10个典型例题掌握初中数学最值问题(最新整理)

10 个典型例题掌握初中数学最值问题

解决几何最值问题的通常思路

两点之间线段最短；

直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）

是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手

轴

对

称

最

值

图形

A

P

B

l

A

M N

B

l

A

P

B

l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系

特征

A，B 为定点，l 为定直

线，P 为直线l 上的一

个动点，求AP+BP 的

最小值

A，B 为定点，l 为定直线，

MN 为直线l 上的一条动线

段，求AM+BN 的最小值

A，B 为定点，l 为定直线，

P 为直线l 上的一个动点

，求|AP-BP|的最大值转化

作其中一个定点关于定

直线l 的对称点

先平移AM 或BN 使M，N

重合，然后作其中一个定

点关于定直线l 的对称点

作其中一个定点关于定

直线l 的对称点

折

叠

最

值

图形M

B

A

B'

N C

原理两点之间线段最短

特征

在△ABC 中，M，N两点分别是边AB，BC 上的动点，将△BMN 沿MN 翻折，B

点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．

转化转化成求AB'+B'N+NC 的最小值

1.如图：点P 是∠AOB 内一定点，点M、N 分别在边OA、OB 上运动，若∠AOB=45°，OP=

3

的周长的最小值为．

，则△PMN

【分析】作P 关于OA，OB 的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N 是CD 与OA，OB 的交点时，△PMN

的周长最短，最短的值是CD 的长．根据对称的性质可以证得：△COD 是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P 关于OA，OB 的对称点C，D．连接O C，O D．则当M，N是CD 与OA，OB 的交点时，△PMN

的周长最短，最短的值是CD 的长．

∵PC 关于OA 对称，

∴∠COP=2∠AOP，OC=OP

2

同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD

2 ⎩

∴∠COD =∠COP +∠DOP =2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°，OC =OD ． ∴△COD 是等腰直角三角形． 则 CD = 2 OC = 2 ×

3 =6．

【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN 周长最小的条件是解题的关键．

2. 如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a =

．

【分析】因为 AB ，PN 的长度都是固定的，所以求出 PA +NB 的长度就行了．问题就是 PA +NB 什么时候最短．

把 B 点向左平移 2 个单位到 B ′点；作 B ′关于 x 轴的对称点 B ″，连接 AB ″，交 x 轴于 P ，从而确定 N 点位置， 此时 PA +NB 最短．

设直线 AB ″的解析式为 y =kx +b ，待定系数法求直线解析式．即可求得 a 的值． 【解答】解：将 N 点向左平移 2 单位与 P 重合，点 B 向左平移 2 单位到 B ′（2，﹣1），作 B ′关于 x 轴的对称点 B ″，根据作法知点 B ″（2，1）， 设直线 AB ″的解析式为 y =kx +b ，

⎧1 = 2k + b 则⎨-3 = k + b ，解得 k =4，b =﹣7．

∴y =4x ﹣7．当 y =0 时，x = 7 ，即 P （ 7

，0），a = 7

．

4

4 4

7

故答案填： ．

4

【题后思考】考查关于 X 轴的对称点，两点之间线段最短等知识．

3.如图，A、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM=4，点B 到直线的距离BN=1，且MN=4，P 为直线上的动点，|PA﹣PB|的最大值为．

【分析】作点B 于直线l 的对称点B′，则PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，则当A，B′、P 在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得PA、PB′的值，进而求得|PA﹣PB|的最大值．

【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B′，连AB′并延长交直线l 于P．

∴B′N=BN=1，

过D 点作B′D⊥AM，

利用勾股定理求出AB′=5

∴|PA﹣PB|的最大值=5．

【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4.动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A′处，

折痕为PQ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P、Q 也随之移动．若限定点P、Q 分别在AB、AD 边上移动，则点A′在BC 边上可移动的最大距离为．

【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA′取最大值3 和当点Q 与D 重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC 边上移动的最大距离为2．

【解答】解：当点P 与B 重合时，BA′取最大值是3，

当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为

1．则点A′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2．

故答案为：2

【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．

5.如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F 分别在线段AB、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于．