赋范线性空间
(1) 线性性： ∀x = (x1, , xn ) , y = ( y1, , yn ) ∈ R ， α, β ∈ R
T T n
1
T (α x + β y) = A(α x + β y) = α Ax + β Ay = αTx + βTy
∀x = ( x1 , , xn )T ∈ R n ， Tx = Ax = ( z1 , , zm )T ∈ R m (2)有界性：
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) ⊂ E → N (T ) ⊂ E1 。 设 E
（1）线性算子：若 ∀x, y ∈ D(T ), α ∈ K (数域) ，有
⎧T ( x + y ) = Tx + Ty ⎨ 即 T (α x + β y) = αTx + β Ty T (α x) = α Tx ⎩
3）范数的等价性 定义 设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1和 x 2 如果由 xn 1 → 0 ⇒ xn 2 → 0 ，称 x 1比 x 2 更强； 若又由 xn 2 → 0 ⇒ xn 1 → 0 ，即 x 2 比 x 1更强， 则称范数 x 1与 x 2 等价。 注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1、 x 2 、 x ∞ 相互等价
m n
T 2
⎛ ⎞ = ∑ z = ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠
m 2 i
⎛ ⎞ ⎛ m n 2⎞ ≤ ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ ≤ ⎜ ∑∑ aij ⎟ i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎝ i=1 j =1 ⎠
2
x2 = M x ∑ j
j =1
n
2
d T = : x (t ) ∈ C[1a ,b ] → x ′(t ) ∈ C[ a ,b ] 是无界线性算子 ② dt
其中
n
zi = ∑ aij x j (i = 1 ~ m) ，则由 Cauchy 不等式得
j =1
n
⎛ 2⎞ ∑ aibi ≤ ⎜ ∑ ai ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠
n
1/ 2
⎛ 2⎞ ⋅ ⎜ ∑ bi ⎟ ⎝ i =1 ⎠
n
m n
1/ 2
，
2
Tx 2 = ( z1 , z2 , , zm )
i =1
n
= max xi ，则(R n , x ∞ )是赋范线性空间。 1≤i ≤ n
n i =1
③ x 1 = ∑ xi ，则(R n , x 1 )是赋范线性空间。
例2 C[ a ,b ] 是线性空间，若 定义 则 ① x = tmax] x(t ) ， (C[ a ,b ] , x )是赋范线性空间。 ∈[ a ,b 距离 ρ(x, y) = x − y = tmax] x(t ) − y (t ) ∈[ a ,b ② x 1 = ∫a x(t ) dt ，则(C[ a ,b ] , x 1 )是赋范线性空 间。
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。
按一定 ∀x ∈ E ⎯⎯⎯ 实数 x ≥ 0， →∃ 且满足下列三条(范数公理) 若 规则
（1）正定性： x ≥ 0,当且仅当 x = 0时 , x = 0 （2）齐次性： α x = α ⋅ x
模
（3）三角不等式 ∀x, y ∈ E , 有 x − y ≤ x + y ≤ x + y 则称实数 x 为 x 的范数，称 E 为赋范线性空间，记作
p
= (∑ xi ) ，则(l p , x
i =1
∞
1 p p
p
)是赋范线性空间
p 1/ p
⎛ ∞ 距离 ρ ( x, y ) = x − y = ⎜ ∑ xi − yi ⎜ i =1 ⎝
∞
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
，
, xn , ) 的 全体，按通常定义下的“加法” “数乘”运算是线性空间。
x = sup xi ，则(l ∞ , x )是赋范线性空间。 若定义 1≤ i <+∞
(i)=>(i); (ii)=>(ii);(iii)=>(iii)
Question： 距离空间 ⇒ 赋范线性空间??
当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间； ② ρ(x, y) = ρ(x − y,0)； ③ ρ(α x,0) = α i ρ(x,0) 可用距离定义范数 x = ρ(x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 ( E , ρ ) 也是(E , i )。
( E , ρ ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
例：在 R 中，按范数 x 2 =
n
∑
i =1
n
xi ，(R n , x 2 )是 Banach 空间;
2
在 C[ a ,b ] 中，按范数 x = tmax] x(t ) ，(C[ a ,b ] , x )是 Banach 空间； ∈[ a ,b 在L
“零元素” ∈ E,有x + 0 = x 0 （3） ∃
“负元素” x∈E,有x + (−x) = 0 − （4） ∃
（5） λ ( μ x) = (λμ ) x （6）1 ⋅ x = x, 0 ⋅ x = 0 （7） (λ + μ )x = λ x + μ x （8） λ ( x + y ) = λ x + λ y 则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间） 。
（1）有界性：数列 { xn } 有界
（2）范数的连续性：即 Tx = x , T 是连续泛函
x 是 x 的连续泛函 ⇔ ∀ x n → x时 , x n → x
（3）线性运算按范数收敛是连续的 即若 xn → x, yn → y , α n → α , β n → β
⇒ α n xn + β n yn → α x + β y ,
满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1
Rn —— n 维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间。
例2 C[ a ,b ] 、 L[ a ,b ] （在[ a, b] 上可积分函数全体） ，在通常 意义下的“加法” “数乘”运算下是线性空间。
例3 Pn ( x) ——次数不超过 n 的多项式全体，在通常的 “加法” “数乘”运算下是线性空间。 例4 Qn ( x) ——次数等于 n 的多项式全体，在通常意义 下的“加法” “数乘”运算下不是线性空间。
§3.4 线性算子与线性泛函
映射：集合 → 集合的对应关系； 算子：空间 → 空间的映射，记为 T， 定义域记作 D(T） ，值域记作 N(T） 算子通常指：赋范线性空间 → 赋范线性空间的映射 泛函： 赋范线性空间 → 数域的映射。 最简单的算子是：保持两种代数运算的算子——线 性算子。
1）线性算子（或线性泛函）的几个概念
例3
L[2a ,b ] 是线性空间，若定义 x = ( ∫a x(t ) dt ) ，
2 b 1 2
b
(L[2a ,b ] , x )是赋范线性空间。 则
距离 ρ(x, y) = x − y =
(∫
b
a
x(t ) − y (t ) dt
2
)
1 2
l p ( p ≥ 1) 是线性空间，若定义 例4
x
定理（范数等价判别定理）在线性空间 E 中，两种范数
x 1与 x 2 等价 ⇔ ∃k1 > 0, k2 > 0, 对于∀x ∈ E ，都有
k1 x
证： ⇐
2
≤ x
1
≤ k2 x 2 。
⇒ 反证法
§3.3 有限维赋范线性空间
有限维赋范线性空间比一般赋范线性空间有更多的 优势，通常在有限维赋范线性空间中处理问题更简单。 1) 定义 设 E 是赋范线性空间。 若存在 n 个线性无关的
值域所在空 间的范数
Tx ≤ M x
则称 T 是有界算子。
定义域所在 空间的范数
若 T 既是线性、又是有界算子，称 T 为有界线性算子
判别定理 设 T 是线性算子，则 T 是有界算子
⇔ T 将 D(T ) 中的任一有界集映射为有界集。
m × n 阶矩阵， T : x ∈ R n → Ax ∈ R m 是 例： 设 A 是 ① 则
称 T 为 D(T ) 上的线性算子。特别的， T 0 = 0 ⋅ T 0 = 0 。
例如： C
1 [ a ,b ]
d （一阶连续导函数全体）中， T = dt ，则
d d d [ k1 x1 (t ) + k 2 x2 (t )] = k1 x1 (t ) + k 2 x2 (t ) dt dt dt
元素 e1 , e2 ,
, en ∈ E ，使得 ∀x ∈ E ，有唯一表达式
+ xn en = ∑ xi ei
i =1 n
x = x1e1 + x2 e2 +
则称 E 为有限维（n 维）赋范线性空间。称{e1 , e2 , , en } 为 E 的基（底） ，而称{x1 , x2 , , xn } 为 x 关于该基底的坐 标。
2 [ a ,b ]
2 中，按范数 x 2 = ( ∫a x(t ) dt ) ，(L[ a ,b ] , x 2 )是 Banach 空间
2 b 1 2
§3.2 按范数收敛
赋范线性空间中点列的收敛性及概念，只要在由 范数导出的距离 ρ(x, y) = x − y 之下来讨论，就可以得 到相应的结论。
3）常见赋范线性空间
例1 在线性空间 Rn 中，
∀x = ( x1 , x2 ,
第二章 赋范线性空间2
1)
M
0 f
为
X
的一个闭子空间;
2) 取 x0 ∈ X 使 f (x0 ) ≠ 0 , 则
X
=
M
0 f
+ {λ x0
|λ ∈ R};
3)
若
f (x0 ) = α
,
则
M
α f
=
x0
+
M
0 f
.
M
α f
i =1
||2 ,
所以
||
f
||≥
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
∑ 这样就有 ||
f
||=
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
f → (α1,α2 ,
,αn) .
n
∑ 反过来, 任取一个 (α1,α2 , ,αn ) ∈ R n ,对于 x = αiei ∈ Rn ,定义 i =1
例3 设用 l∞ 作为离散信号空间，取 h = (hi ) ∈ l1 为一个滤波器的单位脉冲响应，
∞
∑ y = Hx ， yn = hi xn−i i = −∞
H : l∞ → l∞ 为一个有界（稳定）线性算子。事实上，
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ||
y
||∞
=
max n
|
i = −∞
hi xn−i
|≤
|
i = −∞
||xn+1-xn|| ≤ α n||x1-x0|| 。
现代分析3-3赋范空间 (1)
因而
(t ) (1) 1
由此可得
t (0,)
t t (1 )
令
t (0,)
t
A ,代入上面不等式,那么 B
A A (1 ) B B
两边乘B,得到
A A (1 ) B 1 B
1 1 令 q 于是上式成为 p ,则
p 而不加以区别,设 f , g L [a, b] ,因为
f (t ) g (t ) (2 max f (t ) , g (t ) ) p
p
2 ( f (t ) g (t ) )
p
p
p
p p 所以， f (t ) g (t ) 是 L 上可积函数,即 f g L [a, b] ,至于 L [a, b]
p
k 1
1 2k
（12）
但是因为常数 1 Lq [a, b] ,由Holder不等式,成立
a
b
f nk f nk 1 dt f nk 1 _ f nk
p
(b a )
1 q
所以级数
f
k 1
a
n
b
nk
f nk 1 dt
(13)
n k 1
收敛,由级数形式的Levi定理,级数
证毕. 例5:空间 l
p
Lp [a, b] 空间一样,在空间中也有类似的Holder不等式 和Minkowski不等式:
k 1 k
n
k
) ,(k Holder 不等式) ( k ) (
p q k 1 k 1
n
1 p
n
1 q
如何理解线性赋范空间、希尔伯特空间, 巴拿赫空间,拓扑空间
（1） 对 称 性 ；
（2） 对 第 一 变 元 的 线 性 性 ；
（3） 正 定 性 ；
则称(x, y) 为内积 所以内积又是比范数更加具体的东西，因为范数只是到0的距离的时候多了线性性。但是 内积是线性性的充分条件【A>B，B不能>A就称为A是B的充分条件；类似的，B>A,A不 能>B，则称A是B的必要条件】 举个栗子： 我们可以把内积定义为：(x, y) = ∑Ni=1xiyi 也可以定义为：(f, g) = ∫∞0 f(x)g(y)dx 所以：内积可导出范数 | | x | | 2 = (x, x); 在线性空间上定义内积；其空间称为内积空间； 内积可在空间中建立 欧几里得空间学，例如交角，垂直和投影等，故习惯上称其为欧几 里得空间。 所以，我们平日中生活的空间就是欧几里得空间 接下来，我们看几个听起来似乎很牛逼哄哄的东西
赋予范数或者距离的集合分别称为：赋范空间和度量空间 若在其上再加上线性结构称为：线性赋范空间和线性度量空间
那么，我们日常生活的空间可以称为赋范空间或者度量空间么？ 答案是否定的因为这样的空间缺少角度的概念，从前面的定义中我们无法退出角度。所 以，我们才有了接下来的内容。
内积空间
赋范空间有向量的模长，即范数。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角，为 了克服这一缺陷，我们引入：内积 定义：
赋线空范性间空度，间量拓，空扑度间空量，间空希如间尔何，伯不线特被性空他赋间们范，吓空到巴间？拿，赫 函数空间
一、问题的提出
在微积分中可以定义极限和连续，依赖于距离 那么，什么是距离呢？ 通俗的看法，大家都认为距离就是所谓的直线
但是，在这张图中，我们如何衡量两点之间的距离？ 因为地球仪上不能画直线，所以这里的距离显然就不是直线了。我们只能沿着地球仪取曲 线作为距离 再来看一张图
3.3 紧集与有限维赋范线性空间
3.3 紧集与有限维赋范线性空间3.3.1 致密集的概念实数直线上的Bolzano-Weierstrass 致密性定理 (compactness theorem)：任一有界数列必有收敛子列。
定义3.3.1 设(,)X ρ是度量空间，A X ⊂. 若在A 中的任何点列必有在X 中收敛的子点列，则称A 是(X 中的)致密集。
若X 自身是致密集，则称X 是致密空间。
性质1 有限点集是致密集。
注 点集和点列不一样，点列是取点集中的元素构成的，其各项可以重复，但点集中的元素却不能一样。
因此，由于有限点集中的元素有限，所以要想构成点列，必然有同一个元素无数次重复，这样，这些重复的元素构成的子点列必然收敛。
性质2 有限个致密集的并是致密集。
证 设12,,,m A A A 是度量空间(,)X ρ的致密集，往证1mk k A A ==也是(,)X ρ的致密集。
任取一点列{}n x A ⊂，则存在(1)A m ≤≤，{}n x 有无限多项属于A ，记其为{}kn x ，即{}kn x A ⊂.而A 是致密的，所以必有在X 中收敛的子点列{}k hn x ，使得()k h n x x Xh →∈→∞,即{}n x 在X 中收敛的子点列{}k hn x ，故A 也是(,)X ρ的致密集。
证毕！ 性质3 致密集的任何子集是致密集。
因此，任何一族致密集的交是致密集。
证 只要证明“致密集的任何子集是致密集”即可，而“任何一族致密集的交是致密集”则是前者的直接推论。
设A 是度量空间(,)X ρ的致密集，B 是A 的任一子集。
任取一点列{}n x B ⊂，因为B A ⊂，所以{}n x A ⊂.而A 是致密的，因此点列{}n x 必有在X 中收敛的子点列{}kn x ，使得()k n x x Xk →∈→∞,故B 也是致密的。
证毕！ 性质4 致密集的闭包是致密集。
证 设(,)X ρ是度量空间，A X ⊂是致密集，往证A 的闭包A AA '=也是致密集。
内积空间与赋范空间的关系
内积空间（Inner Product Space）和赋范空间（Normed Vector Space）是两个重要的数学概念，通常用于研究向量空间以及线性代数中的不同方面。
它们之间有密切的关系，但并不相同。
内积空间：内积空间是一个向量空间，其中定义了一个称为内积的二元操作，通常表示为⟨x, y⟨，其中x 和y 是该空间中的向量。
内积满足一些特定性质，如对称性、线性性和正定性。
具体来说，对于所有的向量x, y 和z，内积满足以下条件：对称性：⟨x, y⟨ = ⟨y, x⟨线性性：⟨ax + by, z⟨ = a⟨x, z⟨ + b⟨y, z⟨正定性：⟨x, x⟨ ≥0，且只有当x = 0 时才等于0，其中0 表示零向量。
赋范空间：赋范空间是一个向量空间，其中定义了一个范数（或赋范）函数，通常表示为||x||，它将每个向量映射到非负的实数，并满足一些性质。
范数函数用于度量向量的长度（或大小），通常包括欧几里得范数（L2范数）和曼哈顿范数（L1范数）等。
范数函数需要满足一些性质，如非负性、齐次性和三角不等式。
关系：内积空间是赋范空间的一种特例。
具体而言，内积空间中的内积可以用来定义一个范数，通常称为内积范数（Inner Product Norm），因此，内积空间中的向量空间也可以视为赋范空间，其中范数由内积给出。
但不是所有的赋范空间都是内积空间。
内积空间中的内积具有更多的结构性质，例如角度和正交性等，而赋范空间仅要求满足范数的性质。
总之，内积空间和赋范空间都是研究向量空间的有用工具，内积空间提供了更多的结构和性质，赋范空间则更一般，适用于更广泛的数学和应用领域。
内积范数是将内积空间和赋范空间联系起来的方式之一。
泛函分析第2章 度量空间与赋范线性空间
第2章度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
度量空间的基本概念距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义】 设X 是一个非空集合，),(••ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(••ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
`注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(••ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x yx y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(••ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
度量空间和线性赋范空间
度量空间和线性赋范空间1第六章 度量空间和线性赋范空间第1次课教学内容(或课题)： §6.1 度量空间的进一步例子目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：一 复习第二章度量空间的概念设X 是个集合，若对于∈∀y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔;02()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21Λ=和()n y y y y ,,,21Λ=，规定距离为 ()y x d ,=()2112⎪⎭⎫⎝⎛-∑=ni i i y x .[]b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x bt a -≤≤max .2l 空间 记2l ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<=∑∞=∞=121k k k k x x x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈2l ，定义 ()y x d ,=()2112⎪⎭⎫⎝⎛-∑∞=i i i y x .二 度量空间的进一步例子例1 设X 是任意非空集合，对于∈∀y x ,X ，令2()y x d ,=⎩⎨⎧=≠y x y x 当，当，0;1容易验证 01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔; 02()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立. 称(X ，d )为离散的度量空间. 由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.例2 序列空间S 令S 表示实数列(或复数列)的全体，对{}∞==∀1k k x x ，{}∞==1k k y y ，令 ()y x d ,=∑∞=121k kk k k k y x y x -+-1. 显然右边的级数总是收敛的. 易知()y x d ,0≥，且()y x d ,=0y x =⇔. 即()y x d ,满足条件01.对C b a ∈∀,，先证≤+++ba b a 1aa +1+bb +1.实因令 ()ttt f +=1 (+∞<≤t 0)，则因为()2)1(1t t f +='0>，所以函数 ()ttt f +=1 在[)+∞,0上单调递增. 又因为 b a b a +≤+，所以有≤+++ba b a 1b a b a +++1=b a a ++1+b a b ++1≤a a +1+bb+1. 再令 {}∞==1k k z z ，k k z x a -=，k k y z b -=，则 k k y x b a -=+. 由上述已证的不等式，得kk k k y x y x -+-1≤kk k k z x z x -+-1+kk k k y z y z -+-1.3由此推得 02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,S 都成立. 故S 按()y x d ,成一度量空间.例3 有界函数空间()A B设A 是一个给定的集合，令()A B 表示A 上有界实值(或复值)函数的全体. ∈∀y x ,()A B ，定义 ()y x d ,=()()t y t x At -∈sup .显然()y x d ,0≥，且()y x d ,=0⇔A t ∈∀成立()()t y t x =，即()y x d ,满足条件01.又A t ∈∀，有 ()()t y t x -≤()()t z t x -+()()t y t z -≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup所以 ()()t y t x At -∈sup ≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup . 即()y x d ,满足条件02. 特别当[]b a A ,=时，()A B =[]b a B ,.例4可测函数空间()X M设()X M 为X 上实值(或复值)的Lebesgue 可测函数的全体，m 为Lebesgue 测度，若()X m ∞<，对任意两个可测函数()t f 及()t g ，由于()()()()11<-+-t g t f t g t f ，故不等式左边为X 上可积函数. 令()g f d ,=()()()()⎰-+-Xdm t g y f t g t f 1.若把()X M 中两个几乎处处相等的函数视为()X M 中同一个元素，则()g f d ,≥0且()g f d ,=0 ⇔ g f =，即()g f d ,满足条件01. 其次(参考例2)4()g f d ,=()()()()⎰-+-X dm t g y f t g t f 1≤⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-X dm g h gh h f h f 11=⎰-+-Xdm hf h f 1+⎰-+-Xdm gh g h 1=()h f d ,+()g h d ,，对∈∀h g f ,,()X M 都成立. 即 ()g f d , 满足条件02. 故()X M 按上述距离()g f d ,成为度量空间.作业 P 205. 2. 4.作业提示 2. 与例2处理方法类似.4.利用xx+1 当0≥x 时的递增性.第2次课教学内容(或课题)： §6.2(1) 度量空间中的极限目的要求： 掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义. 教学过程：设()d X ,为度量空间，d 是距离，定义 ()ε,0x B =(){}ε<∈0,x x d X x 为0x 的以ε为半径的开球，亦称为0x 的ε邻域.例1 设()d X ,是离散的度量空间，d 是距离，则5()ε,0x B ={}⎩⎨⎧>≤<1,;10,0εε当当X x仿§2.2-§2.3，设E 是度量空间()d X ,中的一个子集，0x 是X 中一点若存在0x 的某一邻域()0x U ，s.t. ()0x U ⊂E ，则称0x 为E 的内点. 若0x 是CE 的内点，则称0x 为E 的外点. 若∀()0x U 内既有E 的点又有非E 的点，则称0x 为E 的边界点. 若∀()0x U 内都含有无穷多个属于E 的点，则称0x 为E 的聚点. E 的全体聚点所成集合称为E 的导集，记为E '. E Y E '称为E 的闭包，记为E . 若E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集. 若E '⊂E ，则称E 为闭集.例2在欧氏空间1R 中，记A 为全体有理数点的集合，B 为全体无理数点的集合.则集合A 及B 均无内点，均无外点; ∈∀x 1R 既是A 又是B 的界点，既是A 又是B 的聚点; 1R 既是A 又是B 的导集，既是A 又是B 的闭包; A 、B 既非开集又非闭集. 若如同例1，将集合1R 离散化，则∈∀x A 都是A 的内点，∈∀y B 都是B 的内点，因此A 、B 在离散空间中均为开集; A 、B 均无界点; A 之外点集合为B ，B 之外点集合为A ; A 、B 均无聚点，因此Φ='A ，Φ='B ，A A '⊃，B B '⊃，故A 、B 均为闭集.设{}∞=1n n x 是()d X ,中点列，若X x ∈∃，s.t.()0,lim =∞→x x d n n (*)则称{}∞=1n n x 是收敛点列，x 是点列{}∞=1n n x 的极限.6收敛点列的极限是唯一的. 实因若设n x 既牧敛于x 又收敛y ，则因为()()()0,,,0→+≤≤n n x y d x x d y x d ()∞→n ，而有 ()y x d ,=0. 所以x =y .附注 (*)式换个表达方式：()x x d n n ,lim ∞→=()x x d n n ,lim ∞→. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离()y x d ,是x 和y 的连续函数.证明 ()y x d ,≤()0,x x d +()00,y x d +()y y d ,0 ⇒()y x d ,-()00,y x d ≤()0,x x d +()y y d ,0;()00,y x d ≤()x x d ,0+()y x d ,+()0,y y d ⇒()00,y x d -()y x d ,≤()0,x x d +()y y d ,0. 所以|()y x d ,-()00,y x d |≤()0,x x d +()y y d ,0 例3(P 205.1) 设()d X ,为一度量空间，令()ε,0x B =(){}ε<∈0,,x x d X x x ， ()ε,0x S =(){}ε≤∈0,,x x d X x x . 问()ε,0x B =()ε,0x S ?答 在n R 空间中，必有()ε,0x B =()ε,0x S . 在离散度量空间()d X ,中，当1=ε时，()ε,0x B ={}0x ，()ε,0x S =X ，此时()ε,0x B ≠()ε,0x S . 毕.设M 是度量空间()d X ,中的点集，定义. ()M δ=()y x d My x ,sup ,∈为点集M 的直径. 若()M δ=()y x d My x ,sup ,∈∞<，则称M 为()d X ,中的有7界集(等价于固定0x ，M x ∈∀，()B x x d ≤0,，B 为某正数，则为有界集).()d X ,中的收敛点列{}∞=1n n x 是有界集. 实因，设=∞→n n x lim0x ，则数列(){}0,x x d n 收敛于0,故00>∃M ，s.t.N ∈∀n 有()00,M x x d n ≤. 所以m n ,∀∈N ，有 ()≤m n x x d ,()0,x x d + ()m x x d ,002M ≤.()d X ,中的闭集可以用点列极限来定义： M 为闭集 ⇔ M 中任何收敛点列的极限都在M 中，即若∈n x M ，Λ,2,1=n ，x x n →，则∈x M .具体空间中点列收敛的具体意义：1. 欧氏空间n R m x =()()()()m n m m x x x ,,,21Λ，Λ,2,1=m ，为n R 中的点列，x =()n x x x ,,,21Λ∈n R ，()x x d m ,=()()()()()()2222211nm n m m x x x x x x -++-+-Λ. x x m →()∞→m ⇔ 对每个n i ≤≤1，有 ()i m i x x → ()∞→m .2. []b a C , 设{}⊂∞=1n n x []b a C ,，∈x []b a C ,，则()x x d n ,=()()0max →-≤≤t x t x n bt a ()∞→n ⇔ {}∞=1n n x 在[]b a ,一致收敛于()t x .3. 序列空间S 设m x =()()()()ΛΛ,,,,21m n m m ξξξ，Λ,2,1=m ，及x =()ΛΛ,,,,21n ξξξ分别是S 中的点列及点，则8()()()∑∞=→-+-=10121,k k m kkm k k m x x d ξξξξ ()∞→m ⇔ m x 依坐标收敛于x . 实因，若对每个k 有()k m kξξ→()∞→m ，则因∑∞=121k k收敛，所以N ∈∃m ，s.t. 221ε<∑∞=m k k. 因为对每个1,,2,1-=m k Λ，存在N ∈k N ，s.t.当k N n >时()k n k ξξ-2ε<. 令{}121,,,m ax -=m N N N N Λ，当N n >时，成立∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1<∑-=1121m k k 212εε+<2ε. 所以当N n >时，成立()x x d n ,=∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1+∑∞=m k k 21()()k n k k n k ξξξξ-+-1<2ε+2ε=ε.所以x x n →()∞→n反之，若x x n →()∞→n ，即()x x d n ,=∑∞=121k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-10→()∞→n .又因为N ∈∀k ，有()()kn k kn k ξξξξ-+-1k 2≤()x x d n ,，所以当∞→n 时，()()kn k kn k ξξξξ-+-1→0所以0>∀ε，N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立()()kn k kn k ξξξξ-+-1<εε+1. 所以()k n k ξξ-ε<. 所以N ∈∀k ，有()k n k ξξ→()∞→n .4. 可测函数空间()X M 设{}∞=1n n f ⊂()X M ，f ⊂()X M ，则9因()f f d n ,=()()()()⎰-+-Xn n dm t f t f t f t f 1，有 f f n → ⇔ f f n ⇒. 实因，若f f n ⇒，则0>∀σ，有[]()σ≥-f f X m n 0→ ()∞→n . 0>∀ε(不妨设()X m 2<ε)，取()220εεσ-<<X m ，则()21εσσ<+X m . 今对这样取定的ε及σ，因f f n ⇒，故N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立[]()σ≥-f f X m n 2ε<. 所以 ()f f d n ,=()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1+()()()()[]⎰<--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤[]()σ≥-f f X m n 1⋅+()21εσσ<+X m +2ε=ε. 所以()f f d n ,0→()∞→n . 所以f f n →()∞→n .反之，若f f n →()∞→n ，即()f f d n ,0→()∞→n . 对0>∀σ，由于[]()≤≥-+σσσf f X m n 1()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤()f f d n ,.所以[]()0lim =≥-∞→σf f X m n n ，即f f n ⇒.以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中. 作业 P 205. 5.作业提示 均匀收敛即一致收敛. 证明大意如同“序列空间S ”，并利用 ()()()()()()()()t ft f t f t f r r n r r n bt a -+-≤≤1max=()()()()()()()()t f t f t f t f nax r r nbt a r r n bt a -+-≤≤≤≤max 1.第3次课教学内容(或课题)： §6.2(2) 度量空间中的稠密集 可分空间目的要求： 掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念. 教学过程：Th 设B 是度量空间X 的一个子集，则集合(){}ε<∈∈=y x d B y X x x O ,,,是个开集，且B ⊂O .证明 设∀0x ∈O ，则∃0y ∈B ，s.t. ()00,y x d <ε. 所以0x ∈()ε,0y U ⊂O . ()δ,0x U x ∈∀，其中εδ<<0-()00,y x d ，则()0,y x d <(ε-()00,y x d )+()00,y x d =ε. 所以()δ,0x U ⊂()ε,0y U ⊂O .所以∀0x 是O 之内点. 所以O 是开集.又证 以B 中每一点为心作半径ε的邻域，所有这些邻域的并集就是集合O .每个邻域都是开集，任意个开集之并仍为开集，故O 为开集. 至于B ⊂O 是很显然的. 证毕.附注 当0→ε时，得到是B 之闭包未必是B . 例如B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1⊂1R . O =Y ∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,1n k n U ⊃⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k U 1,11=()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-112,11k k k k k ⊃{}0，但∉0B . P 205.6. 设B ⊂[]b a ,，证明度量空间C []b a ,中的集(){}0,=∈t f B t f 时当为C []b a ,中的闭集，而集(){}()0,><∈=a at f B t f A 时当为开集 ⇔ B 为闭集.证明 设(){}∞=1n n t f ⊂(){}0,=∈t f B t f 时当且在[]b a C ,中()()t f t f n →.则当B t ∈时，对N ∈∀n ，有()t f n =0. 令∞→n ，得Bt ∈时，()0=t f . 所以()∈t f (){}0,=∈t f B t f 时当. 所以(){}0,=∈t f B t f 时当是闭集.“⇐” 设B 为闭集，()t f 0∈A ，则 ()a t f <0(当B t ∈). 因()t f 0在B 连续，所以()t f 0≤Bt ∈max ()t f 0a <(当B t ∈). 取ε：0<ε<a -Bt ∈max ()t f 0，则对()t f ∀∈()ε,0f U ，有()()t f t f 0-≤[]b a t ,max ∈()()t f t f 0-<ε. 所以()t f <()t f 0+ε. 所以当B t ∈()t f ≤()t f 0+ε<Bt ∈max ()t f 0+(a -Bt ∈max ()t f 0)=a所以()ε,0f U ⊂A . 所以A 为开集.“⇒” 设A 为开集. 设{}∞=1n n t ⊂B ，0t t n →且0t B ∉. 取点()t f ：()t f ∈A =(){}a t f B t f <∈时，当，则()n t f <a ，令∞→n 得，()a t f ≤0.因为0t B ∉，故只有()a t f =0. 不妨设()0t f =a (()0t f =-a 时同法可证之). 因为A 为开集，所以00>∃ε，s.t.()0,εf U ⊂A =(){}a t f B t f <∈时，当.：ε∀00εε<<，因为()()()0εεε<=+t f t f d ，，所以点()t f +ε∈()0,εf U ⊂A . 因为()n n t f ∞→lim =()0t f ，所以对上述0>ε且0εε<，存在N t ∈B ，s.t.()()ε<-0t f t f N ， 所以()0t f -ε<()N t f . 所以()N t f +ε>()0t f =a .但由方框，应有()ε+N x f <a ，与()N t f +ε>()0t f =a 相互矛盾. 这就证明了B B '⊃. 故B 为闭集. 证毕.Def 1 设X 是度量空间，N 和M 是X 的两个子集，令M 表示M 的闭包，若N ⊂M ，则称集M 在集N 中稠密，当N =X 时，称M 为X 的一个稠密子集. 若X 有一个可列的稠密子集，则称X 是可分空间.例1 n 维欧氏空间n R 是可分空间. 事实上，座标为有理数的点的全体是n R 的可列稠密子集.设M 是闭区间[]b a ,全体有理数集合，N 是[]b a ,全体无理数集合. 在1R 中，因为M ⊂N ，N ⊂M ，所以N 在M 中稠，M 在N 中稠. 因为[]b a ,⊂M ，[]b a ,⊂N ，所以M 和N 都在[]b a ,中稠密. 若X =[]b a ,视为1R 的子空间，则X 是可分空间.例2 离散距离空间X 可分 ⇔ X 是可列集.实因在X 中没有稠密的真子集(因X 中任何一个真子集的闭集还是这个真子集本身)，所以X 中唯一的稠密子集只有X 本身，因此X 可分的充要条件为X 是可列集.例3 令∞l 表示有界实(或复)数列全体. 对∞l 中()Λ,,21ξξ=∀x ，y =()Λ,,21ηη，定义()y x d ,=k k kηξ-sup .显然()y x d ,≥0 且()y x d ,=0 ⇔ k k kηξ-sup =0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ-=0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ= ⇔ y x =. 其次设z ∀=()Λ,,21ςς∈∞l . 因为N ∈∀k ，都有k k ηξ-≤k k ςξ-+kk ςη-≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup . 所以k k kηξ-sup ≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup .即()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,. 所以∞l 按()y x d ,成为度量空间. 往证∞l 是不可分空间.令M 表示∞l 中坐标k ξ取值为0或1的点()Λ,,21ξξ=x 的全体，则M 与二进位小数一一对应，所以M 有连续统的基数，对M 中任意的两个不同点y x ,，有()y x d ,=1. 若∞l 可分，则∞l 中存在可列稠密子集，设为{}∞=1k k z . 对M 中每一点x ，作球⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛M x x B 31,是一族的两两不相交的球，总数有不可列个. 但由于{}∞=1k k z 在∞l 中稠密，所以每个⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B 中至少含有{}∞=1k k z 中的一点，这与{}∞=1k k z 是可列集矛盾. 证毕.作业： P 205. 3.7.8.9.作业解答： 3. 令n O =()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈∈n y x d B y X x x 1,,,,则n O 是开集且n O B ⊃. 因为n O ↓，所以n n O ∞→lim =I ∞=1n n O . 因B 是闭集，所以n n O ∞→lim =B ，即I ∞=1n n O =B .7. 取ε：0<ε<()F E d ,31. 作开集 O =(){}ε<∈a x d E a x ,, 和G =(){}ε<∈b y d F b y ,,，则O ⊃E ，G ⊃F . 又∀a ∈E ，∀b ∈F ，∀x ∈O ，∀y ∈G ，有 ()b a d ,≤()x a d ,+()y x d ,+()b y d ,. 所以()y x d ,≥()b a d ,-()x a d ,-()b y d ,≥()F E d ,-()F E d ,31-()F E d ,31=()F E d ,31>0. 所以x ≠y . 所以O 与G 必不相交. 又证不相交 若c ∈O I G ，则存在()ε,a U 和()ε,b U ，a ∈E ，b ∈F ,s.t.c ∈()ε,a U I ()ε,b U . 于是 0<()F Ed ,≤()b a d ,≤()c a d ,+()b c d ,<ε+ε<32()F E d ,. 矛盾. 所以 O I G =Φ.8. ∀x ∈[]b a ,，令()t f x =[]{}⎩⎨⎧-∈=x b a t xt ,,0,1 则集合M =()[]{}b a x t f x ,∈含有不可数个元素()t f x ，M ⊂B []b a ,，∀()t f x 、()t f y ∈M 且x ≠y 时，()y x f f d ,=1. 若[]b a B ,可分，则[]b a B ,中存在可列的稠密子集，记为(){}t f n . 对M 中每一点()t f x ，作球()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x ，则()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛M t f t f B x x 31,是一族两两不相交的球，总数有不可列个.但由于(){}t f n 在[]b a B ,中稠密，所以每个()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x 中至少含有(){}t f n 中的点，这与(){}t f n 是可列集矛盾. 故[]b a B ,不可分.9. 因为X 可分，所以存在稠密子集B ={}Λ,,21x x . 对于每个O x ∈.存在()r x U ,⊂O . 因为B 在X 中稠密，所以可在⎪⎭⎫⎝⎛4,r x U 中取出B 中一点k x . 取有理数r '：24rr r <'<，所以x ∈()r x U k ',⊂()r x U ,⊂O ，且所有()r x U k ',至多可列个，包含它的开集O 至多可选出可列个. 证毕.第4次课教学内容(或课题)： §6.3 连续映照目的要求： 掌握连续映照概念，掌握连续映照的充要条件，学会使用连续映照概念和连续映照充要条件处理与连续映照的实际问题.教学过程：Def 1 设X =()d X ,，Y =()d Y ~,是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映照：X =()d X ,T → Y =()d Y ~,. 0x ∈X ，若∀ε>0，∃δ>0，s.t.∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε，则称T 在0x 连续： 用邻域来描述T 在0x 连续：对0Tx 的每一个ε-邻域N ，必存在0x 的某个δ-邻域0N ，s.t. 0TN ⊂N (0TN 表0N 在T 作用之下的像集). 也可以用极限来定义映照的连续性，基于Th 1 设T 是度量空间()d X ,到度量空间()d Y ~,中的映照：()d X ,T→()dY ~,， 则T 在0x 连续 ⇔ 当n x →0x 时，必有n Tx →0Tx . 证明 “⇒” 设T 在0x 连续，则∀ε>0，∃δ>0，s.t. ∀x ∈X且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε. 因为n x →0x ，所以∃N ∈N ，s.t.当n >N 时，有()0,x x d n <δ. 所以()0,Tx Tx d n <ε. 所以n Tx →0Tx . “⇐” 反证法. 若T 在0x 不连续，则∃0ε>0，s.t. ∀δ>0，∃x ≠0x ，虽然()0,x x d <δ，但是()0,~Tx Tx d ≥0ε. 特别取δ=n1，则有n x ，s.t.当()0,x x d <n1时，有()0,~Tx Tx d n ≥0ε. 即n x →0x 时，有n Tx 不→0Tx . 与假设矛盾.证毕.若映照T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映照. 称集合{}M Tx X x x ∈∈,(M ⊂Y )为集合M 在映照T 下的原像.简记为M T 1-.用开集刻划连续映照，就是Th 2 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意开集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的开集.证明 “⇒” 设T 是连续映照，M ⊂Y 是Y 中开集. 若M T 1-=Φ，则M T 1-是X 中开集. 若M T 1-≠Φ，则0x ∀∈M T 1-，令0y =0Tx ，则0y ∈M . 由于M 是开集，所以存在邻域()ε,0y N ⊂M . 由T 的连续性，存在邻域()δ.0x N ，s.t. T ()δ.0x N ⊂()ε,0y N ⊂M . 从而 ()δ.0x N ⊂1-T ()ε,0y N ⊂M T 1-. 所以0x 是M T 1-的内点. 因为0x ∈M 是任意的，所以M T 1-是X 中的开集. “⇐” 设Y 中每个开集的原像是开集. 0x ∀∈X ，则()ε,01Tx N T -是X 中的开集. 又0x ∈()ε,01Tx N T -，所以0x 是()ε,01Tx N T -的内点，所以存在邻域()δ.0x N ⊂()ε,01Tx N T -. 所以T ()δ.0x N ⊂()ε,0Tx N ，所以T 在0x 连续. 又0x ∈X 是任意的，所以T 是X 上的连续映照. 证毕.利用()CM T 1-=()M T C 1-，又有Th 2' 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意闭集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的闭集.证明 “⇒” 设T 是X 上的连续映照，又设M ⊂Y ，M 是闭集，则CM 是开集. 由Th2, ()CM T 1-是开集. 但()CM T 1-=()M T C 1-，故M T 1-是X 中的闭集.“⇐” M ∀⊂Y 且M 是闭集，则CM 是开集. 由()CM T 1-=()M T C 1-，及Y 中任何闭集M 的M T 1-总是X 中的闭集，得Y中任何开集CM 的原像()CM T 1-总是开集，由Th2, T 是X 上的连续映照. 证毕.P 206.10. 设X 为距离空间，A 为X 中的子集. 令()x f =()y x d Ay ,inf ∈, x ∈X . 证明()x f 是X 上的连续函数.证明 0x ∀∈X ，n x ∀∈X ，Λ,2,1=n ，s.t.n x →0x .y ∀∈A ⊂X ，因为 ()y x d n ,≤()0,x x d n +()y x d ,0，所以()y x d n Ay ,inf ∈≤()0,x x d n +()y x d ,0， 所以 ()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n≤()y x d ,0, 所以()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n ≤()y x d Ay ,inf 0∈，所以()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈≤()0,x x d n . 同理()y x d Ay ,inf 0∈-()y x d n Ay ,inf ∈≤()n x x d ,0.所以|()()0x f x f n -|=|()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈|≤()0,x x d n →0(∞→n ).所以()x f 是X 上的连续映照(Th 1). 作业： P 206. 11. 12. 13.作业解答： 11. 先证 ()y x d F y Fx ,inf 21∈∈>0. 否则>∀ε0，x ∃∈1F ，y ∈2F ，s.t. ()y x d ,<ε. 令ε=m1，则∃m x ∈1F ，m y ∈2F ，s.t. ()m m y x d ,<m1,令∞→m ，由于()y x d ,是二元连续函数，故得()00,y x d =0(0x ∈1F 是m x 的聚点，0y ∈2F 是m y 的聚点，聚点存在). 因此0x =0y 与1F I 2F =Φ相矛盾，故()21,F F d =()y x d F y F x ,inf 21∈∈>0.取ε：0<ε<21()21,F F d ，再令1G =()Y 1,F x x U ∈ε，2G =()Y 2,F y y U ∈ε，则1G 与2G 均为开集. 下证∀()ε,x U 与∀()ε,y U 都不相交. 若不然设∃z ∈()ε,x U I ()ε,y U ，则()y x d ,≤()z x d ,+()y z d ,<ε+ε<()21,F F d . 与()y x d ,≥()21,F F d 相矛盾. 故任意二邻域不相交，从而1G I 2G =Φ.12. ∀取开集G ⊂Z . 因为g 是Y 到Z 中的连续映照, 所以G g 1-⊂Y 是开集. 因为f 是X 到Y 中的连续映照，所以()G g f11--⊂X 是开集. 即()G gf 1-⊂X 是开集. 所以 gf 是X 到Z 中的连续映照.13. 由Th 2'或由()M T C 1-=()CM T 1-和Th2推得.附注区间(]c，c均为闭集.+-及[)∞∞，。
第1章 距离空间和赋范空间(1)kj
在 [a, b] 上一致收敛于函数 x(t ).
d ( xn , x) = max xn (t ) - x(t ) .
a£t £b
因 此 d ( xn , x) 0 当 且 仅 当 max xn (t ) - x(t ) 0. 这 相 当 于 {x n (t )} 在
a£t £b
[a, b] 上一致收敛于函数 x(t ). ■
x(t ), 则当 n ¥ 时 0 £ mE ( f n ³ ) £ mE ( xn - x ³ ) 0.
故 { f n } 依测度收敛于 0. 注意到 0 £ f n (t ) £ 1, 利用有界收敛定理得到
n¥
lim d ( xn , x) = lim ò f n dt = 0.
对任意 x, y, z Î s, 利用(2)式得到
¥ ¥ | xi - zi | | zi - yi | 1 | xi - yi | 1 £ + ) å i i ( 2 1 + | xi - yi | 1 + | xi - zi | 1 + | zi - yi | i =1 2
(2)
d ( x, y ) = å
d 1 ( x, y ) = å xi - yi ,
i =1
n
d 2 ( x, y ) max xi y i .
1i n
容易验证 d 1 和 d 2 也是 K n 上的距离. 注意 (K n , d ), (K n , d 1 ) 和 (K n , d 2 ) 这 三个空间上的距离是不同的, 因此它们是不同的距离空间. 由(1)式定义 的距离称为 K n 上的欧氏距离. 今后若无特别申明, 将 K n 视为距离空间 时, 其距离总是指的是欧氏距离. 设 E 是 K n 的非空子集, 则 K n 上的距离也是 E 上的距离, 因此 E 按 照 这 个 距 离 成 为 距 离 空 间 . 称 之 为 Kn 的 子 空 间 . 例 如 , 区 间
第5讲(2)线性赋范空间
范数定义为：
x
容易验证
α
∞
= max x(t )
a ≤t ≤b
满足范数三公理.
( x + y )(t ) = x(t ) + y (t )
导出距离如下：
d ( x, y ) = x − y
∞
(α x)(t ) = α x(t )
5—2 赋范空间
泛函分析研究的对象之一是数学、物理和 工程中提炼出来的大量线性或非线性问题，为 了有效地研究这些问题，仅有距离空间的概念 是不够的，本章将介绍具有代数结构的一类空 间——Banach空间，它们比距离空间具有更丰 富的特性.
1
本章首先介绍线性空间的概念和性质，在 此基础上引进赋范线性空间的概念并讨论其 性质. 特别地，完备的赋范线性空间称为 Banach空间. 最后考察有限维赋范线性空间的 特性.
k ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ p P ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
定义3.4 设X是F上的线性空间, M ⊂ X, 若 ∀x, y ∈ M , α , β ∈ F,都有 α x + β y ∈ M ,则 称 M是X的线性子空间. 定义3.5 设X是F上的线性空 间， ∀x1 , x2 ,K , xn ∈ X , ∀α1 ,K , α n ∈ F ，称
数乘： α x = (α x1 ,K , α xn ), α ∈ F . 可知此时 R 是线性空间. 范数定义为：∀x ∈ R n ,
x 2 = (∑ xk ) 2
2 k =1 n 1
间.
讫
n
易知满足范数三公理.
21
22
例3.20
(1)空间 l p (1 ≤ p < +∞) 是Banach空间.
范数空间与赋范空间的定义与性质
范数空间与赋范空间的定义与性质范数空间与赋范空间是数学中重要的概念，它们在函数空间、向量空间等领域有着广泛的应用。
本文将介绍范数空间与赋范空间的定义与性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、范数空间的定义与性质范数空间是指一个向量空间配以范数的空间。
范数是一种度量向量大小的函数，它满足以下性质：1. 非负性：对于任意向量x，范数 ||x|| 非负，且当且仅当 x = 0 时，范数为0。
2. 齐次性：对于任意向量x和标量α，范数||αx|| = |α| ||x||。
3. 三角不等式：对于任意向量x和y，范数||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||。
范数空间的一个重要性质是完备性。
如果范数空间中的任意柯西序列都收敛于该空间中的某个向量，那么该范数空间就是完备的。
完备性在实际问题中有着重要的意义，它保证了柯西序列的极限在该空间中存在。
二、赋范空间的定义与性质赋范空间是指一个向量空间配以赋范的空间。
赋范是一种给向量赋予长度的函数，它满足以下性质：1. 非负性：对于任意向量x，赋范 ||x|| 非负，且当且仅当 x = 0 时，赋范为0。
2. 齐次性：对于任意向量x和标量α，赋范||αx|| = |α| ||x||。
3. 三角不等式：对于任意向量x和y，赋范||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||。
与范数空间相比，赋范空间没有完备性的要求。
也就是说，赋范空间中的柯西序列未必收敛于该空间中的某个向量。
因此，在赋范空间中，柯西序列的极限可能不存在。
三、范数空间与赋范空间的应用范数空间与赋范空间在数学和工程领域中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1. 函数空间：函数空间是由满足一定条件的函数组成的空间。
范数空间和赋范空间在函数空间中有着重要的应用，例如Lp空间和连续函数空间。
2. 向量空间：向量空间是由向量组成的空间。
范数空间和赋范空间在向量空间中有着广泛的应用，例如欧氏空间和希尔伯特空间。
3. 线性代数：范数空间和赋范空间在线性代数中有着重要的应用，例如矩阵范数和向量范数。