(word完整版)高考数学_函数中存在性和任意性问题分类解析

函数中存在性问题分类解析

.1.，，使得，等价于函数

在

上的值域

与

函数

在

上的值域

的交集不空，即

一两个函数之间有如下恒成立或存在性命题及其等价命题：

1对于[][]n m x b a x ,,,21∈?∈?,使得函数f(x),g(x)满足f(x 1)

3对于[][]n m x b a x ,,,21∈?∈?，使得函数f(x),g(x)满足f(x 1)

4对于[][]n m x b a x ,,,21∈?∈?，使得函数f(x),g(x)满足f(x 1)

例1 设a (00，则t 的取值范围是________．

【解析】因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图．

解 ①依题意实数的取值范围就是函数的值域.设

②依题意实数的取值范围就是使得函数的值域是函数的值域

3、设()x ln 2x q px x f --

=，且()2e

qe e f --=（e 为自然对数的底数） (I) 求 p 与 q 的关系；

(II)设()x

2x g =，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得()()00x g x f >成立, 求实数 p 的取

值范围.

3、解：(I) 由题意得 ()()12ln 20q p f e pe e qe p q e e e e ?

≠，所以p q = (II) ∵ g(x) = 2e

x 在 [1,e] 上是减函数

∴ x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e 即 g(x) ∈ [2,2e] ………… 10分

① p ≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 ? f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。

② 0 < p < 1 时，由x ∈ [1,e] ? x －1

x ≥0

∴ f (x) = p (x －1x )－2ln x ≤x －1

x －2ln x

右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增

∴ f (x)≤x －1x －2ln x ≤e －1e －2ln e = e －1

e －2 < 2，不合题意。 ③ p ≥1 时，由 (II) 知

f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数

∴ 本命题 ? f (x)max > g(x)min = 2，x ∈ [1,e]

? f (x)max = f (e) = p (e －1

e )－2ln e > 2

? p > 4e e 2－1 综上，p 的取值范围是 (4e

e 2－1 ,+∞)

4 (1)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x ＋log 2x ，h (x )＝x 3＋x 的零点存在依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为________．

(2)设定义在R 上的函数f (x )＝?????

1|x －3|，x ≠3，

1，x ＝3，

若存在关于x 的方程f 2(x )＋af (x )＋b

＝0有5个不同实数解，则实数a 的取值范围是________．

【解析】 (1)令f (x )＝0，g (x )＝0，h (x )＝0得：2x ＝－x ，log 2x ＝－x ，x 3＝－x ，分别作出y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝x 3，y ＝－x 的图象如下：

可知a <0，b >0，c ＝(2)设t ＝f (x )，则原方程即化为t 2＋at ＋b ＝0，由t ＝f (x )图象如下：

可得：当t ＝1时，x 又t 1＋t 2＝－a ，所以当t 1＝1，t 2∈(0,1)∪(1，＋∞)时，原方程有5个解，即a ∈(－∞，－2)∪(－2，－1)．

5 设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．

【解析】原命题等价为f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10＝0有整根，

即方程m ＝2x ＋10

10－x ＋1

有整数解．因为m ∈N ，所以2x ＋10≥0，且10－x ≥0，

所以x ∈[－5,10]，且x ∈Z ，又10－x ∈Z ，

当x ＝－5时，m ＝0；当x ＝1时，m ＝3；当x ＝6时，m ＝

(舍去)；当x ＝9时，m ＝14；当x ＝10时，m ＝30. 6.已知是否存在实数a ，b ，c ，使 f (x )同时满足下列三个条件：

①定义域为R 上的奇函数； ②在[1，+∞)上是增函数； ③最大值为1.

若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由

分析：先“脱”去对数符号“log ”，利用①中的奇函数的条件求出a ，b ，c 所满足的一些条件或值，然后利用条件②进一步确定出待求系数所应满足的条件，最后利用条件③求出满足条件的值或说明其不存在

解析：假设满足条件的a ，b ，c 存在，则 f (x ) 是定义域R 上的奇函数，于是 f (0)=0，

从而f (0)=log3b =0，于是b =1. 又因为f (-x )=-f (x )，

()2

log 1

x ax b f x x cx ++=++

故从

而又因为f (-x )=-f (x )，

于是(x 2+1)2-a 2x 2=(x 2+1)2-c 2x 2

所以a 2=c 2，即a =c 或a =-c .

当a =c 时，f (x )=0，不合题意，故舍去从而a =-c 于是

在[1，+∞)上

是增函数．令

因为在[1，+∞)与(-∞，-1]上是增函数，且当x ＞1时，＞0，当x ＜-1时，＜

0，故仅当c ＞0时，f(x)与g(x)的单调性相同，从而当x =-1时，在(-∞，-1]取得最大值

-2，此时由f(x)的最大值为1知，g(x)的最大值为3，

于是 1-2c/c-2=3 解得c =1，从而a =-1，b =1，满足题设条件的a ，b ，c 存在，且它们的值分别为-1,1,1.

（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 满足：对于任意[)1,x ∈-+∞，都有()0f x ≤？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

7、解：（1）由40x

a -≥得4x

a ≤，当01a <<时，log 4a x ≥；当1a >时，log 4a x ≤，故当01a <<时，函数()f x 的定义域是[)log 4,a +∞；当1a >时，函数()f x 的定义域是

(],log 4a -∞。

令t =，则02t ≤<，()()()2

42114f x g t t t t ==---=-++，当02t ≤<时，

()g t 是减函数，故有()()()20g f x g <≤，即()53f x -<≤，所以函数()f x 的值域为

(]5,3-。

（2）若存在实数a ，使得对于任意[)1,x ∈-+∞，都有()0f x ≤，则[)1,-+∞是定义域的子集，由（1）得1a >不满足条件；因而只能有01a <<，且log 41a ≤-，即

a ≤<，()232

log 1x cx f x x cx -+=++， 223322

11log log 11

x ax x ax x cx x cx -+++=--+++222211

x ax x cx x cx x ax -+++=

=-=-++++++1x x +1x x +1

x x +1x x

令t =，由（1）知()()()2

14f x g t t ==-++，由()0f x ≤得3t ≤-（舍去），

或1t ≥1≥，解得3x

a ≤，由是，只须对任意[)1,x ∈-+∞，3x

a ≤恒成立，

而对任意[)1,x ∈-+∞，由01a <<得1

，使得对于任意[)1,x ∈-+∞，都有()0f x ≤。

二次函数-平行四边形存在性问题

专题：二次函数中的平行四边形存在性问题类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 1．已知，如图抛物线2 3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22 1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标；（2）求过A、B、C 三点的圆的半径；（3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。 1．如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

一次函数之全等三角形存在性

一次函数之全等三角形存在性（北师版）11.26 1.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，若x轴的负半轴、y轴的负半轴上分别存在点E，F，使得△EOF与△AOB全等，则直线EF的表达式为( ) ? A. B. ? C. D. 1 2 2.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若使△BCD与△AOB全等，则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D.

3.(本小题16分)如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P(x，y)是直线y=-2x+4上的一个动点，过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为( ). A. B. ? C. D. 4.(本小题16分)如图，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线y=x+2上不与A，B重合的动点．过点C的另一直线CD与x轴相交于点D，若使△ACD与△AOB全等，则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D. 4 5 5.(本小题18分)如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A，B两点，已知A(2，0)，B(0，4)，线段CD的两端点在坐标轴上滑动（点C在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB．若满足点C在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等，则满足题意的点D有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6.(本小题18分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)， P(x，y)是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．当△OPC的面积为时，点P的坐标为( ) ? A. B. C. D. 一次函数之等腰三角形存在性（北师版） 11.25 1.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是x轴上的动点，若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是( ) A. B. C. D.

(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2，，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

一次函数之存在性问题

一次函数之存在性问题 1. 如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且，直线CD⊥AB于点P，交x轴于点D．（1）求点P的坐标；（2）坐标系内是否存在点M，使以点B，P，D，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=，点C的坐标为（-9，0）．（1）求点B的坐标．（2）如图，直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且．（1）求B点的坐标和k的值．（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-4上的一个动点,则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，OA=6，OB=12，点C是直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=．（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；（2）求直线AD的解析式；（3）P是直线AD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使以 O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

5. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（-3,0），P（x，y）是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．（1）在P点运动过程中，试写出△OPC的面积S与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置时，△OPC的面积为，求出此时点P的坐标；（3）过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一次函数之存在性问题

函数周期性分类解析以及习题练习

二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2 x C O y A B D 1 1 二次函数的存在性问题(面积问题) 1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

一次函数地存在性问题(共13题)

一次函数之存在性问题知识点睛函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理．几何图形一次函数坐标 1. 如图，直线2y x = +与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12 OA AC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ．（1）求点P 的坐标；（2）坐标系是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且4 3 OC OB =．（1）求B 点的坐标和k 的值．（2）若点A （x ，y ）是第一象限的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，OA=6，OB=12，点C是直线y=2x 与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD = （1）求直线AB的解析式及点C的坐标；（2）求直线AD的解析式；（3）P是直线AD上的一个动点，在平面是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4. 如图，直线1 22 y x = +与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为（-3,0），P （x ，y ）是直线1 22 y x = +上的一个动点（点P 不与点A 重合）．（1）在P 点运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 的函数关系式；（2）当P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27 8 ，求出此时点P 的坐标；（3）过P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，在直角坐标系中，一次函数y = 23 x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． x x

函数对称性周期性全解析

函数对称性与周期性研究学习报告新高2011级35班数学一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数 )(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =- 也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。若写成： )()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得证。若写成： c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称（3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于 b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、周期性：（1）函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、)()(x f T x f -=+ B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+= +或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1)(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形

中考数学二次函数存在性问题及参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 . 所得抛物线与轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段 AC 上是否存在点 M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.
2.如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点 O，顶点为 C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线与双曲线相交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且 tan∠AOX＝4．过点 A 作直线 AC∥ 轴，交抛物线于另一点 C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上，其中 A（－2,0），B（－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3 分）（2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐
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(完整版)一次函数与等腰三角形的存在性问题

一次函数与等腰三角形的存在性问题一．选择题（共3小题） 1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（） A．2个B．3个C．4个D．6个 2．（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2016?江宁区一模）已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C 有（） A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共4小题） 4．（2015?杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0），设点C是函数y=﹣（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是． 5．（2009秋?南昌校级期末）在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D 的坐标应为． 6．（2009秋?扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为． 7．（2010春?江岸区期中）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为．三．解答题（共14小题） 8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

函数的周期性练习题兼答案(供参考)

函数周期性分类解析一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。二．重要结论 1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数 4、 y=f(x)满足f(x+a)=() x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1- (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 6、1()()1() f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1() f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= )(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。 10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数； 11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数； 12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。 14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)

二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积；（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线的顶点及对称轴；（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．

2017年数学中考专题《存在性问题》

2017年数学中考专题《存在性问题》题型概述【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验. 【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析. (1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法. (2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断;若导出矛盾，就做出不存在的判断. 真题精讲类型一代数方面的存在性问题典例1 (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2 y x bx c =++过,,A B C 三点，点A 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上. (1)b = ，c = ，点B 的坐标为 ;(直接填写结果) (2)是否存在点P ，使得ACP ?是以AC 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，说明理由; (3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标. 【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力. 【全解】(1)－2 －3 (－1,0) (2)存在. 第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作1CP AC ⊥,交抛物线于点1P .过点1P 作y 轴的垂线，垂足是M .如图(1)， ,90OA OC AOC =∠=?Q ， 45OCA OAC ∴∠=∠=?. 190ACP ∠=?Q , 11 904545MCP CPM ∴∠=?-?=?=∠. 1MC MP ∴=.

(完整版)专题函数的周期性

专题函数的周期性一知识点精讲 1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集 2性质 ①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期； 3?几种特殊的具有周期性的抽象函数: 函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数) (1) f x f:X a，则y f x的周期T a . (2) f x a f x，贝U f x的周期T2a . (3) f x a的周期T2a . ，贝U T x f x (4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a . (5) f(x a)1 f (x)，则f x 1 f(x)的周期 T2a . (6) f(x a) 1 f(x)，则f 1 f (x) x的周期T4a数. (7) f(x a) 1 f (x)，则f x 1 f(x) 的周期T4a . (8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为 T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a . (9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是以2 b a为周期的周期函数. (10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数 f (x)是2 b a为周期的周期函数. (11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数 f (x)是以4 b a为周期的周期函数. (12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a. 二典例解析 1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( ) A.0.5 B. —0.5 C.1.5 D. —1.5 2. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( ) ②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为 2 2

二次函数的存在性问题(面积问题)

二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点．（1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长；（2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长；（2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，），折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动，

一次函数存在性问题

一次函数动点问题 1 如图，已知直线1l 的解析式为63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动．点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101<

3 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)．P是直线AB 上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a． (1)当b＝3时， ①求直线AB的解析式； ②若点P'的坐标是(-1，m)，求m的值； (2)若点P在第一象限，记直线AB与P'C的交点为D．当P'D：DC=1：3时，求a的值； (3)是否同时存在a，b，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．

-几何图形在二次函数中的存在性问题探解

---几何图形在二次函数中的存在性问题探解二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴. 一、.三角形的存在性 1.1 等腰三角形的存在性例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=2x +bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）．分析：第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标；第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类；第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可. 解：（1）因为直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，所以B （3，0），C （0，3），所以{c =39a+3b+c =0，解得{c =3b =4-，所以抛物线解析式为y=2x ﹣4x+3；（2）因为y=2x ﹣4x+3=2(x 2)-﹣1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P （2，﹣1），设M （2，t ），因为△CPM 为等腰三角形，如图2所示， ①当MC=PC 时，过C 作CQ ⊥对称轴,垂足为Q ，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M 到x 轴的距离8-1=7，所以1M 的坐标(2,7)； ②当MP=MC 时，作PC 的垂直平分线交对称轴于点M ，所以222(t+1)2+(t-3)=，解得t=32,所以2M 的坐标(2, 32 )；

(完整版)一次函数与特殊四边形存在性问题(培优拓展)

一次函数与特殊四边形的存在性问题（培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点．（1）试说明CE平分∠BED；（2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动．（1）当OA=时，求点C的坐标．（2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积．（3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

高中数学破题致胜微方法(求函数解析式)：12.利用周期性求函数解析式 Word版含解析

利用周期性求函数解析式周期性是函数的一种性质，当我们通过题目的已知条件，能够判断函数是周期函数时，再相关性质，求函数的解析式，就能简单一些了。今天我们就根据实际例子，看看如何利用周期性，求函数的解析式。先看例题例：设f (x )是定义在区间(,)-∞+∞上，且以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(21,21)k k -+，已知当0x I ∈时，2 ()f x x =，求f (x )在k I 上的解析式解：由已知，当k =0时，0(1,1)I =- 我们利用区间转移的方法，如果k x I ∈ 即0(21,21)2x k k x k I ∈-+?-∈ 121x k ?-<-< 则有：2 (2)(2)f x k x k -=- 又因为该函数以2为周期，所以有(2)(),f x k f x -= 所以函数在k I 上的解析式为：2()(2)f x x k =- 一般规律：区间转移：将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间。进而求出，该区间上的函数解析式再看一个例题加深印象练：设f (x )是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线x =1对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝

当[]2,4x ∈时，求f (x )的解析式首先通过题目条件，证明函数为周期函数因为函数关于x =1对称，且函数为奇函数所以有()(2)()f x f x f x ＋＝－＝－又因为(2)()f x f x +=- 所以：()()(4)(2)[]f x f x f x f x ＋＝－＋＝－－＝所以函数为周期函数，且周期T =4 因为函数在[]2,0x ∈-上的解析式已知，所以由[]2,4,4[2,0],x x ∈-∈- 可得：()22(4)2(4)(4)68.f x f x x x x x ----＝＝＋＝＋总结： 1.根据题目条件，判断、证明函数为周期函数. 2.将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间. 3.根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式练习： 1.设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值. 2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在0，1］上是一次函数，在1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5. (1)证明:f (1)+f (4)=0; (2)试求y =f (x ),x ∈1,4］的解析式； (3)试求y =f (x )在4，9］上的解析式. 答案：