第十五章 相关分析与回归分析
第六章 相关分析与回归分析
b＜0,y 有随 x 的增加而减少的趋势
●●●回归直线一定通过由观测值的平均值（x,y ）所组成的点：
∵ yˆ a bx
a y bx
∴ yˆ y bx bx y b(x x)
当 xx 时， yˆ y，即回归直线通过点（x,y ）
●直线回归方程配置的实例
实例：对表 6-1 的北碚大红番茄果实横径与果重进行回归分析
| r |愈接近于 1，相关愈密切 | r |愈接近于 0，相关愈不密切 0＜r＜1 时，为正相关 －1＜r＜0 时，为负相关 ●相关系数计算的实例： 实例：表 6-1 为番茄果实横径与果实重的观测值，求其相关性。
表 6-1 北碚大红番茄果实横径与果实重
果实横径（cm）
果重（g）
x
y
10.0
140
其中： r
n
[ x2 ( x)2 ][ y 2 ( y)2 ]
n
n
x、y——为两个变数的成对观测值 n——为观测值的对数（样本容量）
●●相关系数的性质：
●●●r 的符号取决于 x、y 离均差的乘积和（lxy 或 SP）；符号的
性质表示两个变数之间的相关性质，即
r＞0，表示正相关
r＜0，表示负相关
∑y2=133071.0
n=10
a=-23.834
b=16.425
r=0.9931
结论：北碚大红番茄果实横径与果实重量的回归方程为：
yˆ 23.834 16.425 x
●回归关系的显著性测定——有 3 种方法。 ●●直线回归方程的方差分析
●●●y 的总变异的分解
SS y lyy ( y y)2 [( y yˆ) ( yˆ y)]2 ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 2 ( y yˆ)(yˆ y) ( y yˆ)2 ( yˆ y)2 其中： 2 ( y yˆ )( yˆ y) =0
第十章 直线回归与相关分析
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130 125.5
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132 134.5
图10-2 NaCl含量对单位叶面积干物重影响的散点图
Y . X X
含义是：对于变量X的每一个值，都有一个Y 的分布，这个分布的平均数就是该线性函数。
ˆ a bX Y
回归截距 与x值相对应的依变量y的点估计值
此方程称为Y对X的直线回归方程(linear regression equation)，画出的直线称为回归线 （ regression line）。
ˆ Y a bx
ˆi ) 2 L ( yi y
i 1 n
Y
最小
编号 1 2 3 4 5 血球体积x /mm3 45 52 56 48 42 红血球数y /106 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 6 7 8 9 10 编号 血球体积x /mm3 35 58 40 39 50 红血球数y /106 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72
n n
整理后得：
an b xi yi i1 i1 n n n a xi b xi2 xi yi i1 i1 i1
解正规方程得：
x y ( x )( y ) / n b x ( x ) / n ( x x)( y y) = S S ( x x)
第二节：一元线性回归 1 散点图的绘制
2 一元正态线性回归模型 3 直线回归方程的参数估计和回归方 程的建立 4 直线回归的假设检验
5 直线回归的方差分析
6 直线回归的意义( 自学）
统计学第七章 相关与回归分析
（四）按变量之间的相关程度分为完全相关、不完全相 关和不相关。
二、相关关系的测定
（一）定性分析，相关表，相关图 判断现象间有无相关关系是一个定性认 识问题，单纯依靠数学方法是无法解决的。 因此，进行相关分析必须以定性分析为前 提，这就要求研究人员首先必须根据有关 经济理论，专业知识，实际经验和分析研 究能力等。对被研究现象在性质上作出定 性判断。 相关表是将相关变量的观察资料，按照 其对应关系和一定顺序排列而成的表格。
Se
y
2
a y b xy n2
(7－ 12)
这个公式可以直接利用前面计算回归系 数和相关系数的现成资料。以表7－1的资 料计算如下：
Se y 2 a y b xy n2 56615-30.3 731-28.36 1213 10 2 65.02 8 2.85 (万件）
2
或
y- y R＝ 1－ 2 y y
ˆ 式中，y 为y的多元线性趋势值或回归估计值。
若变量间呈曲线（非直线）相关，则应
计算相关指数来测定变量间相关的密切程度。
ˆ y y y y
2 2
Ryx
( 7－7）
R
ˆ y y
由表7－4资料计算相关系数如下：
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2 2
2
10 1213－15.1 731
2
10 26.25－15.1 10 56615－731 1091.9 1091.9 38.49 31789 6.2 178.3 1091.9 0.988 1105.5
第九章 相关与回归分析
第9章相关与回归分析【教学内容】相关分析与回归分析是两种既有区别又有联系的统计分析方法。
本章阐述了相关关系的概念与特点;相关关系与函数关系的区别与联系;相关关系的种类;相关关系的测定方法(直线相关系数的含义、计算方法与运用);回归分析的概念与特点;回归直线方程的求解及其精确度的评价;估计标准误差的计算。
【教学目标】1、了解相关与回归分析的概念、特点和相关分析与回归分析的区别与联系；2、掌握相关分析的定性和定量分析方法；3、掌握回归模型的拟合方法、对回归方程拟合精度的测定和评价的方法。
【教学重、难点】1、相关分析与回归分析的概念、特点、区别与联系；2、相关与回归分析的有关计算公式和应用条件。
第一节相关分析的一般问题一、相关关系的概念与特点（一）相关关系的概念在自然界与人类社会中,许多现象之间是相互联系、相互制约的,表现在数量上也存在着一定的联系。
这种数量上的联系和关系究其实质,可以概括为两种不同类型,即函数关系与相关关系。
相关关系:是指现象之间客观存在的,在数量变化上受随机因素的影响,非确定性的相互依存关系。
例如,商品销售额与流通费用率之间的关系就是一种相关关系。
（二）相关关系的特点1、相关关系表现为数量相互依存关系。
2、相关关系在数量上表现为非确定性的相互依存关系。
二、相关关系的种类1、相关关系按变量的多少,可分为单相关和复相关2、相关关系从表现形态上划分,可分为直线相关和曲线相关3、相关关系从变动方向上划分,可分为正相关和负相关4、按相关的密切程度分,可分为完全相关、不完全相关和不相关三、相关分析的内容相关分析是对客观社会经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种统计方法。
其目的在于对现象间所存在的依存关系及其所表现出的规律性进行数量上的推断和认识,以便为回归分析提供依据。
相关分析的内容和程序是:(1)判别现象间有无相关关系(2)判定相关关系的表现形态和密切程度第二节相关关系的判断与分析一、相关关系的一般判断（一）定性分析对现象进行定性分析,就是根据现象之间的本质联系和质的规定性,运用理论知识、专业知识、实际经验来进行判断和分析。
统计学 相关与回归分析.
2019年4月30日/上午2时57分
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
9.2 一元线性回归
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
9.2 一元线性回归
9.2.1一元线性回归模型
1．理论模型
从回归模型的一般形式，式（9.2）出发，一元线性回归模型可以表
述为
9.2.3 一元线性回归方程的拟合优度
9.2.4 一元线性回归方程的显著性检验
9.2.5 运用一元线性回归方程进行估计
9.3 多元线性回归
9.3.1 多元线性回归模型
9.3.2 多元线性回归方程的最小二乘估计
9.3.3 多元线性回归方程的拟合优度
2019年4月30日/上午2时57分
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
借助散点图还可以概略地区分和识别变量之间的非线性相关的具体类 型，为回归分析确定回归方程的具体形式提供依据，这也是散点图的重 要功能。例如，通过散点图展示的图形特征，初步地分辨出相关关系是 直线，还是二次曲线、三次曲线、指数曲线、对数曲线、S曲线等。所 以，散点图不仅是相关分析，也是回归分析中经常使用的最简便的基本 分析工具。
相关系数的正负取值取决于Lxy的正负。
并且，当相关系数的绝对值越是趋近于1，表明变量和变量的相关程 度越高，称之为强相关；反之，当相关系数的绝对值越是趋近于0，表 明变量和变量的相关程度越低，称之为弱相关。
2019年4月30日/上午2时57分
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
9.1 相关关系
例9.2 根据例9.1的表9.1中的数据。 表9.1某证券市场价格指数与A证券价格
1800
第9章 相关与回归分析
第9章相关与回归分析【学习目标】✧了解相关分析的含义、相关关系的类型。
✧理解相关分析的描述与测量。
✧了解回归分析的含义和类型。
✧理解一元线性回归模型的含义、回归分析的假定条件、参数估计和一元线性回归模型的检验。
✧理解多元线性回归模型的含义、参数估计和多元线性回归模型的检验。
✧掌握使用SPSS进行线性相关分析的方法。
✧掌握使用SPSS进行一元线性回归和多元线性回归的方法。
【引导案例】如何根据价格预测产品的销量？企业竞争模拟大赛是运用计算机技术在互联网上模拟企业经营的市场环境，由学生根据内外条件和竞争对手的情况，做出生产、销售、财务、人力等方面的经营管理决策，在计算机执行决策后，根据利润、市场占有率、分红、纳税等指标形成企业在市场上排名的一种管理决策模拟类比赛。
企业竞争模拟大赛所具有的竞争性、趣味性、实用性是其他课堂教学形式难以比拟的。
实践证明，此类学科竞赛对于提高商科大学生的实战能力，培养大学生的竞争意识和团队合作精神具有重要意义。
要想在企业竞争模拟大赛中胜出，必须建立动态定量化的模型来优化经营决策。
例如，表9-1是“2012全国高校企业竞争模拟大赛”半决赛某参赛队1~14期的产品价格和市场需求量，如果该参赛队想在第15期定价4967元，那么市场需求量会是多少呢？表9-1 某产品的价格和需求量（单位：元）析和回归分析。
9.1 相关分析9.1.1 相关关系1．什么是相关关系自然界和人类社会中的各种事物或现象，是在相互联系、相互依赖、相互制约中存在和发展的，一种现象的变动往往受到周围各种现象变动的影响。
例如，一国的经济增长要受到资本、劳动力、技术水平等因素的影响；企业的利润要受到产品销售量、销售价格及生产经营成本等因素的影响；员工的薪酬水平要受到地域、行业、企业的经济效益、员工的学历、职位、任职期限等因素的影响等等。
人们在实践中发现，现象之间的关系可以分为两种类型：函数关系和相关关系（correlation）。
统计学原理第七章_相关分析
各类相关关系的表现形态图
三、相关分析与回归分析
• （一）相关分析 • 是用一个指标（相关系数）来表明现象 之间相互依存的密切程度。 • （二）回归分析 • 是根据相关关系的具体形态，选择一个 合适的数学模型，来近似地表达变量之 间的平均变化关系。（高度相关）
• （三）相关分析与回归分析的联系
• 1. 它们有具有共同的研究对象。
n
(x x )(y y ) n
σx
(x x )
n
2
(x x ) n
(y y ) n
1
1
2
σy
(y y )
n
2
2
再代入到原公式中，得：
r σ
2 xy
σx y σ
( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y )
2
·· ·②
销售收入 （百万元）
40 30 20 10 0 0 20 40 60 80 100
广告费（万元）
钢材消费量与国民收入
2500
2000
1500
钢材消费量（万吨）
1000
500
0
（相关图）
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
国民收入（亿元）
例子
表1 某企业产量与生产费用的关系
企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8
量，哪个是因变量，变量都是随机的。
• 2. 回归分析是对具有相关关系的变量间
的数量联系进行测定，必须事先确定变
量的类型。通常因变量是随机的，自变
量可以是随机的，也可以是非随机的。
第二节 简单线性相关分析
统计学第10章 相关分析与回归分析
1. 变量间关系不能用函数关
系精确表达
y
2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定
3. 当变量 x 取某个值时，变 量 y 的取值可能有几个
4. 各观测点分布在直线周围
x
简单相关
(类型)
相关关系
线性相关 非线性相关 完全相关 不相关
正相关 负相关
正相关 负相关
相关关系描述与测度
r (x x)( y y) (x x)2 (y y)2
或化简为 r
nxy x y
n x2 x2 n y2 y2
相关系数
(取值及其意义)
1. r 的取值范围是 [-1,1] 2. |r|=1，为完全相关
r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负相关
（2）与相关系数r一样，回归系数b有正负号， 正号表示两个变量之间为正相关，负号表示两个 变量之间为负相关。
（3）应用回归分析方法进行推算或预测时要注意 条件的变化。
（4）注意社会经济现象的复杂性。 （5）在进行回归分析时，最好要与相关分析、估
计标准误差同时使用。
（3）计算相关系数时，改变两个变量的地位并不影响相关 系数的数值，所以只有一个相关系数；回归分析一般可 以根据研究目的不同，分别建立两个不同的回归方程， 即一个是以x为自变量，y为因变量的“y对x的回归方 程”；另一个是以y为自变量，x为因变量的“x对y的 回归方程”。
（4）相关分析中两个变量可以都是随机的；而在回归分析 时，把自变量当做研究时可以控制的量，是非随机的， 因变量才是随机的。
预测区间
1. 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个 给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估
第14章 相关分析和回归分析
价对象两者之间的相对变动，其中哪个是自变量，哪个是因变量， 没有必要区分；它们各自单独的变化状况也不用清地加以确定或 限制。 回归分析则希望明确建立一个方程关系式，借助一个或多个变量 (自变量)来推测另一个变量(因变量)的变化趋势。如果某个或多 个自变量本身变动也处于不确定中，或者为随机变量，自变量的 概率分布情况就必然要通过实验加以确定和限制。
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3
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在数据挖掘中，定类变量之间的相关性往往使用关联分析进行计 算，关联分析是使用一种支持度的概念来支持某件商品值不值得 分析。 比如假设商品 A 共出现N（A）次、同时商品B 共出现N（B）次， 对于N（A and B）是用来表示A 和B 两种物品同时出现的次数， 那么A 和B的支持度即为：N（A and B）/MIN（N（A），N （B）），这样一种支持度的优点是可以全面的挖掘数据内部的 信息，即可以更加精细全面地把所有值得分析的数据关系全部呈 现出来，否则可能会因为上式中分母的大小影响对于重要数据关 系的挖掘。
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相关系数
现假定观测到n个变量x，y的组合值，分别为（x1,y1）（x2,y2）…（xn,yn）。 容易得到x，y的平均数 x ，y 。 如果把坐标移到（ x ， y ），则新坐标为： xi xi x , yi yi y 。
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统计学知识点(完整)
基本统计方法第一章概论1。
总体（Population）：根据研究目的确定的同质对象的全体（集合）;样本（Sample）:从总体中随机抽取的部分具有代表性的研究对象。
2。
参数(Parameter）：反映总体特征的统计指标,如总体均数、标准差等，用希腊字母表示，是固定的常数；统计量（Statistic)：反映样本特征的统计指标，如样本均数、标准差等,采用拉丁字字母表示，是在参数附近波动的随机变量。
3. 统计资料分类：定量（计量）资料、定性（计数）资料、等级资料。
第二章计量资料统计描述1. 集中趋势：均数（算术、几何)、中位数、众数2。
离散趋势：极差、四分位间距（QR=P75—P25）、标准差（或方差)、变异系数(CV）3。
正态分布特征：①X轴上方关于X=μ对称的钟形曲线；②X=μ时，f（X）取得最大值；③有两个参数,位置参数μ和形态参数σ；④曲线下面积为1，区间μ±σ的面积为68.27％，区间μ±1.96σ的面积为95.00%,区间μ±2。
58σ的面积为99。
00％。
4. 医学参考值范围的制定方法:正态近似法：；百分位数法：P2.5-P97.5。
第三章总体均数估计和假设检验1。
抽样误差（Sampling Error):由个体变异产生、随机抽样造成的样本统计量与总体参数的差异。
抽样误差不可避免，产生的根本原因是生物个体的变异性.2。
均数的标准误(Standard error of Mean, SEM)：样本均数的标准差，计算公式:.反映样本均数间的离散程度，说明抽样误差的大小。
3。
降低抽样误差的途径有：①通过增加样本含量n;②通过设计减少S。
4。
t分布特征：①单峰分布,以0为中心，左右对称；②形态取决于自由度ν,ν越小，t值越分散，t分布的峰部越矮而尾部翘得越高；③当ν逼近∞,逼近，t分布逼近u分布，故标准正态分布是t分布的特例.5. 置信区间(Confidence Interval，CI):按预先给定的概率（1—α）确定的包含总体参数的一个范围，计算公式：或。