运筹学课后习题答案

第一章线性规划

1、

由图可得：最优解为

2、用图解法求解线性规划：

Min z=2x1+x2

解：

由图可得：最优解x=1.6,y=6.4

3用图解法求解线性规划：

Max z=5x1+6x2

解：

由图可得：最优解Max z=5x1+6x2, Max z= +

4用图解法求解线性规划：

Maxz = 2x 1 +x 2 由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2

3

21x x

max Z = 8.

6将线性规划模型化成标准形式：

Min z=x 1-2x 2+3x 3 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中

x 3’≥0,x 3’’≥0

Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’

7将线性规划模型化为标准形式

Min Z =x1+2x2+3x3

解：令Z’ = -z，引进松弛变量x4≥0,引进剩余变量x5≥0,得到一下等价的标准形式。x2’=-x2 x3=x3’-x3’’

Z’ = -min Z = -x1-2x2-3x3

9用单纯形法求解线性规划问题：

Max Z =70x1+120x2

解： Max Z =70x1+120x2

单纯形表如下

Max Z =3908.

11.解：（1）引入松弛变量X4，X5，X6，将原问题标准化，得

max Z=10X1+6X2+4X3

X1+X2+X3+X4=100

10 X1+4X2+5X3+X5=600

2 X1+2X2+6X3+X6=300

X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0

得到初始单纯形表：

（2）其中ρ1 =C1-Z1=10-（0×1+0×10+0×2）=10，同理求得其他

根据ρmax =max{10,6,4}=10,对应的X1为换入变量，计算θ得到，

θmin =min{100/1,600/10,300/2}=60,X5为换出变量，进行旋转运算。

（3）重复（2）过程得到如下迭代过程

ρj≤0，迭代已得到最优解，X*=（100/3，200/3，0，0，0，100）T，

Z* =10×100/3+6×200/3+4×0 =2200/3。

12解：（1）引入松弛变量X3，X4，X5将原问题标准化，得

max Z=2X1+X2

5X2+X3=15

X1+2X2+ X5=5

X1,X2,X3,X4,X5≥0

得到初始单纯形表：

（2）其中ρ1 =C1-Z1=2-（0×1+0×10+0×2）=2，同理求得其他

根据ρmax =max{2,1,0}=2,对应的X1为换入变量，计算θ得到，

θmin =min{-,24/6,5/1}=4, X4为换出变量，进行旋转运算。

（3）重复（2）过程得到如下迭代过程

ρj≤0，迭代已得到最优解，X*=（7/2，3/2，0，0，0）T，

Z* =2×7/2+3/2 =17/2。

13解：引入松弛变量X3、X4，约束条件化成等式，将原问题进行标准化，得：

Max Z=2.5X1+X2

3X 1+5X 2+X 3 =15 5X 1+2X 2 +X 4=10 X 1,X 2,X 3,X 4≥0

（1） 确定初始可行基为单位矩阵I=[P 3，P 4]，基变量为X 3，X 4，X 5，非基变量为X 1，X 2，则有：

Max Z=2.5X 1+3X 2 X 3=15-3X 1-5X 2 s.t X 4=10-5X 1-2X 2 Xi ≥0，j=1，2，3，4

将题求解过程列成单纯形表格形式，表1 由上述可得，将1x 替换为4x

表2，单纯形迭代过程

由表2可得，将2x 替换为3x

表3 最终单纯形表

非基变量检验数3σ=0,4σ=1-2，得到该线性规划另一最优解，*x =（2019，4519

，0,0）,*z =5， 该线性规划具有无穷多个解

14.用单纯形法求解线性规划问题： 解：

（1）将原问题转化为标准形式，得 （2）建立单纯性，并进行迭代运算

（3）得到最优解X*=(

195 ,65 ,9 ,0 ,0 )T

，Z*=445

15.用单纯形法求解线性规划问题：

解：

（1）将原问题转化为标准形式，得 （2）建立单纯性，并进行迭代运算

本例第二个单纯形表中，非基变量X 2对应的检验数σ 0，并且对应的变量系数a i ，2 0（i=1，2，3），根据无界解判定定理，该线性规划问题有无界解（或无最优解）。

如果从方程角度看，第二个表格还原线性方程

也即： 令3x =0，则

此时，若2x 进基，则1x ，4x ，5x 会和基变量2x 同时增加，同时目标函数值无限增长，

所以本题无解。 16

解：（1）引入松弛变量X 3，X 4，X 5将原问题标准化，得

max Z=2X 1+4X 2+0X 3+0X 4+0X 5 X 1+2X 2+X 3=8 X 1+X 4=4 X 2+X 5=3

X 1,X 2,X 3,X 4,X 5≥0 （1）得到初始单纯形表：

（2）重复（1）过程得到如下迭代过程

ρ5 = 0，ρ3 < 0，因此有无穷多解，其中一个解为

X1=2 X2=3 max Z = 16 17、

Max z=3x1+5x2 Max z=3x1+5x2

x1+ x3=4 x1 ≤4 标准化并且引入松弛变量

2x2+ x4=12

2x2≤12 3x1+2x2+ x5=18 3x1+2x2≤18 x1，x2，x3，x4，x5≥0

x1≥0 x2≥0