高中数学人教版必修4 1.1.2弧度制 课件2

[解析] 设扇形的弧长为 l，则 l＝αR＝23π，
∴该扇形的面积 S＝12lR＝12×23π×1＝π3.
命题方向四：弧度制下终边相同的角的表示方法
将下列各角化成 2kπ＋α(0<α<2π，k∈Z)的形式，并指出角的终边所 在的象限．
(1)247π；(2)396π.
[解析] (1)∵274π＝6π＋34π， ∴274π与34π终边相同． 又∵34π是第二象限角，∴274π是第二象限角．
跟踪练习
把α＝1 690°写成β＋2kπ(k∈Z，β∈[0,2π))的形式．
[解析] 1 690°＝1π80×1 690＝8π＋2158π.
命题方向三：扇形面积公式的应用
一个半径大于 2 的扇形，其周长 c＝10，面积 S＝6，求这个扇 形的半径 R 和圆心角 α 的弧度数.
[解析] 设扇形的半径为 R(R>2)，弧长为 l，由题意得
(2)396π＝6π＋36π＝6π＋π2，∴396π与π2的终边相同． 又∵π2是象限界角，∴396π也是象限界角，它不属于任何象 限．
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为：β＝2kπ＋ α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
1°＝__1_8_0____rad≈0.01745rad，
1rad＝___1_π8_0__°_≈57.3°＝57°18′.
1
3．在弧度制下，弧长公式为l＝θr，扇形面积公式为S＝__2_lr_______.
预习效果展示
1.(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)下列转化结果错误 的是( )
A．67°30′化成弧度是38πrad B．123π化成度是 600° C．150°化成弧度是56πrad D．1π2化成度是 15°
[答案] 3
[解析] 由公式|α|＝Rl ，得 l＝R|α|＝3.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
[答案]
x－2≤x<－π2或π4<x<π2
[解析] B＝{x|6＋x－x2≥0}＝{x|－2≤x≤3}，
又∵A＝{x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z}，
下列命题中，正确的是( ) A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径长的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 [答案] D [解析] 根据1弧度的定义可知，选项D正确.
命题方向二：角度与弧度的互化
(1)将 92°30′化成弧度；(2)将－71π8化成度． [分析] 利用 n°＝n·1π80rad 和 αrad＝18π0α°进行角度和弧 度的互化． [解析] (1)92°30′＝1825°＝1825×1π80＝3772π. (2)－71π8＝－71π8×1π80°＝－70°.
[解析] 由题意知 α＝2nπ＋x＋π4(n∈Z)， β＝2mπ＋x－π4(m∈Z)， ∴α－β＝2(n－m)π＋π2，即 α－β＝2kπ＋π2(k∈Z)．
课堂典例讲练
命题方向一：弧度制的概念问题
下列命题中，错误的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的3160，1rad 的角是周角的21π C．1rad 的角比 1°的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
[分析] 正确理解角度制和弧度制的概念，对每一命题认真分析并作 出判断.
[解析] 根据角度制和弧度制的定义可以知道，A、B 是正 确的；1rad 的角是(1π80)°≈57.30°，即 C 也是正确的；无论是用 角度制还是用弧度制度量角，角的大小都与圆的半径无关，故 D 错误．
[答案] D
跟踪练习
∴当 k＝0 时，A∩B＝{x|π4<x<π2}，
当 k＝1,2,3，…，时 A∩B＝∅， 当 k＝－1 时，A∩B＝{x|－2≤x<－π2}， 当 k＝－2，－3，－4，…，时 A∩B＝∅， 综上可知 A∩B＝{x|－2≤x<－π2或π4<x<π2}．
6．如果角 α 与 x＋π4终边相同，角 β 与 x－π4终边相同，试 求 α－β 的表达式．
2R＋l＝10
12Rl＝6
，
解得Rl＝＝43 . ∴圆心角 α＝Rl ＝43(rad)． 故这个扇形的半径为 3，圆心角 α 的弧度数为43rad.
跟踪练习
(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)已知扇形所在圆的半
径为 1，圆心角的弧度数为23π，则该扇形的面积为________．
[答案]
π 3
知能自主梳理
1.弧度制的概念
我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度．
用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
2．角度与弧度的互化
360°＝____2_π___rad,180°＝___π_____rad， π
人教版 必修4
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.2 弧度制
课前自主预习
情境引入导学
在实际生活中，人们常常需要用不同的单位来表示某一个量．测量 人的身高常用米、厘米为单位进行度量，我们购买水果常用千克、 斤为单进行度量．在这里，度量角的大小除了以度作为单位外，还 可采用哪种单位制来度量呢？它们之间又是怎样换算的呢？
[答案] B
[解析] 123π＝4π＝4×180°＝720°，故选 B.
2．(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)顶点在原
点，始边与 x 轴正半轴重合，且和 α＝π4终边相同的角可以是
() A．143π
B．74π
C．－74π
D．π4，故选 C.
3 ． (2014·山 东 烟 台 高 一 期 末 测 试 ) 如 果 一 扇 形 的 弧 长 为
2πcm，半径等于 2cm，则扇形的弧所对圆心角为( )
A．2π
B．π
C．π2
D．32π
[答案] B
[解析] 设扇形的圆心角的弧度数为α，则2π＝2α，
∴α＝π，故选B.
4．圆的半径为1，所对圆心角为 －3弧度的弧长是__________．