三角函数模型的简单应用练习.doc
C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度
(x)=Asin(ωx+φ)，
的图象关于直线
x=
对称，它的周期是π，则
(
)
(x)的图象过点
(x)在
上是减函数
(x)的一个对称中心是
(x)的最大值是
A
二、填空题
=sin
相邻两条对称轴距离为
，则ω为
________.
)的图象(部分)如图所示，则
f(x)的解析式是()
(x)=2sin(x∈R)(x)=2sin(x∈R)
(x)=2sin(x∈R)(x)=2sin(x∈R)
4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|< )的图象如图所示，为了得到g(x)=sinωx的图象，可以将
f(x)的图象()
OB，旋转过
程中OC交☉M于点P，记∠PMO为x，弓形ONP的面积S=f(x)，那么f(x)的大致图象是(
)
二、填空题
3.海水受日月的引力作用，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况
下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是港口在某季节每天的时间与
t=1
表示
2月1日).
《三角函数模型的简单应用》巩固练习
一、选择题
1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针
尖位置P(x，y)，若初始位置为
P0
，当秒针从P0(注：此时t=0)正常开始走时，那么点
P的纵坐标y
与时间t的函数关系为()
=sin
=sin
=sin
=sin
2.如图，半径为1的圆M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到
(1)该城市哪一天白昼时间最长哪一天白昼时间最短
(2)估计该城市一年中有多少天的白昼时间超过小时
6.某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月
递增，下表是今年前四个月的统计情况：
月份1月2月3月4月
收购价格(元/斤)6765
养殖成本(元/斤)345
现打算从以下两个函数模型：①y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，-π<φ<π)，
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)》练习
一、选择题
1.
函数f(x)=2sin
的周期、振幅、初相分别是
(
)
A.，2，
π，-2，-
π，2，
π，2，
2.
若函数f(x)=2sin
，则它的图象的一个对称中心为
()
A.
B.
C.(0，0)
D.
3.
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<
8.
国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：
P=Asin
+60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现采集到
下列信息：最高油价
80美元，当t=150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为
__________.
三、解答题
9.
某实验室一天的温度
(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)=10-cos t-sin
________小时.
4.一种波的波形为函数y=-sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t
的最小值是________.
三、解答题
5.某城市白昼时间的小时数D(t)的表达式为D(t)=3sin+12，其中t表示某天的序号，0≤t≤364，
t∈N，t=0表示1月1日，t=1表示1月2日，以此类推.
π)，有下列结论：①函数f(x)的图象关于点
水深关系的表格：
时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00
水深
选用函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)来模拟港口的水深与时间的关系，如果一条货船的吃水深度是4米，
安全条例规定至少有2.25米的安全间隙(船底与海洋底的距离)，则该船一天之内在港口内呆的时间总和为
《三角函数模型的简单应用》练习
一、选择题
1.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()
(x)=x+sinx(x)=(x)=xcosx(x)=x··
2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k，据此函数可知，这段
时间水深(单位：m)的最大值为()
B.6
3.如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m，
t，t∈[0，24).(1)求实验室这一天上午8
时的温度；(2)求实验室这一天的最大温
差.
10.如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量
(2)估计当年3月
y关于时间t的函数表达式
1日动物种群数量.
(其中
t以年初以来的月为计量单位，如
y=a+Acos
(x=1，2，3， ，
12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为
28℃，12月份的平均气温最低，为
18℃，则10月份的平均气温值为_______℃.7.
某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点
O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上
标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0，60].
②y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、
养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系.(1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数解析式；(2)
按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损
AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是()
4.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示，则当
t=秒时，电流强度是()
安安
安安
5.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f( -x)sinx的大致图象是()
二、填空题
6.
某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数
7.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)(其中0<A≤2，0<ω<2，- <φ< )的图象，列出的部分数据如表：
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
-1
-2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是
________.
8.
若函数f(x)=2sin(3x-
三角函数模型的简单应用例4课堂练习
《三角函数模型的简单应用》例4课堂练习根据以下给出的相关材料回答问题：1.2、大约什么时间港口的水最深？深度约是多少？大约什么时间港口的水最浅？深度约是多少？3、在什么时间范围内，港口的水深增长？在什么时间范围内，港口的水深减少？4.试着用图形描述这个港口从0时到24时水深的变化情况。
.5、选用一个适当的函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时间的水深近似值。
6.货船的吃水深度为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？7.若某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？练习：1、某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,请设计一天内从上午到晚上(8:00—20:00）之间,开放冲浪场所的具体时间段，有多少时间可供冲浪者进行活动?《三角函数模型的简单应用》同步练习(吴刚强)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin(3x ＋6π)的图象，只要把函数y ＝sin3x 的图象( )A ．向左平移6πB ．向左平移18πC ．向右平移6πD ．向右平移18π2.圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是( ) A.等于1弧度 B.大于1弧度 C.小于1弧度D.无法判断 3.在△ABC 中，如果sinA+cosA=32,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形4.在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间(0，2π)上的增函数，又是以π为周期的偶函数( )A ．y ＝x 2，x ∈R B ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos2xD ．y ＝e sin2x二、填空题 1．函数y ＝6sin(2x -3π)的周期是________；振幅是________；频率是________；初相是________．2．把函数y ＝cos(2x ＋53π)的图象上各点向右平移2π个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的5倍，最后再把整个图象向下平移4个单位，所得图象的函数解析式是________． 3．函数y=2｜sin(4x-3π)｜的最小正周期是 .三、解答题 1、已知函数.3)62sin(23)(++=πx x f（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出)(x f 的周期、振幅、初相；（3）说明此函数图象可由]xy=上的图象经怎样的变换得到.在sinπ[0,26．已知函数y＝A sin(ωx＋ϕ)，x∈R(其中A>0，ω>0)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数最大值的点)为M(2，22)，与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6，0)，求这个解析式．。
高二数学三角函数模型的简单应用2
；https:/// 信用卡湖南省长沙市一中卫星远源自学校《习案》P.146第4题
3. 弹簧挂着的小球作上下运动, 它在 t 秒时相
对于平衡位置(就是静止时的位置)的高度 h 厘
米由下列关系式决定:
以t为
横坐标, h 为纵坐标, 作出这个函数在一个周期
的闭区间上的图象, 并回答下列问题:
(1)小球在开始振动时(即 t=0)时的位置在哪里?
(2)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离
分别是多少?
(3)经过多少时间小球往复运动一次?
(4)每秒钟小球能往复振动多少次?
《习案》P.147第5题
4. 如图, 点 P 是半径为 rcm 的砂轮边缘上的 一个质点, 它从初始位置 P0 开始, 按逆时针
方向以角速度 rad/s 做圆周运动. 求点 P 的
纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系, 求点 P 的运动周期和频率.
1.6三角函数模型的简单应用
y 2 sin(2 x / 3)
例5. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y A sin( x ) b 似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y A sin( x ) b的半个周期 1 1 的图象， 所以，A 30 10 10, b 30 10 20 2 2 3 1 2 14 6 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 8 4 2
y 2
A
4
T
又T
2
(3) y 2 sin( x ) 2
A点的坐标为(
2sin(2
2
12
O
6
12
x
, 2)
2
12
) 2
sin( ) 1 6 2k , k Z
6 2
一般取：| |≤π 2k , k Z 3 y 2 sin( 2 x 2k )
1. 由图象求振幅A, b
y 2 sinx
y
5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x 3 2 1
O
5 1 最大值 最小值 A 2 2 2 b 5 1 最大值 最小值 3 y A sinx b 的A, b
y
最 大 值 最 小 值 A 2 4 ( 2) 3 2
10
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特 别注意自变量的变化范围.
1.6三角函数模型的简单应用(第二课时)-2017-2018学年高一数学必修四同步精选练习
1.6三角函数模型的简单应用 课后练习题(时间：15分钟，满分：35分)一、选择题（每小题5分,共15分）1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin 100πt,t ∈(0,+∞),则电流I 变化的周期是 ( )A. B.100 C. D.50【答案】C【解析】选C.由题意知,T===.2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的?( )A[0，5] B[5，10] C[10， 15] D[15，20]【答案】C3．函数y=sin(ωx+φ)(x ∈R ，ω>0，0≤φ<π)的部分图象如图，则 ( )A.ω=，φ=B.ω=，φ=C.ω=，φ=D.ω=，φ= 【答案】C【解析】由3-1=2=⇒T=8=⇒ω=，特殊点函数值f(1)=1，可得φ=.二、填空题（每小题5分，共10分）4．一根长a cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (cm)和时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos 3π⎫+⎪⎪⎭，t ∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________s.【解析】小球的位移s 与时间t的函数关系为[)3cos ,0,3s t π⎫=+∈+∞⎪⎪⎭， ∴小球摆动的周期为2T πω===5．点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为 .【答案】y=rsin(ωt+φ)三、解答题（每小题10分）6．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。
下面是某港口某季节一天的时间与水深的关系表： ）（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并分别求出10：00时和13：00时的水深近似数值。
1.6 三角函数模型简单应用练习题(解析版)
1.6 三角函数模型简单应用1．函数的2cos 3cos 2y x x =-+最小值为（ ） A ．2 B ．0 C ．41- D ．62．2sin 5cos )(+-⋅=x x x x f ，若a f =)2(，则)2(-f 的值为（ ）． A ．－a B ．2＋a C ．2－a D ．4－a3．设A 、B 都是锐角，且cosA ＞sinB 则A+B 的取值是 （ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2 B ．()π,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πD ．⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ4．若函数)(x f 是奇函数，且当0<x 时，有x x x f 2sin 3cos )(+=，则当0>x 时，)(x f 的表达式为（ ）A ．x x 2sin 3cos +B ．x x 2sin 3cos +-C ．x x 2sin 3cos -D ．x x 2sin 3cos --5．下列函数中是奇函数的为( )A ．y=xx x x cos cos 22-+B ．y=xx x x cos sin cos sin -+ C ．y=2cosxD ．y=lg(sinx+x 2sin 1+)6．在满足xx4πtan 1πsin +＝0的x 中，在数轴上求离点6最近的那个整数值是 ． 7．已知()3s i n 4fx a x b x =++（其中a 、b 为常数），若()52=f ，则()2f -=__________．8．若︒>30cos cos θ，则锐角θ的取值范围是_________． 9．由函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=6563sin 2ππx x y 与函数y ＝2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________．10．函数1sin(2)2y x θ=+的图象关于y 轴对称的充要条件是11．如图，表示电流强度I 与时间t 的关系式),0,0)(sin(>>+=ωϕωA t A I 在一个周期内的图象.①试根据图象写出)sin(ϕω+=t A I 的解析式 ②为了使)sin(ϕω+=t A I 中t 在任意一段1100秒的时间内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|， 那么正整数ω的最小值为多少？12．讨论函数y=lgcos2x 的的定义域、值域、奇偶性、周期性和单调性等函数的基本性质13．函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()()g a a R ∈，（1）求g a ()的表达式；（2）若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值14．已知f(x)是定义在R 上的函数，且1()(2)1()f x f x f x ++=-(1)试证f(x)是周期函数. (2)若f(3)=3-，求f(2005)的值.15．已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛2π0，对称，且在,043πM 上是单调函数，求ϕω和的值．1.6 三角函数模型简单应用1．Ｂ 2．D 3．C 4．B 5．Ｄ 6．1 7．3 8．︒<<︒300θ 9．π34 10．,2k k Z πθπ=+∈11．（1）)3100sin(300ππ+=t I （2）629=ω12．定义域：(kπ-4π,kπ+4π),k ∈Z;值域]0,(-∞；奇偶性：偶函数；周期性：周期函数，且T=π;单调性：在(kπ-4π,kπ] (k ∈Z)上递增，在［kπ,kπ+4π)上递减13．2()122cos 2sin f x a a x x =--- 2122cos 2(1cos )a a x x =----22cos 2cos 12x a x a =---222(cos )12()22aa x a a R =----∈ (1)函数()f x 的最小值为()g a1.122a a <-<-当时即时，cos 1x =-由得 22()2(1)12122a a g a a =-----=2.11222a a -≤≤-≤≤当时即时，cos 2a x =由得 2()122a g a a =---3.122a a >>当时即时，cos 1x =由，22()2(1)1222a a g a a =----得＝14a -综上所述得 21(2)()12(22)214(2)a a g a a a a a <-⎧⎪⎪=---≤≤⎨⎪->⎪⎩－ (2) g a a ()=∴-≤≤1222有 2211243022a a a a -=++=－－得 13()a a ∴=-=-或舍221()2(cos )1222a a a f x x a =-=----将代入 211()2(cos )22f x x =++得cos 1x =当 2()x k k Z π=∈即时得 max ()5f x =14．(1)由1()(2)1()f x f x f x ++=-，故f(x+4)=)2(1)2(1+-++x f x f =1()f x -f(x+8)=f(x+4+4)=1(4)f x -+=f(x)，即8为函数()f x 的周期(2)由 f(x+4) =1()f x -，得f(5) =13(1)3f -= ∴f(2005)=f(5+250×8)=f(5)=33 15． 由f （x ）为偶函数，知|f （0）|=1,结合πϕ≤≤0，可求出2πϕ=．又由图象关于⎪⎭⎫⎝⎛0,43πM 对称，知043=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，即043cos =ωπ 又0>ω及()()()2,1,01232,,2,1,0243=+=∴=+=k k k k ωππωπ ． 当k=0,1即32=ω，2时，易验证f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单减；k≥2时，f （x ）在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上不是单调的函数．综上所述22,32πωϕ==或。
必修四三角函数模型的简单应用(附答案)
三角函数模型的简单应用[学习目标] 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.实际问题抽象为三角函数模型．知识点一 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析． 思考1 三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝2π|ω|；y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝π|ω|.思考2 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .根据图象可知，一天中的温差是 ；这段曲线的函数解析式是y ＝ 答案 20℃ 10sin(π8x ＋3π4)＋20，x ∈[6,14]知识点二 三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)来表示运动的位移y 随时间x 的变化规律，其中：(1)A 称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T ＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f ＝1T ＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．题型一 三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解 (1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝⎛⎭⎫1180＋1900＝175. ∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫150πt ＋π6. (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S (单位：cm)与时间t (单位：s)的函数关系是：S ＝6sin(2πt ＋π6)．(1)画出它的图象； (2)回答以下问题：①小球开始摆动(即t ＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)周期T ＝2π2π＝1(s)．列表：(2)①小球开始摆动(t ＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)． 题型二 三角函数模型在生活中的应用例2 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6.又y min ＝7，y max ＝13， ∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，得水深y ≥4.5＋7， 即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．跟踪训练2 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h . (1)求h 与θ之间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2.故B 点坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))．∴h ＝5.6＋4.8sin(θ－π2)，θ∈[0，＋∞)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin(π30t －π2)，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin(π30t －π2)＝1.得π30t －π2＝π2，∴t ＝30. ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．利用三角函数线证明三角不等式例3 心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值，设某人的血压满足方程式P (t )＝115＋25sin(160πt )，其中P (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数P (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数P (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较分析 (1)利用周期公式可以求出函数P (t )的周期；(2)每分钟心跳的次数即频率；(3)用“五点法”作出函数的简图；(4)此人的收缩压、舒张分别是函数P (t )的最大值和最小值，故可求出此人的血压在血压计上的计数．解 (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2πω，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数P (t )的周期为180min.(2)函数P (t )的频率f ＝1T ＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg 相比较，此人血压偏高．1．函数y ＝|sin 12x ＋13|的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．4π D.π22．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝ cm.3．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃.4．如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.一、选择题1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间ts 的函数关系式为s ＝6sin(100πt ＋π6)，那么单摆来回摆一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin(100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A3.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．5 3 安D ．10安5．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )二、填空题6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是 ．7.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为 ．8．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝ ，其中t ∈[0,60]．9．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝ . 三、解答题10.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (0<φ<π2)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．11.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？12．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求函数y＝A cos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？当堂检测答案1．答案 A 2．答案g 4π2解析 T ＝2πg l＝1，∴ g l ＝2π，∴l ＝g 4π2. 3．答案 20.5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎫－12＝20.5. 4．解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30 t ＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10sinπ15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252.故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m.课时精练答案一、选择题1.答案 A2．答案 B解析 当t ＝1200时，I ＝5sin(π2＋π3)＝5cos π3＝2.5. 3.答案 C解析 d ＝f (l )＝2sin l 2. 4．答案 A解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100， ∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． (1300，10)为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6，∴I ＝10sin(100πt ＋π6)， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 5．答案 C解析 ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4， 按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4， 此时P 点纵坐标为2sin(t －π4)， ∴d ＝2|sin(t －π4)|.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ； 当t ＝π4时，d ＝0，排除B. 二、填空题6．答案 26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34， ∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28.7.答案 34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12， 因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π. ∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34. 8．答案 10sin πt 60解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt 60. 9．答案 143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值， ∴sin(π4·ω＋π3)＝－1， ∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω， 即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 三、解答题10.解 (1)最大用电量为50万kW·h ，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，又∵0<φ<π2，∴解得φ＝π6. ∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．11.解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.则OP 在时间t (s)内所转过的角为π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2.当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.12．解 (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0.∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放，∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ， 即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。
专题06 三角函数模型的简单应用(基础练)-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练
一．选择题1．M ，N 是曲线sin y x π=与曲线cos y x π=的两个不同的交点，则||MN 的最小值为 A ．π B．2πC ．3πD ．2π【答案】C【解析】要求||MN 的最小值在，只要在一个周期内解即可sin cos x x ππ= 解得4x π=或54x π=得到两个点为2(,,)4ππ和52(,)4ππ-得到22522||()()34422MN πππππ=-+--= 故选C ．2．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动(0)θθ>角到OB ，设B 点与地面距离为h ，则h 与θ的关系式为A ． 5.6 4.8sin h θ=+B ． 5.6 4.8cos h θ=+C ． 5.6 4.8cos()2h πθ=++D ． 5.6 4.8sin()2h πθ=+-【答案】D【解析】过点O 作平行于地面的直线l ，再过点B 作l 的垂线，垂足为P ，则2BOP πθ∠=-，根据三角函数的定义得：sin() 4.8sin()22BP OB ππθθ=-=-4.80.85.6 4.8sin()2h BP πθ=++=+-专题06 三角函数模型的简单应用第一章 三角函数故选D ．3．在图中，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x （单位：)cm 和时间t （单位：)s 之间的函数关系式为A ．3sin 2x = ( 232t ππ- )B ．23sin(3x t π= ) C ．3sin 2x = ( 32t π+ )D ．23sin()32x t ππ=+ 【答案】D【解析】设位移x 关于时间t 的函数为()sin()(0)x f t A t ωϕω==+>， 则3A =，周期23T πω==，故23πω=， 由题意可知当0x =时，()f t 取得最大值3，故3sin 3ϕ=，故22k πϕπ=+，故选D ．4．若动直线x a =与函数()3)12f x x π=+与()cos()12g x x π=+的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为A 3B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】()3sin(),()cos()1212f x xg x x ππ+=+令h （a ）3sin()cos()1212a a ππ=+-+∴求||MN 的最大值即求函数h （a ）的最大值h （a ）3sin()cos()1212a a ππ+-+2sin()2sin()1266a a πππ=+-=- ∴函数h （a ）的最大值为2故选C ．5．在同一平面直角坐标系中，函数3cos()([0,2])22x y x ππ=+∈的图象和直线12y =的交点个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．4【答案】C【解析】原函数可化为：3cos()([022x y x π=+∈，2])sin 2xπ=，[0x ∈，2]π．当[0x ∈，2]π时，[02x∈，]π，其图象如图，与直线12y =的交点个数是2个． 故选C ．6．设()y f x =是某港口水的深度y （米关于时间t （时的函数，其中024t ，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是([0t ∈，24]) A ．123sin 12y t π=+B ．123sin()6y t ππ=++C ．123sin 6y t π=+D ．123sin()122y t ππ=++【答案】C【解析】由于()y f t =可以近似看成sin()y k A x ωϕ=++的图象，根据港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系，可得函数的周期12T =可排除A 、D ， 将(3,15)代入B ，C ，可排除B ，C 满足． 故选C ． 二．填空题7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数cos[(6)](16y a A x x π=+-=，2，3，⋯，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28C ︒，12月份的月平均气温最低为18C ︒，则10月份的平均气温值为 C ︒．【答案】20.5【解析】据题意得28a A =+，18cos[(126)]6a A a A π=+-=-解得23a =，5A = 所以235cos[(6)]6y x π=+-令10x =得2235cos[(106)]235cos 20.563y ππ=+-=+=故答案为：20.58．哈尔滨文化公园的摩天轮始建于2003年1月15日，2003年4月30日竣工，是当时中国第一高的巨型摩天轮，其旋转半径50米，最高点距地地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第14分钟时他距地面大约为 米． 【答案】85【解析】设P 与地面高度与时间t 的关系，()sin()(0f t A t B A ωϕ=++>，0ω>，[0ϕ∈，2))π， 由题意可知：50A =，1105060B =-=，221T πω==，221πω∴=，即2()50sin()6021f t t πϕ=++， 又因为(0)11010010f =-=，即sin 1ϕ=-，故32πϕ=，23()50sin()60212f t t ππ∴=++， 23(14)50sin(14)6085212f ππ∴=⨯++= 故答案为：85．。
1.6.2 三角函数模型的简单应用(课时练习)-2016-2017学年高一数学上册(必修4)(原卷版)
必修四 第一章 1.6 三角函数模型的简单应用【第二课时】
一、选择题
1．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭
⎫π4等于( ) A ．0
B ．3
C ．－3
D ．3或－3
2.设函数y ＝sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0)的一段图象如右图所示，则周期T 、初相φ的值依次为( )
A ．π，－7π12
B ．2π，7π6
C ．π，－7π6
D ．2π，－7π12
3.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x 在[0，π]上的大致图象是( )
4.已知函数f (x )＝3sin πx k
的图象上相邻的一个最大值与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f (x )的最小正周期是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
5．振动量y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和32
，则它的相位是________． 6.如图所示是一弹簧振子作简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
7. 方程lg|x|＝sin x实数根的个数是________．
三、解答题
8. 已知电流I与时间t的关系式为I＝A sin(ωt＋φ)．
(1)如图是I＝A sin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)在一个周期内的图象，根据图中数据求解析式．
(2)如果t在任意一段1
150秒的时间内，电流I＝A sin(ωT＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？。
三角函数模型简单练习(含答案)
三角函数模型简单应用练习题1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)(0,2)απ∈；(3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。
3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程210x kx k -++=的两个根，求角θ．4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ；（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：cosx y a a=的一个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ?8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2π]上的单调性。
9、（14分）如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4π，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ， AB POS Q（1） 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.10.某人用绳拉车沿直线方向前进100米,若绳与行进方向的夹角为30°,人的拉力为20牛,则人对车所做的功为多少焦.11．某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin y +=ϖ的图象。
高一三角同步练习9(三角函数模型的简单应用)
t三角函数模型的简单应用专题训练题1．如图，一个大风车的半径是8米，每12分钟旋转一周，最低点离地面2米，若风车翼片从最低点按逆时针方开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h （米）与时间t （分钟）之间的函数关系是（ ）A 10)6cos(8+=t h πB 10)3cos(8+-=t h πC 10)6sin(8+-=t h πD 10)6cos(8+-=t h π2．已知：某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记作经长期观测，y=f(t)的曲线可近似看成是函数 b t A y +=)cos(ω，根据以上数据，函数的解析式是 。
3．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合．将A B ，两点间的距离(cm )d 表示成(s)t 的函数，则d =_____，其中[]060t ∈，． 4．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下列问题：（1）单摆的振幅是多少？（2）振动的频率是多少？ （3）摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置？（4）摆球运动的家速度首次具有最大负值的时刻和位置？ （5）若g=9.86m/s 2,求摆线长。
v 0B5．已知电流I 与时间t 的关系式为)sin(ϕω+=t A I ，（1）如图是)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=t A I在一个周期内的图象，根据图中数据 求)sin(ϕω+=t A I 的表达式。
（2）如果t 在任意一段1501秒的时间内，电流)sin(ϕω+=t A I 都能取到最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？6. 如图一个滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧（不计阻力），在O 点保持速率0v 不变，并且以倾角θ起跳，落到B 点，令OB=l 。
当30=α时，l 的最大值是多少？当l 取最大时，θ为多大？。