河南省平顶山2016届九年级上期中数学试卷含答案解析

2015-2016学年河南省平顶山九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．已知，则=（）A．2 B．C．﹣1 D．2．已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．33．若函数y=（k≠1）在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＜1 C．k＞0 D．k＜04．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（）A．P是BC中点B．∠APE=90°C．∠APB=∠EPC D．BP：BC=2：36．反比例函数y=图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y 1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y17．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD 的长为（）A．B．C．D．8．如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF于点H．若EF=BE+DF，那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD；③∠EAF=45°；④S△EAF =S△ABE+S△ADF；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题9．已知=k，则k= ．10．当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618时，身材是最完美的．一位身高为165cm，肚脐到头顶高度为65cm的女性，应穿鞋跟为cm的高跟鞋才能使身材最完美（精确到1cm）．11．如图，A（3，0），B（2，3），将△AOB以O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△A′OB′，则顶点A′的坐标为．12．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．（结果保留π）13．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=的图象上，则菱形的面积为．14．等腰三角形的一条边的长为8，另外两边的长是方程x2﹣10x+m=0的两个根，则m= ．15．如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为cm．三、解答题16．解下列方程（1）x2+4x=5（2）（2x+3）2=16（3x﹣2）2．17．（9分）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．18．如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G 点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．19．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？20．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准．某位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？21．如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）求△AOC的面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）22．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．23．如图，已知反比例函数和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．2015-2016学年河南省平顶山九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知，则=（ ）A ．2B ．C ．﹣1D ． 【考点】比例的性质．【分析】根据已知条件设=k ，得到x=4k ，y=3k ，z=2k ，代入代数式即可得到结论．【解答】解：设=k ， ∴x=4k ，y=3k ，z=2k ，∴==， 故选D ．【点评】本题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键．2．已知x=1是方程x 2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．3 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程根与系数的关系求解．【解答】解：设另一根为m ，则1•m=2，解得m=2．故选B【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．要求熟练运用此公式解题．3．若函数y=（k ≠1）在每一象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ＞0D ．k ＜0【考点】反比例函数的性质．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数的性质得到k﹣1＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵函数y=（k≠1）在每一象限内，y随x的增大而减小，∴k﹣1＞0，∴k＞1．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象为双曲线，当k ＞0，图象分布在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0，图象分布在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．4．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（）A．P是BC中点B．∠APE=90°C．∠APB=∠EPC D．BP：BC=2：3【考点】相似三角形的判定．【分析】由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由E是CD的中点，易得CE：AB=1：2，然后分别利用相似三角形的判定定理，判定△ABP与△ECP相似．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD=BC，∵E是CD的中点，∴CD：CD=1：2，即CE：AB=1：2，A、∵P是BC中点，∴BP=PC=BC ，没办法判定：△ABP 与△ECP 中各边成比例；故错误；B 、∵∠APE=90°，∴∠APB+∠CPE=90°，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠BAP=∠CPE ，∴△ABP ∽△PCE ；故正确；C 、∵∠APB=∠EPC ，∴△ABP ∽△EPC ，故正确；D 、∵BP ：BC=2：3，∴PC ：BP=1：2，∴PC ：BP=CE ：AB=1：2，∴△ABP ∽△PCE ，故正确．故选A ．【点评】此题考查了相似三角形的判定以及正方形的性质．注意灵活应用判定定理是关键．6．反比例函数y=图象上有三个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），其中x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数y=判断出函数图象所在的象限，再根据x 1＜x 2＜0＜x 3，判断出三点所在的象限，再根据点在各象限坐标的特点及函数在每一象限的增减性解答．【解答】解：∵反比例函数y=中，k=6＞0，∴此反比例函数图象的两个分支在一、三象限；∵x 3＞0，∴点（x 3，y 3）在第一象限，y 3＞0；∵x 1＜x 2＜0，∴点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在第三象限，y 随x 的增大而减小，故y 2＜y 1，由于x 1＜0＜x 3，则（x 3，y 3）在第一象限，（x 1，y 1）在第三象限，所以y 1＜0，y 2＞0，y 1＜y 2， 于是y 2＜y 1＜y 3．故选B ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．7．如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP=1，D 为AC 上一点，若∠APD=60°，则CD 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ABP ∽△PCD ，再根据相似三角形对应边的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠APB=∠PAC+∠C ，∠PDC=∠PAC+∠APD ，∵∠APD=60°，∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，∴∠APB=∠PDC ，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABP ∽△PCD ，∴=，即=，∴CD=．故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定．8．如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF于点H．若EF=BE+DF，那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD；③∠EAF=45°；④S△EAF =S△ABE+S△ADF；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】把△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的性质得到△ABE≌△ADG，再利用SSS证明△AGF≌△AEF，进而得出③正确；由△AGF≌△AEF，得出∠1=∠2，根据角平分线的性质得出AD=AH，则AH=AB，再由角平分线的判定得出AE平分∠BEF，故①正确；由AE平分∠BEF及等角的余角相等得出∠BAE=∠HAE，再根据角平分线的性质得出BE=HE，再结合已知条件EF=BE+DF及BE=DG即可得出FH=FD，故②正确；根据△AEF≌△AGF，△ABE≌△ADG，即可得出S△EAF =S△ABE+S△ADF，故④正确；由EF=HE+FH，BE=HE，FH=FD，得出EF=BE+FD，则△CEF的周长=BC+CD，进而求出△CEF的周长为2，故⑤正确．【解答】解：如图：把△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，则△ABE≌△ADG，∠EAG=∠BAD=90°，∴∠ABE=∠ADG=90°，AE=AG，BE=DG，∴∠FDG=∠FDA+∠ADG=90°+90°=180°，∴F、D、G三点共线．∵EF=BE+DF，∴EF=DG+DF=GF．∵在△AGF与△AEF中，，∴△AGF≌△AEF（SSS），∴∠GAF=∠EAF ，∠1=∠2，∵∠GAF+∠EAF=∠EAG=90°，∴∠EAF=×90°=45°，故③正确；∵∠1=∠2，AD ⊥FG 于D ，AH ⊥EF 于H ，∴AD=AH ，∵AD=AB ，∴AH=AB ，又∵AH ⊥EF 于H ，AB ⊥BC 于B ，∴AE 平分∠BEF ，故①正确；∵AE 平分∠BEF ，∴∠AEB=∠AEH ，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEH+∠HAE=90°，∴∠BAE=∠HAE ，又∵EH ⊥AH 于H ，EB ⊥AB 于B ，∴BE=HE ，∵BE=DG ，∴HE=DG ，∵EF=HE+FH ，GF=DG+FD ，EF=GF ，∴FH=FD ，故②正确；∵△AEF ≌△AGF ，∴S △EAF =S △GAF ．∵△ABE ≌△ADG ，∴S △GAF =S △ADG +S △ADF S △ABE +S △ADF ，∴S △EAF =S △ABE +S △ADF ，故④正确；∵EF=HE+FH ，BE=HE ，FH=FD ，∴EF=BE+FD ，∴△CEF 的周长=EF+EC+CF=BE+FD+EC+CF=BC+CD=2AB=2，故⑤正确．故选D ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线的判定与性质，三角形的周长与面积，综合性较强，难度适中，根据旋转的性质作出辅助线是解题的关键．二、填空题9．已知=k，则k= 3或﹣1 ．【考点】比例的性质．【分析】分两种情况讨论，当a+b+c+d=0，得到a+b+c=﹣d，求得k=﹣1；当a+b+c+d≠0，根据比例的性质得到=k，求得k=3．【解答】解：当a+b+c+d=0，∴a+b+c=﹣d，∴k=﹣1；当a+b+c+d≠0，∵=k，∴=k，∴k=3，∴k=3或﹣1，故答案为：3或﹣1．【点评】本题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键．10．当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618时，身材是最完美的．一位身高为165cm，肚脐到头顶高度为65cm的女性，应穿鞋跟为 5 cm的高跟鞋才能使身材最完美（精确到1cm）．【考点】黄金分割．【专题】应用题．【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．【解答】解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则=0.618，解得：x≈5cm．故答案为：5．【点评】本题主要考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比，难度适中．11．如图，A（3，0），B（2，3），将△AOB以O为位似中心，相似比为2：1，放大得到△A′OB′，则顶点A′的坐标为（6，0）或（﹣6，0）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】若位似比是k，则原图形上的点（x，y），经过位似变化得到的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．【解答】解：A（3，0）以原点O为位似中心，相似比为2：1，将△ABC放大，则A的对应点的坐标是A的横纵坐标同时乘以位似比2，或﹣2．因而对应点的坐标是（6，0）或（﹣6，0），则点A′的坐标（6，0）或（﹣6，0），故答案为：（6，0）或（﹣6，0）．【点评】本题考查了关于原点对称的位似图形性质．利用关于原点成位似的两个图形性质得出是解题关键．12．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为250π．（结果保留π）【考点】由三视图判断几何体．【专题】压轴题．【分析】由三视图易得此几何体为圆柱，圆柱的体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解．【解答】解：由三视图可确定此几何体为圆柱，体积为：π×（）2×10=250π，故答案为：250π．【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求圆柱体的体积，解决本题的关键是得到此几何体的形状，易错点是得到计算此几何体所需要的相关数据．13．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=的图象上，则菱形的面积为 4 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】连接AC交OB于D，由菱形的性质可知AC⊥OB．根据反比例函数中k的几何意义，得出△AOD的面积=1，从而求出菱形OABC的面积=△AOD的面积的4倍．【解答】解：连接AC交OB于D．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB．∵点A在反比例函数y=的图象上，∴△AOD的面积=×2=1，∴菱形OABC的面积=4×△AOD的面积=4．【点评】本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．14．等腰三角形的一条边的长为8，另外两边的长是方程x2﹣10x+m=0的两个根，则m= 16或25 ．【考点】一元二次方程的解；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】当8是等腰三角形的腰长时将8代入方程求得m的值即可；当8是底边时，方程x2﹣10x+m=0有两个相等的实数根，据此求得m的值即可．【解答】解：当腰长为8时，将x=8代入x2﹣10x+m=0得到：82﹣10×8+m=0，解得：m=16；当底边长为8时，等腰三角形的两腰是x2﹣10x+m=0的两个根，所以b2﹣4ac=100﹣4m=0，解得：m=25，故答案为：16或25．【点评】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式、三角形的三边关系及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．15．如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为3cm．【考点】正方形的性质；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意得到，当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小，从而求得CF 的长．【解答】解：当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC ﹣AF ，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC ﹣AF ＜CF ＜AC+AF ，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC ﹣AF=4﹣=3cm ．故答案为：3． 【点评】本题要考查正方形性质的运用，要明确旋转的概念．三、解答题16．（2015秋•平顶山校级期中）解下列方程（1）x 2+4x=5（2）（2x+3）2=16（3x ﹣2）2．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）把方程两边开方得到2x+3=±4（3x ﹣2），然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x 2+4x ﹣5=0，（x+5）（x ﹣1）=0，x+5=0或x ﹣1=0，所以x 1=﹣5，x 2=1；（2）2x+3=±4（3x ﹣2），所以x 1=，x 2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．17．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n 个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n 的值．【考点】列表法与树状图法；分式方程的应用．【分析】（1）由一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，根据概率公式直接求解即可求得答案；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；（3）根据概率公式列方程，解方程即可求得n 的值．【解答】解：（1）∵一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，∴摸出1个球是白球的概率为；（2）画树状图、列表得：∴一共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）由题意得：，解得：n=4．经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，∴n=4．【点评】此题考查了概率公式与用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G 点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】根据AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，可得：△ABE∽△CDE，则有=和=，而=，即=，从而求出BD的长，再代入前面任意一个等式中，即可求出AB．【解答】解：根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，（1分）在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD∥AB，可证得：△CDE∽△ABE∴①，（4分）同理：②，（5分）又CD=FG=1.7m，由①、②可得：，即，解之得：BD=7.5m，（6分）将BD=7.5代入①得：AB=5.95m≈6.0m．（7分）答：路灯杆AB的高度约为6.0m．（注：不取近似数的，与答一起合计扣1分）【点评】解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．19．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？【考点】相似三角形的判定．【专题】动点型．【分析】先利用勾股定理计算出AB=5，由于∠PAQ=∠BAC ，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△APQ ∽△ABC ，即=；当=时，△APQ ∽△ACB ，即=，然后分别解方程求出t 即可．【解答】解：∵∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，∴AB==5，则BP=t ，AQ=2t ，AP=5﹣t ，∵∠PAQ=∠BAC ，当=时，△APQ ∽△ABC ，即=，解得t=；当=时，△APQ ∽△ACB ，即=，解得t=；答：t 为s 或s 时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用代数式表示相应线段长是解决动点问题的关键．20．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准．某位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？【考点】一元二次方程的应用．【专题】应用题．【分析】首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x ﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x ﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x ﹣25）]元，列出方程求解．【解答】解：设：去了x员工．25×1000=25000＜27000∴x＞25x[1000﹣20（x﹣25）]=27000解得：x=45（舍去）或x=30答：有30人去天水湾风景区旅游．【点评】此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．21．如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）求△AOC的面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）【考点】反比例函数综合题；不等式的解集；一次函数的图象．【专题】计算题；待定系数法．【分析】（1）由B点在反比例函数y=上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；（3）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，对应的x的范围．【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y=上，∴m=4，又∵A （n ，﹣2）在反比例函数y=的图象上，∴n=﹣2，又∵A （﹣2，﹣2），B （1，4）是一次函数y=kx+b 的上的点，联立方程组解得，k=2，b=2，∴，y=2x+2；（2）过点A 作AD ⊥CD ，∵一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=的图象的两个交点为A ，B ，联立方程组解得， A （﹣2，﹣2），B （1，4），C （0，2），∴AD=2，CO=2，∴△AOC 的面积为：S=AD •CO=×2×2=2；（3）由图象知：当0＜x ＜1和﹣2＜x ＜0时函数y=的图象在一次函数y=kx+b 图象的上方，∴不等式kx+b ﹣＜0的解集为：0＜x ＜1或x ＜﹣2．【点评】此题考查一次函数和反比例函数的性质及图象，考查用待定系数法求函数的解析式，还间接考查函数的增减性，从而来解不等式．22．（2013•绥化）已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF（1）如图1，当点D 在线段BC 上时．求证：CF+CD=BC ；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．【考点】四边形综合题．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；（3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，∠A BC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，则在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC；（2）CF﹣CD=BC；（3）①CD﹣CF=BC②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD，∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，∴∠ACF=∠ABD=135°，∴∠FCD=90°，∴△FCD是直角三角形．∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．∴DF=AD=4，O为DF中点．∴OC=DF=2．【点评】本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键．23．如图，已知反比例函数和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k ，进而求得反比例函数的解析式．（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可．（3）应先求出OA 的距离，然后根据：OA=OP ，OA=AP ，OP=AP ，分情况讨论解决．【解答】解：（1）由题意得②﹣①得k=2∴反比例函数的解析式为y=．（2）由，解得，．∵点A 在第一象限，∴点A 的坐标为（1，1）（3），OA 与x 轴所夹锐角为45°，①当OA 为腰时，由OA=OP 1得P 1（，0），由OA=OP 2得P 2（﹣，0）；由OA=AP 3得P 3（2，0）．②当OA 为底时，OP 4=AP 4得P 4（1，0）．∴符合条件的点有4个，分别是（，0），（﹣，0），（2，0），（1，0）．【点评】本题考查的知识点为：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时，应有规律的去找不同的解．。