4第四讲误差传播定律
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误差传播定律
测值中误差乘积的平方和的平方根。
例4：已知矩形的宽x=30m,其中误差mx=±0.005m,矩形的长y=50m, 其中误差my=±0.008m,计算矩形面积S及其中误差ms。
解：矩形面积 S=xy 由题意：求各观测值偏导数： f y
x
f x y
mz
(
f X 1
)2
m12
(
二、和或差的函数
设和或差函数为： z x y
即： mz
m
2 x
m
2 y
式中：Z为x、y的和或差的函数；x、y为独立观测值；mx、my为x、y的
中误差，mZ为Z的中误。
结论：两观测值代数和或差的函数中误差等于两观测值的中误差的 平方和的平方根。
z x1 x2 xn
即：
mz
(
f X 1
)2
m12
(
f X 2
)2
m
2 2
(
f X n
)2
m
2 n
式中:xi (i=1，2…n)为独立观测值；已知其中误差为mi(i=1 2…n)， mz为z的中误差；xf（i i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导数。
结论：一般函数中误差等于按每个观测值所求的偏导数与相应观
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，就称为误差传播定律。
一、倍数函数
设倍数函数为：zm2 z kk x2mx2
即：mz kmx
式中：Z为观测值X的函数（也就是未知量的间接观测值）；K为常数；X为 直接观测值；mx为X的中误差；mZ为Z的中误差。
结论：倍数函数的中误差（观测值与常数乘积的中误差），等于 观测值中误差乘常数。
测量平差测量误差及其传播定律课件
各种工程进行精确测量。
地理信息获取
通过平差测量原理，获取高精度 地理信息数据，为地理信息系统
提供基础数据。
科学研究
在物理、化学、生物等领域，利 用平差测量原理对各种实验数据
进行处理和分析。
CHAPTER 03
误差传播定律
误差传播定律的定义
误差传播定律是测量平差中用来描述测量误差之间相互关系 的定律。它表明，当对一个或多个观测值进行数学运算时， 误差会按照一定的规律传播。
测量误差的来源
01
02
03
04
测量设备误差
设备精度、磨损、老化等因素 导致误差。
环境误差
温度、湿度、气压、风速等环 境因素影响测量结果。
操作误差
操作人员技能水平、操作习惯 等因素导致误差。
观测误差
观测过程中产生的随机误差和 系统误差。
测量误差的分类
系统误差
可预测且相对稳定的误差，如设 备误差。
随机误差
实例三：距离测量误差分析
总结词
距离测量误差主要来源于仪器误差、 人为误差和外界环境因素。
详细描述
仪器误差包括固定误差和比例误差； 人为误差包括读数误差和记录误差； 外界环境因素包括温度、气压和湿度 等气象因素的影响。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
总结词
水准测量误差主要来源于仪器误差、 人为误差和外界环境因素。
详细描述
仪器误差包括望远镜调焦误差、十字 丝分划板误差等；人为误差包括读数 误差和仪器对中误差；外界环境因素 包括大气折射和地球曲率的影响。
实例二：角度测量误差分析
总结词
角度测量误差主要来源于仪器误差、人为误差和目标偏心。
详细描述
地理信息获取
通过平差测量原理，获取高精度 地理信息数据，为地理信息系统
提供基础数据。
科学研究
在物理、化学、生物等领域，利 用平差测量原理对各种实验数据
进行处理和分析。
CHAPTER 03
误差传播定律
误差传播定律的定义
误差传播定律是测量平差中用来描述测量误差之间相互关系 的定律。它表明，当对一个或多个观测值进行数学运算时， 误差会按照一定的规律传播。
测量误差的来源
01
02
03
04
测量设备误差
设备精度、磨损、老化等因素 导致误差。
环境误差
温度、湿度、气压、风速等环 境因素影响测量结果。
操作误差
操作人员技能水平、操作习惯 等因素导致误差。
观测误差
观测过程中产生的随机误差和 系统误差。
测量误差的分类
系统误差
可预测且相对稳定的误差，如设 备误差。
随机误差
实例三：距离测量误差分析
总结词
距离测量误差主要来源于仪器误差、 人为误差和外界环境因素。
详细描述
仪器误差包括固定误差和比例误差； 人为误差包括读数误差和记录误差； 外界环境因素包括温度、气压和湿度 等气象因素的影响。
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总结词
水准测量误差主要来源于仪器误差、 人为误差和外界环境因素。
详细描述
仪器误差包括望远镜调焦误差、十字 丝分划板误差等；人为误差包括读数 误差和仪器对中误差；外界环境因素 包括大气折射和地球曲率的影响。
实例二：角度测量误差分析
总结词
角度测量误差主要来源于仪器误差、人为误差和目标偏心。
详细描述
测量平差测量误差及其传播定律课件
测量数据处理
数据预处理
数据清洗 数据转换 数据集成
数据处理方法
统计分析 数据挖掘 预测分析
数据后处理
结果验证
1பைடு நூலகம்
报告生成
2
数据存储
3
CHAPTER
测量误差实例分析
实例一：水准测量误差分析
总结词
详细描述
仪器误差包括望远镜调焦误差、十字 丝分划板误差等；人为误差包括读数 误差和仪器对中误差；外界环境因素 包括大气折射和地球曲率的影响。
测量平差测量误差及 其传播定律课件
• 测量误差概述 • 平差测量原理 • 误差传播定律 • 测量数据处理 • 测量误差实例分析
CHAPTER
测量误差概述
测量误差的定义
测量误差
不可避免性
测量结果与被测量真值之间的差异。
由于受到多种因素的影响，测量误差 不可避免。
产生原因
测量设备、环境、操作方法、人员等 因素的影响。
实例二：角度测量误差分析
总结词
角度测量误差主要来源于仪器误差、人为误差和目标偏心。
详细描述
仪器误差包括照准误差、度盘刻划误差等；人为误差包括瞄准误差和读数误差； 目标偏心则是指目标偏离了理想位置，导致观测值失真。
实例三：距离测量误差分析
总结词
详细描述
WATCHING
测量误差的来源
01
测量设备误差
02
环境误差
03
操作误差
04
观测误差
测量误差的分类
系统误差
随机误差 过失误差
CHAPTER
平差测量原理
平差测量基本概念
01
02
平差测量
测量误差
03 误差传播定律
数据预处理
数据清洗 数据转换 数据集成
数据处理方法
统计分析 数据挖掘 预测分析
数据后处理
结果验证
1பைடு நூலகம்
报告生成
2
数据存储
3
CHAPTER
测量误差实例分析
实例一：水准测量误差分析
总结词
详细描述
仪器误差包括望远镜调焦误差、十字 丝分划板误差等；人为误差包括读数 误差和仪器对中误差；外界环境因素 包括大气折射和地球曲率的影响。
测量平差测量误差及 其传播定律课件
• 测量误差概述 • 平差测量原理 • 误差传播定律 • 测量数据处理 • 测量误差实例分析
CHAPTER
测量误差概述
测量误差的定义
测量误差
不可避免性
测量结果与被测量真值之间的差异。
由于受到多种因素的影响，测量误差 不可避免。
产生原因
测量设备、环境、操作方法、人员等 因素的影响。
实例二：角度测量误差分析
总结词
角度测量误差主要来源于仪器误差、人为误差和目标偏心。
详细描述
仪器误差包括照准误差、度盘刻划误差等；人为误差包括瞄准误差和读数误差； 目标偏心则是指目标偏离了理想位置，导致观测值失真。
实例三：距离测量误差分析
总结词
详细描述
WATCHING
测量误差的来源
01
测量设备误差
02
环境误差
03
操作误差
04
观测误差
测量误差的分类
系统误差
随机误差 过失误差
CHAPTER
平差测量原理
平差测量基本概念
01
02
平差测量
测量误差
03 误差传播定律
4第四讲误差传播定律(精)
误差传播定律在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算岀来。
例如某未知点B的高程H B，是由起始点A 的高程比加上从A点到B点间进行了若干站水准測量而得来的观測高差h】……厲求和得出的。
这时未知点B的高程H。
是各独立观测值的函数。
那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中课差呢？阐述观測值中谋莖与观测值函数中谋差之间关系的定律，称为误差传播定律。
1、和差函数设有函数：z=x±yZ 为x 、y 的和或差的函数，x 、y 为独立观测值，已知其中课差为 m& m y ,求Z 的中泯差mz 。
设x 、y^z 的真课差分别为亠、△舟亠则 A. =△、+△、, 若对x 、y 均观测了n 次，则(2 1,2……对将上式平方，得= A 2.… + △［讨 ±2A r A v ,(i = 1,2……n)由于亠、亠均为假然误差，其符号为正或负的机会相 同，因为Ay 为独立误差，它们出现的正・负号互不相 关，所以其乘积亠Ay 也具有正负机会相同的性质，在求 ［心］时其正值与负值有互相抵消的可能；当n 愈大时， 上式中最后一项［g ］ /n 将趋近于零，即 lim lA r A r l 1 - ^ = 0/? —>oo n将满足上式的误差A 禺为互相独立的误差，简称独立 误差，相应的观测值称为独立观測值。
对于独立观测值来说， 即使n 是有限量，由于 罰 式残存的值不大，一般就 观测值的函数求和，并除以n,得k J =忽视它的影响。
根据中谀療是义；得两观测值代数和的中谋差平方，等于两观测值中误差的平方之和。
当z是一组观测值X】、兀…％代数和（差）的函数时，即Z = X}±X2^^^±X n可以得出函数Z的中误差平方为7H：= 〃彳+加；+・・・+加［Z X| x2 xn结论：n个）WU值代数和（差）的中谋差平方，等于n个观灣值中误差平方之和。
误差传播定律
dz
f x1
dx1
f x2
dx2
f xi
dxi
f xn
dxn
，分别求出 f
xi
（3）将
f xi
、m
i
带入关系式（5—6）求出
m
z
根据关系式（5—6）可导出下列简单函数式的中误差传 播公式（见表5—2）。
5/15/2019
表5—2 简单函数式的中误差传播公式
解: 1）首先列出函数式 D Lcos
2）水平距离
D 247.50 cos10o34' 243.303m
这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分
3）先求出各偏导值如下
5/15/2019
D COS10O34' 0.9830 L D L sin10o34' 247.50 sin10o34' 45.3864
f xi
dxi
f xn
dxn
如将上式中的微分量“d”改用真误差“△”，则得
5/15/2019
z
f x1
x1
f x2
x2
f xi
xi
f xn
xn
式中
f xi
为函数z分别对各变量
xi
的偏导数，并将观测值xi
代入偏导数后求出的数值，故均为常数。
函数 名称
函数式
中误差传播公式
备
注
倍数 函数
z kx
mz kmx
和差 函数
z x1 x2 xn
k
mz mx21 mx22 mx2n 为
绪论2误差传播定律
未来，误差传播定律的 研究将更加注重跨学科 融合，借鉴其他领域的 理论和方法，形成更加 完善的理论体系。
智能化技术应用
随着人工智能等技术的 发展，未来误差传播定 律的研究将更加注重智 能化技术的应用，如利 用机器学习等方法进行
误差预测和控制。
实验与理论相结合
未来研究将更加注重实 验与理论的相结合，通 过实验验证理论的正确 性和可靠性，推动误差 传播定律在实际应用中
误差控制
为了控制误差的累积和传播，提高测 量结果的准确性，需要研究和掌握误 差传播规律。
学科发展
随着测量科学和技术的不断发展，对 误差传播规律的研究逐渐深入，形成 了较为完善的理论体系。
02
误差传播定律数学表达式
单一观测值误差传播公式
误差传播定律描述了测量误差在数据处理过程中的传 递规律。对于单一观测值，其误差传播公式可表示为
缺乏统一的理论框架
目前，误差传播定律的研究缺乏统一的理论框架，不同领域和方法 之间的融合不够，限制了其应用范围和效果。
实验验证不足
误差传播定律的实验验证相对较少，缺乏充分的实验数据支持，使 得理论成果在实际应用中的可靠性受到质疑。
未来发展趋势及前景预测
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
跨学科融合研究
输标02入题
$$sigma_y = |f'(x)| cdot sigma_x$$
01
03
该公式表明，函数 $y$ 的误差与 $x$ 的测量误差及 函数在该点的导数有关。当 $|f'(x)|$ 较大时，即使
$sigma_x$ 很小，$sigma_y$ 也可能较大。
04
其中，$sigma_y$ 为函数 $y = f(x)$ 的误差，$f'(x)$ 为函数在点 $x$ 处的导数，程测量中，误差传播定律用 于评估测量结果的可靠性和精度， 指导测量方案的设计和实施。
智能化技术应用
随着人工智能等技术的 发展，未来误差传播定 律的研究将更加注重智 能化技术的应用，如利 用机器学习等方法进行
误差预测和控制。
实验与理论相结合
未来研究将更加注重实 验与理论的相结合，通 过实验验证理论的正确 性和可靠性，推动误差 传播定律在实际应用中
误差控制
为了控制误差的累积和传播，提高测 量结果的准确性，需要研究和掌握误 差传播规律。
学科发展
随着测量科学和技术的不断发展，对 误差传播规律的研究逐渐深入，形成 了较为完善的理论体系。
02
误差传播定律数学表达式
单一观测值误差传播公式
误差传播定律描述了测量误差在数据处理过程中的传 递规律。对于单一观测值，其误差传播公式可表示为
缺乏统一的理论框架
目前，误差传播定律的研究缺乏统一的理论框架，不同领域和方法 之间的融合不够，限制了其应用范围和效果。
实验验证不足
误差传播定律的实验验证相对较少，缺乏充分的实验数据支持，使 得理论成果在实际应用中的可靠性受到质疑。
未来发展趋势及前景预测
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
跨学科融合研究
输标02入题
$$sigma_y = |f'(x)| cdot sigma_x$$
01
03
该公式表明，函数 $y$ 的误差与 $x$ 的测量误差及 函数在该点的导数有关。当 $|f'(x)|$ 较大时，即使
$sigma_x$ 很小，$sigma_y$ 也可能较大。
04
其中，$sigma_y$ 为函数 $y = f(x)$ 的误差，$f'(x)$ 为函数在点 $x$ 处的导数，程测量中，误差传播定律用 于评估测量结果的可靠性和精度， 指导测量方案的设计和实施。
4-误差传播律习题课
x2
y1
x2 y2
x2 ym
xn y1 xn y2 xn ym
2 i
02Qii
ji 02Qij
2 j
02Q jj
观测值向量 L 的协因数阵 n1
Q11 Q12 Q1n
QXX
n,n
Q21
• 问:可设多少个测站?
• 4、有一个角度测了20 回，得中误差 为 ±0。42〞。
• 问：需要再增加多少测回，其中误差 可达 ±0。28〞。
• 5、以相同精度测定支导线各转折角 L1、L2。。。LN ,观测中误差为 σ。
• 设起始方位角α无误差。
• 求：导线边A-1,1-2，2-3,…(n-1)B的方位角的中误差。
Qn1
Q22
Qn2
Q2n
Qnn
DXX
Q 2
0 XX
三、二观、观测测值值函线性数函的数误的方差差传播
1、线性函数 ：
X
n,1
[X1,
X
2,...X n
]T
,
DXX
Z K X K0
t ,1
t , n n,1
t ,1
Y F X F0
r ,1
r , n n,1
• 6、设附合水准线路长 SAB=80km ， 每公里观测高差的权为 1 。设A、B 点高程无误差。
• 求：最弱点平差前后的高程的权。
• 7、对 A 角观测 4 次，每次观测中误观测中误差 为 ±4〞。
•
根据公式：
第四节误差传播定律第五节算术平均值及中误差资料
讨论一般函数，设有函数
其中
z f(
x1、x2
x1、x2 xn）
xn 为独立观测值。
中误差分别为： m1、m2 mn
设 x1、x2 xn 分别有真误差 x1、x2 xn
相应函数 随之产生真误差
根据变量的误差与函数的误差之间的关系近似用全微分表达求函数的全 微分,舍取二次以上各项得：
K22m22
K
m 2 2
nn
[例题]：丈量得倾斜距离s=50.00m，其中误差 ms 0.05，并测得倾斜角
150000，其中误差 m 30 ，求相应水平距离D及其中误差。
解：首先列出函数式 D=Scos 水平距离D=50∙cos15ْ =48.296m 这是个非线性函数，所以要用公式（6-9）求函数的中误差。先求出个偏导数如下：
n
所以
lim n
x
X
在有限次观测时，所求得观测值 是接近真值的值，因此算术平均值是 观测量的最可靠值。（最或然值）
二、算术平均值的中误差
在同精度观测条件下，得观测值L1、L2┉Ln,中误差 均相同为m,算术平均值如下。
x
L
n
1 n
L1
1 n
L2
1 n
Ln
根据误差传播定律中误差式为：
2 n2
按级数展开取第一项得：
x2
n2
m2 n
代入得： m2 vv
由以上可得：
m2 vv
n 1
m
vv
n1
（白塞尔公式）
M
vv
n(n 1）
D cos cos15 0.9659 D s sin 50 sin 15 12.9410