若②αα⊥α⊥α⊥=αα?212121212121l l l l l l l l l l A l l I

A 、0个

B 、1个

C 、2个

D 、3个

8．M 点不在异面直线a ，b 上，下面判断正确的是（ ） A 、 过M 点一定有一条直线与a ，b 都平行 B 、过M 点一定有一个平面与a ，b 都平行 C 、过M 点一定有一条直线与a ，b 都垂直

D 、过M 点一定有一个平面与a ，b 都垂直

9．已知a ，b ，c ，d 是四条不重合的直线，其中c 为a 在平面α上的射影，d 为b 在平面α上的射影，则（ ）

A 、d a d c ⊥?⊥

B 、d c b a ⊥?⊥

C 、b a d c ∥∥?

D 、d c b a ∥∥?

10．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值是（ ） A 、

2

3 B 、

10

10 C 、

5

3 D 、

5

2

二、填空题（每题5分）

11．如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一

个点Q 满足PQ ⊥DQ ，则a 的值等于 。

P A

B

Q

C

D

12．两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是 。

13．如图所示，棱锥P —ABCDE 的十条棱中共有 对异面直线。

P

A

B

D

E

14．如图PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ②EF ⊥PB ③AF ⊥BC ④AE ⊥平面PBC ，其中真命题的序号是 。

P

A

E

F B

三、解答题： 15．

所成和，求，，中，在长方体111111152

1522D B C A DD CD BC D C B A ABCD ===-的角的大小。

D A

A 1

B C

D 1

B 1

C 1

16．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，（1）画出过A 、C 、B 1的平面与下底面的交线L ；（2）求L 与直线AC 的距离。

D

A A 1

B

C

D 1

B 1

C 1

17．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 是CC 1的中点，O 为下底面的中心，求证：A 1O ⊥平面BDF 。

D A

A 1

B

C D 1B 1

C 1O

F

18．已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是平行四边形，且M、N分别在PA和BD上，且PM∶MA=BN∶ND，求证：MN∥平面PBC。

P

M

N

D

A B

C

19．已知三棱锥P—ABC中，PA=PB，CB⊥平面PAB，PM=MC，AN=3NB。（1）求证明：MN⊥AB；

（2）当∠APB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长。

C

B

N

M

P A

20．ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面

ABCD，PA=a，

（1）求证：PC⊥CD；（2）求点B到直线PC的距离。

P

D

A

B C

立几面测试005

答案

1．A 2．A 3．C

4．B

5．D

6．C

7．B

8．C 9．D

10．D 11．2

12．］，（2

0π

13．15

14．①、②、④

15．解： 629

629

13arccos

62913237217220

437417cos 2

375215225

21552

172152211112

2212

21221111111所成的角为与）（）（）（

）（）（）（）（

所成的角（的补角）与是异面直线则，

，连结∥作内过在面∥易证D B C A CE A C A E A DB CE D B C A CE A E A BD CE C ABCD BD

D B ∴-

=-+=∠∴=++==+==+==∠A

B

C D B 1C 1D 1A 1

A 1

C 1

D 1B 1

A

B

E

C

D

16．解：

l

C A AC C A l

AC C D C B A ACB ACB AC D C B A AC D C B A C A D C B A AC C A AC ACB C A l B D C B A ∥∥∥面面面面∥面面∥事实上：与下底面的交线即为面，

∥作中过）在面（1111111111111111111111111

1111111111??

??

????

?

?

=?????

??

??I D A B

C

B 1

C 1

D 1A 1

l

a a ACB AC B AC l AC l 2

62231211=?即

的高

△的距离，等于正到间距离等于点与知∥）（）由（

17．证明：

DBF

O A D BD DF BD

O A AC O A AO A ABCD A A BD

AO AO DF

O A G D DF CC CD F G C CDD CD O A G D G CD OG D CD D A G

D G DC 面及）（、）（结合）

（上的射影在面是于面，则连结）

（易证的中点

、分别是、中，在正方形上的射影

在面是于面，于面由正方体知，连接中点取⊥?=⊥∴?⊥⊥⊥∴⊥∴⊥⊥1111111111111111112121I D A

B C

B 1

C 1

D 1A 1

F G O

18．证明：

PBC MN PBC MN PBC EG EG

MN MEGN NG

ME CD NG CD ME CD AB AB ME NG ME CD AB ABCD CD NG AB ME BD BN PA PM ND BN MA PM BD BN CD NG CD NG PA PM AB ME AB ME EG G BC CD NG N E PB AB ME M 面∥面面∥是平行四边形∥∥∥∥∥又∥是平行四边形又底面∥∥，连结于交∥作过于交∥作过????

?????

?????

?????????

????=????

???=???

?

?

?

?

?

?

?

=?==?=?

P

M N D

A

B C

E

G

19．证明：

MN

AB MNG MN MNG AB G NG MG AB

NG AB PH PH NG PB G NH

BN NB AN AB

PH AB H PB PA MG

AB AB CB BG MG PB PC G M BA

CB PAB AB PAB CB GN PH MG H AB G BP ⊥????

?⊥?=⊥??

??

⊥??

?

?=?=⊥??

??

=⊥????

⊥?⊥??

??

?⊥面面结合及①、②②

∥中点为又①

中点为∥中点

、分别是、面面、，，连中点，中点）取（I 3.

1C

B

N M P

A H

G

2

14

1

211

21222=+=∴====?=GN MN MN AB PH GN MG BC 中结论及）（）由（

20．证明：

CD

PC PC

CD ABC PC AC A ABCD PA CD

AC AD CD AC a CD a AC ABCD AC ⊥⊥∴?⊥⊥∴=+∴==即上的射影在面是于面又，中易求在直角梯形，

）连结（222221P

D

A

B

C

2a a

.3

63

6

3221

21903222222a PC B a a

a a h BC PB h PC h PC B PBC PC BC PB a

BC a PC a AC a PA PAB Rt a

PB a AB PA PAB Rt 的距离为

到直线即则的距离为到令又，中，△在中，△）在（=?=

??=??=∠?=+∴==?===?==

立几面测试006

一选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分）

1．A，B，C为空间三点，经过这三点（）

A．能确定一个平面或不能确定平面 B．可以确定一个平面

C．能确定无数个平面 D．能确定一个或无数个平面

2．下面四个命题正确的命题个数是（）

①平行于同一条直线的两条直线平行；

②过直线外一点和这条直线平行的直线有且只有一条；

③和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线；

④一条直线和两条平行线的一条相交，那么它也和另一条相交。

A． 1 B．2 C． 3 D．4

3．如图1-1所示的水平放置的平面图形的

直观图，所表示的图形ABCD是( )

A．任意梯形 B．直角梯形

C．任意四边形 D．平行四边形

4．下面四个命题中错误命题的个数是（）

①没有公共点的两条直线是异面直线；

②平面内一点与平面外一点的连线和平面内的直线是异面直线；

③和同一条直线都是异面直线的两条直线是异面直线；

④和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线。

A． 1 B． 2 C. 3 D． 4

5．若直线b

a,是异面直线，b与c也是异面直线，则直线a与c的位置关系是（）

A．平行或异面 B．相交，平行或异面

C．异面或相交 D．异面6．正方体

1

1

1

1

D

C

B

A

ABCD-中，E，F，G，H分别是AB，AD，CD和

1

CC的中点，那么异面直线EF和GH所成的角是（）

A．90° B．60° C．45° D．30°

7．两直线a与b异面，过a作平面与b平行，这样的平面（）A．不存在 B．有可能存在也有可能不存在

C．有唯一的一个 D．有无穷多个

8．直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是（）A．平行 B．α

?

l C．垂直 D．不确定

9．设直线a在平面α内，则“平面α∥平面β”是“直线a∥平面β”的条件( )

A．充分但不必要 B．必要但不充分 C．充分且必要 D．不充分也不必要10．如图2-2所示，平面α∩平面β=l，点A，B∈α，点C∈平面β且C?l，AB∩l=R，设过点A，B，C三点的平面γ，

则β∩γ是( )

A．直线CR B．直线BC

C．直线AC D．以上均不正确

11．空间交于一点的四条直线最多可以确定平面

（）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

12．空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=AC=BD，E，F， G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状是（）

A．平行四边形 B．长方形 C．菱形 D．正方形

二．填空题(每题4分,共4题)

y

B C

O

A D x

（图1-1）

13．过空间一点O 作与已知直线平行的直线有 条；与已知平面垂直的直线有 条

14．三个不相交的平面把空间分成 部分

15．若两直线a ,b 在平面α上的射影a ',b '是平行的直线，则a ,b 的位置关系是 ．

16．点A 、B 和平面α的距离分别是40㎝和70㎝，P 为AB 上一点，且AP ∶PB=3∶7，则P 到平面α的距离是________________。

三． 解答题（5×12分 + 2×14分＝74分）

17.已知：平面α∩平面β=b ，直线a ∥α，a ∥β，求证：a ∥b 。

18．如图，ABCD

是空间四边形，AB=AD ，

求证：AC ⊥BD

19．两条直线a ，b 异面，a ?平面α，b ?求证：α∥β

20．直角三角形ABC 中，∠A=90o，AB=2AC ，

Q 为AB 上一点，QB=

5

4

AC ，P 为平面ABC 外一点，且PB=PC ，求证：PQ ⊥BC ．

21．已知四边形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90o，求证：四边形

是矩形． ABC －A 1B 1C 1的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。

1）求证：直线AB 1∥平面C 1DB ；

2）求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值。 β

b

α

a

A 1

C 1

C

B A

B 1

立几面测试006

参考答案

1-12. ABBD BCCD AACD

13 .0或1；1. 14.四 15.平行或异面 16. 43㎝ 或 7㎝ ；

17. 证法1：(反证法)假定a 、b 异面，任取B ∈b ，则a 与B 确定平面γ，且γ∩α＝ι1，γ∩β＝ι2，由已知a ∥α，a ∥β知a ∥ι1，且a ∥ι2，由公理4知ι1∥ι2，与ι1∩ι2=B 矛盾，故假设不成立，∴a ∥b 。

证法2：(同一法)任取B ∈b ，则a 与B 确定平面γ，且γ∩α＝ι1，γ∩β＝ι2，且B ∈ι1，B ∈ι2。∵a ∥α，a ∥β，∴a ∥ι1，a ∥ι2，由平行公理知ι1与ι2重合，即为α与β的交线b ，∴a ∥b 。

证法3：(直接证法)过a 作平面γ1，γ2，γ1∩α＝c ，γ2∩β=d ，∵a ∥α，a ∥β，∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ，∴c ∥β(d ?β) ∴c ∥b ，∴a ∥b 。

18．证明：在平面α的直线a 上取一点A 因为a 和b 异面，所以A ?b 过A ，b 确定平面γ交α于c ,因为b ∥α，α?c

，所以c ∥b 同理，在b 上取一点B ，过B 和a

确定平面δ，d =βδI 可得d ∥a 由平行

平面的判定定理可得平面α∥β 19．证明：如图，取BD 中点E ，连结AE ，CE 因为AB=AD ，CB=CD 所以△ABD 和△BCD 都是等腰三角形又等腰三角形的 中线与高重合所以AE ⊥BD ，CE ⊥BD 由三垂线定理的逆定理可知CE 即AC 在面BCD 上的射影因为CE ⊥BD ，所以AC ⊥BD

20．证明：取BC 中点M ，连接PM ，QM ，令AC=1，则BQ=

54

，

∵AB=2AC=2，∴QA=2-54=3。4∴

=54。

∴QC=QB ，∴QM ⊥BC 。又∵PM ⊥BC ，∴BC ⊥平面PMQ ，∴BC ⊥PQ ．

21.证明 若四点A ，B ，C ，D 不在同一平面内，设A 点在平面BCD 内的射影（垂足）

为O ，则AO ⊥BC ，又∵BC ⊥AB ，∴BC ⊥面AOB ，∴BC ⊥OB ； 同理DC ⊥OD ．2

22222,;BD BO DO BD AB AD =+=+

但2222,,,OB AB OD AD OB OD AB AD <

<∴+<+∴2〈BD 2

BD ，矛

盾．故四点A ，B ，C ，D 在同一平面内，即四边形ABCD 是矩形．

22. 证明：（1）连B 1C 交1BC 于E ，连DE, 则DE ∥1AB ， 而DE ?面C 1DB ，1

AB ?面C 1DB ， ∴DB AB 11C 平面∥

（2）由（1）知∠DEB 为异面直线11BC 与AB 所成的角，在

345==?BD DE DEB ，，中， ---------------（2分）

251

5524850DEB cos =??-=

∠。 ----------------（2分）

α

a A c δ γ

d B b β