第三节误差传播定律
测量误差传播律
§6－3 误差传播定律当对某量进行了一系列的观测后，观测值的精度可用中误差来衡量。
但在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的。
例如，水准测量中，在一测站上测得后、前视读数分别为a 、b ，则高差h =a -b ，这时高差h 就是直接观测值a 、b 的函数。
当a 、b 存在误差时，h 也受其影响而产生误差，这就是所谓的误差传播。
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。
本节就以下四种常见的函数来讨论误差传播的情况。
一、倍数函数设有函数kx Z =（6-7）式中k 为常数，x 为直接观测值，其中误差为m x ，现在求观测值函数Z 的中误差m Z 。
设x 和Z 的真误差分别为Δx 和ΔZ ，由（6-7）式知它们之间的关系为ΔZ =k Δx 若对x 共观测了n 次，则ii x Z k ∆=∆ （i =1,2,…,n ）将上式两端平方后相加，并除以n ，得[][]n k n2x22Z∆=∆（6-8）按中误差定义可知[]n m 2Z2Z ∆=[]n m 2x2x∆=所以（6-8）式可写成2x 22z m k m =或x z km m =（6-9）即观测值倍数函数的中误差，等于观测值中误差乘倍数（常数）。
【例】 用水平视距公式D =k ·l 求平距，已知观测视距间隔的中误差m l =±1cm ，k =100，则平距的中误差m D =100·m l =±1 m 。
二、和差函数设有函数y x z ±=（6-10）式中x 、y 为独立观测值，它们的中误差分别为m x 和m y ，设真误差分别为Δx 和Δy ，由（6-10）式可得yx z ∆±∆=∆若对x 、y 均观测了n 次，则 ),,2,1(n i ii i y x z =∆±∆=∆将上式两端平方后相加，并除以n 得[][][][]n2n n n yx2y2x2z∆∆±∆+∆=∆上式[]y x ∆∆中各项均为偶然误差。
误差传播定律
测值中误差乘积的平方和的平方根。
例4：已知矩形的宽x=30m,其中误差mx=±0.005m,矩形的长y=50m, 其中误差my=±0.008m,计算矩形面积S及其中误差ms。
解：矩形面积 S=xy 由题意：求各观测值偏导数： f y
x
f x y
mz
(
f X 1
)2
m12
(
二、和或差的函数
设和或差函数为： z x y
即： mz
m
2 x
m
2 y
式中：Z为x、y的和或差的函数；x、y为独立观测值；mx、my为x、y的
中误差，mZ为Z的中误。
结论：两观测值代数和或差的函数中误差等于两观测值的中误差的 平方和的平方根。
z x1 x2 xn
即：
mz
(
f X 1
)2
m12
(
f X 2
)2
m
2 2
(
f X n
)2
m
2 n
式中:xi (i=1，2…n)为独立观测值；已知其中误差为mi(i=1 2…n)， mz为z的中误差；xf（i i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导数。
结论：一般函数中误差等于按每个观测值所求的偏导数与相应观
阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，就称为误差传播定律。
一、倍数函数
设倍数函数为：zm2 z kk x2mx2
即：mz kmx
式中：Z为观测值X的函数（也就是未知量的间接观测值）；K为常数；X为 直接观测值；mx为X的中误差；mZ为Z的中误差。
结论：倍数函数的中误差（观测值与常数乘积的中误差），等于 观测值中误差乘常数。
5.3误差传播定律及其应用[17页]
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其中：
水平距离中误差：
三、误差传播定律的应用
例3：(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 的中误差。 (2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 A的中误差。 ，其中: ，求该正方形的周长S和面积 ，求该正方形的周长S和面积A
解 : (1) 周长
周长的中误差为 面积
全微分:
全微分:
面积的中误差为
三、误差传播定律的应用
例3：(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 ，其中: ，求该正方形的周长S和面积
A的中误差。
解 : (1)周长和面积的中误差分别为
(2)周长
; 周长的中误差为
面积 但由于 得周长的中误差为
全微分:
END Thanks
本节课结束
(f)
考虑 ，代入上式，得中误差关系式：
上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。
一、一般函数的中误差
通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：
列出函数式； 对函数式求全微分； 套用误差传播定律，写出中误差公式。
二、几种常用函数的中误差
1、倍数函数的中误差
设有函数式
二、几种常用函数的中误差
观测值函数中误差公式汇总
函数式 一般函数 倍数函数 函数的中误差
和差函数
线性函数 算数平均值
三、误差传播定律的应用
例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6 经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 解：由题意：2m= 15,则 m= 7.5 每个角的测角中误差：
土木工程测量
第五章
第三节 误差传播 定律及其 应用
主讲教师：刘 星 重庆大学土木工程学院
一、一般函数的中误差
设有函数：
误差传播定律——观测值函数的中误差
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
1. 误差传播定律的定义 在实际工作中，某些未知量不能直接观
测而求得，而是需要用观测值间接求得， 如HB=HA+∑h中，HB是独立观测值 h1,h2,…,hn的函数，那么就需要由观测值 的中误差求出函数的中误差。 定义：阐述观测值中误差与观测值函数中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律。
推导:
zz
N
k12
x1x1
N
k22
x2x2
N
kn2
xnxn
N
2
nn
j 1 i 1
ki
kj
xix j N
i j
………………………（5）
可以证明，当i≠j时，独立观测量xi,xj的随 机误差△xi,△xj之乘积△xi·△xj也表现
为随机误差的性质。依据随机误差的抵偿
性有
lim
N
ki
k
j
i j
2
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
2. 一般函数误差传播定律 分别设为有m独x1 , m立x2观,测, m值xn x1,x2,…,xn，其中误差
现有函数 z f (x1, x2,, xn ) …（1）
求函数值z的中误差mz。
推导
3
误差传播定律 ——观测值函数的中误差
z f (x1, x2 ,, xn )
则有
mz2
k12
m2 x1
k22
m2 x2
kn2
m2 xn
z f ( x1, x2 ,, xn )
mz2
k12
m2 x1
k22
m2 x2
kn2
误差传播定律
应用误差步骤
1.列出观测值函数的表达式 Z=f(x1,x2,...xn) 2.对函数Z进行全微分 Δz=(əf/əx1)Δx1+(əf/əx2)Δx2+...+(əf/əxn)Δxn 3.写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式 mz^2=(əf/əX1)^2m1^2+(əf/əX2)^2m2^2+...+(əf/əXn)^2mn^2 4.计算观测值函数中误差
当只有一个独立的观测值时,和函数与倍数函数运用误差传播定律不会出现悖论;如果在测量工作中有多余的 直接观测值,就需用平差后的间接观测值按协方差传播律来计算,这样数学中相等的函数关系才能得到同样的函数 中误差结果 。
测量学误差
测量学误差传播定律是测绘科学基本的、简单的定律，但作用较大，比如测量规范中，水平角观测的限差确 定，导线闭合差的限差确定，水准测量线路的限差确定，等等，都可以利用误差传播定律做到。此外，研究误差 传播定律，还可以较好地解决一些测绘问题或解决较难的测绘问题，丰富和发展测量学教材误差理论，因此，尽 管我们在误差传播定律方面取得了可喜的成果，仍然需要进一步研究倍数函数：Z=KX 则有： 观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。 和(差)函数的中误差 和(差)函数：Z=X1±X2且X1、X2独立，则有mz^2=mx1^2+mx2^2 两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和。 当Z是一组观测值X1、X2……Xn代数和(差)的函数时，即Z=X1±X2±...±Xn Z的中误差的平方为mz^2=mx1^2+mx2^2+...+mxn^2 n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差，与观测值个数n的平方根成正比，即mz=m·（n）^1/2
3误差传播定律及应用
mx
解： L x 25.063m
n
数字地形测量学
vv
n(n 1)
7mm
二、误差传播定律及应用
2、双观测值及其中误差 对同一个量所进行的两次观测称为双观测对。 有一组量x1，x2，。。。。Xn，对该量各观测两次， L1‘，L2’，。。。。Ln‘ L1’’，L2’’，。。。。Ln’’ di= 0-（Li‘-Li”）
数字地形测量学
4、一般函数（非线性函数）
例一：设有函数z=S•sin
解：
已知 : S 150.11m m S 0.05m
119 45 00
m 20.6 求m z ?
数字地形测量学
'
''
z z z s s sin s S cos
md
dd
n d i Li ' Li ' '
数字地形测量学
二、误差传播定律及应用
2、双观测值及其中误差
d i Li ' Li ' ' m 2n
dd
xi ( Li ' Li ' ' ) / 2 M
数字地形测量学
dd
4n
数字地形测量学
vv
n n
vv 2v ( x
令x x X
X ) n( x X ) 2
x
2
x 2
v nx L n L L 0
n L x X n n n
2
n2 2
mY 3m X
2 2 2 m Z m X mY
第三章 误差传播定律的应用
σ
2 h
= S ⋅σ
2 km
取C公里观测高差的方差为单位权方差， 即 公里观测高差的方差为单位权方差，
σ
P
=
2 0
= C
σ
Cσ
2
2 km
按权的定义式，可得： 按权的定义式，可得：
hi
σ σ
2 0 2 hi
=
Siσ
km 2 km
=
C Si
第三章
误差传播定律的应用
3.4
水准测量高差的精度
例2 水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 则该水准路线 长度不应超过多少公里？ 长度不应超过多少公里？ 解：由公式： 由公式：
Y
的中误差为： 的中误差为：
mY =
f12 m12 + f12 m12 + ... + f12 m12
第三章
误差传播定律的应用
3.2 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式) 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式)
国家二等三角网
(图1)
第三章
误差传播定律的应用
3.2 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式) 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式)
1 2
倍
第三章
误差传播定律的应用
第三章
误差传播定律的应用
3.5 三角高程测量高差的精度
Dtanα α v B hAB HB A HA D 大地水准面 (图4) 图
α
i
三角高程测量的基本公式为： 三角高程测量的基本公式为：
h A B = D tg α + i − v
误差传播定律
误差传播定律
误差传播定律是机器学习领域中一种重要的定理，它定义了损失函数与网络参数之间的关系。
误差传播定律解释了当网络参数发生变化时，损失函数会发生什么变化。
它提供了一种方法来利用梯度下降（Gradient Descent）算法来优化网络参数，从而最小化整个网络的损失函数值。
误差传播定律表明，可以通过计算每个参数的梯度，来调整网络参数，从而减小损失函数的值，从而达到最优参数的目的。
因此，误差传播定律是深度学习算法训练网络和模型参数的核心理论基础。
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第三节误差传播定律
§5-3 误差传播定律
在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。
误差传播定律：
说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。
间接观测量:
在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,
则：由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～。
例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的高差：h =a－b 。
间接观测量的误差：
由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。
一、误差传播定律?
设Z是独立观测量x1，x2，…，xn的函数，即
式中：x1，x2，…，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，…，mn，则观测值的函数Z的中误差为:
式中为函数Z分别对各变量 xi 的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。
求任意函数中误差的方法和步骤如下：
列出独立观测量的函数式：
求出真误差关系式。
对函数式进行全微分，得
求出中误差关系式。
只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：
表5-2 常用函数的中误差公式
二、应用举例
【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为 d=23.4 mm，其中误差md=±0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差 mD 。
解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例
尺分母。
两点的实际距离结果可写为：11.7 m±0.1 m。
【例5-3】水准测量中，已知后视读数a =1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，试求两点的高差及其中误差。
解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得
两点的高差结果可写为1.258 m±0.004 m。
【例 5-4】在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50 m，中误差mL=±0.05 m，并测得倾斜角α=10°34′，其中误差
mα=±3′，求水平距离D及其中误差mD
解: 1）首先列出函数式
2）水平距离
这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，
3）先求出各偏导值如下
4）写成中误差形式：
5）得结果：D=243.30 m±0.06 m。
【例5-5】
图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为m读=±2 mm，假定视距平均长度为50 m，若以3倍中误差为容许误差，试求在测段长度为L km的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。
解:1)每站观测高差为：h=a-b
2)每站观测高差的中误差：
因视距平均长度为50 m，则每公里可观测10个测站，L公里共观测10L个测站，L公里高差之和为：
L(km)高差和的中误差为：
往返高差的较差（即高差闭合差）为：
高差闭合差的中误差为：
以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：
在第二章中，取 (5-3-41.4)作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的i角误差等）。
三、注意事项
应用误差传播定律应注意以下两点：
1．要正确列出函数式
例：用长30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为ml =±5 mm，求全长D及其中误差mD。
1）函数式D=10l=10×30=300 m
按倍数函数式求全长中误差，将得出
2）实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为
用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为
按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。
2．在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。
如有函数式：z=y1+2y2=1 (a)
而：y1=3x;y2=2x+2 (b)
若已知x的中误差为mx，求Z的中误差mz。
1）直接用公式计算,由（a）式得：
由（b）式得：
代入（c）式得
（上面所得的结果是错误）
上面的结果为什么是错误的？
因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。
正确的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。