2021年中考数学复习讲义：第三章 三角形 模型(十)——双角平分线模型
专题06 三角形中的双角平分线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题06三角形中的双角平分线模型【模型1】双角平分线模型如图，已知在ABC ∆中，BO，CO 分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线，根据角平分线的性质和三角形内角和定理，可得A O ∠+︒=∠2190。
【模型2】一内角一外角平分线模型如图，已知在ABC ∆中，BP，CP 分别是ABC ∠，ACD ∠的平分线，∴ABC PBC ∠=∠21，ACD PCA ∠=∠21，ACD ACB PCB ∠+∠=∠21，ABC A ACD ∠+∠=∠∴)(21ABC A ACB PCB ∠+∠+∠=∠；∴ABC A ACB PCB ∠+∠+∠=∠2121)(180PCB PBC P ∠+∠-︒=∠ )212121(180ABC A ACB ABC P ∠+∠+∠+∠-︒=∠∴；)21(180A ACB ABC P ∠+∠+∠-︒=∠∴；)21180(180A A P ∠+∠-︒-︒=∠∴；A P ∠=∠∴21【模型3】双外角平分线模型如图，已知在ABC ∆中，BP，CP 分别是CBE ∠，BCF ∠的平分线，根据外角定理，CBE PBC ∠=∠21，BCF PCB ∠=∠21，又ACB A CBE ∠+∠=∠，ABC A BCF ∠+∠=∠，∴)(180PCB PBC P ∠+∠-︒=∠；∴)(21180)2121(180BCF CBE BCF CBE P ∠+∠-︒=∠+∠-︒=∠；∴)(21180ABC A ACB A P ∠+∠+∠+∠-︒=∠；∴)2(21180ABC ACB A P ∠+∠+∠-︒=∠；∴)1802(21180A A P ∠-︒+∠-︒=∠；∴︒-∠-︒=∠9021180A P ；∴A P ∠-︒=∠2190；【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC ＝130°，则∠D ＝_____【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12（∠ACB+∠ACE）=12×180°=90°，∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【例2】如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（）A．∠1+∠0=∠A+∠2B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D．∠1+∠2+∠A=∠O【答案】D【分析】连接AO并延长，交BC于点D，由三角形外角的性质可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把两式相加即可得出结论．【解析】解：连接AO并延长，交BC于点D，∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故选：D．【例3】（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．【答案】（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-∠【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【解析】解：（1）∵40A ∠=︒，∴18040ABC ACB ∠+∠=︒-，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=，∴()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-∠+=︒+︒故答案为110°（2）12BPC A ∠=∠，证明：∵ACE ∠是ABC 的外角，PCE ∠是PBC 的外角，∴ACE ABC A∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，∵BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，∴1122PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠，∴1122ACE ABC BPC ∠=∠+∠，∴()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=∠-∠=∠-∠，∴12BPC A ∠=∠，故答案为：12BPC A ∠=∠；（3）由（1）得，1902BPC A ∠=︒-∠，故答案为：1902BPC A ∠=︒-∠．一、单选题1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，设∠A =m ，则∠BOC =（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据三角形的内角和，可得∠ABC +∠ACB ，根据角的和差，可得∠DBC +∠BCE ，根据角平分线的定义，可得∠OBC +∠OCB ，根据三角形的内角和，可得答案．【解析】解：如图：，由三角形内角和定理，得∠ABC +∠ACB =180°-∠A =180°-m ，由角的和差，得∠DBC +∠BCE =360°-（∠ABC +∠ACB ）=180°+m ，由∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ，得∠OBC +∠OCB =12（∠DBC +∠BCE ）=90°+12m ，由三角形的内角和，得∠O =180°-（∠OBC +∠OCB ）=90°-12m ．故选：B ．2．如图：PC 、PB 是ACB ∠、ABC ∠的角平分线，40A ∠=︒，BPC ∠=（）A ．∠BPC =70ºB ．∠BPC =140ºC ．∠BPC =110ºD ．∠BPC =40º【答案】C 【分析】首先根据三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，再根据角平分线的性质可得12PCB ACB ∠=∠，12PBC ABC ∠=∠，进而可求PBC PCB ∠+∠的度数，再次在CBP ∆中利用三角形内角和即可求解．【解析】解：40A ∠=︒ ，18040140ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，又BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，12PCB ACB ∴∠=∠，12PBC ABC ∠=∠，11()1407022PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，180()110BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒．故选：C ．3．如图，△ABC 中，∠E =18°，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，则∠A 等于（）A ．36°B ．30°C ．20°D ．18°【答案】A 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD =∠A +∠ABC ，∠ECD =∠E +∠EBC ；由角平分线的性质，得∠ECD =12（∠A +∠ABC ），∠EBC =12∠ABC ，利用等量代换，即可求得∠A 与∠E 的关系，即可得到结论．【解析】解：∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∴∠ECD =12（∠A +∠ABC ）．又∵∠ECD =∠E +∠EBC ，∴∠E +∠EBC =12（∠A +∠ABC ）．∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC =12∠ABC ，∴12∠ABC +∠E =12（∠A +∠ABC ），∴∠E =12∠A =18°，∴∠A =36°．故选A ．4．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF 和CEF △都是等腰三角形②DE BD CE =+；③BF CF >；④若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解．【解析】解：①∵BF 是∠ABC 的角平分线，CF 是∠ACB 的角平分线，∴∠ABF=∠CBF ，∠ACF=∠BCF ，∵DE ∥BC ，∴∠CBF=∠BFD ，∠BCF=∠EFC （两直线平行，内错角相等），∴∠ABF=∠BFD ，∠ACF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，∴△BDF 和△CEF 都是等腰三角形，∴①选项正确，符合题意；②∵DE=DF+FE ，∴DB=DF ，EF=EC ，∴DE=DB+CE ，∴②选项正确，符合题意；③根据题意不能得出BF ＞CF ，∴④选项不正确，不符合题意；④∵若∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，∵∠ABF=∠CBF ，∠ACF=∠BCF ，∴∠CBF+∠BCF=12×100°=50°，∴∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，∴④选项正确，符合题意；故①②④正确．故选C5．如图，ABD ∠，ACD ∠的角平分线交于点P ，若48A ∠=︒，10D ∠=︒，则P ∠的度数（）A ．19︒B ．20︒C ．22︒D ．25︒【答案】A【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A ＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC 是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋1 2∠ACD＝∠A＋12∠ABD，代入计算即可．【解析】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．法二：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD ＝∠A ＋∠AEC ＝48°＋∠AEC ．∵∠AEC 是△BDE 的外角，∴∠AEC ＝∠ABD ＋∠D ＝∠ABD ＋10°，∴∠ACD ＝48°＋∠AEC ＝48°＋∠ABD ＋10°，整理得∠ACD −∠ABD ＝58°．设AC 与BP 相交于O ，则∠AOB ＝∠POC ，∴∠P ＋12∠ACD ＝∠A ＋12∠ABD ，即∠P ＝48°−12（∠ACD −∠ABD ）＝19°．故选A .二、填空题6．如图，在ABC ∆中，A θ∠=，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和1A CD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠；⋯；2019A BC ∠和2019A CD ∠的平分线交于点2020A ，则2020A ∠=__．（用θ表示）【答案】20202θ【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1=12∠A ，由于∠A 1=12∠A ，∠A 2=12∠A 1=212∠A ，…，以此类推可知∠A 2020即可求得．【解析】∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CA=12∠ACD ，∵∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，即12∠ACD=∠A 1+12∠ABC ，∴∠A 1=12（∠ACD-∠ABC ），∵∠A+∠ABC=∠ACD ，∴∠A=∠ACD-∠ABC ，∴∠A 1=12∠A ，以此类推∠A 2=12∠A 1=12•12∠A=212∠A,∠A 3=12∠A 2=21122⨯∠A=312∠A ，……，所以∠A n =12n A ∠，202020202020122A A θ∴∠=∠=．故答案为：20202θ．7．如图，在△ABC 中，A 70∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么BDC ∠＝_________度．【答案】125【分析】先利用三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，进而可求DBC DCB ∠+∠的度数，最后再利用三角形内角和定理即可求出答案．【解析】70A ∠=︒ ，180110ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒．∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，1()552DBC DCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()125BDC DBC DCB ∴∠=︒-∠+∠=︒．故答案为：125．8．如图在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，交于O ，CE 为外角∠ACD 的平分线，交BO 的延长线于点E ，记1BAC ∠=∠，2BEC ∠=∠，则以下结论①122∠=∠，②32BOC ∠=∠，③901BOC ∠=︒+∠，④902BOC ∠=︒+∠，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）【答案】①④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC ＝90°＋12∠1，∠BOC ＝90°＋∠2，再分析判断．【解析】∵CE 为外角∠ACD 的平分线，BE 平分∠ABC ，∴∠DCE ＝12∠ACD ，∠DBE ＝12∠ABC ，又∵∠DCE 是△BCE 的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE ＝12（∠ACD−∠ABC ）＝12∠1，故①正确；∵BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠OBC ＝12ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ，∴∠BOC ＝180°−（∠OBC ＋∠OCB ）＝180°−12（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−12（180°−∠1）＝90°＋12∠1，故②、③错误；∵OC 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∴∠ACO ＝12∠ACB ，∠ACE ＝12∠ACD ，∴∠OCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝12×180°＝90°，∵∠BOC 是△COE 的外角，∴∠BOC ＝∠OCE ＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④．9．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠︒＝，则BOC ∠＝______．【答案】110︒．【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数．【解析】解：∵OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=111()222ABC ACB ABC ACB ∠+∠=∠+∠∵∠A=40°，∴∠OBC+∠OCB=1(18040)2︒︒-=70°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-70°=110°．故答案是110．10．如图，已知60BAC ∠=︒，AD 是角平分线且10AD =，作AD 的垂直平分线交AC 于点F ，作DE AC ⊥，则DEF 周长为________．【答案】5+【分析】知道60BAC ∠=︒和AD 是角平分线，就可以求出30DAE ∠=︒，AD 的垂直平分线交AC 于点F 可以得到AF =FD ，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE ，得到DEF C DE EF AF AE DE =++=+△．【解析】解： AD 的垂直平分线交AC 于点F ，∴DF AF =（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴DEF C DE EF AF AE DE=++=+△∵60BAC ∠=︒，AD 是角平分线∴30DAE ∠=︒∵10AD =∴5DE =，AE =∴5DEF C =+△11．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．【答案】15°【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=12（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=12∠E．【解析】解：如图：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A）=12×（180°-60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=12∠MBC，∠1=12∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=12（∠NCB +∠NCB ）=150°，∴∠E =180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，∵BF 、CF 分别平分∠EBC 、∠ECQ ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，∵∠3+∠4=∠5+∠F ，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E ，即∠2=∠5+∠F ，2∠2=2∠5+∠E ，∴2∠F =∠E ，∴∠F =12∠E =12×30°=15°．故答案为：15°．三、解答题12．（1）如图所示，在ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，证明：1902BOC A ∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D ，证明：1902BDC A -︒∠=∠．（3）如图所示，ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，证明：12D A ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．①由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．②由②得180x y BOC +=-∠︒．③把③代入①，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒（2）∵BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∵BD 为△ABC 的角平分线，交AC 与点E ，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=12（∠A +2∠1），∠3=∠4，在△ABE 中，∠A =180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A ①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，把①代入②得∠D=12∠A．13．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O①若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC的度数为；②若∠A=76°，则∠BOC的度数为；③你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗？说明理由【答案】①135°；②128°；③∠BOC=90°+12∠A，理由见解析【分析】①利用三角形的内角和定理和角平分线的定义进行求解；②利用三角形的内角和定理求出（∠ABC+∠ACB）的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行求解；③利用三角形的内角和定理求出（∠ABC+∠ACB）的度数,再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行求解．【解析】解：①∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC=20°，∠OCB=12∠ACB=25°，又∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°-12（∠ABC+∠ACB）=135°，故答案为：135°；②∵在△ABC中，∠A=76°，∴∠ABC+∠ACB=104°，∴由①知，∠BOC=180°-12（∠ABC+∠ACB）=128°，故答案为：128°③∠BOC=90°+12∠A，理由如下：∠BOC=180°-12（∠ABC+∠ACB）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A．14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC +∠ACB ＝130°，求∠BPC 的度数．（2）当∠A 为多少度时，∠BPC ＝3∠A ？【答案】（1）115︒；（2）36A ∠=︒【分析】（1）根据角平分线的定义，求得PBC ∠，PCB ∠，再根据三角形内角和定理即可求得BPC ∠；（2）根据（1）的方法求得BPC ∠，再结合条件∠BPC ＝3∠A ，解方程即可求得∠A ．【解析】（1）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠， ∠ABC +∠ACB ＝130°，1()652PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()18065115BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，（2）PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，11,22PBC ABC PCB ACB ∴∠=∠∠=∠，1()2PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠，180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠ ，1902PBC PCB A ∴∠+∠=︒-∠，180()BPC PBC PCB Ð=°-Ð+Ð1180(90)2A =︒-︒-∠1902A =+∠︒ ∠BPC ＝3∠A13902A A ∴∠=︒+∠，36A ∴∠=︒．15．数学思想运用：(1)如图①所示，△ABC 的外角平分线交于G ，若∠A =80°，则∠BGC =______°，请你猜测∠BGC 和∠A 的数量关系：_______________．(2)如图②所示，若△ABC 的内角平分线交于点I ，若∠A =50°，则∠BIC =______°，请你猜测∠BIC 和∠A 的数量关系：__________________．(3)已知，如图③，△ABC 中，ACE ∠的平分线与的平分线交于点，请你猜测∠D和∠A 的数量关系：____________________．若，求的度数（写出求解过程）．【答案】(1)501902BGC A ∠=︒-∠(2)1151902BIC A ∠=︒+∠(3)12D ACE ∠=∠，35°【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，可知180100ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，继而求出260CBE BCF ∠+∠=︒由角平分线的定义得出112,322CBE BCF ∠=∠∠=∠，再由三角形内角和定理即可求解；（2）根据三角形内角和等于180°，可得180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，根据角平分线的意义可得116,822ABC ACB ∠=∠∠=∠，再由三角形内角和定理即可求解；（3）先由角平分线的定义可得1,122DBC ABC DCE ACE ∠=∠∠=∠，再根据三角形外角的性质得,ACE ABC A DCE DBC D ∠=∠+∠∠=∠+∠，利用角的和差即可求解；将70A ︒∠=代入数量关系即可求解．【解析】（1）180,80A ABC ACB A ∠+∠+∠=︒∠=︒180100ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒180,180ABC CBE ACB BCF ∠+∠=︒∠+∠=︒180180(180)180260CBE BCF A A ∴∠+∠=︒+︒-︒-∠=︒+∠=︒,BG CG 分别平分,CBE BCF∠∠112,322CBE BCF ∴∠=∠∠=∠1123()(180)13022CBE BCF A ∴∠+∠=∠+∠=︒+∠=︒23180BGC ∠+∠+∠=︒ 11180(23)180(180)905022BGC A A ⎡⎤∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+∠=︒-∠=︒⎢⎥⎣⎦故答案为：50，1902BGC A ∠=︒-∠（2）180,50A ABC ACB A ∠+∠+∠=︒∠=︒180130ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒,BI CI Q 分别平分,ABC ACB∠∠116,822ABC ACB ∴∠=∠∠=∠11168()(180)90222ABC ACB A A ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠68180BIC ∠+∠+∠=︒ 11180(68)180(180)9011522BIC A A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠=︒故答案为：115，1902BIC A ∠=︒+∠（3）,BD CD 分别平分,ABC ACE∠∠11,22DBC ABC DCE ACE ∴∠=∠∠=∠,ACE ABC A DCE DBC D∠=∠+∠∠=∠+∠ 111222ACE ABC A ∴∠=∠+∠12D A ∴∠=∠70A ︒∠= 35D ∴∠=︒故答案为：12D A ∠=∠16．ABC 中，50A ∠=︒．（1）如图①，若点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（2）如图②，若点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（3）如图③，若点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，求P ∠的度数；（4）若A β∠=.请直接写出图①，②，③中P ∠的度数，(用含β的代数式表示)【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分别为：①11180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+；②1902P β∠=︒-；③1122P A β∠=∠=【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB ）=65°，根据三角形的内角和定理得出∠P 的度数；（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB=12（∠CBD+∠BCE ）=115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P=12∠A ，即可得出结果；（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．【解析】解:（1）50A ∠=︒ ，18050130ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，点P 是ABC ∠与ACB ∠平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠，11()1306522PBC PCB ABC ACB ∴∠+∠=⨯∠+∠=⨯︒=︒，180()115P PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒；（2）18050130ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒ ，360130230CBD BCE ∴∠+∠=︒-︒=︒，点P 是CBD ∠与BCE ∠平分线的交点，1()1152PBC PCB CBD BCE ∴∠+∠=∠+∠=︒，18011565P ∴∠=︒-︒=︒；（3） 点P 是ABC ∠与ACF ∠平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCF ACF ∠=∠，PCF P PBC ∠=∠+∠ ，ACF A ABC ∠=∠+∠，2()P PBC A ABC ∴∠+∠=∠+∠，1252P A ∴∠=∠=︒；（4）若A β∠=，在（1）中，11180(180)9022P ββ∠=︒-︒-=︒+；在（2）中，同理得：1902P β∠=︒-；在（3）中，同理得：1122P A β∠=∠=．17．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D ；【简单应用】（2）如图2，AP 、CP 分别平分∠BAD ．∠BCD ，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P 的度数；【问题探究】（3）如图3，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P 的度数，并说明理由．【拓展延伸】（4）①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB ，∠CDP=13∠CDB ，试问∠P 与∠C 、∠B 之间的数量关系为：（用α、β表示∠P ）；②在图5中，AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的关系，直接写出结论．【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=23αβ+②∠P=1802B D︒+∠+∠【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．【解析】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如图3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°．（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+β=3∠P∴∠P=23αβ+．故答案为：∠P=23αβ+．②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P=1802B D︒+∠+∠．故答案为：∠P=1802B D︒+∠+∠．18．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．【答案】（1）130°；（2）1902Q A∠=︒-∠；（3）60°或120°或45°或135°【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣12∠A，求出∠E＝12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．【解析】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣12×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12∠MBC＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．19．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB= ，则∠ADB=．【答案】（1）35°；（2）90°-12α；（3）12β【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=12∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【解析】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=12∠A=35°；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=12（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A，∠A=α，∴∠D=12α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-12α；（3）如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∴∠DAM=12∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．。
双角平分线模型(解析版)-中考数学满分突破
双角平分线模型一、基础知识回顾角平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
已知OC 平分∠AOB ，则∠AOC =∠COB =12∠AOB 二、双角平分线模型的概述：两角共一边，求角平分线之间夹角。
模型一：两角有公共部分(作和)已知OC 是∠AOB 内的一条射线，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON证明：∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC∴∠MOC =12∠AOC ,∠CON =12∠BOC ∴∠MON =∠MOC +∠CON =12∠AOC +12∠BOC =12∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角和的一半模型二：两角有公共部分(作差)已知OC 是∠AOB 外的一条射线，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON证明：∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC∴∠MOC =12∠AOC ,∠CON =12∠BOC ∴∠MON =∠MOC -∠CON =12∠AOC -12∠BOC =12∠AOB 文字语言结论：角平分线的夹角=被平分两角差的一半总结：一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半。
图解：【基础过关练】1.如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=70°,∠COE=40°，那么∠BOD=()．A.50°B.55°C.60°D.65°【答案】B【分析】根据角平分线的定义和角的和差关系进行计算即可．【详解】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∴∠BOC=∠AOB=12∠AOC，∠COD=∠DOE=12∠COE，又∵∠AOC=70°，∠COE=40°，∴∠BOC=35°，∠COD=20°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=35°+20°=55°，故选B．【点睛】本题主要考查了角与角之间的运算和角平分线等知识，正确寻找角与角之间的关系以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．2.如图所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°【答案】B【分析】根据题意计算出∠AOC，∠MOC，∠NOC的度数，再根据∠MON=∠MOC-∠NOC计算即可．【详解】解：∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC∴∠MOC=12∠AOC=12×120°=60°∠NOC=12∠BOC=12×30°=15°∴∠MON=∠MOC-∠NOC=60°-15°=45°，故答案为：B．【点睛】本题考查了基本几何图形中的角度计算，掌握角度的运算法则是解题的关键．3.若∠AOC=110°，OB在∠AOC内部，OM、ON分别平分∠AOC和∠AOB，若∠MON=23°，则∠AOB度数为()．A.43.5°B.46°C.64°D.87°【答案】C【分析】首先根据∠AOC的度数和OM平分∠AOC求出∠AOM的度数，然后可求出∠AON的度数，最后根据ON平分∠AOB即可求出∠AOB的度数．【详解】如图所示，∵∠AOC=110°，OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC=55°，∴∠AON=∠AOM-∠MON=55°-23°=32°，∵ON平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AON=64°．故选：C．【点睛】此题考查了角平分线的概念和求角度问题，解题的关键是根据角平分线的概念求出∠AOM 的度数．4.如图，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线，则∠MON的度数为()A.90ºB.135ºC.150ºD.120º【答案】B【分析】根据条件可求出∠COD的度数，利用角平分线的性质可求出∠MOC与∠DON的度数，最后根据∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON即可求出答案．【详解】∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∴∠COD=180°-∠AOC-∠COD=90°，∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∴∠MOC=12AOC=15°,∠DON=12∠BOD=30°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=135°∴选B【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义．熟练掌握角平分线的定义是解答关键.5.如图，OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，∠AOB=84°.(1)∠MON=_____；(2)当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值____改变．(填“会”或“不会”)【答案】42°不会【分析】根据角平分线的定义求解即可．【详解】①∵OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线,∠AOB=84°，∴∠MON=(∠AOC+∠BOC)÷2=84°÷2=42°.②当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值不会改变.故答案为42°、不会.【点睛】本题较为简单，主要考查了角平分线的定义，牢牢掌握角平分线的定义是解答本题的关键. 6.如图，OB在∠AOC的内部，已知OM是∠AOC的平分线，ON平分∠BOC，若∠AOC=120°，∠BOC=40°36 ，则∠MON=______．【答案】39°42【分析】利用角平分线的定义分别求出∠MOC 和∠NOC ，则∠MOC -∠NOC 即可求得结论．【详解】解：∵OM 是∠AOC 的平分线，∵∠MOC =12∠AOC =12×120°=60°，∵ON 平分∠BOC ，∴∠NOC =12∠BOC =12×40°36 =20°18 ，∴∠MON =∠MOC -∠NOC =39°42 ．故答案为：39°42 ．【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义．熟练应用角平分线的定义是解题的关键．7.如图，已知∠AOB =90°，OE 平分∠AOB ，∠EOF =60°，OF 平分∠BOC ．求∠BOC 和∠AOC 的度数．【答案】∠BOC 和∠AOC 的度数分别为30°，120°【分析】根据角平分线的定义得到∠BOE =12∠AOB =45°，∠BOC =2∠BOF ，再计算出∠BOF =∠EOF -∠BOE =15°，然后根据∠BOC =2∠BOF ，∠AOC =∠BOC +∠AOB 进行计算．【详解】解：∵OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，∴∠BOE =12∠AOB =45°，∠BOC =2∠BOF ，∵∠BOF =∠EOF -∠BOE =60°-45°=15°，∴∠BOC =2∠BOF =30°，∠AOC =∠BOC +∠AOB =30°+90°=120°．即∠BOC 和∠AOC 的度数分别为30°，120°．【点睛】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确应用角平分线的定义是解题关键．8.如图，OC 在∠AOB 外部，OM 和ON 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线．若∠AOB =100°,∠BOC =60°，求∠MON 的度数．【答案】50°【分析】利用角平分线平分角，以及大角等于小角加小角，小角等于大角减小角，进行角度的转化计算即可．【详解】解：∵∠AOB=100°,∠BOC=60°．∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=160°．∵OM平分∠AOC,ON平分∠BOC，∴∠COM=80°,∠CON=30°，∴∠MON=∠COM-∠CON=50°．【点睛】本题考查角度的计算．熟练掌握角平分线平分角，是解题的关键．9.如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．【答案】120°，30°【分析】先根据角平分线，求得∠BOE的度数，再根据角的和差关系，求得∠BOF的度数，最后根据角平分线，求得∠BOC、∠AOC的度数．【详解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠BOE=∠AOB=45°，又∵∠EOF=60°，∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=15°，又∵OF平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOF=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，故∠AOC=120°，∠COB=30°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键，注意：也可以根据∠AOC 的度数是∠EOF 度数的2倍进行求解．10.如图所示，∠AOB =100°，OC 是∠AOB 内部的一条射线，射线OM 平分∠AOC ，射线ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．解：因为射线，分别平分∠和∠，所以∠NOB =∠NOC =∠BOC ，∠AOM =∠COM =∠AOC ，所以∠MON =∠+∠===°【答案】OM ；ON ；AOC ；BOC ；12；12；CON ；COM ；12∠BOC +∠AOC ；12∠AOB ；50【分析】根据射线OM ，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，可得∠NOB =∠NOC =12∠BOC ，∠AOM =∠COM =12∠AOC ，从而得到∠MON =12∠BOC +∠AOC ，即可求解．【详解】解：因为射线OM ，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠NOB =∠NOC =12∠BOC ，∠AOM =∠COM =12∠AOC ，所以∠MON =∠CON +∠COM =12∠BOC +∠AOC =12∠AOB =50°．故答案为：OM ；ON ；AOC ；BOC ；12；12；CON ；COM ；12(∠BOC +∠AOC )；12∠AOB ；50【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，解决本题的关键是根据题意得到∠MON =12∠BOC +∠AOC ．【提高测试】1.如图，∠AOB =α,∠BOC =β,OM ,ON 分别平分∠AOB ，∠COB ,OH 平分∠AOC ，下列结论:①∠MON =∠HOC ；②2∠MOH =∠AOH -∠BOH ；③2∠MON =∠AOC +∠BOH ；④2∠NOH =∠COH +∠BOH .其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据角平分线的性质得出∠BOM=∠AOM=12∠AOB，∠BON=∠CON=12∠COB，∠COH=∠AOH=12∠AOC，再根据角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案.【详解】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，OH平分∠AOC∴∠BOM=∠AOM=12∠AOB，∠BON=∠CON=12∠COB，∠COH=∠AOH=12∠AOC∴∠MON=12∠AOC，∠HOC=12∠AOC∴∠MON=∠HOC，故①正确；2∠MOH=2(∠BOM-∠BOH)=2∠BOM-2∠BOH=∠AOB-∠BOH-∠BOH=∠AOH-∠BOH，故②正确；2∠MON=2(∠NOB+∠BOH+∠MOH)=∠AOC≠∠AOC+∠BOH，故③正确；2∠NOH=2∠NOB+2∠BOH=∠BOC+2∠BOH=∠COH+∠BOH，故④正确；故答案选择C.【点睛】本题考查的是角平分线的性质，难度适中，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键.2.如图所示，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON=m°，∠BOC=n°，则∠AOD的度数为()A.m+n° B.m+2n° C.2m-n° D.2m+n°【答案】C【分析】由∠MON-∠BOC求出∠CON+∠BOM的度数，根据OM，ON分别为角平分线，得到两对角相等，进而确定出∠COD+∠AOB度数，根据∠COD+∠BOC+∠AOB即可求出∠AOD的度数．【详解】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠CON=∠DON，∠BOM=∠AOM，∵∠CON+∠BOM=∠MON-∠BOC=(m-n)°，∴∠COD+∠AOB=2(∠CON+∠BOM)=2(m-n)°，则∠AOD=∠COD+∠AOB+∠BOC=(2m-2n+n)°=(2m-n)°．故选C．【点睛】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．3.如图，∠AOC和∠BOC互补，∠AOB=α，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠MON的度数是()A.180°-2αB.12a C.90°+12a D.90°-12a【答案】B【分析】先根据已知得∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC-∠BOC=∠AOB=α，相加可求出∠AOC，根据角平分线定义求出∠AOM和∠NOC的和，相减即可求出答案．【详解】解：∵∠AOC和∠BOC互补，∴∠AOC+∠BOC=180°①，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠AOM=12∠AOC，∠CON=12∠BOC，∴∠AOM+∠CON=90°，∵∠AOB=α，∴∠AOC-∠BOC=∠AOB=α②，①+②得：2∠AOC=180°+α，∴∠AOC=90°+12α，∴∠MON=∠AOC-∠AOM-∠CON=90°+12-90°=12α．故选B．【点睛】本题考查角平分线的定义，角的有关计算的应用，解题的关键是求出∠AOC的大小．4.已知∠AOB=20°，∠AOC=70°，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是____．【答案】45°或25°(25°或45°)【分析】分①OB在∠AOC的外部，②OB在∠AOC的内部两种情况，利用角平分线的定义、角的和差进行求解即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：①如图，当OB在∠AOC的外部时，∵OD 平分∠AOB ，且∠AOB =20°，∴∠AOD =12∠AOB =10°，同理可得：∠AOM =12∠AOC =35°，则∠MOD =∠AOD +∠AOM =45°；②如图，当OB 在∠AOC 的内部时，同理可得：∠AOD =12∠AOB =10°，∠AOM =12∠AOC =35°，则∠MOD =∠AOM -∠AOD =25°；综上，∠MOD 的度数是45°或25°，故答案为：45°或25°．【点睛】本题考查了与角平分线有关的计算，正确分两种情况讨论是解题关键．5.已知∠AOB =40°，过O 作射线OC ，使∠COB =60°，若射线OD 是∠COA 的平分线，则∠DOA 的度数是________．【答案】50°或10°【分析】可分两种情况：当∠BOC 与∠AOB 在OB 的同侧时；当∠BOC 与∠AOB 在OB 的异侧时，根据角的和差可求解∠AOC 的度数，再利用角平分线的定义可求解∠DOA 的度数．【详解】解：当∠BOC 与∠AOB 在OB 的同侧时，∵∠BOC =60°，∠AOB =40°，∴∠AOC =∠BOC -∠AOB =60°-40°=20°，∵OD 平分∠AOC ，∴∠DOA =12∠AOC =10°；当∠BOC 与∠AOB 在OB 的异侧时，∵∠BOC =60°，∠AOB =40°，∴∠AOC =∠BOC +∠AOB =60°+40°=100°，∵OD 平分∠AOC ，∴∠DOA =12∠AOC =50°，综上，∠DOA 的度数为50°或10°．故答案为：50°或10°．【点睛】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，理解题意，分类讨论是解题的关键．6.如图，已知射线OC 在∠AOB 内部，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，OF 平分∠AOB ，现给出以下4个结论：①∠DOE =∠AOF ；②2∠DOF =∠AOF -∠COF ；③∠AOD =∠BOC ；④∠EOF =12∠COF +∠BOF 其中正确的结论有(填写所有正确结论的序号)______．【答案】①②④【分析】①根据OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，得出∠AOD=∠COD=1 2∠AOC，∠BOE=∠COE=12∠BOC，∠AOF=∠BOF=12∠AOB，求出∠DOE=12∠AOB，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠AOF-∠COF=∠BOF-∠COF=∠BOC，即可得出结论；③无法证明∠AOD=∠BOC；④根据∠DOF=12∠BOC=∠COE，得出∠EOF=∠COD，∠COF+∠BOF=2∠COD，即可得出结论．【详解】解：①∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OF平分∠AOB，∴∠AOD=∠COD=12∠AOC，∠BOE=∠COE=12∠BOC，∠AOF=∠BOF=12∠AOB，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB，∴∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE=12∠AOB，即∠DOE=12∠AOB，∴∠DOE=∠AOF，故①正确；②∵∠DOF=∠DOE-∠EOF=12∠AOB-∠COF+12∠BOC=12∠AOB-∠COF-12∠BOC=12∠AOB-∠BOF-∠BOC-12∠BOC=12∠AOB-12∠AOB-∠BOC-12∠BOC=12∠AOB-12∠AOB+∠BOC-12∠BOC=12∠BOC ∠AOF -∠COF =∠BOF -∠COF =∠BOC ，∴2∠DOF =∠AOF -∠COF ，故②正确；③∠AOD 与∠BOC 不一定相等，故③错误；④根据解析②可知，∠DOF =12∠BOC =∠COE ，∴∠EOF =∠EOC +∠COF =∠COF +∠DOF =∠COD ，∵∠COF +∠BOF =∠COF +∠AOF =∠AOC =2∠COD ，∴∠EOF =12∠COF +∠BOF ，故④正确；综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出∠DOF =12∠BOC =∠COE ，是解题的关键．7.(1)如图，已知AD =12DB ，E 是BC 的中点，BE =15AC =3cm ．①BC =______；②求DE 的长．(2)如图，O 为直线AB 上的一点，∠AOC =48°,OD 平分∠AOC ,∠DOE =90°．①∠BOD =______°；②OE 是∠BOC 的平分线吗？为什么？【答案】(1)①6cm ；②9cm ；(2)①156°；②OE 是∠BOC 的平分线，理由见解析【分析】(1)①根据E 是BC 的中点，可得BC =2BE =6cm ；②根据BE =15AC =3cm ，可得AC =5BE =15cm ，从而得到AB =AC -BC =9cm ，再由AD =12DB ，可得DB =23AB =6cm ，即可求解；(2)①根据∠AOC =48°,OD 平分∠AOC ，可得∠1=∠2=12∠AOC =24°，再由邻补角的性质，即可求解；②根据∠DOE =90°，可得∠3=90°-∠2=66°，再求出∠4的度数，即可求解．【详解】解：(1)①∵BE=3cm，E是BC的中点，∴BC=2BE=6cm；故答案为：6cm②∵BE=15AC=3cm，∴AC=5BE=15cm，∴AB=AC-BC=9cm，∵AD=12DB，∴DB=23AB=6cm，∴DE=DB+BE=9cm；(2)①∵∠AOC=48°,OD平分∠AOC，∴∠1=∠2=12∠AOC=24°，∴∠BOD=180°-∠1=156°；故答案为：156°②OE是∠BOC的平分线，理由如下：∵∠DOE=90°，∠2=24°，∴∠3=90°-∠2=66°，∵∠4=180°-∠AOC-∠3=180°-48°-66°=66°，∴∠3=∠4，即OE是∠BOC的平分线．【点睛】本题主要考查了线段的和与差，有关角平分线的计算，邻补角的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．8.已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线.(1)如图1，OC是∠AOB外部的一条射线，若∠AOC=40°，∠BOE=130°，求∠AOD的度数；(2)如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，若∠DOC=20°，∠AOE=25°，求∠BOC的度数.【答案】(1)∠AOD=55°,(2)∠BOC=90°【分析】(1)先根据角平分线的定义求出∠AOE=20°，再求出∠BOA=130°-20°=110°，最后求出∠AOD=55°即可；(2)先根据OE是∠AOC的平分线，∠AOE=25°，求出∠AOC=2∠AOE=50°，求出∠AOD=∠AOC+∠DOC=50°+20°=70°，再根据角平分线定义求出∠AOB=2∠AOD=140°，即可得出答案．【详解】(1)解：∵OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的平分线，∴∠AOD=12∠AOB，∠AOE=12∠AOC.∵∠AOC=40°，∠BOE=130°，∴∠AOE=20°，∴∠BOA=130°-20°=110°，∴∠AOD=55°．(2)解：∵OE是∠AOC的平分线，∠AOE=25°，∴∠AOC=2∠AOE=50°.∴∠AOD=∠AOC+∠DOC=50°+20°=70°.∵OD是∠AOB的角平分线，∴∠AOB=2∠AOD=140°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=140°-50°=90°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，注意数形结合．9.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠EOC的平分线．(1)如果∠AOD=76°，∠BOC=18°，则∠DOE的度数为 ；(2)如果∠BOD=54°，求∠AOE的度数．【答案】(1)40°，(2)108°【分析】(1)利用角平分线的定义解答即可；(2)利用角平分线的定义易求∠AOE=2∠BOD．【详解】(1)解：∵∠AOD=76°，∠BOC=18°，∴∠DOC+∠AOB=76°-18°=58°，∵OB是∠AOC的平分线，∴∠BOC=∠AOB=18°，∴∠DOC=58°-18°=40°，∵OD是∠EOC平分线，∴∠DOE=∠COD=40°，故答案为：40°；(2)∵OB平分∠AOC，OD平分∠EOC，∴∠AOC=2∠BOC，∠COE=2∠COD，∵∠BOC+∠COD=∠BOD=54°，∵∠AOE=∠AOC+∠COE，∴∠AOE=2∠BOC+∠COD=2∠BOD=108°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题时，实际上是根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．10.己知∠AOB=90°，(1)如图1，OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，若∠EOD=56°，则∠DOC是__________°；(2)如图2，OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，若∠DOC=30°，求∠EOD的度数．(3)若OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC，∠DOC=α0°<α<180°，则∠EOD的度数是____ ______(直接填空)．【答案】(1)11，(2)∠EOD=45°，(3)45°或135°【分析】(1)根据角平分线的性质求出∠AOC的度数，进而求出∠BOC的度数，最后根据角平分线的概念计算求解即可；(2)首先求出∠BOC=60°，进而求出∠AOC=150°，然后根据角平分线的概念求出∠EOC=75°，最后根据角的和差关系求解即可；(3)分析两种情况讨论，计算方法同(2)．【详解】(1)∵OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∴∠AOB=2∠EOB,∠BOC=2∠BOD，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠EOB+∠BOD=112°∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=22°，∵OD平分∠BOC，∠BOC=11°；∴∠DOC=12(2)∵OD 平分∠BOC ，∠DOC =30°，∴∠BOC =2∠DOC =60°，∵∠AOB =90°，∴∠AOC =∠AOB +∠BOC =150°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠EOC =12∠AOC =75°，∴∠EOD =∠EOC -∠DOC =45°；(3)①若OE 或OD 至少有一个在∠AOB 内部时，如图，则∠EOD =∠EOC -∠COD=12∠AOC -12∠BOC =12(∠AOB +∠BOC )-12∠BOC =45°；②若OE 和OD 都在∠AOB 外部时，如图，则∠EOD =12(∠AOC +∠BOC )=12(360°-∠AOB )=12(360°-90°)=135°，综上∠EOD 的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，难点在第三小题要根据α的取值范围分情况讨论．11.如图，已知点A 、O 、B 在一条直线上，∠COD =90°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，求∠EOF 的度数．【答案】135°【分析】直接利用角平分线的定义得出∠COE +∠DOF =12×90°=45°，进而得出答案．【详解】解：∵点A 、O 、B 在一条直线上，∠COD =90°，∴∠AOC +∠BOD =90°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=∠COE=1∠AOC，2∠DOB，∠DOF=∠BOF=12×90°=45°，∴∠COE+∠DOF=12∴∠EOF的度数为：90°+45°=135°．【点睛】此题主要考查了角的计算以及角平分线的定义，正确得出∠COE+∠DOF=45°是解题关键．12.如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∠2：∠1=4：1．(1)求∠AOF的度数．(2)判断OE与OF的位置关系并说明理由．【答案】(1)108°；(2)OE⊥OF，理由见解析【分析】(1)设∠1=x°，则∠2=4x°，求出∠BOD=2∠1=2x°，∠BOC=2∠2=8x°，根据∠BOC+∠BOD=180°，求出x=18，代入∠AOF=∠AOC+∠COF求出即可．(2)根据(1)的结论得出∠EOF=180°-∠1+∠2=90°，即可求解．(1)解：设∠1=x°，则∠2=4x°，∵OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，∴∠BOD=2∠1=2x°，∠BOC=2∠2=8x°∵∠BOC+∠BOD=180°，∴8x+2x=180，∴x=18，∴∠AOC=∠DOB=2x=36°，∠1=18°，∠2=72°，∴∠AOF=∠AOC+∠2=36°+72°=108°．(2)由(1)可得∠1=18°，∠2=72°，∴∠EOF=180°-∠1+∠2=90°,∴OE⊥OF．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．。
(双)角平分线模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(人教版)(解析版)
重难点：（双）角平分线模型【知识梳理】（双）角平分线模型1.双内角平分线2.双外角平分线3.内角平分线+外角平分线三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.【考点剖析】题型1.双内角平分线例1.如图，△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝70°，则∠BOC＝度．【解答】解：如图，延长AO交于BC于点D，∵∠B和∠C的平分线交于点O∴∠ACB＝2∠2，∠ABC＝2∠1，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∴2∠1+2∠2+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠BAC）÷2＝（180°﹣70°）÷2＝55°．∵∠BOD＝∠1+∠BAO，∠DOC＝∠2+∠OAC，又∵∠BAO+∠CAO＝∠BAC，∠BOD+∠COD＝∠BOC，∴∠BOC＝∠1+∠2+∠BAC＝55°+70°＝125°．故答案为：125．例2．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝°；（2BPC＝（用含∠A的式子表示），并说明理由．【解答】解：（1）∵∠A＝68°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，故答案为：124°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A故答案为：90°+∠A．例3.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件求∠BIC的度数，（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BIC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠BIC＝；（3）若∠A＝56°，则∠BIC＝；（4）若∠BIC＝100°，则∠A＝；（5）通过以上计算，探索出您所发现规律：∠A与∠BIC之间的数量关系是．【解答】解：（1）∠ICB＝＝40°＝25°∠CIB＝180°﹣40°﹣25°＝115°；（2）∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝58°，∠CIB＝180°﹣58°＝122°；（3）∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝112°，∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝56°，∠CIB＝180°﹣56°＝118°；（4）∠ICB+∠IBC＝180°﹣∠CIB＝80°，∠ABC+∠ACB＝2（∠ICB+∠IBC）＝160°，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝20°；（5）∠BIC＝180°﹣（∠ICB+∠IBC）而∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）；∠ABC+∠ACB＝180﹣∠A所以∠BIC＝180°﹣（180﹣∠A）＝90°+∠A．例4．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠ABC＝40°、∠ACB＝50°，则∠BOC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠BOC＝；（3）若∠A＝76°，则∠BOC＝；（4）若∠BOC＝120°，则∠A＝；（5）请写出∠A与∠BOC之间的数量关系（不必写出理由）．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），（1）当∠ABC＝40°、∠ACB＝50°时，∠OBC+∠OCB＝×（40°+50°）＝45°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝135°．故答案是：135°；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，则∠OBC+∠OCB＝×116°＝58°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝122°．故答案是：122°；（3）在△ABC中，∠A＝76°，则∠ABC+∠ACB＝180°﹣76°＝104°．∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝52°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝128°．故答案是：128°；（4）若∠BOC＝120°，则∠OBC+∠OCB＝60°，∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝120°，∴在△ABC中，∠A＝180°﹣120°＝60°．故填：60°；（5）设∠BOC＝α，∴∠OBC+OCB＝180°﹣α，∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+OCB）＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，∴∠A＝180°﹣（ABC+∠ACB）＝180°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣180°，故∠BOC与∠A之间的数量关系是：∠A＝2∠BOC﹣180°．故答案是：∠A＝2∠BOC﹣180°．题型2.双外角平分线例5.（1）如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°求∠BOC的度数．（2）如图（2），△A′B′C′外角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数．（3）由（1）、（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的数量关系？这个结论你是怎样得到的？【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；（2）因为∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，根据三角形的外角和等于360°，所以∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC与∠B′O′C′互补；证明：当∠A＝n°时，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°，∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°﹣n°，∴∠A+∠A′＝90°+n°+90°﹣°＝180°，∠BOC与∠B′O′C′互补，∴当∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′还具有互补的关系．例6.（2022秋·八年级课时练习）如图1，△ABC的外角平分线交于点F．（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为；（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A 与α+β的数量关系是；（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【答案】（1）70°（2）190 2Aαβ+−∠=︒（3）①见解析②不成立；190 2Aβα−−∠=︒或1902Aαβ−−∠=︒【详解】解：（1）如图1，∵∠A，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB＝12（∠DBC+∠ECB）＝12×220°＝110°，∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°；（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分线交于点F，∴∠FBC+∠FCB＝12（∠DBC+∠ECB）＝12×（180°+∠A）＝90°+12∠A ，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+12∠A ）＝90°﹣12∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣12∠A＝180°，即α+β﹣12∠A＝90°，故答案为：α+β﹣12∠A＝90°；（3）①α+β﹣12∠A＝90°，理由如下：如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣12∠A＝180°，即α+β﹣12∠A＝90°，②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．分两种情况：如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°﹣12∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α﹣12∠A＝90°；如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣12∠A，∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°﹣12∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β﹣12∠A＝90°；综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣12∠A＝90°或α﹣β﹣12∠A＝90°．题型3.内角平分线+外角平分线例7．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014，得∠A2014CD，则∠A2014＝．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此类推可知∠A2014＝∠A＝°．故答案为：°．例8.（2021秋•利辛县月考）（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【过关检测】一．选择题（共8小题）1．（2022春•振兴区校级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC 三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，利用角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，然后根据三角形面积公式得到S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC．【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，∵点O是△ABC三条角平分线的交点，∴OD＝OE＝OF，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB•OD）：（OE•BC）：（OF•AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4：5．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积公式．2．（2022秋•黄冈期中）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC 等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．故选：B．【点评】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．3．（2022秋•上杭县校级期末）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，则∠A的度数为（）A．60°B．80°C．70°D．45°【分析】根据BF平分∠ABC可得，∠FBC＝∠ABC，同理，然后根据∠BFC＝125°，利用三角形内角和可得∠∠FBC+∠FCB＝55°，从而得到∠ABC+∠ACB＝110°，再根据三角形内角和得到∠A＝70°．【解答】解：在△FBC中，∠BFC＝125°．∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝55°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB．∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB．∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝110°．∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．4．（2022秋•西陵区校级期中）如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．3：4：5D．2：3：4【分析】过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，根据角平分线的性质可知：OD＝OE ＝OF，利用三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，∵△ABC的三条角平分线交于点O，∴OD＝OE＝OF，在△ABC中，AB＝9，BC＝12，AC＝15，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB•DO：BC•EO：AC•OF＝AB：BC：AC＝9：12：15＝3：4：5，故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得OD＝OE＝OF 是解题的关键．5．（2021秋•冷水滩区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∠A＝40°，则∠BDC的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°第6题图【分析】在△ABC中，求得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，根据∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，求得∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中根据三角形内角和定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣70°＝110°．故选：A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练应用三角形内角和定理是解题的关键．6．（2021秋•新兴县期中）如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，则∠A的度数是（）A．40°B．90°C．100°D．140°【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°﹣80°＝100°，故选：C．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．7．（2022•峨边县模拟）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（）A．12B．13C．14D．15【分析】根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝14，∴△AEF的周长为：14，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．8．（2022秋•东光县校级月考）如图，D是△ABC的角平分线BD和CD的交点，过点D作△BCD的高，交BC于点E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，则∠DBE的度数为（）A．30°B．35°C．20°D．25°【分析】利用三角形的内角和定理先求出∠BCD，再求出∠ABC，通过角平分线的定义得结论．【解答】解：∵DE⊥BC∴∠CED＝90°．∴∠DCB+∠CDE＝90°．∵∠CDE＝65°，∴∠BCD＝25°∵BD、CD分别是∠CBA、∠BCA的平分线，∴∠CBA＝2∠CBD，∠BCA＝2∠BCD＝50°．∵∠A+∠CBA+∠BCA＝180°，∠A＝70°，∴∠CBA+∠BCA＝110°．∴∠CBA＝110°﹣50°＝60°．∴∠DBE＝∠DBC＝30°．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线的定义，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的定义是解决本题的关键．二．填空题（共6小题）9．（2021秋•岷县期中）如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB，AC 于点E，F．当EF＝6，CF＝4时，BE的长为．【分析】利用平行和角平分线得到BE＝OE，OF＝CF，可得出结论EF＝BE+CF，由此即可求得BE的长．【解答】解：如图，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO；∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴BE＝OE；同理可证CF＝OF，∴EF＝BE+CF，∵EF＝6，CF＝4，∴OE＝EF﹣OF＝EF﹣C＝2，∴BE＝OE＝2，故答案为2．BE＝EO，CF＝OF是解题的关键．10．（2022秋•安陆市期中）如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为．【分析】①先根据角平分线的性质得出∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；②根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H可得出∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH，再由EF∥BC可知∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，故可得出BE＝EH，HF＝CF，由此可得出结论；③根据三角形内心的性质即可得出结论；④根据已知条件可以得到△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性质即可解决问题．【解答】解，①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①错误；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH．∵EF∥BC，∴∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，∴∠EBH＝∠EHB，∠FCH＝∠CHF，∴BE＝EH，HF＝CF，∴EF＝EH+HF＝BE+CF，∴EF﹣BE＝CF，故②正确；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点H，∴点H是△ABC的内心，∴点H到△ABC各边的距离相等，故③正确；④若B，H，D三点共线时，则BD⊥AC，且BD平分∠ABC，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝AC，∴△ABC一定为等腰三角形，故④正确．故答案为：②③④；【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．11．（2022秋•武昌区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于D，OE⊥OB交BC于E，BC＝4，AC＝3，AB＝5，则△CDE的周长为2．【分析】延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N，根据ASA定理可得△BOE≌△BON，△AOD≌△AOM，再由SAS定理得出△EOD≌△NOM，由全等三角形的对应边相等可得出结论．【解答】解：延长DO交AB于点M，延长EO交AB于点N∵OB是∠ABC的平分线，∴∠OBE＝∠OBN．∵OE⊥OB，∴∠BOE＝∠BON＝90°．在△BOE与△BON中，，∴△BOE≌△BON（ASA）．同理可得，△AOD≌△AOM，∴OE＝ON，OD＝OM，BE＝BN，AD＝AM．在△EOD与△NOM中，，∴△EOD≌△NOM（SAS），∴DE＝MN．∴CE+CD+DE＝BC﹣BE+AC﹣AD+MN＝BC﹣（BM+MN）+AC﹣（AN+MN）+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN﹣MN+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN＝BC﹣（BM+MN+AN）+AC＝BC+AC﹣AB＝4+3﹣5＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．12．（2021秋•道里区期末）如图，在△ABC中，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点D，且EF∥BC，若BE＝3，CF＝4，则EF的长为．【分析】根据角平分线与平行两个条件，可证出等腰三角下即可解答．【解答】解：∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED＝3，FD＝FC＝4，∴EF＝ED+DF＝3+4＝7，故答案为：7．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线与平行两个条件，可以证明等腰三角形是解题的关键．13．（2022秋•长兴县月考）如图，在△ABC中，∠A＝64°，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC ＝°．【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再利用角平分线的定义求出∠OBC与∠OCB 的和，最后利用三角形的内角和定理求出∠O．【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝64°，∴∠ABC+∠ACB＝116°．∵OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB．∴∠OBC+∠OCB＝ABC+ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝58°．∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠O＝180°﹣58°＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了角平分线的定义及三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”及角平分线的定义是解决本题的关键．14．（2021秋•天山区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2008BC的平分线与∠A2008CD 的平分线交于点A2009，得∠A2009，则∠A2009＝．【分析】读懂题意，根据角平分线的定义找规律，按规律作答．利用外角的平分线表示∠ACA1，再根据角平分线和三角形内角和定理求出∠A1等于∠A的一半，同理，可以此类推，后一个是前一个的一半，而2的次数与脚码相同．【解答】解：∵∠ACA1＝∠A1CD＝∠ACD＝（∠A+∠ABC），又∵∠ABA1＝∠A1BD＝∠ABD，∠A1CD＝∠A1BD+∠A1，∴∠A1＝∠A＝α．同理∠A2＝∠A1，…即每次作图后，角度变为原来的．故∠A2009＝．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发三．解答题（共8小题）15．（2021秋•呼和浩特期中）（1）如图1，在△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，直接写出EF和BE、CF的数量关系．（2）如图2，若将（1）中的“BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB”改为“BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他条件不变，则EF与BE、CF的关系又如何？请说明理由．【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．【解答】解：（1）EF＝BE+CF．理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝BE+CF．（2）EF＝BE﹣CF，理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，关键是推出BE＝OE，CF ＝OF．16．（2022秋•新乡期末）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝；（2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，即可得出答案；（2）与（1）同理可证．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠BCO，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，∴EF＝EO+FO＝8，故答案为：8；（2）EF＝BE﹣CF，理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得FO＝FC，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键．17．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝°；（2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC＝（用含∠A的式子表示），并说明理由．【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB＝112°，再由角平分线定义得：∠PBC+∠PCB＝56°，从而得出∠BPC的度数；（2）与（1）同理可得：∠BPC＝90°+∠A．【解答】解：（1）∵∠A＝68°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，故答案为：124°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A故答案为：90°+∠A．【点评】本题主要考查了内角平分线和外角平分线的定义，与三角形内角和相结合，得出内角平分线的夹角18．（2021秋•双台子区校级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O 作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：．（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．【分析】（1）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可；（2）利用角平分线与平行线证明△BEO和△CFO是等腰三角形即可．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴EB＝EO，FC＝FO，∵EF＝EO+FO，∴EF＝EB+FC，故答案为：EF＝EB+FC；（2）EF＝BE﹣CF，理由是：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EBO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得：FO＝CF，∵EF＝EO﹣FO，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键．19．（2023春•永春县期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与直线CD交于点G（不与点C重合）．（1）如图，点E在线段AD上运动，若∠B＝50°，∠ACB＝30°，求∠EGC的度数；（2）若点E在线段DB的延长线上时，设∠A＝α，求∠EGC的度数（答案可用含α的代数式表示）．【分析】（1）由角平分线的性质及平行线的性质可得：∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，再利用三角形的外角可得结果；（2）先求得∠EGD＝90°﹣α，再由平角可得∠EGC．【解答】解：（1）EF∥BC，∴∠B＝∠FEB＝50°，∠EFD＝∠BCD，∵CF是∠ACB的平分线，EG是∠FED的平分线，∴∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，∴∠EGC＝∠FEG+∠EFG＝45°，（2）当点E在射线DB上时，如图，∵∠EGD＝∠FEG+∠EFG＝（∠FED+∠ACB）＝（∠ACB+∠B）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，∴∠EGC＝180°﹣∠EGD＝180°﹣90°+∠α＝90°+∠α．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．20．（2022秋•东昌府区校级期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB 于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；（2）利用（1）的方法解答即可；（3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定△BEO和△CFO为等腰三角形，利用线段和差的关系可得结论．【解答】解：（1）EF与BE、CF之间的关系为：EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．（2）第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在，即EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．∴第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在．（3）图中还存在等腰三角形△BEO和△CFO，此时EF＝BE﹣CF，理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．∴△BEO是等腰三角形，同理可证△CFO是等腰三角形，∵BE＝EO，OF＝FC∴BE＝EF+FO＝EF+CF，∴EF＝BE﹣CF．【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键．21．（2022秋•滨海新区期中）（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义得出∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，根据三角形内角和定理得出∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC），再求出答案即可；（2）根据三角形外角性质得出∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P＝∠PCE﹣∠PBC，根据角平分线的定义得出，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于180°和角平分线的定义是解此题的关键．22．（2021秋•北流市校级月考）已知：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O．求证：∠BOC＝90°+∠A．【分析】根据角平分线的定义可得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证．【解答】证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，即：∠BOC＝90°+∠A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键。
中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(二)非全等类
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型） 【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）4231DAEFCB4321DACBMA．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE+CD=AC，证明见解析【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO∠∠AMO，△DCO∠∠NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．（1）证明：∠∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∠∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∠∠OAC=1 2∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∠∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°-∠ABC）=90°-12∠ABC，∠∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-12∠ABC），即∠AOC=90°+12∠ABC；（2）解：43AE+CD=AC，证明：如图2，∠∠AOC=90°+12∠ABC=135°，∠∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在∠AEO和∠AMO中，AE AMEAO MAOAO AO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AEO∠∠AMO，同理∠DCO∠∠NCO，∠∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∠∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∠∠MON=∠MOA=45°，过M作MK∠AD于K，ML∠ON于L，∠MK=ML，S△AOM=12AO×MK，S△MON=12ON×ML，∠AOMMONSAOON S∆∆=，∠AOMMONS AMS MN∆∆=，∠AO AMON MN=，∠AO=3OD，∠31 AOOD=，∠31 AO AMON MN==，∠AN=43AM=43AE，∠AN+NC=AC，∠43AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=1 2∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12ᵯ；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．【答案】(1)120°，30°，60°(2)见解析(3)70°【分析】（1）由∠A的度数，在∠ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；（2）由∠A的度数，在∠ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．（1）①在图1中：∠BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∠∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB∠∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠BAC）=12（180°-60°）=60°∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=120°；②在图2中：∠BO平分∠ABC，CO平分∠ACD∠∠OBC=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD∠∠ACD=∠ABC+∠A∠∠OCD=12（∠ABC+∠A）∠∠OCD=∠OBC+∠O∠∠O=∠OCD-∠OBC=12∠ABC+12∠A-12∠ABC=12∠A=30°．③在图3中：∠BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∠∠OBC=12∠EBC，∠OCB=12∠BCD∠∠OBC+∠OCB=12（∠EBC+∠BCD）=12（∠A+∠ACB+∠BCD）=12（∠A+180°）=12（60°+180°）=120°∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=60°．故答案为：120°，30°，60°．（2）证明：∠OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ， ∠∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∠O =180°-（∠OBC +∠OCB ）=180°-12（∠ABC +∠ACB ）=180°-12（180°-∠A ）=90°+12∠A ．（3）设∠ABO 2=∠O 2BO 1=∠O 1BC =α，∠ACO 2=∠BCO 2=β， ∠2α+β=180°-115°=65°，α+β=180°-135°=45°解得：α=20°，β=25° ∠∠ABC +∠ACB =3α+2β=60°+50°=110°，∠∠A =70°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线） 【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
2021年中考数学复习讲义：第三章 三角形 模型(十)——双角平分线模型
∴∠BOC= ∠A
（3）∠BOC=90°- ∠A
1.（★★★☆☆）如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，若∠A=60°，则∠BFC等于（）
A.121°B. 120°C.119°D. 118°
2.（★★★☆☆）如图，五边形ABCDE在∠BCD，∠EDC处的外角分别是∠FCD，∠GDC，CP，DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P.若∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°，则∠CPD=_________。
【答案】
【解析】∵BA1，为△ABC的内角平分线，CA1为△ABC的外角平分线，
由“内外就一半”得，∠A₁= ∠A= ·α
同理，∠A₂= ∠A₁= ·α
∠A₃= ∠A₂= ·α
……
∠A2020=
典例3☆☆☆☆☆
【问题】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，
则∠BEC=________；若∠A=n°，则∠BEC=___________。
【探究】（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=nº，则∠BEC=_________。
⑵如图3，O是∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系，并说明理由；
⑶如图4，O是△ABC的外角∠DBC与∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系?（只写结论不需要证明）
第三章.三角形
模型（十）——双角平分线模型
【结论1】如图BI，CI是∠ABC与∠ACB的平分线，∠BIC=90º＋ ∠A
【结论2】如图BP，CP是∠DBC与∠ECB的平分线，∠BPC=90º- ∠A
中考必会几何模型：线段(双中点)、角(双角平分线)模型
线段（双中点）、角（双角平分线）模型线段（双中点）模型讲解【口诀】字母去重，线段留半 【结论1】已知点B 在线段AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 【答案】9；4；5；9；4；5或13【结论2】已知点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点， ∴CM= 12AC ，CN= 12BC,∴MN=CM+CN= 12AC+ 12BC= 12(AC+BC)= 12AB.【结论3】已知点C 是线段AB 延长线上一点，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M.N 分别是AC ，BC 的中点， ∴MC= 12AC ，NC= 12BC ，∴MN=MC-NC= 12AC- 12BC= 12(AC-BC)= 12AB.拓展已知点C 是线段BA 延长线上一点，点M ，N 分别是AC.BC 的中点，则MN= 12AB.无论线段之间的和差关系怎样变，MN 的长度只与AB 有美，即MN= 12AB.典型例题典例1如图，点C 是线段AB 上一点，AC ＜CB ，M ，N 分别是AB 和CB 的中点，AC=8，NB=5，则线段MN=___________.典例2如图，已知点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点.(1)若AB=20,BC=8.求MN的长；(2)若AB= a,BC=8.求MN的长；(3)若AB= a,BC= b.求MN的长；(4)从(1) (2) (3)的结果中能得到什么结论?典例3如图，线段AB=10cm，BC=3cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则DE的长是_________.初露锋芒1.已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4 cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( ).A.7 cmB.3 cmC.5 cmD.7 cm或3 cm2.如图，已知A，B.C三点在同一直线上，AB=24.BC= 3AB，E是AC8的中点，D是AB的中点，则DE的长度是___________.3. 如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=6cm，BC=4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为( ).A.5cmB.1cmC.5或1cmD.无法确定4. 已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( )A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.5cm感受中考1.(2018贵州铜仁中考模拟)C为线段AB上任意一点，D、E分别是AC，CB的中点，若AB=10cm.则DE的长是( ).A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm2.(2018湖南邵阳中考模拟）已知点C为线段AB上任一点，AC=8 cm，CB=6cm，M，N分别是AC，BC的中点.(1)求线段MN的长；(2)点C为线段AB上任一点，满足AC+CB= a cm，点M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?并说明理由.(3)点C在线段AB的延长线上，满足AC-BC=b cm，M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?请画出图形，写出你的结论，并说明理由.(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗?3.如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为-5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒.(1)BP=________,点P表示的数________ (分别用含t的代数式表示）；(2)点P运动多少秒时，PB=2PA.(3)若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长.参考答案典例1 【答案】4【解析】∵M ，N 分别是AB 和CB 的中点， ∴根据线段（双中点）的结论，有MN= 12AC.则MN=4. 典例2【答案】从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段AB 的一半，与C 点的位置无关. 【解析】(1)∵AB=20，BC=8. ∴AC=AB+BC=28.∵点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点. ∴MC= 12AC.NC= 12BC.∴MN=MC-NC= 12(AC-BC)= 12AB=10.(2)根据(1)得MN= 12 (AC-BC)= 12AB= 12a .(3)根据(1)得MN= 12(AC-BC)= 12AB= 12a .(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段 AB 的一半，与C 点的位置无关.典例3 【答案】1.5【解析】∵AB=10cm ，BC=3cm ，（已知） ∴AC=AB-BC=7cm.∵点D 为AC 中点，点E 为AB 的中点，（已知） ∴AD= 12AC,AE= 12AB.(线段中点定义)∴AD=3.5cm,AE=5cm. ∴DE=AE-AD=1.5cm. 故答案为：1.5.初露锋芒1.【答案】C.【解析】当点C 在线段AB 上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.当点C 在线段AB 的延长线上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.综上所述，MN 的长为5cm. 故选C.2. 【答案】92.【解析】∵AB=24，BC= 38AB ，∴BC=9.∵E 是AC 的中点，D 是AB 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知DE= 12BC= 92.3. 【答案】C【解析】如图1，当点B 在线段AC 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm,BN = 12BC = 2cm,∴MN=MB+NB=5cm,如图2，当点C 在线段AB 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm ，BN= 12BC=2cm,∴MN=MB-NB=1cm 。
数学双角平分线模型前言角平分线这个知识点相对来说是比较好理解通俗
数学双角平分线模型前言角平分线这个知识点相对来说是比较好理解通俗一、知识概述《数学双角平分线模型》①基本定义：角平分线呢，就是把一个角平均分成两份的射线。
那这个双角平分线模型啊，就是在一个几何图形里有两条角平分线的情况。
②重要程度：在数学几何里挺重要的，特别是在三角形这部分内容。
很多关于角的关系、边的关系还有面积的计算等问题，常常会用到这个双角平分线模型来找到突破口。
③前置知识：首先得知道角平分线的定义和基本性质吧，像角平分线到角两边的距离相等这个性质得掌握。
还有三角形的基本概念，内角和、外角之类的。
④应用价值：它在实际测量角度或者设计图形的时候能用上。
比如说在建筑设计中，要根据给定的角度做出一些特殊的图形，就可能用到这个知识来计算角度和比例关系。
二、知识体系①知识图谱：在几何知识体系里，属于角相关知识的延伸，和三角形知识联系紧密。
和三角形的角、边、面积的知识模块都有交集。
②关联知识：和等腰三角形的三线合一有关（等腰三角形底边上的角平分线、中线、高三线合一），还和三角形内角和定理、外角定理关系密切呢。
③重难点分析：- 掌握难度：说实话，这知识点有一定难度。
难点在于要在复杂的图形里准确找出双角平分线和其他边、角的关系。
- 关键点：关键就是要理清角平分线分角后的新角与原来角之间的关系以及新角与图形中其他角的关系。
④考点分析：在考试里，常出现在选择题或者填充题里，用来考大家对角平分线分角后角度计算的掌握情况。
有时候也会在解答题里，作为其中一个步骤来求三角形的内角或者外角。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：其核心在于准确认定两条角平分线在图形中的位置，并且明确它们分割角后的数学关系。
不是只看到两条线，而是要想到它们把角分成了多份，每一份和整体角的大小关系等。
②特征分析：- 特征一就是新产生的角总是和原来的角有固定的数量关系，不是随意的。
- 特征二是在三角形中，双角平分线往里或者往外延伸，会产生新的角度关系，这些关系往往和三角形的其余角能组成等式。
2初中数学几何模型之角(平分线)
=200°∴∠AOC+∠DOE=360°
你学到了什么？
1、角的双角平分线模型；
2、拓展到三个角形成周角的角平分线；
3、用未知数的思想去求角的度数；
4、双角平分线的旋转问题；
谢谢观看
2∠DOE=∠AOB;②2∠DOF=∠AOF-∠COF;
③∠AOD=∠BOC;④2∠EOF=∠COF+∠BOF
其中正确的结论有
(填序号）。
②这个结论不太好正面证明，可以从问题出F
∠DOF+∠DOF=∠AOF-∠COF
∠DOF+∠DOF+∠COF=∠AOF-∠COF+∠COF
共有 5 对.
分析：由题意知
∠AOD=∠COD=60°；∠COE=∠BOE=30°；
∠BOC=∠AOD=60°；∠BOC=∠COD=60°；
∠AOC=∠BOD=120°
6、O是直线AB上一点，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC，则图中互
余的角共有 4 对.
分析：由题意知
∠AOP+∠COQ=90°；∠AOP+∠BOQ=90°；
∴∠COE= ∠BOC= (° − °) = °
∵∠COD是直角
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-70°=20°
9、
针对训练
分析：（2）这类题看似有点复杂，不好入手，可以设未知数，设未知数最好设小
一点的角，而且用一个未知数就可以很容易表示多个角。
∵OF平分∠EOF
∴∠DOE=90°
= (∠AOC-BOC)
= ∠AOB
=45°
针对训练
2、已经∠AOB=70°，OM平分∠AOB，∠BOC=20°，ON平分∠BOC，
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第三章.三角形
模型（十）——双角平分线模型
【结论1】如图BI ，CI 是∠ABC 与∠ACB 的平分线，∠BIC=90º＋
2
1
∠
A
【结论2】如图BP ，CP 是∠DBC 与∠ECB 的平分线，∠BPC=90º-2
1∠A
典例秒杀
口诀
内内90加一半
【结论3】如图BP，CP是∠ABC与∠ACD的平分线，∠BPC=
2
1∠A 口诀外外90减一半
口诀内外就一半
典例1 ☆☆☆☆☆
1.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，若∠BAC=80°，则∠BOC 的度数是（ ）
A.130°
B.120°
C.100°
D. 90° 【答案】A
【解析】∵BO ，CO 是△ABC 的内角平分线，由“内内 90°加一半”得，
∠BOC=90°+2
1
∠BAC=90°+2
1×80°=130°.
故选 A.
典例2 ☆☆☆☆☆
如图，BA 1和 CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 1是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线，……以此类推，若∠A=α，则∠ A 2020=__________。
典例秒杀
【答案】 α•⎪
⎭
⎫
⎝⎛2020
21
【解析】∵BA 1，为△ABC 的内角平分线，CA 1为△ABC 的外角平分线，
由“内外就一半”得，∠A ₁ =21∠A=2
1
·α
同理，∠A ₂= 21∠A ₁=2
21⎪⎭⎫
⎝⎛·α
∠A ₃=21∠A ₂=3
21⎪⎭
⎫
⎝⎛·α
……
∠ A 2020=α•⎪
⎭
⎫ ⎝⎛2020
21
典例3 ☆☆☆☆☆
【问题】如图1，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，若∠A=80°，
则∠BEC=________；若∠A= n °，则∠BEC=___________。
【探究】（1）如图 2，在△ABC 中，BD ，BE 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分
∠ACB ，若∠A=n º，则∠BEC=_________。
⑵如图3，O 是∠ABC 的平分线 BO 与∠ACD 的平分线 CO 的交点，试
分析∠BOC 和∠A 有怎样的关系，并说明理由；
⑶如图4，O 是△ ABC 的外角∠DBC 与∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系?（只写结论不需要证明）
【解析】【问题】130°，90°+2
1n °
【探究】（1）由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 180°- n °.
∵BD ，BE 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分∠ACB ， ∴∠EBC=3
2∠ABC ，∠ECB=3
2∠ACB
∴∠EBC+∠ECB=3
2(∠ABC+∠ACB)=3
2×(180°- n °）=120º-3
2n °
∴∠BEC=180°-(∠EBC ＋∠ECB)=180°-(120°-3
2n °）=60º＋
3
2
n ° (2) ∠BOC=2
1∠A ，理由如下∶
由三角形的外角性质，得∠ACD=∠A ＋∠ABC ，∠OCD=∠BOC+∠OBC.
∵O 是∠ABC 的平分线 BO 与∠ACD 的平分线 CO 的交点， ∴∠ABC=2∠OBC,∠ACD=2∠OCD, ∴∠A+∠ABC=2(∠BOC+∠OBC)=2 ∠BOC,
∴∠BOC=
2
1∠A
（3）∠BOC=90°-
2
1∠A
1.（★★★☆☆）如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线 BE，CD 相交于点F，若∠A=60°，则∠BFC等于（）
A.121°
B. 120
° C.119° D. 118°
2.（★★★☆☆）如图，五边形 ABCDE在∠BCD，∠EDC处的外角分别是∠FCD，∠GDC，CP，DP分别平分∠FCD 和∠GDC且相交于点P.若∠A=160°，∠B=80°，∠E=90°，则∠CPD=_________。
小试牛刀
直击中考
1.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE 是∠ACM 的平分线，BE 与CE 相交于点E.若∠A= 60°，则∠BEC 的度数为（）
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
双角平分线模型不仅可以帮助同学们秒杀选填问题，而且在复杂约几何解答题中也能快速理清角度之间的关系，进而解决问题﹒
第三章.三角形
模型（十）——双角平分线模型
答案：
小试牛刀
1. 答案 B
解析 ：∵BE ，CD 均为△ABC 的内角平分线，
∴由“内内9０º加－半”，得∠BFC ＝9０º＋2
1
∠A=90º+2
1×60º=120
º
故选Ｂ．
2. 答案 105º
解析
：如图，延长BF ，EG 交于点H
在△CDH 中，CP ，DP 分别平分∠HCD 和∠HDC ，
∴由“内内9０º加一半”，得∠CPD ＝９０º＋2
1∠H 又∠A ＋∠B ＋∠H ＋∠E=360º, ∴∠H =360º-160º-80º-90º= 30º
∴∠CPD=90°+2
1×30°=105°
1. 答案 B
解析: ∵BE 为△ABC 的内角平分线， CE 为△ABC 的外角平分线，
∴“由内外就一半”，得∠BEC=21∠A=2
1×60°=30°. 故选 B.。