上学期高二期中考试数学(文)(附答案) (1)

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2023-2024学年上海市黄浦区高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年上海市黄浦区高二数学上学期期中考试卷2023-11（试卷总分为100分，考试时间为120分钟.）一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）1．已知一个球的半径为3，则这个球的表面积为.2．若平面l αβ= ，直线a α⊂，直线,b a b M β⊂⋂=，则点M 与l 的位置关系为．3．若向量()4,2,1a =-与向量()2,,b x y =共线，则x y -=.4．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线11B D 与CD 所成角的大小是.5．如图所示，'''A B O V 是利用斜二测画法画出的ABO 的直观图，已知'''A B y P 轴，''4O B =，且ABO 的面积为16，过A '作'''AC x ⊥轴，则''A C 的长为．6．已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为16π，则该圆柱的体积为.7．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ＝1，则侧面PCD 与底面ABCD 所成的二面角的大小是．8．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，122AB AA ==，N 为11A C 的中点，M 为线段1AA 上的点.则MN MB+的最小值为9．已知向量(2,3,0)a = ，(1,0,3)b = ,则向量a 在向量b方向上投影向量的坐标为．10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为.11．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且11π3A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，则侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角为．12．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在线段1BC 上运动,有下列判断:①平面1PB D ⊥平面1ACD ;②1//A P 平面1ACD ;③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦;④三棱锥1D APC -的体积不变.其中,正确的是(把所有正确判断的序号都填上).二、单选题（本大题共4题，每题4分，满分16分）13．若球的表面积扩大到原来的4倍，那么该球的体积扩大到原来的（）A ．64B ．32C ．16D ．814．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，AB BC =，1AA AC ==E 为棱11A B 的中点，点F 是棱BC 上的一点，且3BF FC =，则直线AE 与1C F所成角的余弦值为（）A ．1699B ．3299C ．99D ．9915．阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面a 的方程为()()()0000a x xb y yc z z -+-+-=；过点()000,,P x y z 且一个方向向量为(,,)(0)d u v w uvw =≠的直线l 的方程为000x x y y z z u v w ---==.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面a 的方程为3570x y z -+-=，直线l 的方向向量为()3,1,2m =- ，则直线l 与平面a 所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,P Q 分别为棱11C D ，1B C 上的动点，则四面体PQAD 的体积最大值为（）A ．16B ．14C ．13D ．12三、解答题（本大题共5题，满分48分）17．已知空间中的三点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)P M N ---，a PM = ，b PN = .(1)求PMN 的面积；(2)当ka b + 与2ka b -的夹角为钝角时，求k 的范围．18．已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =．求：⑴异面直线BD 与1AB 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；⑵四面体11AB D C的体积．19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD 与平面CBD 所成二面角为直角，⊥AE 平面ABD ，且AE =(1)求证：直线EC 与平面ABD 平行；(2)求点C 到平面BED 的距离.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==，1AB BC ==．(1)证明：AB PD ⊥；(2)线段PC 上是否存在一点M ，使得直线AM 垂直平面PCD ，若存在，求出线段AM 的长，若不存在，说明理由．21．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ；（Ⅱ）求三棱锥-P ABC 体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．1．36π【分析】根据球的表面积公式求出答案.【详解】设3r =，则24π6π3r =，故这个球的表面积为36π.故答案为：36π2．M l∈【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可.【详解】因为a b M = ，所以M ∈直线a ，M ∈直线b ，因为直线a α⊂，直线b β⊂，所以M ∈平面α，M ∈平面β，又平面l αβ= ，所以M l ∈.故答案为：M l ∈.3．12-##0.5-【分析】根据向量共线基本定理，可设,R a b λλ=∈，列出方程组，即可求得x 和y 的值，进而求出x y-的值.【详解】由向量()4,2,1a =-与向量()2,,b x y =平行，可设,R a b λλ=∈ ，则4221x y λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以11122x y -=-+=-.故答案为：12-.4．π4【分析】根据异面直线所成角定义，平移直线CD 到11C D 使其与11B D 相交，解三角形即可．【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，因为11CD C D ，所以111C D B ∠为异面直线为11B D 与CD 所成角，又因为111C D B 是以1C ∠为直角的等腰直角三角形，所以111π=4C D B ∠，即异面直线11B D 与CD 所成角为π4．故答案为：π4．5．22【分析】结合已知条件利用直观图与原图之间的面积关系得到A B O '''的面积，进而得到A C ''.【详解】因为16ABO S =V ，'''24A B O ABOS S =V V ，''4O B =所以'''''''1422A B O S O B AC ==⨯⨯V ，即''2AC =故答案为：2.6．16π【分析】设圆柱底面的半径为R ，高为h ，根据题意，由2216h RRh ππ=⎧⎨=⎩求解.【详解】解：设圆柱底面的半径为R ，高为h ，则2216h R Rh ππ=⎧⎨=⎩，解得24R h =⎧⎨=⎩，所以圆柱的体积2π16πV R h ==.故选：16π7．45°【分析】由题意可证得CD ⊥平面PAD ，从而∠PDA 为侧面PCD 与底面ABCD 所成的二面角的平面角，求解即可.【详解】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，所以AD ⊥CD ，又因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，因为PA∩AD ＝A ，PA 、AD 在面PAD 内，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PD ，于是∠PDA 为侧面PCD 与底面ABCD 所成的二面角的平面角，因为PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂底面ABCD ，PA ⊥AD ，又因为PA ＝1，AD ＝1，所以∠PDA ＝45°，于是侧面PCD 与底面ABCD 所成的二面角的大小为45°．故答案为：45°．8【分析】将侧面11ABB A 沿1A A展开，使得侧面11ABB A 与侧面11ACC A 在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案.【详解】解：将侧面11ABB A 沿1A A展开，使得侧面11ABB A 与侧面11ACC A 在同一平面内，如图，连接BN 交1AA 于M ，则MN MB+的最小值为此时的BN，BN =，∴MN MB +.9．13(,0,)55【分析】根据投影向量的定义即可求解.【详解】向量a 在向量b 方向上投影向量为2113cos ,,0,10555b a b b a a b b b b b b ⋅⎛⎫==== ⎪⎝⎭，故答案为：13,0,55⎛⎫⎪⎝⎭10．【分析】利用平面的性质作出截面1AFC E，然后求解面积即可.【详解】如图所示，设F 为1BB 的中点，连接1,AF FC ，设G 为1CC 的中点，连接,EG GB ，由EG AB ∥且EG AB =，得ABGE 是平行四边形，则AE BG ∥且AE BG =，又1BG C F∥且1BG C F=，得1AE C F且1AE C F=，则1,,,A E C F共面，故平面1AC E截该正方体所得的截面为1AFC E.又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以1111,23,22AF FC EC EA AC EF EF AC ==⊥===，故1AFC E 的面积为12223262S =⨯=故答案为：2611．3【分析】运用平行六面体的性质和三余弦定理即可求得.【详解】如图，连接,AC 作1A O ⊥平面ABCD 于点O ,1A E AB⊥于点E ，1A F AD⊥于点F ,连接,,OE OF 则易得：AB ⊥平面1,AOE AD ⊥平面1AOF ，故有，,AB OE AD OF ⊥⊥,又由11A AB A AD∠=∠可得：11,A AE A AF ≅ 从而有,AE AF =因底面ABCD 为菱形，故,OAE OAF ≅ 可得：=,OE OF 故点O 必在直线AC 上,且侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角为1.A AO ∠在1Rt A OA 中，11cos ,AO A AO AA ∠=在Rt AOE △中，cos ,AE OAE AO ∠=在1Rt A AE △中，11cos ,AE A AE AA ∠=故可得：11cos cos cos ,A AO OAE A AE ∠⋅∠=∠而πcos cos6OAE ∠==解得112cos ,332A AO ∠==故得：1A AO ∠=故答案为：12．①②④【解析】根据线面关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于①, 在正方体中,1B D ⊥平面1ACD ,1B D ⊂平面1PB D,∴平面1PB D ⊥平面1ACD ,故①正确;对于②,连接11,A B A C,如图:容易证明平面11A BC //平面1ACD ,又 1A P ⊂平面11A BC,∴AP ∥平面1ACD ,故②正确;对于③,1BC ∥1AD ,∴异面直线1A P 与1AD 所成的角就是直线AP 与1BC 所成的角,在11A BC V 中,易知所求角的范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故③错误;对于④,11D APC C AD PV V --= 点C 到平面1AD P 的距离不变,且1AD P △的面积不变,∴三棱锥1D APC -的体积不变,故④正确.综上所述,正确的是①②④.故答案为:①②④.【点睛】本题主要考查线线、线面、面面的平行与垂直关系,异面直线所成的角,三棱锥的体积等知识,解题关键是掌握正方体的特征和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于中档题.13．D【分析】由球的表面积和体积公式可知，球的表面积之比为半径比的平方，体积比为半径比的立方.【详解】设扩大前后球半径分别为12,r r ，由表面积之比为22211122222444r r r r r r ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，得122r r =，则体积之比为333131133222432843r r r r r r ππ⎛⎫==== ⎪⎝⎭.故选：D.14．D【分析】以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE 与1C F所成角的余弦值.【详解】由AB BC ⊥，AB BC =，AC =2AB BC ==，以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.所以3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，(12,0,C ，()0,2,0A，(0,1,E ，所以112FC ⎛= ⎝，(0,1,AE =- ，所以1cos ,FC AE ==，即直线AE 与1C F 所成角的余弦值为163399.故选：D.15．A【分析】利用给定信息，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得.【详解】因为平面a 的方程为3570x y z -+-=，则平面a 的法向量可取()3,5,1n =-r，而直线l 的方向向量为()3,1,2m =-，所以直线l 与平面a所成角的正弦值为||sin |cos ,|35||||m n m n m n θ⋅=〈〉==.故选：A 16．A【分析】作平行辅助线，借助线面平行关系，将所求几何体体积Q PADV -转化为G PADV -，再利用等体积法转化为A PGDV -即可运算求解.【详解】过点Q 作11QG B C ∥交1CC 于G ，连接,,PG GD DP ，又11B C BC AD ∥∥QG AD ∴∥，又QG ⊄平面PAD ，且AD ⊂平面PAD ，//QG ∴平面PAD ，则Q PAD G PAD A PGDV V V ---==，设CG t =，1PD s =，则[],0,1t s ∈，11111(1)(1)(1)2222PGD S s t s t st =-----=-△，故四面体PQAD 的体积()1111(1)13326Q PAD A PGD PGD V V S AD st st --==⋅=⨯-=- ，当0st =时，其最大值为16.故选：A.17．(1)32；(2)5,22k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.【分析】（1）应用向量坐标表示有(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =- ，由向量夹角的坐标运算可得10cos ,10a b <>= ，再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；（2）向量坐标表示得(1,,2)ka b k k +=- ，()22,,4ka b k k -=+- ，它们的夹角θ为钝角，即cos 0θ<，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.【详解】（1）由题设(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =-，则cos ,||||a b a b a b ⋅<>===，所以cos 10MPN ∠=，故在PMN中sin 10MPN ∠=，故PMN的面积为131032102.（2）由（1）知：(1,,2)ka b k k +=- ，()22,,4ka b k k -=+- ，且它们夹角θ为钝角，所以2cos 0θ=<，即()()21280k k k -++-<，所以()()22102520k k k k +-=+-<，可得522k -<<，当它们反向共线，即(2)ka b ka b λ+=-且0λ<时，有1(2)24k k k k λλλ-=+⎧⎪=⎨⎪=-⎩，无解，综上，5(,2)2k ∈-.18．（1）（2）23【详解】解：⑴连1111,,,BD AB B D AD ，∵1111//,BD B D AB AD =，∴异面直线BD 与1AB 所成角为11AB D ∠，记11AB D θ∠=，2221111111cos 2AB B D AD AB B Dθ+-==⨯∴异面直线BD 与1AB 所成角为．⑵连11,,AC CB CD ，则所求四面体的体积11111111242433ABCD A B C D C B C D V V V --=-⨯=-⨯=．19．(1)证明见解析(2)1d =【分析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，证明//EC 平面ABD 即可得解；（2）在三棱锥C BED -中，利用等体积法即可求出点C 到平面BED 的距离.【详解】（1）证明：取BD 的中点F ，连接CF 、AF，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD 与平面CBD 所成二面角为直角，即平面ABD ⊥平面CBD ，又平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD，且CF =因⊥AE 平面ABD，且AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ；（2）解：由（1）可得AF ⊥平面,//,CBD EC AF EC AF ==于是得EC ⊥平面CBD，EB ED ===则等腰BED 底边BD上的高2h =，12BED S BD h =⋅= 而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BEDE BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC⋅=⋅ ，即2=1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1.20．(1)证明见解析(2)存在，AM =【分析】（1）由线面垂直得线线垂直PA AB ⊥，再由底面上的AB AD ⊥，可得AB ⊥平面ADP ，从而证得线线垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法表示线面垂直，求得AM ，得其长度．【详解】（1）证明：∵在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，∴PA AB ⊥，PA AD ⊥.在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，2ABC BAD π∠=∠=.又AD ⊂面,ADP AP ⊂面ADP ，AD AP A = ,∴AB ⊥平面ADP ，又PD ⊂面ADP ，∴AB PD ⊥；（2）由题意及（1）得，存在一点M ，使得直线AM 垂直平面PCD .在四棱锥P ABCD -中，2PA AD ==，1AB BC ==，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示：根据题意可得：()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C D P ，∴()()()1,1,2,1,1,0,0,2,2PC CD PD =-=-=-.根据点M 在线段CP 上，∴PM PC∥.设(,,2)PM t PC t t t ==- ，则(,,22)AM AP PM t t t =+=-+ ，由面AM PCD ⊥得()00022220AM CD t t AM PD t t ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+--+=⎪⎩，得23t =，∴222,,333AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∴AM ==.21．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）2+．【详解】（Ⅰ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O ，所以C A ⊥平面D P O ．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=．又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（Ⅲ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB = ，所以PB ==同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C B 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C 'P ='B ，所以C O '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而222C C O '=OE +E '=，亦即C E +OE 的最小值为262．考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．。

南京市南师附中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组审阅人：高二数学备课组一．选择题1．过两点 2,4 和 4,1 的直线在x 轴上的截距为（）A ．145B ．145C ．73D ．732．过圆225x y 上一点 2,1M 作圆的切线l ，则直线l 的方程为（）A ．230x y B ．250x y C ．250x y D ．250x y 3．若k R ，则“22k ”是“方程221362x y k k表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若抛物线24y x 上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为（）A ．5B ．3C ．2D ．15．设直线l 的方程为 sin 10x y R ，则直线l 的倾斜角的范围是（）A ．0,πB ．πππ3π,4224C ．π3π,44D ．ππ,426．若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点，则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线．已知直线:430l x y m 为圆 22:2716C x y 的3距离可相邻直线，则m 的取值范围是（）A ． 48,22B ． 18,8C ．,4822, D ．,188, 7．已知双曲线 222210,0x y a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点．若M 在以12F F 为直径的圆上，且12π5π,312MF F，则该双曲线离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．1D ．18．已知A ，B 分别是椭圆2214x y 的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点．若2PBA PAB ，则PAPB 的值是（）A ．5B C ．5D ．5二．多选题9．已知椭圆22:143x y C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．则下列说法错误的是（）A ．椭圆C 的离心率为22B ．12PF F △的周长为5C ．1290F PFD ．113PF 10．已知 0,2M ， 0,3N ，在下列方程表示的曲线上，存在点P 满足2MP NP 的有（）A ．370x B ．4320x y C ．221x y D ．2222140x y x y 11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点 1,0F c ， 2,0F c ，动点P 满足212PF PF a （a ，0c 且均为常数）．设动点P 的轨迹为曲线E ．则下列说法正确的是（）A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．12PF PF 的最小值为2aC ．曲线E 与x 轴可能有三个交点D ．22ca时，曲线E 上存在Q 点，使得12QF QF 三．填空题12．与双曲线2212x y 有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．13．若直线l 过抛物线24y x 的焦点．与抛物线交于A ，B 两点．且线段AB 中点的横坐标为2．则弦AB 的长为______．14．已知点 5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x 的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．四．解答题15．已知直线1:220l ax y 与直线2:220l x ay ．（1）当12l l 时，求a 的值；（2）当12l l ∥时，求1l 与2l 之间的距离．16．已知点 1,2A ， 1,2B ，点P 满足4PA PB．（1）求点P 的轨迹的方程；（2）过点 2,0Q 分别作直线MN ，RS ，交曲线于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．17．已知椭圆 2222:10x y E a b a b 的一个焦点坐标为 2,0，离心率为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设动圆22211:C x y t 与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．动圆222222212:C x y t t t 与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．若矩形ABCD 与矩形A B C D 的面积相等，证明：2212t t 为定值．18．已知椭圆 2222:10x y C a b a b和抛物线 2:20E y px p ．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下： 12P ， 22,2P ，36,1P ， 49,3P ．（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）设m 为实数，已知点 3,0T ，直线3x my 与抛物线E 交于A ，B 两点．记直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，判断2121m k k 是否为定值，并说明理由．19．设a 为实数，点 2,3在双曲线2222:12x y C a a 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点1,12P作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN．（ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组审阅人：高二数学备课组一．选择题1．【答案】A【解析】直线的斜率 415246k，∴直线的方程为 5426y x ，即5763y x ，∴直线在x 轴上的截距为145，故选A ．2．【答案】B 【解析】00525xx yy x y ，故选B ．3．【答案】B【解析】方程221362x y k k 表示椭圆3602021362k k k k k或12k ，故选B ．4．【答案】C 【解析】设点2,4y M y，由MO 2220054y y ，∴24y 或220y （舍去），即214y x ，∴M 到抛物线24y x 的准线1x 的距离 112d ，根据抛物线定义得选项C ．5．【答案】C 【解析】当sin 0 时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为π2，当sin 0 时，则直线的斜率 1,11,sin k，即直线倾斜角为πππ3π,,4224，综上所述，直线的倾斜角的范围为π3π,44．故选C ．6．【答案】A【解析】圆C 的半径为4，直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点，故圆心 2,7C 到直线l 的距离7d ，即 423775m，解得 48,22m ，故选A ．7．【答案】D【解析】设21MF F ，则12sin MF c ，22cos MF c ，根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a，1π4c a，π5π,312，故πππ,41261c e a ，故选D ．8．【答案】C【法一】由题意知 2,0A ， 2,0B ，设 00,P x y ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1214k k，由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB，又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB，则122121k k k ，联立解得2119k ，即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB ，所以310cos 10PAB，即3105PA PB ，【法二】设 00,P x y ，则00tan 2y PAB x，00tan 2y PBA x ，000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x，20144169y3105PAPB二．多选题9．【答案】AB对于选项A ：由题意可知2a ，1c，∴离心率12c e a，故选项A 错误，对于选项B ：由椭圆的定义1224PF PF a ，1222F F c ，∴12PF F △的周长为426 ，故选项B 错误，对于选项C ：当点P 为椭圆短轴端点时，123tan23F PF c b ，又∵120902F PF，∴12302F PF ，即1260F PF ，∴1290F PF ，故选项C 正确，对于选项D ：由椭圆的几何性质可知1a c PF a c ，∴113PF ，故选项D 正确．10．【答案】BC【解析】 2254,39P x y x y对于A ，7233d R，所以直线与圆相离，不存在点P ；对于B ，5232553d R，所以直线与圆相交，存在点P ；对于C ，121252133C C R R，所以两圆外切，存在点P ；对于D ， 2212127321116433x y C C R R ，所以两圆内含，不存在点P ．11．【答案】ACD【解析】212a PF PF对于A ，用x 代x 得222x y c y 轴对称，用y 代y 得222x y cx 轴对称，用x 代x ，y 代y 得222x y c所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A 正确；对于B ，当0a 时，122PF PF a ，当0a 时，显然P 与1F 或2F 重合，此时122PF PF c ，所以B 错误；对于C ，根据对称性可得，曲线E 与x 轴可能有三个交点，所以C 正确；对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ，则12PF PF ，因为 1,PF c x y ， 2,PF c x y ，所以222x y c ，由222x y c22c 222c a ，所以D 正确．三．填空题12．【答案】2212x y 【解析】设所求双曲线方程为 2202x y ，将点代入双曲线方程得121 ，故方程为2212x y ．13．【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ，2x ，线段AB 中点的横坐标为2，则1222x x ，故12426AB x x p ．14．【答案】57【解析】由抛物线方程得 2,0F ，准线方程为2x ，又点 5,4P ，则25c PF ，在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x ，交直线2x 于点G ，过P 作PM 垂直直线1x ，交直线1x 于点M ，由椭圆和抛物线定义得 2527a HF HP HG HP PM ，故椭圆离心率2527c e a．四．解答题15．【解析】（1）由12l l ，则20a a ，解得0a ．（2）由12l l ∥得22244a a，解得1a ，直线2l 的方程为220x y ，即220x y ，直线1l 的方程为220x y ，因此，1l 与2l 之间的距离为2245541d．16．【解析】（1）设 ,P x y ，则 41,21,2PA PB x y x y ，故轨迹方程为229x y ．（2）假设点O 到MN 的距离为m ，到RS 的距离为n ，则2212992S MN RS m n ，因为MN RS ，所以224m n ，所以 22222295224904S mm m m ，所以65,14S，所以四边形MRNS 面积的最大值14，最小值65．17．【解析】（1）222222492513a b a b b e a椭圆22:195x y E （2）设 33,A x y ，矩形ABCD 与矩形A B C D 的面积相等∴331144x y x y ，即22221133x y x y ∵A ，A 均在椭圆上，∴22223113515199x x x x ，即22139x x ，222231135151599x x y y 故22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y 为定值．18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得12p ，12，162，12，故抛物线E 方程为2y x故 1P，31P 为椭圆上的点22222242186141a a bb a b椭圆C 方程22184x y （2）设 12,A x x ， 22,B x y ，则1222123303x my y y m y my y y y x121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y 为定值．19．【解析】（1）因为点 2,3在双曲线C 上，所以22222312a a ，整理得42780a a ，即 22180a a ，解得21a ，则双曲线C 的方程为2213y x ；（2）（ⅰ）易知直线l 的方程为112y k x，即112y kx k ，联立2211213y kx k y x，消去y 并整理得 222132404k x k k x k k ，设 11,M x y ， 22,N x y ，因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ，N ，所以关于x 的方程222132404kxk k x k k有两个不同的正数根1x ，2x ，22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k，解得2,3k则斜率k的取值范围为2,3 ；（ⅱ）设 00,H x y ，由（ⅰ）得 12222233k k k k x x k k ，222122221144416443343k k k k k k x x k k k，因为1112x a，2112x a ， 01020x x x x ，又P ，M ，N ，H 在同一直线l 上，所以111222112122112122x x PM x PN x x x，0120MH x x HN x x ，由PM MH PN HN 得0112202121x x x x x x，即 1202012121x x x x x x ，化简得 1201212214x x x x x x x ，所以 202222241621333k k k k k k x k k k，整理得2202234162k k k x k k k k ，解得0832kx k，即003821x k x 又点 00,H x y 在直线112y k x上，所以 001136911223264k k y k x k k即00000386921386421x x y x x，故点H 恒在定直线3260x y 上．。

山东省 2023~2024学年第一学期期中高二数学试题[含答案]

42
2 y
22
4
，化
为 (x 2)2 ( y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直
接法，设出动点的坐标
x,
y
，根据题意列出关于
x,
y
的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲
y 1 mx 2m R
5. 在平面直角坐标系中，动圆
与直线
相切，则面积最
大的圆的标准方程为（）
x 12 y 12 4
A.
x 12 y 12 5
B.
x 12 y 12 6
C. 【答案】B
x 12 y 12 8
D.
【解析】
【分析】据题意分析可知直线经过定点 P ；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积
当直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直时， a 1 不一定成立，所以“ a 1 ”是“直线
x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的非必要条件.
所以“ a 1 ”是“直线 x ay 1 0 与直线 ax y 1 0 相互垂直”的充分非必要条件.
2023~2024 学年第一学期期中高二数学试题
（选择性必修一检测） 2023.11
说明：本试卷满分 150 分，分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷为第 1 页至第 3 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.

2024-2025学年四川省自贡市高二上学期期中考试数学检测试卷(含解析)

2024-2025学年四川省自贡市高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ()22125C x y ++=()2222(2)5C x y -+-=1C 2C ）A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切2．直线的倾斜角为（）310y --=A ．B ．C ．D ．30︒135︒60︒150︒3．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（）A ．B ．C ．D ．231213144．椭圆的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（）221y x m +=A ．B ．2C ．D ．412145．已知直线，双曲线，则（）:28l y x =-22:14x C y -=A ．直线与双曲线有且只有一个公共点l C B ．直线与双曲线的左支有两个公共点l C C ．直线与双曲线的右支有两个公共点l C D ．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点l C 6．已知两点，，过点的直线与线段AB （含端点）有交点，则()3,2A -()2,1B ()0,1P -l 直线的斜率的取值范围为（）l A ．B ．(][),11,-∞-+∞ []1, 1-C ．D ．[)1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．倾斜角为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于30 l ()2222100x y a b a b -=＞，＞1F 两点，线段的垂直平分线过右焦点）,A B AB 2FA ．B ．C ．D ．y x =±12y x=±y =y =8．已知，直线，直线，若为(0,0),(0,1)O Q 1:240l kx y k -++=2:420l x ky k +++=P 的交点，则的最小值为（）12,l l 2||||PO PQ +A ．B ．C ．D．6-9-3二、多选题（本大题共3小题）9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）{},,a b cA ．B ．,2,3a b c,,a b b c c a+++ C ．D ．2,23,39++-a b b c a c,,a b c b c c+++10．如图，已知点，是以OD 为直径的圆上的一段()()()()2,0,1,11,12,0A B C D --,,CD 圆弧，是以BC 为直径的圆上的一段圆弧，是以OA 为直径的圆上的一段圆弧，CBBA 三段圆弧构成曲线，则（）ΩA ．曲线与轴围成的面积等于Ωx 3π2B ．与的公切线的方程为 CBBA 10x y +-=C ．所在圆与所在圆的相交弦所在直线的方程为BA CB 0x y -=D ．所在圆截直线所得弦的弦长为CD y x=11．已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心C 22219x y b +=0b >1F 2F C 率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（）eM (N A ．离心率的取值范围为e ⎛ ⎝B ．不存在点，使得M 120MF MF += C ．当时，的最大值为12e =1MF MN +152D ．的最小值为11211MF MF +三、填空题（本大题共3小题）12．若，，则.()1,2,1a =()2,1,3b =-()()a b a b -⋅+=13．在平面直角坐标系中，已知点点的轨xOy ())1212,,2F F MF MF-=，M 迹为.则的方程为.C C 14．已知椭圆：，，为其左、右焦点，为椭圆上任一C ()222210+=>>x y a b a b 1F 2F P C 点，的重心为G ，I 是内心，且有（其中为实数），椭圆的离心12F PF 12IG F F λ=λC 率.e =四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.M 2y x =-(2,1)P -10x y +-=(1)求圆的方程；M (2)经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.(2,1)l M ,A B ||2AB =l 16．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图[]50,100所示的频率分布直方图．(1)求图中a 的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取[)80,90[]90,1007人组成两会知识宣讲团．①求应从和学生中分别抽取的学生人数；[)80,90[]90,100②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件“至少有1人测试A =成绩位于区间”，求事件A 的概率．[]90,10017．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>(),0(0)F c c >y =离为(1)求的方程；C (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求l C ,A B O ()4,2M AB 的面积.OAB 18．如图，在四棱锥中，PA 平面P ABCD -⊥ABCD ，AD CD ，AD BC ，PA =AD =CD =2，BC=3.E 为PD 的中点，点F 在PC 上，⊥//且.13PF PC =(1)求证:CD 平面PAD ;⊥(2)求二面角的余弦值;F AE P --(3)设点G 在线段PB 上，且直线AG 在平面AEF 内，求的值.PGPB 19．已知椭圆的两个焦点分别为，其离心率为2222:1(0)y x E a b a b +=>>12(0,),(0,)F c F c -，过点且平行于的直线与椭圆交于，且1F x ,M N MN =(1)求椭圆的方程；E (2)过点且相互垂直的两条直线分别与椭圆交于.2F E AB CD 、①若直线斜率存在，过点向直线引垂线，垂足为，求证：直线过AB A :2l y =H BH 定点，并求出定点坐标；②求四边形面积的取值范围.ACBD答案1．【正确答案】D求出两圆圆心以及半径，再由圆心距与两圆半径的关系确定位置关系.【详解】由题意圆的圆心，半径的圆心，半径1C 1(2,0)C -1r =2C 2(2,2)C 2r =，即两圆外切1212C C r r ===+故选：D2．【正确答案】A【详解】设直线的倾斜角为，α因为该直线的斜率为，所以，所以，tan 180αα=︒≤<︒30α=︒故选：A3．【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可.【详解】记2名男生为，2名女生为，,a b 1,2任意选出两人的样本空间，共6个样本点，{,1,2,1,2,12}ab a a b b Ω=恰好一男一女生的事件，共4个样本点，{1,2,1,2}A a a b b =所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是.42()63P A ==故选A.4．【正确答案】D【分析】根据椭圆标准方程的形式，求出，根据，解出的值即可.,a b 2a b =m【详解】椭圆的焦点在y 轴上，∴，可得.∵长轴长是221y x m +=221y x m +=a 1b =短轴长的2倍，，解得2=4m =故选：D.5．【正确答案】C 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画()4,0Q ()2,0A 出图形即可得到答案.【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示：:28l y x =-22:14x C y -=由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边，:28l y x =-()4,0Q ()2,0A 联立直线与双曲线方程得，解得或，222814y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩10343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩265125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则直线与双曲线的右支有两个公共点.l C ,B C 故选：C.6．【正确答案】A【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.PA PB l 【详解】，而，12103PA k --==-+11102PB k --==-故直线的取值范围为.l (],1(1,)-∞-+∞ 故选A.7．【正确答案】A【分析】由垂直平分线性质定理可得，运用解直角三角形知识和双曲线的定22AF BF =义，求得，结合勾股定理，可得a ，c 的关系，进而得到a ，b 的关系，即可4AB a=得到所求双曲线的渐近线方程．【详解】解：如图为线段AB 的垂直平分线，2MF 可得，22AF BF =且，1230MF F ∠=可得，，22sin30MF c c=⋅=12cos30MF c =⋅=由双曲线的定义可得，，122BF BF a-=212AF AF a-=即有，()1122224AB BF AF BF a AF a a=-=+--=即有，，2MA a=2AF =112AF MF MA a =-=-由，可得，212AF AF a-=)22a a -=可得，即，22243a c c +=c =，则渐近线方程为．b a ==y x =±故选A ．本题考查双曲线的方程和性质，渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．8．【正确答案】B【详解】直线过定点，1:240l kx y k -++=(2,4)M -直线过定点，2:420l x ky k +++=(2,4)N --且直线与直线垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，1l 2l P MN 故圆心是，半径为则点的方程是(2,0)C -4P 22(2)16x y ++=令，因为，2||||PO PA =22(2)16x y ++=所以，2222441212163438x y x y x x +=⇔+++++=则2222424361y x y x x ++=-+所以，可得点=()6,0A则2||||PO PQ +=||||||PA PQ AQ +≥==9．【正确答案】ABD【详解】由于是空间的一个基底，所以不共面，{},,a b c,,a b c 对于A ，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底；2,3b c ,b c ,2,3a b c 对于B ，不存在实数满足，因此不共面，能构,x y ()()a b x b c y c a+=+++r r r r r r ,,a b b c c a +++ 成空间一个基底；对于C ，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底.()()322339a b b c a c+-+=- 对于D ，不存在实数满足，因此不共面，能构,x y ()x a b b c y c c ++=++ ,,a b c b c c +++ 成空间一个基底.故选：ABD10．【正确答案】BC【详解】对于A ，，，所在圆的方程分别为，，CD CB BA 22(1)1x y ++=22(1)1y x +-=，曲线与轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个圆，22(1)1x y -+=Ωx 14其面积为，故A 错误；ππ22π224++⨯=+对于B ，设与的公切线方程为，则，CBBA y kxb =+0k <0b >1==所以，与的公切线的方程为，1k =-1b = CBBA 1yx =-+即，故B 正确；10x y +-=对于C ，由及两式相减得，22(1)1y x +-=22(1)1x y -+=0x y -=即公共弦所在直线方程，故C 正确；对于D ，所在圆的方程为，圆心为，CD 22(1)1x y ++=(1,0)-圆心到直线的距离为(1,0)-y x =d=则所求弦长为，故D 错误.=故选BC.11．【正确答案】ABC 【分析】A ：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从(N 24219b +<2b 而可求离心率的取值范围；B ：根据相反向量的概念即可求解；C ：求出c 和，利2F 用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D ：利用可得1MF 2MF 122MF MF a+=，利用基本不等式即()2112121212111111222MF MF MF MF MF M M a F a MF MF F MF ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求解.【详解】对于A ，由已知可得，，所以，24219b +<2185b >则A 正确；c e a ===<=对于B ，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B 正确；120MF MF += M 对于C ，由已知，，所以，．12c e a ==3a =32c =23,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭又，则．(N 232NF ==根据椭圆的定义可得，1226MF MF a +==所以，126MFMN MF MN+=-+由图可知，，222NF MN MF NF -≤-≤所以126MF MN MF MN +=-+21562NF ≤+=当且仅当，，三点共线时，取得等号．M N 2F 故的最大值为，故C 正确；1MF MN +152对于D ，因为，126MF MF +=所以()2112121************MF MF MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12263⎛⎫ ⎪≥=⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立．2112MF MF MF MF =123MF MF ==所以，的最小值为，故D 错误．1211MF MF +23故选：ABC本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.12．【正确答案】8-【详解】,()()1,3,23,1,4a b a b -=--+= ，则，()()()()1331248a b a b -⋅+=-⨯+⨯+-⨯=-故8-13．【正确答案】()22119y x x -=≥【详解】由题，点M 的轨迹是为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，12,F F 故可设C 的方程为，22221(,0,0)x y x a a b a b -=≥>>由题：，解得：,22222,10a c a b ==+=1,3a b ==故C 的方程为.221(1)9y x x -=≥故．221(1)9y x x -=≥14．【正确答案】/0.512【详解】设为的重心，点坐标为，00(,),P x y G 12F PF G ∴00,33x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵，∴IG ∥x 轴或 IG 两点重合， ∴I 的纵坐标为，12IG F F λ=03y 在中，，12F PF 1212||||2,||2PF PF a F F c +==，121201||||2F PF F F y S =⋅⋅∴△又∵I 为△F1PF2的内心，∴I 的纵坐标即知内切圆半径，3y 内心I 把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形，12F PF 12F PF 12011221(||||||)||.23F PF y S PF F F PF ∴=++△，0120112211||||(||||||)||223y F F y PF F F PF ∴⋅⋅=++即，， 00112||(22)||223y c y a c ⨯⋅=+2a c ∴= ∴椭圆C 的离心率12c e a ==故答案为: 1215．【正确答案】(1)22(1)(2)2x y -++=(2)或2x =4350x y --=【详解】（1）由题意，设圆心，半径，(),2M a a -r ∵圆M 经过点，∴(2,1)P -r MP ==∵圆M 与直线相切，10x y +-=∴圆心到直线的距离，M 10xy +-=d r，解得，2210a a -+=1a =则圆心，半径()1,2M -r MP ===所以圆M 的方程为．22(1)(2)2x y -++=（2）由题意，圆心到直线的距离，()1,2M -l 1d ===若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意；l 2x =若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，l l 1(2)y k x -=-120kx yk -+-=则圆心到直线的距离由，解得，()1,2M -l 1d ==43k =则直线的方程为，即，l 41(2)3y x -=-4350x y --=综上，直线的方程为或．l 2x =4350x y --=16．【正确答案】(1)，0.030a =74.5(2)①5人，2人；②.1121【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得(0.0150.0200.0250.010)101a ++⨯++=；0.030a =所以估算这40名学生测试成绩的平均数为；550.15650.2750.3850.25950.174.5++++⨯⨯⨯⨯⨯=（2）①由图可得和这两组的频率之比为，[)80,90[90,100]02550102..=故应从学生中抽取的学生人数为（人），[)80,905757⨯=应从学生中抽取的学生人数为（人）；[)90,1002727⨯=②设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，[)80,90,,,,a b c d e [)90,100则这个试验的样本空间，则；,,,,1,2,,,121211,}{2,,,,2,,,,,,12,ab ac ad ae a a bc bd be b b cd ce c c de d d e e Ω=()Ω21n =又，则，{}1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,12A a a b b c c d d e e =()11n A =故.()()()11Ω21n A P A n ==17．【正确答案】(1)22143xy -=【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离求出c =方程；（2）利用点差法求出直线的斜率，然后联立直线与双曲线的方程，求出弦长l l C 和点到直线的距离，即可求出的面积.ABO l OAB 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以C y =b a =故到渐近线的距离，F d ==所以，所以c =222b a bc a =+=2,a b ==故的方程为.C 22143x y -=（2）设点，因为是弦的中点，则()()1122,,,A x y B x y ()4,2M AB 12128,4,x x y y +=⎧⎨+=⎩由于，所以两式相减得，22221122114343x y x y -=-=,()()()()12121212043x x x x y y y y +-+--=所以，即直线的斜率为，()()1212121233834442x x y y x x y y +-==⨯=-+l 32所以直线的方程为，即.l ()3242y x -=-342y x =-联立消去并整理，得，2234,21,43y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y 2324380x x -+=所以，且，2Δ2443381200=-⨯⨯=>1212388,3x x x x +==所以AB ===点到直线的距离为，O 342y x =-d ==所以的面积为.OAB12=18．【正确答案】(1)证明见解析(3)23【详解】（1）因为PA 平面ABCD ，CD 平面ABCD ，⊥⊂所以PA CD ，又因为AD CD ，PA AD =A ，PA ，AD 平面PAD ，⊥⊥⋂⊂所以CD 平面PAD ；⊥（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，因为PA 平面ABCD ，AM ，AD 平面ABCD ，⊥⊂所以PA AM ，PA AD ，⊥⊥建立如图所示的空间直角坐标系，A xyz -则，，，，， (0,0,0)A (2,1,0)B -(2,2,0)C (0,2,0)D (0,0,2)P 因为E 为PD 的中点，所以，(0,1,1)E 所以，，，(0,1,1)AE = (2,2,2)PC =- (0,0,2)AP = 所以，，1222(,,)3333PF PC ==- 224(,,)333AF AP PF =+= 设平面AEF 的法向量为，则(,,)n x y z =，即，取，00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 02240333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩(1,1,1)n =-- 又因为平面PAD 的一个法向量为，(1,0,0)p =所以cos ||||n p n p n p ⋅⋅==⋅ 由题知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.F AE P --F AE P --（3）因为点G 在PB 上，设，PGPB λ=，，，000(,,)G x y z 000(,,2)PG x y z =- (2,1,2)PB =--由得，PG PB λ=000(,,2)(2,1,2)x y z λ-=--即，所以，000222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩(2,,22)AG λλλ=--由（2）知，平面AEF 的法向量为，(1,1,1)n =--因为直线AG 在平面AEF 内，，得，2220AG n λλλ⋅=-++-= 23λ=综上，的值为.PGPB 2319．【正确答案】(1)2212y x +=(2)①证明见解析，；②302⎛⎫ ⎪⎝⎭，1629S ≤≤【详解】（1）由已知，c a=,a b c ==在方程中，令，则，故2222:1(0)y x E ab a b +=>>yc =-2b xa =±22b a =所以的方程为.1,b c a ===E 2212y x +=（2）设，当直线斜率存在时，设1122()A x y B x y ,,(,)AB :1AB l y kx =+由得：，故，22122y kx x y =+⎧⎨+=⎩22(2)210k x kx ++-=12122221,22k x x x x k k --+==++①由已知，所以直线的斜率为1(,2)H x BH 22212121BH y kx k x x x x --==--则直线的方程为：，即：BH 212112()kx y x x x x --=--22121211(1)2kx kx x y x x x x x --=+---注意到：由韦达定理有：21211212112212121(1)2222kx x x x kx x x x x kx x x x x x x x ---+---==---，12122x x kx x +=所以:1221212121122121212132()(1)232222x x x x x x kx x x x kx x x x x x x x x x +-------====----故直线的方程为：，所以直线过定点，BH 221132kx y x x x -=+-BH 302⎛⎫⎪⎝⎭，②当斜率存在且斜率，AB 0k ≠则AB ===同理以替代得:1k-k CD =，2242422242422224(1)4(21)4(21)41(21)(2)2522(21)212k k k k k S k k k k k k k k k +++++====++++++++++因为：，当且仅当时，即时，等号成立，22124k k ++≥221k k =1k =±，当轴时，，故.22164219212k k∴≤<+++//MN x 2S =1629S ≤≤。

2024-2025学年浙江省G5联盟高二上学期期中联考数学试卷(含答案)

2024-2025学年浙江省G5联盟高二上学期期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线x =0的倾斜角是 ( )A. 0B. π2C. πD. 不存在2.已知直线l 1：mx +2y +2=0，l 2：2x +y +4m =0，若l 1//l 2，则m = ( )A. −1B. −4C. 4D. 13.曲线C ：x 2m +1−y 2m +3=1, 则“m >−1”是“曲线C 表示双曲线”的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若m ，n 为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( )A. 若m//α，n ⊥α，则m ⊥n B. 若m//α，n ⊥α，则m 与n 相交C. 若m//α，n ⊂α，则m//nD. 若m//α，n//α，则m//n5.把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为( )A. 1B.2−1C. 2D.2+16.已知a,b 均为正实数，a−1b =2，则5a −b 的最大值为 ( )A. 52−5B. 3−5C. 3−25D. 3+257.曲线y =sin (ωx +1)与y =−2cos (ωx +2)在x ∈(0,π)内有3个交点，则ω可能的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 18.已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点到y =12的距离为1，M 是抛物线C 上的动点，M 到y =−12的距离与|MP |之和的最小值为1，则点P 的轨迹围成的面积是( )A. 4π3−3B. 8π3C. 4π3+3D. 4π二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数z 1=a +bi ，z 2=a−bi (a ∈R,b ∈R )，且b ≠0，则以下四个命题正确的是( )A. z 1+z 2∈R B. z 1−z 2为纯虚数C. z 1z 2为纯虚数D. z 1z 2为虚数10.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，焦距为2c ，直线y =kx 与双曲线C 交于A 、B 两点，点A 位于第一象限，过点A 作x 轴的垂线，垂足为N ，点F 为双曲线的左焦点，则 ( )A. 若AF⊥BF，则|AB|=2cB. 若k=3，则e>2C. 若e=2，则|AF||AN|>2 D. |AF|−|AN|≥2a11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E、F是棱CC1、BC的中点，动点P满足AP=λAB+μAD+γAA1，其中λ,μ,γ∈[0,1]，则下列命题正确的是 ( )A. 若λ=2μ,γ=0，则D1B⊥面A B1PB. 若λ=μ，则D1P与A1C1所成角的取值范围为[π4,π2 ]C. 若PD1//面DEF，则λ+2μ−2γ=0D. 若PD1⊥PF，则λ+μ+γ∈[1,3]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线320x y --=在y 轴上的截距为（）A ．2-B ．2C ．23D ．23-2．已知直线1:1l y x =-绕点(0,1)-逆时针旋转512π，得到直线2l ，则2l 不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为13，且()3()P A P B =，则()P B =（）A ．16B ．13C ．23D ．565．现有一段底面周长为12π厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行2π厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行2π厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆22121:10504C x x y y -+-+=，点(,0)T t 为x 轴上一动点．现由点P 向点T 发射一道粗细不计的光线，光线经x 轴反射后与圆C 有交点，则t 的取值范围为（）A ．1527,88⎡⎤⎢⎣⎦B ．710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．如图所示，四面体ABCD 的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（）A ．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，若23m a c =+ ，则,,}a b m 〈也是空间的一个基底B ．平面α经过三点(2,1,0)A ，(1,3,1)B -，(2,2,1)C -，向量(1,,)n u t =是平面α的法向量，则2u t +=C ．若0a b ⋅> ，则,a b <>是锐角D ．若对空间中任意一点O ，有111362OM OA OB =++，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（）A ．设A ，B 是两个随机事件，且1()2P A =，1()3P B =，若1()6P AB =，则A ，B 是相互独立事件B ．若()0P A >，()0P B >，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足()()()()P ABC P A P B P C =D ．若事件A ，B 相互独立，()0.4P A =，()0.2P B =，则()0.44P AB AB = 11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值(1)λλ≠的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点(2,0)A ，(6,0)B ，动点P 满足||1||3PA PB =，记点P 的轨迹为τ，则下列命题正确的是（）A ．点P 的轨迹τ的方程是2230x y x +-=B ．过点(1,1)N 的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线220x y -+=与点P 的轨迹τ相离D ．已知点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，点M 是直线:270l x -+=上的动点，过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线，切点为C ，D ，则四边形ECMD 面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线1y =+与直线y x b =+有两个相异的交点，那么实数b 的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，(0,0,0)O ，(0,,3)A a ，(3,0,)B a ，(,3,0)C a ，33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 为ABC △所确定的平面内一点，设||PO PD -的最大值是以a 为自变量的函数，记作()f a ．若03a <<，则()f a 的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C 的概率分别是12，14，18．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知ABC △的顶点(4,2)A ，边AB 上的中线CD 所在直线方程为7250x y +-=，边AC 上的高线BE 所在直线方程为40x y +-=．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求BCD △的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b = ，1AA c =，在1AC 上和BC 上分别有一点M 和N 且AM k AC = ，BN k BC =，其中01k ≤≤．（1）求证：MN ，a ，c共面；（2）若||||||2a b c ===，13AB =且160BAC BB C ∠=∠=︒，设P 为侧棱1BB 上靠近点1B 的三等分点，求直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(7,0)B -，平面内动点P 满足||2||PB PA =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 轨迹记为曲线C ，若曲线C 与x 轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线:17l x =上的动点，直线MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ，定义“F 变换”：()1F k k a a += ，其中，1k k k x x y +=-，1k k k y y z +=-，1k k k z z x +=-．记k k k k a x y z = ，k k k k a x y z =++．（1）若0(2,3,1)a =，求2a 及2a ；（2）证明：对于任意0a ，必存在*k ∈N ，使得0a 经过k 次F 变换后，有0k a = ；（3）已知1(,2,)()a p q q p =≥ ，12024a = ，将1a再经过m 次F 变换后，m a 最小，求m 的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．53613．1)+14．215．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以1111()12488P D =---=．所以111()()()884P C D P C P D =+=+= ．因此其得分低于4分的概率为14；（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．则“两次射击得分之和为8分”为事件()()()121221B B AC A C ，且事件12B B ，12AC，21A C 互斥，()121114416P B B =⨯=，()()12211112816P AC P A C ==⨯=，所以两次射击得分之和为8分的概率()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦ ．16．解：（1）因为AC BE ⊥，所以设直线AC 的方程为：0x y m -+=，将(4,2)A 代入得2m =-，所以直线AC 的方程为：20x y --=，联立AC ，CD 所在直线方程：207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)C -，设()00,B x y ，因为D 为AB 的中点，所以0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为()00,B x y 在直线BE 上，D 在CD 上，所以0040x y +-=，0042725022x y ++⨯+⨯-=，解得06x =-，010y =，所以(6,10)B -，10(1)11617BC k --==---，所以BC 所在直线的方程为：111(1)7y x +=--，即11740x y +-=．（2）由（1）知点(1,6)D -到直线BC 的距离为：d ==，又||BC ==，所以12722BCD S ==△．17．（1）证明：因为1AM k AC kb kc ==+，()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+，所以(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- ．由共面向量定理可知，MN ，a ，c共面．（2）取BC 的中点为O ，在1AOB △中，1AO B O ==13AB =，由余弦定理可得22211cos2AOB ∠=-，所以12π3AOB ∠=，依题意ABC △，1B BC △均为正三角形，所以BC AO ⊥，1BC B O ⊥，又1B O AO O = ，1B O ⊂平面1B AO ，AO ⊂平面1B AO ，所以BC ⊥平面1AOB ，因为BC ⊂平面ABC ，所以平面1AOB ⊥平面ABC ，所以在平面1AOB 内作Oz OA ⊥，则Oz ⊥平面ABC ，以OA ，OC ，Oz 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示：则1332B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1,0)B -，3,0,0)A ，(0,1,0)C ，1332C ⎛⎫⎪⎝⎭，1332A ⎫⎪⎝⎭设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，(3,1,0)AC =，13332AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即303332022y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，取1z =得(3,3,1)n =-- ，依题意可知123BP BB =，则11112332333713,,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=--+⨯-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．设直线1PC 与平面11ACC A 所成角为θ，则11169sin cos ,13213||133n C PC P n n C Pθ⋅====⋅⨯．故直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值为913．18．解：（1）设动点坐标(,)P x y ，因为动点P 满足||2||PB PA =，且(1,0)A -，(7,0)B -，2222(7)2(1)x y x y ++=++化简可得，222150x y x +--=，即22(1)16x y -+=，所以点P 的轨迹方程为22(1)16x y -+=．（2）曲线22:(1)16C x y -+=中，令0y =，可得2(1)16x -=，解得3x =-或5x =，可知(3,0)M -，(5,0)N ，当直线EF 为斜率为0时，||||EK FK +即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为x ny t =+，()11,E x y ，()22,F x y ，联立22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩消去x 可得：22(1)16ny t y +-+=，化简可得；()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=由韦达定理可得1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，因为()11,E x y ，()22,F x y ，(3,0)M -，(5,0)N ，所以EM ，FN 的斜率为113EM y k x =+，225FN y k x =-，又点()11,E x y 在曲线C 上，所以()2211116x y -+=，可得()()()22111116135y x x x =--=+-，所以111153EM y x k x y -==+，所以EM ，FN 的方程为115(3)x y x y -=+，22(5)5y y x x =--，令17x =可得()1212205125Q x y y y x -==-，化简可得；()()121235550y y x x +--=，又()11,E x y ，()22,F x y 在直线x ny t =+上，可得11x ny t =+，22x ny t =+，所以()()121235550y y ny t ny t ++-+-=，化简可得；()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=，又1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，代入可得()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++，化简可得()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=，()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=，(5)(816)0t t --=，所以2t =或5t =，当5t =时EF 为5x ny =+，必过(5,0)，不合题意，当2t =时EF 为2x ny =+，必过(2,0)，又||EF 为圆的弦长，所以当EF ⊥直径MN 时弦长||EF 最小，此时半径4r =，圆心到直线EF 的距离为211-=||8EF =，综上，||EF的最小值．19．解：（1）因为0(2,3,1)a = ，1(1,2,1)a = ，2(1,1,0)a = ，所以21100a =⨯⨯= ，21102a =++=，（2）设{}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == 假设对N k ∀∈，10k a +≠，则1k x +，1k y +，1k z +均不为0；所以12k k M M ++>，即123M M M >>> ，因为*(1,2)k M k ∈=N ，112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ ，所以121M M +≤-，与120M M +>矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意0a ，经过若干次F 变换后，必存在K N*∈，使得0K a =．（3）设()0000,,a x y z = ，因为1(,2,)()a p q q p =≥，所以有000x y z ≤≤或000x y z ≥≥，当000x y z ≥≥时，可得0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，三式相加得2q p -=又因为12024a =，可得1010p =，1012q =；当000x y z ≤≤时，也可得1010p =，1012q =，所以1(1010,2,1012)a =；设k a的三个分量为()*2,,2m m m +∈N 这三个数，当2m >时，1k a +的三个分量为2m -，2，m 这三个数，所以14k k a a +=- ；当2m =时，k a 的三个分量为2，2，4，则1k a + 的三个分量为0，2，2，2k a +的三个分量为2，0，2，所以124k k a a ++=== ；所以，由12024a = ，可得5058a = ，5064a =；因为1(1010,2,1012)a = ，所以任意k a的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以505a 的三个分量只能是2，2，4三个数，506a的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当505m <时，18m a +≥ ；当505m ≥时，14m a +=，所以m 的最小值为505．。

浙江省9+1高中联盟期中联考高二数学试卷参考答案

2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高二年级期中考试数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

题号12345678答案B C A D C A B B二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。

题号91011答案BC ACD ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。

1213．9或7-=，解得18b-=，故9b=或者7-.14．251π25【解析】以D为坐标原点，DAuuu r，DCuuu r，1DDuuuu r为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz-，设四面体1AB EF的外接球的球心为(,,)O x y z，半径为R.因为(2,0,0)A，(1,2,0)E，(0,1,2)F，1(2,2,2)B，所以2222222222222222(2),(1)(2),(2)(2)(2),(1)(2),x y z Rx y z Rx y z Rx y z Rì-++=ïï-+-+=ïíï-+-+-=ïï+-+-=î解得13911(,,)101010O，2251100R=，故四面体1AB EF的外接球的表面积为251π25.四、解答题：本题共5小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．解：（1）由题意可知，2223cos22ac bBac+-==，…………………………2分故π6B=，…………………………3分故cos C B==…………………………4分所以π4C =，7π12A =.…………………………6分（2）法一：如图，2AD =，由（1）可知π6B =，π4C =，则4c =，b =，…………………………8分故1()2AE AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，…………………………10分所以，22215π126(2cos (168841244AE b c bc -=++=++=-uuu r ，所以328-=AE .…………………………13分法二：如图，2AD =，由（1）可知π6B =，π4C =，则BD =，2CD =，…………………………8分故2a BD CD =+=，1212BCDE DC =-=+-=，………………10分所以，AE ===.…………………………13分解：（1）设点(0,4)M 关于直线l 的对称点为(,)N a b ，则41,024032222b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得2,3.a b =⎧⎨=⎩…………………………3分故圆222:(2)(3)(6)N x y r -+-=-，因为圆M 与圆N 交于A ,B 两点，所以max{62,26}6r r MN r r --<=<+-，…………………………5分解得656522r +<<．…………………………7分（2）法一：由圆的对称性可知，点A ，B 在以点M ，N 为焦点的椭圆上，其中椭圆的长轴长为6，焦距为MN =…………………………9分当3r =时，点A ，B 恰好为椭圆的短轴端点，…………………………11分故点A 到直线MN的距离为椭圆的短半轴长2.…………………………13分所以，MNA △的面积为1224=．…………………………15分法二：当3r =时，圆22:(4)9M x y +-=，22:(2)(3)9N x y -+-=，解得1035()1010A +或1035(1010A -，…………………………11分故有MA =uuu r ，(2,1)MN =-uuur ，…………………………13分所以5(1)2104MNA S -+=--=△，…………………………15分法三：当3r =时，圆22:(4)9M x y +-=，22:(2)(3)9N xy -+-=，故MNA △是以A 为顶点的等腰三角形，由（1）可知MN ，3AM AN ==，…………………………11分所以MN=，…………………………13分所以，MNA △的面积为12=．…………………………15分17．（15分）（1）因为PA ⊥面ABCD ，所以AD P A ⊥，AC P A ⊥，由32,3==PD AD ,得3=P A ；…………………………2分在Rt PAC △中，3AC =，所以△ACD 为正三角形,…………………………3分过C 作AD 的垂线，垂足为H ，有AB CH AB CH ==323,//，所以四边形ABCH 为矩形.…………………………5分故AD BC //，所以//BC 面PAD .…………………………7分（2）以A 为原点，AB ,AD ,AP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则),0,3,0(),0,23,233(),0,0,233(),3,0,0(),0,0,0(D C B P A …………………………9分设平面PBC ,PDC 的法向量分别为),,(),,,(c b a n z y x m ==.),0,23,233(),0,23,0(),3,23,233(-==-=DC BC PC ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BC m PC m 得：)3,0,2(=m ；…………………………11分⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DC n PC n 得：)3,3,1(=n ；…………………………13分设平面PBC 与平面PDC 的夹角大小为θ，则1311131392||||cos =⋅+==n m n m θ.…………………………14分故平面PBC 与平面PDC 的夹角的余弦值为1311.…………………………15分18．（1）由线段的垂直平分线的性质可知，QP QB =，故8QA QB QA QP AP AB +=+==>，…………………………2分所以点Q 在以点A ，B 为焦点的椭圆上，其中椭圆的长轴长为8，焦距为4AB =，短轴长，…………………………4分故点Q 的轨迹方程为22:11612x y C +=.…………………………5分(2)设(28cos ,8sin )P θθ-+，则有:(2cos 1)2sin 4cos 80MN l x y θθθ-++-=，…………………………6分将MN l 代入椭圆22:11612x y C +=消去y 整理得.222(cos 2)8(2cos 1)(cos 2)16(2cos 1)0x x θθθθ-+--+-=，…………………………8分故222264(2cos 1)(cos 2)416(cos 2)(2cos 1)0θθθθ∆=---⨯--=，【或者2[(cos 2)4(2cos 1)]0x θθ-+-=，】…………………………9分所以，直线MN 是点Q 轨迹的切线；…………………………10分（3）由（2）可知，点P 到直线MN 的距离为d =，………………………12分点A 到直线MN 的距离为1d =，故线段MN ===，…………………………15分所以PMN △的面积为1122S d MN =⨯=⨯=≤=当(10,0)P -时，PMN △的面积的最大值为…………………………17分19．解：（1）如图，过N 点作MA 的平行线2NA ，过点P 作MN 的平行线交2NA 于点2P ，则有2P PQ ∠是异面直线MN 与PQ 所成的角.…………………………2分因为MN MA ⊥，MN NB ⊥，所以22PP NA ⊥，2PP NB ⊥，所以MN ⊥面2NBA ，所以22PP P Q ⊥，因为22PP MN ==，4PQ =，所以21cos 2P PQ ∠=，所以，2π3P PQ ∠=，所以，异面直线MN 与PQ 所成的角为π3.…………………………5分（2）如图，过MN 的中点O 分别作MA ，NB 的平行线1OA ，1OB ，以O 为坐标原点，11A OB ∠的外角平分线、内角平分线分别为x 轴，y 轴，过点O 并且垂直于平面11OA B 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.…………………………6分由题意可知，11π3A OB ∠=，设1(,1)2P a -，1(,1)2Q b -，从而)(,0)44b a b a R -+，且4PQ ==.所以22()3()48b a b a ++-=.…………………………8分思路一：因为4R b a x -=，3()4R b a y +=，0R z =，所以4R b a x -=，R b a +=，所以221648483y x +=，即2219y x +=.…………………………9分所以点C 的轨迹是椭圆（长轴长为6，短轴长为2），其轨迹方程为2219y x +=.点(0,0,1)M ，所以MR ∈.…………………………10分思路二：由111122MR MO OP OQ =++uuu r uuu r uuu r uuur，可得MR ==，………………9分因为20()16b a ≤-≤，所以MR ∈.…………………………10分（3）由题意可知，11πsin 23236MNPQ V a b ab =⨯⨯⨯⨯⨯=四面体，…………………………12分思路一：不妨设b a θ+=，4cos b a θ-=，则2cos b θθ=+，2cos a θθ=-，故22212sin 4cos 16sin 416412ab θθθ=-=-≤-=，…………………………15分从而，3126MNPQ V ≤⨯=四面体a b ==.…………………………17分思路二：因为2221[()()]12()124ab b a b a b a =+--=--≤，…………………………15分从而，126MNPQ V ≤⨯=四面体a b ==.…………………………17分。

2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷及答案解析

2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷考试时间：120分钟，试卷满分150分2024.11第I 卷（选择题共60分）一.单选题（共12小题，每小题5分，在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）1.已知空间向量()(),1,0,21,1,1a b ==-，则下列结论正确的是（）A.向量a在向量b 上的投影向量是12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()0,1,3a b -=--C .a b ⊥D.cos ,15a b =2.已知直线l 经过点()1,2-，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为（）A.2340x y ++= B.2380x y +-= C.3270x y --= D.3210x y --=3.设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是A.[]0,3 B.[]2,4 C.[]2,5 D.[]3,54.已知圆的方程为2220x y x +-=，(),M x y 为圆上任意一点，则21y x --的取值范围是（）A.⎡⎣B.[]1,1-C.(),-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞5.已知点M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于点,A B ，则ABM 的周长为（）A.4B.8C.12D.166.已知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线34110x y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为（）A.()22118x y ++= B.()221x y +-=C.()22118x y -+= D.()221x y -+=7.已知圆22:2410C x y x y +-++=关于直线:3240l ax by ++=对称，则由点(,)M a b 向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是（）A.2B.C.3D.8.已知,M N 分别是曲线1C ：222410x y x y ++-+=，2C ：226290x y x y +--+=上的两个动点，P 为直线220x y ++=上的一个动点，则||||PM PN +的最小值为（）A .3- B.3C.1- D.49.已知椭圆C ：2213620x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若122AF AF =，则1ABF ∆的面积是（）A. B. C.8D.410.设双曲线224x y -=的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上，且1290F PF ︒∠=，则点P 的横坐标为（）A.B.2C.D.611.如图，1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，且()1F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线的方程为（）A.22551728x y -= B.2216x y -= C.2216y x -= D.22551287x y -=12.已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（）A.1514+B.2C.14D.4第II 卷（非选择题共90分）二.填空题（共8小题，每小题5分）13.过点()2,1-且方向向量为()1,2的直线的方程为___________．14.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长，则圆C 的方程为________．15.已知圆22460x y x y +--=，则过点()1,1M 的最短弦所在的直线方程是_________.16.已知()2,1,3a →=-，()3,4,2b →=-，()7,,5c λ→=，若,,a b c →→→共面，则实数λ=______．17.椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________.18.双曲线22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______19.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________．20.已知F 1､F 2为双曲线2222x y a b-=1(a >0，b >0)的左､右焦点，过F 2作倾斜角为60°的直线l 交双曲线右支于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，则12AF F △的内切圆半径r 1与12BF F △的内切圆半径r 2之比12r r 为___________.三.解答题（共4小题，共50分）21.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，高为4．（1）求1A B 与1AD 所成角的余弦值；（2）1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值．22.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为2，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.23.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,,2,4ABC AB AC AB AA AC ⊥===，M 是1CC 的中点，N 是1A B 的中点．（1）求证：1C N ∥平面ABM ；（2）求直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值；（3）求平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值．24.已知椭圆()222210+=>>x y a b a b左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线()1:02l y x m m =+≠与椭圆交于,A C 两点，与y 轴交于点P ，以线段AC 为对角线作正方形ABCD ，若2BP =．（i ）求椭圆方程；（ii ）若点E 在直线MN 上，且满足090EAC ∠=，求使得EC 最长时，直线AC 的方程．2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷第I 卷（选择题共60分）一.单选题（共12小题，每小题5分，在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）1.已知空间向量()(),1,0,21,1,1a b ==-，则下列结论正确的是（）A.向量a在向量b 上的投影向量是12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()0,1,3a b -=--C.ab⊥D.15cos ,15a b =【答案】A 【解析】【分析】对于A 选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B 选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C 选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D 选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可.【详解】A.a在b 上的投影5||a b b ⋅=-，与b 同向的单位向量为,0,)55||b b =-，所以向量a 在向量b 上的投影向量是552512,0,)(,0,)55555--=-，故A 正确；B.()0,1,3a b -=，故B 错误；C.因为0a b ⋅≠r r ，所以a 与b 不垂直，故C 错误；D.cos 15|,|||a b a b a b <>⋅==-⋅，故D 错误.故选：A.2.已知直线l 经过点()1,2-，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为（）A.2340x y ++=B.2380x y +-=C.3270x y --=D.3210x y --=【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程.【详解】直线l 与直线2310x y +-=垂直，且直线2310x y +-=的斜率为23-，所以直线l 的斜率为32，又因为直线l 经过点()1,2P -，所以直线l 的方程为()3212y x +=-，化简得3270x y --=.故选：C ．3.设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是A.[]0,3 B.[]2,4 C.[]2,5 D.[]3,5【答案】B 【解析】【详解】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值.详解：由题意得，圆224470x y x y +-++=，即()()22221x y -++=，圆心为()2,2-，半径1r =，由圆心到直线的距离3d ==，∴圆上动点到直线的最小距离为312-=，最大距离为314+=，即d 的取值范围是[]2,4，故选B.点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4.已知圆的方程为2220x y x +-=，(),M x y 为圆上任意一点，则21y x --的取值范围是（）A.⎡⎣B.[]1,1-C.(),-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，21y x --表示圆上的点与点()1,2A 的连线的斜率，求出过点()1,2A 与圆相切的切线的斜率，即可求出21y x --的取值范围.【详解】圆的方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径1r =，则21y x --表示圆上的点与点()1,2A 的连线的斜率，过点()1,2A 作圆的切线方程，显然，切线斜率存在，设切线方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k -+-=．=1，解得k =，所以21y x --的取值范围为(),-∞+∞ ．故选：C ．5.已知点M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于点,A B ，则ABM 的周长为（）A.4B.8C.12D.16【答案】B 【解析】【分析】求出椭圆中c =，发现点M 为椭圆的右焦点，直线过左焦点，从而根据椭圆定义得到ABM 的周长为4a .【详解】由椭圆方程可知224,1a b ==，所以2223c a b =-=，c =，所以点M 为椭圆的右焦点，直线(y k x =+过左焦点(，由椭圆定义可知：ABM 的周长为48a =故选：B6.已知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线34110x y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为（）A.()22118x y ++= B.()221x y +-=C.()22118x y -+= D.()221x y -+=【答案】A 【解析】【分析】求出两直线的交点坐标即圆心坐标，根据勾股定理求解半径即可.【详解】直线10x y ++=与直线10x y --=的交点为()0,1-，所以圆心为()0,1C -，设半径为r ，由题意得2223r +=，即解得218r =，故圆C 为()22118x y ++=.故选：A.7.已知圆22:2410C x y x y +-++=关于直线:3240l ax by ++=对称，则由点(,)M a b 向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】依题可求出圆心及半径，过点(,)M a b 向圆C 所作的切线长l =线长的最小值，只需求||MC 的最小值，依题可得圆心在直线:3240l ax by ++=上，从而可得点(,)M a b 所在直线，由点到直线的距离公式可求出||MC 的最小值，从而得到答案.【详解】因为22:2410C x y x y +-++=即22:(1)(2)4C x y -++=，所以圆心为(1,2)C -，半径为2R =;因为圆C 关于直线:3240l ax by ++=对称，所以:3440l a b -+=，所以点(,)M a b 在直线1:3440l x y -+=上，所以||MC 的最小值为：|384|=35d ++=，=【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，切线长的表示方法，最值的转化，体现出转化与化归数形结合的思想.8.已知,M N 分别是曲线1C ：222410x y x y ++-+=，2C ：226290x y x y +--+=上的两个动点，P 为直线220x y ++=上的一个动点，则||||PM PN +的最小值为（）A.3-B.3C.1- D.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意，将问题转化为求12,PC PC 的最小值，求得1C 的对称点，根据对称性即可求得结果.【详解】曲线2212410C x y x y ++-+=是以1(1,2)C -为圆心,2为半径的圆,2226290C x y x y +--+=是以2(3,1)C 为圆心,1为半径的圆,则||PM 的最小值为12PC PN -，的最小值为21PC -,如下图所示,作点1C 关于直线220x y ++=的对称点3C ,设其坐标为(,)m n,可得2211222022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+⨯+=⎪⎩,解得32m n =-⎧⎨=-⎩,即3(3,2)C --,连接23C C ,分别交直线220x y ++=､圆2C 于点,P N ,连接1PC ，交圆1C 于点M ,可得123223PC PC PC PC C C +=+≥==,当且仅当23,,C P C 三点共线时32PC PC +的最小值为,则||||PM PN +的最小值为3-,故选：A .【点睛】本题综合考查了点与圆,点关于直线对称的应用,需要学生能灵活运用所学知识.9.已知椭圆C ：2213620x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若122AF AF =，则1ABF ∆的面积是（）A. B. C.8D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出12AF F ∆的三边长，利用余弦定理求出12cos F AF ∠，即可得12sin F AF ∠值，故可得12AF F ∆的面积，由对称性可知1ABF ∆的面积.【详解】解：由题意可得6a =，4c =，则12212AF AF a +==，128F F =.因为122AF AF =，所以18AF =，24AF =，所以126416641cos 2844F AF +-∠==⨯⨯，则12sin 4F AF ∠=，故12AF F ∆的面积是121211sin 84224AF AF F AF ⋅∠=⨯⨯⨯=，由对称性可知1ABF ∆的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.10.设双曲线224x y -=的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上，且1290F PF ︒∠=，则点P 的横坐标为（）A.B.2C.D.6【答案】C 【解析】【分析】设(),P m n ，由点在曲线上及1290F PF ︒∠=，列出等式求解即可.【详解】由题意可得：()()12,F F -，设s ,>0，由题意可得：224m n -=1=-，两方程联立解得：26m =，所以m =故选：C11.如图，1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，且()1F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线的方程为（）A.22551728x y -= B.2216x y -= C.2216y x -= D.22551287x y -=【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义结合等边三角形求得2BF ，1BF ，再由余弦定理求得,a b ，即可求得双曲线方程.【详解】根据双曲线的定义，有212AF AF a -=①，122BF BF a -=②，由于2ABF △为等边三角形，因此22AF AB BF ==，由①＋②，得114BF AF a -=，则224AB AF BF a ===，16BF a =，又因为1260F BF ∠=︒，所以()()()22212642642c a a a a =+-⨯⨯⨯，即2277a c ==，解得21a =，则2226b c a =-=，所以双曲线的方程为2216y x -=．故选：C .12.已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（）A.1514+B.152C.14D.154【答案】A 【解析】【分析】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，由椭圆与双曲线的定义用,a a '表示出,x y ，然后用余弦定理得出,,a a c '的关系即12,e e 的关系式，然后由基本不等式求得最小值．【详解】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，则22x y a x y a '+=⎧⎨-=⎩，解得x a a y a a =+⎧⎨='-'⎩，在12PF F 中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，∴22222114242c x y xy x y xy =+-⨯=+-，1c e a =，2ce a ='，222221354()()()()222c a a a a a a a a a '''''=++--+-=+，∴2212358e e +=，∴()22222212121222221221531351888e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11881884⎛≥+=+=+ ⎝，当且仅当2212222153e e e e =时等号成立．所以2212e e +的最小值为1514+．故选：A ．【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义，考查它们的离心率，解题关键是利用定义表示出焦半径12,PF PF ，然后用余弦定理求得12,e e 的关系式，用基本不等式求得最小值．第II 卷（非选择题共90分）二.填空题（共8小题，每小题5分）13.过点()2,1-且方向向量为()1,2的直线的方程为___________．【答案】250x y --=【解析】【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解【详解】因为直线过点()2,1-且方向向量为()1,2，所以直线的斜率为221k ==，所以直线的方程为()122y x +=-，即250x y --=，故答案为：250x y --=14.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长，则圆C 的方程为________．【答案】(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.【解析】【分析】设圆的圆心，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解.【详解】由圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，∴设圆C 的圆心为(a ,－a )，又∵圆C 与直线x －y ＝0相切，∴半径r ==.又圆C 在直线x －y －3＝0，圆心(a ,－a )到直线x －y －3＝0的距离d =∴2222d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即22(23)3222a a -+=，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故答案为：22(1)(1)2x y -++=.15.已知圆22460x y x y +--=，则过点()1,1M 的最短弦所在的直线方程是_________.【答案】230x y +-=【解析】【分析】由题知，弦最短时，圆心与点M 的连线与直线l 垂直，进而求解直线方程即可.【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点M 的连线与直线l 垂直,因为圆22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=，圆心为：()2,3O ，所以31221OMk -==-，所以112l OM k k -==-，所以所求直线方程为：230x y +-=.故答案为：230x y +-=.16.已知()2,1,3a →=-，()3,4,2b →=-，()7,,5c λ→=，若,,a b c →→→共面，则实数λ=______．【答案】12313-【解析】【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数λ的值．【详解】因为,,a b c →→→共面，所以a x b y c →→→=+，则23732514x y x y x y λ-=+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩，解得311312313x y λ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，故答案为：12313-17.椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________.【答案】280x y +-=【解析】【分析】利用点差法即得直线斜率，再根据点斜式求直线方程.【详解】设这条弦的端点坐标为()()1122,,,x y x y ，则22111369x y +=，22221369x y +=，12128,4x x y y +=+=，∴221222120363699y x y x -+-=，22121222369y x x y -=--，所以()()1212121291362x x y y x x y y ++=-=---，因此这条弦所在的直线方程为1242()y x -=--，即280x y +-=.故答案为：280x y +-=.18.双曲线22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______【答案】2214y x -=【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可得2ba=，再由焦点到渐近线的距离为2可得2b =，即可得答案；【详解】由题意得：2,12,b a ab ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩，∴双曲线的方程为2214y x -=，故答案为：2214y x -=.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为b ，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________．【答案】62【解析】【详解】圆的标准方程为22(3)4x y -+=，圆心为(3,0)，半径为2r =，一条渐近线方程为0bx ay -=，圆心到渐近线距离为d =，因为弦长为2，所以22221=-，所以62c e a ==．20.已知F 1､F 2为双曲线2222x y a b-=1(a >0，b >0)的左､右焦点，过F 2作倾斜角为60°的直线l 交双曲线右支于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，则12AF F △的内切圆半径r 1与12BF F △的内切圆半径r 2之比12r r 为___________.【答案】3【解析】【分析】连接12O O 交AB 于D 点，由题意可得1122122O D r r r r ==++，即求.【详解】由内切圆的性质可知，12AF F △的内切圆1O 和12BF F △的内切圆2O 都与x 轴相切于双曲线的右顶点C ，可知12,,O C O 三点共线.连接12O O 交AB 于D 点，如图：直线l 的倾斜角为60°，所以1160CO T ∠=，2260DO T ∠= ，在11Rt DO T 与22Rt DO T 中，则1122122O D r r r r ==++，则12r r 为3.故答案为：3三.解答题（共4小题，共50分）21.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，高为4．（1）求1A B 与1AD 所成角的余弦值；（2）1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值．【答案】（1）45（2）13【解析】【分析】（1）利用棱柱中的平行关系转化异面直线为共面直线，余弦定理解三角形求夹角即可；（2）利用棱柱中的平行关系转化线面夹角，结合（1）解三角形计算即可.【小问1详解】连接1A B ，由正四棱柱的性质可知11//A B D C ，1A B 与1AD 所成角为1AD C ∠，由已知可得2211245,2AD D C AC ==+=由余弦定理可知：22211111324cos 22205D A D C AC AD C AD D C +-∠===⋅⨯；【小问2详解】由题意可知11//CC DD ，则1CC 与平面1ACD 所成角即1DD 与平面1ACD 所成角,连接DB 与AC 交于O ，结合（1）与条件易知1,D O AC BD AC ⊥⊥,而11,DC D O O DC D O =⊂ 、面1DD O ，故AC ⊥面1DD O ，又AC ⊂面1ACD ，所以面1ACD ⊥面1DD O ,显然面1ACD ⋂面11DD O D O =，即直线1DD 在面1ACD 上的投影在直线1D O 上,故1DD 与平面1ACD 所成角为1DDO ∠，易得221112,222AC DO AC D O D A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,所以111sin 3DO DD O D O ∠==.22.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为22，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.【答案】(1)2212x y +=(2)10x y -+=或10x y ++=.【分析】（1）由离心率合焦距可得出a 、c 的值，可求出b 的值，于是可得出椭圆E 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，于是得出ΔA 的面积为1212ABC S OF y y ∆=⋅-，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，将韦达定理代入ΔA 的面积表达式可求出m 的值，从而可得出直线l 的方程．【详解】（1）由2c a =，22c =，222a b c =+，解得a =1b =所以，椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设过()1,0F -的直线方程为1x my =-，代入椭圆E 的方程，化简得()222210m y my +--=，显然0∆>.设()12,A x x ,()12,B x x ，则12222m y y m +=+,12212y y m -=+从而12y y -=.所以121223OABS OF y y ∆=⋅-=，解得1m =±，所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆中的面积问题，在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，一般采用将直线与圆锥曲线方程联立的方法，结合韦达定理求解，易错点就是计算量大，所以在计算中充分运用一些运算技巧，简化计算．23.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,,2,4ABC AB AC AB AA AC ⊥===，M 是1CC 的中点，N 是1A B 的中点．（1）求证：1C N ∥平面ABM ；（2）求直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值；（3）求平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31010（3）3030【分析】（1）取AB 中点为E ，连接,NE ME ，易证四边形1NEMC 为平行四边形，则可得1//NC EM ，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由题意建立A xyz -空间直角坐标系，则可得1(0,4,4)A C =- ，平面ABM 的法向量1(0,1,2)n =-，再由直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值111111cos ,A C n A C n A C n ⋅=⋅求出答案；（3）由题意易知1(0,1,2)n =- ，可求出平面1A BC 的法向量2(2,1,1)n =，由平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅即可求出答案.【小问1详解】如图所示：取AB 中点为E ，连接,NE ME ，在1ABA △中，,N E 分别为1,BA BA 中点，所以NE 为1ABA △的中位线，所以1//NE AA ,且12AA NE =，又1111//,AA CC AA CC =，M 为1CC 中点，所以11//,NE C M NE C M =,所以四边形1NEMC 为平行四边形，所以1//NC EM ，又1NC ⊄平面ABM ，EM ⊂平面ABM ，所以1//C N 平面ABM；【小问2详解】如图所示：建立A xyz -空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,2,0,0,0,4,0,0,4,2,0,0,4A B C M A ，所以1(2,0,0),(0,4,2),(0,4,4)AB AM A C ===- ，设平面ABM 的法向量为1(,,)n x y z = ，则1120420n AB x n AMy z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1y =，则0x =，2z =-，则1(0,1,2)n =- ，所以直线1AC 与平面ABM所成角的正弦值为111111cos ,10A C n A C n A C n ⋅==⋅；【小问3详解】由题意知1(2,0,4),(2,4,0)A B BC =-=-，设平面1A BC 的法向量为2(,,)n x y z =，则212240240n A B x z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2x =，则1y =，1z =，则2(2,1,1)n =，平面ABM 与平面1A BC夹角的余弦值121212cos ,30n n n n n n ⋅===⋅.24.已知椭圆()222210+=>>x y a b a b左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线()1:02l y x m m =+≠与椭圆交于,A C 两点，与y 轴交于点P ，以线段AC 为对角线作正方形ABCD，若2BP =．（i ）求椭圆方程；（ii ）若点E 在直线MN 上，且满足090EAC ∠=，求使得EC 最长时，直线AC 的方程．【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）()()221414221x i y ii y x +==-【分析】（Ⅰ）根据直线MN 的斜率可得2a b =，即可求出离心率；（Ⅱ）()i 将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得AC 及PQ ，根据勾股定理即可求出b 的值；()ii 根据平行间的距离公式求出AE ，再根据勾股定理和二次函数的性质即可求出EC 最长时m 的值，即可求出直线AC 的方程．【详解】解：（Ⅰ）左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．12b a ∴=，2c e a ∴===，（Ⅱ）()i 由(Ⅰ)知椭圆方程为22244x y b +=，设()11,A x y ，()22,C x y ，线段AC 中点Q 则2221244y x m x y b⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，整理得：2222220x mx m b ++-=，由()22222(2)422840m m b b m =-⨯-=-> ，则122x x m +=-，221222x x m b =-，()1212122y y x x m m +=++=，则1,2Q m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由l 与y 轴的交点()0,P m ，PQ ==，()()()()()2222222121212125||14844AC x x y y k x x x x b m ⎡⎤=-+-=++-=-⎣⎦，()2222222221551010||||||244444BP BQ PQ AC PQ b m m b ∴=+=+=-+==，21b ∴=，即1b =，∴椭圆方程为2214x y +=；()ii 由()i 可知AC =，直线MN 的方程为112y x =+，∴直线MN 与直线l 点E 在直线MN 上，且满足90EAC ∠= ，AE ∴=，()222222421854||||(1)525555EC AE AC m m m m ∴=+=-+-=--+，当421m =-时，此时EC 最长，故直线AC 的方程14221y x =-.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．。

2023-2024学年人大附中高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年人大附中高二数学上学期期中考试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）2023.11第I 卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1．已知平面//α平面β，直线a α⊂，直线b β⊂，则a 与b 的位置关系是（）A ．平行B ．平行或异面C ．异面D ．异面或相交2．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（）.A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-3．一个水平放置的平面图形OAB 用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角O A B '''△，其中A B ''=，则平面图形OAB 的面积为（）A ．B ．C ．D ．4．已知1cos ,3a b 〈〉=-，则下列说法错误的是（）A ．若,a b分别是直线12,l l 的方向向量，则12,l l所成角余弦值是13B ．若,a b分别是直线l 的方向向量与平面α的法向量，则l 与α所成角正弦值是13C ．若,a b分别是平面ABC 、平面BCD 的法向量，则二面角A BC D --的余弦值是13D ．若,a b分别是直线l 的方向向量与平面α的法向量，则l 与α所成角余弦值是223.5．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是A ．B ．C ．D ．6．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是矩形，其中2AB =，4=AD ，13AA =，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为（）A ．9B C D ．7．如图，已知大小为60︒的二面角l αβ--棱上有两点A ，B ，,AC AC l α⊂⊥，,BD BD l β⊂⊥，若3,3,7AC BD CD ===，则AB 的长度（）A ．22B ．40C ．D 8．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为A ．41πB ．42πC ．43πD ．44π9．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，//BC QH ，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是A ．．C ．．10．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面11A B CD 截正方体可得两个壍堵，再沿平面11B C D 截壍堵可得一个阳马（四棱锥1111D A B C D -），一个鳖臑（三个棱锥11D B C C -），若P 为线段CD 上一动点，平面α过点P ，CD ⊥平面α，设正方体棱长为1，PD x =，α与图中鳖臑截面面积为S ，则点P 从点D 移动到点C 的过程中，S 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11．已知正方形ABCD 的边长为2，则AB AC =+ .12．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥的表面积为.13．平面与平面垂直的判定定理符号语言为：.14．在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在n 维空间中，正交的定义是两个n 维向量()()1212,,,,,,,n n a x x x b y y y =⋯=⋯满足11220n n x y x y x y ++⋯+=.已知某通信方式中用户的信号是4维非平向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为22(0,0,0,1),(0,0,1,0),,,0,022⎫⎪⎪⎝⎭.写出一个满足条件的第四个用户的信号向量.15．一个三棱锥的三个侧面中有一个是边长为2的正三角形，另两个是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积可能为.三、解答题（本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16．已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：(1,1,1),(1,2,3),(4,5,6),(7,8,)A B C D x .(1)求||AC ；(2)若AB CD ⊥ ，求x 的值；(3)若D 点在平面ABC 上，直接写出x 的值.17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.(1)求证：BC AD ∥；(2)求证：CE 平面PAB ；(3)若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN 平面PAB ？说明理由.18．如图所标，已知四棱锥E ABCD -中，ABCD 是直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，平面EAB ⊥平面ABCD ，63AB BC BE AD AE =====,,(1)证明：BE ⊥平面ABCD ；(2)求B 到平面ADE 的距离；(3)求二面角A DE C --的余弦值.第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）19．关于空间中的角，下列说法中正确的个数是（）①空间中两条直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦②空间中直线与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦③空间中二面角的平面角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦④空间中平面与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ．1B ．2C ．3D ．420．.如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC ，AD 的中点.将ABF △沿BF 所在直线进行翻折，将CDE 沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是（）A ．点A 与点C 在某一位置可能重合B ．点A 与点C 3ABC ．直线AB 与直线DE 可能垂直D ．直线AF 与直线CE 可能垂直21．在正方体ABCD A B C D -''''中，P 为棱AA '上一动点，Q 为底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点,P Q 都运动时，点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A ．棱柱B ．棱台C ．棱锥D ．球的一部分22．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A C 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．存在点Q ，使得//PQ BDB ．存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC ．三棱锥Q APD -的体积是定值D ．存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题纸上的相应位置.）23．如图，在边长为2正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足11B P D E ⊥，则点1B 和满足条件的所有点P 构成的图形的周长是.24．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有侧棱长及底面边长都为2，D 是1CC 的中点，则直线AD 与平面1A BD所成角的正弦值为．25．点O 是正四面体1234A A A A 的中心，()11,2,3,4i OA i ==.若11223344OP OA OA OA OA λλλλ=+++ ，其中()011,2,3,4i i λ≤≤=，则动点P 扫过的区域的体积为.三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤.请将答案写在答题纸上的相应位置.）26．已知自然数集()*{1,2,3,,}N A n n =∈ ，非空集合{}()*12,,,N m E e e e A m =⊆∈ .若集合E 满足：对任意a A ∈，存在,(1)i j e e E i j m ∈≤≤≤，使得,,{1,0,1}i j a xe ye x y =+∈-，称集合E 为集合A 的一组m 元基底.(1)分别判断下列集合E 是否为集合A 的一组二元基底，并说明理由：①{1,2},{1,2,3,4,5}E A ==；②{2,3},{1,2,3,4,5,6}E A ==.(2)若集合E 是集合A 的一组m 元基底，证明：(1)n m m ≤+；(3)若集合E 为集合{1,2,3,,19}A = 的一组m 元基底，求m 的最小值.1．B【分析】利用直线与平面的位置关系判断即可.【详解】因为平面//α平面β，直线a α⊂，直线b β⊂，所以a 与b 没有交点，即a 与b 可能平行，也可能异面．故选：B.2．B【分析】根据空间向量的坐标表示可得.【详解】由空间向量的坐标表示可知，AB OB OA =-，所以()()()2,5,33,1,05,4,3OB AB OA =+=-+-=-，所以点B 的坐标为()5,4,3-.故选：B 3．B【分析】先求得原图形三角形的底与高的值，进而求得原图形的面积【详解】因为在直观图中，O A A B ''''=O B ''==，，高为2⨯=故原图形的面积为12=.故选：B4．C【分析】根据向量法逐一判断即可.【详解】对于A ：因为直线与直线所成角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以12,l l 所成角余弦值为1cos ,3a b 〈〉= ，故A 正确；对于B ：因为直线与平面所成角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以l 与α所成角正弦值3s n 1cos ,i a b θ〈=〉= ，l 与α所成223=，故BD 正确；对于C ：因为二面角的平面角所成角范围为[)0,p，所以二面角A BC D --的余弦值可能为负值，故C 错误；故选：C 5．B【分析】设三棱锥S ABC -的各棱长均相等，由,SC SH 确定的平面，得到截面SCD ∆，再由正四面体的性质和图象的对称性加以分析，同时对照选项，即可求解.【详解】如图所示，设三棱锥S ABC -的各棱长均相等，球O 是它的内切球，设H 为底面ABC ∆的中心，根据对称性可得内切球的球心O 在三棱锥的高SH 上，由,SC SH 确定的平面交AB 于D ，连接,AD CD ，得到截面SCD ∆，截面SCD 就是经过侧棱SC 与AB 中点的截面，平面SCD 与内切球相交，截得的球大圆如图所示，因为SCD ∆中，圆O 分别与,AD CE 相切于点,E H ，且SD CD =，圆O 与SC 相离，所对照各个选项，可得只有B 项的截面符合题意，故选B.【点睛】本题主要考查了正四面体的内切球的截面问题，其中解答中正确理解组合体的结构特征是解答的关键，着重考查了正四面体的性质，球的性质的应用，属于中档试题.6．C【分析】由11AC AC CC =+ ，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出2211,,2AC AC CC CC ⋅ 的值，进而可得答案【详解】由11AC AC CC =+ ，2222211111()2AC AC AC CC AC AC CC CC ==+=+⋅+ .因为底面ABCD 是矩形，2AB =，4=AD ，13AA =，所以2241620=AC AC =+= ，219CC = ，因为1160A AB A AD ∠=∠=，所以1123cos 603,43cos 606AB CC BC CC ⋅=⨯⨯=⋅=⨯⨯=所以()1111822()2()=23+6=1AC CC AB BC CC AB CC BC CC ⋅=+⋅=⋅+⋅，2112018947,47AC AC =++==故选：C.7．C【分析】过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，易得60CAE ︒∠=，通过线面垂直的判定定理可得ED ⊥平面AEC ，继而得到ED EC ⊥，由勾股定理即可求出答案.【详解】解：过A 作AE BD 且AE BD =，连接,CE DE ，则四边形ABDE 是平行四边形，因为BD AB ⊥，所以平行四边形ABDE 是矩形，因为BD l ⊥，即AE l ⊥，而AC l ⊥，则CAE ∠是二面角l αβ--的平面角，即60CAE ︒∠=，因为3BD AE AC ===，即ACE △为正三角形，所以3CE =，因为,ED AE l AC ⊥⊥，即ED AC ⊥，,,AE AC A AE AC ⋂=⊂平面AEC ，所以ED ⊥平面AEC ，因为EC ⊂平面AEC ，所以ED EC ⊥，所以在Rt EDC中，ED =AB ED ==故选：C8．A【解析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径.【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，即为14122=，∴该球形容器体积的最小值为：42π⨯=41π.故选：A.【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题.9．C【分析】首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.【详解】设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O ，则O 是底面QRH的中心.设OR HQ G ⋂=，则EAB PGO ∠=∠，又因为4323RG RO OG ===，3PO ==，所以22sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=选C.【点睛】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.属中档题.10．B【分析】分析得出11PMN CB C △△，可得出1PNxCC =，求出PMN S △关于x 的函数关系式，由此可得出合适的选项.【详解】设M 、N 分别为截面与1DB 、1DC 的交点，DP x =，01x ≤≤，CD ⊥ 平面PMN ，CD ⊥平面11B CC ，所以，平面//PMN 平面11B CC ，因为平面1DCC 平面PMN PN =，平面1DCC 平面111B CC CC =，所以，1//PN CC ，同理可得11//MN B C ，1//PM B C ，所以，111111PN DN MN DM PM DP x CC DC B C DB B C DC ======，所以，11PMN CB C △△，易知111111122CB C S B C CC =⋅=△，因此，112212PMN CB C S x S x ==△△.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的辨别，解题的关键就是充分分析图形的几何特征，以此求出函数解析式，结合解析式进行判断.11．【分析】根据向量数量积以及模长公式即可求解.【详解】由题意可知π2,,4AB AC AB AC ===，24,2AB AC ∴=⋅=⨯故AB AC +===故答案为：12．3π【分析】由轴截面可确定圆锥底面半径和母线长，代入圆锥表面积公式即可.【详解】圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，∴圆锥底面半径1r =，圆锥母线长2l =，∴圆锥的表面积2ππ2ππ3πS rl r =+=+=.故答案为：3π.13．,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥（答案不唯一）【分析】根据“平面与平面垂直的判定定理”写出正确答案.【详解】平面与平面垂直的判定定理：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥.故答案为：,a a αβαβ⊂⊥⇒⊥（答案不唯一）14．()1,1,0,0（答案不唯一）【分析】根据“正交”的定义列方程，从而求得正确答案.【详解】设满足条件的第四个用户的信号向量是(),,,x y z u ，则()()()(0,0,0,1),,,0(0,0,1,0),,,0,,,,022x y z u x y z u x y z u ⎧⎪⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⎛⎫⎪-⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，则00022u z x y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，则0,u z x y ===，故一个满足条件的信号向量是()1,1,0,0.故答案为：()1,1,0,0（答案不唯一）15．（或3或，答案不唯一）【分析】根据已知条件进行分类讨论，结合三棱锥的体积公式求得正确答案.【详解】（1）BCD △是等边三角形，且,AB AC AD AC ⊥⊥，如下图所示，由于,,AB AD A AB AD =⊂ 平面ABD ，所以AC ⊥平面ABD，2,BC BD CD AB AD AC ======222,AB AD BD AB AD +=⊥，则1132A BCD V -=⨯.（2）BCD △是等边三角形，且,AB BD AB BC ⊥⊥，如下图所示，由于,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面BCD ，所以AB ⊥平面BCD ，2BC BD CD AB ====，所以112322sin 602323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯︒⨯=.（3）BCD △是等边三角形，且,AB BD CD AC ⊥⊥，如下图所示，取AD 的中点O ，连接,OB OC ，则2BC BD CD AB ====，22AD =122OB OC AD ===222,OB OC BC OB OC +=⊥，,,,,AD OB AD OC OB OC O OB OC ⊥⊥⋂=⊂平面OBC ，所以AD ⊥平面OBC .所以112222232A BCD V -⎛=⨯⨯ ⎝.故答案为：23（或23或23，答案不唯一）.16．(1)92x =(3)9x =【分析】（1）根据空间向量的模求得正确答案.（2）根据向量垂直列方程，化简求得x 的值.（3）根据向量共面列方程，从而求得x 的值.【详解】（1）()3,4,5,AC AC ===（2）()()0,1,2,3,3,6AB CD x ==-，由于AB CD ⊥ ，所以3212290AB CD x x ⋅=+-=-= ，解得92x =.（3）()()0,1,2,3,4,5AB AC ==，设AD aAB bAC =+ ，即()()()()6,7,10,,23,4,53,4,25x a a b b b b a b a b -=+=++，所以6374125ba b x a b =⎧⎪=+⎨⎪-=+⎩，解得1,2,9a b x =-==.17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）由中位线、线面平行的性质可得四边形BCEF 为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明；（3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性.【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，所以BC AD ∥；（2）如下图，取F 为AP 中点，连接,EF BF ，由E 是PD 的中点，所以EF AD ∥且12EF AD =，由（1）知BC AD ∥，又12BC AD =，所以EF BC ∥且EF BC =，所以四边形BCEF 为平行四边形，故CE BF ∥，而CE ⊂平面PAB ，BF ⊄平面PAB ，则CE 平面PAB .（3）取AD 中点N ，连接CN ，EN ，因为E ，N 分别为PD ，AD 的中点，所以EN PA ∥，因为EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以EN 平面PAB ，线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB ，理由如下：由（2）知：CE 平面PAB ，又CE EN E = ，CE ⊂平面CEN ，EN ⊂平面CEN ，所以平面CEN 平面PAB ，又M 是CE 上的动点，MN ⊂平面CEN ，所以MN 平面PAB ，所以线段AD 存在点N ，使得MN 平面PAB .18．(1)证明详见解析(2)3222-【分析】（1）通过证明BE AB ⊥，结合面面垂直的性质定理证得BE ⊥平面ABCD.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得B 到平面ADE 的距离.（3）利用向量法求得二面角A DE C --的余弦值.【详解】（1）由于222AB BE AE +=，所以BE AB ⊥，由于平面EAB ⊥平面ABCD ，且交线为AB ，BE ⊂平面EAB ，所以BE ⊥平面ABCD .（2）由于BC ⊂平面ABCD ，所以BE BC ⊥，所以,,BC AB BE 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()6,0,0,0,6,0,0,0,6,3,6,0C A E D，故()()3,0,0,0,6,6AD AE==-，设平面ADE的法向量为(),,m x y z=，则30660m AD xm AE y z⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，故可设()0,1,1m=，又()0,6,0BA=，所以B到平面ADE的距离为m BAm⋅==.（3）由（2）得平面ADE的法向量为()0,1,1 m=.而()()3,6,0,3,6,6CD ED=-=-，设平面CDE的法向量为(),,n a b c=，则3603660n CD a bn ED a b c⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，故可设()2,1,2n=，由图可知二面角A DE C--为钝角，设为θ，则cos2m nm nθ⋅=-==-⋅.19．C【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角范围判断即可.【详解】对于①：由空间中两条直线所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦，可知①正确；对于②：由空间中直线与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可知②正确；对于③：空间中二面角的平面角的取值范围是[]0,π，可知③错误；对于④：空间中平面与平面所成角的取值范围是π0,2⎡⎤⎢⎣⎦，可知④正确；故选：C20．D【分析】将ABF△沿BF所在直线进行翻折，将CDE沿DE所在直线进行翻折，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是圆，AB，AF是以BF为旋转轴的圆锥侧面；CE，CD是以DE为旋转轴的圆锥侧面；【详解】由题意，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以点A与点C不可能重合，故选项A错误；点A与点C的最大距离为正方形的对角线AC=，故选项B错误；由题易知直线BF与直线DE平行，所以直线AB与直线DE所成角和直线AB与直线BF所成角相等，显然直线AB与直线BF不垂直，故选项C错误；由题在正方形中直线AF 与直线CE 平行，设翻折后点A 为1A ，由题易知初始位置ππ,42AFB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，当ABF △沿BF 所在直线翻折到与平面BEDF 重合时，1π2,π2A FA AFB ⎛⎫∠=∠∈ ⎪⎝⎭所以在此连续变化过程中必存在1π2A FA ∠=，即1A F AF ⊥，所以1A F CE ⊥,所以翻折过程中，直线AF 与直线CE 可能垂直，故选项D 正确.故选：D.21．A【分析】先讨论P 点与A 点重合，M 点的轨迹，再分析把P 点从A 点向上沿1AA 移动，在移动的过程中M 点的轨迹，从而可得出结论.【详解】解：若P 点与A 点重合，设,AB AD 的中点分别为,E F ，移动Q 点，则此时M 点的轨迹为以,AE AF 邻边的正方形，再将P 点从A 点向上沿1AA 移动，在移动的过程中可得M 点的轨迹是将以,AE AF 邻边的正方形沿1AA 向上移动，最后当点P 与1A 重合时，得到最后一个正方形，故所得的几何体为棱柱.故选：A.22．B【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D ，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD 不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =--，若它们夹角为θ，则2222(1)|1|cos 2(1)1(2)233a a a a θ=⨯-++-⋅-+令1[1,1]t a =-∈-，则cos θ==，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，cos θ∈；当0=t 则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t ∞∈--，2cos (0,]2θ∈；所以πcos 6=不在上述范围内，错.故选：B23．【分析】以点D 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，由坐标法证明11,D E MN D E AM ⊥⊥，从而得出满足条件的所有点P 构成的图形，进而得出周长.【详解】以点D 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，如图，取1,CC CD 的中点分别为,N M ，连接11,,,AM MN B N AB ，由于1AB MN ∥，所以1,,,A B N M 四点共面，且四边形1AB NM 为梯形，()()()()()12,0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,2,1,2,0A M N D E ，()()()12,1,0,0,1,1,1,2,2AM MN D E =-==- ，因为11220,220AM D E MN D E ⋅=-+=⋅=-= 所以11,D E MN D E AM ⊥⊥，所以由线面垂直的判定可知1D E ⊥平面1AB NM ，即满足条件的所有点P 构成的图形为1AB NM ，由于11NM AB AM B N ===，则满足条件的所有点P构成的图形的周长为.故答案为：3225+24．10【分析】以A 为原点，建立空间直角坐标系，求得向量(0,2,1)AD = 和平面1A BD 的一个法向量为(3,1,2)n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图所示，以A 为原点，过点A 垂直于AC 的直线为x 轴，以AC 和1AA 所在的直线分别为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，因为正四棱柱111ABC A B C -的所有侧棱长及底面边长都为2，可得1(0,0,0),(0,0,2),(3,1,0),(0,2,1)A A B D ，则11(0,2,1),(3,1,2),(0,2,1)AD A B A D ==-=- ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z = ，则1132020n A B y z n A D y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，可得3,2x z ==，所以(3,1,2)n =，设直线AD 与平面1A BD 所成的角为θ，可得410sin cos ,5522AD n AD n AD n θ⋅====⨯ ，所以直线AD 与平面1A BD 所成的角的正弦值为105.故答案为：105.25．16391639【分析】将正四面体1234A A A A 放入正方体中，得到正方体的体对角线是12OA ，从而得到该正方体的边长，再根据条件得到P 扫过的区域的体积即可.【详解】图，作出正四面体1234A A A A ，将正四面体1234A A A A 放入正方体中，如下图所示：则O 是该正方体的中心，设该正方体的棱长为a ，则22212a a a ++=⨯，解得：233a =，又11223344OP OA OA OA OA λλλλ=+++ ，()011,2,3,4i i λ≤≤=，则知P 扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，其中两个面如下图所示：可得动点P 扫过的区域的体积为该正方体体积的2倍，即动点P 扫过的区域的体积3233239V ⎛=⨯= ⎝⎭.故答案为：163.26．(1)①不是；②是(2)证明见解析(3)5【分析】（1）根据题干信息，利用二元基底的定义加以验证即可；（2）首先设12m e e e <<⋅⋅⋅<，计算出i j a xe ye =+的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意可得：22C C m m m m n +++≥，即可得证：()1n m m ≤+；（3）由（2）可知()119m m +≥，所以4m ≥，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”，再讨论当4m =时，集合E 的所有情况均不可能是A 的4元基底，而当5m =时，A 的一个基底{}1,3,5,9,16E =，由此可得m 的最小值为5.【详解】（1）{}1,2E =不是{}1,2,3,4,5A =的一个二元基底理由是{}()412,1,0,1x y x y ≠⋅+⋅∈-{}2,3E =是{}1,2,3,4,5,6A =的一个二元基底理由是11213=-⨯+⨯；21203=⨯+⨯；30213=⨯+⨯；41212=⨯+⨯，51213=⨯+⨯，61313=⨯+⨯.（2）不妨设12m e e e <<⋅⋅⋅<，则形如()101i j e e i j m ⋅+⋅≤<≤的正整数共有m 个；形如()111i i e e i m ⋅+⋅≤≤的正整数共有m 个；形如()111i j e e i j m ⋅+⋅≤<≤的正整数至多有2C m 个；形如()()111i j e e i j m -+⋅≤<≤的正整数至多有2C m 个；又集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅含有n 个不同的正整数，E 为集合A 的一个m 元基底.故22C C m m m m n +++≥，即()1m m n +≥.（3）由（2）可知()119m m +≥，所以4m ≥.当4m =时，()1191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.假设{}1234,,,E e e e e =为{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的一个4元基底，不妨设1234e e e e <<<，则410e ≥.当410e =时，有39e =，这时28e =或27e =.如果28e =，则1109=-，198=-，1899=+，18108=+，重复元素超出一个，不符合条件；如果27e =，则16e =或15e =，易知{}6,7,9,10E =和{}5,7,9,10E =都不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当411e =时，有38e =，这时27e =，16e =，易知{}6,7,8,11E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当412e =时，有37e =，这时26e =，15e =，易知{}5,6,7,12E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当413e =时，有36e =，这时25e =，14e =，易知{}4,5,6,13E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当414e =时，有35e =，这时24e =，13e =，易知{}3,4,5,14E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当415e =时，有34e =，这时23e =，12=e ，易知{}2,3,4,15E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当416e =时，有33e =，这时22e =，11e =，易知{}1,2,3,16E =不是{}1,2,3,,19A =⋅⋅⋅的4元基底，不符合条件；当417e ≥时，E 均不可能是A 的4元基底.当5m =时，易验证A 的一个基底{}1,3,5,9,16E =，理由：11101=⨯+⨯；21111=⨯+⨯；31301=⨯+⨯；41113=⨯+⨯；51501=⨯+⨯；61313=⨯+⨯；719116=-⨯+⨯；81315=⨯+⨯；91901=⨯+⨯；101515=⨯+⨯；1115116=-⨯+⨯；121319=⨯+⨯；1313116=-⨯+⨯；141519=⨯+⨯；1511116=-⨯+⨯；1611601=⨯+⨯；1711611=⨯+⨯；181919=⨯+⨯；1911613=⨯+⨯.综上所述，m 的最小值为5.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，照章办事，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

北京市通州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷(含答案)

通州区2024-2025学年第一学期高二年级期中质量检测数学试卷2024年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若直线与直线平行，则（）A.2B.C. D.2.若向量，，满足条件，则（）A. B. C.0D.23.在空间直角坐标系Oxyz 中，点关于坐标平面Oyz 的对称点坐标为（）A. B.C. D.4.已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（）A. B. C.或 D.相交但不垂直5.法向量为的平面内有一点，则平面外点到平面的距离为（）A.1B.26.过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（）A.B.C.D.7.圆和圆的位置关系是（）A.相离B.相交C.外切D.内切8.如图，在平行六面体中，AC 与BD 的交点为M ，若，则（）1y kx =+2y x =k =122-12-(1,2,)a x = (1,2,1)b =- (1,2,2)c =-()4c a b -⋅=- x =4-2-(1,2,4)A (1,2,4)---(1,2,4)-(1,2,4)-(1,2,4)--α(1,0,1)a =- (2,3,2)u =-//l αl α⊥//l αl α⊂,l α(1,0,1)n =α(1,1,0)A -(1,1,0)P α(4,-22:40C x y x ++=π4π2π32π3221:20C x y x +-=222:40C x y y +-=1111ABCD A B C D -1MC xAB y AD =++ 1z AAx y z ++=A. B.C.D.29.如果，那么“”是“直线不通过第三象限”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E 为棱BC 的中点，平面yDz 内两个动点P ，M ，分别满足，，则的取值范围是（）A. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则________.12.过点的直线平分圆，则这条直线的倾斜角为________.13.直线与圆相交于A 、B 两点，当弦AB 最短时，________.14.已知两点，和圆，则直线AB 与圆C的位置关系为________.若点M 在圆C 上，且，则满足条件的点M 共有________个.2-32-120A B C ⋅⋅≠0A C ⋅<0Ax By C ++=D xyz -()111,,N x y z ()222,,F x y z 12NF x x =-+1212y y z z -+-1111ABCD A B C D -12PD =AMD CME ∠=∠PM 2⎤-+⎥⎦2⎡⎤+⎣⎦2⎤-+⎥⎦2⎡⎤+⎣⎦(1,2,4)a =-(2,4,1)b x y =+ 1l 2l 12//l l x y +=(3,1)-22:(1)(3)5M x y -++=10()x my m +-=∈R 224x y +=m =(0,1)A (3,4)B -22:8C x y +=3ABM S =△15.直三棱柱中，，，，，使棱上存在点P ，满足，则下列正确结论的序号是________.①满足条件的点P 一定有两个；②三棱锥的体积是三棱柱体积的；③三棱锥的体积存在最小值；④当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy 中，点，，.（I ）求直线BC 的方程；（II ）求过点A 与直线BC 垂直的直线l 的方程；（III ）求直线BC 与直线l 交点的坐标.17.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy 中，点，，且圆M 是以AB 为直径的圆.（I ）求圆M 的方程；（II ）若直线与圆M 相交，求实数k 的取值范围.18.（本小题15分）如图，在棱长是2的正方体中，E ，F 分别为AB ，的中点.（I ）证明：平面；（II ）求异面直线EF 与所成角的大小.19.（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，111ABC A B C -CA CB ⊥3CA =4CB =1CC a =1BB 1PC PC ⊥1C ACP -111ABC A B C -131C APC -1APC △1AA 1PC 23(1,1)A (1,3)B -(2,0)C (2,0)A (0,2)B 1y kx =-1111ABCD A B C D -1A C EF ⊥1A CD 1CD P ABCD -PD ⊥AD DC ⊥//AB DC，，E ，M 分别为棱PB ，PC 的中点.（I ）求线段BM 的长；（II ）求平面PDM 和平面DME 夹角的余弦值；（III ）在线段AP 上是否存在点G ，使得直线DG 在平面DME内，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题15分）如图①，在直角梯形ABCD 中，，，，点E 是BC 边的中点，将沿BD 折起至，使平面平面BCD ，得到如图②所示的几何体，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.图①图②（I ）求证：；（II ）求直线与平面所成角的正弦值.21.（本小题14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点且圆心C 在x 轴上，与直线交于不同的两点M ，N，且.（I ）求圆C 的方程；（II ）设圆C 与y 轴交于A ，B 两点，点P 为直线上的动点，直线PA ，PB 与圆的另一个交点分别为R ，S ，且R ，S 在直线AB 两侧，求证：直线RS 过定点，并求出的值.122AB AD CD ===2PD =PGPA2AD AB ==//AD BC AB BC ⊥ABD △1A 1A BD ⊥1A BCD -1BD A E ⊥11A B A E =1A B CD ⊥1A C 1A DE (1,Q :1l y x =+QN QM =4y =(0,)H t通州区2024-2025学年第一学期高二年级期中质量检测数学参考答案及评分标准2024年11月一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案ADBCDCBDBA二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.612.13.014.相交；415.②③④三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）（I ）直线的斜率，故直线的方程为，化简得.（II ）因为直线与直线垂直，故，所以，直线的方程为，化简得.（III ）直线和的交点即，17.（共13分）解：（I ）由已知，，则圆心.半径.（II ）由直线，即，又直线与圆相交，可得，，解得.18.（共15分）解：（I ）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，所以.135︒BC 30112BC k -==---BC (2)y x =--20x y +-=BC 1l BCk k ⋅=-1l k =11y x -=-0x y -=20x y +-=0x y -=201,01,x y x x yy ⎧+-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩(1,1)(2,0)A (0,2)B (1,1)M 12r AB ===22(1)(1)2x y -+-=1y kx =-10kx y --=d =2420k k +->(,2(2)k ∈-∞---++∞ D 1(2,0,2)A (0,2,0)C (2,1,0)E (1,1,1)F 1(2,2,2)A C =-- (1,0,1)EF =-1(2)(1)20(2)10A C EF ⋅=-⨯-+⨯+-⨯=1EF A C ⊥同理，，故平面.（II ），，，所以，所以.19.（共15分）（I ）因为平面，，平面，则，，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由已知，，，，，，可得，，故线段（II ），，设平面的法向量为，所以，令，则，.所以平面的一个法向量为，易知为平面的一个法向量，所以所以平面和平面（III ）假设线段上存在点，使得直线在平面内，，EF DC ⊥1A C DC C = EF ⊥1A CD 1(0,0,2)D 1(0,2,2)CD =- EF = 1CD =1(1)00(2)122EF CD ⋅=-⨯+⨯-+⨯=1111cos ,2EF CD EF CD EF CD ⋅===PD ⊥ABCD AD DC ⊂ABCD PD AD ⊥PD DC ⊥AD DC ⊥D DA DC DP x y z D xyz -(0,0,0)D (2,0,0)A (2,2,0)B (0,4,0)C (0,0,2)P (0,2,1)M (1,1,1)E (2,0,1)BM =-BM = BM (0,2,1)DM = (1,1,1)DE =DME (,,)n x y z =200n DM y z n DE x y z ⎧⎪⎨⎪⋅=+=⋅=+=⎩+1y =1x =2z =-DME (1,1,2)n =-DAPDM cos ,n DA n DA n DA⋅〈〉===PDM DME AP G DG DME ([0,1])PGPAλλ=∈则，，因为在平面内，故，所以，.故线段上存在点，使得直线在平面内，此时.20.（共15分）解：（I ）证明若选条件①，取中点，连，OE ，，故，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，且，所以平面，所以.以为坐标原点，，，分别为，，轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示，，，，，，，，，，，，，所以，所以.（II ）设平面的法向量为，则，取，，(2,0,2)PGPA λλλ==-(2,0,22)DGDP PG λλ=+=-+DG DME DGn ⊥2101(22)(2)0DG n λλ⋅=⨯+⨯+-+⨯-= 23λ=AP G DG DME 23PG PA =BD O1A O 2ADAB ==1A O BD ⊥12OE DC =1A BD ⊥BCD 1ABD BCD BD =1A O ⊂1ABD 1A O ⊥BCD OE ⊂BCD 1AO OE ⊥1BD A E ⊥111A O A E A =BD ⊥1A OEBD OE ⊥O OBOE 1OA x y z 2AD AB ==1A O OB OE ===45ABD DBE ︒∠=∠=CD =1AB (C (DE 1A B = (0,CD=-1A E = DE =1(A C =100((00A B CD ⋅=+⨯-+⨯=1A B CD ⊥1A DE (,,)n x y z =-==+(1,1,1)n =- 1cos ,A C n ==故与平面.若选条件②，取中点，连，，，故，，，因为平面平面BCD ，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以，，又因为，所以，所以，所以.以下同条件①.21.（共14分）解：（I ）因为圆心在轴上，故设.因为交于不同的两点，，且，所以.则，解得，，故圆的方程为：.（II ），设，，，记，，则直线的方程为：，代入圆的方程消去得：，，，，同理，，设直线过定点，则直线斜率为：，所以，故直线过定点.1A C 1A DE BD O 1A O OE 2AD AB ==1A O BD ⊥12OE DC =45ABD OBE ︒∠=∠=1A BD ⊥1A BD BCD BD =1A O ⊂1A BD 1A O ⊥BCD OE ⊂BCD 1A O OE ⊥1A O OB ⊥11A B A E =11A OB A OE ≅△△BO OE ==BD OE ⊥C x (,0)C a 1y x =+M N QN QM =QC l ⊥QC k ==0a =2r CQ ==C 224x y +=(0,2)A -(0,2)B ()0,4P x ()11,R x y ()22,S x y 063PA k m x ==02PB k m x ==PA 32y mx =-y ()2219120m x mx +-=0∆>121219m x m ∴=+21218219m y m -=+2241mx m -=+222221m y m -+=+RS (0,)H t RS 1212y t y tx x --=()2124(1)0m t +-=1t =RS (0,1)H。

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4 1 4

3 正（主）视图侧（左）视图

俯视图第5题图

康杰中学2014—2015学年度第一学期期中考试高二数学（文）试题（考试时间120分钟，满分150）一、选择题：（本大题共12小题. 每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．两直线03ayx与03yx的位置关系是 A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 平行或重合 2．图1是由图2中的哪个平面图旋转而得到的

3．三个平面将空间最多能分成 A. 6部分 B. 7部分 C. 8部分 D. 9部分 4．圆4)2()2(:221yxC和圆16)5()2(:222yxC的位置关系是 A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A. 12 B. 18 C. 27 D. 54 6．光线从点)3,2(A射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点)32,1(C，则光线BC所在直线的倾斜角为

A.6 B. 3 C. 32 D. 65 7．将直线01:yxl绕着点)3,2(A逆时针方向旋转090，得到直线1l的方程是 A. 042yx B. 01yx C. 05yx D. 072yx 8．在正方体1111DCBAABCD中，FE、分别为BCAB、中点，则异面直线EF与1AB所成角的余弦值为

A. 23 B. 33 C. 22 D. 21 9．在下列关于点P，直线l、m与平面、的命题中,正确的是 A. 若m,lm，则l∥ B. 若l、m是异面直线，m, m∥, l, l∥,则∥. C. 若，m，lPP,，且lm，则l D. 若且l,lm，则m 10．如图所示，平面四边形ABCD中，2,1BDCDADAB，CDBD，将其沿对角线BD折成四面体BCDA，使BCDABD平面平面，则下列说法中不正确．．．的是

A. ABDACD平面平面 B. CDAB C. ACDABC平面平面 D. ABCAD平面 11．若圆02:221xyxC与直线0:mmxyl有两个不同的交点，则实数m的取值范围是

A． )33,33( B． )33,0()0,33(

C A A

B 10题图 D

C D

A B

C D A1 B

E F 8题图 C．]33,33[ D． ),33()33,( 12．三棱锥ABCP中，三侧棱PCPBPA,,两两互相垂直，且三角形，PAB，PACPBC的面积依次为1,1,2，则此三棱锥ABCP外接球的表面积为 A. 9 B. 12 C. 18 D. 36 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13．如图所示，三棱锥ABCP，ABCPA底面，090ABC，

则此三棱锥ABCP中直角三角形有个.

14．若ba,满足12ba，则直线03byax必过定点的坐标是 . 15．如果实数yx,满足1)2()2(22yx，则22yx的最小值为 . 16．下列四个正方体图形中，AB、为正方体的两个顶点，MNP、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB平面MNP的图形的序号是 .（将你认为正确的都填上）

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17.（本题满分10分）圆柱内有一个直四棱柱，直四棱柱底面是圆柱底面的内接正方形．已知圆柱表面积为6，且底面圆直径与母线长相等，求此四棱柱的体积． 18.（本题满分12分）求斜率为43，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程． 19.(本题满分12分) 如图，正方体1111DCBAABCD中，EF 与异面直线DAAC1,都垂直相交.

求证：1BDEF∥ 16题图 C P A B 13题图 D1 A B C D A

1 B1

E F

A B C P 12题20.（本题满分12分）已知圆C与x轴相切，圆心C在射线)0(03xyx上，直线0yx被圆C截得的弦长为27 （1）求圆C标准方程; (2)已知点)1,0(Q，经过点Q直线l与圆C相切于P点，求QP的值. 21.(本题满分12分) 如图，三棱柱111CBAABC中，侧棱ABCAA底面1，且侧棱和底面边长均为2，D是BC的中点（1）求证:11CCBBAD平面； (2)求证:11ADCBA平面∥； (3)求三棱锥11ADBC的体积

22.（本题满分12分）已知点A的坐标为)0,23(，点B在圆7:22yxO上运动，以点B为一端点作线段BM，使得点A

为线段BM的中点. （1）求线段BM端点M轨迹C的方程；（2）已知直线0myx与轨迹C相交于两点QP,，以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求实数m的值

A B

A1 C

D 高二数学（文科）答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C B D B C D B D A A

二、填空题：13. 4 14.)61,21( 15. 249 16. ①④ 三、解答题 17. 解：设圆柱底面圆半径为r，则母线长为2r． ∵ 圆柱表面积为6， ∴ 6＝2r2＋4r2． ∴ r＝1． ……………………………..5分

∵四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形， ∴ 正方形边长为2． ∴ 四棱柱的体积V＝(2)2×2＝2×2＝4．………………………….10分 18. 解：设所求直线的方程为bxy43，令0x，得by，所以直线与y轴的交点为),0(b；令0y，得bx34，所以直线与x轴的交点为)0,34(b．………5分

由已知，得12)34(3422bbbb，解得3b．故所求的直线方程是343xy，或343xy 即01243yx或01243yx …………………………12分 19.证明：如图所示，连接BDCBAB,,11 因为D1ABCDD平面，CDCABA平面 所以ACDD1 又因为ACDB，DBD1DD 所以11BBDD平面AC 所以1BDAC 同理可证CB11BD 又CCB1AC

A B

C D A1 B

E F 所CAB11BD平面 ……………………………………8分. 因为DA1EF，又CBDA11∥ 所以CB1EF 因为ACEF，CCB1AC 所以CAB1EF平面 所以1BDEF∥ ……………………………………………12分

20.解：（1）因为圆心C在射线)0(03xyx上，设圆心坐标为 ),3,(aa且0a，圆心)3,(aa到直线0yx的距离为aad222 又圆C与x轴相切，所以半径ar3 设弦AB的中点为M，则7AM 在AMCRt中，由勾股定理，得222)3()7()2(aa 解得1a，92r 故所求的圆的方程是9)3()1(22yx………………………………8分

（2）如图，在QPCRt中，9)()()(222QCCPQCQP 17412QC 所以229)17(2QP……………………..12分

21.（1）证明：因为ABCCC平面1，又ABCAD平面，所以ADCC1 因为ABC是正三角形，D是BC的中点，所以ADBC，又CCCBC1

，

所以11CCBBAD平面 ……………………………………4分（2）证明：如图，连接CA1交1AC于点O，连接OD 由题得四边形11AACC为矩形，O为CA1的中点，又D为BC的中点，所以ODBA∥1

(第20题) Q P lA B C

A1 C1

D O 因为1ADCOD平面，11ADCBA平面 所以11ADCBA平面∥ ………………………………8分 (3)解：因为1111DCBAADBCVV，

因为2222111DCBS，3AD，

所以33232313

111111ADSVVDCBDCBAADBC…………12分

22.解：(1)设点),(yxM，),(11yxB ,

由题得yyxx003 又点B在圆7:22yxO上运动，即72020yx 所以7)()3(22yx，即7)3(22yx 故线段BM端点M轨迹C的方程是7)3(22yx ………………6分

（2）设),(),,(2211yxQyxP，则由方程组026022xyxmyx 消去y得02)3(2222mxmx，

由韦达定理得 ………………………………………9分因为以PQ为直径的圆经过坐标原点O

所以OQOP，所以0OQOP，即02121yyxx 所以0)(2))((2212121212121mxxmxxxmxmxxyyxx 即0)3(222mmmm 所以0232mm 解得：1m或2m







0)2(8)3(42232222121mmmxx

mxx