共轭梯度方法
共轭梯度法公式
共轭梯度法公式
共轭梯度法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
其主要思想是通过利用前一次迭代的信息来加速当前迭代的速度，从而减少迭代次数和计算量。
共轭梯度法公式包括以下几个步骤：
1. 初始化：设初始解为x0，残量b0为Ax0-b，共轭方向d0=b0。
2. 迭代求解：对于第k次迭代，计算步长αk，使得xk+1=xk+αkd，其中d是共轭方向，满足dTkAd=0，即d是A的共轭向量。
3. 更新残量：计算新的残量bk+1=Axk+1-b，如果bk+1小于预设精度，则停止迭代。
4. 更新共轭方向：计算新的共轭方向dk+1=bk+1+βkdk，其中βk=(bk+1)Tbk+1/(bk)Tbk，保证dk+1与之前的共轭方向都是A的共轭向量。
5. 重复迭代，直到满足收敛条件，返回最终解xk+1。
共轭梯度法是一种高效的求解大型线性方程组的方法，尤其适用于稀疏矩阵和对称正定矩阵。
公式简单易懂，容易实现，且具有较快的收敛速度。
- 1 -。
共轭梯度法
•基本思想:把共轭性与最速下降法相结合,利用已 知点处的梯度构造一组共轭方向,并沿着这组方 向进行搜索,求出目标函数的极小点
4.4共轭梯度法
先讨论对于二次凸函数的共轭梯度法,考虑问题
min f (x) 1 xT Ax bT x c
3, giT d (i) giT gi (蕴涵d (i) 0)
证明: 显然m1,下用归纳法(对i)证之.
当i 1时,由于d (1) g1,从而3)成立,对i 2时, 关系1)和2)成立,从而3)也成立.
4.4共轭梯度法
设对某个i<m,这些关系均成立,我们证明对于i+1
也成立.先证2),
因此
2 / 3 1 5/ 9
d (2)
1/ 1
3
1 9
2 0
5/9 1
从x(2)出发,沿方向d (2)进行搜索,求步长2,使满足 :
f
( x (1)
2d (1) )
min
0
f
(x(2)
d (2))
2 0
4.4共轭梯度法
显然, d (1)不是目标函数在x(1)处的最速下降方向.
下面,我们用FR法构造两个搜索方向.
从x(1)出发,沿方向d (1)进行搜索,求步长1,使满足 :
f
( x (1)
1d (1) )
min
0
f
( x (1)
d (1) )
得1 2 3
A正定,故x是f(x)的极小值点.
【实用】共轭梯度法反演PPT资料
我们假设在点X0 处开始沿负梯度方向
蒙特卡洛方法 搜索,到达点X1 ,即
设有一组n 维彼此关于n×n 的正定对称矩阵A共轭的向量
，能够使我们分别沿着这n个共轭向量所指的方向各搜索一
非 统计方法 次,就可以达到极值点 。
为了使搜索能够快速到达极值点选取α使
模拟退火法
为了使搜索能够快速到达极值点选取α使
0 ( Ax k b )T d k 1 ( A ( xk 1 k d k ) b )T d k 1
从而，
k
rkT p k
p
T k
ApBiblioteka k(11)将上式带入 (10) 式可得：
x *
xn
x0
n 1 i0
riT p i
p
T i
Ap
i
di
(12)
*
16
三、共轭梯度法的优缺点
优 分别使用最共 速轭 下梯 降度 法法 和组 解 2 3线 6 2x性 28方 程 点 目标函 :(数 x1,x2为 )-2x13x124x1x28x26x22
性
小值，分0别 .60是 10和 ： 508.76035
P2局部极 小值
P1全局极 小值
*
20
三、共轭梯度法的优缺点
局限性
初始猜测 反演结果 目标函数值 (2,-1) (3.0，0.0) 0.6011 (-2,-1) (-3.0,0.0) 0.7606 (-1.5,0) (-0.0958,0) 0.9932 (4,-1) (3.0，0.0) 0.6011
*
17
三、共轭梯度法的优缺点
计算效率比较
最速下降法
共轭梯度法
*
18
三、共轭梯度法的优缺点
共轭梯度法prp
共轭梯度法prp共轭梯度法prp是求解线性方程组Ax=b的一种有效方法，它具有收敛速度快的优点，在计算机科学、经济学等领域被广泛应用。
在本文中，我们将分步骤阐述共轭梯度法prp的原理和算法流程，并探讨它的一些优缺点。
一、共轭梯度法prp的原理：求解线性方程组Ax=b的时候，如果我们采用梯度下降法，每次迭代时都是从当前点xk出发，按照负梯度方向向下移动一定距离得到下一个点xk+1。
如果点的数目很大，那么求解所需的时间也相应很长。
共轭梯度法prp则是在迭代过程中，每一次移动的方向都是共轭的，这样可以提高迭代收敛的速度。
二、共轭梯度法prp的算法流程：共轭梯度法prp的算法过程非常简单，我们可以用以下五个步骤来描述它的基本流程。
1.初始化：设xi=0，ri=b，pi=ri，i=0。
2.迭代：当i＜n时，执行以下操作：（a）计算αi=（ri，pi）/（Api，pi）。
（b）更新：xi+1=xi+αipi。
（c）计算ri+1=ri-αiApi。
（d）选择βi=(ri+1，ri+1)/(ri，ri)。
（e）计算pi+1=ri+1+βipi。
3.输出结果。
三、共轭梯度法prp的优缺点：共轭梯度法prp与梯度下降法相比具有许多优点。
例如，它收敛速度快、计算复杂度低等等。
但是也存在一些缺点。
例如，收敛速度可以很快，但是随着迭代次数的增加，其收敛速度会逐渐变慢，甚至可能陷入振荡状态。
此外，如果矩阵的条件数太大，则共轭梯度法prp 的效果会变得很差，需要使用其他方法来求解方程组。
总之，共轭梯度法prp是求解线性方程组Ax=b的一个优秀方法，它可以提高计算速度和准确度。
尽管存在一些缺点，但共轭梯度法prp 仍是一个值得推崇的算法。
25共轭梯度法
共轭，即 piT Apj 0, i j ,i , j 1,2, ,k。 则称这组方向是关于A共轭的，也称它们是一组A共轭方向。
注：如 果A是 单 位 矩 阵 ， 则
p1T I p2 0 p1T p2 0
p1 p2
§2.5 共轭梯度法
预备知识 最速下降法 共轭梯度法 数值试验算例
21:26
预备知识：内积的定义
I II
方程组问题: 极值问题:
Ax =
min
b
f
(x)
1
xT Ax
bT
x
xRn
设 x, y Rn , 记 ( x , y) = xT y
2
▪( x, y ) = ( y, x ); ▪( tx, y ) = t ( x, y); ▪( x+ y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ); ▪( x, x) ≥ 0, 且( x, x) = 0 x = 0;
p(k 1) r (k 1) k p(k )
进行下一次迭代
例：用CG迭代法求解下列方程组: x(0) (0 0 0)T
2 0 1 x1
3
0 1 0 x2 1
1 0 2 x3
3
解： 易验证系数矩阵是对称正定的.
Step1 计算 p(0) r(0) b Ax(0) (3 1 3)T
0
x2 x1
x*
x3
注 最速下降方向反映了目 标函数的一种局部性质。它只是 局部目标函数值下降最快的方向。 最速下降法是线性收敛的算法。
f(x1,x2)=100x12+x22
最速下降法
共轭梯度法在优化问题中的应用
共轭梯度法在优化问题中的应用共轭梯度法是一种高效的优化算法，在许多优化问题中都得到了广泛的应用。
它是一种迭代方法，用于解决最小化二次函数的优化问题。
在本文中，我将介绍共轭梯度法的原理和算法，并探讨它在优化问题中的应用。
一、共轭梯度法的原理共轭梯度法的核心思想是通过迭代的方式，找到一个与之前迭代步骤方向相互垂直的搜索方向，以加快收敛速度。
在每一次迭代中，共轭梯度法根据当前的搜索方向更新搜索点，直到找到最优解或达到预定的收敛标准。
具体来说，共轭梯度法从一个初始搜索点开始，计算对应的梯度，并沿着负梯度方向进行搜索。
通过一定的方法找到一个与之前搜索方向相互垂直的新搜索方向，并以一定步长更新搜索点。
迭代过程将重复进行，直到满足收敛标准或达到最大迭代次数。
二、共轭梯度法的算法共轭梯度法的算法包括以下几个步骤：1. 初始化搜索点x0和梯度g0，设置迭代次数k=0。
2. 计算当前搜索方向d_k=-g_k（k为当前迭代次数）。
3. 通过一维搜索方法找到最佳步长α_k。
4. 更新搜索点x_k+1 = x_k + α_k * d_k。
5. 计算更新后的梯度g_k+1。
6. 判断是否满足收敛标准，若满足则算法停止，否则转到步骤7。
7. 计算新的搜索方向β_k+1。
8. 将迭代次数k更新为k+1，转到步骤3。
这个算法保证了每一次迭代中的搜索方向都是彼此相互垂直的，从而加快了收敛速度。
三、共轭梯度法的应用共轭梯度法在优化问题中有广泛的应用，特别是在二次规划、线性规划和非线性规划等领域。
在二次规划问题中，共轭梯度法可以高效地求解线性系统Ax=b，其中A是一个对称正定的矩阵。
由于共轭梯度法的特性，它只需要进行n 次迭代，其中n是问题的维度，就能得到精确的解。
这使得共轭梯度法在大规模线性系统求解中具有重要的应用价值。
在线性规划问题中，共轭梯度法可以用于求解带有线性约束的最小二乘问题。
共轭梯度法通过将线性约束转化为一系列的正交子空间，从而在求解最小二乘问题时能够更快地收敛。
共轭梯度法
, k 1 ）
（1）
同样由前一节共轭方向的基本定理有：
T gk di 0
（ i 0,
, k 1 ），（2）
T 再由 g i 与 d i 的关系得： gk gi 0 （ i
0,
i 0,
, k 1 ）
(3)
将（2）与（3）代入（1）得：当 而
i 0 , k 2 时，
第 2次迭代：
5 2 8 T ( 8 , 4 )T ( , ) 18 9 9
g1 (
8 2 16 2 ) ( ) || g1 || 9 9 4 . 0 || g 0 ||2 82 4 2 81
2
8 16 T , ) . ||g1 || 9 9
解：
4 1 f ( x) ( x1 , x2 ) 2 0
0 x1 , 2 x2
4 0 G . 0 2
f ( x) ( 4 x1 , 2 x2 )T .
第1 次迭代：
令
而
d (0) g0 f ( x(0) ) ( 8 , 4 )T ,
一、共轭梯度的构造 （算法设计针对凸二次函数） 设
f ( x)
1 T x Gx bT x c 2
其中 G 为 n n 正定矩阵，则
g ( x) Gx b
对二次函数总有 1）设
gk 1 gk G xk 1 xk k Gdk
，令 x1 x0 0 d0 （ 0 为精确步长因子）
dk 1 f ( xk 1 ) dk
|| f ( xk 1 ) ||2 || f ( xk ) ||2
令k=k+1;返回4.
共轭梯度法
3. 算法的 MATLAB 实现
在 MATLAB 中编程实现的共轭梯度法函数为： min GETD 功能：用共轭梯度法求解多维函数的极值。
调用格式： [ x, min f ] min GETD( f , x0, var, eps) 其中， f ：目标函数；
x0 ：初始点； ：自变量向量； var x ：目标函数取最小值时的自变量值；
（6） 若 k 1 n ，令 x(0) x( n ) ，转步骤（3） ，否则转步骤（7） ；
（7） 令 p
( k 1)
f ( x
( k 1)
) k p
(k )
， k
f ( x ( k 1) ) f ( x )
(k )
2 2
， 置 k k 1， 转步骤 （4） 。
t 0
(k ) ( k ) （4） 用 一 维 搜 索 法 求 t k ， 使 得 f ( x kt p ) m i n f
( ) 5； x( k 1 ) x k( ) kt p k，转步骤
k( ) x
) 令， tk p( ，
（5） 若 f ( x
( k 1)
) ，停止，极小值点为 x ( k 1) ，否则转步骤（6） ；
1 f ( X ) d1 + x1 -x1* 2 1 =d1 + x1 -x1* 2
2
*
2
1 d1 a x1 -x1* 2
2b x1 -x1*
x -x c x -x
2
2b x1 -x1*
共轭梯度法总结
共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）总结1. 引言共轭梯度法是一种用于求解线性方程组或优化问题的迭代算法。
它在大规模问题上具有较高的效率和收敛速度，并且不需要存储完整的矩阵。
共轭梯度法最早由Hestenes和Stiefel于1952年提出，后来经过多次改进和推广，成为求解稀疏线性方程组和优化问题的重要工具。
2. 基本原理共轭梯度法的基本思想是利用共轭方向的性质，通过一系列迭代来逼近最优解。
对于一个对称正定矩阵A和一个向量b，我们希望找到一个向量x使得Ax=b成立。
通过引入残差r=b-Ax，我们可以将问题转化为求解残差最小化的问题。
定义两个向量d和g满足以下关系：d_i^TAd_j=0 (i≠j)，则称d_i与d_j是关于矩阵A共轭的。
在每次迭代中，选择与之前所有搜索方向都共轭的搜索方向，并沿着该方向进行搜索。
3. 算法流程步骤1：初始化给定初始解x_0，计算初始残差r_0=b-Ax_0，并令搜索方向d_0等于r_0。
步骤2：迭代重复以下步骤直到满足收敛条件： - 计算当前搜索方向的梯度g_k=Ad_k。
- 计算步长alpha_k=r_k Tr_k/(d_k TAd_k)。
- 更新解x_{k+1}=x_k+alpha_k d_k。
- 更新残差r_{k+1}=r_k-alpha_k Ad_k。
- 计算新的搜索方向d_{k+1}=r_{k+1}+beta_{k+1}d_k，其中beta_{k+1}=r_{k+1}^T r_{k+1}/(r_k^T*r_k)。
步骤3：输出结果返回近似解x。
4. 关键观点和发现共轭梯度法具有以下几个关键观点和发现： - 共轭方向的选择：在每次迭代中，选择与之前所有搜索方向都共轭的搜索方向。
这样可以保证每次迭代都能沿着一个新的、不再相关的搜索方向前进，从而避免了无谓的震荡和重复计算。
- 最优解性质：对于一个n维问题，共轭梯度法最多需要n步就可以达到最优解，即解决了一个n维线性方程组的问题。
共轭梯度法求解方程组
共轭梯度法是一种常用的迭代方法，用于求解线性方程组Ax = b。
它适用于对称正定矩阵的情况，可以高效地求解大规模的线性方程组。
下面是使用共轭梯度法求解方程组的一般步骤：1. 初始化：选择一个初始解x0 和初始残差r0 = b - Ax0，设置初始搜索方向d0 = r0。
2. 迭代计算：进行迭代计算，直到满足停止准则（如残差的大小或迭代次数达到一定阈值）为止。
a. 计算步长αk = (rk^T rk) / (dk^T A dk)，其中rk = b - A xk 是当前的残差。
b. 更新解xk+1 = xk + αk dk。
c. 计算新的残差rk+1 = rk - αk A dk。
d. 计算新的搜索方向dk+1 = rk+1 + (rk+1^T rk+1) / (rk^T rk) dk。
e. 更新迭代次数k = k + 1。
3. 输出解：当满足停止准则时，输出最终的解x。
需要注意的是，共轭梯度法的效率和收敛速度与矩阵的条件数有关。
对于病态矩阵或条件数较大的情况，可能需要进行预处理或使用其他更适合的求解方法。
此外，共轭梯度法还可以应用于非线性方程组的求解，采用牛顿法等方法来迭代求解。
在实际应用中，可以使用现有的数值计算库或软件来实现共轭梯度法，以提高计算的效率和精度。
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共轭梯度方法（Conjugate Gradient Method）是求解线性方程组的一种迭代算法。
该方法适用于求解大型稀疏的对称正定线性方程组，可以显著减少计算量和存储空间。
该方法的主要思想是利用共轭方向（Conjugate Directions）的性质，在有限次迭代中求解方程组的解。
共轭梯度方法的基本步骤如下：
选取一个初值$x_0$，并令$r_0=b-Ax_0$，其中$b$ 为方程组的右端向量，$A$ 为系数矩阵。
计算一个共轭方向$p_0=r_0$，即$p_0$ 与$r_0$ 正交，并满足$Ap_0 \neq 0$。
对于$k=0,1,2,\ldots$，执行以下操作：
a. 计算$\alpha_k=\frac{r_k^Tr_k}{p_k^TAp_k}$。
b. 更新解向量$x_{k+1}=x_k+\alpha_kp_k$。
c. 计算残差向量$r_{k+1}=r_k-\alpha_kAp_k$。
d. 计算$\beta_k=\frac{r_{k+1}^Tr_{k+1}}{r_k^Tr_k}$。
e. 更新共轭方向$p_{k+1}=r_{k+1}+\beta_kp_k$，即$p_{k+1}$ 与$p_k$ 具有共轭性。
如果残差向量$r_k$ 较小，则停止迭代，输出解向量$x_k$。
共轭梯度方法具有收敛速度快、存储空间小等优点，但对于非对称和非正定的线性方程组，该方法可能不收敛。
同时，该方法也有一些变体，如预处理共轭梯度法、共轭残差法等，可以更好地解决不同类型的线性方程组求解问题。