2019高考数学二轮复习课时跟踪检测二十八不等式选讲理

课时跟踪检测（二十八）不等式选讲
1．(2018·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数
x
使f(x)<2成立．
(1)求实数m的值；

(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)＝4，求证：4α＋1β≥3.
解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|.
所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，
解得－2(2)证明：因为α≥1，β≥1，
所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，
即α＋β＝3，

所以4α＋1β＝134α＋1β(α＋β)

＝135＋4βα＋αβ≥135＋24βα·αβ＝3.
当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立，
故4α＋1β≥3.
2．(2018·唐山模拟)设f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤4；
(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x|＋2|x－1|＝ 2－3x，x<0，2－x，0≤x≤1，3x－2，x>1.
当x<0时，由2－3x≤4，得－23≤x<0；
当0≤x≤1时，由2－x≤4，得0≤x≤1；
当x>1时，由3x－2≤4，得1

综上，不等式f(x)≤4的解集为－23，2.

(2)f(x)＝|x|＋2|x－a|＝ 2a－3x，x<0，2a－x，0≤x≤a，3x－2a，x>a.
可见，f(x)在(－∞，a]上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
当x＝a时，f(x)取得最小值a.
若f(x)≥4恒成立，则应a≥4.
所以a的取值范围为[4，＋∞)．
3．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．
解：(1)f(x)＝ －3x，x<－12，x＋2，－12≤x<1，3x，x≥1.
y＝f(x
)的图象如图所示．

(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大
值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值
为5.
4．(2018·开封模拟)已知函数f(x)＝|x－m|，m<0.
(1)当m＝－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；
(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．
解：(1)设F(x)＝f(x)＋f(－x)＝|x－1|＋|x＋1|

＝ －2x，x<－1，2，－1≤x<1，Gx＝2－x，2x，x≥1，
由F(x)≥G(x)解得{x|x≤－2或x≥0}．
(2)f(x)＋f(2x)＝|x－m|＋|2x－m|，m<0.
设g(x)＝f(x)＋f(2x)，
当x≤m时，g(x)＝m－x＋m－2x＝2m－3x，则g(x)≥－m；

当m

则－m2当x≥m2时，g(x)＝x－m＋2x－m＝3x－2m，
则g(x)≥－m2.
则g(x)的值域为－m2，＋∞，
不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，
即1>－m2，解得m>－2，
由于m<0，则m的取值范围是(－2,0)．
5．(2018·昆明模拟)设函数f(x)＝|x－a|＋x＋2a(a≠0，a∈R)．
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤5；
(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，

故f(x)＝ 2x＋1，x>1，3，－2≤x≤1，－2x－1，x<－2.
①当x>1时，由2x＋1≤5，得x≤2，故1②当－2≤x≤1时，由3≤5，得x∈R，故－2≤x≤1；
③当x<－2时，由－2x－1≤5，得x≥－3，故－3≤x<－2.
综上，不等式的解集为[－3,2]．

(2)f(x)＝|x－a|＋x＋2a≥x－a－x＋2a＝




a
＋

2

a

当且仅当x－a


x
＋

2

a
≤0时等号成立，

所以g(a)＝a＋2a，
因为a＋2a＝|a|＋2a≥2|a|·2a＝22，
当且仅当|a|＝2a，
即a＝±2时等号成立，
所以g(a)min＝22.
6．(2018·陕西模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.
(1)解不等式f(x)≤3；

(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥3t＋3t.

解：(1)依题意，得f(x)＝ －3x，x≤－1，2－x，－1于是f(x)≤3⇔ x≤－1，－3x≤3或 －1解得－1≤x≤1.
故不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．
(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，
当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，
∴M＝[3，＋∞)．

t2＋1≥3t＋3t等价于t2－3t
＋1－3t≥0，

t2－3t
＋1－3t＝t3－3t2＋t－3t＝t－3t2＋1t.

∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋1>0，
∴t－3t2＋1t≥0，

∴t2＋1≥3t＋3t.
7．(2018·福州模拟)设函数f(x)＝|x－1|.
(1)求不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集；

(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)－|x－a|的解集为M，若




1，
3

2
⊆M，求实数
a
的取值范围．
解：(1)因为f(x)≤3－f(x－1)，
所以|x－1|≤3－|x－2|，
即|x－1|＋|x－2|≤3，

则 x<1，3－2x≤3或 1≤x≤2，1≤3或 x>2，2x－3≤3，
解得0≤x<1或1≤x≤2或2所以0≤x≤3，
故不等式f(x)≤3－f(x－1)的解集为[0,3]．

(2) 因为




1，
3

2
⊆M，

所以当x∈1，32时，f(x)≤f(x＋1)－|x－a|恒成立，而f(x)≤f(x＋1)－|x－a|⇔|
x
－1|－|x|＋|x－a|≤0⇔|x－a|≤|x|－|x－1|，
因为x∈1，32，所以|x－a|≤1，
即x－1≤a≤x＋1，
由题意，知x－1≤a≤x＋1对于x∈1，32恒成立，

所以12≤a≤2，
故实数a的取值范围为12，2.
8．(2018·郑州模拟)已知f(x)＝|2x－1|＋|ax－5|(0(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥9的解集；
(2)若函数y＝f(x)的最小值为4，求实数a的值．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋|x－5|＝ 6－3x，x<12，x＋4，12≤x<5，3x－6，x≥5，

∴f(x)≥9⇔ x<12，6－3x≥9或 12≤x<5，x＋4≥9或 x≥5，3x－6≥9.
解得x≤－1或x≥5，
即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．
(2)∵01，
则f(x)＝ －a＋2x＋6，x<12，2－ax＋4，12≤x≤5a，a＋2x－6，x>5a.
∵当x<12时，f(x)单调递减，当x>5a时，f(x)单调递增，
∴f(x)的最小值在12，5a上取得，
∵在12，5a上，当0

∴ 0解得a＝2.