第7讲 中误差及误差传播定律1
测量误差传播律
§6－3 误差传播定律当对某量进行了一系列的观测后，观测值的精度可用中误差来衡量。
但在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的。
例如，水准测量中，在一测站上测得后、前视读数分别为a 、b ，则高差h =a -b ，这时高差h 就是直接观测值a 、b 的函数。
当a 、b 存在误差时，h 也受其影响而产生误差，这就是所谓的误差传播。
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。
本节就以下四种常见的函数来讨论误差传播的情况。
一、倍数函数设有函数kx Z =（6-7）式中k 为常数，x 为直接观测值，其中误差为m x ，现在求观测值函数Z 的中误差m Z 。
设x 和Z 的真误差分别为Δx 和ΔZ ，由（6-7）式知它们之间的关系为ΔZ =k Δx 若对x 共观测了n 次，则ii x Z k ∆=∆ （i =1,2,…,n ）将上式两端平方后相加，并除以n ，得[][]n k n2x22Z∆=∆（6-8）按中误差定义可知[]n m 2Z2Z ∆=[]n m 2x2x∆=所以（6-8）式可写成2x 22z m k m =或x z km m =（6-9）即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数（常数）。
【例】 用水平视距公式D =k ·l 求平距，已知观测视距间隔的中误差m l =±1cm ，k =100，则平距的中误差m D =100·m l =±1 m 。
二、和差函数设有函数y x z ±=（6-10）式中x 、y 为独立观测值，它们的中误差分别为m x 和m y ，设真误差分别为Δx 和Δy ，由（6-10）式可得yx z ∆±∆=∆若对x 、y 均观测了n 次，则 ),,2,1(n i ii i y x z =∆±∆=∆将上式两端平方后相加，并除以n 得[][][][]n2n n n yx2y2x2z∆∆±∆+∆=∆上式[]y x ∆∆中各项均为偶然误差。
误差传播定律
测值中误差乘积的平方和的平方根。
例4：已知矩形的宽x=30m,其中误差mx=±0.005m,矩形的长y=50m, 其中误差my=±0.008m,计算矩形面积S及其中误差ms。
解：矩形面积 S=xy 由题意：求各观测值偏导数： f y
x
f x y
mz
(
f X 1
)2
m12
(
二、和或差的函数
设和或差函数为： z x y
即： mz
m
2 x
m
2 y
式中：Z为x、y的和或差的函数；x、y为独立观测值；mx、my为x、y的
中误差，mZ为Z的中误。
结论：两观测值代数和或差的函数中误差等于两观测值的中误差的 平方和的平方根。
z x1 x2 xn
即：
mz
(
f X 1
)2
m12
(
f X 2
)2
m
2 2
(
f X n
)2
m
2 n
式中:xi (i=1，2…n)为独立观测值；已知其中误差为mi(i=1 2…n)， mz为z的中误差；xf（i i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导数。
结论：一般函数中误差等于按每个观测值所求的偏导数与相应观
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，就称为误差传播定律。
一、倍数函数
设倍数函数为：zm2 z kk x2mx2
即：mz kmx
式中：Z为观测值X的函数（也就是未知量的间接观测值）；K为常数；X为 直接观测值；mx为X的中误差；mZ为Z的中误差。
结论：倍数函数的中误差（观测值与常数乘积的中误差），等于 观测值中误差乘常数。
第7讲 中误差及误差传播定律1
目录
则观测值的真误差为：
[] [l ] X n n
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差
算术平均值
[] [l ] lim 0 x 根据偶然误差的第（4）特性 n n n
得出：
1.当观测次数无限增大时，观测值的算 术平均值趋近于该量的真值。 2. 在计算时，不论观测次数多少均以算术平 均值 x 作为未知量的最或然值。
例 设有线性函救
观测量的中误差分别为， m 3mm, m 2mm, m 6mm 1 2 3
求Z的中误差
4 9 1 m z 3 2 6 1.6m m 14 14 14
2 2 2
测量学 基础
xn
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
式中
的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们 是常数，因此上式是线性函数可为：
f 2 f x m 1 x 1 2
2
f xi
（i=l，2…n）是函数对各个变量所取
m
2
z
f 2 m 2 x n
时其正值与负值有互相抵消的可能；当 n愈大时，上式中最
后一项［ΔxΔy］/n将趋近于零，即
测量学 基础
§5.3 误差传播定律 将满足上式的误差 Δx 、 Δy 称为互相独立的误
差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测
值。对于独立观测值来说，即使 n 是有限量，由
于
lim n
0 式残存的值不大，一般就忽视它的
2 z 2 x1 2 x2
2 xn
测量平差测量误差及其传播定律课件
地理信息获取
通过平差测量原理，获取高精度 地理信息数据，为地理信息系统
提供基础数据。
科学研究
在物理、化学、生物等领域，利 用平差测量原理对各种实验数据
进行处理和分析。
CHAPTER 03
误差传播定律
误差传播定律的定义
误差传播定律是测量平差中用来描述测量误差之间相互关系 的定律。它表明，当对一个或多个观测值进行数学运算时， 误差会按照一定的规律传播。
测量误差的来源
01
02
03
04
测量设备误差
设备精度、磨损、老化等因素 导致误差。
环境误差
温度、湿度、气压、风速等环 境因素影响测量结果。
操作误差
操作人员技能水平、操作习惯 等因素导致误差。
观测误差
观测过程中产生的随机误差和 系统误差。
测量误差的分类
系统误差
可预测且相对稳定的误差，如设 备误差。
随机误差
实例三：距离测量误差分析
总结词
距离测量误差主要来源于仪器误差、 人为误差和外界环境因素。
详细描述
仪器误差包括固定误差和比例误差； 人为误差包括读数误差和记录误差； 外界环境因素包括温度、气压和湿度 等气象因素的影响。
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感谢您的观看
总结词
水准测量误差主要来源于仪器误差、 人为误差和外界环境因素。
详细描述
仪器误差包括望远镜调焦误差、十字 丝分划板误差等；人为误差包括读数 误差和仪器对中误差；外界环境因素 包括大气折射和地球曲率的影响。
实例二：角度测量误差分析
总结词
角度测量误差主要来源于仪器误差、人为误差和目标偏心。
详细描述
中误差传播定律公式
中误差传播定律公式中误差传播定律公式，这可真是个让人又爱又恨的知识点啊！咱先来说说啥是中误差。
中误差啊，简单来说就是衡量测量精度的一个指标。
就好比你要测量一个桌子的长度，你测了好几次，每次的结果可能都有点不一样，这中间的差异就能用中误差来表示。
那中误差传播定律公式又是啥呢？它其实就是告诉我们，当我们对一个量进行多次测量或者通过其他量计算这个量的时候，这个量的中误差会怎么变化。
比如说，你通过测量两个长度 A 和 B 来计算它们的和 C，那么 C 的中误差就和 A、B 的中误差有关系。
给大家举个我自己经历过的事儿吧。
有一次，我们在学校组织学生搞一个小小的测量活动，测量校园里一块小花园的面积。
同学们那叫一个积极，拿着尺子就开始量。
有的量长，有的量宽，然后再计算面积。
可是啊，算出来的结果那叫一个五花八门。
这时候，中误差传播定律公式就派上用场啦！我们通过分析每个测量数据的中误差，就能找出问题出在哪里，是测量的时候尺子没拿稳，还是计算过程出了差错。
咱再深入讲讲这个公式的应用。
比如说在三角测量中，通过测量角度来计算边长。
角度测量有中误差，那么计算出来的边长自然也有中误差。
这时候，中误差传播定律公式就能帮助我们预估边长的精度，提前知道我们的测量结果大概有多可靠。
在实际的工程测量中，比如修建一条公路或者建造一座大楼，中误差传播定律公式更是至关重要。
如果对中误差的估计不准确，可能会导致工程出现偏差，那后果可就严重啦。
学习中误差传播定律公式的时候，很多同学一开始可能会觉得有点头疼，觉得这公式又复杂又难记。
但其实啊，只要多做几道题，多结合实际的例子去理解，就会发现它并没有那么可怕。
就像我当年学习的时候，也是做了一堆题，慢慢就掌握了其中的窍门。
总之，中误差传播定律公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去学，多结合实际，就能把它掌握好，为我们的测量工作提供准确可靠的依据。
希望同学们在学习的过程中不要害怕，勇敢地去探索，相信大家都能学好！。
误差传播定律教案
误差传播定律教案教案标题：误差传播定律教案教案目标：1. 理解误差传播定律的概念和原理。
2. 掌握如何计算误差传播的方法。
3. 能够应用误差传播定律解决实际问题。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾前几堂课学习的内容，包括测量和数据处理的基本概念。
2. 提出问题：在实际测量中，我们是否能够完全避免误差？为什么？讲解（15分钟）：1. 介绍误差传播定律的概念和背景。
解释误差传播是指在多个测量值相互影响下，测量结果中的误差如何传播和累积的过程。
2. 解释误差传播定律的原理：当进行一系列测量时，每个测量值都有自己的误差，这些误差将通过一定的计算方法传播到最终结果中。
示范（15分钟）：1. 给出一个简单的数学模型，例如计算一个矩形的面积，其中长度和宽度都有一定的测量误差。
2. 演示如何使用误差传播定律计算最终结果的误差范围。
练习（20分钟）：1. 分发练习题，要求学生根据给定的测量数据和误差范围，计算最终结果的误差范围。
2. 学生独立或分组完成练习，并相互核对答案。
3. 教师巡视课堂，解答学生提出的问题。
总结（5分钟）：1. 回顾本节课的学习内容，强调误差传播定律的重要性和应用领域。
2. 引导学生思考如何在实际生活中应用误差传播定律解决问题。
拓展练习（可作为课后作业）：1. 提供更复杂的测量数据和计算问题，要求学生应用误差传播定律解决。
2. 鼓励学生在实际测量中注意误差的传播和累积情况，并思考如何减小误差。
教学资源：1. PowerPoint或白板。
2. 练习题和答案。
3. 测量工具和实际测量数据（可选）。
评估方式：1. 教师观察学生在课堂上的参与和理解情况。
2. 练习题的完成情况和准确性。
教案备注：1. 教师应提前准备好相关的示例和练习题，确保内容的连贯性和实用性。
2. 鼓励学生互相讨论和合作，提高解决问题的能力和思维方式。
3. 在教学过程中，教师应注重引导学生思考和发现，培养其独立解决问题的能力。
第1章误差传播定律
本课程的主要任务是讲授测量平差的基本理 论和基本方法，为进一步学习和研究测量数据处 理奠定基础。
授课周数：1-14周 周学时 ：6学时 总学时 ：84学时 最后进行闭卷考试。
2018/10/27 第一章 观测误差及其传播 1
本课程的主要内容
1. 误差及误差传播理论（第一章） 2. 平差模型的建立、最小二乘原理（第二章） 3. 测量平差基本方法（第三、四、五章）包括条件平差、 间接平差、附有参数的条件平差、附有条件的间接平差、
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第一章 观测误差及其传播
§1-2 观测误差及其分类
在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象 ，在测量工作中是普遍存在的，这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。
一、观测误差产生的原因
1．测量仪器 2．观测者 3．外界条件： 测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。通常把 这三方面的因素合起来称为观测条件。 观测条件好---误差小----观测成果质量高。反之亦然。 如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。 不管观测条件如何，测量中产生误差是不可避免的。
2018/10/27
第一章 观测误差及其传播
4
学习方法
课程特点：
公式多、计算量大，所需数学知识多，比较枯燥 学习方法：
复习测量学、线性代数、高等数学、概率论及数 理统计等课程知识，
对本课程的知识要通过预习-----听课----复习----完 成作业---编写计算机程序 等步骤来掌握所学知识。
2018/10/27
2018/10/27
9
第一章 观测误差及其传播
§1-2
四、测量平差的任务
第7讲 中误差及误差传播定律1讲解
测值中误差平方之和。
基础
§5.3 误差传播定律
例：设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每 尺段量距的中误差都为m，求全长S的中误差ms。 解：因为全长S=L＋L＋……＋Ll（式中共有n个L）。而L 的中误差为m。
mS m n
量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
即hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn 即，水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正 比。
mhAB nm站
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高
差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的 水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为
解： SAB=500*Sab=500X25.4=11700mm=11.7m
得 msAB＝500*mSab＝500*（士0.2）
=±100mm
最后答案为SAB=11.7m±0.1m
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
二、和或差的函数
设有函数： z x y
Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误 差为mx、my，求Z的中误差mZ。 设x、y和z的真误差分别为△x、△y和△z则
§5.3 误差传播定律
三、线性函救
设有线性函数： z k1x1 k2 x2 kn xn
则有
m2 z (k1x1 )2 (k2 x2 )2 (kn xn )2
例 设有线性函救
z
4 14
x1
z x y
zi xi yi
误差传播定律——观测值函数的中误差
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
1. 误差传播定律的定义 在实际工作中，某些未知量不能直接观
测而求得，而是需要用观测值间接求得， 如HB=HA+∑h中，HB是独立观测值 h1,h2,…,hn的函数，那么就需要由观测值 的中误差求出函数的中误差。 定义：阐述观测值中误差与观测值函数中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律。
推导:
zz
N
k12
x1x1
N
k22
x2x2
N
kn2
xnxn
N
2
nn
j 1 i 1
ki
kj
xix j N
i j
………………………（5）
可以证明，当i≠j时，独立观测量xi,xj的随 机误差△xi,△xj之乘积△xi·△xj也表现
为随机误差的性质。依据随机误差的抵偿
性有
lim
N
ki
k
j
i j
2
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
2. 一般函数误差传播定律 分别设为有m独x1 , m立x2观,测, m值xn x1,x2,…,xn，其中误差
现有函数 z f (x1, x2,, xn ) …（1）
求函数值z的中误差mz。
推导
3
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
z f (x1, x2 ,, xn )
则有
mz2
k12
m2 x1
k22
m2 x2
kn2
m2 xn
z f ( x1, x2 ,, xn )
mz2
k12
m2 x1
k22
m2 x2
kn2
中误差传播定律(精)
《地形测量》
授课老师：郑佳荣 崔有祯
误差传播定律
本单元阐述了观测值中误差与其函数中误差之 间的关系，称作误差传播定律。它是求观测值 函数中误差的理论根据，希望大家认真掌握。
本单元主要内容：观测值函数中误差推导。 知识考核:倍数函数，和、差函数，线性函数
mF 102 32 52 152 19
（三）线性函数中误差
设有函数 Z= K1 x1±K2 x2 ±…±Kn xn 式中K1、K2、…、Kn为常数；x1、x2…、xn均为独
立观测值，它们的中误差分别为m1、m2、…、mn 函数Z与各观测值x1、x2、…、xn的真误差关系式为
z k1 x1 k2 x2 kn xn
解：水平距离为 s L2 h2 29.9922 2.052 29.922
水平距离的中误差为
ms2
S L
2
mL2
S h
2
mh2
式中
S 1 1
L
L
2L
1.0023
L 2 L2 h2
L2 h2 S
f X
1
)
2
m x21
(
f X
2
)
2
m x22
... ( f X n
)
2
m
2 xn
mz
(f 2
)2 m2 2
( f n
)2 m2 n
例题
设沿倾斜地面丈量A、B两点，得倾斜距离L=29.992 m，测 得A、B两点间高差h=2.05m，若测量L、h的中误差分别为 ±0.003 m和±0.05 m，求水平距离S及其中误差ms。
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[v ] 0
[vv] m n 1
测量学 基础
5.计算观测值的中误差
x y
n
影响。根据中误差定义，得
m m m
2 z 2 x
2 y
即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观 测值中误差的平方之和。
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和（差）的函数时， 即
z x1 x2 xn
可以得出函数Z的中误差平方为
m m m m
[vv] m n 1
（白塞尔公式）
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差
等精度观测直接平差步骤
1. 计算算术平均值
l1 l 2 l n [l ] x n n
2. 计算观测值的改正值
v1 x l1 v2 x l2 vn x ln
目录
检核
1 X l1 2 X l2 n X ln
目录
则观测值的真误差为：
[] [l ] X n n
测量学 基础
§5.4 算术平均值及观测值的中误差
算术平均值
[] [l ] lim 0 x 根据偶然误差的第（4）特性 n n n
得出：
1.当观测次数无限增大时，观测值的算 术平均值趋近于该量的真值。 2. 在计算时，不论观测次数多少均以算术平 均值 x 作为未知量的最或然值。
例如，设有函数z=x＋y，而y=3x，此时因为x 与 y 不是独立观测值，因为不论 n 值多少，恒
有 m2 m2 m2 z x y
x
y
n
x
3 x xx 2 3 3m x n n
因此，应把Z化成独立观测值的函数，即 z=x+3x=4x 上式中 X 与 3X 两项是由同一个观测 值X组成的，必须先并项为z= 4x 而后求其中 误差，即mz= 4mx
第七讲 中误差及误差传 播定律
学时：2学时 主讲：徐克科
1
2014-5-22
第三章
本讲主要内容 第5章 测量误差的基本知识
§5.3误差传播定律 §5.4算术平均值及观测值的中误差
2
第三章
§5.3 误差传播定律 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系
的定律，称为误差传播定律
在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要
测量学
行了25km后，测得高差的中误差为 20 25 100mm
基础
§5.3 误差传播定律
三、线性函救
设有线性函数：
z k1 x1 k 2 x2 k n xn
4 9 1 z x1 x 2 x3 14 14 14
则有
m2 z (k1 x1 ) 2 (k 2 x2 ) 2 (k n xn ) 2
2
2 m n
测量学 基础
2
§5.3 误差传播定律
例 ：设有某函数z=S·sinα式中S=150.11m，其中误差
ms= 士 005m ； α=119°45′00″ ，其中误差 mα=20.6″ ；
求z的中误差mz。 解：因为z=S·sinα，所以z是S及a的一般函数。
m m sin m s cos m z 44m m
例 设有线性函救
观测量的中误差分别为， m 3mm, m 2mm, m 6mm 1 2 3
求Z的中误差
4 9 1 m z 3 2 6 1.6m m 14 14 14
2 2 2
测量学 基础
由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起 始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而 得来的观测高差h1……hn求和得出的。这时未知点B的高程 H 。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测学 基础
§5.3 误差传播定律
一、倍数的函数
即hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn 即，水准测量高差的中误差，与测站数 n 的平方根成正 比。
mh AB n m站
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高 差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的 水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为
设有函数：
z kx
Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差
为mx，求Z的中误差mZ。
z k x
zi k xi (i 1,2 n)
2
zi
k
2
2
k
2 z 2 2 x
xi
(i 1,2 n)
mS m n
量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
例如以30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺
段量距的中误差为±5mm时，全长的中误差为
mS m n
m90 5 3 8.7mm
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误 差都为 mL ，则每公里长度的量距中误差 mKm 也是相等的。
Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误
差为mx、my，求Z的中误差mZ。
设x、y和z的真误差分别为△x、△y和△z则
z x y
zi xi yi
2 zi 2 xi 2 yi 2 x i yi
(i 1,2 n)
2 z 2 2 s 2
2
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1）按问题的要求写出函数式：
z f x1 , x2 xn
xn
2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误 差之间的关系式： 式中，
f x i
f f f z x x1 x x2 x 1 2 n
时其正值与负值有互相抵消的可能；当 n愈大时，上式中最
后一项［ΔxΔy］/n将趋近于零，即
测量学 基础
§5.3 误差传播定律 将满足上式的误差 Δx 、 Δy 称为互相独立的误
差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测
值。对于独立观测值来说，即使 n 是有限量，由
于
lim n
0 式残存的值不大，一般就忽视它的
§5.3 误差传播定律
四、一般函数
z f x1 , x2 xn
当xi具有真误差Δ时，函数Z相应地产生真误差Δz。这 些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差 与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分
来表达。
f f f z x x1 x x2 x 1 2 n
是用观测值代入求得的值。
3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：
m2 z f 2 f x m 1 x 1 2
2
f 2 m 2 x n
2
2 m n
2
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
2 2 2 2 2 mh m m m Sm km km km km AB 或 S个
mhAB s mkm
即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。 例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量 时，每公里高差的中误差为±20mm，则按这种水准测量进
(i 1,2 n)
测量学 基础
§5.3 误差传播定律
求和，并除以n，得
2 z 2 x
2
2 y x y
n
n
n
n
由于Δx、Δy均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，
因为Δx、Δy为独立误差，它们出现的正、负号互不相关， 所以其乘积ΔxΔy也具有正负机会相同的性质，在求［ΔxΔy］
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思考题
设有某函数z=S· tgα式中S=150.11m，其 中误差ms=士0.05m； α=129°45′00″， 其中误差mα=20.6″；求z的中误差mz。
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§5.4 算术平均值及观测值的中误差
算术平均值
在相同的观测条件下，对某未知量进行n 次观测， 观测值分别为l1，l2, …，ln 求该未知量的最或然 值？ 设未知量的真值为X，
xn
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§5.3 误差传播定律
式中
的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们 是常数，因此上式是线性函数可为：
f 2 f x m 1 x 1 2
2
f xi
（i=l，2…n）是函数对各个变量所取
m
2
z
f 2 m 2 x n
A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。 解： SAB=500*Sab=500X25.4=11700mm=11.7m
得 msAB＝500*mSab＝500*（士0.2）
=±100mm
最后答案为SAB=11.7m±0.1m
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§5.3 误差传播定律
二、和或差的函数
设有函数：
z x y
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§5.4 算术平均值及观测值的中误差
观测值的改正值
算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值。
v1 x l1 v2 x l2 vn x ln