2013年-2017年全国1卷理数导数压轴大题及答案

2013年：

已知函数b ax x x f ++=2)(，)()(d cx e x g x +=若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y .

（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；

（Ⅱ）若x ≥－2时，)()(x kg x f ≤，求k 的取值范围.

2014年：

设函数1

(0ln x x

be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.

2015年：

已知函数31(),()ln 4

f x x ax

g x x =++=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；

（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()

(0)h x f x g x x =>,讨论

h （x ）零点的个数

2016年：

已知函数2)1(2)(-+-=x a e x x f x ）（有两个零点.

(I)求a 的取值范围；

(II)设x 1，x 2是的两个零点，证明：

x 1+x 2

<2. 2017年：

已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--

（1）讨论的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 答案

2013年：

2014年：

解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x

--'=+-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '==

()f

x

故1,2a b == （Ⅱ）由（Ⅰ）知，12()ln x x f x e x e x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e

->- 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+， 所以当1(0,)x e ∈时，()0g x '<；当1

(,)x e

∈+∞时，()0g x '>

故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e

+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为 11()g e e

=- 设函数2()x h x xe e -=-，则()(1)x h x e x -'=- 所以，当(0,1)x ∈时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)h e

=-

综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x > 2015年：

解：

（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则00()0,()0f x f x '==，即

30020

10,430.x ax x a ?++=???+=? 解得013,24

x a =

=- 因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线 （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， 故()h x 在(1,)+∞无零点

当1x =时，若54a ≥-，则5(1)0,(1)min{(1),(1)}(1)04

f a h f

g g =+≥===,故1x =是()

h x 的零点；若54

a <-，则(1)0,(1)min{(1),(1)}(1)0f h f g f =<==<，故1x =不是()h x 的零点。

当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->。所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数。

（ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0，1）无零点，故()f x 在（0，1）单调，而15(0),(1)44

f f a ==+，所以，当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当0a ≥时，()f x 在（0，1）没有零点。

（ⅱ）若30a -<<，则()f x

在

单调递减，在单调递增，故在（0，1）

中，当x =()f x

取得最小值，最小值为14

f =。

①0f >，即304

a -<<，()f x 在（0，1）无零点；

②0f =，即34

a =-，则()f x 在（0，1）有唯一零点；

③0f <，即334a

-<<-，由于15(0),(1)44f f a ==+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0，1）有两个零点；当534

a -<≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54

a =-时，()h x 有两个零点；当5344

a -<<-时，()h x 有三个零点

2016年：

解：（Ⅰ）． （i ）设，则，只有一个零点．

（ii ）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．

又，，取满足且，则 '()(1)2(1)(1)(2)x x

f x x e a x x e a =-+-=-+0a =()(2)x f x x e =-()f x 0a >(,1)x ∈-∞'()0f x <(1,)x ∈+∞'()0f x >()f x (,1)-∞(1,)+∞(1)f e =-(2)f a =b 0b

a b <

， 故存在两个零点．

（iii ）设，由得或．

若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．

综上，的取值范围为．

（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在上单调递减，所以等价于，即．

由于，而，所以 ．

设，则．

所以当时，，而，故当时，．

从而，故．

2017年：

解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+ （i ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减

（ii ）若0a >，则由()0f x '=的ln x a =-

223()(2)(1)()022

a f

b b a b a b b >-+-=->()f x 0a <'()0f x =1x =ln(2)x a =-2

e a ≥-ln(2)1a -≤(1,)x ∈+∞'()0

f x >()f x (1,)+∞1x ≤()0f x <()f x 2

e a <-ln(2)1a ->(1,ln(2))x a ∈-'()0

f x <(ln(2),)x a ∈-+∞'()0f x >()f x (1,ln(2))a -(ln(2),)a -+∞1x ≤()0f x <()f x a (0,)+∞12x x <12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞22(,1)x -∈-∞()f x (,1)-∞122x x +<12()(2)f x f x >-2(2)0f x -<222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=222222(2)(2)x x f x x e x e --=---2()(2)x x

g x xe x e -=---2'()(1)()x x g x x e e -=--1x >'()0g x <(1)0g =1x >()0g x <22()(2)0g x f x =-<122x x +<

当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；

当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>

所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增。

（2）（i ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点

（ii ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为

1(ln )1ln f a a a

-=-+ ① 当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；

② 当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a -

+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点；

③ 当(0,1)a ∈时，11ln 0a a

-+<，即(ln )0f a -<又 又422(2)(2)2220f ae a e e ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点。

设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，

则00000000()(2)20n n n n f n e ae a n e n n =+-->->-> 由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点

综上，a 的取值范围为(0,1)