高一下学期数学期中考试卷(含答案)
高一下学期数学期中考试卷（含答案）选择题部分（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1．设平面向量()1,2a =，(),3b x =-，若a b ∥，则x =（ ） A ．-6B ．32-C ．23-D ．62．在△ABC 中，已知2b =，45B =︒，6c =C 为（ ）A ．60°B ．30°或150C ．60°或120°D ．120°3．已知△ABC 中，5AB BC ==，6AC =，则以边AC 所在直线为轴旋转△ABC 一周形成的几何体的体积为（ ） A ．16πB ．32πC ．64πD ．96π4．在△ABC 中，点M 为AC 上的点，且2MC AM =，若BM BA BC λμ=+，则λμ-的值是（ ） A ．13B ．12C ．1D ．235．在三棱锥P ABC -中，P A 、AB 、AC 两两垂直，3AP =，6BC =，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．57πB ．63πC ．45πD ．84π6．下列结论不．正确的是（ ） A ．在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B > B ．若△ABC 为锐角三角形，则sin cos A B > C ．若cos cA b<，则△ABC 为钝角三角形 D ．在△ABC 中，若3b =，60A =，三角形面积3S =2217．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，M 为棱1DD 上的一点．当1A M MC +取得最小值时，1B M 的长（ ）A 3B 6C ．23D ．68．已知△ABC 中，22AB AC ==()min2AB BCR λλ+=∈，2AM MB =，22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则MP 的最小值为（ ）A ．33B ．23C ．53D ．63二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ） A ．16B ．64C ．32D ．无法确定10．下列关于简单几何体的说法正确的是（ ） A ．所有棱长都相等的正三棱锥是正四面体B ．正四面体的内切球与外接球半径之比为1：3C ．侧棱与底面垂直的四棱柱是直平行六面体D ．同底等高的圆柱和圆锥的表面积之比是2：111．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ）A ．AB AC ⋅与AD BC ⋅均为定值 B ．2210b c += C ．3cos 15A ≤<D ．BAD ∠的最大值为6π12．在△ABC 中，3AB AC ==，4BC =，O 为△ABC 内的一点，设AO AB AC λμ=+，则下列说法正确的是（ ）A ．若O 为△ABC 的重心，则23λμ+=B ．若O 为△ABC 的内心，则25λμ+== C ．若O 为△ABC 的外心，则910λμ+=D ．若O 为△ABC 的垂心，则15λμ+=非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知三角形三边长为3，437______．14．若1a =，2b =，a 与b 的夹角为60°，若()()35a b ma b +⊥-，则m 的值为______． 15．已知复数()i ,z a b a b R =+∈满足1110i z z +=+-，求1i 6i z z -++-+的最小值______． 16．已知△ABC 三点在平面直角坐标系x —O —y 所在平面内，点B 、C 分别在x 、y 正半轴上滑动，2BAC π∠=，6BCA π∠=，1AB =，则OA OB ⋅的最大值为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知复数()22i1i 1z i=++-，其中i 为虚数单位． （Ⅰ）求z 及z ；（Ⅱ）若223i z az b ++=+，求实数a ，b 的值．18．（本题满分12分）如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，其中AD AB ⊥，AD BC ∥，若将图中阴影部分绕AB 旋转一周．（注：台体的体积公式：()112213v S S S S h =+⋅⋅（1S 表示上底面面积，2S 表示下底面面积，h 表示台体的高）（Ⅰ）求阴影部分形成的几何体的表面积； （Ⅱ）求阴影部分形成的几何体的体积．19．（本题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()23cos 3cos b c A a C =． （Ⅰ）求A ． （Ⅱ）若31a =，求△ABC 面积的最大值．20．（本题满分12分）已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=．（Ⅰ）求a b + ； （Ⅱ）求a 与b 的夹角；（Ⅲ）若a 在b 方向上的投影向量为c ，求()c a b ⋅+的值．21．（本题满分12分）杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE ，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD ，BE 为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED ，DC ，CB ，BA ，AE 为赛道23BCD BAE π∠=∠=，4CBD π∠=，26CD km =，8DE km =． （Ⅰ）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE 的长度； ①712CDE π∠=；②3cos 5DBE ∠= （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE 最长（即BA AE +最大），最长值为多少？22．（本题满分12分）已知正△ABC 的边长为3I ，点P 满足1PI =． （Ⅰ）求证：222PA PB PC ++的定值并求此定值；（Ⅱ）把三个实数a ，b ，c 的最小值记为{}min ,,a b c ，若{}min ,,m PA PB PB PC PA PC =⋅⋅⋅，求m 的取值范围；（Ⅲ）若0xPA yPB zPC ++=，(),,x y z +∈R ，求xy的最大值．参考答案1．B2．解析：因为sin 4536c b c ︒=<<=2660sin sin sin 45sin b c C B C C=⇒=⇒=︒︒或120°，故选C ． 3．解析：依题易知为两个同底的圆锥，半径和高分别为4，3，所以体积为21243323V ππ=⨯⨯⨯=．答案选：B4．解析：因为2MC AM =，所以2133BM BA BC =+，所以23λ=，13μ=，所以13λμ-=，故选A ． 5．解析：由于P A ，AB ，AC 两两垂直，故可得该三棱锥为长方体的一部分，可得外接球半径为长方体体对角线的一半，故可得2222235222PA AB AC PA BC R +++===，故2445S R ππ==．所以答案为C ．6．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式．对于选项A ，在△ABC 中，若2sin 2sin sin sin A B a b R A R B A B >⇔>⇔>⇔>，故选项A 正确． 对于选项C ：()cos sin sin cos sin sin cos sin cos 0cA CB A A B B A A B b<⇒<⇒+<⇒<， 因为()0,A π∈，所以sin 0A >，故cos 0B B <⇒为钝角，故C 正确；对于选项D ，因为3b =，60A =︒，三角形面积13333sin 22S bc A ===，故2c =．再由余弦定理得222cos 7a b c bc A =+-=212sin 3a A =，故选项D 错误．本题选D7．【解答】解：由题意，将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90°展开，与侧面11ADD A 共面（如图），连接1AC '，当1A ，M ，C '共线时，1A M MC +取得最小值，由1AB AD ==，12AA =，可得M 为1DD 的中点，12A M 1111ABCD A B C D -中，11B A ⊥平面11A D DA ，又1A M ⊂平面11A D DA ，则111B A A M ⊥,又12A M =()22221111123B M B A A M =+=+=．故选B8．C 解析：依题意得△ABC 为等腰直角三角形，斜边4BC =，D ，E 为斜边BC 的两个四等分点，点P 在线段DE 上运动，当点P 在点D 处时，MP 取得最小值，根据余弦定理解得53MD =，所以min 53MP MD == 9．AB 【解析】 【分析】正方形的直观图是一个平行四边形，有一边长为4，分两种情况讨论，根据斜二测画法的原则，即可得结果． 【详解】根据题意，正方形的直观图如图所示：①若直观图中平行四边形的边4A B ''=，则原正方形的边长为4AB A B ''==，所以该正方形的面积为4416S =⨯=； ②若直观图中平行四边形的边4A D ''=，则原正方形的边长为8AD A D ''==，所以该正方形的面积为8864S =⨯=， 故选：AB ． 10． AB11．BCD12．ACD13．答案：120°或23π 14．答案：23815．答案：13 1633217．（1）13i z =-+，10z =（2）37a b =-⎧⎨=⎩【解析】 【分析】（1）利用复数的运算法则，求出z ，再根据复数的模的定义求出z ；（2）根据复数的运算法则，以及复数相等的充要条件，即可求出实数a ，b 的值． 【详解】 （1）()()22i1i 2i i 1i 13i 1iz =++=++=-+-，()221310z =-+=（2）由223i z az b ++=+得：()()213i 13i 23i a b -++--+=+，即()()863i 23i a b a --++--=+所以82633a b a --+=⎧⎨--=⎩，解之得37a b =-⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了复数的运算法则，复数的模的定义，共轭复数的概念，复数相等的充要条件，考查了学生的运算能力，属于基础题．18．【答案】解：（1）由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆台下底面、侧面和半球面，21=42=82S ππ⨯⨯半球，()()22=25452S ππ++-圆台侧，2=5=25S ππ⨯圆台底，故所求几何体的表面积为=83525=68S ππππ++； （2）()()22221=22554=523V πππππ⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦圆台． 34116=2=323V ππ⨯⨯半球，∴所求几何体的体积为1614052=33πππ-． 19．（1）6π（2）1220．（1）∵()()23261a b a b -⋅+=，∴2244361a a b b-⋅-=又∵4a =，3b =，∴6442761a b -⋅-=，∴6a b ⋅=-．()22222426313a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=，∴13a b +=（2）∵6a b ⋅=-，∴61cos 432a b a bθ⋅-===-⨯⋅， ∵0θπ≤≤，∴23πθ=（3）∵12cos 423bbb c a a bb b⎛⎫=⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，∴()()()()2222692333c a b b a b a b b ⋅+=-⋅+=-⋅+=--+=-． 21．（1）在△BCD 中，由正弦定理知sin sin BD CDBCD CBD =∠∠，∴62sin sin 34BD ππ=，解得6BD =， 选①：∵23BCD π∠=，4CBD π∠=，∴()23412BDC BCD CBD πππππ⎛⎫∠=-∠+∠=-+=⎪⎝⎭， ∴712122BDE CDE BDC πππ∠=∠-∠=-=， 在Rt △BDE 中，22226810BE BD DE =+=+=；若选②，在△BDE 中，由余弦定理知222cos 2BD BE DE DBE BD BE +-∠=⋅，∴222368526BE BE +-=⨯⨯，化简得25361400BE BE --=，解得10BE =或145-（舍负）， 故服务通道BE 的长度10BE =；（2）在△ABE 中，由余弦定理知，2222cos BE BA AE BA AE BAE =+-⋅⋅∠， ∴22100BA AE BA AE =++⋅，∴()2100BA AE BA AE +-⋅=，即()()221004BA AE BA AE BA AE ++-=⋅≤，当且仅当BA AE =时，等号成立，此时()231004BA AE +=，BA AE +203． 22．（1）以I 为原点，IA 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示． 由正弦定理得△ABC 外接圆半径14342sin 60R =⨯=，则()0,4A ，进而可得()23,2B --，()23,2C -．因为1PI =，所以点P 在圆221x y +=上，故设()cos ,sin P θθ，则()cos ,4sin PA θθ=--，()23cos ,2sin PB θθ=---，()23cos ,2sin PC θθ=--，所以222PA PB PC ++()()()()()222222cos 4sin 23cos 2sin 23cos 2sin θθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()223cos sin 4851θθ=++=．（2）由（1）知232sin 74sin 73PA PB πθθθ⎛⎫⋅=--=--- ⎪⎝⎭， 同理可得4sin 7PB PC θ⋅=-，4sin 73PA PC πθ⎛⎫⋅=-+- ⎪⎝⎭， 由对称性下面考查,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的情况， 当,26ππθ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，4sin 7PB PC θ⋅=-[]11,9∈--，[]4sin 75,33PA PB πθ⎛⎫⋅=---∈-- ⎪⎝⎭，[]4sin 79,53PA PC πθ⎛⎫⋅=-+-∈-- ⎪⎝⎭，此时，PB PC ⋅最小；当,62ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]4sin 79,3PB PC θ⋅=-∈--，[]4sin 711,93PA PC πθ⎛⎫⋅=-+-∈-- ⎪⎝⎭，PB PC ⋅不是最小，故m 的取值范围是[]11,9--．（3）)()()()023cos ,422sin xPA yPB zPC z y x y z x y z x y z θθ=++=--++---++，所以)23cos 422sin z y x y z x y z x y z θθ⎧-=⎪⎪++⎨--⎪=⎪++⎩，代入22sin cos 1θθ+=整理得2225556660x y z xy xz yz ++---=，,,x y z +∈R ，两边同时除以2y ，得：222225556660x z x xz zy y y y y++---=，令x m y =，z n y=，则225556660m n m mn n ++---=，即()225665650n m n m m -++-+=， 所以()()2266455650m m m ∆=+-⨯⨯-+≥，即2310m m -+≤，解得353522m -+≤≤，所以xy（即m ）的最大值为352+． 此时，0∆=，因此335m n +=， 所以335m z +=,y x my =，从而()333515m yz x y m y +==++．。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
2023-2024学年北京市东城区中央工艺美术学院附属中学高一下学期期中考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市东城区中央工艺美术学院附属中学高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为()A.2B.C.0D.2i2.已知，则线段AB中点坐标为()A. B. C. D.3.已知向量，，且，那么x等于()A.2B.3C.4D.64.如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，设，则()A. B. C. D.5.把函数的图象向左平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得函数图象的解析式为()A. B.C. D.6.设、均为单位向量，且，则()A.3B.C.6D.97.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是()A. B. C. D.8.如图，在中，点D在线段BC上，，如果，那么()A.，B.，C.，D.，二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
9.若复数为纯虚数，则实数__________.10.若且，则P点的坐标为__________.11.已知在中，，，，则__________.12.在中，已知，，，则__________.13.已知复数，则__________.14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分已知求；设，的夹角为，求的值.16.本小题12分已知向量的夹角为，求；若与垂直，求实数t的值.17.本小题12分已知，求的值；求的值.18.本小题12分已知函数求最小正周期；当时，求的最大值以及取得最大值时x的值.19.本小题12分已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，求的值；若的面积，求b，c的值.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】根据虚部的定义直接求解.【详解】复数的虚部为故选：A2.【答案】D【解析】【分析】利用中点坐标公式直接求解即可.【详解】因为，所以线段AB中点坐标为故选：D3.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示，列式计算即得.【详解】由向量，，且，得，所以故选：A4.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量基本定理结合题意求解即可.【详解】因为在正方形ABCD中，E是AB边的中点，，所以故选：D5.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可.【详解】把函数的图象向左平移个单位后，，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得故选：C6.【答案】B【解析】【分析】对两边平方，代入已知条件，再开方可得答案.【详解】因为、均为单位向量，则，且，所以故选：7.【答案】C【解析】【解析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：在区间上，，没有单调性，故排除在区间上，，单调递减，故排除在区间上，单调递增，且其最小正周期为，故C正确；根据函数以为最小正周期，的周期为，可排除故选：【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.8.【答案】A【解析】【分析】利用，将表示出来，再运用平面向量的线性运算即可求解【详解】解：，；，；，故选：【点睛】本题考查了平面向量的数乘与线性运算，考查学生的分析能力，计算能力；属于基础题．9.【答案】【解析】【详解】复数为纯虚数，故答案为10.【答案】【解析】【分析】根据题意向量的坐标，从而可得点P点的坐标.【详解】因为且，所以，所以点P的坐标为故答案为：11.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理直接求解.【详解】因为在中，，，，所以由正弦定理得，，所以，解得故答案为：12.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得.【详解】在中，由正弦定理得，由，得，所以故答案为：13.【答案】【解析】【分析】先对复数z化简，然后可求出其共轭复数.【详解】因为，所以故答案为：14.【答案】【解析】【分析】直接利用余弦定理求解.【详解】在中，因为，，，所以故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题.15.【答案】【解析】【解析】根据平面向量的线性运算可得结果；根据平面向量的夹角公式可得结果.16.【答案】因为向量的夹角为，，所以；因为与垂直，所以，所以，所以，解得【解析】【分析】根据数量积的定义直接求解；由题意得，化简可求出实数t的值.17.【答案】因为，，所以，所以；因为，，所以，，所以【解析】【分析】根据已知条件求出，然后利用同角三角函数的关系可求得答案；先利用二倍角公式求出，然后利用两角差的余弦公式化简计算即可.18.【答案】，所以最小正周期；当时，，所以，当即有最大值，为【解析】【分析】利用正余弦的二倍角公式、两角和的正弦展开式化简，再求最小正周期；根据x的范围求出的范围，再求正弦可得答案.19.【答案】因为，所以，在中，由正弦定理得，即，所以；由得，因为，即，解得，由余弦定理得，所以，综上，【解析】【分析】根据同角三角函数关系得到，由正弦定理得到；结合中的，利用三角形面积公式得到，由余弦定理求出。
青海省海东市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
海东市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.4.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知中，内角所对的边分别，若，，，则（ ）A.B.C.D.2. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ）A. 长方体B. 圆锥C. 棱锥D. 圆台3. 复平面内表示复数的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知是两个不共线的向量,，若与是共线向量，则实数的值为（ ）A. B. 6C.D. 5. 如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ）ABC V ,,A B C ,,a b c 1a =2b =1sin 6A =sin B =231356121iiz -=21,e e 1212e 3e ,2e e a b k =+=-+ a bk 6-3232-ABCD M N BC CD AC AM BN λμ=+λμ+=A. 2B.C.D.6. 某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（ ）A. B. 75C. D. 7. 若水平放置四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC 的面积为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，AB 是底部不可到达一座建筑物，A 为建筑物的最高点，某同学选择地面CD 作为水平基线，使得C ，D ，B 在同一直线上，在C ，D 两点用测角仪器测得A 点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB 的高度为（ ）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C. 异面D. 以上皆不可能10. 已知为虚数单位，复数，则（）的的8365858π25π16πO A C B '''',4,8A C O B A C O B ''''''''==∥10CD=5+i 312312i,2i,i z z z =+=-=A. 与互为共轭复数B.C. 为纯虚数D.11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则只有一解C. 若，则直角三角形D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知复数，则______．13. 有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为_________.14. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15. 已知是虚数单位，复数，．（1）当复数为实数时，求的值；（2）当复数为纯虚数时，求的值；16已知平面向量满足，其中.（1）若，求实数m的值；（2）若，求向量与的夹角的大小.17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角C；（2）若的面积为a、b的值．为.1z2z12=z z123z z z++()1323iz z z+⋅=+ ABCVA B>sin sinA B>602 1.74A c a=︒==，，ABCVtanaAb=ABCVcos cos cos0A B C++>122i,1iz z=-=+12z z=4cm1cm2cmA C45︒B C15︒Ci()()22562iz m m m m=-++-m∈Rz mz ma b，(1,2),(4,1)a m b=--=-m∈Ra b∥a b⊥2a b-bABCV222ab c a b=--ABCV c=18. 如图，圆锥中内接一个圆柱，是的中点，，圆柱的体积为.（1）求圆锥母线长；（2）求图中圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比.19. 在平面四边形中（在的两侧），.（1）若，求；（2）若，求四边形的面积的最大值.的PO 1O OP 24OB OA ==1O O 16πPO 1O O ABCD ,B D AC 1,120AD CD ADC ∠===90,DAB BC ∠==ABC ∠2AB BC =ABCD海东市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．【15题答案】【答案】（1）或 （2）【16题答案】【答案】（1）9 （2）【17题答案】【答案】（1）；（2），或，．【18题答案】【答案】（1）（2【19题答案】【答案】（1） （2）3i +24+24+0m =2m =3m =3π423C π=2a =4b =4a =2b =45ABC ∠= 1。
广东省广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52（ ）A. B. C. D. 3. 如图，四边形中，，则必有（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）A. 与互相平行；B. 与是异面直线；C. 与相交，其交点在直线上；D. 与相交，且交点在直线上．5.已知，，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. .(2,1)a =(2,4)b =- ||a b -= ()i 13i 1i-=+2i +2i -2i-+2i--ABCD AB DC =AD CB=DO OB=AC DB=OA OC=ABCD E H AB AD F G BC CD EH FG ∥EH FG ≠EF GH EF GH EF GH EF GH BD EF GH AC a = 1b = a b - 2a b + a b30︒45︒60︒90︒6. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.7. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式O O O 12π16π48π96π()()πsin 1002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，，()π16g x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ,π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭0x ≥[]x x 05ω<<M y 4π3M x 1412s t h cm，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）A B.C. 与时的相对于平衡位置的高度D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为10. 下列说法正确的是（ ）A. 向量在向量上的投影向量可表示为B. 若，则与的夹角θ的范围是C. 若是等边三角形，则D 已知，，则11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点，，，则下列说法正确的是（ ）A. 直三棱柱的体积为..()sin h A t ωϕ=+[)0,t ∞∈+0A >0ω>(]0,πϕ∈2s π4ϕ=πω=3.75s t =10s t =h 3.75s t =10s t =h 12ab a b b b b⋅⋅0a b ⋅< a bπ,π2⎛⎤⎥⎝⎦ABC V π,3AB BC <>=(1,2)A -(1,1)B ()2AB =-,1111ABC A B C -,E F 11,B B C C 11111224AA A B A C ===111π3A CB ∠=111ABC A B C -B. 直三棱柱外接球的表面积为；C. 若分别是棱的中点，则直线；D. 当取得最小值时，有三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分12. 在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是______．13. 已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数____________.14. 将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）将向量运算式化简最简形式．（2）已知，且复数，求实数的值．16. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H 是的中点，O 为底面中心，，求：（1）正六棱锥的高；（2）正六棱锥斜高；（3）正六棱锥的侧棱长.17. （1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩，当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起，热气球可用于测量．如图，在离地为的111ABC A B C -64π3,E F 11,B B C C 1A F AE ∥1AE EF FA ++1A F EF=AB1i -AD 1i +,B D ,,a b c0,a b c a λ++=bπ3λ=()sin cos (,R f x a x b x a b =+∈0)b ≠π3ab =AB CB DC DE FA --++x ∈R ()222522i 0x x x x -++--=x BC 60SHO ∠=︒ABC ,,A B C ,,a b c 2c a =1sin sin sin 2b B a A a C -=cos B面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．（1）求旋转体的表面积；（2）求旋转体的体积；（3）求图中所示圆锥的内切球体积．19. 如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．（1）记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）（2）若的面积为，求的面积的最小值．（3）试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．800m M C 15︒A 45︒60BAC ∠=︒BC ABCD 90ABC ∠=︒AD BC ∥AD a =2BC a =60DCB ∠=︒ABCD C l CB ⊥l ABCD CO ABC V ,,D E F 0=t A B C ,,B C A 1t =,,B C A ,AB a AC b == G ABC ,a bBG ABC V S DEF V DEF V广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】-1【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）；（2）2.【16题答案】【答案】（1）6；（2）3）【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）（2（3【19题答案】【答案】（1）（2）（3）的重心保持不变，理由略.FE341200m 2(9πa +3a 3πa 1233BG b a =-14S DEF V。
湖南省常德市德善高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含简单答案)
德善高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷时量120分钟满分150分一、单选题（本大题8小题，共40分）1. 已知向量，，则（ ）A. B. C. D. 52. 设，则（ ）A. B. C. D. 3. 在△ABC 中，角对边分别是，若，，则A. B. C. D. 4 中若（ ）A. B. C.或 D. 或5. 表示点，,表示线，表示平面，下列命题中是真命题的为（ ）A 若点平面，点平面，则与平面相交B. 若.则与必异面C. 若平面平面，则平面D. 若平面平面，则6. 圆台的上、下底半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的表面积为（ ）A. B. C. D. 7. 中，若，则的周长为（ ）A. B. 12 C. D. 8. 在中已知，且则为（ ）的..()2,0a = 1,12b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2a b += 1i 1i -=+z z z +=1i --1i +1i -1i -+,,A B C ,,a b c a =2A B =cos B =ABC V ()222tan ,a c b B B +-=∠=π6π3π65π6π32π3,A B a b αA ∈αB ∉αAB α,a b αα⊂⊂/a b A ∈,a B ∉a //AB a//a ,b α⊂αa bP 81π100π14π168πABC V 60A ∠=︒=V ABC S 2sin 3sin B C =ABC V 10+55+ABC V 0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭12||||AB AC AB AC ⋅= VA. 等腰B. 直角C. 等边D. 三边均不相等的二.多选题（本大题3小题，共18分）9. 下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是（ ）A. 若两个平面有三个公共点，则它们一定重合B. 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内C. 直线a ，b 分别和异面直线c ，d 都相交，则直线 a ，b 是异面直线D. 正方体中，点是的中点，直线交平面于点，则A ，M ，O 三点共线，且A ，M ，O ，C 四点共面10. 已知向量，，，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ）A. 与的夹角为钝角B. 向量在方向上的投影向量为C.D. 最大值为211. 已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是（ ）A. 球的表面积为B. 球的内接正方体的棱长为1C. 球的外切正方体的棱长为D. 球的内接正四面体的棱长为2三.填空题（本大题共3小题共15分）12. 已知是实数，是纯虚数，则 ___________.13. 若向量满足，的夹角为___________.14. 中有，则______.四、解答题（本大题共5道题，共77分）15. 已知复数，是纯虚数（1）求复数的共轭复数的V V V V 1111ABCD A B C D -O 11B D 1AC 11AB D M (2,1)a = (1,1)=- b (2,)cm n =-- ,m n ()//a b c - a ba b 2b 24m n +=mn A B C O 2AB BC CA ===O ABC 13O 6πO O 43O a i 2i a -+=a ,a b a b = 2a b += ,a b ABC V 222,b ac a bc c ac =+=+sin c b B=i(R)z b b =∈21iz -+z z（2）若复数所对应的点在第二象限，求实数的取值范围.16. 已知且（1）若为中点，求证：；（2）若为的中点，连接延长交于，用表示，并求.17. 如图所示正方体中棱长为，连得到三棱锥（1）求三棱锥表面积与正方体表面积之比（2）求三棱锥的体积18. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若求的面积．19. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝，AB ⊥AD ，AB ＝1．的2()m z +m ||,||CB n CA m == 0(0,0)CB CA m n ⋅=>> D AB 12CD AB = E CD AE BC F ,CB CA AF ||AF 1111ABCD A B C D -a 111111,,,,,A C A D A B BD BC C D 11A BC D-11A BC D -11A BC D -C ∆AB A B C a b c ()m a = ()cos ,sin n =A B A a =2b =C ∆AB 34π（1）若AC，求的面积；（2）若∠ADC ＝，CD ＝4，求sin ∠CAD ．ABC V 6德善高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 简要答案一、单选题（本大题8小题，共40分）【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二.多选题（本大题3小题，共18分）【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AD三.填空题（本大题共3小题共15分）【12题答案】【答案】##0.5【13题答案】12【答案】【14题答案】四、解答题（本大题共5道题，共77分）【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）证明略（2）【17题答案】【答案】（1（2）【18题答案】【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ【19题答案】【答案】（1）；（2．23π2i -()0,213AF CB CA =- 33a 3π12。
浙江省杭州学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
杭州2023-2高一年级期中考试数学试卷命题人高一数学备课组审核人高一数学备课组（答案在最后）注意事项：1.本试卷满分100分，考试时间100分钟.2.整场考试不准使用计算器.一､单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，则（）A.若//,//m n αα，则//m nB.若//,m m n α^，则n α⊥C.若,m m n α⊥⊥，则//n αD.若,m n αα⊥⊂，则m n⊥【答案】D 【解析】【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，若//,//m n αα，则,m n 可能相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若//,m m n α^，则,n α可能平行，或相交，或垂直，故B 错误；对于C ，若,m m n α⊥⊥，则n 可能在α中，也可能//n α，故C 错误；对于D ，由线面垂直的性质定理可知D 正确.故选：D2.如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，E 为BC 延长线上一点，3BC CE =，则1D E =（）A.11-3AB AD AA + B.12-3AB AD AA + C.113AB AD AA ++ D.11-3AB AD AA + 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量1D E的表达式，即可得答案.【详解】111()D E AD AE AB AD A B A E =-=+-+=114133AD AB BC AA AB AD AA +--=+- ,故选：A.3.如图，已知平面α，β，且l αβ= .设梯形ABCD 中，//AD BC ，且AB α⊂，CD β⊂.则下列结论正确的是（）A.直线AB 与CD 可能为异面直线B.直线AB ，CD ，l 相交于一点C.AB CD =D.直线AC 与BD 可能为异面直线【答案】B 【解析】【分析】结合题意以及空间中点线面的位置关系，逐项分析即可求出结果.【详解】梯形AB CD =中，//AD BC ，所以AB 与CD 是梯形的两腰，所以AB 与CD 是共面直线，故A 错误；AB 与CD 是不一定相等，故C 错误，直线AC 与BD 是梯形的对角线，故是共面直线，故D 错误；设AB CD M = ，又且AB α⊂，CD β⊂，所以M α∈，M β∈，所以M αβ∈⋂，又因为l αβ= ，故M l ∈，即直线AB ，CD ，l 共点，故B 正确.故选：B.4.如图，一个正四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球面上，且底面ABCD 经过球心O .若1283-=P ABCD V ，则球O 的表面积是A.814π B.36π C.64πD.274π【答案】C 【解析】【分析】由题意可知，PO ⊥平面ABCD ，并且PO 是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．【详解】设球的半径为R ，则1112822323四棱锥-=⨯⨯⨯⨯=P ABCD V R R R ，得4R =，∴2=464球ππ=S R .故选C【点睛】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，属于中档题．5.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C C AB --的大小为60︒，则点C 到平面1C AB 的距离为（）A.1B.12C.34D.2【答案】C 【解析】【分析】取AB 的中点O ，连接OC 和1OC ，由二面角的定义得出160COC ∠=o，可得出OC 、1CC 、OC的值，由此可计算出1ABC ∆和ABC ∆的面积，然后利用三棱锥1C ABC -的体积三棱锥1C ABC -的体积相等，计算出点C 到平面1ABC 的距离.【详解】取AB 的中点O ，连接OC 和1OC ，根据二面角的定义，160COC ∠=o.由题意得2OC =，所以132CC =，1OC =.设C 到平面1C AB 的距离为h ，易知三棱锥1C ABC -的体积三棱锥1C ABC -的体积相等，即1111311323222h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得34h =，故点C 到平面1C AB 的距离为34.故选C.【点睛】本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法与空间向量法，等体积法本质就是转化为三棱锥的高来求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.6.已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1BB 上靠近1B 的三等分点，点F 是线段11D C 上靠近1D 的三等分点，则平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -形成的截面图形为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】C 【解析】【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得//l AE ，进而//FI AE ，结合相似三角形的性质即可求解．【详解】如图，设6AB =，分别延长11AE A B 、交于点G ，此时13B G =，连接FG 交11B C 于H ，连接EH ，设平面AEF 与平面11DCC D 的交线为l ，则∈F l ，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，平面AEF ⋂平面11ABB A AE =，平面AEF ⋂平面11DCC D l =，所以//l AE ，设1l D D I = ，则//FI AE ，此时1FD I ABE △∽△，故1ID =43，连接A I ，所以五边形AIFHE 为所求截面图形，故选：C ．7.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（）A.2πB.4πC.5πD.6π【答案】B 【解析】【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，所以面角和为426πππ+=，故总曲率为5264πππ⨯-=．故选：B.8.已知正方体1111ABCD A B C D -边长为1，点,E O 分别在线段11B D 和BD 上，1114,5EB B D DO BO ==，动点F 在线段1AA 上，且满足1102AF AA λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，分别记二面角11,F OB E F OE B ----，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则总有（）A.αβγ>>B.γβα>>C.γαβ>>D.βαγ>>【答案】D 【解析】【分析】作出三个二面角的平面角，求出其正切值后比较大小可得．【详解】作FF '⊥平面11BB D D ，垂足为F '，则22FF '=，因为1OB ⊂平面11BB D D ，所以1FF OB '⊥，作1FK OB ⊥，FM OE ⊥，11FN B D ⊥，垂足分别为,,K M N ，连接,,KF MF NF '''，由于FF FK F '= ，FF '⊂平面FF K '，FK ⊂平面FF K '，所以1OB ⊥平面FF K '，又F K '⊂平面FF K '，从而1OB F K '⊥，所以FKF α'=∠，同理FMF β'=∠，FNF γ'=∠，所以tan tan 2FKF F K α'=∠='，tan tan 2FMF F M β'=∠='，tan tan 2FNF F Nγ'=∠='，因为点O 是正方形ABCD 对角线的交点，所以OA BD ⊥，因为1BB ⊥平面ABCD ，OA ⊂平面ABCD ，所以1OA BB ⊥，因为1BB BD B ⋂=，1BB ⊂平面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B ，所以AO ⊥平面11BDD B ，ON 就是1AA 在平面11BDD B 上的射影，11,//,ON AA ON AA OF AF '==，又1sin F K OF B OF '''=⋅∠，sin F M OF EOF '''=⋅∠，且1112AF AA AA λ=<，则OF F N ''<，由11145EB B D =得1EN NB <，从而1EOF B OF ''∠<∠，所以F N OF F K F M ''''>>>，所以tan tan tan βαγ>>，又π,,0,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以βαγ>>.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键是作出二面角的平面角，然后求出角的正切值，再利用正方体的性质比较线段长的大小，从而可得结论．二､多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分9.如图，A B C ''' 为水平放置的ABC 的直观图，其中2,A B A C B C ''''''===，则在原平面图形ABC 中有（）A.AC BC <B.2AB =C.AC =D.ABC S =△【答案】ACD 【解析】【分析】根据斜二测画法规则确定点,,A B C '''的位置，再作出ABC ，逐项计算判断即可.【详解】在直观图A B C ''' 中，2,A B A C B C ''''''===，取A B ''中点D ¢，连接C D ''，则C D A B ''''⊥，而45B O C '''∠= ，于是2O D C D ='''=='，则1O A ''=，O C ''==3B O ''=，由斜二测画法规则作出ABC ，如图，则22,26OC O C OA O A OB O B ''''''======，4AB =，AC ==，BC ==12ABC S OC AB =⋅= 显然AC BC <，A 、C 、D 正确，B 错误.故选：ACD10.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，翻折ABD △和ACD ，使得平面ABD ⊥平面ACD .下列结论正确的是（）A.BD AC⊥ B.ABC 是等边三角形C.三棱锥D ABC -是正三棱锥 D.平面ACD ⊥平面ABC【答案】ABC 【解析】【分析】利用面面垂直以及线面垂直的性质可判断A 选项；设AD a =，利用勾股定理可判断B 选项；利用正棱锥的定义可判断C 选项；利用面面垂直的性质结合面面垂直的性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，翻折前，因为AB AC =，D 为BC 的中点，则AD BD ⊥，翻折后，对应地有AD BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面ACD ，平面ABD ⋂平面ACD AD =，BD ⊂平面ABD ，所以，BD ⊥平面ACD ，因为AC ⊂平面ACD ，故BD AC ⊥，A 对；对于B 选项，设AD a =，翻折前，因为ABC 为等腰直角三角形，D 为BC 的中点，则BD CD AD a ===，且AD BD ⊥，AD CD ⊥，由勾股定理可得AC AB ===，翻折后，因为BD ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，则BD CD ⊥，由勾股定理得BC ==，在三棱锥D ABC -中，AB AC BC ==，则ABC 为等边三角形，B 对；对于C 选项，在三棱锥D ABC -中，因为ABC 为等边三角形，DA DB DC ==，故三棱锥D ABC -为正三棱锥，C 对；对于D 选项，假设平面ACD ⊥平面ABC ，如下图所示：取AC 的中点E ，连接DE 、BE ，因为AD CD =，E 为AC 的中点，则DEAC ⊥，若平面ACD ⊥平面ABC ，因为平面ACD 平面ABC AC =，DE ⊂平面ACD ，所以，DE ⊥平面ABC ，设等边ABC 的中心为点O ，连接DO ，由正棱锥的性质可知，DO ⊥平面ABC ，因为过点D 作平面ABC 的垂线，有且只有一条，故假设不成立，即平面ACD 与平面ABC 不垂直，D 错.故选：ABC.11.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，15AA =，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则下列说法正确的是（）A.弧AD 长度为3π2B.曲池的体积为10π3C.曲池的表面积为2014π+D.三棱锥1A CC D -的体积为5【答案】ACD 【解析】【分析】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，根据弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍及2CD R r =-=求出R 、r ，再根据体积、表面积公式计算可得.【详解】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，因为弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，ππ322R r =⨯，即3R r =，22CD R r r ∴=-==，1r ∴=，3R =，所以弧AD 的长度为3π2，故A 正确；曲池的体积为222211111πππ3π1510π4444V R r AA ⎛⎫⎛⎫=-⨯=⨯-⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；曲池的表面积为221111ππ2ππ52524422R r R r ⎛⎫⎛⎫-⨯++⨯+⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111π3π12π3π15202014π4422⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；三棱锥1A CC D -的体积为11235532⨯⨯⨯⨯=，故D 正确．故选：ACD ．12.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠=== 为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，则下列结论正确的是（）A.若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B.若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅ 为定值2C.若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为4D.若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到,,W Q F 三点共线，得到//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ；C 选项，建立空间直角坐标系，设()0,2,2Q λμ，表达出()()2221222λμ++-=，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，结合弧长公式求出答案；D 选项，求出()0,2,1Q ，)2,2E a a -，得到AE EQ +=，画出图形，数形结合得到其最小值.【详解】A 选项，在1,CD DD 上分别取,F W ，使得13DF DC =，113DW DD =，因为1DQ DC DD λμ=+ ，所以33DQ DF DW λμ=+ ，因为13λμ+=，所以331λμ+=，即()313DQ DF DW λλ=+- ，故33DQ DW DF DW λλ--= ，即3WQ WF λ= ，所以,,W Q F 三点共线，因为1//WF CD ，11//A B CD ，所以1//WF AB ，故//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，又1PA B S 为定值，故四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，取1A B 的中点T ，因为1A BQ △的外心为O ，所以OT ⊥1A B ，又题意得1A B ==则11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ，B 错误；C 选项，取AB 的中点R ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故DR ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DR ，1,DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，故)11,2A -，设()0,2,2Q λμ，则1AQ ==，化简得()()2221222λμ++-=，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，即点Q 在正方形11CDD C 内，包括边界，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，如图所示：因为SH =，11SD =，故11D H ==，故1SD H 为等腰直角三角形，π4S ∠=，故点Q 的轨迹长度为π44=，C 正确；D 选项，若1λ=且12μ=，112DQ DC DD =+ ，即()()()10,2,00,0,20,2,12DQ =+= ，即()0,2,1Q ，又)11,2A -，)B ，设()111,,E x y z ，设()[]10,2,2,0,1EB a A B a a a ==-∈ ，即)()111,1,0,2,2x y z a a ---=-，解得11112,2x y a z a ==-=，即)2,2E a a -，AE EQ +=+=+=，如图所示，设1101,,242KJ GV JG ===，且KJ ⊥JG ，JG ⊥GV ，在线段JG 上取一点L ，设GL a =，则12LJ a =-，故KL VL +=，显然，直接连接KV ，此时KL VL +取得最小值，最小值即为KV ，由勾股定理得KV ==，故AE EQ +=的最小值为=D 正确.故选：ACD【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13.()()1,0,2,1,3,1A B -，点M 在z 轴上且到,A B 两点的距离相等，则M 点的坐标为__________.【答案】()0,0,3-【解析】【分析】设点(0,0,)M z ，根据点M 到,A B 两点的距离相等，列出方程，即可求解.【详解】根据题意，可设点(0,0,)M z ，因为点M 到,A B 两点的距离相等，可得AM BM =，=解得3z =-，所以点M 的坐标为()0,0,3-.故答案为：()0,0,3-.14.如图，在四面体A BCD -中，2,AC BD AC ==与BD 所成的角为45 ，,M N 分别为,AB CD 的中点，则线段MN 的长为__________.【答案】2或2【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，即可得到MEN ∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，即45MEN ∠= 或135 ，再利用余弦定理计算可得.【详解】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，M 、E 分别为AB 、BC 的中点，//ME AC ∴且112ME AC ==，同理可得EN //BD 且1222EN BD ==，MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，则45MEN ∠= 或135 .在MEN 中，1ME =，2EN =，若45MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =2==；若135MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =2==；综上所述，2MN =或2.故答案为：22或2.15.已知()()21,5(0,R)f x axg x x bx a b =-=+->∈（1）若2a =时，()()f x g x =的两根为12,x x ，则12x x -的最小值为__________.（2）若0x >时，()()0f x g x ⋅≥恒成立，则3b a +的最小值为__________.【答案】①.4②.【解析】【分析】（1）依题意可得()2240x b x +--=，列出韦达定理，则12x x -=性质计算可得；（2）令()0f x =解得1x a =，分析可得10g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而得到15b a a =-，再利用基本不等式计算可得.【详解】（1）若2a =时()21f x x =-，()25g x x bx =+-，方程()()f x g x =，即()2240x b x +--=，显然0∆>，所以122x x b +=-，124x x =-，则124x x -==≥，所以当2b =时，12x x -取得最小值，且最小值为4．（2）0,R a b >∈ ，当0x >时，()()0f x g x ≥恒成立，由()0f x =解得1x a =，当1x a >时，()0f x >；当10x a<<时，()0f x <；∴当1x a >时，()0g x ≥，当10x a <<时，()0g x ≤；∴20115b g a a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，∴15b a a =-，325b a a a ∴+=+≥=，当且仅当52a a =，即5a =、2b =时取等号，所以3b a +的最小值是．故答案为：4；16.下列命题正确的是__________.（填序号）①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；②垂直于同一条直线的两直线平行；③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面；④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在；⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直；⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个.【答案】①⑤⑥【解析】【分析】根据题意，由直线与直线，直线与平面的位置关系，依次分析6个命题，即可判断．【详解】对于①：如图，//AB α，平面,ABDC CD AB α⋂=⊂平面ABDC ，所以//AB CD ，同理//AB EF ，所以//CD EF ，又因为,CD EF ββ⊄⊂，所以CD//β，又,CD l ααβ⊂⋂=，所以//CD l ，所以//AB l ，若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行，故①正确；对于②：垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故②错误；对于③：根据面面垂直的性质定理可知，两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点（不在交线上）作交线的垂线，必垂直与另一个平面，当该点在交线上时，作交线的垂线，得不到该直线与另一个平面垂直，故③错误；对于④：分3种情况讨论：若两点确定的直线在已知平面内，则过两点与一个已知平面垂直的平面有且只有一个；若两点确定的直线不在平面内，但与已知平面不垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有一个，若两点确定的直线不在平面内且与已知平面垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有无数个，综上，过两点与一个已知平面垂直的平面有一个或无数个，一定存在，故④错误；对于⑤：设直线m 、n 异面，过直线m 上一点O 作直线n '，使得//n n '且m n O '= ，如下图所示：设直线m 、n '确定平面α，过空间中任意一点P ，有且只有一条直线l ，使得l α⊥，因为m 、n α'⊂，则l m ⊥，l n '⊥，又因为//n n '，则l n ⊥，故过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直，故⑤正确；对于⑥：到一个四面体的四个顶点的距离相等的平面，可以看作是与一个四面体四个顶点距离相等的平面，可以是与两条对棱平行，这样的平面有3个，也可以是与一个底面平行，与另一个顶点距离相等，这样的面有4个，则到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个，⑥正确．故答案为：①⑤⑥【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是正确理解空间中线线、线面、面面的位置关系，利用反例及适度的数形结合是有效且快速的处理方法.四､解答题：本大题共4小题，共44分，解答应在相应的答题框内写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知空间向量(1,2,1),(2,1,1)a b =-=- ．（1）计算32a b + 和53a b - ;（2）求a 与b夹角θ的余弦值．【答案】（1）32(1,8,1)a b +=-- ,53(11,7,8)a b -=- （2）16-．【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】由题可得323(1,2,1)2(2,1,1)(1,8,1)a b +=-+-=-- 535(1,2,1)3(2,1,1)(11,7,8)a b -=---=- ．【小问2详解】由题可得a ==，b == (1,2,1)(2,1,1)2211a b ⋅=-⋅-=-+-=-，1cos 6a b a b θ⋅∴===- ,a ∴与b 夹角θ的余弦值为16-．18.正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点.（1）求异面直线1CD 与1BC 所成角；（2）求证：//MN 平面ABCD【答案】（1）60︒（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接1A B ，11A C ，即可得到11//CD A B ，则11A BC ∠为异面直线1CD 与1BC 所成的角，结合正方体的性质求出11A BC ∠；（2）取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，即可证明平面//MEN 平面ABCD ，从而得证.【小问1详解】连接1A B ，11A C ，因为11A D BC =且11//A D BC ，所以四边形11A D CB 为平行四边形，所以11//CD A B ，则11A BC ∠为异面直线1CD 与1BC 所成的角，在正方体中，可得1111A C A B BC ==，即11A C B △为等边三角形，所以1160A BC ∠=︒，所以异面直线1CD 与1BC 所成角为60︒；【小问2详解】取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，因为M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，所以//ME BC ，11//NE C D ，而11//C D CD ，所以//NE CD ，又因为BC ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，NE ⊄平面ABCD ，ME ⊄平面ABCD ，所以//NE 平面ABCD ，//ME 平面ABCD ，又ME NE E ⋂=，,ME NE ⊂平面MNE ，所以平面//MEN 平面ABCD ，因为MN ⊂平面MNE ，所以//MN 平面ABCD ．19.已知四棱柱1111ABCD A B C D -如图所示，底面ABCD 为平行四边形，其中点D 在平面1111D C B A 内的投影为点1A ，且1AB AA ==2,120AD ABC ︒∠=．（1）求证：平面1A BD ⊥平面11ADD A ；（2）已知点E 在线段1C D 上（不含端点位置），且平面1A BE 与平面11BCC B，求1DE EC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）113DE EC =【解析】【分析】（1）不妨设1AD =，根据线面垂直的性质证明1A D AD ⊥，利用勾股定理证明AD DB ⊥，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立的空间直角坐标系D xyz -，利用向量法求解即可.【小问1详解】不妨设1AD =，因为1A D ⊥平面,ABCD AD ⊂平面ABCD ，故1A D AD ⊥，在ADB 中，2,1,60AB AD DAB ==∠= ，由余弦定理，222222cos 21221cos603BD AB AD AB AD DAB ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= ，得BD =，故222AD BD AB +=，则AD DB ⊥，因为11,,A D DB D A D DB ⋂=⊂平面1A BD ，所以AD ⊥平面1A BD ，而AD ⊂平面11ADD A ，所以平面1A BD ⊥平面11ADD A ；【小问2详解】由（1）知，1,,DA DB DA 两两垂直，如图所示，以D 为坐标原点，建立的空间直角坐标系D xyz -，则()()()(()10,0,0,1,0,0,0,,0,0,,1,D A B A C -，故()11,AC A C AC =-=，(1C ∴-，所以((11,A B DC ==-，设()101DE DC λλ=<<，则()12DE DC λλ==-，即()2E λ-，所以(12A E λ=--；设()111,,n x y z =为平面1A EB 的一个法向量，则1111111020nA B n A E x y z λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+--=⎪⎩，令12z λ=，则112,==-y x λ()2,2n λλ=-，因为y 轴⊥平面11BCC B ，则可取()0,1,0m =为平面11BCC B 的一个法向量，设平面1A EB 与平面11BCC B 的夹角为α，则cos 5n m n m α⋅===⋅ ，解得14λ=，故113DE EC =．20.已知函数(),(),()f x g x h x 的定义域均为R ，给出下面两个定义：①若存在唯一的x ∈R ，使得(())(())f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换；②若对任意的x ∈R ，均有(())(())f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 任意交换．（1）请判断函数()1g x x =+与()1h x x =-关于2()f x x =是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（2）设()22()2(0),()1f x a x a g x x bx =+≠=+-，若存在函数()h x ，使得()g x 与()h x 关于()f x 任意交换，求b 的值；（3）在（2）的条件下，若()g x 与()f x 关于e 1()e 1x x w x -=+唯一交换，求a 的值．【答案】（1）唯一交换，理由见解析（2）0b =（3）()1e2e 1a -=+【解析】【分析】（1）根据方程()()()()f g x h f x =解的情况判断即可；（2）根据“对任意的x ∈R ，()()()()f g x h f x =成立”得到关于x 的方程，然后设出()h x 的解析式，根据方程左右两边对应项相同求解出b 的值；（3）根据条件通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数x ，使得22112e 1e 1e 12e 1xxx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦”，然后分析()22112e 1e 1e 12e 1xxx x s x ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦的奇偶性，从而确定出()0a s =，由此可求a 的值.【小问1详解】()g x 与()h x 关于()f x 是唯一交换，理由如下：因为()()()21f g x x =+，()()21h f x x =-，令()()()()f g x h f x =，所以()2211x x +=-，解得=1x -，所以()()()()f g x h f x =有唯一解=1x -，所以()g x 与()h x 关于()f x 是唯一交换.【小问2详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，()()()()f g x h f x =成立，即对任意的x ∈R ，()()()222122a x bx h a x ⎡⎤+-+=+⎢⎥⎣⎦；因为()h x 为函数，且()()()()()2222h ax h a x -+=+，故0b =，故()()()222122a x h a x ⎡⎤-+=+⎢⎥⎣⎦，即()()()2222322a x a h a x a ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪-+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()2211326x x h x a x a aa ⎡⎤⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，综上所述，0b =.【小问3详解】当0b =时，()21g x x =-，因为()g x 与()f x 关于()e 1e 1x x w x -=+唯一交换，所以存在唯一实数x ，使得()2e 11e 1x x w xf ⎛⎫--= ⎪+⎝⎭，即存在唯一实数x ，使得22211e 1e 12e 1e 1x x x x a --⎡⎤⎛⎫--⎢⎥=+ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即存在唯一实数x ，使得22112e1e 1e 12e 1x xx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦；令()22112e 1e 1,e 12e 1x xx x s x ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()22211e 1e 1,2e 1e 1x x x x q x p x --⎛⎫--==+ ⎪++⎝⎭，且()()(),,s x q x p x 定义域均为R ，又()()()()22221111e 1e 1e 1e 1x xx x q x q x ---------===++，()()222e 11e e 1222e 11e e 1x x x x x x p x p x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()(),q x p x 都是偶函数，所以()s x 为偶函数，因此，若存在唯一实数x 使得22112e 1e 1e 12e 1xxx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，只能是()0a s =，所以()11e 111ee 22e 1a -+-==+，综上所述，a 的取值为()1e2e 1-+.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，涉及方程解以及函数奇偶性等相关问题，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，本题第二问可以从方程左右两边对应相等入手，第三问则可以从函数的奇偶性入手进行分析.。
厦门一中高一下学期期中考试数学试卷与答案
厦门一中高一下学期期中考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分考试时间120分钟分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．（2021一中4月期中考，1）复数为虚数单位）的共轭复数是A ．B ．C ．D ．（2021一中4月期中考，2）已知,则A ．B ．C ．D ．（2021一中4月期中考，3）在中，，，分别为角、、的对边，，，则等于A ．B ．或C ．D ．或（2021一中4月期中考，4）已知两条相交直线，，平面，则与的位置关系是A ．平面B ．与平面相交C ．平面D ．与平面相交或平行（2021一中4月期中考，5）已知的外接圆圆心为,且,则向量在向量上的投影为（）AB ．C ．D ．（2021一中4月期中考，6）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于 2(1i i-()1i +1i -1i -+1i--,,5,12,90OA a OB b OA OB AOB ====∠=︒ a b a b -++=()14342624ABC ∆a b c A B C 4a =b =30A ∠=︒B ∠()30︒30︒150︒60︒60︒120︒a b //a αb α()b ⊂αb α//b αb αABC ∆O 2,AO AB AC AO AB =+=CA BC34BC -34BCA B C 75︒30︒60m BC ()A ．B ．C ．D ．（2021一中4月期中考，7）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为 A．BCD（2021一中4月期中考，8）在中，点是上一点，是的中点，与的交点为,有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：如果只有一个假命题，则该命题为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求，1)m +1)m -1)m -1)m 1111ABCD A B C D -M N 11A D 11A B BD //αAMN α()98ABC ∆P AB Q BC AQ CP M 2133CP CA CB =+ 3CM MP = :1:3ACP ABC S S ∆∆=12AM MQ =全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分．在答题卷上相应题目的答题区域内作答． （2021一中4月期中考，9）下列命题中（其中均表示向量），不正确的是（ ）A ．若，则或B ．若且，则C ．，则D ．若平面内有四点,则必有（2021一中4月期中考，10）下列命题正确的是A ． 是纯虚数B ． 都是复数，若是虚数，则不是的共轭复数C ． 复数是实数的充要条件是D ．（2021一中4月期中考，11）在中，角的对边分别为，下列命题正确的是A ．若，则B ． 若有意义，则恒成立C ． 若，则满足要求的角有两个D ．若，则是锐角三角形（2021一中4月期中考，12）如图，正方体的棱长为3，线段上有两个动点，且，则当，移动时，下列结论中错误的是 ,,a b c 0a b = g0a = 0b = //a b //b c //a ca b a c = g g b c = ,,,A B C D AC BD BC AD +=+z z -12,z z 12z z +1z 2z z z z =1212z z z z =g g ABC ∆,,A B C ,,a b c 2a b c +<03C π<<tan ,tan ,tan A B C tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=g g 1sin 3A B ==444a b c +=ABC ∆1111ABCD A B C D -11B D E F 1EF =E F ()A ．平面B ．四面体的体积不为定值C ．三棱锥的体积为定值D ．四面体的体积为定值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．（2021一中4月期中考，13）已知向量满足，且，，则与的夹角为_________（2021一中4月期中考，14）已知直角三角形的两直角边长分别为和，则以斜边为轴旋转一周所得几何体的表面积为_________（2021一中4月期中考，15）已知复数满足，则的最大值为_________（2021一中4月期中考，16）的顶点都在球的球面上，平面，，，则球的体积最小值为 //AE 1C BD ACEF A BEF -ACDF ,a b()a b b -⊥ 2a = 1b = a b 3cm 4cm z |1|1z --=||z P ABC -O PA ⊥ABC 2PA =120ABC ∠=︒O四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． （2021一中4月期中考，17）已知复数满足的虚部为2． （1）求复数；（2）设，，在复平面上的对应点分别为，，，求的面积；z ||z =2z z z 2()z 2z z -A B C ABC ∆（2021一中4月期中考，18）在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，，，点满足，点在线段上运动（包括端点），如图．（1）求的余弦值；（2）是否存在实数，使，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由．xOy OABC //OABC (6,0),A C M 12OM OA =P BC OCM ∠λ()OA OP CM λ+⊥λ（2021一中4月期中考，19）如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点，分别是线段，的中点． （1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得面面．若存在，请找求出点并证明；若不存在，请说明理由．C ABED ABED G F EC BD //GF ABC BC H //GFH ACD H（2021一中4月期中考，20）的内角的对边分别是，且（1）求（2）点是边靠近点的三等分点，且长为，求面积的最大值.ABC ∆,,A B C ,,a b c 2cos cos cos 0b C a C c A --=C D AB A CD 1ABC ∆（2021一中4月期中考，21）如图所示，甲船由岛出发向北偏东的方向作匀速直线航行，速度为海里小时，在甲船从岛出发的同时，乙船从岛正南40海里处的岛出发，朝北偏东的方向作匀速直线航行，速度为海里小时． （1）若两船能相遇，求．（2）当A 45︒/A AB 1(tan 2θθ=m /m m =（2021一中4月期中考，22）如图，四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使平面平面． （1）若，是否在折叠后的线段上存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（2）求三棱锥的体积的最大值，并求此时点到平面的距离．ABCD AB AD ⊥//AD BC 6AD =24BC AB ==E F BC AD //EF AB ABCD EF ABEF ⊥EFDC 1BE =AL P AP PD λ=//CP ABEF λA CDF -F ACD第Ⅰ卷（选择题 共60试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分考试时间120厦门一中高一下学期期中考试数学试卷分钟分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答． （2021一中4月期中考，1）复数为虚数单位）的共轭复数是 A ． B ． C ． D ．【答案】【解析】解：化简可得 ，的共轭复数故选：．（2021一中4月期中考，2）已知,则 A ．B ．C ．D ．【答案】 【解析】如图，在矩形中，,则，同理，，故选：2(1i i-()1i +1i -1i -+1i --B 21z i=-2(1)1(1)(1)i i i i +==+-+z ∴1z i =-B ,,5,12,90OA a OB b OA OB AOB ====∠=︒ a b a b -++=()14342624C OACB OA OB OC += 13a b OC +===13a b -= 26a b a b ∴-++=C（2021一中4月期中考，3）在中，，，分别为角、、的对边，，，则等于 A ．B ．或C ．D ．或【答案】【解析】在中，，，分别为角、、的对边，，利用正弦定理： 解得：则：或 故选：．（2021一中4月期中考，4）已知两条相交直线，，平面，则与的位置关系是 A ．平面B ．与平面相交C ．平面D ．与平面相交或平行【答案】 【解析】两条相交直线、，平面， 当时，与可以相交，当与相交时，与可以相交，当时，与与平行或异面，不能相交． 故选：．ABC ∆a b c A B C 4a =b =30A ∠=︒B ∠()30︒30︒150︒60︒60︒120︒D ABC ∆a b c A B C 4a =b =30A ∠=︒sin sin a bA B=sin B 60B =︒120︒D a b //a αb α()b ⊂αb α//b αb αD a b //a α∴//b αa b b αa b b α⊂a b D（2021一中4月期中考，5）已知的外接圆圆心为,且,则向量在向量上的投影为（ ）AB ．C ．D ． 【答案】．【解析】由知，为中点，根据题意作图，为的外接圆圆心，,为正三角形，,在向量上的投影为,故选：．（2021一中4月期中考，6）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于 A ．B ．C ．D ．【答案】 【解析】ABC ∆O 2,AO AB AC AO AB =+=CABC34BC -34BCB 2,AO AB AC AO AB =+=O BC O ABC ∆∴OA OB OC ==,,AO AB AB OB OA OC ABO =∴===∴60ABO ∠=︒∴CA BC 34BC -B A BC 75︒30︒60m BC ()1)m +1)m -1)m -1)m B如图，，在中，又，．在中，，，．．河流的宽度等于．故选：．（2021一中4月期中考，7）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为 A．BCD【答案】【解析】取的中点，的中点，连接，，，，则，，所以，故在同一平面内，连接，因为，分别为的中点，15DAB∠=︒tan45tan30tan15tan(4530)21tan45tan30︒-︒︒=︒-︒==+︒︒Rt ADB∆60AD=tan1560(2120DB AD∴=⋅︒=⨯=-Rt ADC∆60DAC∠=︒60AD=tan60DC AD∴=⋅︒=(1201)()BC DC DB m∴=-=--=-∴BC1)m-B1111ABCD A B C D-M N11A D11A BBD//αAMNα()98A11B C E11C D F EF BE DF11B D11//EF B D11//B D BD//EF BD EFBDME M E1111A DB C所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，不在平面内， 所以平面， 同理平面， 因为，所以平面平面，即平面截该正方体所得截面为平面，，梯形如图： 过，作的垂线，则四边形为矩形，故四边形．故选：．（2021一中4月期中考，8）在中，点是上一点，是的中点，与的交点为,有下列四个命题：甲：乙：//ME AB ME AB =ABEM //AM BE BE ⊂BDFE AM BDFE //AM BDFE //AN BDFE AM AN A = //AMN BDFE a BDFE BD =1112EF B D ==DF =BDFE E F BD EFGH FG ∴===BDFE 98=A ABC ∆P AB Q BC AQ CP M 2133CP CA CB =+ 3CM MP =丙：丁：如果只有一个假命题，则该命题为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】【解析】（1）假设甲为假，其余为真，由丙知：, ,与甲为假矛盾，所以甲为真。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
高一下学期期中数学试卷-(解析版)
高一下学期期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．2021°角是第象限角．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为．3．已知tanθ＝2，则＝．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．7．已知，若，则sinα＝．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是米．（精确到0.1米）9．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为．11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是．12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一.填空题1．2021°角是第三象限角．解：2021°＝360°×5+221°，是第三象限角．故答案为：三．2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为2．解：设扇形的半径为r，则×2×r8＝2，∴扇形的弧长＝2×＝4．故答案为：2．3．已知tanθ＝2，则＝．解：∵tanθ＝2，∴＝＝．故答案为：．4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为[0，1] ．解：设t＝2x﹣1，∵反正弦函数y＝arcsin t的定义域为[﹣1，1]，所以函数的定义域为：[0，7]．故答案为：[0，1]．5．S n为数列{a n}的前n项的和，，则a n＝．解：因为，所以a3＝S1＝2﹣3+1＝0，当n≥7时a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n6﹣3n+1）﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣5）+1]＝4n﹣5，∴a n＝．故答案为：．6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝．解：由题意可得cosα＝，则sin（）＝cosα＝．故答案为：﹣7．已知，若，则sinα＝．解：，所以α+∈（，），又，所以sin（α+）＝＝；＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin＝．故答案为：．8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是236.6 米．（精确到0.1米）解：设电视塔的高度为x，则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．由于，整理得，解得x≈236.5．故答案为：236.69．已知数列{a n}与{b n}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{a n+b n}的前25项和等于1925 ．解：∵等差数列{a n}、{b n}满足a1＝1，b6＝4，a25+b25＝149，∴数列{a n+b n}的前25项和＝+＝+（a25+b25）＝+×149＝1925．故答案为：1925．10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134 ．解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余7的数，故a n＝15n﹣14．得n≤135，故此数列的项数为135﹣1＝134．故答案为：13411．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是[﹣3，﹣2] ．解：设x＝cosθ，．则f（x）＝4x4﹣3x﹣2＝4cos6θ﹣3cosθ﹣2＝cos3θ﹣2．∴cos3θ﹣5．∈[﹣3，﹣2]故答案为：[﹣3，﹣2]12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…，在点列{A n}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝．解：根据题意作出图象如下，设f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为，所以，即，解得；若A1A4A5A7为菱形，则若A1A k﹣1A k A m为菱形，则，解得，故答案为：．二.选择题13．“tan x＝1”是“”成立的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要解：tan x＝1⇔x＝kπ+，k∈Z．∴“tan x＝1”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（）A．向右平移π个长度单位B．向左平移π个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位解：只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个长度单位，可得函数y＝3sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+）的图象，故选：D．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（）A．B．C．D．解：∵等差数列前n项和S n＝•n2+（a1﹣）n，由S15＝15a8＞0，S16＝16×＜0可得：故Sn最大值为S8．故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，故选：D．16．函数f（x）＝sin x在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11解：设＝＝…＝＝k，则条件等价为f（x）＝kx，的根的个数，由图象可知y＝kx与函数f（x）最多有10个交点，故选：C．三.解答题17．已知，，，求：（1）tanα和tanβ的值；（2）tan（α﹣2β）的值．解：（1）∵，，∴cosα＝﹣＝﹣，∵，∴．∴tan（α﹣2β）＝＝＝．18．已知函数f（x）＝sin n x+cos x（x∈R）．（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．解：（1）当n＝1时，f（x）＝sin x+cos x＝（sin x+cos x）＝cos（x）．∴f（x）≠f（﹣x）≠﹣f（﹣x），∴f（x）为非奇非偶函数；当时，，此时x的取值集合是；当cos x＝﹣1时，f（x）min＝﹣1，此时x的取值集合是{x|x＝2kπ+π，k∈Z}．19．在△ABC中，4sin B sin2（+）+cos2B＝1+．（1）求角B的度数；（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．解：（1）由4sin B•sin2（+）+cos2B＝1+，得：2sin B•[7﹣cos（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，可得sin B＝，∴B＝，或B＝；∴ac sin B＝×4×c×＝5，解之得c＝6，∴当B＝时，b＝＝；即边b的值等于或．20．在等差数列{a n}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最小值；（3）设，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．∴2a1+5d＝﹣2，2a1+10d＝8，∴a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8．∴当n＝2或4时，S n取得最小值，（3），∴数列{b n}的前10项和＝﹣2﹣1﹣1+8+0+0+0+1+2+8＝2．21．已知函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l，x∈R．（1）把f（x）表示为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{a sin x，a cos x}．x ∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝cos2x+2sin x cos x+l＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+6，x∈R；∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，值域为[﹣1，3]；解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，（3）若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x2）＝f（x2）恒成立，由g（x）的值域为[﹣a，a]，f（x）的值域为[﹣1，8]，解得0＜a≤；所以实数a的取值范围是（0，]．。
北京市首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含简单答案)
首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 下列函数中，既是偶函数又是周期为函数为（ ）．A. B. C. D.2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）．A. B. C.D. 3. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ）A.B.C.D.4. 已知点A （1，2），B （3，7），向量，则A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反5. 关于函数，则下列结论中：①为该函数的一个周期；②该函数的图象关于直线对称；③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象：④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①③④的πsin y x=cos y x=tan2y x=cos2y x=α(),6P x 3sin 5α=x =4-4±8-8±160002π3606000=︒=003-123-1000-π6π4π3π2(,1),//a x AB a =-25x =AB a25x =-AB a25x =AB a 25x =-AB a π3cos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π-π3x =π63cos 2y x =ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数，，其图象如下图所示.为得到函数图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位8. 若P 是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是（ ）A.B.C. 1D. 29. 如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，圆M 为的外接圆，，，N 为边BC 的中点，则（ ）的a b a b()a ab ⊥+ 111()sin()f x A x ωϕ=+222()sin()g x A x ωϕ=+()g x ()f x 12π6π12π6π3ABC V AP xAB y AC =+xy 1412P O P 2rad /s 0P ()0y x x =-≥O e 012t ≤≤P y t s π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7π11π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC V 4AB =6AC =AN AM ⋅=A. 5B. 10C. 13D. 26第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）11 _________.12. 已知是第四象限角，且，则______，______．13. 在正方形网格中的位置如图所示，则______，向量在向量上的投影的数量为______．14. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.15 已知函数，给出下列四个结论：①存在无数个零点；②在上有最大值；③若，则；④区间是的单调递减区间．其中所有正确结论的序号为__________．三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）16. 如图，在平行四边形ABCD 中，，．设，．..sin 330︒=α5tan 12α=-cos α=πcos()2α+=,a b ,a b 〈〉=a b ()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭1110x π=()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ()2sin πxf x x x=-()f x ()f x ()1,+∞()2023.7f a =()2022.7f a -=1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2AE AB = 13DF DE = AB a =AD b =（1）用，表示，；（2）用向量的方法证明：A ，F ，C 三点共线．17. 已知函数，其中，且的图象过点．（1）求的值；（2）求的单调减区间和对称中心的坐标；（3）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．18. 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点．（1）求的值；（2）若四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）求的最小值．19. 在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知，若______，则唯一确定．（1）求的解析式；（2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．20. 设（为正整数），对任意的，，定义（1）当时，，，求；a b AC DE()sin(2)f x x ϕ=-π||2ϕ<()y f x =π(,0)12ϕ()f x 0m >()f x []0,m 12-m xOy ()()()3,3,5,1,2,1A B P M OP PA PB -APBQ Q MA MB ⋅x ∈R ()π6f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭()f x π()f x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()sin ,0,02πf x x ωϕωϕ=+>≤<,ωϕ()f x ()π216g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()210g x mg x --≤m (){}{}12,,,0,1,1,2,,n niS x x x x i n =⋯∈=⋯n ()12,,,nx x x α=⋅⋅⋅()12,,,n y y y β=⋅⋅⋅1122n nx y x y x y αβ⋅=++⋅⋅⋅+3n =()1,1,0α=()1,0,1β=αβ⋅（2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A 中元素个数的最大值；（3）集合，对于任意，，，均有，求A 中元素个数的最大值．3n =n A S ⊆αA β∈αβ⋅n A S ⊆αA β∈αβ≠0αβ⋅≠首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学 简要答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）【1题答案】【答案】D 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】A 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】C第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）【11题答案】【答案】【12题答案】12【答案】 ①.②.【13题答案】【答案】①②.【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②③三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）【16题答案】【答案】（1），；（2）略【17题答案】【答案】（1）； （2），； （3）.【18题答案】【答案】（1）（2）； （3）.【19题答案】【答案】（1） （2）【20题答案】【答案】（1）1 （2）4（3）.12135133π43π5A C a b =+2DE a b =- π6ϕ=π5π[π,π](Z)36k k k ++∈()ππ,0Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭2π(0,3(6,3)2-()π()sin 32f x x +=8[,)3+∞12n -。