锐角、钝角等三角形的三角函数
沪科版九年级数学上册2锐角的三角函数(第3课时特殊角的三角函数值)课件
B
2a
a
45.0
A
C
a
Sin45°=
A 的 对 边 斜边
2 2
cos45°=
A的邻边 2
斜边
2
tan45°=
A的对边 1 A 的邻边
归纳
特殊角的三角函数值
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3 2
2 2
3
tanα
3
1
60o
3 2
1 2
3
讨论：
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3
2
公式一
2、三角公式
当∠A+∠B=90°时
B
c
a
┌
A
b
C
sinA=cosB cosA=sinB
tanA . tanB=1
公式二
sin2 A cos2 A 1 tan A sin A cos A
新知探究
已知Rt△ABC中，∠A=30°
B
a
2a
Sin30°=
A的对边 1
斜边
2
C
30.0 A
3a
60o
3 2
1 2
3
角度逐 渐增大
正切值 也增大
讨论： 锐角A的正弦值、余弦值有无变化范围？
30o
1
sinα 2
cosα 3 2 3
tanα 3
45o
2 2
2 2
1
60o
3 2
1 2
3
0< sinA<1 0<cosA<1
归纳
(课件1)25.2锐角三角函数
股定理求出，试一试吧，用心做一做，我相信， 你 一 定 能 又 准 又 快 的 做 好 的 ---
特殊角的三角函数值
sin 30 , sin 45 , sin 60 的 函 数 值 分 别 是 多 少 啊 ？ 有哪些规律啊？（可以从它们的分子分母上去观察） cos 30 , cos 45 , cos 60 呢 ？ 与 正 弦 有 什 么 联 系 呢 ？ tan 30 , tan 45 , tan 60 的 大 小 规 律 是 什 么 啊 ？ cot 30 , cot 45 , cot 60 的 大 小 规 律 与 锐 角 的 正 弦 类 似 ， 还是与余弦类似啊？
定义的应用(一）
取值范围：
AC AB
在以后的计算过程中， 如果出现了一个锐角 的正弦值或是余弦值 大于1—你啊，快点 回头检查，一定在哪 一步出现了错误！
sin B
中 , A C 为 直 角 边 ， AB为 斜 边 ， AC AB
sin B 1
想 一 想 ： 为 什 么 “ sin B 0” 呢 ？ 你 能 不 能 根 据 以 上 推 理 ， 得 出 “ 0 sinB 1 这个结论吗？
, 斜 边 A B是 直 角 边 AC的
答案（1-----3题）
1 . 1 .原 式 3 3 3 3
2 .原 式
3 2 2
1
2。 答 ： 这 个 三 角 形 是 钝 角 三 角 形 。 原 因 ： A=45 , B 30
C 180 45 30 105 90
解直角三角形 -锐角三角函数
• 华东师大版第25章第二节 • 九年级上册
锐角三角函数的内容
人教新课标版初中九下28.1锐角三角函数(3)ppt课件
cos 45° 2 2 － tan45° = ° ÷ － 1=0 sin 45° 2 2
电 子 教 案 目 标 呈 现 教 材 分 析 教 学 流 程 同 步 演 练 课 后 练 习
复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
例 2： （ 1） 如 图 （ 1） ， 在 Rt△ ABC 中 ， ∠ C=90， AB= 6 ， BC= 3 ， ： ） ） △ ， 求∠A 的度数．
双基演练 能力提升 聚焦中考
Rt△ 1 ． B 是 Rt △ ABC 的 一 个 内 角 ， sinB= ∠ 且
3 B =______． ， cos =______ ． 则 2 2 1 3 2 ． 在 △ ABC 中 ， ∠ A ， ∠ B 都 是 锐 角 ， 且 sinA= ， cosB= ， 2 2
课本第8 页练习1 课本第83页练习1、2、3题
补充练习 在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°， ABC中 AD是BC边上的高， B=30° 边上的高 ∠C=45°，BD=10，求AC． C=45° BD=10， AC．
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复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业
3 A=30° 例 3． 如 图 ， 在 ⊿ ABC 中 , ∠ A=30 ° ,tanB= ． , 2 AC=2 3 , 求 AB
C
A
B
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复习引入 探索新知 反馈练习 拓展提高 小结作业 小结
1 ， 则 点 A′ 的 坐 2
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第01讲 锐角三角函数和特殊角的三角函数(知识解读+真题+巩固)(学生版)
第01讲锐角三角函数和特殊角的三角函数1.理解锐角正弦、余弦和正切概念的意义，并会求锐角的正弦值、余弦值和正切值；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.知识点1锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B bB B a∠==∠的对边的邻边．注意：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A，cos 与∠A，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．ACa(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0知识点2锐角三角函数的增减性（1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大；（2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小；（3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大.知识点2特殊角的三角函数值锐角注意：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．知识点3锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．注意：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【题型1锐角三角函数的概念】【典例1】（2022秋•西岗区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2022秋•金山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（）A．sinA＝B．cosA＝C．tanA＝D．cotA＝【变式1-2】（2022秋•晋江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AC＝（）A．10B．8C．5D．4【变式1-3】（2022秋•贵池区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（）A．sinB＝B．cosA＝C．tanB＝D．cosB＝【题型2锐角三角函数的增减性】【典例2】（2022秋•兴隆县期中）如果∠α为锐角，且sinα＝0.6，那么α的取值范围是（）A．0°＜α≤30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α≤90°【变式2-1】（2021秋•周村区期末）已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【变式2-2】（2022•五通桥区模拟）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【变式2-3】（2022春•洪泽区校级月考）比较大小：sin80°sin50°（填“＞”或“＜”）．【题型3特殊角三角函数值】【典例3】（2023•红桥区二模）tan30°的值等于（）A．B．C．1D．【变式3-1】（2022秋•云州区期末）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【变式3-2】（2023秋•莘县校级月考）在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【变式3-3】（2023•江都区模拟）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（）A．45°B．75°C．105°D．120°【题型4同角三角函数的关系】【典例4】（2023秋•沙坪坝区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA的值为（）A．B．C．D．8【变式4-1】（2023•泉州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA的值等于（）A．B．C．D．【变式4-2】（2022秋•渌口区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinA的值为（）A．B．C．D．【变式4-3】（2022秋•石景山区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，，则sinA的值是（）A．B．C．D．【题型5互余两角三角函数的关系】【典例5】（2023秋•南岗区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanB等于（）A．B．C．D．【变式5-1】（2022秋•磴口县校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（）A．B．C．D．【变式5-2】（2023春•普陀区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝（）A．B．C．D．【变式5-3】（2022秋•太康县期末）在三角形ABC中，∠C为直角，sinA＝，则tanB的值为（）A．B．C．D．【变式5-4】（2022秋•池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（）A．B．C．D．【题型6三角函数的计算】【典例6】（2023秋•聊城月考）计算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【变式6-1】（2022秋•浦东新区期末）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【变式6-2】（2022秋•济南期末）计算：sin30°﹣tan30°•tan60°+cos245°．【变式6-3】（2023•虹口区一模）计算：cos245°﹣+cot230°．1．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（）A．B．C．60D．802．（2021•天津）tan30°的值等于（）A．B．C．1D．23．（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为．5．（2022•广东）sin30°＝．6．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．7．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．1．（2022秋•大名县校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么tanB的值是（）A．B．C．D．2．（2022秋•泰兴市期末）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小D．不能确定3．（2023•西陵区模拟）由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（）A．B．C．D．4．（2023•南岗区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（）A．8B．9C．10D．125．（2022秋•阜平县期末）计算：sin60°•tan30°＝（）A．1B．C．D．26．（2023•偃师市模拟）计算sin45°的值等于（）A．B．C．D．7．（2023•西湖区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（）A．cscB•sinA＝1B．C．cscA•cosB＝1D．csc2A+csc2B＝18．（2022秋•清水县校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则tanB的值为（）A．B．C．D．9．（2022秋•蚌埠月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∠B等于（）A．60°B．30°C．45°D．无法确定10．（2022•滨州）下列计算结果，正确的是（）A．（a2）3＝a5B．＝3C．＝2D．cos30°＝11．（2022秋•路北区校级期末）已知6cosα＝3，且α是锐角，则α＝（）A．75°B．60°C．45°D．30°12．（2022秋•内乡县期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是．13．（2023•新邵县二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝．14．（2022秋•离石区期末）在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是三角形．15．（2022秋•新城区期末）计算：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°．。
锐角三角函数的简单运用
锐角三角函数的计算方法包括直接计算、利用三角恒等式化简、利用同角关系式化简等。 掌握这些计算方法是解决三角函数问题的基本技能。
对未来学习锐角三角函数的建议
01
深入理解概念
在学习锐角三角函数的过程中，要深入理解其概念，掌握其性质和定理，
这样才能更好地运用它们解决实际问题。
02 03
利用三角函数求长度
在直角三角形中，已知角度和一边长度，可以利用正弦、余弦、正切等三角函数 求出另一边的长度。
利用三角函Байду номын сангаас求距离
在平面几何问题中，可以利用三角函数求两点之间的距离，或者点到直线的距离 。
判断三角形形状问题
利用三角函数判断三角形形状
通过比较三角形的三个内角的三角函数值，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角 形。
正弦函数的性质
01
02
03
定义域
正弦函数在第一象限和第 二象限有定义，即角度范 围在0到180度之间。
值域
正弦函数的值域为[-1,1]， 表示角度的正弦值永远不 会超过1或小于-1。
单调性
正弦函数在第一象限和第 二象限内是单调递增的， 随着角度的增加，正弦值 也会增加。
余弦函数的性质
定义域
余弦函数在第一象限和第 四象限有定义，即角度范 围在0到180度之间。
锐角三角函数的 简单运用
目录
• 引言 • 锐角三角函数的性质 • 锐角三角函数的计算方法 • 锐角三角函数在几何问题中的应
用 • 锐角三角函数在实际问题中的应
用 • 总结与展望
01
引言
锐角三角函数的定义
锐角三角函数是三角函数中的一种， 主要研究锐角的角度与其边长之间的 关系。常见的锐角三角函数有正弦、 余弦和正切。
《锐角三角函数的计算》PPT课件教学课件
第二十四章 解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.复习一元二次方程的根的判别式和求根公式. 2.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题.（难点）
导入新课
知识回顾 问题1 一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？
A．tan 26°＜cos 27°＜sin 28° B．tan 26°＜sin 28°＜cos 27° C．sin 28°＜tan 26°＜cos 27° D．cos 27°＜sin 28°＜tan 26°
4．(3 分)在△ABC 中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，
则∠C＝_4__5_°____，sin A＋cos B＋tan C≈__1_3_4_6___．
12．(8分)已知三角函数值，求锐角(精确到1″)． (1)已知sin α＝0.5018，求锐角α；
(1)30°7′9″
(2)已知tan θ＝5，求锐角θ.
(2)78°41′24″
【易错盘点】
【例】计算：sin 248°＋sin 242°－tan 44°·tan 45°·tan 46°＝________．
b2 (b2 4ac) 4a2
4ac 4a2 c
a
拓广探索 韦达定理的两个重要推论： 推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1·x2=q.
推论2：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项 系数为1）是x2-（x1+x2）·x+x1·x2=0
二 一元二次方程根与系数关系的应用
三角形及三角函数公式
三角形及三角函数公式三角形是初中数学中的重要概念，也是几何学中的基础形状之一。
在本文中，我们将探讨三角形的性质以及与之相关的三角函数公式。
一、三角形的基本性质三角形是由三条边和三个角所确定的平面图形。
在三角形中，有一些基本概念和性质我们需要了解。
1. 三角形的内角和定理根据三角形的性质，三角形的三个内角的和为180度。
即：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这是一个重要的定理，对于解决三角形相关问题很有帮助。
2. 三角形的外角和定理三角形的外角定义为不与三角形的内角相邻的角。
根据三角形的性质，三角形的外角的和等于360度。
即：∠X + ∠Y + ∠Z = 360°。
3. 三角形的分类根据三角形的边长和角度的关系，三角形可以分为以下几类：- 等边三角形：三条边都相等的三角形。
- 等腰三角形：两条边相等的三角形。
- 直角三角形：拥有一个直角（90度）的三角形。
- 钝角三角形：拥有一个钝角（大于90度）的三角形。
- 锐角三角形：三个角都是锐角（小于90度）的三角形。
二、三角函数公式三角函数是数学中常见的函数之一，它们与三角形的角度和边长之间有着密切的关系。
下面是一些重要的三角函数公式。
1. 正弦定理正弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系。
对于任意一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a、b、c，对应的角度为∠A、∠B、∠C，则有以下的正弦定理公式：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C = 2R其中R为三角形外接圆的半径。
2. 余弦定理余弦定理描述了三角形的边长与角度之间的关系。
对于任意一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a、b、c，对应的角度为∠A、∠B、∠C，则有以下的余弦定理公式：a² = b² + c² - 2bc * cos∠Ab² = a² + c² - 2ac * cos∠Bc² = a² + b² - 2ab * cos∠C3. 正切定理正切定理描述了三角形的角度与边长之间的关系。
锐角三角形与钝角三角形证明方法-概述说明以及解释
锐角三角形与钝角三角形证明方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述锐角三角形与钝角三角形是三角形的两种基本形态。
锐角三角形是指三个内角都小于90度的三角形，而钝角三角形则是指至少有一个内角大于90度的三角形。
本文将分别探讨锐角三角形和钝角三角形的证明方法。
在数学几何学中，证明一个三角形是锐角三角形或钝角三角形的方法是非常重要的。
通过研究锐角三角形和钝角三角形的证明方法，我们可以更深入地理解三角形的性质和特点。
本文将首先介绍锐角三角形的证明方法。
在证明一个三角形是锐角三角形时，我们可以从不同的角度入手。
第一要点是通过观察三个内角的度数，判断是否都小于90度。
我们可以使用三角形内角和等于180度的性质来计算三个角的度数，并判断其是否都小于90度。
第二要点是利用三角形的边长关系，通过计算三个边的长度，判断是否存在一个边大于其他两个边的长度之和。
第三要点是应用直角三角形和锐角三角形的性质，通过证明某个角为直角角或锐角角来推导出整个三角形是锐角三角形。
随后，本文将探讨钝角三角形的证明方法。
证明一个三角形是钝角三角形时，我们可以通过观察三个内角的度数来判断。
第一要点是判断是否存在一个内角大于90度。
通过计算三个角的度数，可以确定是否有一个角大于90度。
第二要点是利用三角形的边长关系，通过计算三个边的长度，判断是否存在一个边大于其他两个边的长度之和。
第三要点是应用钝角三角形的性质，通过证明某个角为钝角来推导出整个三角形是钝角三角形。
通过本文对锐角三角形和钝角三角形证明方法的介绍，读者可以更好地理解这两种三角形的性质和证明过程。
同时，了解这些证明方法还有助于我们在解决实际问题时的推导和解决思路。
接下来，本文将详细介绍锐角三角形证明方法和钝角三角形证明方法的具体步骤和应用。
通过对这些内容的学习和理解，读者将更好地掌握三角形的性质和证明技巧，为进一步拓展数学几何学的知识打下坚实的基础。
1.2 文章结构本文按照以下结构进行组织和论述：首先，引言部分将概述锐角三角形和钝角三角形的基本定义和特征，并介绍文章的结构和目的。
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锐角、钝角等三角形的三角函数
三角形是初中数学中比较基础的一个重点，而其中的三角函数更是其中的重中之重。
在三角形中，角度相当于灵魂，而三角函数则是角度与边长之间的桥梁，略一掌握，很容易就能大大提升我们的数学水平。
在三角函数中，最为常见的莫过于正弦、余弦、正切三大基础函数。
在接下来的文章中，我们将主要讨论锐角、钝角等三角形的三角函数。
一、锐角三角形
锐角三角形指的是三个内角均小于90度的三角形，根据勾股定理可以得到，该三角形的最长边对应的角度最大（即90度），并且除该角度外，其余两个角度均为锐角。
1、正弦函数
正弦函数指的是一个角度和其对边比例的函数，即sinθ=对边/斜边。
在锐角三角形中，老师经常以最大的角度为θ，用sinθ=对边/斜边计算其他两条边。
例如，在三角形ABC中，角BAC的度数为35度，BC边的长度为20cm，求AB边的长度。
我们可以先设AB=x，则有sin35°=x/20，得到x=20sin35°≈11.56cm。
因此，AB边的长度大约为11.56cm。
例如，在三角形ABC中，角BAC的度数为50度，AC边的长度为25cm，求BC边的长度。
正切函数指的是一个角度的对边与邻边比例的函数，即tanθ=对边/邻边。
在锐角三角形中，我们经常使用该函数来计算两条邻边之间的夹角。
钝角三角形指的是三个内角中至少有一个大于90度的三角形。
在钝角三角形中，我们经常需要使用余弦函数来计算斜边或者其他两边的长度。
由于角BAC是一个钝角，因此我们无法直接计算sin110度或者cos110度。
我们不妨考虑其补角，即70度。
由于三角形ABC中角BAC和补角CAB之和为180度，因此角CAB为70度。
总结
通过以上例子，我们可以发现，在锐角三角形和钝角三角形中，三角函数的应用是十分广泛的。
熟练掌握三角函数的使用方法和计算技巧，准确地应用到实际问题中去，能够让我们在数学学习中事半功倍，也是我们在物理、工程、天文等领域中必不可少的基础。
因此，在认真学习三角函数的基础上，我们还要注重实践、训练，积累更多的经验和技巧，提高自己的数学能力和分析问题的能力，为自己的未来发展奠定更坚实的基础。