高二物理单摆2
2021-2022学年高二物理教科版选修3-4课件：第一章 第2讲 单摆
图1
2.在偏角很小的情况下，单摆摆球所受的回复力与偏离 平衡位置的位移成 正比 ，因而单摆在 偏角很小 时 的 振 动是简谐运动.
想一想 单摆的回复力是否就是单摆所受的合外力？ 答案 不是.单摆的运动可看作是变速圆周运动，其合力 可分解为指向圆心的法向力和沿圆周切线的切向力，在沿 圆周切线的切向力作用下，单摆做的是简谐运动，因而单 摆的回复力只是其所受合力的一个分力.
(3)根据记录的数据，在坐标纸上以T为纵轴，l为横轴，作出
T-l图像，发现图线是曲线；然后尝试以T2为纵轴，l为横轴，
作出T2-l图像，发现图线是一条过原点的倾斜直线，由此得
出单摆做简谐运动的周期和摆长的关系是(
A.T∝
1 l
2∝
1 l
C.T∝l
) D.T2∝l
解析 根据题述“T2-l图线是一条过原点的倾斜直线”可 知，T2∝l，选项D正确. 答案 D
图4
C.π
gl ＋
l′
g
D.2π
l＋l′ 2g
1234
解析 碰钉子前摆长为 l，故周期 T1＝2π gl ，碰钉子后
摆长变为 l′，则周期 T2＝2π
l′，所以该组合摆的周期 g
T＝T21＋T22＝π gl ＋
l′g .
答案 C
(2)以摆球通过平衡位置时开始计时，用停表记下摆球通过 2t
平衡位置n次所用的时间t，则单摆周期T＝_n_；用米尺量出
悬__l0线_＋_的_d2_长__度. l0，用游标卡尺量出摆球的直径d，则摆长l＝
解析 以摆球通过平衡位置时开始计时，记为0，用停表记 下摆球通过平衡位置n次所用的时间t，则单摆周期T＝2t； 摆长指的是从悬点到摆球球心的距离，本题中摆长l＝ln0＋d2 .
单摆 讲义-高二上学期物理人教版(2019)选择性必修第一册
单摆一、知识点梳理1.单摆(1)模型：单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置.单摆是实际摆的理想化的物理模型.(2)实际摆看做单摆的条件：①摆线的形变量与摆线长度相比小得多，悬线的质量与摆球质量相比小得多，这时可把摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线.②摆球的大小与摆线长度相比小得多，这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质点.例1.（多选）单摆是为了研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是（ ） A.摆线质量不计 B.摆线长度不伸缩C.摆球的直径比摆线长度短得多D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动2.单摆的回复力(1)单摆的平衡位置当摆球静止时，摆球受到重力和悬线的拉力作用，这两个力是平衡的.摆球静止的位置就是单摆的平衡位置. (2)单摆的回复力摆球受到的重力G 和悬线拉力'F ,在单摆摆动时，一方面要使单摆摆动，另一方面还要提供摆球沿圆弧运动的向心力.在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示. 因为'F 垂直于v ,所以，我们可将重力G 分解为沿速度v 方向的1G ,及垂直于v 方向的2G ·且θsin 1mg G =,θcos 2mg G =.重力G 沿圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力，也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力.【注意说明】摆球所受的回复力是沿圆弧切线方向上的合力，而不是摆球所受到的合力.当摆球在摆动过程中经过平衡位置时，由于摆球还做圆周运动，摆线拉力与摆球重力不相等，其合力提供向心力.实际上摆球在运动过程中沿绳方向上的合力一直是提供摆球做圆周运动的向心力. (3)单摆做简谐运动的条件如图所示，单摆摆长为l ，选平衡位置为坐标原点，水平线为x 轴.当摆角很小时，弧线与x 轴近似重合，设摆球离原点的距离为x ,则l x ≈θsin ，x l mgG G ==θsin 1，1G 方向与摆球位移方向相反，所以有回复力x l mg G F -==1回, 令lmgk =，则kx F -=回，因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动.【易错点津】①单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力.②单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度（摆角小于o 5）摆动时才认为是简谐运动.(4)对单摆的运动特点的理解：①摆球以悬挂点为圆心在竖直平面内沿圆弧做变速圆周运动.做圆周运动需要向心力，向心力由绳子的拉力与重力的径向分力的合力提供.②摆球同时以最低点为平衡位置做振动，做振动需要回复力，由摆球重力的切向分力提供（或摆球所受合外力沿圆弧切向分力提供).例2.下列关于单摆的说法，正确的是（ ） A.单摆运动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零3.单摆的周期公式荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即glT π2=，式中l 为悬点到摆球球心间的距离，g 为当地的重力加速度.(1)单摆的等时性：在振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性.(2)单摆的周期公式可以由简谐运动的周期公式k m T π2=导出，对单摆lmg k =，所以g l T π2=. 周期为2s 的单摆，叫做秒摆，由周期公式glT π2=得秒摆的摆长m 1≈l .4.单摆的应用(1)计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等.由单摆周期公式知道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢.(2)测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得224Tlg π=,由此可知，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度g .例3.（多选）甲、乙两个单摆，做简谐振动图象如图所示，则可知（ ）A ．两个单摆完全相同B ．两个单摆所受回复力最大值之比1:2:=乙甲F FC ．单摆甲速度为零时，单摆乙速度最大D ．两个单摆的振动频率之比2:1:=乙甲f f二、技巧总结1.如何理解单摆的周期公式(1)等效摆长①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即2dl L +=，l 为摆线长，d 为摆球直径②等效摆长：如左图甲、乙所示.图中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为αsin l ,这就是等效摆长，所以其周期为gl T απsin 2=.右图中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效.(2)重力加速度g①若系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即2RGM g =，式中R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所在地表的位置和高度的变化而变化.另外，在不同星球上M 和R 一般不同，g 也不同， g 取2m/s .89只是在地球表面附近时的取值.②若单摆系统处在非平衡状态（如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值. 若单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a ，则摆球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力 加速度的等效值)('a g g +=，若升降机加速下降，则重力加速度的等效值)('a g g -=，若单摆在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值0'=g ，摆球不摆了，周期无穷大，则摆球将以那时的速率相对悬点做匀速圆周运动.③若单摆在复合场中，如左图所示，qE mg F +=，等效重力加速度m qE g m F g +=='，mqE g lT +=π2. ④摆球除受到重力和拉力外还受到其他力，但其他力只沿半径方向，而沿振动方向无分力，这种情况下，单摆的周期不变如右两图所示，图甲中带电小球受到的库仑力始终沿半径方向，图乙中带电小球受到的洛伦兹力始终沿半径方向，则周期glT π2=不变. 例4.如图所示，在竖直平面内有一段光滑圆弧轨道MN,它对应的圆心角小于5°，P 是MN 的中点，也是圆弧的最低点.在NP 间的一点Q 和P 之间搭一光滑斜面并将其固定.将两个小滑块（可视为质点）同时分别从Q 点和M 点由静止开始释放，则两个小滑块第一次相遇时的位置（ ）A.一定在斜面PQ 上的一点B.一定在PM 上C.一定在P 点D.不知道斜面PQ 的长短，无法判断2.圆锥摆如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，是匀速圆周运动，设运动过程中细线与竖直方向夹角为θ，线长为l ，则小球做圆周运动的半径θsin l r =,向心力θtan mg F =.由r Tm mg F ⋅⋅==224tan πθ，得圆锥摆的周期g l T θπcos 2=，显然该周期小于单摆周期，所以在用单摆测重力加速度的实验中，强调摆球必须在竖直面内摆动.3. 摆钟问题中的“万能公式”(1)摆钟计时原理①摆钟实际上是利用钟摆的周期性摆动，通过一系列的机械传动，从而带动钟面上的指针转动. 钟摆每摆动一次，指针就转运一个角度0θ，并且这个角度是固定的，其大小就表示钟面走过的时间.②对走时准确的摆钟而言，钟摆摆一次，实际耗时0T (即摆的振动周期)，指针转过的角度0θ就表示钟面的走时为0T .③对走时不准的摆钟而言，钟摆摆一次，虽然实际耗时T (即不准摆的振动周期)，但由于摆钟机械设计的关系，钟摆带动指针转动的角度依旧是0θ，所以钟面上所显示的时间（并非真实时间）依旧是0T ,正是由于T T ≠0,从而引起摆钟走时不准.(2)引起摆钟的误差原因①因为气候的变化，引起金属的热胀冷缩，从而摆长变化导致摆钟的周期改变. ②由于地理位置的变化，引起重力加速度g 的变化，从而导致摆钟的周期改变. (3)一个重要的计算公式设有一段时间0t (比如一天)，某周期为T 的不准摆钟的钟摆摆动的次数为Tt 0，由于每摆一次，钟面上所显示的时间依旧为0T ，所以在这段时间内，不准摆钟钟面所显示的时间为00T Tt ⋅，因而该钟比标准钟快（或慢）000t T T t t -⋅=∆，称为钟摆问题中的“万能公式”.例5.将在地球上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球记录的时间是1h,那么实际上的时间应是________h(月球表面的重力加速度是地球表面的61). 若要把此摆钟调准，应使摆长0l 调节为________.三、针对练习1.下列有关单摆运动过程中受力的说法中，正确的是（ ）A ．回复力是重力和摆线拉力的合力B ．回复力是重力沿圆弧方向的一个分力C ．单摆过平衡位置时合力为零D ．回复力是摆线拉力的一个分力2.如图所示，光滑圆槽的半径R 远大于小球运动的弧长，今有两个 小球（可视为质点）同时由静止释放，其中A 球开始时离圆槽最 低点O 较远些，则它们第一次相碰的地点在（ ）A ．O 点B ．O 点偏左C ．O 点偏右D ．无法判断，因为两小球质量关系未定3.如图所示，置于地面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为0T ，下列说法 中正确的是（ ）A ．单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力B ．单摆摆动的过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力C ．将该单摆置于高空中相对于地球静止的气球中，其摆动周期为0T T >D ．小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力4.将秒摆（周期为2 s ）的周期变为1 s ，下列措施可行的是（ ）A ．将摆球的质量减半B ．振幅减半C ．摆长减半D ．摆长减为原来的145.一只单摆在第一行星表面上的周期为1T ，在第二行星表面上的周期为2T ，若这两个行 星的质量之比1:4:21=M M ，半径之比1:2:21=R R ，则 （ ）A ．1:1:21=T TB ．1:4:21=T TC ．1:2:21=T TD ．1:22:21=T T6.(多选)图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图象如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法正确的是( )A ．t ＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T<4 sB ．t ＝1 s 时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T ＝4 sC ．t ＝1 s 时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期T ＞4 sD ．t ＝0时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅A ＝10 cmE ．t ＝1 s 时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅A ＝10 cm7.（多选）如图所示，一向右运动的车厢顶上悬挂着两个单摆M 、N ，它们只能在图示平面内摆动. 某一时刻出现图示情景。
高中物理 1.2单摆同步练习教科教科高二物理试题
实蹲市安分阳光实验学校第2节单摆1．细线上端固，下端系一个小球，如果忽略细线的伸缩和________，且线长比小球的________大得多，这样的装置叫做单摆．2．单摆的回复力是摆球的重力沿圆弧________方向的分力，在偏角很小的情况下，单摆摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总是指向________________，即F＝________.3．单摆在偏角很小时做________运动，单摆的周期与摆球质量________，在振幅较小时与振幅________，与摆长l的二次方根成________，与重力加速度g的二次方根成________，即T＝________.4．关于单摆，下列说法中正确的是( )A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B．摆球受到的回复力是它的合力C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零D．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比5．当单摆的小球由最低点向最高点运动时( )A．位移增大B．振幅增大C．势能增大D．动能增大图16．如图1所示，是一个单摆(θ<10°)，其周期为T，则下列说法正确的是( )A．把摆球的质量增加一倍，其周期变小B．摆角θ变小时，周期也变小C．此摆由O→B 运动的时间为T4D．摆球在由B→O运动时，势能向动能转化概念规律练知识点一单摆的回复力1．对于单摆的振动，以下说法中正确的是( )A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零2．关于单摆，下列说法中正确的是( )A．摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力B．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度相C．摆球在运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置D．摆球经过平衡位置时，加速度为零知识点二 单摆的周期公式3．有一单摆，其摆长l ＝1.02 m ，摆球的质量m ＝0.10 kg ，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t ＝60.8 s ，试求：(1)当地的重力加速度；(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2 s)，摆长怎样改变，改变多少． 4．已知在单摆a 完成10次全振动的时间内，单摆b 完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m ，则两单摆长l a 与l b 分别为( )A ．l a ＝2.5 m ，l b ＝0.9 mB ．l a ＝0.9 m ，l b ＝2.5 mC ．l a ＝2.4 m ，l b ＝4.0 mD ．l a ＝4.0 m ，l b ＝2.4 m 方法技巧练一、单摆周期的求解方法5．如图2所示，倾角为θ的光滑斜面上，将单摆上端固在O 点，平衡位置在O ′点做简谐运动时，周期为________．图26．细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬点正下方l 2摆长处有一个能挡住摆线的钉子P ，如图3所示，现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是( )图3A ．摆球往返运动一次的周期比无钉子时单摆的周期小B ．摆球在左右两侧上升的最大高度一样C ．摆球在平衡的位置左右两侧走过的最大弧长相D ．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍 二、摆钟快慢的调整方法7．将在地球上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球记录的时间是1 h ，那么实际上的时间是______h ．已知月球表面的重力加速度是地球表面的1/6.若要把此摆钟调准，使摆长l 0调节为________．8．某一准确的摆钟，从移到，它是走快了还是慢了？如何调整？1．单摆是为了研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( ) A ．摆线质量不计 B ．摆线长度不伸缩C ．摆球的直径比摆线长度短得多D ．只要是单摆的运动就是一种简谐运动2．下列有关单摆运动过程的受力说法，正确的是( ) A ．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力B ．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力C ．单摆经过平衡位置时所受的合力为零D ．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力3．影响单摆周期的因素有( )A．振幅B．摆长C．重力加速度D．摆球质量4．如图4所示，在两根长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆，若摆线长为l，两线与天花板的左右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为( )图4A．2π lgB．2π2lgC．2π 2l cos αgD．2πl sin αg5．将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s，下列措施可行的是( ) A．将摆球的质量减半B．振幅减半C．摆长减半D．摆长减为原来的146．如图5所示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l，沙筒的质量为m，沙子的质量为M，M≫m，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期为( )图5A．周期不变B．先变大后变小C．先变小后变大D．逐渐变大7．如图6所示，用绝缘细丝线悬吊着带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则( )图6A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同B．当小球每次通过平衡位置时，速度大小相同C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力相同D．撤去磁场后，小球摆动周期变大8．一个单摆的摆球偏离到最大位置时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在摆球的表面，下列说法正确的是( )A．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大B．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小C．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大D．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大9．一个单摆，在第一个行星上的周期为T1，在第二个行星上的周期为T2，若这两个行星的质量之比为M1∶M2＝4∶1，半径之比为R1∶R2＝2∶1，则( ) A．T1∶T2＝1∶1 B．T1∶T2＝4∶1C．T1∶T2＝2∶1 D．T1∶T2＝1∶210．如图7所示，光滑槽的半径R远大于小球运动的弧长．今有两个小球(视为质点)同时由静止释放，其中甲球开始时离槽最低点O远些，则它们第一次相遇的地点在( )图7A．O点B．O点偏左C．O点偏右D．无法确，因为两小球质量关系未11.一根摆长为2 m的单摆，在地球上某地摆动时，测得完成100次全振动所用的时间为284 s.(1)求当地的重力加速度g；(2)将该单摆拿到月球上去，已知月球的重力加速度是1.60 m/s2，单摆振动的周期是多少？12. 摆长为l的单摆在平衡位置O的左右做摆角小于5°的简谐运动，当摆球经过平衡位置O(O在A点正上方)向右运动的同时，另一个以速度v在光滑水平面运动的小滑块，恰好经过A点向右运动，如图8所示，小滑块与竖直挡板P碰撞后以原来的速率返回，略去碰撞所用时间，试问：图8(1)A、P间的距离满足什么条件，才能使滑块刚好返回A点时，摆球也同时到达O点且向左运动？(2)AP间的最小距离是多少？第2节单摆答案课前预习练1．质量直径2．切线正比平衡位置－kx3．简谐无关无关正比反比2πlg4．A5．AC6．CD课堂探究练1．C2．B点评要理解回复力和向心力都是按效果命名的，一要清楚它们的来源，回复力是沿振动方向上的合力而不是物体受到的合力．单摆的回复力是摆球重力的切向分力．3．(1)9.79 m/s2(2)其摆长要缩短缩短0.027 m解析(1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝2πlg，由此可得g＝4π2l/T2，只要求出T值代入即可．因为T ＝t n ＝60.830s≈2.027 s.所以g ＝4π2l/T 2＝(4×3.142×1.02)/2.0272m/s 2≈9.79 m/s 2.(2)秒摆的周期是2 s ，设其摆长为l 0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有T T 0＝l l 0， 故有l 0＝T 20l T 2＝22×1.022.0272 m≈0.993 m.其摆长要缩短Δl＝l －l 0＝1.02 m －0.993 m ＝0.027 m.点评 当在摆角小于10°时，单摆的运动是简谐运动，周期为T ＝2π lg，由公式可知只要测得周期T 和摆长l 就可计算当地的重力加速度；单摆的周期与振幅无关，与摆球的质量无关，在g 不变的情况下，改变周期需改变摆长．4．B点评 根据两单摆在相同时间内摆动的次数可以求出周期关系，再利用周期公式求出摆长．5．2πlgsin θ解析 摆球静止在平衡位置O′时，绳上的拉力为F 拉＝mgsin θ，所以g′＝F 拉m＝gsin θ.故周期为T ＝2πlgsin θ.方法总结 单摆周期公式T ＝2πlg，在一些情况中会有一些变化，l 为悬点到质心的距离，g 有时不是重力加速度，而要找出某些情景中的效重力加速度g′.效重力加速度的计算方法：用单摆静止时摆线上的张力除以摆球的质量．6．ABT′＝12(2πlg ＋2π l2g )<2π lg，A 对． 摆球运动时，无能量损失，机械能守恒，因此在左右两侧上升的最大高度相同，B 对．如图所示，设摆球在平衡位置右侧的最大摆角为α，左侧的最大摆角为β，摆球在左右两侧上升的最大高度一样，这两处位于同一水平方向，取平衡位置为零势能位置，由mg l 2·(1－cos α)＝mgl(1－cos β)解得1－cos α1－cos β＝2，显然α≠2β，D 错．OA ＝l2α，OB ＝lβ，α≠2β，所以OA ≠OB ，C 错，故选A 、B.]方法总结 在周期公式T ＝2πlg中，要明白这个l 的含义，它并不一代表绳长，它是指摆动物体重心距悬点的距离，即物体做圆周运动的半径．7. 6 l 06解析 设在地球上校准的摆钟周期为T 0，实际时间为t 0；在月球上周期为T 1，指示时间为t 1.由于指示时间t 与振动次数N 成正比，即t∝N；一时间内全振动次数N 与振动周期T 成反比，即N∝1T ；由单摆周期公式可知T∝1g ，由以上推知t∝ g ，则有t 0t 1＝g 地g 月，所求实际时间为t 0＝t 1g 地g 月＝ 6 h ．要把它调准，需将摆长调为l 0/6.方法总结 在摆钟机械构造不变的前提下，走时快的摆钟，在给时间内全振动的次数多，周期小，钟面上显示的时间快．走时慢的摆钟，在给时间内全振动的次数少，周期大，钟面上显示的时间慢．因钟面显示的时间总于摆动次数乘以准确摆钟的周期Ts 即t 显＝N·Ts，所以在同一时间内，钟面显示时间之比于摆动次数之比，在同一显示时间下真实时间之比于摆动周期之比．8．变慢了，把摆长缩短． 解析 单摆周期公式T ＝2πlg，由于和的重力加速度g 北、g 南不相， 且g 北>g 南，因此周期不相． 因为g 北>g 南，所以T 北＝2πlg 北<T 南＝2πl g 南说明了振动一次时间的变长了，所以在摆钟变慢了．为使该摆钟在走时准确，必须将摆长缩短．方法总结 要抓住摆钟变快、变慢的根本原因是g 的变化，是不可再改变的，只有调节摆长．若发现变快，实际上是周期变短了，反之，若发现变慢，实际上是周期变长了，然后再作出相的调节．课后巩固练 1．ABC 2．B3．BC 4．D5．D 6．B7．AB 8．D 9．A10．A11．(1)9.78 m/s 2(2)7.02 s 解析 (1)周期T ＝284100 s ＝2.84 s.g ＝4π2l T 2＝4×3.142×2(2.84)2m/s 2≈9.78 m/s 2. (2)T′＝2πlg′＝2×3.14× 21.60s≈7.02 s. 12．(1)A 、P 间的距离满足(2n ＋1)v·π2lg(n ＝0,1,2…) (2)πv 2l g解析 (1)小滑块做匀速直线运动的往返时间为t 1，t 1＝2xv ，单摆做简谐运动回到O 点且向左运动所需时间为t 2，t 2＝T2＋nT(n ＝0,1,2…)，其中T ＝2πl g ，由题意可知t 1＝t 2，所以2x v ＝T 2＋nT ，即x ＝v 2(12＋n)T ＝v 4(2n ＋1)T ＝v 4(2n＋1)·2πl g ＝(2n ＋1)v·π2lg(n ＝0,1,2…)． (2)n ＝0时，AP 间的距离最小，x min ＝πv2l g.。
.4单摆高二物理同步精品讲义(人教版选择性必修第一册)(学生版)
2.4 单摆课程标准课标解读1.通过生活实例，理解单摆模型，并分析单摆的回复力。
2.通过对单摆模型的分析，掌握单摆做简谐运动的条件。
3.通过实验探究，掌握单摆的周期与摆长的定量关系。
4.理解并掌握单摆的周期公式，并能够利用周期公式分析和计算相关问题。
1.理解单摆模型及其振动特点.2.理解单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.3.掌握单摆的周期公式．知识点01 单摆及单摆的回复力1．单摆模型如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆．单摆是实际摆的理想化模型．在单摆模型里，悬线无弹性、不可伸缩、没有质量，小球是质点，单摆是一个理想化的模型． 2．单摆的回复力(1)回复力的提供：摆球的重力沿切线方向的分力，即F ＝mg sin_θ.(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位知识精讲目标导航置．(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律．【即学即练1】(多选)如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N 点关于O点对称．下列说法正确的是( )A．小球受重力、绳子拉力和回复力B．小球所受合外力就是单摆的回复力C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0D．小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等知识点02 单摆的周期1．影响单摆周期的因素(1)单摆的周期与摆球质量、振幅无关．(2)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大．2．周期公式(1)公式：T＝2πl g .(2)单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质．【即学即练2】已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两单摆摆长之差为1.6 m，则两单摆摆长L a与L b分别为( )A．L a＝2.5 m，L b＝0.9 mB．L a＝0.9 m，L b＝2.5 mC．L a＝2.4 m，L b＝4.0 mD．L a＝4.0 m，L b＝2.4 m考法01探究摆钟的物理原理把摆钟等效成一个小球，当小球运动到图中的任意位置P 时，小球受到的回复力是小球所受重力G 沿着圆弧切线方向的分力G 1，F ＝G 1＝mg sin θ.若摆角θ很小，则有sin θ≈θ＝OPl，并且位移x ≈OP ，考虑了位移和回复力的方向后，有F ＝－mg x l(“－”表示回复力F 与位移x 的方向相反)，m 是小球的质量，l 是摆长，g 是重力加速度，它们都有确定的数值，mg l可以用一个常数k 来表示，则上式又可以写成F ＝－kx ，也就是说，在摆角很小时，小球所受到的回复力跟位移大小成正比而方向相反，所以小球做简谐运动．【典例1】某单摆由1 m 长的摆线连接一个直径2 cm 的铁球组成，关于单摆周期，下列说法中正确的是()A ． 用大球替代小球，单摆的周期不变B ． 摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小C ． 用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变D ． 将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大考法02探究单摆振动的周期1．单摆的周期公式T ＝2πl g. 2．摆长l(1)实际的单摆的摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l ＝l ′＋d2，l ′为摆线长，d 为摆球直径．(2)等效摆长：如图所示，甲、乙在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的，所以甲摆的摆长为l sin_α，这就是能力拓展等效摆长，所以其周期为T＝2πl sin αg.【典例1】如图所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为R1和R2，圆心分别为O1和O2，所对应的圆心角均小于5°，在最低点O平滑连接．M点和N点分别位于O点左右两侧，MO的距离小于NO的距离．现分别将位于M 点和N点的两个小球A和B(均可视为质点)同时由静止释放．关于两小球第一次相遇点的位置，下列判断正确的是( )A．恰好在O 点B．一定在O点的左侧C．一定在O点的右侧D．条件不足，无法确定题组A 基础过关练一、单选题1．在淄博走时准确的摆钟，被考察队员带到珠穆朗玛峰的顶端，则这个摆钟（）A．变慢了，重新校准应减小摆长B ．变慢了，重新校准应增大摆长C．变快了，重新校准应减小摆长D ．变快了，重新校准应增大摆长2．单摆的振动图像如图所示，单摆的摆长为（）.分层提分3．为使单摆的频率增大，可采取的方法是（）A．减小摆球的质量B．缩短单摆的摆长C．减小单摆的振幅D．增大单摆的摆长4．如图所示，上端固定的细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器向下喷出一细束墨水。
高二物理第九章 机械振动-单摆知识点总结练习题(含答案解析)
三、单摆1、单摆：在细线的一端拴一小球，另一端固定在悬点上，如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆2、单摆是实际摆的理想化模型3摆长:摆球重心到摆动圆弧圆心的距离 L=L0+R4偏角:摆球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角（偏角一般小于5°） 2、单摆的回复力：平衡位置是最低点 ，kx F -=回回复力是重力沿切线方向的分力，大小为mg sin θ，方向沿切线指向平衡位置单摆的周期只与重力加速度g 以及摆长L 有关。
所以，同一个单摆具有等时性 重力加速度g:由单摆所在的空间位置决定。
纬度越低，高度越高，g 值就越小。
不同星球上g 值也不同。
单摆作简谐运动时的动能和重力势能在发生相互转化，但机械能的总量保持不变，即机械能守恒。
小球摆动到最高点时的重力势能最大，动能最小；平衡位置时的动能最大，重力势能最小。
若取最低点为零势能点，小球摆动的机械能等于最高点时的重力势能，也等于平衡位置时的动能。
例一：用下列哪些材料能做成单摆( AF )悬线：细、长、伸缩可以忽略摆球：小而重（即密度大） A.长为1米的细线 B 长为1米的细铁丝 C.长为0.2米的细丝线D.长为1米的麻绳E.直径为5厘米的泡沫塑料球F.直径为1厘米的钢球G.直径为1厘米的塑料球H.直径为5厘米的钢球例2.一摆长为L 的单摆,在悬点正下方5L/9处有一钉子,则这个单摆的周期是多少？例3、有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。
已知该单摆在海平面处的周期是T 0，当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T 。
求该气球此时离海平面的高度h 。
把地球看作质量均匀分布的半径为R 的球体。
gL T π35=例7．如图所示为一单摆的共振曲线，求：1。
该单摆的摆长约为多少？（近似认为g=2m/s 2）2共振时摆球的最大速度大小是多少？③若摆球的质量为50克，则摆线的最大拉力是多少？例11．如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a 、b 、c 、d 、e 五个单摆，让a 摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。
第四节 单摆
小结：
谢谢大家 ！
再 见！
宣化一中 高二物理教研组 魏江
期T，即可计算得知当地的重力加速度g的值。
（3）实验器材：铁架台及铁夹，金属小球（上面有一个通过球心
的小孔），秒表，细线（1m左右），刻度尺（最
小刻度为毫米），游标卡尺。
（4）实验步骤：
①让细线穿过球上小孔，在细线一端打一个比孔大一些的线结，制成一个单摆。
②将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外。然后把单
第十一章 机械振动
第四节 单 摆
宣化一中高二物理组 魏江
weijiang012400@
一、单摆 1、概念：一根没有质量，没有伸缩性的细线下面系一个质点，就
组成一个单摆。 说明：单摆是一个理想化的模型； 2、实际的摆可以近似看成单摆的条件： （1）线长远大于摆球直径； （2）摆球质量远大于摆线质量； （3）摆线的伸缩性足够小 说明：制作单摆选材时，摆线一般选用单跟的尼龙丝（或胡琴弦
练习：
1.下列哪些材料能做成单摆（ A G ）
A.长为1米的细线
B.长为1米的细铁丝
C.长为1米的橡皮条 D.长为0.2米的细丝线
E.直径为5厘米的钢球 F.直径为5厘米的泡沫塑料球
G.直径为1厘米的钢球 H.直径为1厘米的塑料球I.
2.单摆作简谐运动时的回复力是（ B ）
A.摆球的重力
B.摆球重力沿圆弧切线的分力
⑥改变摆长，重复③到⑤步骤求出重力加速度的平均值
⑦也可绘T2—L图像，利用g=4π2/k计算（k为图线的斜率） （5）注意事项：
①选择摆线时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝，胡琴丝弦或蜡线等，一 般不应短于1米。小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2厘米。
高二物理机械振动知识点
高二物理的机械振动知识点包括：
1 振动的定义和分类：振动是指物体在一定的周期内不断地来回运
动的现象，分为自由振动和强迫振动。
2 单摆的自由振动：单摆是一种物体只能沿着一条直线运动的简单
振动系统，可以用来研究物体的自由振动。
3 弹簧-质量系统的自由振动：弹簧-质量系统是指一个物体由弹簧
和质量构成的振动系统，可以用来研究物体的自由振动。
4 强迫振动：强迫振动是指物体受到外力的周期性作用而产生的振
动。
5 振动的线性化：在某些条件下，物体的振动可以视为线性振动，
这样就可以使用线性方程来研究振动。
6 振动的谐振：谐振是指物体在外力的周期作用下，其自身振动的
周期与外力周期相同时产生的现象。
7振动的幅值衰减：振动的幅值会随着时间的推移而衰减，这种现象称为振动的幅值衰减。
高中物理新教材同步选择性必修第一册 主题2 第Ⅰ部分 4 单摆
4 单摆[学科素养与目标要求]物理观念：1.知道单摆振动时回复力的来源.2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式.3.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法.科学思维：1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件.2.引导学生对摆球进行受力分析，将单摆纳入简谐运动模型.科学探究：1.观察单摆，对影响单摆周期的因素进行猜想，然后通过实验探究认识到影响单摆周期的因素.2.会测量当地的重力加速度.一、单摆及单摆的回复力 1.单摆(1)如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆.单摆是实际摆的理想化模型. (2)单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置. 2.单摆的回复力(1)回复力的来源：如图1所示，摆球的重力沿圆弧切线方向(填“切线方向”或“法线方向”)的分力提供回复力.图1(2)回复力的特点：在偏角很小时，sin θ≈x l ，所以单摆的回复力为F ＝－mgl x ，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动.二、单摆的周期1.单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越长(填“越长”“越短”或“不变”).2.单摆的周期公式T ＝2πlg.三、用单摆测定重力加速度1.实验原理由T＝2πlg，得g＝4π2lT2，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度.2.数据处理(1)平均值法：利用实验中获得的摆长和周期的实验数据，从中选择几组，分别计算重力加速度，然后取平均值.(2)图象法：分别以l和T2为纵坐标和横坐标，作出函数l＝g4π2T2的图象，图象的斜率k＝g4π2，进而求出重力加速度g.1.判断下列说法的正误.(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力.(×)(2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零.(×)(3)制作单摆的摆球越大越好.(×)(4)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半.(×)2.一个理想的单摆，已知其周期为T.如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为______.答案2T一、单摆的回复力(1)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？答案(1)回复力不是合外力.单摆的运动可看做变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力提供使摆球沿圆弧振动的回复力.(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.1.单摆向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力.2.单摆回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供使摆球振动的回复力.3.回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足F＝－kx，此时摆球的运动可看成是简谐运动.注意(1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.(2)单摆的回复力为小球受到的重力沿圆弧切线方向的分力，而不是小球受到的合外力.例1图2中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中()图2A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用B.摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大答案 C解析摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误.二、单摆的周期单摆的周期公式为T＝2πl g.(1)单摆的摆长l等于悬线的长度吗？(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？答案(1)不等于.单摆的摆长l等于悬线的长度与摆球的半径之和.(2)可能会.单摆的周期与所在地的重力加速度g有关，不同星球表面的重力加速度可能不同.1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟.2.单摆的周期公式：T＝2πl g.3.对周期公式的理解(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和准确值相(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球.(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定.(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期.例2(2018·黄埔区高二检测)某单摆由1 m长的摆线连接一个直径2 cm的铁球组成，关于单摆周期，下列说法中正确的是()A.用大球替代小球，单摆的周期不变B.摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小C.用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变D.将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大答案 C解析用大球替代小球，单摆摆长变长，由单摆周期公式T＝2πlg可知，单摆的周期变大，故A错误；由单摆周期公式T＝2πlg可知，在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，摆角从5°改为3°时，单摆周期不变，故B错误；用等大铜球替代铁球，单摆摆长不变，由单摆周期公式T＝2πlg可知，单摆的周期不变，故C正确；将单摆从赤道移到北极，重力加速度g变大，由单摆周期公式T＝2πlg可知，单摆周期变小，故D错误.例3如图3所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球(半径可忽略)，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为g)()图3A.让小球在纸面内振动，周期T＝2πl gB.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π3l 2gC.让小球在纸面内振动，周期T＝2π3l 2gD.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2πl g解析 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l ，周期T ＝2πl g；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为(34l ＋l )，周期T ′＝2π(34＋1)l g，A 正确，B 、C 、D 错误. 三、实验：用单摆测定重力加速度 1.实验原理 由T ＝2πl g ，得g ＝4π2lT2，则测出单摆的摆长l 和周期T ，即可求出当地的重力加速度. 2.实验器材铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m 左右)、刻度尺、游标卡尺. 3.实验步骤(1)让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆. (2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.在单摆平衡位置处做上标记.(3)用刻度尺量出悬线长l ′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d ，则摆长为l ＝l ′＋d2.(4)把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球.摆球经过最低位置时，用秒表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期. (5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格. 4.数据处理(1)公式法：每改变一次摆长，将相应的l 和T 代入公式g ＝4π2lT 2中求出g 值，最后求出g 的平均值.设计如下所示实验表格：(2)图象法：由T ＝2πl g 得T 2＝4π2gl ，以T 2为纵坐标，以l 为横坐标作出T 2－l 图象(如图4所示).其斜率k ＝4π2g，由图象的斜率即可求出重力加速度g .图45.注意事项(1)选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球.(2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小.(3)摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆.(4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测n次全振动的时间t. 例4某同学利用如图5所示的装置测量当地的重力加速度.实验步骤如下：图5A.按装置图安装好实验装置；B.用游标卡尺测量小球的直径d；C.用米尺测量悬线的长度L；D.让小球在竖直平面内小角度摆动，当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一次，依次计数1、2、3、…，当数到20时，停止计时，测得时间为t；E.多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤C、D；F.计算出每个悬线长度对应的t2；G.以t2为纵坐标、L为横坐标，作出t2－L图线.结合上述实验，完成下列问题：(1)用游标为10分度的游标卡尺测量小球直径，某次测量示数如图6所示，读出小球直径d 为________ cm.图6(2)该同学根据实验数据，利用计算机作出t2－L图线如图7所示.根据图线拟合得到方程t2＝404.0L＋3.07，由此可以得出当地的重力加速度g＝_____ m/s2.(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)图7(3)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是________. A.不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点时开始计时 B.开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数 C.不应作t 2－L 图线，而应作t －L 图线 D.不应作t 2－L 图线，而应作t 2－(L ＋12d )图线答案 (1)1.52 (2)9.76 (3)D解析 (1)游标卡尺主尺的示数是1.5 cm ＝15 mm ，游标尺示数是2×0.1 mm ＝0.2 mm ，小球的直径d ＝15 mm ＋0.2 mm ＝15.2 mm ＝1.52 cm. (2)根据单摆周期公式T ＝2πlg得： t10＝2πl g ，又l ＝L ＋d 2，则t 2＝400π2l g ＝400π2L g ＋200π2d g. 由题意知斜率k ＝404.0，则400π2g ＝404.0，代入π2＝9.86得g ≈9.76 m/s 2.(3)单摆摆长等于摆线长度与摆球半径之和，把摆线长度作为单摆摆长小于实际摆长，故t 2－L 图象不过原点，在纵轴上截距不为零，故D 正确.[学科素养] 通过本题，学生回顾了游标卡尺的读数方法，提高了根据实际情况设计实验步骤的能力，锻炼了用单摆测定重力加速度的本领.在解题过程中，展现了实验探究过程中交流、反思的能力.本题着重体现了“实验探究”的学科素养.1.(对单摆回复力的理解)(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图象如图8所示，以下说法正确的是( )图8A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大答案CD解析由题图读出t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误；t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C正确；t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故D正确.2.(单摆的周期公式)(2018·新余一中高二下学期段考)如图9所示，摆长为l的单摆放在倾角为θ的光滑固定斜面上，则摆球在斜面所在的平面内做小摆角振动时的周期为()图9A.T＝2πlg B.T＝2πlg cos θ C.T＝2πlg sin θ D.以上答案都不对答案 C3.(用单摆测定重力加速度)(2018·西安中学高二第二学期期中)某同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验中，先测得摆线长为97.50 cm，摆球直径为2.00 cm，然后用秒表记录了单摆全振动50次所用的时间，如图10所示，则：图10(1)该摆摆长为________ cm，秒表所示读数为________ s.(2)如果测得的g值偏小，可能的原因是()A.测摆线长时摆线拉得过紧B.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了C.开始计时时，秒表过迟按下D.实验中误将49次全振动记为50次(3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l 并测出相应的周期T ，从而得出对应的l 与T 的数据，再以l 为横坐标，T 2为纵坐标，将所得数据连成如图11所示直线，并求得该直线的斜率为k ，则重力加速度g ＝________(用k 表示).图11答案 (1)98.50 75.2 (2)B (3)4π2k一、选择题考点一 单摆及单摆的回复力1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( ) A.摆线质量不计 B.摆线不可伸缩C.摆球的直径比摆线长度小得多D.只要是单摆的运动就一定是简谐运动 答案 ABC解析 只有在摆角很小的情况下才能视单摆运动为简谐运动. 2.关于单摆，下列说法中正确的是( ) A.摆球运动的回复力是它受到的合力B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度是不变的C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D.摆球经过平衡位置时，加速度为零 答案 B解析 摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A 错误；摆球经过最低点时，回复力为0，但合力提供向心力，C 、D 错误；由简谐运动特点知B 正确. 考点二 单摆的周期公式3.(多选)如图1所示为单摆的振动图象，取g ＝10 m/s 2，π2＝10，根据此振动图象能确定的物理量是( )图1A.摆长B.回复力C.频率D.振幅 答案 ACD解析 由题图知，振幅为A ＝3 cm ，单摆的周期为T ＝2 s ，由单摆的周期公式T ＝2πl g，得摆长l ＝1 m ，频率f ＝1T ＝0.5 Hz ，摆球的回复力F ＝－xl mg ，由于摆球的质量未知，无法确定回复力，A 、C 、D 正确.4.如图2所示，单摆的周期为T ，则下列说法正确的是( )图2A.把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变小B.把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变小C.将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长D.将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T 答案 C解析 根据单摆的周期公式T ＝2πlg知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期变为原来的2倍，故A 、B 、D 错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式T ＝2πlg知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C 正确. 5.做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的94倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的23，则单摆振动的( )A.周期不变，振幅不变B.周期不变，振幅变小C.周期改变，振幅不变D.周期改变，振幅变大答案 B解析 由单摆的周期公式T ＝2πlg可知，当摆长l 不变时，周期不变，故C 、D 错误；由能量守恒定律可知12m v 2＝mgh ，其摆动的高度与质量无关，因摆球经过平衡位置时的速度减小，则最大高度减小，知振幅减小，选项B 正确，A 错误.6.(多选)(2018·屯溪一中高二第二学期期中)如图3所示，一单摆悬于O 点，摆长为L ，若在O 点正下方的O ′点钉一个光滑钉子，使OO ′＝L2，将单摆拉至A 处释放，小球将在A 、B 、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则以下说法正确的是( )图3A.由于机械能守恒，可得摆角大小不变B.A 和C 两点在同一水平面上C.周期T ＝2π(Lg ＋L 2g ) D.周期T ＝π(L g＋L 2g) 答案 BD7.(多选)(2018·西城区高二检测)如图4甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x 随时间t 变化的图象如图乙所示.不计空气阻力，g 取10 m/s 2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是( )图4A.单摆的位移x 随时间t 变化的关系式为x ＝8sin (πt ) cmB.单摆的摆长约为1 mC.从t ＝2.5 s 到t ＝3 s 的过程中，摆球的重力势能逐渐增大D.从t ＝2.5 s 到t ＝3 s 的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小答案 AB解析 由振动图象可读出周期T ＝2 s ，振幅A ＝8 cm ，由ω＝2πT 得到圆频率ω＝π rad/s ，则单摆的位移x 随时间t 变化的关系式为x ＝A sin ωt ＝8sin (πt ) cm ，故A 正确.由公式T ＝2πl g，解得l ≈1 m ，故B 正确.从t ＝2.5 s 到t ＝3 s 的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，故C 、D 错误. 二、非选择题8.正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图5所示，从小球第1次通过图中的B 点开始计时，第21次通过B 点用时30 s ；球在最低点B 时，球心到窗上沿的距离为1 m ，当地重力加速度g 取π2(m/s 2)；根据以上数据可得小球运动的周期T ＝________ s ；房顶到窗上沿的高度h ＝________ m.图5答案 3 3解析 n ＝12×(21－1)＝10，T ＝tn ＝3 s ，T ＝T 12＋T 22＝12(2πlg＋2πl ＋hg)， 解得h ＝3 m.9.(2018·北京101中学高二下学期期中)根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速度，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，就做成了单摆. (1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图6所示，读数为________mm.图6(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________.A.摆线要选择细些、伸缩性小些的，并且尽可能长一些B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的C.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度D.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时时间间隔Δt即为单摆周期TE.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝Δt 50答案(1)18.6(2)ABE解析(1)由题图游标卡尺可知，其示数为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm.(2)为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽量长一些，故A正确；为减小空气阻力对实验的影响，减小实验误差，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，故B正确；摆长一定的情况下，摆的振幅尽量小些，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置不能有太大的角度，故C错误；为准确测量单摆周期，应从摆球经过平衡位置时开始计时，测出多个周期的时间，然后求出平均值作为周期，故D错误；拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝Δt50，可减小实验误差，故E正确.10.(2018·东北育才学校高二下学期期中)在用单摆测重力加速度的实验中：(1)为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些？将所选用的器材的字母填在题后的横线上.A.长1 m左右的细绳；B.长30 m左右的细绳；C.直径2 cm的铅球；D.直径2 cm的铁球；E.秒表；F.时钟；G.最小刻度是厘米的直尺；H.最小刻度是毫米的直尺.所选择的器材是________.(2)实验时摆线偏离竖直线的要求是______________，理由是_____________________. (3)某同学测出不同摆长时对应的周期T ，作出T 2－L 图线，如图7所示，再利用图线上任两点A 、B 的坐标(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，可求得g ＝________________.若该同学测摆长时漏加了小球半径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用上述方法算得的g 值和真实值相比是________的(选填“偏大”、“偏小”或“不变”).图7答案 (1)ACEH(2)摆线与竖直方向的夹角不超过5° 只有在偏角不超过5°的情况下，单摆的周期公式T ＝2πLg才成立 (3)4π2·x 2－x 1y 2－y 1不变11.(2018·临漳一中高二下学期期中)实验小组的同学们用如图8所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验.图8(1)用L 表示单摆的摆长，用T 表示单摆的周期，重力加速度g ＝________.(2)实验时除用到秒表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的______(选填选项前的字母). A.长约1 m 的细线 B.长约1 m 的橡皮绳 C.直径约1 cm 的均匀铁球 D.直径约10 cm 的均匀木球(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图________中所示的固定方式(选填“甲”或“乙”).(4)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是________(选填选项前的字母). A.测出摆线长作为单摆的摆长B.把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动C.在摆球经过平衡位置时开始计时D.用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期(5)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是____________(选填选项前的字母).A.开始摆动时振幅较小B.开始计时时，过早按下秒表C.测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间(6)丙同学画出了单摆做简谐运动时的振动图象如图9所示，则摆线偏离竖直方向的最大摆角的正弦值约为________(结果保留一位有效数字).图9答案见解析解析(1)由周期公式T＝2πLg得g＝4π2LT2(2)为减小误差应保持摆线的长度不变，则A正确，B错误；为减小误差，摆球密度要大，体积要小，则C正确，D错误.(3)悬点要固定，则为题图乙.(4)摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，A错误；应把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，故B正确；应在摆球经过平衡位置时开始计时，C正确；把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期，误差较大，应采用累积法测量周期，D错误.(5)由T＝2πLg得g＝4π2LT2.振幅大小与g无关，故A错误；开始计时时，过早按下秒表，所测周期偏大，则g偏小，B错误；测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间，则所测周期偏小，则g偏大，C正确.(6)由题图可知周期为2 s，由T＝2πLg 得L＝T2g4π2＝4×9.84×3.142m≈1 m，振幅为4 cm＝0.04 m，则sin θ≈0.041＝0.04.12.如图10所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心O′的正下方，一小球甲(可视为质点)由距O 点很近的A 点由静止释放，R ≫AO .图10(1)若小球甲释放的同时，另一小球乙(可视为质点)从球心O ′处自由落下，问两球第一次到达O 点的时间比；(2)若小球甲释放的同时，另一小球丙(可视为质点)在O 点正上方某处自由落下，为使两球在O 点相碰，小球应由多高处自由落下？答案 (1)2π∶4 (2)(2n －1)2π2R8(n ＝1，2，3，…)解析 (1)甲球沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O 点的时间为t 1＝14T ＝14×2πR g ＝π2R g. 乙球做自由落体运动，到达O 点的时间为t 2 R ＝12gt 22，所以t 2＝2Rg，t 1∶t 2＝2π∶4. (2)小球甲从A 点由静止释放运动到O 点的时间为t ＝T4(2n －1)，n ＝1，2，3，…，由O 点正上方自由落下的小球丙到达O 点的时间也为t 时两球才能在O 点相碰，所以h ＝12gt 2＝(2n －1)2π2R8(n ＝1，2，3，…).。
高二物理单摆振动中的等效问题
单摆振动中的等效问题温州育英国际实验学校齐洪波 325036单摆是由一根不能伸长的细线，系一个视为质点的摆球构成。
在摆角（新教材）时，摆球的运动可视为简谐运动。
等效方法是通过对问题中的某些因素进行变换或直接利用相似性，移用某一规律进行分析而得到相等效果，利用等效法不仅可以使问题变得简单易解，而且活跃了学生的思维。
在通常情况下，很多物体的运动模型可等效为单摆模型，单摆振动中的等效问题包括模型的等效、摆长的等效、重力加速度的等效及周期的等效。
等效单摆的周期公式可以广义地表示为式中为等效摆长，为等效重力加速度。
一、等效单摆摆长所谓摆长意味着悬点到摆球球心间的距离。
单摆的运动轨迹点是一小段圆弧，其轨道半径R与等效摆长相等，即=R。
对于形异质同的单摆物理模型，不管有无“悬点”，只要搞清了圆弧轨道的半径R，单摆的周期即可用计算。
同学们对下图中各摆等效摆长一看便知（若等效摆长不易一眼看出，则应从数学角度计算）。
图1 图2 图3例1. 由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂小球C，如图4所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°，当该小球向纸内外做微小摆动时，其摆动周期为___________。
图4 图5简析：本题是一个双线摆问题，解决其周期，首先得确定其等效摆长，连接AB，然后过摆球C作竖直线交直线AB于O点，则OC为该摆的等效摆长，如图5所示，L”，故周期：例2. 如图6所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A距离远小于R，两质点B和C都由静止开始释放，问哪一个小球先到A点？图6简析：B球到A点时间用自由落体运动规律求解，其时间：C球在光滑圆弧槽内往复运动可看作等效单摆运动，半径R为等效摆长。
第一次到达A点用单摆周期公式：显然，，即B球先到。
讨论：要使两球在A点相遇，可使B球上移，问此时B球高度h为多少？分析：B球下落时间为：又C点运动具有重复性，两球相遇时间必有多解，相应的h值亦应有多解：，解得：二、等效重力加速度等效重力加速度的大小等于摆球的视重（摆球相对悬点静止时线的拉力F）与摆球的质量m之比，即。