一道高考数学试题的高数背景

一道高考数学试题的高数背景廖运章 朱亚丽(广州大学 数学与信息科学学院 510006)2009年湖南高考数学理科第21题是这样的： 对于数列{}n u ，若存在常数M ＞0,对任意的*∈Nn ，恒有1121...n n n n u u u u u u M +--+-++-≤，则称数列{}n u 为B-数列.（I ）首项为1，公比为(1)q q <的等比数列是否为B-数列？请说明理由; （II ）设n S 是数列{}n x 的前n 项和，给出下列两组论断： A 组：①数列{}n x 是B-数列，②数列{}n x 不是B-数列； B 组：③数列{}n S 是B-数列；④数列{}n S 不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；（III ）若数列{}{},n n a b 都是B -数列，证明：数列{}n n a b 也是B -数列. [注]令（I ）的21-=q 、（III ）中的n n a b =，其他不变，即为2009年湖南高考数学文科第21题，以下只讨论理科题，并简称为本试题.不难发现，这道文理压轴题以开放题的形式，用数列、不等式知识作载体，考查归纳猜想、逻辑推理等重要数学思想方法，具有深刻的高等数学背景，来源于数学分析中的有界变差数列，与实变函数中的有界变差函数一脉相承. 1．命题渊源 1．1命题背景事实上，本试题直接来源于吉米多维奇的《数学分析习题集》的第86题，原题及解答如下：[NO.86]若存在数C,使得21321,(2,3,)n n x x x x x x C n --+-++-<=，则称叙列(1,2,3,)n x n =有有界变差.证明凡有有界变差的叙列是收敛的.举出一个收敛叙列而无有界变差的例子.[证] 令21324311,(2,3,)n n n n n y x x x x x x x x x x n -+=-+-+-+-+-=，则叙列{}n y 是单调增加且有界，所以它是收敛的.根据哥西收敛准则，对于任给0ε>，存在数N ，使当m n N >>时，m n y y ε-<，即1121m m m m n n x x x x x x ε---+-+-++-<，而对于叙列{}n x 有，1121m n m m m m n n x x x x x x x x ---+-=-+-++-1121||||||m m m m n n x x x x x x ε---+≤-+-++-<，所以，叙列{}n x 是收敛的. 叙列：1111111,1,,,,,,,(1)2233n n----，它是以0为极限的收敛叙列.但它不是有界变差的.事实上，213243221214322111121,23n n n n x x x x x x x x x x x x x x n --⎛⎫-+-+-+->-+-+-=+++⎪⎝⎭而序列111123n nω=+++是发散的，又是递增的，故n ω→+∞.于是2132221n n x x x x x x --+-+-不是有界的.因而收敛叙列{}n x ：1111111,1,,,,,,,(1)2233n n----无有界变差[1].另例：若令()()111111111123nn k n k x n k--==-+++-=-∑，则因 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++++-+-=--+p n n n n x x p n n p n 1)1(312111)1(1 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=312111n n n114131+<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-n n n . 故由柯西判别法知lim n x x →∞存在，然而111123n S n=++++→+∞，即{}n x 并非有界变差叙列[2].随后，我国许多数学分析教科书、参考书先后将之稍作修改变形收入其中，如武汉大学数学系主编的《数学分析》（人民教育出版社，1978年）P 237的NO.3，裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》（高教出版社，2006年），刘玉琏的《数学分析辅导讲义》（高教出版社， 2001年）P57第20题，孙涛的《数学分析经典习题解析》（高教出版社，2003年） ，刘名生、冯伟贞、韩彦昌的《数学分析》（一）（科学出版社，2009年）P34的NO.13等等，有的还冠以“有界变差数列收敛定理”的名称.比较典型的问题形式有华东师范大学数学系的《数学分析》 [3]，其P40 的第6题为：若数列{}n a 满足：存在正数M ，对一切n 有21321n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤.证明：数列{}n a 与{}n A 都收敛. 1．2命题技术从高考数学命题技术看，一是通过语言转换，将高中生不熟悉的高等数学术语“有界变差数列”用其英文简写“B -数列”（ bounded variation sequence ）这一新定义替代，高数语言初等化，保持原题条件不变，改变其结论（原题第2问的否定即是本试题的（I ）），以考查有界变差数列性质的目的，避开考生不能为之的收敛数列证明，试题的信息形态有一定新意；二是在解题思想方法上，本试题的解法与原题一样，都要求正确把握新定义“B -数列”的内涵并灵活运用绝对值不等式的插值法（添减项），更是高等数学中的常用估值技巧，涉及压缩映射原理的2006年广东高考数学理20题(Ⅲ)的证明就曾用到该估值技巧.近年来，依托高等数学背景，通过高等数学语言初等化等形式，将高等数学问题的提法转化为中学生可接受的语言来编拟高考数学试题是一种常见的命题方法，而中学数学和大学数学的衔接点则往往成为命题的焦点. 如单调有界定理是数学分析中判定数列收敛的一个奠基性定理，与中学的数列、不等式等知识联系紧密，以此背景编拟本试题就不出意料. 2．解法探究 2．1（I ）的解法本试题（I ）比较简单，只要现场认真阅读有关条件并仿照新定义进行验证即可.设满足题设的等比数列为{}n a ,则1n n a q -=；于是 21211,2n n n n n a a q q qq n -----=-=-≥，因此｜1n a +- n a ｜+｜n a -1n a -｜+…+｜2a -1a ｜=211(1...).n q q q q--++++ 1,q <∴ 21111 (11)n qq q q qq --++++=<--即11211...1n n n n q a a a a a a q+--+-++-<-，故首项为1，公比为q (1)q <的等比数列是B-数列. 2．2（II ）的解法（II ）是一个开放性问题，给考生思考的空间大，A 、B 两组可以组成八个命题：⑴①⇒③，⑵③⇒①，⑶②⇒③，⑷③⇒②，⑸①⇒④，⑹④⇒①，⑺②⇒④，⑻④⇒②.由原命题与逆否命题的等价性可知：⑴与⑻、⑵和⑺、⑶与⑹、⑷与⑸是互为逆否命题，所以本试题的八个命题可以归结为⑴、⑵、⑶、⑷这四个命题，但命题（2）真则命题（4）假，反之亦可，故问题（II ）实质上是要判断下列命题的真假：命题1：若数列{}n x 是B-数列，则数列{}n S 是B-数列. 命题2：若数列{}n S 是B-数列，则数列{}n x 是B-数列.命题3：若数列{}n x 不是B-数列，则数列{}n S 是B-数列.命题1为假命题.事实上，设1,n x n N •=∈，易知数列{}n x 是B-数列，但n S n =，且1121n n n n S S S S S S +--+-+-=12n n x x x n +++=, 由n 的任意性知，数列{}n S 不是B-数列.对于命题2，因为数列{}n S 是B-数列，所以存在正数M ，对任意的*∈N n ，有1121...n n n n S S S S S S M +--+-++-≤，即12...n n x x x M ++++≤；于是1121...n n n n x x x x x x +--+-++-1121122...222n n n x x x x x M x +-≤+++++≤+，所以数列{}n x 是B-数列，命题为真.命题3为假命题. 考虑其逆否命题⑹④⇒①：若数列{}n S 不是B-数列，则数列{}n x 是B-数列.其实，举一反例如令2n S n =，即知⑹为假命题.2．3 (Ⅲ) 的证法若数列{}n a ，{n b }都是B -数列，则存在正数1M ，2M ，对任意的,n N •∈有11211....n n n n a a a a a a M +--+-++-≤ ，11212....n n n n b b b a b b M +--+-++-≤.注意到112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-++++-+ 11221111...n n n n a a a a a a a M a ---≤-+-++-+≤+ ， 同理 21n b M b ≤+.记111K M b =+，则有222K M b =+111111n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b ++++++-=-+-1111111n n n n n n n n n n b a a a b b K a a k b b ++-+++≤+-≤-+-，故111212112(......)n n n n K b b b b a a k M k M +--+-+-≤+，数列{}n n a b 是B -数列.3．试题拓展综上讨论，本试题主要探究有界变差数列的定义与个别性质，属于初等数学研究范畴，高中生是完全可以接受的；而吉米多维奇的原题侧重于研究有界变差数列的敛散性，是大学数学的教学内容.其实，有界变差数列与有界变差函数密切相关，有界变差函数是通过有界变差数列定义的，它们有许多相似性质.以下从纵向深入探究有界变差数列的若干性质，并从横向拓展、举例说明有界变差函数，所有讨论均限制在初等数学范围内. 3．1有界变差数列的性质一般地，设有数列{}n a ，若存在正数M ，对任意的*∈Nn ，有+-+n n a a 11--n n a a ++ M a a ≤-12，则称数列{}n a 为有界变差数列.有界变差数列又称囿变数列，在分析学中有广泛应用，以下是一些高中生能理解的有界变差数列的性质[4].[性质1] 若数列{}n a 为有界变差数列，则{}n a 必是有界数列.证明：设数列{}n a 为有界变差数列，则存在一个正常数M ，对于任意的n N +∈都有M a ani i i ≤-∑=+11.而11211a a a a a a a n n n n -+--+-=-- +-≤-1n n a a + 12a a -11a M a +≤+.取1a M C +=，存在一个常数C ，对于任何一个n N +∈，都有C a n ≤.所以，{}n a 是有界数列.[性质2] 若数列{}n a 为单调递增（递减）有界数列，则{}n a 必为有界变差数列. 证明：不妨设{}n a 单调递增有界M a n ≤，因为11111a M a a a an ni i i -≤-=-+=+∑，取1a M C -=，即C a a ni i i ≤-∑=+11，{}n a 为有界变差数列.注意：性质2的逆命题不成立，如数列 ,21,21,0,12，易验证它是有界变差数列，显然不是单调数列.[性质3] 设数列{}n a ，若存在M ,对任何n N +∈，有M ani i≤∑=1，则数列{}n a 必为有界变差数列.证明：对任何n N +∈，M a a a ani i n i i ni i i 211111≤+≤-∑∑∑==+=+.[性质4] 设数列{}n a ，{n b }都是有界变差数列，λ为常数，则⑴{}n a λ；⑵{}n n b a ±； ⑶{}n n b a ⋅；⑷⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a ，0>≥λn b ；⑸{}n a ；⑹{}n n b a ,m ax ，{}n n b a ,min 均是有界变差数列.证明：仅证⑷，其余请读者一试.此时，只需证⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为有界变差数列，再据⑶即可.211111111λi i i i i i i i i i i i b b b b b b b b b b b b -≤-=-=-++++++，∴211211111λλMb b b b n i i i ni i i ≤-≤-∑∑=+=+， 从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为有界变差数列. [性质5] 数列{}n a 为有界变差数列⇔{}n a 可以表示为两个单调有界数列之差. 证明：（⇐）显然. （⇒）设{}n a 是有界变差数列，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=++∑111121n n i i i n a a a x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+=++∑111121n ni i i n a a a y ，显然{}n x ，{}n y 均为有界变差. 又[]0)(21)(21111111111≥-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=-+++-=+=++∑∑n n n n n n n i i i ni i i n n a a a a a a a a a a x x ，同理可得 01≥-+n n y y . 故{}n x ，{}n y 都是单调有界数列.[性质6] 若数列{}n a 满足条件)10;,3,2(11<<=-≤--+r n a a r a a n n n n ，称数列{}n a 为压缩变差数列，则压缩变差数列必为有界变差数列.证明： 11-+-≤-n n n n a a r a a ，∴≤≤-≤-≤----+ 21211n n n n n n a a r a a r a a121a a r n --.从而，++-+--+ 11n n n n a a a a ()122112+++++≤---r r r r a a n nM a a r r a a n≤---=-⋅121211，其中ra a M --=112.故数列{}n a 为有界变差数列.3．2有界变差函数举例有界变差函数是分析中较重要的函数类，它起源于求曲线的长度，在微分与积分的研究中起重要作用.下面通过数学问题解决的方式，举例说明.[问题1]设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，用分点 b x x x x x a T n i i =<<<<<<=- 110:将区间],[b a 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式M xf x f ni i i≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1 =）恒成立，则称)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，记作],[b a BV f ∈，这里],[b a BV 表示在],[b a 上的全体有界变差函数的集合（若无特别约定，以下讨论都基于此记号）.（I ）函数2)(x x f =在]1,0[上是否为有界变差函数？请说明理由； （II ）设函数)(x f 是],[b a 上的单调函数，证明：],[b a BV f ∈；（III ）若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足：存在常数k ，使得对于任意的1x 、],[2b a x ∈时，2121)()(x x k x f x f -⋅≤-.证明：],[b a BV f ∈.解：（I ） 函数2)(x x f =在]1,0[上是增函数，∴对任意划分T ，1)0()1()()()()()()(10111=-=-++-=--=-∑f f x f x f x f x f x f x f n n ni i i ，取常数1≥M ，则和式M xf x f ni i i≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1 =）恒成立，所以函数2)(x x f =在]1,0[上是有界变差函数.（II ）不妨设函数)(x f 是],[b a 上的单调增加， 对任意划分T ，)()()()()()()()(10111a f b f x f x f x f x f x f x f n n ni i i -=-++-=--=-∑，∴一定存在一个常数0>M ，使M a f b f ≤-)()(，故],[b a BV f ∈.（III ） 对任意划分T ，)()()(1111a b k x x k x f x f ni i i ni i i -=-≤-∑∑=-=-，取常数)(a b k M -=，∴由有界变差函数定义知],[b a BV f ∈.[问题2]（1）设],[b a BV f ∈，求证：)(x f 是],[b a 上的有界函数.（2）设],[,b a BV g f ∈，求证：],[b a BV g f ∈±，],[b a BV g f ∈⋅，)0)((],[/>≥∈σx g b a BV g f ；（3）设],[,b a BV g f ∈，且βα,是任意两个常数，求证：],[b a BV g f ∈+βα. 注：此问题类似于性质1和性质4的证法，请读者给不妨一试，此略.[问题3] 若)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，试证：)(x f 也是],[b a 上的有界变差函数.反之，若)(x f 为],[b a 上的有界变差函数，)(x f 是否为],[b a 上的有界变差函数？请说明理由.解：对],[b a 的任意划分T ，存在常数0>M ，使和式Mxf x f ni i i≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1 =）. M x f x f x f x f ni i i ni i i ≤-≤-∑∑=-=-1111)()()()(，∴)(x f 是],[b a 上的有界变差函数.反之，就不一定成立，如函数⎩⎨⎧-=.]10[1]10[,1)(中的有理数，为，中的无理数；，为x x x f 作]1,0[的划分T ：122214241222122011<<<<<<<<<-- n n n，则和式n n x f x f n i i i 42)2()()(11=⋅=-∑=-.显然，不存在一个常数0>M ，使对任意的n N +∈，M n ≤4恒成立，故)(x f 不是]1,0[上是有界变差函数.但若函数1)(≡x f ，]1,0[∈x ，显然)(x f 是有界变差函数[5].总之，借用或包装高等数学概念、用初数语言叙述高等数学原理、保持数学解题思想方法一致等，高等数学语言初数化以编拟高考数学试题，是当前高考数学命题惯用的重要手法之一，在于考查学生数学现场阅读理解等学习潜能以及数学创新意识，不容忽视.参考文献：[1] 吉米多维奇著，费定辉，周学圣编演.数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社.1980. [2] 吉米多维奇著，曹敏谦译.数学分析习题集题解[M]. 上海：上海交通大学应用数学系编印，1979. [3] 华东师范大学数学系.数学分析（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2001.[4] 胡玲.关于囿变数列及其特征的若干主注记[J].安徽广播电视大学学报(自然科学版)，2007，（01）. [5] 上海师范大学数学系.实变函数与泛函分析（上册）[M]. 上海：上海科技教育出版社，1978.。