离散系统的复频域分析

离散系统的复频域分析专题研讨

【目的】

(1) 了解系统函数的零、极点分布与系统特性的关系； (2) 培养学生分析与解决实际问题的能力。 【知识点】

离散时间线性时不变系统的系统函数与系统特性、系统响应分析

【研讨内容】

我国市电是电压为220V 、频率为50Hz 的交流电，电气设备经常受到市电以耦合的方式干扰。在不影响有用信号的情况下，如何去除信号中混入的工频信号(50Hz)干扰？

情况1：信号x 1 (t )=s 1(t )+n (t )中有用信号频率为f 1=20Hz 的正弦信号s 1(t )=sin(2πf 1t )，混入频率为50Hz 的工频信号n (t )=0.2sin(100πt )。现经过采样率f s =500Hz 模数转换器(ADC)通过设计系统H (z )的零极点的方法，滤除50Hz 工频干扰信号n (t )。

情况2：如果x 2(t )=s 1(t )+s 2(t )+n (t )，其中f 2=100Hz 的正弦信号s 2(t )=sin(2πf 2t )，又如何设计零极点滤除工频干扰？

1. (*)信号x (t )经过模数转换(A/D)后变成离散信号x [k ]，x [k ]的表达式是什么？编写matlab

程序产生信号x 1[k ]和x 2[k ]。

[](

)k x k x Fs

= ()Fs 为抽样频率

1[]sin(2*20*)0.2sin(2*50*)

x k k k ππ=+2[]sin(2*20*)sin(2*100*)0.2sin(2*50*)x k k k k πππ=++

产生信号源程序

f1=20;f2=100;Fs=500;k=0:1:Fs; s1=sin(2*pi*f1*k/Fs); s2=sin(2*pi*f2*k/Fs); n=0.2*sin(100*pi*k/Fs); x1=s1+n; x2=s1+s2+n; X1=fft(x1); X2=fft(x2);

subplot(2,2,1); stem(k,x1); title('x1ʱÓòͼ') subplot(2,2,3);

plot(-250:250,fftshift(abs(X1))) title('x1ƵÓòͼ')

subplot(2,2,2); stem(k,x2); title('x2ʱÓòͼ') subplot(2,2,4);

plot(-250:250,fftshift(abs(X2))) title('x2ƵÓòͼ')

2. (*)离散LTI 系统的零极点与系统函数的关系是什么？

11

()

()()

m

j

j n

i

i z z H z K

z p ==-=-∏∏ 其中z j 为零点，p i 为极点

其中||j

j

j j j j j z z z z e

N e

ψψ-=-=

||i i j j i i i z p z p e D e θθ-=-=

()

()j i j j

i

N H z K

e D

ψθ+∑∑=∏∏

|()|j

i

N H z K

D

=∏∏

由上式可见，当z 接近于零点z j 时，N j 趋向于0，系统函数幅值趋向于0。 当z 接近于极点p i 时，D j 趋向于0，系统函数幅值趋向于无穷大。

3. (**)如何取零(或极点)保证H (z )的系数都是实数，一对零极点如何配置才能保证其幅度

响应近似为1？如果希望系统函数幅度响应在某处很小，如何设计极点？

（1） 当所取的零（极）点为成对的共轭点时，系统中的系数都为实数。

1

*1*122122

(1)(1)1()|p |1Re()|p |i i i i

i i i p z p z p p z z p z z

--------=-++=-+i N

（2） 将这对零极点尽可能的靠近，当其接近于重合时，幅度响应将近似为1

由于j D ，i N 及j i z p

构成了一个三角形，当j i z p 长度趋于0时，由余弦定理 j D =i N 。

（3） 将极点放置于与该处数字角频率相同的，接近于单位圆的位置上。

(***)通过什么样的系统能滤除情况1的工频干扰？通过什么样的系统才能滤除情况2的工频干扰？编写Matlab 程序，实现这样的滤波系统。

(1) 由于有用信号的频率低于工频干扰，可以使用低通滤波器。

通过设计零点为-1，极点为0.9.来实现低通滤波器

f1=20;f2=100;Fs=500;k=0:1:Fs; s1=sin(2*pi*f1*k/Fs); s2=sin(2*pi*f2*k/Fs); n=0.2*sin(100*pi*k/Fs); x1=s1+n; x2=s1+s2+n;

zero=[-1]; pole=[0.9];

sys=zpk(zero,pole,1); s=tf(sys);

A=s.den{1};B=s.num{1};

y=filter(B,A,x1);

Y=fft(y);

subplot(2,1,1); stem(k,y);

title('Â˲¨ºóʱÓòͼ') subplot(2,1,2);

plot(-250:250,fftshift(abs(Y))); title('Â˲¨ºóƵÓòͼ')

滤波结果如下：

（2）由于x2的工频干扰处于有用信号之间，所以要使用带阻滤波器。

此时设计陷波器能够使有用信号得到最多的保留

由公式s

f ω

Ω=

计算得50Hz 工频干扰的数字角频率5

π

Ω=

，则取极点5

0.99j

e

π

和

5

0.99j

e π

-，零点5

j

e

π和5

j

e

π

-得到50Hz 陷波器。