2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：1.1集合

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2015届高考数学(文、理)一轮专题复习训练专题一集合与常用逻辑用语

1.已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则( )A ．AB B ．BAC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅2.命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( )A ．对任意实数x ，都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤13.设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1，2)B ．[1，2]C ．[1，2)D ．(1，2]4.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π45.已知全集U ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B ＝{2，4，5，6，8}，则(∁U A )∩ (∁U B )＝( )A ．{5，8}B ．{7，9}C ．{0，1，3}D ．{2，4，6}6.已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<07.若全集U ＝{x ∈R |x 2≤4}，则集合A ＝{x ∈R ||x ＋1|≤1}的补集∁U A 为( )A ．{x ∈R |0＜x ＜2}B ．{x ∈R |0≤x ＜2}C ．{x ∈R |0＜x ≤2}D ．{x ∈R |0≤x ≤2}8.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49.设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的( ) A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件10.已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆BC ．D ⊆C D ．A ⊆D11.命题“若p 则q ”的逆命题是( )A ．若q 则pB ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q1.B A ＝{x |－1<x <2}，∴BA .2.C ∃x ∈R ，使x ＞1的否定为：∀x ∈R ，使x ≤1.3.D A ＝[－1，2]，B ＝(1，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]．4.C 由“若α＝π4，则tan α＝1”，得逆命题“若tan α＝1，则α＝π4”，得逆否命题“若tan α≠1，则α≠π4”． 5.B ∁U A ＝{2，4，6，9，7}，∁U B ＝{0，1，3，9，7}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{7，9}．6.C 利用全称命题的否定是特称命题可得选项C.7.C U ＝{x |－2≤x ≤2}，A ＝{x |－2≤x ≤0}，∴∁U A ＝{x |0<x ≤2}．8.D A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又A ⊆C ⊆B ，故满足条件的C 的个数为1＋2＋1＝4. 9.A 1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ⇔ab ＋ac ＋bc ≤(a ＋b ＋c )abc⇒ab ＋ac ＋bc ≤a ＋b ＋c ，而ab ＋bc ＋ca ≤a ＋b ＋c 显然成立，故“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分但不必要条件． 10.B 因为平行四边形包含矩形、正方形、菱形，矩形又包含正方形．故选B. 11.A 逆命题是将原命题的条件与结论互换得到的新命题，故选A.。

2015届高考数学专项精析精炼：2011年考点1 集合

考点1 集合一、选择题1.（2011·福建卷文科·Ｔ1）若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N 等于( )(A)｛0，1｝ (B)｛-1，0，1｝(C)｛0，1，2｝ (D)｛-1，0，1，2｝【思路点拨】直接取集合M 和集合N 的公共元素，即可得M N .【精讲精析】选A. {-1,0,1}N {0,1,2}{0,1}.M M N ∴ ＝，＝，＝ 2. （2011·福建卷文科·Ｔ12）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k 丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a -b∈[0]”.其中，正确结论的个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【思路点拨】根据题目中所给的“类”的概念，对选项逐个进行判断，从中找出正确的.【精讲精析】选C.对于①：2 01154021=⨯+， 2 011[1],∴∈故①正确；对于②：-35-1+2⨯＝（），-3[2]∴∈，故②不正确；对于③: 整数集Z []50Z ∴=被除，所得余数共分为五类.[][][][]1234 ,故③正确；对于④：若整数,a b 属于同一类，则1212125,5,5(5)5()5a n k b n k a b n k n k n n n =+=+∴-=+-+=-=，[]0a b ∴-∈，若[0],-55,5a b a b n a b n a b -===+则，即故与被除的余数为同一个数，a b ∴与属于同一类，所以“整数a,b 属于同一类”的充要条件是“a b [0]-∈”，故④正确，∴正确结论的个数是3.3.（2011·新课标全国文科·Ｔ1）已知集合{}{}0,1,2,3,4,1,3,5,,M N P M N === 则P 的子集共有( )(A)2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个【思路点拨】确定M N 的元素个数n ，子集个数为2n .【精讲精析】选B.由已知得{1,3}P M N = ＝，∴P 的子集有224＝个.4.（2011·辽宁高考文科·Ｔ１）已知集合A={x 1x ＞}，B={x 2x 1-＜＜}，则A B=( )（A ）{x -1x 2＜＜} （B ）{x 1-x ＞} （C ）{x 1x 1-＜＜} （D ）{x 1x 2＜＜}【思路点拨】本题考查集合的定义，集合的运算及解不等式的知识．【精讲精析】选D.解不等式组⎩⎨⎧<<->211x x ，得21<<x ．所以A B={}21<<x x ．5.（2011·广东高考文科·Ｔ2）已知集合A=22{(x,y)|x,y x y 1}+=为实数，且，B=}1y 为实数且,|),{(=+x y x y x ，则A ⋂B 的元素个数为（）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1【思路点拨】通过解方程组求交点坐标，从而得交点个数.【精讲精析】选C.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1122y x y x 解得⎩⎨⎧==01y x 或⎩⎨⎧==10y x ，即圆122=+y x 与直线1=+y x 交点为（1,0）或（0,1），即B A 的元素个数为两个.故选C.6.（2011·广东高考理科·Ｔ2）已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且x 2+y 2=l}，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}，则A ∩ B 的元素个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【思路点拨】通过解方程组求得交点坐标.【精讲精析】选C.由⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 122解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2222y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2222y x ，即圆122=+y x 与直线x y =交点为（22,22）或（22,22--），即B A 的元素个数为两个.故选C. 7.（2011·广东高考理科·Ｔ8）设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀,有S ab ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若V T ，是Z 的两个不相交的非空子集，=V T Z 且T c b a ∈∀,,有T abc ∈;V z y x ∈∀,,,有V xyz ∈，则下列结论恒成立的是（）（A ）V T ，中至少有一个关于乘法是封闭的（B ）V T ，中至多有一个关于乘法是封闭的（C ）V T ，中有且只有一个关于乘法是封闭的（D ）V T ，中每一个关于乘法都是封闭的【思路点拨】通过符合题目条件的特例对各选择支进行分析.【精讲精析】选A.若T={偶数}，V={奇数}则T 、V 中每一个关于乘法都是封闭的，故B 、C 不正确；若T={非负整数}，V={负整数}，则T 关于乘法是封闭的，V 关于乘法不封闭，故D 不正确；事实上，T 、V 必有一个含有1，由题目条件知含有1的这个集合一定关于乘法封闭.综合以上分析只有A 正确，故选A.8.（2011·山东高考理科·Ｔ1）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ＜3},则M ∩N =（）（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]【思路点拨】先解二次不等式，求出集合M ，再求N M ⋂【精讲精析】选A.()(){}{}23032<<-=<+-=x x x x x M ，{}21<≤=⋂x x N M .9.（2011·山东高考文科·Ｔ1）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =（）（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]【思路点拨】先解一元二次不等式，求出集合M ，再求N M ⋂.【精讲精析】选A.()(){}{}23032<<-=<+-=x x x x x M ，{}21<≤=⋂x x N M .10.（2011·辽宁高考理科·Ｔ2）已知N M ,为集合I 的非空真子集，且N M ,不相等，若1,⋂=∅= N M M N 则ð（）(A)M (B)N (C) I (D) ∅【思路点拨】结合韦恩图，利用子集关系求解．【精讲精析】选A ．如图，因为1=∅ N M ð，所以N M ⊆，所以= M N M ．11．（2011·北京高考理科·T1）已知集合2{|1},{}P x x M a =≤=，若P M P = ，则aI N M的取值范围是（）（A ）(,1]-∞- （B ）[1,)+∞ （C ）[1,1]- （D ）(,1][1,)-∞-+∞【思路点拨】先化简集合P ，再利用M 为P 的子集，可求出a 的取值范围.【精讲精析】选C.[1,1]P =-.由P M P = ，得M P ⊆，所以[1,1]a ∈-.12．（2011·北京高考文科·T1）已知全集U=R,集合2{|1}P x x =≤，那么U P ð=（）(A)(,1)-∞- (B)(1,)+∞ (C)(1,1)- (D)(,1)(1,)-∞-+∞【思路点拨】先化简集合P ，再利用数轴求P 的补集.【精讲精析】选D. [1,1]P =-，(,1)(1,)U P =-∞-+∞ ð. 13.（2011·湖南高考文科T1）设全集U=N M ={1，2，3，4，5}，M U N ð={2，4}，则N=（）（A ）{1,2,3} （B ）{1,3,5} （C ）{1,4,5} （D ）{2,3,4}【思路点拨】本题考查集合的交、并和补运算.【精讲精析】选B. M U N ð={2，4}，∴N 中一定没元素2和4.假设N ∉1，则U 1N,1M 1M N ∈∉∴∉，∪ð，与已知条件矛盾，所以1是N 中的元素，同理，3和5也是N 中的元素.14.（2011·江西高考理科·Ｔ2）若集合{}1213A x x =-≤+≤，20,x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭则A B ⋂=（）（A ）{}10x x -≤< （B ）{}01x x <≤（C ）{}02x x ≤≤ （D ）{}01x x ≤≤【思路点拨】先根据整式不等式及分式不等式的解法求出集合A 与B,再求A B ⋂.【精讲精析】选B.由题意得A={}{}x 12x 13x 1x 1,-≤+≤=-≤≤{}x 2B {x 0}x 0x 2x-=≤=<≤{}{}{}A B x 1x 1x 0x 2x 0x 1.==⋂-≤≤⋂<≤<≤所以15.（2011·江西高考文科·Ｔ2）若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3}，N={1,4}，则集合{5,6}等于（）（A ）M N ∩ （B ）M N ∩（C ）()()U U 痧M N ∪ （D ）()()U U 痧M N ∩ 【思路点拨】先根据集合的运算求出M 与N 的并集，再求出M 与N 并集的补集，即得.【精讲精析】选D.{}{}{}{}{}()()U U U U =2,31,41,2,3,4()5,6,5,6()..=====ð痧?M N M N M N M N M N D 由，，得∪，即∪所以∪∩故选16.（2011·浙江高考理科·Ｔ10）设,,a b c 为实数，2()()(),f x x a x bx c =+++ 2()(1)(1)g x ax cx bx =+++.记集合{()0,},{()0,}S x f x x R T x g x x R ==∈==∈，若,S T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）（A ）1S = 且 0T = （B ）1S = 且 1T =（C ）2S = 且 2T = （D ）2S = 且 3T =【思路点拨】逐个选项检验讨论．【精讲精析】选D. 若1S =,则其根必为a -,故20x bx c ++=无解或其有两个相同的根亦为a -,当20x bx c ++=无解且0a =时, 0T =,故Ａ可能正确; 当20x bx c ++=有两个相同的根a -时, 33()(),()(1)f x x a g x ax =+=+,当0a ≠时, 1T =,故B 可能正确; 若2S =,则20x bx c ++=有两个相同的不等于a -的根,设为m ,则22()()(),()(1)(1)f x x a x m g x ax mx =++=++,当0m ≠时, 2T =故选项C 可能正确;当a -是20x bx c ++=的一个根时,可得20a ab c -+=,此时22211()()10c ab a c b a a a-+⋅-+-+==,即1a -一定是210cx bx ++=的根,故2()(1)(1)0g x ax cx bx =+++=不可能有3个根,故选D.17.（2011·浙江高考文科·Ｔ1）若{1},P x x =<{1}=>-Q x x ，则（）（A ）P Q ⊆ （B ）Q P ⊆ （C ）R P Q ⊆ð （D ）R Q P ⊆ð【思路点拨】可结合数轴来逐个检验分析.【精讲精析】选C.R P =ð{1},{1}≥=>-而x x Q x x ,故有R P Q ⊆ð.二、填空题18．（2011·天津高考文科·Ｔ9）已知集合{}A x R |x 12,Z =∈-<为整数集，则集合A Z ⋂中所有元素的和等于________.【思路点拨】求出集合A 的所有整数元素x.【精讲精析】|x -1|<2-1<x <3得，所以x=0,1,2，故0+1+2=3.【答案】3 关闭Word 文档返回原板块。

备战高考数学一轮复习(热点难点)专题01 如何破解集合间的关系类问题

专题01 如何破解集合间的关系类问题考纲要求:1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.基础知识回顾:集合与集合之间的关系1．集合间的基本关系中任意一个元素均为真子集并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A．应用举例:招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．【例1】【2017湖南省长沙市长郡中学高三入学考试】已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解析：∵B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，故该集合为{－1，4}．答案：{－1，4} 【例2】【2017广东省珠海市高三9月摸底考试】设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________．解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn 图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A )∩B ＝{7，9}．【例3】【宁夏石嘴山市第三中学2017届高三下学期第三次模拟考试】设全集U ＝R ，集合2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，，则图中阴影部分所表示的集合为( )A .{}|13x x x ≤-≥或B .{}|13x x x <≥或C .{|1}x x ≤D .{|1}x x ≤-【答案】D招数二、数轴图示法：若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【例4】【2017山西省怀仁县第一中学高三月考】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |a ＋1<x <2a －1}，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________．解析：（1）当B ＝∅时，有a ＋1≥2a －1，则a ≤2. (2)当B ≠∅时，若B A ⊆，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－22a －1≤7a ＋1<2a －1，解得2<a ≤4. 综上，a 的取值范围为a ≤4.【例5】【2017湖北省襄阳市第四中学高三周考】已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________. 解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.招数三、正难则反:对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难为易的作用，而是问题得以解决．【例6】已知集合}0{,},0624{2<=∈=++-=x x B R x m mx x x A ，},若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.方法、规律归纳:1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析． 4．子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为2n ，真子集个数为2n－1. 实战演练:1．【四川省成都市龙泉第二中学2017届高三5月高考模拟考试】已知集合A ＝{x |y ＝lg (2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A .B .(0,1]C .(－∞，0]D .以上都不对【答案】B2．【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】已知集合11{|<22},{|ln 0}22x A x B x x ⎛⎫=≤=-≤ ⎪⎝⎭，则()R A C B ⋂=( )A .∅B .11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .(]1,1-【答案】B【解析】由题意得，{|11}A x x =-<≤，13{|}22B x x =<≤，则()11,2R A C B ⎛⎤⋂=- ⎥⎝⎦，故选B .3．【2017届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考】若集合()(){|410}A x x x =++<，集合{|2}B x x =<-，则()R A C B ⋂等于( )A .()2,1--B .[)2,4-C .[)2,1--D .∅【答案】C【解析】由题意可得，()()[)4,1,2,1R A A C B =--∴⋂=--,故选C .4．【陕西省西安市长安区第一中学高三4月模拟考试】已知2{|8150}A x x x =-+=,{|10}B x ax =-=,若B A ⊆,则a =( )A .13B .15C .13或15D .13或15或0 【答案】D5．【辽宁省锦州市2017届高三质量检测】集合{|3,}nM x x n N ==∈，集合{|3,}N x x n n N ==∈，则集合M 与集合N 的关系( )A .M N ⊆B .N M ⊆C .M N ⋂=∅D .M ⊆N 且N ⊆M【答案】D【解析】因为1,1;6,6M N N M ∈∉∈∉,所以M ⊆N 且N ⊆M ,选D .6．若集合{}1,2A =-，{}0,1B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈的子集共有( )A .2个B .4个C .8个D .16个【答案】D【解析】集合：{}{}1,2,0,1A B =-=,∴集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈={}1,0,2,3-,则集合的子集有4216=个.点睛：对于有限集合我们有一下结论：若一个集合中有n 个元素，则它有2n个子集.有2n-1个真子集7、已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}解析：方法一：因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为 (∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，故选D . 方法二：如图8所示，得A ＝{3,9}，故选D .8、某校田径队共30人，主要专练100m ，200m 与400m ．其中练100m 的有12人，练200m 的有15人，只练400m 的有8人．则参加100m 的专练人数为________．解析：用Venn图表示A代表练100m的人员集合，B代表练200m的人员集合，C代表练400m 的人员集合，U代表田径队共30人的集合，设既练100m又练200m的人数为x，则专练100m 的人数为12－x.∴12－x＋15＋8＝30，解得x＝5.所以专练100m的人数为12－5＝7.答案：79、【2017江苏泰兴中学高三月考】已知集合A＝{x|1<2x≤16}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝__________.解析：由1<2x≤16，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}．而B＝{x|x<a}，由于A⊆B，如图所示，则a＞4，即c＝4.10、(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )A．A＝B B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．。

2015届高考数学专项精析精炼：2013年考点1 集合

考点1 集合一、选择题1.（2013·四川高考理科·Ｔ1）设集合{|20}=+=，集合A x x2（）=-=，则A B={|40}B x xA.{2}- D.∅- B.{2} C.{2,2}【解题指南】本题主要考查了方程的解法与集合的交集运算,解题时首先正确地求解出两个集合,然后根据集合的交集进行运算求解即可.【解析】选A.根据题意,集合A={-2},集合B={2,-2},所以A∩B={-2},故选A.2、（2013·四川高考文科·Ｔ1）设集合{1,2,3}B=-，则A=，集合{2,2}（）A B=A.∅B.{2}C.{2,2}-- D.{2,1,2,3}【解题指南】本题主要考查了集合的交集运算，解题时首先正确的求解出两个集合的公共元素，然后根据集合的交集进行运算即可.【解析】选B，根据题意集合{1,2,3}A B=，B=-，所以{2}A=，集合{2,2}故选B.3.(2013·天津高考文科·T1)已知集合A={x∈R ||x|≤2},B={x∈R |x≤1},则A∩B=()A.(-∞,2]B.[1,2]C.[-2,2]D.[-2,1]【解题指南】先将集合A化简,再利用数轴求出交集.【解析】选D.因为A={x∈R | |x|≤2}={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x ≤1}.4.(2013·天津高考理科·T1)已知集合A={x∈R| |x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=()A.(-∞,2]B.[1,2]C.[-2,2]D.[-2,1]【解题指南】先将集合A化简,再利用数轴求出交集.【解析】选D.因为A={x∈R| |x|≤2}={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x ≤1}.5.(2013·浙江高考理科·T2)设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(S)∪T=()A.(-2,1]B.(-∞,-4]C.(-∞,1]D.[1,+∞)【解题指南】先求集合T,再求集合S的补集,最后求它们的并集.【解析】选C.因为T={x|-4≤x≤1},S={x|x≤-2},所以(S)∪T={x|x≤1}.6.(2013·浙江高考文科·T1)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T= ()A.[-4,+∞)B.(-2,+∞)C.[-4,1]D.(-2,1]【解题指南】根据集合交集的定义进行计算.【解析】选D.S∩T={x|-2<x≤1}.7.（2013·重庆高考文科·Ｔ1）与（2013·重庆高考理科·Ｔ1）相同已知全集{}4,3,2,1( )=BA，则()=,2,1==U，集合{}{}3,2CA⋃BUA．{}4,3,1 B. {}4,3 C. {}3 D. {}4【解题指南】直接根据集合的并交补运算进行运算即可..【解析】选D. 因为{}3,2,1U,所以(){}4=⋃BA{}4,3,2,1=CA=⋃BU8.（2013·上海高考文科·T16）与（2013·上海高考理科·T15）相同设常数a∈R，集合A={}0xx，B={}1-≥axx.若A∪B=R，则a-x)a()1(≥-的取值范围为（）A.（－∞，2）B.（－∞，2]C.（2，+∞）D.[2，+∞）【解析】选B。

2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析：选修系列(第3部分：几何证明选讲)

张喜林制[选取日期]2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：选修系列（第3部分：几何证明选讲）一、相似三角形的判定及有关性质（一）平行线（等）分线段成比例定理的应用〖例〗如图，F 为ABCD 边上一点，连DF 交AC 于G ，延长DF 交CB 的延长线于E 。

求证：DG ·DE=DF ·EG思路解析：由于条件中有平行线，考虑平行线（等）分线段定理及推论，利用相等线段（平行四边形对边相等），经中间比代换，证明线段成比例，得出等积式。

解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，AD=BC ，∵AD ∥BC ，∴DG AD EG EC =，又∵AB ∥DC ，∴,DF BC AD DE EC EC ==∴DG DF EG DE=，即DG ·DE=DF ·EG 。

（二）相似三角形判定定理的应用〖例〗如图，BD 、CE 是⊿ABC 的高，求证：⊿ADE ∽⊿ABC 。

解答：0AEC 90,,AEC ,,,AEC .BD CE ABC ADB AD AE A A ADB AB ACA A ABC ∴∠=∠=∠=∠∴∴=∠=∠、是的高，又∽又∽ （三）相似三角形性质定理的应用〖例〗⊿ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=12cm ，高AD=8cm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，求这个正方形的边长。

思路解析：利用相似三角形的性质定理找到所求正方形边长与已知条件的关系即可解得。

解答：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P 、N 分别在AB 、AC 上，⊿ABC 的高AD 与边PN 相交于点E ，设正方形的边长为xcm ，∵PN ∥BC ，∴⊿APN ∽⊿ABC 。

∴.AE PN AD BC =∴8812x x -=。

解得x=4.8(cm). 答：加工成的正方形零件的边长为4.8cm 。

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第1章-第1节-集合

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【高手支招】 1．集合中的创新问题及信息迁移题往往都是以“新定义”“新运算”等问题为载体．这些新定义、新运算大多是在我们熟悉的知识上加工设计的． 2．解决这类问题的关键是结合元素与集合，集合与集合之间的关系，将新情境转化为老问题加以解决．
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[体验高考]
1．(2013·北京高考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x＜
1}，则A∩B＝( )
A．{0}
B．{－1，0}
C．{0，1}
D．{－1，0，1}
B [{－1，0，1}∩{x|－1≤x＜1}＝{－1，0}．]
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2．(2013·福建高考)若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则
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课时作业
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3，4}，
∴∁U(A∪B)＝{4}，故选D．]
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2．(理)(2013·浙江高考)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－
4≤0}，则(∁RS)∪T＝ A．(－2，1]
B．(－∞，－4]
()
C．(－∞，1]
D．[1，＋∞)
C [由题意得T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}．又S＝
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第一节
集合
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[主干知识梳理] 一、元素与集合 1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 2．集合中元素与集合的关系：
元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为 ∈和 ∉ ．
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3．常见集合的符号表示：
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

2015届高考人教版数学(理)大一轮复习(2009-2013高考题库)第1章第1节集合]

2009~2013年高考真题备选题库第1章集合与常用逻辑用语第1节集合考点一集合的含义与表示1．(2013江西，5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝A．4B．2C．0 D．0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．答案：A2．(2013山东，5分)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是A．1 B．3C．5 D．9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y ＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x －y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案：C3．(2012新课标全国，5分)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为A．3 B．6C．8 D．10解析：列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．(2012江西，5分)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为A．5 B．4C．3 D．2解析：当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z ＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共3个元素．答案：C5．(2009广东，5分)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．3个B．2个C．1个D．无穷多个解析：由M＝{x|－2≤x－1≤2}得－1≤x≤3，则M∩N＝{1,3}，有2个．答案：B考点二集合的基本关系1．(2013新课标全国Ⅰ，5分)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：本题考查一元二次不等式的解法和集合的运算，意在考查考生运用数轴进行集合运算的能力．解题时，先通过解一元二次不等式求出集合A，再借助数轴求解集合的运算．集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R，选择B.答案：B2．(2010浙江，5分)设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：集合Q＝{x|－2＜x＜2}，所以Q⊆P.答案：B3．(2010湖南，5分)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}解析：由已知得M∩N＝{2,3}，故选C.答案：C4．(2009江苏，5分)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝______.解析：可知A＝(0,4]，若A⊆B即(0,4]⊆(－∞，a)，则a>4，而a的取值范围为(c，＋∞)，∴c＝4.答案：4考点三集合的基本运算1．(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}解析：本题主要涉及简单不等式的解法以及集合的运算，属于基本题，考查考生的基本运算能力．不等式(x －1)2＜4等价于－2＜x －1＜2，得－1＜x ＜3，故集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，则M ∩N ＝{0,1,2}，故选A.答案：A2．(2013浙江，5分)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝ A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：本题考查无限元素集合间的交、并、补运算以及简单的一元二次不等式的解法．浙江省每年都会有一道涉及集合的客观题，主要考查对集合语言的理解以及简单的集合运算．T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C.答案：C3．(2013陕西，5分)设全集为R ，函数f (x )＝ 1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：本题考查集合的概念和运算，涉及函数的定义域与不等式的求解．本题抓住集合元素是函数自变量，构建不等式并解一元二次不等式得到集合，然后利用补集的意义求解，使集合与函数有机结合，体现了转化化归思想的具体应用．从函数定义域切入，∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D4．(2013湖北，5分)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎝⎛⎭⎫12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4}解析：本题主要考查集合的基本运算和不等式的求解，意在考查考生的运算求解能力．由题意可知，集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，此时A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}，故选C.答案：C5．(2013辽宁，5分)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝C ．(1,2)D ．(1,2]解析：本题考查集合的运算，同时考查对数不等式的解法．求解对数不等式时注意将常数转化为对应的对数，而后准确应用对数函数的单调性进行求解．0<log 4x <1，即log 41<log 4x <log 44，故1<x <4， ∴集合A ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案：D6．(2013四川，5分)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝ A ．{－2} B ．{2} C ．{－2,2}D ．∅解析：本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握．由x 2－4＝0，解得x ＝±2，所以B ＝{2，－2}，又A ＝{－2}，所以A ∩B ＝{－2}，故选A.答案：A7．(2012山东，5分)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}解析：因为∁U A ＝{0,4}，所以(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．答案：C8．(2012浙江，5分)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析：因为∁R B ＝{x |x ＞3或x ＜－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3＜x ＜4}．答案：B9．(2012北京，5分)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0}，则A ∩B ＝A ．(－∞，－1)B ．(－1，－23)C ．(－23，3)D ．(3，＋∞)解析：集合A ＝(－23，＋∞)，集合B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故A ∩B ＝(3，＋∞)．答案：D10．(2012陕西，5分)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝C ．(1,2]D ．[1,2]解析：由题意得M ＝(1，＋∞)，N ＝[－2,2]，故M ∩N ＝(1,2]．答案：C11．(2011辽宁，5分)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩∁I M ＝∅，则M ∪N ＝A ．MB ．NC ．ID ．∅解析：本小题利用韦恩图解决，根据题意，N 是M 的真子集，所以M ∪N ＝M ，选A. 答案：A12．(2011北京，5分)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．答案：C13．(2011陕西，5分)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝{x ||x －1i |＜2，i 为虚数单位，x ∈R }，则M ∩N 为A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]解析：对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式x 2＋1＜2，即x 2＜1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．正确选项为C.答案：C14．(2011江西，5分)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x ≤0}，则A ∩B ＝A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．答案：B15．(2010新课标全国，5分)已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝A ．(0,2)B ．[0,2]解析：∵A ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R }，B ＝{x |0≤x ≤16，x ∈Z }， ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2，x ∈Z }＝{0,1,2}．答案：D16．(2010安徽，5分)若集合A ＝{x |log 12x ≥12}，则∁R A ＝A ．(－∞，0]∪(22，＋∞) B ．(22，＋∞) C ．(－∞，0]∪[22，＋∞)D ．[22，＋∞) 解析：不等式log 12x ≥12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 12x ≥log 12(12)12 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0x ≤22⇒0<x ≤22，所以∁R A ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)．答案：A17．(2010辽宁，5分)已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}解析：根据题意，画出韦恩图，得A ＝{3,9}．答案：D18．(2010陕西，5分)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝ A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：A ∩(∁R B )＝[－1,2]∩[1，＋∞)＝[1,2]．答案：D19．(2009山东，5分)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，则A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的取值为A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4,16}，故只能是a ＝4. 20．(2012江苏，5分)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}．答案：{1,2,4,6}21．(2011江苏，5分)设集合A ＝{(x ，y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|2m ≤x＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．解析：①若m ＜0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋22，与m ＜0矛盾；②若m ＝0，代入验证，可知不符合题意；③若m ＞0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，集合B 表示一个带形区域，从而当直线x ＋y ＝2m ＋1与x ＋y ＝2m 中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋2，由于12＞2－22，所以12≤m ≤2＋ 2.综上所述，m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2.答案：[12，2＋2]考点四抽象集合与新定义集合1．(2013广东，5分)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }．令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉SB ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈SC ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈SD ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S解析：本题考查集合、推理与证明，考查考生接受、理解、运用和迁移新知识的能力，推理论证能力与创新意识．题目中x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立说明x ，y ，z 是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x ＝1，y ＝2，z ＝3，w ＝4满足题意，且(2,3,4)∈S ，(1,2,4)∈S ，从而(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S 成立．答案：B2．(2013重庆，12分)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，P n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I n ，k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”，求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．解：本题主要考查集合运算，意在考查考生对新概念的理解能力．(1)对于集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I 7，当k ＝1时与当k ＝4时该集合中都含有元素1,2,3，因此集合P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n ，不妨设1∈A ，则因1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B .同理6∈A,10∈B ，又由假设可得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求．当k ＝1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.当k ＝4时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可分解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132.当k ＝9时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53，…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133，B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143.最后，集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数．因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14.综上，所求n 的最大值为14. 注：对P 14的分拆方法不是唯一的．3．(2011广东，12分)设S 是整数集Z 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有ab ∈S ，则称S 关于数的乘法是封闭的．若T ，V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z ，且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ；∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是A ．T ，V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．T ，V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．T ，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．T ，V 中每一个关于乘法都是封闭的解析：取T ＝{x |x ∈(－∞，0)，且x ∈Z }，V ＝{x |x ∈(0，＋∞)，且x ∈Z }∪{0}，可得T 关于乘法不封闭，V 关于乘法封闭，又取T ＝{奇数}，V ＝{偶数}，可得T ，V 关于乘法均封闭，故排除B 、C 、D ，选A.答案：A。

2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案7.doc

课堂过关第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)1. (必修1P 10第5题改编)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m}，若3∈A ，则m ＝________．答案：－32解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3满足题意．所以m ＝－32.2. (必修1P 7第4题改编)已知集合{a|0≤a<4，a ∈N }，用列举法可以表示为________．0，1，2，3答案：{}解析：因为a∈N，且0≤a<4，由此可知实数a的取值为0，1，2，3.3. (必修1P17第6题改编)已知集合A＝[1，4)，B＝(－∞，a)，AÍB，则a∈________．答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A、B集合，根据图象可知．4. (原创)设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b ＋2，b∈R}，则A、B的关系是________．答案：A＝B解析：化简得A＝{x|x≥1}，B＝{y|y≥1}，所以A＝B.5. (必修1P17第8题改编)满足条件{1}ÍMÍ{1，2，3}的集合M 的个数是________．答案：4个解析：满足条件{1}ÍMÍ{1，2，3}的集合M有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．1. 集合的含义及其表示(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N 或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2) 集合与集合之间的关系①包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AÍB或BÊ A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．②真包含关系：如果AÍB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n －1个，非空真子集有2n －2个.题型1 正确理解和运用集合概念例1 已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }．(1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来；(3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞98.(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝98时这个元素是43；当a ＝0时，这个元素是23.(3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a ≥98或a ＝0.备选变式（教师专享）已知a ≤1时，集合[a ，2－a]中有且只有3个整数，则a 的取值范围是________．答案：－1<a ≤0解析：因为a ≤1，所以2－a ≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a ＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a<0适合题意．综上，a 的取值范围是－1<a ≤0.变式训练设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{x|x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则M________N.答案：真包含于题型2 集合元素的互异性例2 已知a 、b ∈R ，集合A ＝{a ，a ＋b ，1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ，b a ，0，且A ÍB ，B ÍA ，求a －b 的值．解：∵ A ÍB ，B ÍA ，∴ A ＝B.∵ a ≠0，∴ a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴ b a ＝－1，∴ b ＝1，a ＝－1，∴ a －b ＝－2.备选变式（教师专享）已知集合A ＝{a ，a ＋b, a ＋2b}，B ＝{a ，ac, ac 2}．若A ＝B ，则c ＝________．答案：－12解析：分两种情况进行讨论．① 若a ＋b ＝ac 且a ＋2b ＝ac 2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0.当a ＝0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a ≠0.∴ c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1.但c ＝1时，B 中的三元素又相同，此时无解．② 若a ＋b ＝ac 2且a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0.∵ a ≠0，∴ 2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又c ≠1，故c ＝－12.变式训练集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 013＋b 2 014的值．解：由于a ≠0，由b a ＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a ≠1，则a ＝－1.所以a 2 013＋b 2 014＝－1.题型3 根据集合的含义求参数范围例3 集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，集合B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}．(1) 若B ÍA ，求实数m 的取值范围；(2) 当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝Æ满足B ÍA ；当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使B ÍA 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.综上所述，当m ≤3时有B Í A.(2) 因为x ∈R ，且A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，则① 若B ＝Æ，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；② 若B ≠Æ，则要满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，解得m ＞4. 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2，无解．综上所述，实数m 的取值范围为m ＜2或m ＞4.备选变式（教师专享）已知集合A ＝{y|y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．若A ÍB ，求实数a 的取值范围．解：由题意有A ＝[－8，－4]，B ＝{x|(x －a)(x ＋a ＋3)>0}．① 当a ＝－32时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠－32，所以A ÍB 恒成立； ② 当a<－32时，B ＝{x|x<a 或x>－a －3}．因为A ÍB ，所以a>－4或－a －3<－8，解得a>－4或a>5(舍去)，所以－4<a<－32；③ 当a>－32时，B ＝{x|x<－a －3或x>a}．因为A B ，所以－a －3>－4或a<－8(舍去)，解得－32<a<1.综上，当A ÍB 时，实数a 的取值范围是(－4，1)．1. 设集合A ＝{x|x ＜2}，B ＝{x|x ＜a}，且满足A 真包含于B ，则实数a 的取值范围是____________．答案：(2，＋∞)解析：利用数轴可得实数a 的取值范围是(2，＋∞)．2. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中元素的个数为________．答案：10解析：B 中所含元素有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)．3. 若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2. 4. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|－2≤x －1≤2}和N ＝{x|x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．答案：2解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合M 和N 的交集，所以由M ＝{x|－1≤x ≤3}，得M ∩N ＝{1，3}，有2个．5. 设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b|a ∈P ，b ∈Q}，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数为________．答案：8解析：(1) ∵ P ＋Q ＝{a ＋b|a ∈P ，b ∈Q}，P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，∴ 当a ＝0时，a ＋b 的值为1，2，6；当a ＝2时，a ＋b 的值为3，4，8；当a ＝5时，a ＋b 的值为6，7，11，∴ P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}，∴ P ＋Q 中有8个元素．1. 已知A ＝{x|x 2－2x －3≤0}，若实数a ∈A ，则a 的取值范围是________．答案：[－1，3]解析：由条件，a 2－2a －3≤0，从而a ∈[－1，3]．2. 现有含三个元素的集合，既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________．答案：－1解析：由已知得b a ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.3. 已知集合A ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －a x －（a 2＋1）＜0. (1) 当a ＝2时，求A ∩B ；(2) 求使B 真包含于A 的实数a 的取值范围．解：(1) A ∩B ＝{x|2＜x ＜5}．(2) B ＝{x|a ＜x ＜a 2＋1}．①若a ＝13时，A ＝Æ，不存在a 使B ÍA ；②若a ＞13时，2≤a ≤3；③若a ＜13时，－1≤a ≤－12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12∪[2，3]． 4. 已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}且1∈A ，求实数a 的值．解：由题意知：a ＋2＝1或(a ＋1)2＝1或a 2＋3a ＋3＝1，∴ a ＝－1或－2或0，根据元素的互异性排除－1，－2，∴ a ＝0即为所求．1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A B ，则需考虑A ＝和A ≠ 两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮：2013高考试题分类考点1集合]

考点1 集合一、选择题1.（2013·四川高考理科·Ｔ1）设集合，集合，则（）A.B.C.D.【解题指南】本题主要考查了方程的解法与集合的交集运算,解题时首先正确地求解出两个集合,然后根据集合的交集进行运算求解即可.【解析】选A.根据题意,集合A={-2},集合B={2,-2},所以A∩B={-2},故选A.2、（2013·四川高考文科·Ｔ1）设集合，集合，则（）A.B.C.D.【解题指南】本题主要考查了集合的交集运算，解题时首先正确的求解出两个集合的公共元素，然后根据集合的交集进行运算即可.【解析】选B，根据题意集合，集合，所以，故选B.3.(2013·天津高考文科·T1)已知集合A={x∈R ||x|≤2},B={x∈R |x≤1},则A∩B=( )A.(-∞,2]B.[1,2]C.[-2,2]D.[-2,1]【解题指南】先将集合A化简,再利用数轴求出交集.【解析】选D.因为A={x∈R | |x|≤2}={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x≤1}.4.(2013·天津高考理科·T1)已知集合A={x∈R| |x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=( )A.(-∞,2]B.[1,2]C.[-2,2]D.[-2,1]【解题指南】先将集合A化简,再利用数轴求出交集.【解析】选D.因为A={x∈R| |x|≤2}={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x≤1}.5.(2013·浙江高考理科·T2)设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则( S)∪T=( )A.(-2,1]B.(-∞,-4]C.(-∞,1]D.[1,+∞)【解题指南】先求集合T,再求集合S的补集,最后求它们的并集.【解析】选C.因为T={x|-4≤x≤1},S={x|x≤-2},所以(S)∪T={x|x≤1}.6.(2013·浙江高考文科·T1)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T= ( )A.[-4,+∞)B.(-2,+∞)C.[-4,1]D.(-2,1]【解题指南】根据集合交集的定义进行计算.【解析】选D.S∩T={x|-2<x≤1}.7.（2013·重庆高考文科·Ｔ1）与（2013·重庆高考理科·Ｔ1）相同已知全集，集合，则( )A．B.C.D.【解题指南】直接根据集合的并交补运算进行运算即可.【解析】选D. 因为,所以.8.（2013·上海高考文科·T16）与（2013·上海高考理科·T15）相同设常数a∈R，集合A=，B=.若A∪B=R，则a的取值范围为（）A.（－∞，2）B.（－∞，2]C.（2，+∞）D.[2，+∞）【解析】选B。

专题1.1 集合-2015版3-2-1备战2016高考精品系列之数学(理)(解析版)

1 三年高考两年模拟第一节：集合【三年高考】

1.【2015高考四川，理1】设集合{|(1)(2)0}Axxx，集合{|13}Bxx，则AB=（） (){|13}Axx (){|11}Bxx (){|12}Cxx (){|23}Dxx 【答案】A 【解析】 {|12},{|13},{|13}AxxBxxABxx，选A.

2.【2015高考陕西，理1】设集合2{|}Mxxx，{|lg0}Nxx，则MN（） A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．(,1] 【答案】A 【解析】20,1xxx，lg001xxxx，所以0,1，故选A． 3.【2015高考重庆，理1】已知集合A=1,2,3,B=2,3，则（） A、A=B B、AB= C、AØB D、BØA 【答案】D 【解析】由于2,2,3,3,1,1ABABAB，故A、B、C均错，D是正确的，选D. 4.【2015高考福建，理1】若集合234,,,Aiiii （i 是虚数单位），1,1B ，则AB 等于 ( ) A．1 B．1 C．1,1 D． 【答案】C 5.【2015高考江苏，1】已知集合3,2,1A，5,4,2B，则集合BA中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】{123}{245}{12345}AB，，，，，，，，，,，则集合BA中元素的个数为5个. 6.【2014全国2高考理第1题】设集合20,1,2,|320MNxxx,则MN=( ) A.1 B.2 C.0,1 D.1,2 【答案】D 2

【解析】解二次不等式可得N=|12xx,所以根据集合交集的概念可得MN1,2,故选D. 7.【2014山东高考理第2题】设集合]2,0[,2|,2|1||xyyBxxAx,则BA( ) A. ]2,0[ B. )3,1( C. )3,1[ D. )4,1( 【答案】C 【解析】由已知{|13},{|14},AxxByy所以,[1,3),AB选C.

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张喜林制 [选取日期]

1 / 6 2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：1.1集合一、集合的基本概念 1、相关链接（1）由元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性。（2）在解决集合的概念的问题时，要注意养成自学使用符号的意识和能力，运用集合的观点分析、处理实际问题。（3）集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn图，在解题时要根据题目选择合适的方法。注：①要特别注意集合中的元素所代表的特征。如：A={y|y=x2+2},B={(x,y)|y=x2+2}.其中A表示数集，B表示二次函数y=x2+2的图象上所有点组成的集合，二者不能混淆。 ②注意集合中元素的互异性对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. ③常见集合的意义

集合 {x|f(x)=0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} {(x,y)|y=f(x)}

集合的意义方程f(x)=0的解集不等式f(x)>0的解集函数y=f(x)的定义域函数y=f(x)的值域

函数y=f(x)

的图象上的点集

2、例题解析例1． (1)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是( ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6

(2)已知-3∈A={a-2，2a2+5a，12}，则a=______. 【解题指导】(1)从P+Q的定义入手，可列表求出a+b的值. (2)-3是A中的元素，说明A中的三个元素有一个等于-3，可分类讨论. 解析：(1)选B.根据新定义将a+b的值列表如下：张喜林制 [选取日期]

2 / 6 由集合中元素的互异性知P+Q中有8个元素，故选B. (2)∵-3∈A,∴a-2=-3或2a2+5a=-3，

∴a=-1或.3a2 当a=-1时，a-2=2a2+5a=-3,不合题意; 当.3a2时，A={72，-3，12},符合题意,

故.3a2 答案：.3a2 例2．集合0,2,Aa,21,Ba,若0,1,2,4,16AB,则a的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D

解析 ∵0,2,Aa,21,Ba,0,1,2,4,16AB∴2164aa∴4a,故选D. 例3．下列集合中表示同一集合的是（ C ） A．M = {(3，2)}，N = {(2，3)} B．M = {(x，y)|x + y = 1}，N = {y|x +y = 1} C．M = {4，5}，N = {5，4} D．M = {1， 2}，N = {(1，2)} 答案：C 解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。二、集合间的基本关系和运算 1、相关链接（1）子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，刚其子集个数为2n，真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2. （2）全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合. 张喜林制 [选取日期]

3 / 6 （3）集合A与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集. （4）集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意Venn图及补集思想的应用。（5）集合的简单性质： ①;,,ABBAAAAA ②;,ABBAAA，AA，AAB，BAB ③);()(BABA ④BBABAABABA;； ⑤SC（A∩B）=（SCA）∪（SCB），SC（A∪B）=（SCA）∩（SCB）。 ⑥,,ABBC若则AC；若AB，BC，则AC （6）方法指导： ①解决集合相等问题的一般思路若两个集合相等,首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况等,然后列方程组求解,要注意挖掘题目中的隐含条件. ②判断两集合关系的常用方法： <1>化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系； <2>用列举法表示各集合，从元素中寻找关系. ③集合运算的常用方法 <1>集合元素离散时借助Venn图运算； <2>集合元素连续时借助数轴运算，借助数轴运算时应注意端点值的取舍.

2、例题解析例1：(1)设集合M={x|x2+x-6<0}, N={x|1≤x≤3},则M∩N=( ) (A)［1，2) (B)［1，2］ (C)(2，3］ (D)［2，3］

(2)设全集U=M∪N={1，2，3，4，5}，M∩UNð={2，4}，则N=( ) (A){1，2，3} (B){1，3，5} (C){1，4，5} (D){2，3，4} (3)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩IMð=Ø，则M∪N=( ) (A)M (B)N (C)I (D)Ø 张喜林制 [选取日期]

4 / 6 【解题指导】(1)化简集合M，借助数轴求解. (2)借助于Venn图知UNM，ð从而 .UUMNN痧 (3)借助于Venn图寻找集合M，N的关系. 解析:(1)选A.∵M={x|-3

(2)选B.∵U=M∪N, ,,,UUUNMMNN24痧又 .UNNUN135，，，ð (3)选A.如图，∵N∩IMð=Ø,∴N⊆M，∴M∪N=M.

例2：已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（）．分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y

由4122aa，得332aaa或

∴3a或23a. 即A∩B＝φ时a的范围为3a或23a.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为332|aaa或.

注：（1）一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．（2）解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论思想的应用。空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解。

a2+1

a 张喜林制 [选取日期]

5 / 6 三、集合与其他知识的综合应用例1： (本小题满分13分) 已知集合},,,,{321naaaaA，其中)2,1(nniRai，)(Al表示和)1(njiaaji中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合}8,6,4,2{P，}16,8,4,2{Q，分别求)(Pl和)(Ql；

（Ⅱ）若集合}2,,8,4,2{nA，求证：2)1()(nnAl；（Ⅲ）)(Al是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？解：（Ⅰ）由,1486,1284,1064,1082,862,642 得5)(Pl. 由,24168,20164,1284,18162,1082,642 得6)(Ql.--------------------5分（Ⅱ）证明：因为)1(njiaaji最多有2)1(2nnCn个值，所以.2)1()(nnAl 又集合}2,,8,4,2{nA，任取),1,1(,nlknjiaaaalkji 当lj时,不妨设lj，则lkljjjiaaaaaa122，即lkjiaaaa. 当kilj,时，lkjiaaaa. 因此，当且仅当ljki,时， lkjiaaaa. 即所有)1(njiaaji的值两两不同，所以.2)1()(nnAl ---------------9分（Ⅲ） )(Al存在最小值，且最小值为32n．不妨设,321naaaa可得 ,1213121nnnnaaaaaaaaaa 张喜林制 [选取日期]

6 / 6 所以)1(njiaaji中至少有32n个不同的数，即.32)(nAl 事实上，设naaaa,,,,321

成等差数列，

考虑)1(njiaaji，根据等差数列的性质，当nji时，11jijiaaaa；当nji时，nnjijiaaaa；因此每个和)1(njiaaji等于)2(1nkaak中的一个，或者等于)12(nlaanl中的一个. 所以对这样的32)(,nAlA,所以)(Al的最小值为32n. ---------------13分

例2：（本小题满分12分）已知集合2120Axxx，集合0822xxxB，集合22430,0Cxxaxaa，

（Ⅰ）求()RACB；（Ⅱ）若)(BAC，试确定实数a的取值范围. 解答：（Ⅰ）依题意得：34,4AxxBxx或2x，()(3,2]RACB „„„4分（Ⅱ）∴24ABxx①若0a，则20Cxx不满足()CAB ∴0a „6分 ②若0a，则3Cxaxa，由()CAB得242343aaa „„„„„„„„8分 ③若0a，则3Cxaxa，由()CAB得324aaa „„„„„„„10分综上，实数a的取值范围为423a „„„„„„12分