高中数学选修一用空间向量研究距离问题导纲,习题,解析

1.4.4 用空间向量研究距离问题
班级：_________ 姓名：__________小组：__________
【学习目标】
1.通过研读P33-34例6上方的内容，理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导．；
2.通过研读P34-35的内容，了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想，并能用空间向量方法解决空间距离问题．
【重点难点】
重点：理解运用向量方法求空间距离的原理；
难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法．
【导学流程】
一、基础感知1 研读P33-P34例6上方的内容
空间距离的向量求法
分类图示向量求法
点线距u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l，AP
→
＝a，AP
→
在直线l上的投影向量为AQ
→
＝(a·u)u，则PQ＝|AP
→|2－|
AQ
→|2＝．
线线距转化为与距在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．
点面距设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α，PQ⊥α，AP
→
在直线l上的投影向量为AQ
→
，则P点到平面α的距离
PQ＝．
线面距
（前提是线面平行）转化为与距
如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，
将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
面面距
（前提是面面平行）转化为与距
如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，
可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
二、基础感知2 研读P34-P35例6 问题1：在空间直角坐标系中，求点到直线距离的思路是什么？
问题2：在空间直角坐标系中，求直线到平面距离的思路是什么？
问题3：通过例6和类比用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，总结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”？
[思考1]已知空间中点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且AB＝23，那么实数x的值是()．
A.4或0
B.4
C.3或－4
D.－3或4
[思考2]在空间直角坐标系中，点P(1，－2，5)到坐标平面Oxy的距离为()．
A.2
B.1
C.5
D.3
[思考3]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，
∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
[思考4] 课本P35练习1、2、3
思路小结：
(1)用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：
①不必找点在直线上的垂足以及垂线段．
②在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点．
③直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
(2)用向量法求点到平面的距离的主要方法：
①作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．
②在三棱锥中用等体积法求解．
二、探求未知
你有哪些疑惑？或是新的发现？
【合作学习】
两两合作：核对并讨论问题基础感知1的答案
小组合作：1. 核对并讨论基础感知2的答案 2.学习过程中发现的疑惑
1.4.4 用空间向量研究距离问题限时训练
班级：_________ 姓名：__________小组：__________
题型选填题（84分）主观题（14分）卷面分（2分）总分（120分）
得分
一．选择题
1、已知空间中三点A(1,0,0)，B(2,1，－1)，C(0，－1,2)，那么点C到直线AB的距离为()
A.
6
3 B.
6
2 C.
3
3 D.
3
2
2、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，若E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()
A. 65
5 B.
45
5 C.
25
5 D.
5
5
3、若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为()
A.
3
2 B.
2
4 C.
1
2 D.
3
3
4、在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为()
A. 2
B. 1
C. 3
2 D. 3
二．填空题
5、棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是线段BB1、B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为.
6、如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,则直线BM与B1N之间的距离为.
7、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求平面AB1C与平面A1C1D间的距离为.
三．解答题
8、如图，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AA′⊥平面ABCD，AB⊥AC，AB＝AC ＝AA′＝1.
(1) 求证：DC′⊥平面ACD′；
(2) 求点B到平面ACD′的距离．。