微积分 傅里叶级数
傅立叶(Fourier)级数的展开方法
快速傅立叶变换（FFT）法
定义
FFT法是一种基于数学和计算机技术的快速计算傅立叶级数展开式的 方法。
步骤
首先，将函数进行离散化处理，然后利用分治策略将问题分解为多个 子问题，最后通过递归和数学公式计算出傅立叶级数的系数。
优点
FFT法计算速度快，适用于大规模数据的傅立叶变换计算。
缺点
对于非周期函数，FFT法可能存在误差和稳定性问题。
图像处理
在图像处理中，傅立叶变换是常用的工具，通过将图像分解为不同 频率的成分，可以实现图像的滤波、去噪、压缩等操作。
控制系统
在控制工程中，傅立叶级数可以用于分析系统的频域响应，从而优 化控制系统的设计和性能。
在金融问题中的应用
要点一
周期性分析
在金融领域，傅立叶级数可以用于分析具有周期性的金融 数据，如股票价格、汇率等，从而预测未来的走势。
唯一性证明
唯一性定理的证明涉及到数学分析中的一些高级技巧，如反证法、数学归纳法 等。
三角函数的正交性
正交性定义
在一定条件下，三角函数系中的函数都互相垂直，即它们的内积为0。这就是三角函数 的正交性。
正交性的应用
正交性是傅立叶级数展开的基础，因为只有当三角函数系是正交的时，我们才能将一个 周期函数表示为一个傅立叶级数。同时，正交性在解决物理问题、信号处理等领域也有
傅立叶级数的复数形式
傅立叶级数的复数形式是将函数表示 为复指数函数的线性组合，通过复数 运算，可以简化计算过程并方便地处 理函数的频域性质。
VS
复数形式的傅立叶级数在信号处理、 通信等领域中具有重要应用，可以用 于信号的频谱分析和滤波等操作。
02 傅立叶级数的性质
收敛性
傅立叶级数在$L^2$空间中收敛
高等数学：13-7傅里叶(Fourier)级数
A0 , an
An sinn ,bn
An cosn,t
x ，则得级数
a0
2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx) ．
(13.7.2)
形如式(13.7.2)的级数称为三角级数，其中常数a0, an,bn (n 1, 2, )
称为三角级数(13.7.2)的系数．
显然式（13.7.2）每一项都是周期为2 的函数，因此，如果级 数（13.7.2）收敛，则其和函数必是周期为2 的周期函数．
⑵ 至多只有有限个极值点（即不作无限次振荡）；
则函数 f (x) 的傅里叶级数在(,) 内收敛，并且
⑴ 当 x 为 f (x) 的连续点时， f (x) 的傅里叶级数收敛于 f (x) ；
⑵ 当 x 为 f (x) 的（第一类）间断点时， f (x) 的傅里叶级数收敛
于 f (x) f (x) ． 2
n1
f (x) 2
f (x) ．
(13.7.8)
37-12
特别地，在点 x 及点 x 处，由函数 f (x) 的周期性知
f ( ) f ( )，f ( ) f ( ) ，因此其傅里叶级数在点x 及
点 x 处收敛于 f ( ) f ( ) ．
2
如果函数 f (x) 的傅里叶级数收敛于 f (x) ，就称 f (x) 的傅里
式为
f
(x)
0, 1,
x 0, 将 f (x) 展开成傅里叶级数，并作出该级 0 x .
数和函数的图形．
解 由式（13.7.5）可得
a0
1
f (x)dx 1
dx 1,
0
an
1
f (x)cos nxdx 1
傅里叶级数和泰勒级数
- 1 -
傅里叶级数和泰勒级数
傅里叶级数和泰勒级数是数学中常见的两种级数展开方法。傅里
叶级数是将周期函数展开为正弦和余弦函数的无穷级数，而泰勒级数
则是将光滑函数展开为幂级数的无穷级数。两种级数展开方法都有其
独特的应用和优点。
傅里叶级数可以用于描述周期性信号的频域特征，例如音频信号
和电子信号等。它可以将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数
的线性组合，从而描述其频率和振幅分布。傅里叶级数的展开系数可
以通过傅里叶变换来计算，其应用广泛于信号处理、图像处理和物理
学等领域。
泰勒级数则可以用于近似描述光滑函数的行为。通过泰勒级数展
开，我们可以将一个函数表示为一系列幂函数的无穷级数，从而近似
描述其局部行为。泰勒级数的展开系数可以通过函数的导数来计算，
其应用广泛于微积分、物理学和工程学等领域。
总之，傅里叶级数和泰勒级数都是数学中常见的级数展开方法，
它们在不同的领域和应用中具有重要的作用。
傅里叶级数的计算方法
傅里叶级数的计算方法傅里叶级数是在数学和物理学领域广泛应用的数学工具，它可以把任意周期函数表示为一系列正弦波的叠加形式，这些正弦波具有不同的频率和振幅。
在实际应用中，傅里叶级数可以用于分析和合成信号，如音频、图像等。
在这篇文章中，我们将介绍傅里叶级数的计算方法，以及如何根据傅里叶级数分析信号。
一、Fourier级数的定义Fourier级数是将一个周期为$2\pi$的函数$f(x)$展开成如下几组正弦和余弦函数的和的形式：$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_n\cos(nx)+b_n\sin( nx)]}$$其中$a_0, a_n, b_n$称为Fourier级数的系数，它们的计算方法如下。
二、Fourier级数系数的计算方法(1) $a_0$的计算方法：$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)dx}$$(2) $a_n$的计算方法：$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos(nx)dx}$$(3) $b_n$的计算方法：$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\sin(nx)dx}$$需要注意的是，由于Fourier级数中包含无穷多项，因此上述系数的计算并不是一件简单的事情。
当函数$f(x)$为简单的三角函数时，它们的计算比较容易，但是对于一般的周期函数来说，则需要借助复数和积分等更为高级的工具。
三、Fourier级数的应用Fourier级数的应用非常广泛。
我们将以音频信号的分析为例，介绍如何利用Fourier级数进行信号的分析和合成。
(1) 信号的分析：对于一个音频信号，我们往往需要知道它的主要频率分量、音量大小等信息。
利用Fourier级数，我们可以将音频信号分解为一些主要频率的正弦波的叠加形式，从而了解音频信号中包含的主要频率成分。
傅里叶级数帕塞瓦尔定理
傅里叶级数帕塞瓦尔定理
傅里叶级数帕塞瓦尔定理是一个多项式的公式，用来解释特定序
列（波形）的行为。
它是由法国数学家Joseph Fourier在1807年提
出的，用于将某种信号建模。
该定理可以应用于任何有限或无限冲激
响应（LTI）系统，如电路和比例控制系统，用于分析它们的性能。
它
也可以应用于多元式非线性系统，用于解释sysrem的行为，即系统中
不同输入变量对输出变量的影响。
实际上，傅里叶级数帕塞瓦尔定理可以描述任何一个连续函数，
当它作为周期函数时，它的形状可以被表示为若干函数的有限和不断
的级数，即傅里叶级数（Fourier Series）。
这些函数可以是正弦波、余弦波或者生成函数。
因此，傅里叶级数可以将任意定义的连续函数
表示为和不同频率成正比的正弦和余弦波（Sin x 和 Cos x ）的组合，而且可以通过傅里叶级数来估计函数在不同点的值。
傅里叶级数 Fourier Series
傅里叶级数Fourier Series法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。
傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
()[]()()()010101122cos sin sin sin sin 2...1,2,...n n n n n n f t a a n t b n t a c n t a c t c t n ωωωθωθωθ∞=∞==++=++⎡⎤⎣⎦=+++++=∑∑1 来源法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。
从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。
在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。
他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。
傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。
在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
2 公式给定一个周期为T 的函数()x t ，那么它可以表示为无穷级数：()2jk t T kk x t aeπ⎛⎫+∞⎪⎝⎭=-∞=⋅∑ （1）其中，j 为虚数单位， k a 可以按下式计算：()21jk t Tk Ta x t edt T π⎛⎫-⎪⎝⎭=⋅⎰ （2）注意到()2jk t Tk f t eπ⎛⎫ ⎪⎝⎭=是周期为T 的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T ）。
k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=1时具有基波频率02Tπω=，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等。
3性质收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。
狄利赫里条件如下：在任何周期内，()x t须绝对可积；在任一有限区间中，()x t只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，()x t只能有有限个第一类间断点。
傅里叶级数 求和公式
傅里叶级数求和公式傅里叶级数是一种将一个周期函数表示为无限三角函数的级数的方法。
它的求和公式是傅里叶级数公式，用于将函数展开为正弦和余弦函数的线性组合。
以下是傅里叶级数求和公式的简要介绍。
给定一个周期为T的函数f(t)，它的傅里叶级数展开为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，n为正整数，ω为角频率，a0、an和bn是系数。
公式中的a0表示恒定项，an和bn则是余弦和正弦项的系数。
傅里叶级数的系数可以通过函数f(t)与正交基函数的内积来计算。
对于周期为T的函数f(t)，正交基函数是e^(-i*n ωt)，其中i为虚数单位，n为正整数。
内积的计算公式为：a0 = (1/T) * ∫(f(t)dt)an = (2/T) * ∫(f(t)*cos(nωt)dt)bn = (2/T) * ∫(f(t)*sin(nωt)dt)这些积分可以在一个周期内进行计算。
傅里叶级数展开能够将周期函数表示为无限三角函数的级数，其中每一项通过系数an和bn加权得到。
在实践中，我们通常根据具体函数的性质，选择适当的级数截断来近似表达函数。
截断级数意味着我们只取有限的项进行求和，从而得到一个近似解。
傅里叶级数在物理学、工程学、信号处理等领域中广泛应用。
它能够将复杂的周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，方便对信号的特性进行分析和处理。
通过调整系数an和bn，我们可以改变傅里叶级数的振幅、频谱和相位，从而实现信号的变换和滤波。
傅里叶级数求和公式是傅里叶分析的基础，它提供了一种将周期函数表示为无限三角函数的形式。
通过傅里叶级数，我们能够揭示周期函数的频谱特性，并进行信号的处理和分析。
在实践中，我们可以根据具体问题选择适当的级数截断来近似求解。
常用傅里叶级数公式总结
常用傅里叶级数公式总结傅里叶级数是一种非常重要的数学工具，可以将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和，从而方便进行分析和计算。
在信号处理、图像处理、物理学等领域都有广泛的应用。
本文将以常用傅里叶级数公式为线索，介绍傅里叶级数的基本概念和性质。
1. 傅里叶级数的基本形式任何周期为T的周期函数f(t)，都可以表示为正弦函数和余弦函数的线性组合，即傅里叶级数。
其基本形式为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(2πnft) + bn*sin(2πnft))其中，a0为直流分量，an和bn分别为函数f(t)的傅里叶系数，f为基本频率，n为正整数。
2. 傅里叶级数的计算公式傅里叶系数an和bn的计算公式为：an = (2/T) * ∫[0,T] f(t)*cos(2πnft) dtbn = (2/T) * ∫[0,T] f(t)*sin(2πnft) dt这两个公式描述了函数f(t)在频率为nf时的正弦和余弦分量的大小，通过计算这些系数，可以得到傅里叶级数的展开式。
3. 傅里叶级数的性质傅里叶级数具有许多重要的性质，其中包括线性性、偶函数和奇函数的傅里叶级数、周期延拓性等。
这些性质使得傅里叶级数在实际应用中具有广泛的适用性。
4. 傅里叶级数的收敛性对于一个周期为T的周期函数f(t)，其傅里叶级数展开并不一定收敛于原函数f(t)。
在一定条件下，傅里叶级数可以收敛于原函数，这就是傅里叶级数的收敛性问题。
5. 傅里叶级数的频谱分析傅里叶级数可以将一个周期函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而可以对信号进行频谱分析。
通过分析不同频率成分的幅值和相位，可以了解信号的频谱特性，对信号进行处理和识别。
6. 傅里叶级数的离散化在数字信号处理中，通常需要对离散信号进行傅里叶变换。
离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）是常用的算法，可以高效地计算离散信号的频谱。
7. 傅里叶级数的应用傅里叶级数在信号处理、通信、图像处理、物理学等领域都有广泛的应用。
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⎪ ⎪⎭
⑹式称为函数 f ( x)的傅立叶系数公式，将这些公式代
入⑸式右端，所得的三角级数
∑ a0
2
+
∞
( an
n =1
cos nx
+ bn sin nx)
称为函数 f ( x) 的傅立叶级数。
定理（收敛定理） 设函数 f ( x) 是周期为2π的周期函
数，如果它满足：
⑴在一个周期内连续或只有有限多个第一类间断点；
第三单元 傅立叶级数
本单元内容要点
本单元讨论如何将一个周期函数展开成三角级数的方 法, 以及展开成正弦级数湖余弦级数的方法.
本单元教学要求
理解三角函数系及三角函数系正交性的意义, 掌握傅
立叶系数的计算方法, 掌握将周期为2π , 2l 的函数展开
成傅立叶级数的方法, 及收敛性的讨论, 掌握将一般函数 在所给定义域上展开成傅立叶级数的方法, 以及展开成 正弦级数与余弦级数的方法.
有
∫ bn
=
1
π
π
f (x)sin nxdx
−π
(n = 1, 2,").
由于当 n = 0时，an 的表达式与 a0一致，因此上面的结
果可合并成
∫ an
=
1
π
π
f (x) cos nxdx
−π
∫ bn
=
1
π
π
f (x)sin nxdx
−π
(n
=
0,1, 2,"),⎫⎪⎪
⎬
⑹
(n = 1, 2,").
y
π
−2π −π o π 2π x
=
1
n2π
Hale Waihona Puke cos nxπ 0=
1
n2π
⎡⎣( −1)n
− 1⎤⎦
(n = 1,2,"),
∫ ∫ bn
=
1
π
π f (x)sin nxdx = 1
−π
π
π
x sin nxdx
0
∫ = − 1 x cos nx π + 1
π
cos nxdx
nπ
0 nπ 0
= (−1)n−1 (n = 1, 2,").
⑵在一个周期内，至多只有有限多个极值点，
则 f ( x) 的傅立叶级数收敛，并且
当x是f ( x) 连续点时，级数收敛于 f ( x),
( ) ( ) 当
x是
f
(
x)
的间断点时，级数收敛于
1 2
⎡⎣
f
x−
+f
x+ ⎤⎦.
上面定理的具体意义是下面的关系
∑ a0
2
+
∞
( an
n =1
cos nx
+ bn sin nx)
π0
nπ
0
⎧2
=
1
nπ
⎡⎣1+
(
−1)n
−1
⎤ ⎦
=
⎪ ⎨
nπ
⎪⎩ 0
n = 1,3,5,", n = 2, 4,6,".
将求得的系数代入⑻式，即有
f
(
x
)
=
1 2
+
2
π
⎢⎣⎡sin
x
+
1 3
sin
3x
+
"
+
1 2k −
sin 1
(
2k
−
1)
x
+
"⎤⎥⎦
x ≠ kπ .
例2 设 f ( x) 是周期为2π 的周期函数，它在 [−π ,π ] 上
的表达式为
f
(
x)
=
⎧0
⎨ ⎩
x
− π ≤ x < 0, 0 ≤ x <π.
将 f ( x) 展开成傅立叶级数。
解 函数 f ( x)满足收敛定理的条件，点 x = (2k + 1)π
(k = 0, ±1, 2,") 是它的第一类间断点，因此相应的傅立
叶级数在这些点收敛到
1 2
⎡⎣
f
( −π
+
0) +
l −i
f
( x)sin nπ
l
xdx
(n = 0,1, 2,"),⎫⎪⎪
⎬
(n
=
1,
2, 3,") .
在区间[−π ,π ] 是正交函数系，即
∫ ∫ π
π
1⋅ cos nxdx = 1⋅ sin nxdx = 0
(n = 1,2,"),
−π
−π
∫π sin kx ⋅ cos nxdx = 0
(k, n = 1,2,"),
−π
∫π cos kx ⋅ cos nxdx = 0
(k, n = 1, 2,", k ≠ n),
n
从而函数 f ( x) 的傅立叶级数为
∑ f
(x)
=
π
4
+
∞ ⎡(−1)n −1
⎢ n=1 ⎢⎣
n2π
cos nx +
( −1)n −1
n
⎤ sin nx⎥ ,
⎥⎦
x ≠ (2k −1)π (k = 0,±1,±2,").
例3 把函数 f ( x) = x ( x ∈[−π ,π )] 展开成傅立叶级数.
⎧ f (x)
=
⎪ ⎨1 ⎪⎩2
⎡⎣
f
(
x−
)
+
f
(
x+
)⎤⎦
当x是f ( x)的连续点，
⑻
当x是f ( x)的间断点.
例1 设 f ( x) 是周期为2π 的周期函数，它在 [−π ,π ] 上
的表达式为
f
(
x
)
=
⎧0 ⎨⎩1
− π ≤ x < 0, 0 ≤ x <π.
把 f ( x) 展开成傅立叶级数。
,
即
1+
1 32
+
1 52
+"+
1
(2n −1)2
+"=
π2
8
.
⑼
令
1+ 1 + 1 +"+ 1 +"=σ,
22 32
n2
则
1 + 1 + 1 +"+ 1 +"
22 42 62
( 2n )2
=
1 4
⎛⎜⎝1
+
1 22
+
1 32
+"+
1 n2
+ "⎞⎟⎠
=
σ
4
,
上两式相减得
π2
8
=1+
1 32
+
1 52
∑ a0
2
+
∞ n =1
⎛ ⎜⎝
an
cos
nπ
l
x + bn sin
nπ
l
x
⎞ ⎟⎠
⑴
在每点收敛，且当 x为连续点时，它收敛到 f ( x)，当 x
是
f
( x) 的间断点，它收敛到 1
2
⎡⎣
f
( x− )
+
f
( x+ )⎤⎦ ,
其中
∫ an
=1 l
l −i
f ( x)cos nπ
l
xdx
∫ bn
=1 l
f
(π
−
0)⎤⎦
=
π
2
,
在其余点收敛到 f ( x)（. 见下图）
∫ ∫ a0
=
1
π
π f ( x) dx = 1
−π
π
π xdx = π ,
0
2
∫ ∫ an
=
1
π
π f (x) cos nxdx = 1
−π
π
π
x cos nxdx
0
∫ = 1 xsin nx π − 1
π
sin nxdx
nπ
0 nπ 0
π −π
sin
kx
cos
nxdx
⎤ ⎥⎦
,
再由三角函数系⑷的正交性，上式为
∫ ∫ π −π
f
( x)cos nxdx = an
π −π
cos2
nxdx
=
anπ
,
于是有
∫ an
=
1
π
π
f (x) cos nxdx
−π
(n = 1, 2,").
类似地，用sin nx 乘⑸式两端，再从 −π 到π 逐项积分,
(n = 1,2,"),
∫ b n
=
1
π
π
x sin nxdx = 0,
−π
(n = 1,2,"),
从而得到
f
(x) =
x
=π
2
∑ −
4
π
∞ n =1
1
(2n −1)2
cos ( 2n
− 1)
x,
将 x = 0 代入上式，得
(−π ≤ x ≤ π ).
∑ 0
=
π
2
−
4
π