重庆市永川中学高中数学第17周练习四(直线,圆与椭圆)
高中数学教师用书第课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)含答案
第3课时直线与椭圆的位置关系（习题课)［思考1］判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？名师指津:(1）几何法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断，d＝r⇔相切；d>r⇔相离；d<r⇔相交．(2）代数法：联立直线与圆的方程,利用方程组解的个数判断．[思考2] 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？名师指津:不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．［思考3] 已知直线l和椭圆C的方程,如何判断直线与椭圆的位置关系？名师指津：判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切;Δ<0⇔直线与椭圆相离．讲一讲1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m。
问m为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．［尝试解答］将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0。
Δ＝4m2－20（m2－1)＝20－16m2。
当Δ＝0时，得m＝±错误!,直线与椭圆相切;当Δ〉0时,得－错误!〈m<错误!，直线与椭圆相交；当Δ〈0时,得m〈－错误!或m>错误!，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的方法练一练1．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1总有公共点，求m的取值范围．解：由错误!消去y,整理得（m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，所以Δ＝100k2－20(m＋5k2）(1－m）＝20m(5k2＋m－1），因为直线与椭圆总有公共点，所以Δ≥0对任意k∈R都成立，因为m〉0，所以5k2≥1－m恒成立,所以1－m≤0,即m≥1.又因为椭圆的焦点在x轴上，所以0〈m<5，综上，1≤m〈5，即m的取值范围是［1,5）．［思考1] 若直线l与圆C相交于点A,B，如何求弦长｜AB|?名师指津：(1）利用r2＝d2＋错误!错误!求解;(2）利用两点间的距离公式求解；(3）利用弦长公式｜AB|＝1＋k2｜x1－x2|求解．[思考2］若直线l：y＝kx＋m与椭圆错误!＋错误!＝1相交于A（x1，y1)，B(x2，y2）两点，如何求｜AB｜的值？名师指津：|AB｜＝错误!｜x1－x2|．讲一讲2．已知椭圆错误!＋错误!＝1和点P（4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．(1）当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．[尝试解答］(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝错误!(x－4），即y＝错误!x。
重庆市永川中学高中数学第17周练习三(直线与椭圆)
《直线与椭圆》1，已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ．试题分析：椭圆的左焦点为(1,0)F -，右焦点为(1,0)E ， 根据椭圆的定义，2PF a PE =-，∴PF +22()PQ PQ a PE a PQ PE =+-=+-，由三角形的性质，知PQ PE QE -≤，当P 是QE 延长线与椭圆的交点(0,1)-时，等号成立，故所求最大值为2223252a QE +=+=．2，若斜率为22的直线l 与椭圆2222x y a b+＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意易知两交点的横坐标为－c 、c ，纵坐标分别为－2b a 、2b a ，所以由22()()b ba a c c ---＝2得2b 2＝2ac ＝2(a 2－c 2)，即2e 2＋2e －2＝0， 解得e ＝2或e ＝－2(负根舍去)． 3，F 1，F 2是椭圆24x ＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最大值是________．解析：设P(x ，y)，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，12PF PF ⋅u u u r u u u u r＝(－3－x)(3－x)＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵0≤x 2≤4，∴－2≤34x 2－2≤1.∴12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最大值是1.4，设F 1、F 2分别是椭圆2222x y a b ＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝2a c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设P 2,a y c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段F 1P 的中点Q 的坐标为2 22b y c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝22cya c +，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝222cy b c-(b 2－2c 2≠0)，由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝22222)(2a c c b c（＋－）≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由2a c －c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1. 5，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为B(0，4)，离心率55e =， 直线l 交椭圆于M,N 两点．（1）若直线l 的方程为y=x-4，求弦MN 的长；（2）如果∆BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程.解析：（1）由已知4b =，且5c a =，220a ∴=.所以椭圆方程为2212016x y +=. 由2212016x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，12400,9x x ∴==. 212402119MN x x ∴=+-=. （2）椭圆右焦点F 的坐标为()2,0，设线段MN 的中点为()00,Q x y ，由三角形重心的性质知2BF FQ =u u u r u u u r，又()0,4B ，()()002,422,x y ∴-=-，故得003,2x y ==-.所以得Q 的坐标为()3,2-.设直线MN 的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y +=-，则12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=，两式相减得()()()()1212121202016x x x x y y y y +-+-+=.1212121244665545y y x x k x x y y -+∴==-⋅=-⋅=-+-，故直线MN 的方程为65280x y --=.6，如图所示，已知椭圆E 经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上， 离心率e ＝12，斜率为2的直线l 过点A(2,3)．(1)求椭圆E 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．解析：(1)设椭圆E 的方程为2222x y a b +＝1(a ＞b ＞0)，由题意e ＝c a ＝12，2249a b+＝1，又∵c 2＝a 2－b 2，解得：c ＝2，a ＝4，b ＝23，∴椭圆E 的方程为221612x y +＝1． (2)假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点P 、Q ，令P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)，且PQ 的中点为R(x 0，y 0)．∵PQ ⊥l ，∴k PQ ＝2121y y x x --＝－12，又∵221122221,16121,1612x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②两式相减得：2222212101612x x y y --+=． ∴2121x x y y ++＝－()()21211612y y x x --＝－1612×(－12)＝23，即00x y ＝23，③又∵R(x 0，y 0)在直线l 上，∴y 0＝2x 0－1，④由③④解得：x 0＝2，y 0＝3，所以点R 与点A 是同一点，这与假设矛盾，故椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点．7，设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别1F 、2F ，点P 是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，12PF F ∆的周长为16． （1）求椭圆C 的方程； （2）求过点(3,0)且斜率为45的直线l 被椭圆C 所截的线段的中点坐标．解析：（1）设椭圆的半焦距为c ，则由题设得262216c a c =⎧⎨+=⎩，解得53a c =⎧⎨=⎩，所以222225316b a c =-=-=， 故所求C 的方程为2212516x y +=. （2）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-， 将之代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=.设直线l 与椭圆有两个交点()()1122,,,A x y B x y ， 因为123x x +=，所以线段AB 中点的横坐标为12322x x +=， 纵坐标为4363525⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭. 故所求线段的中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
重庆市永川中学高中数学第16周练习四(椭圆2)
椭圆21．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P .设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2等于( )A ．－2B ．2C ．－12 D.121.解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，两式作差得x 21－x 22＋2(y 21－y 22)＝0，故k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，又k 2＝y 0x 0，∴k 1k 2＝－12. 答案：C2．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12 B.5－12 C.1＋54 D.3＋142.解析：由题可知△ABF 为直角三角形，其中|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由勾股定理，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2即(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2＝2a 2＋a 2－c 2，整理得c 2＋ac －a 2＝0，同除a 2得e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1±52，∵e ∈(0,1)，∴e ＝5－12.答案：B3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y 22b 2＝1两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b2， 即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b2， ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2，又∵k ＝－1－01－3＝12 ∴b 2a 2＝12又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9， ∴b 2＝9，a 2＝18，即标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.答案：D4．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 解析：因为A ，B 为左、右顶点，F 1，F 2为左、右焦点，所以|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c .又因为|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列， 所以(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2. 所以离心率e ＝ca ＝55，故选B. 答案：B5．已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈(12，1)，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(43，＋∞)C ．(0，34)∪(43，＋∞)D ．(34，1)∪(1，43)5.解析：椭圆标准方程为x 2＋y 21m＝1.当m >1时，e 2＝1－1m ∈(14，1)，解得m >43；当0<m <1时，e 2＝1m －11m＝1－m ∈(14，1)，解得0<m <34，故实数m 的取值范围是(0，34)∪(43，＋∞)．答案：C6．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．解析：由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.答案：77．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．7.解析：∵点(1，12)在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P (1，12)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2.又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b )在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝18．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 解析 因为直线y ＝3(x ＋c )过椭圆左焦点，且斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°， 故|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c 由点M 在椭圆上知，c ＋3c ＝2a . 故离心率e ＝c a＝23＋1＝3－1.答案3－19．设椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的上焦点是F 1，过点P (3,4)和F 1作直线PF 1交椭圆于A ，B 两点，已知A (13，43)．(1)求椭圆E 的方程；(2)设点C 是椭圆E 上到直线PF 1距离最远的点，求C 点的坐标． 解：(1)由A (13，43)和P (3,4)可求直线PF 1的方程为y ＝x ＋1.令x ＝0，得y ＝1，即c ＝1.椭圆E 的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，由椭圆的定义可知． 2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝(13)2＋(43－1)2＋(13)2＋(43＋1)2＝2 2. ∴a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的方程为y 22＋x 2＝1.(2)设与直线PF 1平行的直线l ：y ＝x ＋m .⎩⎪⎨⎪⎧y 22＋x 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＝0， 即m 2＝3，∴m ＝± 3.要使点C 到直线PF 1的距离最远，则直线l 要在直线PF 1的下方，所以m ＝－ 3. 此时直线l 与椭圆E 的切点坐标为(33，－233)，故C (33，－233)即为所求．10．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，，求直线AB 的方程．解：由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由＝2及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，由＝2，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1. 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .11．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形面积的最大值． 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2 ＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1，因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2，又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1， 所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2. 当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.。
2023-2024学年重庆市永川区高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-专项提升-1-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年重庆市永川区高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-专项提升(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）内有无数条直线与平行， 平行于同一个平面， 平行于同一条直线， 垂直于同一个平面1. 设 ， 为两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）A.B.C.D. 平面在直线上存在一点E ，使得平面在直线上存在一点E ，使得平面2. 已知几何体是正方体，则（ ）A.B. C. D. 若直线a 在平面α外，则直线a 与平面内任何一点都只可以确定一个平面若a ，b 分别与两条异面直线都相交，则a ，b 是异面直线若直线a 平行于直线b ，则a 平行于过b 的任何一个平面若a ，b 是异面直线，则经过a 且与b 垂直的平面可能不存在3. 下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，记正方形ABCD 四条边的中点为S ，M ，N ，T ，连接四个中点得小正方形SMNT ．将正方形ABCD ，正方形SMNT 绕对角线AC 旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V 1 ， V 2 ， 则V 1：V 2=（ ）8：12：14：38：3A. B. C. D. 34π5. 在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为底面正方形ABCD 内一个动点，Q 为棱AA 1上的一个动点，若|PQ|=2，则PQ 的中点M 的轨迹所形成图形的面积是（ ）A.B.C. D. 6. 点，，在球表面上，，，，若球心到截面的距离为，则该球的体积为（ ）A.B.C. D.MN 与CC 1垂直MN 与AC 垂直MN 与BD 平行MN 与A 1B 1平行7. 如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1 ， CD 1的中点，则下列说法错误的是（）A. B. C. D.若，，， 则若 ，， 则若 ，， 则若 ， 且l 与所成的角和m 与所成的角相等，则8.设 ，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. ①②②③①④③④9. 用表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题，其中说法正确命题的序号是（ ）①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.A. B. C. D. 若直线l 平行于平面内的无数条直线,则若直线在平面外,则若直线 ,则10. 下列说法正确的是（ ）A. B. C.若直线 ，则直线 平行于 内的无数条直线D. 9π4π11. 在三棱锥中，，， 则三棱锥外接球的表面积是（ ）A. B.C. D.若 ，则若 且，则，，则若且，则12. 已知 为三条不同的直线， 为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. B. C.D. 13. 所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥 中，AM 是PC 的中点，且 ，底面边长 ，则正三棱锥 的外接球的表面积为 ；AM 与底面AB C 所成角的正弦值为 ．14. 已知正方体的棱长为2，以A 为球心，为半径的球面与平面的交线长为 .15. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为 ，则侧面与底面所成的二面角等于 ．16. 已知某圆柱的轴截面是一个正方形，且该圆柱表面积（底面和侧面面积之和）为 ，其外接球的表面积为，则该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值.17. 如图， 是圆 的直径， 垂直圆 所在的平面， 是圆 上的点．(1) 求证： 平面 ；(2) 设 为的中点，为的重心，求证：平面．18. 如图，棱长为2的正四面体ABCD （所有棱长均相等的三棱锥）中，E ，F 为AB 和DC 的中点．(1) 证明：；(2) 求三棱锥的体积．19. 已知四棱锥的底面为直角梯形， , 底面且是的中点.(1) 求证：直线平面；(2) 若，求二面角的余弦值.20. 如图，四边形ABCD是矩形，AB＝2BC＝2，E为CD中点，以BE为折痕将△BEC折起，使C到C′的位置，且平面BEC′⊥平面ABED．(1) 求证：BC′⊥AE；(2) 求空间四边形ABC′E的体积．21. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PB⊥面ABCD，BA=BD= ，AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点．(1) 证明：EF∥平面PAB；(2) 若二面角P﹣AD﹣B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
重庆市永川中学高中数学第17周练习一(直线与圆)
《直线与圆》1,已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ，点A (5,0)到l 的距离为3，则l 的方程为（20534==--x y x 或 ）； 2,已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( 2)1(22=++y x )3,已知直线01)4()3(:1=+-+-y k x k l 与 032)3(2:2=+--y x k l 平行,则k 的值是 3或54,已知直线ax ＋by ＝1 (其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0,1)之间的距离的最大值为( 2＋1 )5,求经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程． 解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．∵A ，B 两点在圆上，代入方程整理得：D －3E －F ＝10 ①4D ＋2E ＋F ＝－20 ②设纵截距为b 1，b 2，横截距为a 1，a 2．在圆的方程中，令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0， ∴b 1＋b 2＝－E ；令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，∴a 1＋a 2＝－D ．由已知有－D －E ＝2．③ ①②③联立方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12．故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．6,已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C 的平分线所在 的直线方程为2x －3y ＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程． 解析:设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A ′(x 1，y 1)，则1111152360225312x y y x ⎧⋅⋅⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＋－＋＝，－＝－，＋∴111123503270x y x y ⎧⎨⎩－－＝，＋－＝，解得113113113x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝－，即A ′311 1313⎛⎫ ⎪⎝⎭，-， 同理，点B 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为B ′3641 1313⎛⎫⎪⎝⎭-，. ∵角平分线是角的两边的对称轴，∴A ′点在直线BC 上．∴直线BC 的方程为y ＝111331013--(-）－x －1，整理得12x －31y －31＝0.同理，直线AC 的方程为y －5＝41513361)13-－--( (x ＋1)，整理得24x －23y ＋139＝0.直线AB 的方程为y ＝5110-(-）－－x －1，整理得6x ＋y ＋1＝0.7,已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线022:1=--y x l 相切 （1）求直线0534:2=+-y x l 被圆C 所截得的弦AB 的长．（2）过点G(1,3)作两条与圆C 相切的直线，切点分别为M,N 求直线MN 的方程（3）若与直线1l 垂直的直线l 与圆C 交于不同的两点P ，Q ，若∠POQ 为钝角，求直线l 纵截距的取值范围．解析：（1）由题意得：圆心)0,0(到直线022:1=--y x l 的距离为圆的半径，2222==r ，所以圆C 的标准方程为：422=+y x所以圆心到直线2l 的距离1322=-=d ∴ AB ==（2）因为点)3,1(G ,所以103122=+=OG ,622=-=OM OG GM所以以G 点为圆心，线段GM 长为半径的圆G 方程：6)3()1(22=-+-y x （1） 又圆C 方程为：422=+y x （2），由)2()1(-得直线MN 方程：043=-+y x （3）设直线l 的方程为：bx y +-=联立422=+y x 得：042222=-+-b bx x ，设直线l 与圆的交点),(),,(2211y x Q y x P ，由0)4(8)2(22>---=∆b b ，得82<b ，24,22121-=⋅=+b x x b x x （3）因为POQ ∠为钝角，所以0<⋅,即满足02121<+y y x x ，且OP 与OQ 不是反向共线，又b x y b x y +-=+-=2211,，所以0)(2221212121<++-=+b x x b x x y y x x （4）由（3）（4）得42<b ，满足0>∆，即22<<-b ，当与反向共线时，直线b x y +-=过原点，此时0=b ，不满足题意， 故直线l 纵截距的取值范围是22<<-b ，且0≠b8,在平面直角坐标系xOy 中,点A(0,3),直线L:y=2x-4.设圆C 的半径为1,圆心在L 上. (1)若圆心C 也在直线y=x-1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆M ：()4122=++y x ，若圆M 与圆C 有公共点,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. 解:(1)由题设,圆心C 是直线y=2x-4和y=x-1的交点, 解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y=kx+3.由题意,得2311k k ++=1,解得k=0或k=-34,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 由圆C 与圆M 有公共点,则|2-1|≤CM ≤2+1, 即1≤()2223a a +-≤3.整理,得-8≤5a 2-12a ≤0.由5a 2-12a+8≥0,得a ∈R;由5a 2-12a ≤0, 得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 9,已知A 、B 是圆x 2+ y 2= 4与x 轴的两个交点, CD 是垂直于AB 的动弦,直线AC 和DB 相交于点P 。
2024-2025学年高二上数学课时作业24：直线与椭圆的位置关系
2024-2025学年高二上数学课时作业(二十四)直线与椭圆的位置关系[练基础]1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是()A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交2．加斯帕尔·蒙日(图1)是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(图2).则椭圆C ：x 25＋y 24＝1的蒙日圆的半径为()A ．3B ．4C ．5D ．63．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为()A.207B ．227C ．247D ．2674．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的上下顶点分别为A ，B ，一束光线从椭圆左焦点射出，经过A 反射后与椭圆C 交于D 点，则直线BD 的斜率k BD 为()A ．32B ．34C ．52D ．325．(多选)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，短轴长等于2，焦距为23，过焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是()A ．椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆C 的离心率为34C ．|PQ |＝12D ．|PF 2|＝726．已知以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．7．已知椭圆方程是x 29＋y 24＝1，则以A (1，1)为中点的弦MN 所在的直线方程为________．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为－14.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若直线y ＝12(x ＋1)与椭圆C 相交于A ，B 两点，|AB |＝352，求椭圆C 的标准方程．[提能力]9．椭圆x 24＋y 23＝1上的点P 到直线x ＋2y －9＝0的最短距离为()A ．5B ．755C ．955D ．135510．(多选)已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上三点，且A (A 在第一象限)，B 关于原点对称，AB ⊥AC ，过A 作x 轴的垂线交椭圆M 于点D ，交BC 于点E ，若直线AC 与BC 的斜率之积为－12，则()A ．椭圆M 的离心率为22B ．椭圆M 的离心率为14C ．|AE ||AD |＝12D ．|AE ||AD |＝1311．如图，已知椭圆x 28＋y 24＝1的左右顶点分别为A 、B ，点P 是圆O ：x 2＋y 2＝8上不同于A 、B 两点的一动点，直线PB 与椭圆交于点Q ，则直线QA 与直线QB 的斜率之积k QA ·k QB ＝________，若已知直线PA 的斜率k P A ＝32，则直线QA 的斜率k QA ＝________．12．平面直角坐标系xOy 中，点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝22.记M 的轨迹为C .(1)说明C 是什么曲线，并求C 的方程；(2)已知经过F 2的直线l 与C 交于A ，B 两点，若|AF 1|·|BF 1|＝114，求|AB |.[培优生]13．已知椭圆的左焦点为F 1，有一质点A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e 为()A ．23B ．34C ．35D ．57答案解析1．解析：把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．答案：A2．解析：由蒙日圆的定义，可知椭圆C ：x 25＋y 24＝1的两条切线x ＝5，y ＝2的交点在圆上，所以R ＝5＋4＝3.答案：A3．解析：由椭圆知，a 2＝4，b 2＝3，所以c 2＝1，所以右焦点坐标为(1，0)，则直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x －1＋y 23＝1，消y 得，7x 2－8x －8＝0，则x 1＋x 2＝87，x 1·x 2＝－87，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝2×＝247.即弦AB 长为247.答案：C4．解析：依题意，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的上顶点A (0，3)，下顶点B (0，－3)，左焦点F 1(－1，0)，右焦点F 2(1，0)，由椭圆的光学性质知，反射光线AD 必过右焦点F 2，于是得直线AD 的方程为：y ＝－3x＋3，＝－3x ＋3，x 2＋4y 2＝12，得点，则有k BD ＝－335－（－3）85－0＝34，所以直线BD 的斜率k BD 为34.答案：B5．解析：对于椭圆C b ＝2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝b 2＋c 2＝2.因为椭圆C 的焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，A 对；椭圆C 的离心率为e ＝c a ＝32，B 错；设点F 1为椭圆C 的左焦点，易知点F 1(－3，0)，将x ＝－3代入椭圆方程可得y ＝±12，故|PQ |＝1，C 错；|PF 1|＝12|PQ |＝12，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝72，D 对．答案：AD6．解析：由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27.答案：277．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，x 219＋y 214＝1①x 229＋y 224＝1②①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）9＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4（x 1＋x 2）9（y 1＋y 2）＝－4×29×2＝－49.所以直线l 的方程为y －1＝－49(x －1)，即4x ＋9y －13＝0.答案：4x ＋9y －13＝08．解析：(1)由题意可知，椭圆上顶点的坐标为(0，b )，左右顶点的坐标分别为(－a ，0)、(a ，0)，∴ba＝－14，即a 2＝4b 2，则a ＝2b .又a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝3b ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 2b 2＝1x ＋1）得：2x 2＋2x ＋1－4b 2＝0，∴Δ＝32b 2－4＞0，x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝1－4b 22，∴|AB |＝|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝528b 2－1＝352，解得8b 2－1＝7，∴b 2＝1，满足Δ＞0，∴a 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.9．解析：设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为x ＋2y ＋b ＝0，则2y ＋b ＝0，＋y 23＝1，2y ＝x ＋b ，x 2＋4y 2＝12，⇒4x 2＋2bx ＋b 2－12＝0，所以Δ＝(2b )2－4×4(b 2－12)＝0⇒b ＝±4,所以椭圆上点P 到直线x ＋2y －9＝0的最短距离为d ＝|－9－（－4）|12＋22＝5.答案：A10．解析：设A (x 0，y 0)，C (x 1，y 1)，E (x 0，m )，则B (－x 0，－y 0)，x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 21a 2＋y 21b 2＝1，两式相减并化简得－b 2a 2＝y 1－（－y 0）x 1－（－x 0）·y 1－y 0x 1－x 0，即k CA ·k CB ＝－b 2a 2＝－12，则e ＝ca ＝＝22，则A 正确；∵k AB ＝y 0x 0，AB ⊥AC ，∴k CA ＝－x 0y 0，又∵k CA ·k CB ＝－12，∴k CB ＝y 02x 0，即k CB ＝k EB ＝m ＋y 02x 0＝y 02x 0，解得m ＝0，则点E 在x 轴上，且为AD 的中点，即|AE ||AD |＝12，则C 正确．答案：AC11．解析：设Q (x ，y )，A (－22，0)，B (22，0)，∴k QA ·k QB ＝y x ＋22·y x －22＝y 2x 2－8－8＝－12；∵点P 在圆O ：x 2＋y 2＝8上，∴k P A ·k PB ＝－1⇔k P A ·k QB ＝－1，又k QA ·k QB ＝－12.∴kP Ak QA＝2⇒k QA ＝322＝34.答案：－123412．解析：(1)因为|F 1F 2|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝22＞|F 1F 2|，所以C 是以点F 1，F 2为左右焦点的椭圆．于是a ＝2，c ＝1，故b ＝1，因此C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当l 垂直于x 轴时，|AF 2|＝|BF 2|＝22，|AF 1|·|BF 1|＝92≠114，舍去．当l 不垂直于x 轴时，可设l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.因为Δ＝8(1＋k 2)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为－2≤x 1≤2，所以|AF 1|＝（x 1＋1）2＋y 21＝（x 1＋1）2＋1－x 212＝22(x 1＋2).同理|BF 1|＝22(x 2＋2).因此|AF 1|·|BF 1|＝x 1x 22＋x 1＋x 2＋2＝1＋9k 21＋2k 2.由1＋9k 21＋2k2＝114可得k 2＝12，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2＝1，于是|AF 1|＋|BF 1|＝22(x 1＋x 2＋4)＝522.根据椭圆定义可知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝42，于是|AB |＝322.13．解析：假设长轴在x 轴，短轴在y 轴，以下分为三种情况：(1)球从F 1沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2(a －c )；(2)球从F 1沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F 1路程是2(a ＋c )；(3)球从F 1沿x 轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A ，反弹后经过椭圆的另一个焦点F 2，再弹到椭圆上一点B ，反弹后经过点F 1，此时小球经过的路程是4a .综上所述，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F 1时，小球经过的最大路程是4a ，最小路程是2(a －c ).∴由题意可得4a ＝7×2(a －c )，即5a ＝7c ，得c a ＝57.∴椭圆的离心率为57.。
2023-2024学年重庆市永川区高中数学人教A版选修一直线和圆的方程章节测试-14-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年重庆市永川区高中数学人教A 版选修一直线和圆的方程章节测试(14)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）21-2-11. 若直线的倾斜角为 ， 则等于（ ）A. B. C. D. 一定等于0 一定是负数一定是正数可能为正数也可能为负数2. 已知点M （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）是圆C ：x 2+y 2=1内任意一点，点P （x ，y ）是圆上任意一点，则ax+by ﹣1的值（ ）A. B. C. D.3. 已知平行直线 ，则 与 的距离是（ ）.A.B.C.D.4. 人教A 版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（ ）．A. B.C. D.5. 圆 关于直线 （ ）对称，则 的最小值是（ ）A. B. C. D.6. 若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率的取值范围为（ ）A. B. C. D.1个2个3个4个7. 已知点在圆上，直线与轴、轴分别交于点、 ， 则下列结论中正确的有（ ）①点到直线的距离小于4.5②点到直线的距离大于1③当最小时，④当最大时，A. B. C. D. 8. 直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.39. ， ，是从点P 出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°， ，若M 满足，则点M 到直线 的距离为（ ）A.B. C.D.8910. 已知圆 ， 直线 ， 直线l 被圆O 截得的弦长最短为（ ）A.B.C. D. 11. 以两点 和 为直径端点的圆的方程是（ ）A.B.C. D.12. 已知点 在抛物线 上，则当点 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 的坐标为（ ）A.B.C. D.13. 直线被圆截得的弦长为 .14. 已知直线：与圆：相交于，两点，则 .15. 已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1的倾斜角为，则a= ；若l1⊥l2，则a= ；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为16. 已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为 .17. 如图所示，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AE⊥底面ABCD，AE∥CF，AD=3，AB= BC=AE=2，CF=1．(1) 求证：BF∥平面ADE；(2) 求直线BE与直线DF所成角的余弦值；(3) 求点D到直线BF的距离．18. 在平面直角坐标系中，N为圆C：上的一动点，点D（1,0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且.（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为，当动点P与A，B不重合时，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；19. 如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x﹣2y+2=0上．（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．20. 已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点．(1) 当经过圆心时，求直线的方程；(2) 当直线的斜率时，求弦的长．21. 设直线4x﹣3y+12=0的倾斜角为A(1) 求tan2A的值；(2) 求cos（﹣A）的值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(3)18.19.20.(1)(2)21.(1)(2)。
高中数学直线、圆、椭圆基础 训练
直线、圆、椭圆基础强化训练（一）直线1.已知直线l 经过点A )3,1(，求：（1）直线l 在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）直线l 与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程； 解：（1）若直线l 的截距为0，则直线方程为3y x =；若直线l 的截距不为零，则可设直线方程为：1=+aya x ，由题设有 41131=⇒=+a a a ， 所以直线方程为：40x y +-=， 综上，所求直线的方程为0403=-+=-y x y x 或。
（2）设直线方程为：1(0,0)xy a b a b +=>>， 131a b +=，而面积12S ab =，又由131a b+= 得 13131212ab a b a b =+≥⇔≥， 等号当且仅当1312a b ==成立， 即当6,2==b a 时，面积最小为12 所求直线方程为360x y +-=直线与圆1.若圆：()222(1)2(0)x y r r -+-=>与线段：11(02)2y x x =-+≤≤有且只有一个交点，则r 的取值范围_________．2.过点A(4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为___(x －3) 2＋y 2＝2_______．3.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为2则直线l 的倾斜角的取值范围是 [5,1212ππ] 4.己知点(2,1)A -和圆C ：22(2)(2)1x y -+-=，一条光线从A 点出发射到x 轴上后沿圆的切线方向反射，则这条光线从A 点到切点所经过的路程是．5.已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线02934=-+y x 相切.（1）求圆的方程；（2）设直线)0(05>=+-a y ax 与圆相交于A,B 两点，求实数a 的取值范围；解：（1）设圆心为)(0,Z m m M ∈）（。
重庆市永川中学高中数学第18周练习三(解析几何1)
解析几何（1）1,已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于_____A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3[答案] B2，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．[答案]x 216＋y 28＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 [答案] A4，设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆[答案] A5，已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则ΔPF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96[答案] C6．设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，32)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，32)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－4b 2＝0，1a 2＋94b2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)∵a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1. ∴椭圆C 的左焦点坐标为(－1,0)．以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4， 圆心坐标是(0,0)，半径为2.以PF 为直径的圆的方程为x 2＋(y －34)2＝2516，圆心坐标是(0，34)，半径为54.∵两圆心之间的距离为0－0 2＋ 34－0 2＝34＝2－54，故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．8，已知双曲线方程x 2－y 22＝1.(1)求证：对一切实数k ，直线kx －y －2k ＋2＝0与双曲线均相交； (2)求以点A (2,1)为中点的弦的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，kx －y －2k ＋2＝0，得(2－k 2)x 2＋22k (k －1)x －2(k 2－2k ＋2)＝0(*)当k ＝±2时，方程(*)有根；当k ≠±2时，Δ＝8(k －2)2≥0，故方程(*)总有实根，即直线与双曲线均相交．(2)设过点A (2,1)的弦的端点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1.两式相减，有kP 1P 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝2×21×1＝4， 故直线方程为4x －y －7＝0.9,已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为255，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，抛物线方程为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1，由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝255，得a 2＝5，∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.(2)由(1)得椭圆C 的右焦点为F (2,0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)， 显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)， 代入x 25＋y 2＝1，并整理得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， ∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k2.又MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0)，AF →＝(2－x 1，－y 1)，BF →＝(2－x 2，－y 2)， 由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得(x 1，y 1－y 0)＝λ1(2－x 1，－y 1)， (x 2，y 2－y 0)＝λ2(2－x 2，－y 2)， ∴λ1＝x 12－x 1，λ2＝x 22－x 2，∴λ1＋λ2＝x 12－x 1＋x 22－x 2＝2 x 1＋x 2 －2x 1x 24－2 x 1＋x 2 ＋x 1x 2＝－10.10．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1① x 22a 2＋y 22b2＝1② ①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b2＝0. 因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)， 因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2， 又因为c ＝3，所以a 2＝6， 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0， 所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ， 将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得：3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，－33，所以可得|AB |＝463；将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得：3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 则|CD |＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2， 又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863。
重庆市永川中学高中数学第18周练习四(解析几何2)
解析几何（2）1.过双曲线22148x y-=的右焦点作一直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=8,则这样的直线l共有( C )条?A.1B.2C.3D.42,已知F是抛物线2y x=的焦点，A、B是该抛物线上的两点，||||3AF BF+=，则线段AB 的中点到y轴的距离为___54___3,P是椭圆2212516x y+=的上一点，点NM,分别是圆()2231x y-+=和()2234x y++=上的动点，则PM PN+的最大值为 13____4,已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且AC→·BC→＝0，|OC→－OB→|＝2|BC→－BA→|，则椭圆的方程为________．[答案]x24＋34y2＝15,过点P(0,－1)的直线l交抛物线y＝x2于A,B两点,点Q为线段AB的中点. 若Q点的横坐标为1,则Q点到抛物线焦点的距离为( B )A.52 B.54 C.1 D.26,已知圆O：x2＋y2＝25，点A(－3，0)、B(3,0)，一条抛物线以圆O的切线为准线且过点A和B，则这列抛物线的焦点的轨迹方程是( )A.x225＋y216＝1(x≠0) B.x225＋y216＝1(y≠0)C.x225＋y29＝1(x≠0) D.x225＋y29＝1(y≠0)[答案] B7,如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋bx 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0(*)∵直线l 与抛物线相切 ∴△＝(－4)2－4×(－4b )＝0 ∴b ＝－1(2)由(1)知b ＝－1，方程(*)为x 2－4x ＋4＝0 解得x ＝2，代入x 2＝4y 中得，y ＝1 ∴A(2,1)∵圆A 与抛物线准线y ＝－1相切 ∴r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.8,已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．[解析] (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63， 解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4， 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m .x 212＋y24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ， 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2，此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2， 所以|AB |＝32，此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.9,已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A (1,0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋k 2＋1与(1)中所求点N 的轨迹交于不同两点F 、H ，O 是坐标原点，且23≤OF →·OH →≤34，求k 2的取值范围．[解析] (1)因为AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0， 所以NP 为线段AM 的垂直平分线，如图，连接AN ，则|NA |＝|NM |. 所以|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝22>2＝|CA |.所以动点N 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a ＝22，焦距2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b 2＝1.所以曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋k 2＋1，消去y 得(2k 2＋1)x 2＋4k k 2＋1x ＋2k 2＝0，Δ＝8k 2>0(∵k ≠0)， ∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋12k 2＋1，x 1x 2＝2k22k 2＋1. OF →·OH →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋k 2＋1)(kx 2＋k 2＋1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋k k 2＋1(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝k 2＋1·2k 22k 2＋1－4k 2k 2＋12k 2＋1＋k 2＋1＝k 2＋12k 2＋1. ∵23≤k 2＋12k 2＋1≤34，∴12≤k 2≤1. 10如图，F 1，F 2是离心率为2的椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点，抛物线24y x =与椭圆C 在第一象限的交点到1x =-的距离为332-+．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 在直线12x =-上，线段AB 的中垂线与C 交于P ，Q 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在点M ，使以PQ 为直径的圆经过点F 2，若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由。
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《直线，圆与椭圆》
1,已知 F1，F2 是定点，|F1F2|＝8，动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点 M 的轨迹是（ ）．
A．椭圆
B．直线
C．圆
D．线段
解析：若点 M 与 F1, F2 可以构成三角形，则| MF1 | | MF2 || F1F2 | ,|F1F2|＝8，
动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝8,所以点 M 在线段 F1F2 .
2,设椭圆的方程为 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 右焦点为 F(c, 0)(c
0) ，方程 ax2
bx c
0的
两实根分别为 x1, x2 ，则 P(x1, x2 ) （ ）
A.必在圆 x2 y2 2 内
B.必在圆 x2 y2 2 外
C.必在圆 x2 y2 1外
D.必在圆 x2 y2 1与圆 x2 y2 2 形成的圆环之间
解析:由韦达定理
x1
x2
b a
，
x1
x2
c a
所以 x12
x22
( x1
x2 )2
2x1 x2
b2 a2
2c a
b2
2ac a2
a2
2ac c2 a2
(e 1)2
2
因为 0 e 1，所以1 (e 1)2 2 2 ，即1 x12 x22 2
故 P(x1, x2 ) 必在圆 x2 y2 1与圆 x2 y2 2 形成的圆环之间
3,已知椭圆 C：x2 y2 1，点 M 与 C 的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A， 43
B，线段 MN 的中点在 C 上，则| AN | | BN | ________.
解析：如图，设 MN 的中点为 P ，由题意可知， PF1 ， PF2 分别为 AMN ， BMN 的中位线， ∴| AN | | BN | 2(| PF1 | | PF2 |) 2 4 8 ．
4,已知动点
P(x,
y)
在椭圆
x2
y2
1上,若
A
点坐标为 (3,0)
,|
uuuur AM
| 1 ,且
uuuur uuuur PM AM
0
,
25 16
uuuur 则 | PM | 的最小值是________.
uuuur uuuur
解析： A 点为椭圆的右焦点，由于 PM AM 0 ， PM AM .当 PA 最小时，
PM 最小， PA 的最小值为 a c 5 3 2 ，此时 PM 4 1 3 .
5,在平面直角坐标系中，有椭圆 x2 ＋ y2 ＝1(a>b>0)的焦距为 2c，以 O 为圆心，a 为半径 a2 b2
的圆．过点
a2 c
,
0
作圆的两切线互相垂直，则离心率
e＝________．
解析:PA、PB 与圆 O 相切，由于切线 PA、PB 互相垂直，所以四边形 OAPB 为正方形，OP＝ 2 OA，
这样就得到一个关于基本量 a、c 的齐次方程，从而求解出比值 c (e)的值．由已知条件， a
四边形 OAPB 为正方形，所以 OP＝ 2 OA，所以 a2 ＝ 2 a，解得 c ＝ 2 ，即 e＝ 2
c
a2
2
6,已知椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 F1 和 F2 ，且| F1 F2 |=2，
3 点（1， 2 ）在该椭圆上．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，以 F2 为圆心 2 为半径的圆与直线 l 相切，
求 A F2 B 的面积． x2 y2 1
解析:（1）椭圆 C 的方程为 4 3 （2）以 F2 为圆心 2 为半径的圆的方程为 (x 1)2 y2 2
①当直线 l ⊥x 轴时，与圆不相切，不符合题意．
②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y=k（x+1），由圆心到直线的距离等于半径得：
2|k | r
1 k 2 ， k 1,l : y (x 1)) ，
7x2 8x 8 0 AB
代入椭圆方程得：
1
k2
|
x2
x2
|
22 7
．．
又直线 l
与圆
F2
相切，所以 AF2B
的面积
1 2
|
AB
|
r
12 7
2
.
7,已知椭圆 ：
(
)过点
，其左、右焦点分别为
，且
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若
是直线 上的两个动点，且
点？请说明理由． 解析: (1）设点
的坐标分别为
，则以 为直径的圆 是否过定 ，
则
故
，可得 ，
所以
，
故 所以椭圆 的方程为
， ．
（2）设
的坐标分别为
又
，可得
为
，
故圆 的方程为
，则 ，即
， ，又圆 的圆心为
半径
，
即
，
也就是
， 令 ，可得 或 2，
故圆 必过定点 和 ．
。