2014届贵阳一中第四次模拟考试理科数学-答案

理科数学参考答案·第1页（共8页）贵阳市第一中学2014届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．(1)1i f =-，111((1))(1i)i 1i 22f f f =-==+-，在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限，故选A .2．A 项中，22am bm a b <⇒<；但a b <不能推出22am bm <，例如：当0m =时，22am bm =，故A 正确；B 项显然正确；C 项中，p ，q 均为假可以推出p q ∧为假，正确；D 项中，40.25(10.25)0.75D ξ=⨯⨯-=，错误，故选D .3．根据面面平行的性质知，②正确；⑤中由l α∥，l 平行平面α中的某条直线x ，同理l 平行平面β中的某条直线y ，从而x y ∥，所以y α∥，进而y m ∥，故l m ∥，所以⑤正确，故选C ． 4．因为60B ∠=︒，45C ∠=︒，所以75BAC ∠=︒，在Rt △ABD 中，AD 60B ∠=︒，所以1tan60ADBD ==︒，30BAD ∠=︒．记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得BAM BAD ∠<∠时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得302()755P N ︒==︒，故选B ．5．若[1,1)t ∈-，则3[3,3)s t =∈-；若[1,3]t ∈，则24[3,4]s t t =-∈，综上可知[3,4]s ∈-，故选A ．6．由于空间几何体的正（主）视图和侧（左）视图“高平齐”，故正（主）视图的高一定是2；由于正（主）视图和俯视图“长对正”，故正（主）视图的底面边长为2；又根据侧（左）视图可知这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一条侧棱，综上可知，这个空间几何体的正（主）视图可能是C ，故选C ．7．由函数1()cos()2f x x ωϕ=+对任意的x ∈R ，都有ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知 πcos 13ωϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，则πsin 03ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故ππ3sin 2233g ωϕ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ．理科数学参考答案·第2页（共8页）8．因为奇数项的二项式系数之和为12n -，所以12647n n -==，，因此(12)(1)n x x -+展开式中含2x 项的系数为22177C (2)C (2)70-+-=，故选B .9．23,32,1,01a b a b ==><<∵∴，则()f x 在R 上是增函数．又1(1)10f b a-=--<，(0)10f b =->，∴()f x 在(1,0)-内有唯一零点，取1n =-，故选B .10．由不等式20x ax c +-<的解集为{21}x x -<<可得20x ax c +-=的两根为−2，1，故可求得1,2a c ==，所以由函数321y x mx x =+++在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数，可知23210y x mx '=++=在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，当在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有一解时有31(321)04m m ⎛⎫++++< ⎪⎝⎭，解得724m -<<-，当在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有两解时有211,234120,m m ⎧<-<⎪⎨⎪∆=->⎩解得3m -<<(3,m ∈-，故选A .11．作BD 垂直准线交准线于点D ，由抛物线的定义得BD BF =.故由2BC BF =，得2BC BD =，所以30BCD ∠=︒.故直线l 的倾斜角为60︒.所以直线l 的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭.联立2,22,p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩消去y 得22122030x px p -+=，解得3,26A B p px x ==.故由抛物线的定义得32322p p AF p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.所以此抛物线的方程为23y x =，故选C ．12．()(1)n a f n f n =++∵，123100[(1)(2)(100)][(2)(101)]a a a a f f f f f ++++=++++++∴………．又2()cos(π)f n n n =∵，222222(1)(2)(100)123499100f f f +++=-+-+--+∴…… 222222(21)(43)(10099)=-+-++-…50(3199)3719950502+=+++==…， 222222(2)(101)23499100101f f ++=-+--+-……理科数学参考答案·第3页（共8页）222222(23)(45)(100101)=-+-++-…50(5201)5920151502--=----==-…，所以123100a a a a ++++…[(1)(2)(100)][(2)(101)]f f f f f =++++++…… 50505150100=-=-，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．最左边两个矩形面积之和为0.1010.1210.22⨯+⨯=，总城市数为110.2250÷=，最右面矩形面积为0.1810.18,500.189⨯=⨯=． 14．203040111220212230313240102030,,T T Tb b b b b b b b b T T T ===………， 1010100212230313240111220212230()b b b b b b q q b b b b b b ===……∵……，203040102030,,T T T T T T ∴成等比数列，公比为100q ． 15．区域340,0,0x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥的可行域如图1中△AOB ，故所求事件的概率为211π13π44==1432423AOB S P S ⨯⨯=⨯⨯圆△．16．由22x y =可知212y x =，这时y x '=，由P ，Q 的横坐标为4，−2，这时(4,8)P ，(2,2)Q -， 以点P 为切点的切线方程P A 为84(4)y x -=-，即480x y --=①；以点Q 为切点的切线方程QA 为22(2)y x -=-+，即220x y ++=②；由①②联立得A 点坐标为(1,4)-，这时点A 的纵坐标为−4．图1理科数学参考答案·第4页（共8页）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当π6x =时， 2cos ,cos a c a c a c ==<>π5πcos coscos 66x =-=-=． 因为0,πa c ≤<>≤，所以5π,6a c =<>． ……………………………………（6分）（Ⅱ）2()212(cos sin cos )1f x a b x x x =+=-++ 22sin cos (2cos 1)sin 2cos2x x x x x =--=- π24x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．………………………………………………………………（9分）因为π9π,28x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3π2,2π44x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故πsin 21,4x ⎛⎛⎫-∈- ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 所以，当π3π244x -=，即π2x =时，max [()]1f x =． …………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有： (300)0.3P X <=，(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X <=<-<=-=≤， (700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X <=<-<=-=≤， (900)1(900)10.90.1P X P X =-<=-=≥．所以Y 的分布列为：…………………………………………………………………………（3分）于是，()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=；2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8． ………………………………（6分）理科数学参考答案·第5页（共8页）（Ⅱ）由概率的加法公式，得(300)1(300)0.7P X P X =-<=≥， 又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X <=<-<=-=≤． ………………（9分）由条件概率，得(300900)0.66(6|300)(900|300)(300)0.77P X P Y X P X X P X <=<===≤≤≥≥≥．故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67．…………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）线段AB 上存在一点K ，且当14AK AB =时，BC ∥平面DFK ． 证明如下：如图2，设H 为AB 的中点，连接EH ，则BC ∥EH ． 又因为14AK AB =，F 为AE 的中点，所以KF ∥EH ，所以KF ∥BC ， ∵KF ⊂平面DFK ，BC ⊄平面DFK ， ∴BC ∥平面DFK ．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：因为F 为AE 的中点，DA ＝DE ＝1，所以DF ⊥AE ． 因为平面ADE ⊥平面ABCE ，所以DF ⊥平面ABCE ． 因为BE ⊂平面ABCE ，所以DF ⊥BE ．又因为在折起前的图形中E 为CD 的中点，AB ＝2，BC ＝1， 所以在折起后的图形中，AE ＝BE从而AE 2＋BE 2＝4＝AB 2， 所以AE ⊥BE ．因为AE ∩DF ＝F ，所以BE ⊥平面ADE ， 因为BE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ADE ． …………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）椭圆的顶点为(0,，即b =c e a ==a =∴椭圆的标准方程为22132x y +=．…………………………………………（5分）（Ⅱ）由题可知，直线l 与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．图 2理科数学参考答案·第6页（共8页）②设存在直线l 为(1)y k x =-，且1122(,),(,)M x y N x y ， 由221,32(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩………………………………………………………………（7分）得2222(23)6360k x k x k +-+-=．22121222636,2323k k x x x x k k-+==++， ………………………………………………（8分）21212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x =+=+-++2222222223636661123232323k k k k k k k k k ⎛⎫----=+-+==- ⎪++++⎝⎭． …………………………（10分）所以k =l的方程为1)y x =-或1)y x =-． …………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1f x x '=+． 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增．则①当102t t e <<+<时，t 无解；②当102t t e <<<+，即10t e<<时， min 11[()]f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当12t t e <+≤，即1t e ≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增．所以min [()]()ln f x f t t t ==．所以min110,[()]1ln .t e e f x t t t e ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩≥ ………………………………………………（4分）（Ⅱ）解：2()()f x g x ≥，即22ln 3x x x ax -+-≥，理科数学参考答案·第7页（共8页）则32ln a x x x++≤． 设3()2ln (0)h x x x x x =++>，2(3)(1)()x x h x x+-'=． 当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x '>单调递增． 所以min [()](1)4h x h ==．因为对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立， 所以min [()]4a h x =≤．故实数a 的取值范围是(,4]-∞． ……………………（8分）（Ⅲ）证明：问题等价于证明2ln ,(0,)x x x x x e e>-∈+∞． 由（Ⅰ）可知()ln ,(0,)f x x x x =∈+∞的最小值为1e -，当且仅当1x e =时取得．设2(),(0,)x x m x x e e =-∈+∞，则1()xx m x e -'=，易得max 1[()](1)m x m e==-． 从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立． …………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图3，连接BE 、OE ，则BE EC ⊥． 又D 是BC 的中点，所以DE BD =． 又OE OB =，OD OD =，所以ODE ODB △≌△， ………………（3分） 所以90OED OBD ∠=∠=︒， 所以O 、B 、D 、E 四点共圆．…………………………………………………（5分）（Ⅱ）如图3，延长DO 交圆O 于点H ，因为2()DE DM DH DM DO OH DM DO DM OH ==+=+， …………（7分）所以21122DE DM AC DM AB ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22DE DM ACDM AB =+． ……………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】图3理科数学参考答案·第8页（共8页）解：（Ⅰ）曲线C ：2213x y +=，直线l ：40x y +-=． …………………………（5分）（Ⅱ）设曲线C上一点为,sin )P θθ，则P 到l的距离d ==， 当7π6θ=时，max d = 此时点31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． ……………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】解：（Ⅰ）当1a =-时，2115x x ++-≥，不等式可化为：1,2(1)(1)5,x x x <-⎧⎨-+--⎩≥ 解得：2x -≤ ；11,2(1)(1)5,x x x -⎧⎨+--⎩≤≤≥ 解得：x ∈∅； 1,2(1)(1)5,x x x >⎧⎨++-⎩≥ 解得：43x ≥， 所以，解集为：4(,2],3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭． …………………………………………（5分）（Ⅱ）不等式()5f x ≥对x ∀∈R 恒成立，即x ∀∈R ，min ()5f x ≥. 当1a >时，312,1,()12,1,312,,x a x f x x a x a x a x a -++<⎧⎪=--+⎨⎪-->⎩≤≤所以，min ()15f x a =-≥，即6a ≥； 当1a =时，33,1,()33,1,x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥所以，min ()0f x =，不符合；当1a <时 ，312,,()12,1,312,1,x a x a f x x a a x x a x -++<⎧⎪=+-⎨⎪-->⎩≤≤所以，min ()15f x a =-+≥，即4a -≤， 所以，46a a -≤或≥． …………………………………………………………（10分）。