哈尔滨市高二上学期期末数学试卷(理科)D卷
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哈尔滨市高二上学期期末数学试卷（理科）D卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共8题；共16分)
1. （2分） 已知i为虚数单位，则z=在复平面内对应的点位于（ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2. （2分） 过点P（1，2）且倾斜角是直线x﹣y﹣3=0的倾斜角的两倍的直线的方程是（ ）
A . x﹣2y=0
B . x=1
C . x﹣2y﹣4=0
D . y=2
3. （2分） 过（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有（ ）条
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
4. （2分） (2017·河西模拟) 已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1 ， F2 ， 过
F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（ ）
A .
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B .
C . 2
D .
5. （2分） 已知直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，则a的值为（ ）
A . -6
B . 6
C . -3
D . 3
6. （2分） (2016·赤峰模拟) 已知复数z= ，则（ ）
A . z的实部为
B . z的虚部为﹣ i
C . |z|=
D . z的共轭复数为 + i
7. （2分） 圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（ ）
A . 相离
B . 外切
C . 相交
D . 内切
8. （2分） (2016高二上·福田期中) 已知双曲线 =1（b∈N*）的两个焦点F1 ， F2 ， 点P是双
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曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则双曲线的离心率为（ ）
A . 2
B . 3
C .
D .
二、 填空题 (共5题；共5分)
9. （1分） (2018高二下·中山月考) 复数 的共轭复数为________．
10. （1分） (2018·南充模拟) 已知斜率为2的直线 过抛物线 的焦点 ，且与 轴相交于点 ,
若 ( 为坐标原点)的面积为4，则 ________．
11. （1分） (2018·徐汇模拟) 已知直线 .当 在实数范围内变化时，
与 的交点 恒在一个定圆上，则定圆方程是________ .
12. （1分） (2017高一上·上饶期末) 过点P（2，﹣1），在x轴上和y轴上的截距分别是a，b且满足a=3b
的直线方程为________．
13. （1分） (2018高二上·南京月考) 等轴双曲线中心在原点，实轴在 轴上，一个焦点在直线
上，则标准方程为________.
三、 解答题 (共4题；共40分)
14. （10分） (2017高一下·南通期中) 根据所给条件求直线的方程：
（1） 直线过点（﹣4，0），倾斜角的正弦值为 ；
（2） 直线过点（﹣2，1），且到原点的距离为2．
15. （10分） (2013·福建理) 选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为 ，
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直线l的极坐标方程为 ，且点A在直线l上．
（1） 求a的值及直线l的直角坐标方程；
（2） 圆C的参数方程为 ，试判断直线l与圆C的位置关系．
16. （10分） (2016·海口模拟) 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴
交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1 ， y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）
（1） 若y1=d=3，求抛物线的标准方程；
（2） 若 +λ = ，求证：直线AB的斜率的平方为定值．
17. （10分） (2016高二上·梅里斯达斡尔族期中) 已知椭圆C1： +y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，
且与C1有相同的离心率．
（1） 求椭圆C2的方程；
（2） 设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上， ，求直线AB的方程．
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参考答案
一、 选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、答案：略
6-1、
7-1、答案：略
8-1、
二、 填空题 (共5题；共5分)
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
三、 解答题 (共4题；共40分)
14-1、答案：略
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14-2、答案：略
15-1、答案：略
15-2、答案：略
16-1、答案：略
16-2、答案：略
17-1、答案：略
17-2、答案：略
高二数学上学期期末考试试题含解析(共19页)
镇海中学(zhōngxué)2021学年第一学期期末考试高二年级数学试卷第I卷〔选择题〕一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.或者【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或者，即或者那么此题正确选项：【点睛】此题主要考察集合运算中的交集运算，属于根底题.，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据(gēnjù)单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又此题正确选项：【点睛】此题考察与对数函数有关的比拟大小类问题，属于根底题.在点〔1，0〕处切线的倾斜角为，那么〔〕A. 2B.C. -1D. 0 【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得此题正确选项：【点睛】此题考察导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于根底题.R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在以下区间中，函数不一定存在零点的是〔〕x 1 2 3 53 -1 2 0A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。
又为的子集，那么区间有零点，那么区间也必有零点；上有零点，那么上必有零点；由此可得结果.【详解】由题意可得：在上必有零点又，在上必有零点在上必有零点又，在上必有零点在上不一定存在零点此题正确选项：【点睛】此题主要考察零点存在定理，关键在于需要明确当，不能得到区间内一定无零点的结论，需要进一步判断.，假设，那么〔〕A. 1B. -1C. -2D. 3【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】判断的奇偶性，通过奇偶性求得函数的值.【详解】由题意得：即定义域为，关于原点对称又可得：为奇函数此题正确选项：【点睛】此题考察通过函数奇偶性求函数值。
哈尔滨市高二上学期期末数学试卷(理科)A卷(测试)
哈尔滨市高二上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·漯河期末) 设a= xdx，则二项式（ax﹣）5展开式中含x2项的系数是（）A . 80B . 640C . ﹣160D . ﹣402. （2分）已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为（）A .B .C . (x-1)2+y2=1D . x2+(y-1)2=13. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使得点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 圆4. （2分）若直线x=1的倾斜角为α，则α等于（）A . 0°B . 45°C . 90°D . 不存在5. （2分）已知函数f（x）= ，给出下列两个命题：命题p：∃m∈（﹣∞，0），方程f（x）=0有解．命题q：若m= ，则f（f（﹣1））=0那么，下列命题为真命题的是（）A . p∧qB . （￢p）∧qC . p∧（￢q）D . （￢p）∧（￢q）6. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C .7. （2分）已知，且现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为（）A . ①③B . ①④C . ②④D . ②③8. （2分） (2015高二下·周口期中) 曲线y=x2+2x在点（1，3）处的切线方程是（）A . 4x﹣y﹣1=0B . x﹣4y+1=0C . 3x﹣4y+1=0D . 4y﹣3x+1=09. （2分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，则该三棱柱的外接球的表面积为（）A . 4πB . 8πC . 12π10. （2分） (2018高三上·长春期中) 设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A . (－∞，－1)∪(0，1)B . (－1，0)∪(1，＋∞)C . (－∞，－1)∪(－1，0)D . (0，1)∪(1，＋∞)11. （2分）设抛物线的顶点在原点，焦点与椭圆右焦点重合，则此抛物线的方程是（）A . y2=－8xB . y2=－4xC . y2=8xD . y2=4x12. （2分） (2016高三上·焦作期中) 已知棱长都是2的直三棱柱的俯视图是一个正三角形，则该直三棱柱的主视图的面积不可能等于（）A . 4B . 2C .D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若双曲线的离心率为2，则m的值为________14. （1分） (2017高一上·张掖期末) 设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0，且非p是非q的必要不充分条件，则实数a的范围是________．15. （1分） (2015高二上·余杭期末) 在圆x2+y2=5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1 ，最长弦长为an ，若公差，那么n的取值集合________．16. （1分）已知函数f（x）=x2+k ．任取实数a，b，c∈[﹣1，1]，以f（a），f（b），f（c）为三边长可以构成三角形，则实数k的取值范围为________．三、解答题 (共5题；共40分)17. （10分） (2018高二上·黑龙江期中) 已知，设：实数满足，：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18. （10分） (2018高二下·晋江期末) 已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t 为参数，0≤α＜π且），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．已知直线l与曲线C交于A、B两点，且．（1）求α的大小；（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，求|MN|．19. （5分）(2017·漳州模拟) 已知函数f（x）=（x﹣3）ex+ax，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a∈[0，e）时，设函数f（x）在（1，+∞）上的最小值为g（a），求函数g（a）的值域．20. （10分） (2016高三上·武邑期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PC= AC，平面PAC⊥平面ABCD．（1）点E在棱PC上，试确定点E的位置，使得PD⊥平面ABE；（2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．21. （5分）如图，四边形OQRP为矩形，其中P，Q分别是函数f（x）=sinwx（A＞0，w＞0）图象上的一个最高点和最低点，O为坐标原点，R为图象与x轴的交点．（1）求f（x）的解析式;（2）对于x∈[0，3]，方程f2（x）﹣af（x）+1=0恒有四个不同的实数根，求实数a的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、第11 页共11 页。
新人教版高二上期末数学试卷(理科)含答案解析
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n02．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=．14．（5分）=．15．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．2017-2018学年江西省赣州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：或f（n0）＞n0．故选：D．2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“b2=ac”推不出“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，反之成立，故选：A．4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=，即p=，所以：=，所以准线方程y=﹣．故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设公差为d，则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，∴d=，∴a8=1+7d=9，故选C．6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹是椭圆，可知c=5，2a=12，解得a=6，c=．则顶点C的轨迹方程是：．故选：B．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点【解答】解：的定义域（0，+∞），求导f′（x）=，令f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e，∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴当x=e时，函数有极大值，故选A．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），∴=（﹣1，﹣1，﹣2），=（1，0，﹣2），∴B1M与D1N所成角的余弦值为||=，故选：A．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}，a1=1，，∴=，=，=，由此猜想a n=．下面利用数学归纳法进行证明：①，成立；②假设a k=，则==，成立，∴，∴a10=．故选：D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选C．11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y=（x+4y）=≥==+，当且仅当x=2=时取等号．故选：C．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入﹣=1，可得x=±，∴•=c，∴2a2b2=（b2﹣a2）c2，∴2a2（c2﹣a2）=（c2﹣2a2）c2，∴2（e2﹣1）=e4﹣2e2，∴e4﹣4e2+2=0，∵e＞1，∴e2=2+，∴e=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=﹣7．【解答】解：，则=（﹣2，﹣1，5）•（7，﹣2，1）=﹣14+2+5=﹣7；故答案为：﹣7．14．（5分）=1．【解答】解：∫1e dx=lnx|1e=lne﹣ln1=1，故答案为115．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆标准方程：+=1（a＞b＞0）．则=1，解得y=±．取P，又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴k AB=﹣，==﹣．∵PF2∥AB，∴﹣=﹣，化为：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，解得a=c，∴e==．故答案为：．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．【解答】解：f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，可得，画出不等式组的可行域如图：则f（2，1）=2a+b，当直线z=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值，由可得B（，），f（2，1）=2a+b的最小值为：！，最大值为：．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，…（2分）所以，…（4分）…（6分）（Ⅱ）设数列{b n}的公差为d∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=S3=13，∴b3﹣b1=10=2d，∴d=5，…（8分）∴b n=5n﹣2…（10分）18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为4，可知p=4，所以抛物线方程为y2=8x；（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=﹣2，又，相减整理得，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．方法二：由题设可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣1）﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x，得ky2﹣8y﹣8k﹣8=0，易知，又y1+y2=﹣2所以，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）（Ⅱ）由，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为x 轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），，，设是平面A1CD的法向量，则即可取．…（6分）同理，设是平面A1CE的法向量，则，可取．…（8分）从而…（10分）所以锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为…（12分）20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）因为P在圆O：x2+y2=4，所以x2+4y2=4故所求动点M的轨迹方程为．…（4分）（Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x1，y1），D（x2，y2）由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，易知△=16m2+48＞0，得…（8分）=．所以为定值…（12分）方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，所以…（6分）（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x﹣1），B（x1，y1），D（x2，y2）由消去y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，易知△=48k2+16＞0，…（8分）=．所以为定值…（12分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD∴PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC…（2分）又∴又∴，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC∴BC⊥BD…（4分）又∵PD∩BD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而，所以PD=1…（8分）分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），，，P（0，0，1）∴，=（﹣1，0，0），，设平面PBC的法向量为，则，即，取y=1，得…（10分）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．【解答】解：（1）f'（x）=（x2+2x）e x，∴f'（1）=3e，∴所求切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），即y=3ex﹣2e；（2）∵f（x）＜ax，对x∈（﹣∞，0）恒成立，∴，设g（x）=xe x，g'（x）=（x+1）e x，令g'（x）＞0，得x＞﹣1，令g'（x）＜0得x＜﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增，∴，∴；（3）令F（x）=0，得，当x＜0时，，∴F（x）的零点在（0，+∞）上，令f'（x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，∴f（x）在（0，+∞）上递增，又在（0，+∞）上递减，∴方程仅有一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈Z，∵，∴由零点存在的条件可得，则n=0．。
黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高二下学期期末联考试题 数学含解析
2023～2024学年度下学期六校高二期末联考试卷数 学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若3420242024C C m m -=，则m =（ ）A 2B. 6C. 2或6D. 2或5072. 设某制造公司进行技术升级后的第x 个月（1,2,3,4,5x =）的利润为y （单位：百万元），根据统计数据，求得y 关于x 的经验回归方程为ˆ63yx =+，若1x =时的观测值10y =，则1x =时的残差为（ ）A. 1- B. 1C. 3D. 63. 若定义在()0,∞+上的函数()f x 有()()1lim x f x x f x x xx∆→+∆--=∆，则()f x 的单调递减区间是（ ）A. ()2,+∞ B. ()1,+∞ C. ()0,1 D. ()0,∞+4. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ）A. 180B. 360C. 720D. 14405. 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）.A. 函数()f x '在(),b c 上单调递增B. 函数()f x 至少有2个极值点C. 函数()f x 在(),a e 上单调递减D. 函数()f x 在x c =处取得极大值6. 已知随机变量(),X B n p ，若()35E X =，()1225D X =，则n p =（ ）A. 15B.115 C.154D.4157. 已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是( )A. (2,0)- B. (0,2) C. (90,2 D. 9(,0)2-8. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）A.314B.13C.23D.27二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）A 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项10. 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取Visua l Basie 、VisualC ＋＋，VisualFoxpro 三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A 表示事件“甲学习VisualBasic 编程语言”；B 表示事件“乙学习VisualBasic 编程语言”；C 表示事件“乙学习VisualC ＋＋编程语言”，则（ ）A. 事件A 与B 相互独立 B. 事件A 与C 不是互斥事件C. ()5|12P C A =D. ()1|6P B A =11. 已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，若函数()41f x +和()2f x '+均为偶函数，且()()21,11f f =-='，则（）.A.()202311i f i ='=-∑ B.()20241i f i ='=∑ C.()202312023i f i ==∑ D.()20241i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 的分布列()2i aP X i ==(1,2,3)i =，则=a ______．13. 已知12,x x 是函数()3211333f x x ax x =+-+的两个极值点，若1225x x -=，且()f x 的极小值为整数，则=a ______．14. 五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n ，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，则()60P X ==__________，()n D X =__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知7280128(1)(1)x mx a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+．（1）若1m =-，求1357a a a a +++值；（2）若270a =-，求m 的值．16. 已知函数()()2254e xf x x x =-+．（1）求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．17. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：数学（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082的的（1）试列出22⨯列联表，并依据0.10α=的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？（2）如果本次测试理科考生的物理成绩()2,X Nμσ ，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为μ，方差为2σ，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．3≈4≈，40.841350.501≈，40.977250.91206≈．若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X ，求X 的分布列与期望；（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？19. 定义：若函数()f x 与()g x 的图象在x C ∈上有且仅有一个交点，则称函数()f x 与()g x 在x C ∈上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数()2e xf x ax =-，a ∈R ，()e 2xg x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当01a ≤<时，（i ）求证：函数()f x 与()g x 在()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ⅱ）对于（i ）中的正数0x ，证明：()0ln 11x a +<⎡⎤⎣⎦.2023～2024学年度下学期六校高二期末联考试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若3420242024C C m m -=，则m =（ ）A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或507【答案】D 【解析】【分析】通过组合数的性质即可得到答案.【详解】由题意知34,m m =-或342024,m m +-=所以2m =或507.m =故选：D ．2. 设某制造公司进行技术升级后的第x 个月（1,2,3,4,5x =）的利润为y （单位：百万元），根据统计数据，求得y 关于x 的经验回归方程为ˆ63yx =+，若1x =时的观测值10y =，则1x =时的残差为（ ）A. 1- B. 1C. 3D. 6【答案】B 【解析】【分析】利用残差的定义求解.【详解】解：因为1x =时的预测值为619ˆ3y=⨯+=，所以残差为1091-=．故选：B ．3. 若定义在()0,∞+上的函数()f x 有()()1lim x f x x f x x xx∆→+∆--=∆，则()f x 的单调递减区间是（ ）A. ()2,+∞ B. ()1,+∞ C. ()0,1 D. ()0,∞+【答案】C 【解析】【分析】由导函数定义可得()f x '，再利用导函数求单调减区间即可.【详解】()()1limx f x x f x x xx∆→+∆--=∆ ，1()x f x x-'∴=，()0,x ∈+∞，由()0f x '<，解得01x <<，故()f x 的单调递减区间是(0,1).故选：C.4. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ）A. 180 B. 360 C. 720 D. 1440【答案】D 【解析】【分析】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可.【详解】先将甲、乙排为一列，有22A 种方法，再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有66A 种方法，根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为2626A A 1440=．故选：D ．5. 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 函数()f x '在(),b c 上单调递增B. 函数()f x 至少有2个极值点C. 函数()f x 在(),a e 上单调递减D. 函数()f x 在x c =处取得极大值【答案】D 【解析】【分析】根据()f x '的图象判断其符号，进而可知()f x 的单调性和极值，结合选项分析判断即可.【详解】由()f x '的图象可知：当x a <或>x e 时，()0f x '>；当a x e <<时，()0f x '≤；可知()f x 在(),a ∞-，(),e ∞+上单调递增，在(),a e 上单调递减，则函数()f x 有且仅有两个极值点,a e ，结合选项可知：ABC 正确；D 错误；故选：D.6. 已知随机变量(),X B n p ，若()35E X =，()1225D X =，则n p =（ ）A. 15B.115 C.154D.415【答案】A 【解析】【分析】由随机变量(),X B n p 的期望和方差公式解方程组计算即可.【详解】因为()35E X np ==，()()12125D X np p =-=，所以()()415D X pE X =-=，即15p =，所以3n =，所以15np=．故选：A ．7. 已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是( )A. (2,0)- B. (0,2) C. (90,2 D. 9(,0)2-【答案】D 【解析】【分析】求得2()3f x x x '=+，得出函数()f x 的单调性与极值，结合()f x 有3个不同的零点，列出不等式，即可求解．【详解】由函数3213()32f x x x c =++，可得2()3f x x x '=+，令()0f x '=，解得0x =或3x =-，令()0f x '>，解得0x >或3x <-；令()0f x '<，解得30x -<<，则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又由9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，解得902c -<<，所以实数c 的取值范围是9(,0)2-．故选：D ．8. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）A.314B.13C.23D.27【答案】B 【解析】【分析】先由古典概率公式求出()()2234122277C C 12|,|C 7C 7P A B P A B ====，再由全概率公式求出()314P A =，最后由条件概率求出()11|3P B A =即可.【详解】用A 表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用1B 表示丢掉的小球为红球，2B 表示丢掉的小球为黑球，则()()1212P B P B ==，()()2234122277C C 12|,|C 7C 7P A B P A B ====，由全概率公式可得()()()()()112111123||272714P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=，所以()()()1111127|3314P AB P B A P A ⨯===，故选：B.【点睛】关键点点睛：条件概率公式为()()()11|P AB P B A P A =，全概率公式为()()()()()1121||P A P B P A B P B P A B =+.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）A. 第4项 B. 第5项C. 第6项D. 第7项【答案】CD 【解析】【分析】根据二项式系数的性质即可求解.【详解】因为1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，所以38C C n n =；所以11n =，由于展开式中项的系数与二项式系数相等，故展开式中系数最大的项为第6项和第7项．故选：CD ．10. 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取Visua l Basie 、VisualC ＋＋，VisualFoxpro 三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A 表示事件“甲学习VisualBasic 编程语言”；B 表示事件“乙学习VisualBasic 编程语言”；C 表示事件“乙学习VisualC ＋＋编程语言”，则（ ）A. 事件A 与B 相互独立 B. 事件A 与C 不是互斥事件C. ()5|12P C A = D. ()1|6P B A =【答案】BCD 【解析】【分析】由古典概率公式求出()()()()(),,,,P A P B P C P AB P AC ，再利用相互独立事件和互斥事件的定义判断A ，B ；用条件概率公式计算判断C ，D.【详解】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有21342322C C A 36A ⋅=种安排方案，甲学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualBasic 编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言，各有223323C A +A =12种方案，∴()()()13P A P B P C ===；甲、乙均学习VisualBasic 编程语言，有22A 2=种方案，∴()213618P AB ==；甲学习VisualBasic 编程语言且乙学习VisualC ＋＋编程语言，有11221C C 5+=种方案，∴()536PA C =，对于A ，∵()()()P AB P A P B ≠，∴事件A 与B 不相互独立，故A 错误；对于B ，∵()5036P AC =≠，∴事件A 与C 不是互斥事件，故B 正确；对于C ，()()()5|12P AC P C A P A ==，故C 正确；对于D ，()()()1|6P A B PB A P A ==，故D 正确.故选：BCD.11. 已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，若函数()41f x +和()2f x '+均为偶函数，且()()21,11f f =-='，则（ ）A.()202311i f i ='=-∑ B.()20241i f i ='=∑ C.()202312023i f i ==∑ D.()20241i f i ==∑【答案】AB 【解析】【分析】根据题意分析可知4为()f x '的周期，关于2x =对称，关于点()1,0对称，进而判断AB ；分析可知4为()f x 的周期，但没有充分条件求()2f ，进而判断CD.【详解】因为()41f x +为偶函数，则()()4141f x f x +=-+，即()()11f x f x +=-+，可知()f x 关于1x =对称，又因()2f x '+为偶函数，则()()22f x f x '+=-+'，可知()f x '关于2x =对称，且()()11f x f x +=-+，则()()11f x f x +=--'+'，即()()2f x f x '=--+'，可得()f x '关于点()1,0对称，且()()2f x f x ''=-+，则()()()()244f x f x f x f x ''''⎡⎤=-+=--+=+⎣⎦，可知4为()f x '的周期，由()()2f x f x '=--+'，可得()()11f f ''=-，即()10f '=，则()()()()130,241f f f f ''''=-==-=-，即()()()()12340f f f f ''''+++=，所以()()()()202311231i f i f f f ='=++'''=-∑，()202410i f i ='=∑，故AB 正确；因为()()4f x f x ''=+，则()()4f x c f x c +=++，即()()4f x f x =+，可知4为()f x 的周期，又因为()()22f x f x '+=-+'，则()()222f x f x c +=--++，即()()222f x f x c ++-+=，可知()f x 关于点()2,c 对称，但没有充分条件求()2f ，故无法求CD 选项的值，故CD 错误；故选：AB.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 的分布列()2i aP X i ==(1,2,3)i =，则=a ______．【答案】87##117【解析】【分析】根据分布列的性质概率之和为1可求.【详解】已知()2i aP X i ==（1,2,3i =），则由分布列的性质可得为231117(1)(2)(3)12228P X P X P X a a ⎛⎫=+=+==++== ⎪⎝⎭，解得87a =，故答案为：87.13. 已知12,x x 是函数()3211333f x x ax x =+-+的两个极值点，若1225x x -=，且()f x 的极小值为整数，则=a ______．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】因为()f x 有两个极值点，所以()223f x x ax =+-'有两个变号解，结合韦达定理得出122x x a +=-，又因为1225x x -=，联立得出125425,,33a a x x -+==-又因为123x x =-，所以得出1a =-或1.4a =-再利用()f x 的极小值为整数即可得出答案.【详解】()223,f x x ax =+-'由题意知12,x x 是2230x ax +-=的两根，所以24120,a ∆=+>且12x x +=122,3,a x x -=-又1225,x x -=所以125425,,33a a x x -+==-所以54253,33a a -+⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭即24a +510,a +=解得1a =-或1.4a =-当1a =-时，123,1,x x ==-此时()f x 的极小值为()263,3f =-不合题意；当14a =-时，1232,,2x x ==-此时()f x 的极小值为()24,f =-符合题意．故1.4a =-故答案为：14-.14. 五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n ，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，则()60P X ==__________，()n D X =__________.【答案】①.516##0.3125 ②. n【解析】【分析】X 表示向右移动的次数，则1,2X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据二项分布即可得到回到原点的概率，找到nX 与X 关系，得到()2n X X n X X n =--=-，由二项分布的方差结合方差性质再计算方差即可.【详解】设X 表示向右移动的次数，则1,2X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭.若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，所以回到原点的概率()333661150C 12216P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为机器人走完设定的n 步后所在位置对应数为随机变量n X ，X 表示向右移动的次数则n X -表示向左移动的次数，则()2n X X n X X n =--=-，1,2X B n ⎛⎫⎪⎝⎭则()()111224n D X np p n =-=⨯⨯=，所以()()()22244n nD X D X n D X n =-=⨯=⨯=.故答案为：516；n .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知7280128(1)(1)x mx a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+．（1）若1m =-，求1357a a a a +++的值；（2）若270a =-，求m 的值．【答案】（1）128 （2）2m =或53-【解析】【分析】（1）通过赋值法求系数和；（2）通过二项式定理的通项求参数值．【小问1详解】在7280128(1)(1)x x a a x a x a x --+=+++⋅⋅⋅+中，取1x =，得01280a a a a =+++⋅⋅⋅+，取=1x -，得018256a a a -=-+⋅⋅⋅+，以上两式相减，得1357128a a a a +++=．【小问2详解】7(1)mx +的通项为777177C ()C k k k k k k T mx m x ---+==，若270a =-，可得62577C C 70m m -=-，所以23100m m --=，解得2m =或53-．16. 已知函数()()2254e xf x x x =-+．（1）求()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）40x y +-= （2）极大值为127e -，极小值为e .【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）通过函数的导数研究函数的单调性，再求出函数极值点，求得极值.【小问1详解】由()()2254e xf x x x =-+，()f x 的定义域为R ，得()()221e xf x x x '=--，所以()00e 1f '=-=-，又()04f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为4y x =-+，即40x y +-=；【小问2详解】()()()()221e 121e x x f x x x x x '=--=-+，由()0f x '=，得12x =-，或1x =，当12x <-或1x >时，()0f x ¢>，()f x 在()1,,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上均单调递增；当112x -<<时，()0f x '<，()f x 在1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；故函数()f x 在12x =-处取得极大值，极大值为1217e 2f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭；在1x =处取得极小值，极小值为(1)e f =.故函数()f x 有极大值，也有极小值，极大值为127e -，极小值为e .17. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：（1）试列出22⨯列联表，并依据0.10α=的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？（2）如果本次测试理科考生的物理成绩()2,X Nμσ ，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为μ，方差为2σ，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．3≈4≈，40.841350.501≈，40.977250.91206≈．若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+≈，()220.9545P X μσμσ-<<+≈，()330.9973P X μσμσ-<<+≈．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．α0.100.050.0250.0100.005x α2.7063.84150246.6357.879.【答案】（1）答案见解析 （2）0.08794【解析】【分析】（1）根据题意完善22⨯列联表，求2χ，并与临界值对比分析；（2）根据题意求平均数和方差，结合正态分布求()90P X <，进而利用对立事件分析求解.【小问1详解】由题意可得：22⨯列联表为物理优秀物理非优秀总计数学优秀246数学非优秀044总计2810零假设0H ：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关，可得()220.10102404 1.667 2.7066428x χ⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，依据小概率值0.10α=独立性检验，可以推断0H 成立，即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关.【小问2详解】由题意可得，物理成绩的平均分为()1849082848381838190828410x =+++++++++=（分）；方差()()()()()()()222222221848490848284848483848184838410s ⎡=-+-+-+-+-+-+-⎣()()()22281849084828410⎤+-+-+-=⎦，结合题意可知：()84,10X N :，即84,3μσ==≈，则290μσ+=，可得()()1221+0.954590=0.9772522P X P X μσμσ+-<<+<=≈，记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A ，则A 为“4人物理成绩的等第都是非优秀”，故()()4419010.9772510.912060.08794P A P X ⎡⎤=-<≈-≈-=⎣⎦，所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为0.08794.的18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X ，求X 的分布列与期望；（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？【答案】（1）分布列见解析，40 （2）①减少了；②增加了【解析】【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望；（2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加．【小问1详解】由题意得X 的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．2611(10)C 15P X ===，26224(15)C 15P X ⨯===，2611(20)C 15P X ===，2622(35)C 15P X ===，2622(40)C 15P X ===，2622(65)C 15P X ===，2622(70)C 15P X ===，2611(90)C 15P X ===，所以X 的分布列为X 1015203540657090P11541511521521521521511514122221()1015203540657090401515151515151515E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问2详解】①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n 人，则门票收入为120n 元，举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为(140%)(12040)112120n n n +-=<，所以举行抽奖活动后该景区五一期间门票收入减少了．②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为12，13，16，则期望值为1111153040602363⨯+⨯+⨯=．不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为11547512033n n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为475497475(140%)40333n n n ⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭，所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了19. 定义：若函数()f x 与()g x 的图象在x C ∈上有且仅有一个交点，则称函数()f x 与()g x 在x C ∈上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数()2e xf x ax =-，a ∈R ，()e 2xg x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当01a ≤<时，（i ）求证：函数()f x 与()g x ()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ⅱ）对于（i ）中的正数0x ，证明：()0ln 11x a +<⎡⎤⎣⎦.【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析；【解析】【分析】（1）借助导数，分0a ≤及0a >讨论即可得；（2）（i ）结合定义，令()()f x g x =，构造函数()()2e 2xk x x ax =---，借助导数研究其单调性，结合零点的存在性定理即可得证；（ⅱ）原问题可转化为证明()002e e 0xx --≤，构造函数()()2e e x h x x =--，借助导数求出其在()0,2上的最大值即可得.【小问1详解】在在()2e x f x a ='-，当0a ≤时，()0f x '>对任意x ∈R 恒成立，故函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，令()0f x '<，得ln 2a x <；令()0f x '>，得ln 2a x >，故函数()f x 在,ln 2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】（i ）令()()f x g x =，得2e e 2x x ax x -=+，得()2e 20xx ax ---=，设()()2e 2xk x x ax =---，则()()1e xk x x a =--'，设()()1e xm x x a =--，则()e xm x x '=-，当()0,x ∞∈+时，()0m x '<，()m x 单调递减，即()k x '在()0,∞+上单调递减，且()010k a ='->，()10k a '=-≤，故(]10,1x ∃∈，使得()10k x '=，当()10,x x ∈时，()0k x '>，函数()k x 单调递增，当()1,x x ∞∈+时，()0k x '<，函数()k x 单调递减，因为()00k =，()2220k a =--<，所以()k x 在()0,2上只有一个零点0x ，故函数()k x 在()0,∞+上只有一个零点0x ，即函数()f x 与()g x 在()0,∞+上存在“单交点”()()00,x f x ；（ii ）因为002x <<，所以要证()0ln 11x a ⎡⎤+<⎣⎦，即证()01e x a +<，即证00e 0ax x +-<，只需证0e 0ax +2-≤，因为()()00002e 20xk x x ax =---=，得()0002e2x x ax -=+，所以只需证()002e e 0xx --≤即可，令()()2e e xh x x =--，02x <<，则()()1e xh x x ='-，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()()max 10h x h ==，即()002e e 0x x --≤，原不等式即证.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助()()00002e 20x k x x ax =---=，从而消去参数a ，将()01e x a +<转化为()002e e 0x x --≤.。
哈尔滨市高二上学期期末数学试卷(理科)A卷
哈尔滨市高二上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二下·福州期中) 椭圆C的焦点在 x 轴上，一个顶点是抛物线的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·定远期中) 设命题：“ ，”，则为（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分）已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则等于（）A .B .C .D . 04. （2分）(2018·全国Ⅲ卷文) 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A . 0.3B . 0.4C . 0.6D . 0.75. （2分） (2017高二上·荆门期末) 如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，则这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）若空间向量=（1，﹣2，1），=（1，0，2），则下列向量可作为向量，所在平面的一个法向量的是（）A . （4，﹣1，2）B . （﹣4，﹣1，2）C . （﹣4，1，2）D . （4，﹣1，﹣2）7. （2分）如图所示程序框图中，输出S=（）A . 45B . -55C . -66D . 668. （2分） (2018高二上·南阳月考) 有下列四个命题：①“若 ,则互为相反数”的逆命题；②“若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等”的否命题；③“若 ,则有实根”的逆否命题；④“若不是等边三角形，则的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）．A . ①②B . ②③C . ①③D . ③④9. （2分） (2018高三上·丰台期末) 过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .10. （2分）(2013·湖北理) 直线a、b、c及平面α、β,下列命题正确的是（）A . 若aα，bα,c⊥a,c⊥b 则c⊥αB . 若bα,a//b则a//αC . 若a//α,α∩β=b则a//D . 若a⊥α,b⊥α 则a//二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高三下·黑龙江开学考) 已知F1 ， F2是双曲线的左右焦点，点P 在双曲线上不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|=b，则该双曲线的离心率为________．12. （1分）某校有老师200名，男生1200名，女生1000名，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则从男生中抽取的人数为________13. （1分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如表统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元） 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程 =a+0.76x，据此估计，若该社区一户家庭年支出为11.8万元，则该家庭的年收入为________万元．14. （1分）在正方形ABCD中，点E为AD的中点，若在正方形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q落在△ABE 内部的概率是________15. （1分）圆E：（x+2）2+y2=4，点，动圆P过点F（2，0），且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程是________三、解答题 (共6题；共40分)16. （5分） (2016高二上·重庆期中) （Ⅰ）命题“ ”为假命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若“x2+2x﹣8＜0”是“x﹣m＞0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．17. （10分） (2018高二下·永春期末) 近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1 图2附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②参考数据：．（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中 (单位：年)表示二手车的使用时间， (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．18. （10分）有一游戏规则是：抛掷一骰子，若掷出1点、2点、3点，则得1分，若是掷出4点、5点，则得2分，若掷出6点，则得3分，（1）写出学生A抛掷一次所得分数的期望；（2）学生A与学生B各掷2次，所得分数分别x，y，求|x﹣y|≥1的概率．19. （5分） (2017高二上·静海期末) 已知曲线在的上方，且曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离都小1.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设，过点的直线与曲线相交于两点.①若是等边三角形，求实数的值；②若，求实数的取值范围.20. （5分）(2017·淮北模拟) 正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1 ， AB的中点．（I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1=4B1M，求证：EM∥面A1FC；（II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．21. （5分） (2017高二上·成都期中) 已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1、F2 ，离心率，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知直x﹣y+m=0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆内，求m的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、答案：略4-1、5-1、答案：略6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、9-1、答案：略10-1、答案：略二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共40分)16-1、17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、20-1、答案：略21-1、第11 页共11 页。
哈尔滨市数学高二上学期理数期末考试试卷(I)卷(模拟)
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、 解答题 (共6题；共50分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
C . 28m
D . 20m
4. （2分） 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A . 3x±4y=0
B . 4x±3y=0
C . 3x±5y=0
D . 5x±3y=0
5. （2分） 在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列直线与平面AD′C平行的是（ ）
A . DD′
B . A′B
C . C′D′
D . BB′
6. （2分） 经过点 的抛物线的标准方程为（ ）
A .
B .
C . 或
D . 或
7. （2分） 执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是（ ）
A . 2
B . 3
C . 9
D . 27
8. （2分） (2017高三上·嘉兴期末) 若函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度变换得到，则 的解析式是（ ）
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高一上·公安期中) 已知集合A={﹣1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合B等于（ ）
A . {﹣2，2}
职业高中高二上学期期末数学试题卷(含答案)
职业高中高二上学期期末考试数学试题卷一、选择题（每小题3分，共30分。
每小题中只有一个选项是正确的）1.已知B(-2,5),且()3,3=,则点A 的坐标为 ( ) A.(-5,2) B.(5,2-) C.(1,8) D.(1,2)2.已知||=5，()3,-=k ，则k 的值是 ( ) A.4- B.4 C. 4± D.2-3.已知BC AD 31=,则四边形是 ( )A.平行四边形B.矩形C.梯形D.对边不平行的四边形4.在边长为2的等边△ABC 中,∙= ( ) A.4 B.-4 C.2 D.2-5.已知+=0的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件6.直线0133=-+y x 的倾斜角是 ( )A.030B.0150C.060D.01207.直线0643=+-y x 与圆()()43222=-+-y x 的位置关系是 ( )Ａ.过圆心 Ｂ.相切 Ｃ.相离 Ｄ.相交且不过圆心8.正方体棱长为a ，则其对角线长为 ( ) A.a 3 B.a 3 C.a 2 D.2a9.空间中垂直于同一直线的两条直线的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能10. 如果二面角的一个面上的点到棱的距离是它到另一个面的距离的3倍，那么这个二面角的平面角θ应该满足 （ ）A .030=θB . 060=θ C . 33sin =θ D . 33cos =θ 二、填空题（每小题3分，共24分）1.已知向量与反向==6,则= 2.在菱形ABCD 中,()()=-∙+ 3.已知=(2,1),=(3,m ),且∥,则实数m =4.若直线的斜率为2，且过点()2,1-，则直线的方程为5.已知点A ()5,2-和B ()5,6-，以AB 为直径的圆的标准方程为6. 直线4=+y ax 与014=-+ay x 互相垂直，则=a7.如果直线m ⊥n ,且m ⊥平面α，则n 与平面α的关系为 8.将正方形ABCD 沿AC 折成直二面角后=∠DAB 三、计算题（每小题6分，共24分）1.已知()m ,5=，()1,3-=，且-3与+互相垂直，求m 的值。
四川省达州市2021版高二上学期期末数学试卷(理科)D卷
四川省达州市2021版高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（）A . i＜10B . i≤10C . i≤9D . i＜92. （2分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A . 不存在x0∈R，2x0＞0B . 存在x0∈R，2x0≥0C . 对任意的x∈R，2x＜0D . 对任意的x∈R，2x＞03. （2分）执行如图所示的程序框图，若输入x=-2，则输出y的值为（）A . 5B . 9C . 14D . -224. （2分） (2020高二下·郑州期末) 已知一组数据确定的回归直线方程为且，通过残差分析，发现两个数据，误差较大，去除这两个数据后，重新求得回归直线的斜率为-1.5，则当时，（）A . 6B . 7C . 8D . 135. （2分） (2020高二下·钦州期中) 下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是（）X3459PA .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·齐齐哈尔月考) 下列说法错误的是（）A . “若，则”的逆否命题是“若，则”B . “ ”是“ ”的充分不必要条件C . “ ”的否定是“ ”D . 命题：“在锐角中，”为真命题7. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则x，y的值分别为（）A . 18，6B . 8，16C . 8，6D . 18，168. （2分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（）A . ex+1B . ex﹣1C . e﹣x+1D . e﹣x﹣19. （2分）(2017·池州模拟) 已知正三棱锥A﹣BCD的外接球半径R= ，P，Q分别是AB，BC上的点，且满足 = =5，DP⊥PQ，则该正三棱锥的高为（）A .B .C .D . 210. （2分）(2013·辽宁理) 下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A . p1 ， p2B . p3 ， p4C . p2 ， p3D . p1 ， p411. （2分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O1为底面的中心，则O1A与上底面A1B1C1D1所成角的正切值是（）A . 1B .C .D . 212. （2分）(2018·泉州模拟) 已知点在双曲线的渐近线上，则的离心率等于（）A .B .C .D . 或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知平面α和β的法向量分别是（1，3，4）和（x，1，﹣2）．若α⊥β，则x=________ ．14. （1分） (2017高二上·南京期末) 有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是________．15. （1分） (2017高二上·南通期中) 已知P为椭圆 + =1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且|MN|= ，则| + |的取值范围是________．16. （1分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验，借鉴其原理，我们也可以采用计算机随机数模拟实验的方法来估计π的值：先由计算机产生1200对0～1之间的均匀随机数x，y；再统计两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值，假如统计结果是m=940，那么可以估计π≈________（精确到0.001）三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2020高二上·林芝期末) 已知命题：方程的两根都是实数，：方程的两根不相等，试写出由这组命题构成的“ 或”、“ 且”、“非”形式的命题，并指出其真假.18. （15分） (2017高一下·沈阳期末) 某中学对高三学生进行体能测试，已知高三某文科班有学生30人，立定跳远的测试成绩用茎叶图表示如图(单位: )；男生成绩在以上(包括 )定义为“合格”，成绩在以下(不包括 )定义为“不合格”；女生成绩在以上(包括 )定义为“合格”，成绩在以下(不包括 )定义为“不合格.（1）求女生立定跳远测试成绩的中位数；（2）若在男生中按成绩是否合格进行分层抽样，抽取6人，求抽取成绩为“合格”的学生人数；（3）若从（2）中抽取的6名男生中任意选取4人，求这4人中至少有3人“合格”的概率.19. （10分） (2018高三上·扬州期中) 已知正项数列满足 .（1）求证: ，且当时，；（2）求证: .20. （10分）(2013·山东理) 如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（1）求证：AB∥GH；（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．21. （10分） (2019高二上·长春月考)（1）求适合下列条件的椭圆的标准方程: 对称轴为坐标轴，经过点和 .（2）已知双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，求此双曲线的标准方程．22. （10分） (2016高二上·如东期中) 己知抛物线若y2=2px过点P（1，2）．（1）求实数p的值；（2）若直线若l交抛物线于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），两点，且y1y2=﹣4，求证直线l过定点并求出该点的坐标．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期第三次月考数学检测试卷(含答案)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期第三次月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．设向量，，若，则（ ）()1,,2a m =()2,1,0b =-a b ⊥m =A ．B ．C ．D ．2-1-122．已知直线倾斜角为，且过，则在轴上的截距为（）l 60︒l yA ．B ．C ．1D ．1-3．在正方体中，为的中点，则（）1111ABCD A B C D -P 1AA 1PC =A ．B ．112AA AB AD -++ 112AA AB AD ++C ．D ．112AA AB AD +-112AA AB AD --4．已知圆，圆，则圆的位置221:64120C x y x y +-++=222:142140C x y x y +--+=12,C C 关系为（ ）A ．内含B ．外切C ．内切D ．相交5．已知椭圆的焦距为2，则（ ）22:1(0)4x y C m m +=>m =A ．B ．3或5C ．或D ．56．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）()5,12A ．11B ．12C ．13D ．147．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的方程是()3y x =±（ ）．A ．B ．2219y x -=2219x y -=C ．D ．221273y x -=221273x y -=8．已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上且满足，则2214x y +=12,F F P 120PF PF = 12PF F ∆A ．B ．C ．D ．12二、多选题（本大题共3小题）9．已知空间中三点，则（）(0,1,1),(2,2,1),(2,1,0)A B CAB ．方向上的单位向量是CB 1(0,2C ．是平面的一个法向量()1,2,2n =-ABCD ．在上的投影向量的模为BC AC10．已知圆的半径为2，则下列命题是真命题的是（ ）()()22:14C x a y a-+-=A ．1a =B ．点在圆的外部()1,4C C ．若直线平分圆的周长，则20mx y +-=C 1m =-D ．圆与圆外切()()229564x y -++=C 11．已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物()2:20C y px p =>:1l x =-F F 线交于两点，于，则下列说法正确的是（ ）()()1122,,,P x y Q x y 1PPl ⊥1P A ．以为直径的圆与准线相切PQ l B ．若，则126x x +=7PQ =C ．设()0,1M D ．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条()0,1M C 三、填空题（本大题共3小题）12．已知，且，则.()()2,2,1,1,1,a b k ==--2a b ⊥ k =13．若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则.()20y ax a =>(),1m a =14．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆π的左，右焦点分别是，，是上一点，，()2222:10x y C a b a b +=>>1F 2F P C 213PF PF =，的面积为，则的标准方程为 .12π3F PF ∠=C 12πC 四、解答题（本大题共5小题）15．已知，，，，．()1,0,1A ()2,2,1B -a AB = ()4,2,4b =- ()3,,c m n = (1)求；cos ,a b (2)若，求实数，的值．()2a b c - m n 16．在中，，边AC 上的高BE 所在的直线方程为，边AB 上ABC V (2,2)A 320x y +-=中线CM 所在的直线方程为．640x y ++=(1)求点C 坐标；(2)求直线BC 的方程．17．已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线.(1,2)A (3,6)B P 4PA PB ⋅=-P C （1）求曲线的标准方程；C （2）求过点且与曲线相切的直线的方程.(1,2)A C 18．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点．1111ABCD A B C D -,E F 11,DD BB(1)求证：平面；CF //1A BE (2)求平面与平面成角的正弦值；1EA B 1A BA (3)求点到平面的距离．A 1A BE 19．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，222:1(20)4x y C b b +=>>22(0)y px p =>离心率为．12(1)求椭圆和抛物线的方程；C(2)过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直4,03F ⎛⎫- ⎪⎝⎭32C P Q M PQ 线的斜率．OM答案1．【正确答案】D【详解】因为，可得，a b ⊥()()01,,22,1,0a m b =-⋅=⋅ 即，解之可得.121200m ⨯-⨯+⨯=2m =故选：D2．【正确答案】B【详解】直线的斜率为，当时，l tan 60︒=2)y x =-0x =y =所以在轴上的截距为l y 故选：B3．【正确答案】B【详解】.111111112PC PA A D D C AA AB AD=++=++故选：B4．【正确答案】C【详解】由圆得：，221:64120C x y x y +-++=()()22321x y -++=所以圆的圆心坐标为，半径，1C ()13,2C -11r =又由圆得：，222:142140C x y x y +--+=()()227136x y -+-=所以圆的圆心坐标为，半径，2C ()27,1C 26=r则圆心距，15C ==由于，所以，21615r r -=-=1221=C C r r -则圆的位置关系为内切.12,C C 故选：C.5．【正确答案】B【详解】当椭圆焦点在轴上时,此时，，已知焦距，则.x 2a m =24b =22c =1c =根据，可得，解得.222c a b =-14m =-5m =当椭圆焦点在轴上时,此时，，由，y 24a =2b m =1c =根据，可得，解得.222c a b =-14m =-3m =综上所得，的值为或，m 35故选：B.6．【正确答案】B【详解】设圆心为，，则，P ()5,12C 1PC =可知点的轨迹为以为圆心，半径的圆，P ()5,12C 1r =且，即点在圆外，13OC r=>O (0,0)所以圆心到原点的距离的最小值为.12OC r -=故选：B.7．【正确答案】A【详解】由题设，可设双曲线为且，又在双曲线上，229y x m -=0m ≠()所以，则双曲线的方程是.36319m =-=-2219y x -=故选：A8．【正确答案】C 【分析】根据题意，分析可得，由椭圆的标准方程和定义可得，122F PF π∠=12||||24PF PF a +==，将两式联立可得的值，由三角形面积公式计算可得22212||||(2)12PF PF c +==12||||PF PF 答案．【详解】解：根据题意，点在椭圆上，满足，，P 120PF PF = 122F PF π∠=又由椭圆的方程为，其中，2214x y +=2413=-=c 则有，，12||||24PF PF a +==22212||||(2)12PF PF c +==联立可得，12||||2PF PF = 则△的面积；12F PF 121||||12S PF PF =⨯= 故选：C ．本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．9．【正确答案】ACD【详解】由题意：，，.()2,0,1AC =- ()0,1,1CB = ()0,1,1BC =--对A ：因为A 正确；AC == 对B ：因为，即方向上的单位向量是，故BCB CB ⎛==⎝CB ⎛ ⎝错误；对C ：因为，，()()1,2,22,0,1220n AC ⋅=-⋅-=-=()()1,2,20,1,1220n BC ⋅=-⋅--=-=所以成立，故是平面的一个法向量，故C 正确；,n AC n BC ⊥⊥n ABC 对D，故D 正确.故选：ACD10．【正确答案】ABD 【详解】圆的半径为2，所以，A 选项正确.()()22:14C x a y a-+-=44,1a a ==所以圆的方程为，圆心为，半径为，()()22114x y -+-=()1,12，所以点在圆的外部，B 选项正确.()()22114914-+->=()1,4C 直线平分圆的周长，则直线过圆心，20mx y +-=C ()1,1即，所以C 选项错误.1210,1m m m +-=-==圆的圆心为，半径为，()()229564x y -++=()9,5-8与的距离为，()1,1()9,5-1028==+所以圆与圆外切，D 选项正确.()()229564x y -++=C 故选：ABD11．【正确答案】ACD【详解】抛物线的准线为，即，抛物线C 的方程为，2:2C y px =:1l x =-2p =2:4C y x =焦点为，()1,0F 过作于，，Q 1QQ l ⊥1Q 11122PQ PF QF PP QQ x x =+=+=++以PQ 为直径的圆的半径，线段PQ 的中点坐标为，1212x x r +=+1212(,22x x y y++则线段PQ 的中点到准线的距离为，所以以PQ 为直径的圆与准线l 相切，1212x x r ++=A 正确；当时，，B 错误；126x x +=122628PQ x x =++=+=抛物线的焦点为，，2:4C y x =()1,0F 1PM PP PM PF MF +=+≥=当且仅当M ，P ，F 三点共线时取等号，所以C 正确；1PM PP +≥对于D ，当直线斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点，0x =当直线斜率存在时，设直线方程为，由消去x 并整理得1y kx =+214y kx y x =+⎧⎨=⎩，2440ky y -+=当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个公共点，0k =1y =当时，则，解得，0k ≠16160k ∆=-=1k =所以过点与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条，D 正确．()0,1M 故选ACD.【方法总结】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．12．【正确答案】4【详解】因为，且，()22,2,2b k =-- 2a b ⊥ 所以，解得，()24420a b k ⋅=--+=4k =故答案为.413．【正确答案】14【详解】由得，所以准线方程为，()20y ax a =>21x y a =14y a =-因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2，(),1m (),1m 即，解得，1124a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭14a =故答案为.1414．【正确答案】221169x y +=【详解】由椭圆的定义可知，又，12||||2PF PF a +=12||3||PF PF =所以，，又，13||2PF a =21||2PF a=12π3F PF ∠=所以，所以，22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠22229134444c a a a =+-所以，，a b==又椭圆的面积为，所以，解得，，，12ππ=12π27c =216a =29b=所以椭圆的标准方程为．C 221169x y +=故221169x y +=15．【正确答案】(1)4cos ,9a b =-(2)912m n =-⎧⎨=⎩【详解】（1），()1,2,2a =-()()1,2,24,2,44488a b ⋅=-⋅-=--=-，3=6b == ；84cos ,369a b a b a b ⋅-===-⨯⋅ （2）()()()221,2,24,2,42,6,8a b -=---=--因为，所以设，()2a b c-∥2a b c λ-=即，故，解得.()()2,6,83,,m n λ--=3268m n λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩912m n =-⎧⎨=⎩16．【正确答案】(1)；()0,4-(2).3280x y ++=【详解】（1）由直线：的斜率为，得直线的斜率，BE 320x y +-=13-AC 3AC k =直线的方程为，即，由，解得，AC ()232y x -=-34y x =-34640y x x y =-⎧⎨++=⎩04x y =⎧⎨=-⎩所以点C 的坐标为.()0,4-（2）依题意，设，则边的中点在直线上，()23,B b b -AB 432(,)22b b M -+CM 于是，解得：，即点，43264022b b -+⨯++=2b =()4,2B -所以直线BC 的方程为，即.244(0)40y x ++=---3280x y ++=17．【正确答案】（1）()()22241x y -+-=（2）或.1x =3450x y -+=【详解】（1）设，则，，P (x,y )(1,2)PA x y =-- (3,6)PB x y =-- 由，得，()()()()13264PA PB x x y y ⋅=--+--=- ()()22241x y -+-=所以曲线的标准方程为.C ()()22241x y -+-=（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，C ()2,4过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切；(1,2)A 1x =C 过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，(1,2)A ()21y k x -=-20kx y k -+-=有圆心到直线距离，解得，1d 34k =则方程为.3450x y -+=过点且与曲线相切的直线的方程为或.(1,2)A C 1x =3450x y -+=18．【正确答案】(1)证明见解析(3)43【详解】（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则,()()()()()12,2,0,2,0,1,0,0,2,2,0,0,0,2,1C F A B E 则,()()()10,2,1,2,0,2,2,2,1CF A B BE =-=-=- 设平面的法向量为，1A BE (),,m x y z = 则，取，则，1220220m A B x z m BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 2x =()2,1,2m = 由于，故，()0220m CF ⋅=+-+= m CF ⊥ 又平面，故平面CF ⊄1A BE CF //1A BE （2）由（1）知平面的法向量，平面的一个法向量，1A BE ()2,1,2m = 1A BA ()0,1,0n = 设平面与平面所成角为，则，1A BE 1A BA θ1cos cos ,3m n m n m n θ⋅===由于，故π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin θ==（3）由于，平面的法向量，()10,0,2AA = 1A BE ()2,1,2m = 点到平面的距离.A 1A BE 143AA m d m ⋅==19．【正确答案】(1)椭圆的方程为；抛物线的方程为C 22143x y +=24y x =(2)12-【详解】（1）由椭圆方程可知：，2a =因为，解得，122c c e a ===1c =又因为，所以椭圆的方程为；2223b a c =-=C 22143x y +=可知椭圆的焦点为，则抛物线的焦点为，()()1,0,1,0-22(0)y px p =>(1,0)可得，即12p =2p =所以抛物线的方程为.24y x =（2）显然点在椭圆内，可知直线与椭圆必相交，4,03F ⎛⎫- ⎪⎝⎭C PQ C 如图所示：设，中点为，()()1122,,,P x y Q x y PQ ()00,M x y 则，，，12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩121232PQ y y k x x -==-012012OM y y y k x x x +==+因为两点在椭圆上，,P Q 22143x y +=可得，两式相减可得，22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221212043x x y y --+=整理可得，221212221212211234y y x y y y y x x x x x -+=-+-⋅=--即，可得，3324OM k =-12OM k =-所以直线的斜率为.OM 12。
2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题_Word版含答案
2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （ ）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立； （2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分 则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =， 代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=， 解得10m =.……………………4分 （2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分 即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分 （2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分 当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分 当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分 由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。