2021年中考数学复习讲义：第七章 平行四边形 模型(三十)——十字架模型
第七章.平行四边形
模型（三十）——十字架模型
模型讲解
【结论】正方形内部，AE⊥BF，则 AE=BF
【类图】
口诀
典例秒杀
典例1 ☆☆☆☆☆
如图，正方形 ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边 AB，CD，AD，BC上.小明认为∶若 MN=EF，则 MN⊥EF；小亮认为∶若 MN⊥EF，则MN=EF.你认为（）
A.仅小明对
B.仅小亮对
C.两人都对
D.两人都不对【答案】B
【解析】①若 MN=EF，则必有 MN⊥EF，这句话是错误的，如图.
作 EG⊥BC，MH⊥CD，记 MH交EF 于点L，
∵EF＝MN,MH＝EG, ∴Rt△MHN≌Rt△EGF(HL), ∴∠EFG=∠MNH，
又∵∠EFG=ZELM，∴∠MNH=∠ELM,
∴∠NMH＋∠MNH＝∠NMH＋∠ELM＝90°，∴∠MOL＝90°,即 MN ⊥EF，
但EF不仅仅是这一种情况，如将图中的线段 EF沿直线 EG折叠
过去，得到的 EF´就是反例，此时有 MN=EF´，但是 MN 与EF´垂
直，因此小明的观点是错误的。
②若 MN⊥EF，则 MN=EF，这句话根据十字架模型的结论可直接判断
是正确的.
故选B.
小试牛刀
1.（★★★☆☆）如图，在正方形 ABCD中，点E是 BC 上一点， BF⊥AE
于点H，交 DC于点F，若 AB=5，BE=2，则 AF=_______。
直击中考
1.如图，正方形 ABCD 中，E，F分别为BC，CD 上的点，且 AE⊥BF，垂足为G.
（1）求证∶AE= BF.（2）若 BE=，AG=2，求正方形的边长.
正方形的变化多样，往往涉及全等、边长问题，
中考常考正方形模型 .
第七章.平行四边形
模型（三十）——十字架模型
答案：
小试牛刀
1.答案
解析∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°，在正方形 ABCD中，BF⊥AE，
∴根据十字架模型的结论可知AE=BF.在 Rt△ABE和 Rt△BCF 中，
AE= BF,AB= BC,∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），∴CF=BE=2,
∴DF=CD-CF=5-2=3.∵四边形 ABCD是正方形，
∴AD=AB=5,∠ADF=90°,
由勾股定理得 AF = =＝
直击中考
1.解析（1）∵四边形 ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∠BAE+∠AEB=90°.
∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CBF.
在△ABE与△BCF中，∠BAE＝∠CBF， AB= BC,∠ABE＝∠C＝90°，
∴△ABE≌△BCF(ASA), ∴AE=BF.
(2)∵AE⊥BF,∴∠BGE＝∠ABE＝90°，
∵∠BEG=∠AEB, ∴△BGE≌△ABE, ∴BE：AE＝EG：BE，即BE2=EG·AE.
设 EG=x，则AE＝AG＋EG＝2+x，
∴＝x·(2+x).
解得x1=1，x2=－3（不合题意，舍去）.
∴EG=1,AE=3.
∴AB＝＝＝。
专题21 十字架模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题21十字架模型【模型】如图21-1，已知正方形ABCD，点E 在边AD 上，点F 在边CD 上。
AF 与BE 相交于点O。
如果BE AF ⊥，则︒=∠+∠︒=∠+∠90,90AEB ABE AEB DAF ∴ABE DAF ∠=∠，在BAE ∆和ADF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DAF ABE AD AB D BAE ∴BAE ∆≌ADF∆⇒AFBE =如果AF BE =，则可根据HL 证明BAE ∆≌ADF ∆，⇒ABE DAF ∠=∠⇒BE AF ⊥。
【模型变式1】如图21-2，已知正方形ABCD，点E 在边AD 上，点F 在边CD 上，点G 在边BC 上。
AF 与GE 相交于点O。
如果GE AF ⊥⇒GEAF =【模型变式2】如图21-3，已知正方形ABCD，点E 在边AD 上，点F 在边CD 上，点G 在边BC 上，点H 在边AB 上。
HF 与GE 相交于点O。
如果GE HF ⊥⇒GEHF =【例1】如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使5DE =，若折痕为PQ ，则PQ 的长为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】A 【分析】过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，从而得到∠AED =∠APQ ，可得△PQM ≌△ADE ，从而得到PQ =AE ，再由勾股定理，即可求解．【解析】解：过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE +∠APQ =90°，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，CD ⊥BC ，∴∠DAE +∠AED =90°，∴∠AED =∠APQ ，∴∠APQ =∠PQM ，∴∠PQM =∠APQ =∠AED ，∵PM ⊥BC ，∴PM =AD ，∵∠D =∠PMQ =90°，∴△PQM ≌△ADE ，∴PQ =AE ，在Rt ADE △中，5DE =，AD =12，由勾股定理得：13AE ==，∴PQ =13．故选：A ．【例2】如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，BF ⊥AE 交DC 于点F ，若AB ＝5，BE ＝2，则AF ＝____．【分析】根据正方形的性质得到AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°，推出∠BAE ＝∠EBH ，根据全等三角形的性质得到CF ＝BE ＝2，求得DF ＝5﹣2＝3，根据勾股定理即可得到结论．【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∵BH ⊥AE ，∴∠BHE ＝90°，∴∠AEB +∠EBH ＝90°，∴∠BAE ＝∠EBH ，在△ABE 和△BCF 中，BAE CBF AB BC ABE BCF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝，＝∴△ABE ≌△BCF （ASA ），∴CF ＝BE ＝2，∴DF ＝5﹣2＝3，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝5，∠ADF ＝90°，由勾股定理得：AF【例3】正方形ABCD 中，点E 、F 在BC 、CD 上，且BE ＝CF ，AE 与BF 交于点G ．（1）如图1，求证AE ⊥BF ；（2）如图2，在GF 上截取GM ＝GB ，∠MAD 的平分线交CD 于点H ，交BF 于点N ，连接CN ，求证：AN +CNBN；【答案】（1）见解析；（2）见解析；【分析】（1）根据正方形的性质得AB =BC ，90ABC BCD ∠=∠=︒，用SAS 证明ABE BCF △△≌，得BAE CBF ∠=∠，根据三角形内角和定理和等量代换即可得；（2）过点B 作BH BN ⊥，交AN 于点H ，根据正方形的性质和平行线的性质，用SAS 证明AGB AGM ≌，得BAG MAG ∠=∠，根据角平分线性质得45BHA GAN ∠=∠=︒，则HBN 是等腰直角三角形，用SAS 证明ABH CBN ≌，得AH =CN ，在Rt HBN 中，根据勾股定理即可得；【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，90ABC BCD ∠=∠=︒，在ABE △和BCF △中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BCF △△≌（SAS ），∴BAE CBF ∠=∠，∵1801809090AEB BAE ABC ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴90AEB CBF ∠+∠=︒，∴180()1809090EGB AEB CBF ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴AE BF ⊥；（2）如图所示，过点B 作BH BN ⊥，交AN 于点H，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AC ，90ABC HBN ∠=∠=︒，∵90HBN HBA ABN ∠=∠+∠=︒，90ABC CBN ABN ∠=∠+∠=︒，∴HBA CBN ∠=∠，由（1）得，AE BF ⊥，∴90AGB AGM ∠=∠=︒，∴90HBG AGM ∠=∠=︒,∴//HB AE ，∴BHA EAN ∠=∠，在AGB 和AGM 中，AG AG AGB AGM GB GM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AGB AGM ≌（SAS ），∴BAG MAG ∠=∠，∵AN 平分DAM ∠，∴DAN MAN ∠=∠，∴90BAG MAG MAN DAN ∠+∠+∠+∠=︒，2290MAG MAN ∠+∠=︒，45MAG MAN ∠+∠=︒，45GAN ∠=︒，∴45BHA GAN ∠=∠=︒，∴180180904545BNH HBN BHA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴HBN 是等腰直角三角形，∴BH =BN ，在ABH 和CBN 中，BH BN HBA CBN AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABH CBN ≌（SAS ），∴AH =CN ，在Rt HBN中，根据勾股定理HN ==，∴AN CN AN AH HN BN +=+=；一、单选题1．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为BC 边上一点，BE ＝1.将正方形沿GF 折叠，使点A 恰好与点E 重合，连接AF ，EF ，GE ，则四边形AGEF 的面积为（）A ．B ．C ．6D ．5【答案】D 【分析】作FH ⊥AB 于H ，交AE 于P ，设AG =GE =x ，在Rt △BGE 中求出x ，在Rt △ABE 中求出AE ，再证明△ABE ≌△FHG ，得到FG =AE ，然后根据S 四边形AGEF =S △AGF +S △EGF 求解即可【解析】解：作FH ⊥AB 于H ，交AE 于P ，则四边形ADFH 是矩形，由折叠的性质可知，AG =GE ，AE ⊥GF ，AO =EO ．设AG =GE =x ，则BG =3-x ，在Rt △BGE 中，∵BE 2+BG 2=GE 2，∴12+(3-x )2=x 2，∴x =53．在Rt △ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，∴32+12=AE 2，∴AE．∵∠HAP +∠APH =90°，∠OFP +∠OPF =90°，∠APH =∠OPF ，∴∠HAP =∠OFP ，∵四边形ADFH 是矩形，∴AB =AD =HF ．在△ABE 和△FHG 中，HAP OFP ABE GHF AB HF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FHG ，∴FG =AE，∴S 四边形AGEF =S △AGF +S △EGF =1122GF OA GF OE ⋅+⋅=()12GF OA OE ⋅+=12GF AE ⋅=12=5．故选D．2．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为（）A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴13=.3．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）A．32B．3C．94D．154【答案】C【分析】设EF=FD=x ，在RT △AEF 中利用勾股定理即可解决问题．【解析】解：∵将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，∴EF ＝DE ，AB ＝AD ＝6cm ，∠A ＝90°∵点E 是AB 的中点，∴AE ＝BE ＝3cm ，在Rt △AEF 中，EF 2＝AF 2+AE 2，∴（6﹣AF ）2＝AF 2+9∴AF ＝94故选C ．4．如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边CD ，AD 上的点，且CE ＝DF ，AE ，BF 相交于点O ，下列结论：①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③AO ＝OE ；④∠CEA ＝∠DFB ；⑤AOB DEOF S S ∆=四边形中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A 【分析】根据正方形的性质得AB =AD =DC ，∠BAD =∠D =90°，则由CE =DF 易得AF =DE ，根据“SAS”可判断△ABF ≌△DAE ，所以AE =BF ；根据全等的性质得∠ABF =∠EAD ，∠AFB =∠DEA ，利用∠EAD +∠EAB =90°得到∠ABF +∠EAB =90°，则AE ⊥BF ；连接BE ，BE ＞BC ，BA ≠BE ，而BO ⊥AE ，根据垂直平分线的性质得到OA ≠OE ；最后根据△ABF ≌△DAE 得ABF DAE S S ∆∆=，则ABF AOF DAE AOF S S S S ∆∆∆∆-=-，即AOB DEOF S S ∆=四边形．【解析】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD =DC ，∠BAD =∠D =90°，而CE =DF ，∴AF =DE ，在△ABF 和△DAE 中，AB AD BAD ADE AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DAE （SAS ），∴AE =BF ，故①正确；∴∠ABF =∠EAD ，∠AFB =∠DEA ，∴∠CEA =∠DFB ，故④正确；而∠EAD +∠EAB =90°，∴∠ABF +∠EAB =90°，∴∠AOB =90°，∴AE ⊥BF ，故②正确；连接BE ，如图所示：∵BE ＞BC ，∴BA ≠BE ，而BO ⊥AE ，∴OA ≠OE ，故③错误；∵△ABF ≌△DAE ，∴ABF DAE S S ∆∆=，∴ABF AOF DAE AOF S S S S ∆∆∆∆-=-，∴AOB DEOF S S ∆=，故⑤正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：A ．5．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在DC ，BC 上，BF =CE =4，连接AE 、DF ，AE 与DF 相交于点G ，连接AF ，取AF 的中点H ，连接HG ，则HG 的长为（）A B ．52C ．5D ．【答案】A 【分析】先证明△ADE ≌△DCF ，进而得∠AGF =90°，用勾股定理求得AF ，便可得GH ．【解析】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ADE =∠C =90°，AD =DC =BC ，∵BF =CE ，∴CF =DE ，在△ADE 和△DCF 中，AD DC ADE C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△DCF （SAS ），∴∠DAE =∠CDF ，∵∠DAE +∠DEA =90°，∴∠CDF +∠DEA =90°，∴∠AGF =∠DGE =90°，∵点H 为AF 的中点，∴GH =12AF ，∵AB =6，BF =4，∴AF=，∴GH故选：A ．6．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E ，F 分别为边,AB BC 的中点，连接,AF DE ，点G ，H 分别为,DE AF 的中点，连接GH ，则GH 的长为（）A2B ．1CD ．2【答案】C【分析】连接AG ，延长AG 交CD 于M ，连接FM ，由正方形ABCD 推出AB ＝CD ＝BC ＝AD ＝4，AB ∥CD ，∠C ＝90°，证明△AEG ≌△MDG ，得到AG ＝MG ，AE ＝DM ＝12AB ＝12CD ，根据三角形中位线定理得到GH ＝12FM ，由勾股定理求出FM 即可得到GH ．【解析】解：连接AG ，延长AG 交CD 于M ，连接FM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CD ＝BC ＝AD ＝4，AB ∥CD ，∠C ＝90°，∴∠AEG ＝∠GDM ，∠EAG ＝∠DMG ，∵G 为DE 的中点，∴GE ＝GD ，∴△AEG ≌△MDG （AAS ），∴AG ＝MG ，AE ＝DM ＝12AB ＝12CD ，∴CM ＝12CD ＝2，∵点H 为AF 的中点，∴GH ＝12FM ，∵F 为BC 的中点，∴CF ＝12BC ＝2，∴FM ==，∴GH ＝12FM ，故选：C ．二、填空题7．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使5DE =，折痕为PQ ，则PQ 的长__________．【答案】13【分析】先过点P 作PM ⊥BC 于点M ，利用三角形全等的判定得到△PQM ≌△AED ，从而求出PQ=AE ．【解析】过点P 作PM ⊥BC 于点M ，由折叠得到PQ ⊥AE ，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ ，∵AD ∥BC ，∴∠APQ=∠PQM ，则∠PQM=∠APQ=∠AED ，∠D=∠PMQ ，PM=AD∴△PQM ≌△AED∴22512 ．故答案是：13．8．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，若MN ＝5CN 的长是____．【答案】3【分析】过点M 作MH ⊥CD 于点H ．连接DE ，结合题意可知MN 垂直平分DE ，先通过证明△MHN ≅△DCE 得出DE ＝MN ＝CE 的长，最后在Rt △ENC 中利用勾股定理求出DN ，最后进一步求出CN 即可.【解析】如图所示，过点M 作MH ⊥CD 于点H ．连接DE ．根据题意可知MN 垂直平分DE ，易证得：∠EDC ＝∠NMH ，MH ＝AD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴MH ＝AD ＝CD ，∵∠MHN ＝∠C ＝90°，∴△MHN ≅△DCE （ASA ），∴DE ＝MN ＝在Rt △DEC 中，4CE ==，设DN ＝EN ＝x ，则CN ＝8x -，在Rt △ENC 中，222NE NC EC =+，∴()22284x x =-+，解得：5x =，∴CN ＝83x -=，故答案为：3．9．如图，正方形ABCD 的边长是3，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且满足2BE AE =，2CF BF =，连接DE ，AF 交于点G ，BD 交AF 于点H ，则四边形GEBH 的面积为______．【答案】3940【分析】根据正方形的性质得到3AD BC AB ===，90DAE ABF ∠=∠=︒，求得1AE BF ==，根据全等三角形的性质得到ADE BAF ∠=∠，推出AG DE ⊥，连接AC 交BD 于O ，根据相似三角形的性质得到3DH AD BH BF ==，求得3ADH ABH S S = ，得到98ABH S = ，根据相似三角形的性质得到210AE EG DE ==，根据三角形的面积即可得到结论．【解析】解： 正方形ABCD 的边长是3，3AD BC AB ∴===，90DAE ABF ∠=∠=︒，2BE AE = ，2CF BF =，1AE BF ∴==，ADE ∴V ≌()BAF SAS，ADE BAF ∴∠=∠，90DAG EAG ∠+∠=︒ ，90ADG DAG ∴∠+∠=︒，90AGD ∴∠=︒，AG DE ∴⊥，连接AC 交BD 于O ，AC BC ∴⊥，AD BF Q ∥，AHD ∴ ∽FHB △，3DH AD BH BF ∴==，3ADH ABHS S ∴= ，193322ABD S =⨯⨯= ，98ABH S ∴=，DE ==AE AD AG DE ⋅∴==90DAE ∠=︒ ，AG DE ⊥，ADE ∴V ∽GAE ，AE DE GE AE∴=，2AE EG DE ∴==13220AGE S ∴== ，∴四边形GEBH 的面积933982040ABH AGE S S =-=-= ，故答案为：3940．10．如图，四边形ABCD 为正方形，点E 、点G 分别为BC 、AB 边上的点，CE ＝BG ＝BE ，连接DE 、CG 交于点F ，若GF ＝3，四边形ABCD 的面积为___．【答案】20【分析】连接GE ，根据正方形的性质，易证△GBC ≌△ECD （SAS ），根据全等三角形的性质，可得GC ⊥DE ，设CE =BG =BE =x ，根据AGD BGE DEC GED ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++正方形列方程，可求出x 的值，进一步即可求出正方形ABCD 的面积．【解析】解：连接GE ，如图所示：在正方形ABCD 中，BC =CD ，∠A =∠B =∠BCD =90°，又∵BG =CE ，∴△GBC ≌△ECD （SAS ），∴∠GCB =∠EDC ，∵∠GCB +∠FCD =90°，∴∠EDC +∠FCD =90°，∴∠DFC =90°，∴GC ⊥DE ，设CE =BG =BE =x ，则BC =2x ，∴正方形ABCD 的边长为2x ，∴AG =2x -x =x ，在△DCE 中，根据勾股定理，得DE ，∵AGD BGE DEC GED ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++正方形，又∵GF =3，∴21111(2)(2)(2)32222x x x x x x x =⋅⋅+⋅+⋅+⋅，解得x∴正方形ABCD 的边长为∴正方形ABCD 的面积为，故答案为：20．11．如图，正方形ABCD 的边长为2，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在边DC ，CB 上向各自终点C ，B 移动，连接AE 和DF 交于点P ，则线段CP 的最小值是________．1【分析】证明△ADE ≌△DCF 得到∠DAE =∠CDF ，推出∠DPE =90°，则∠APD =90°，故点P 在以AD 为直径的圆上运动，取AD 中点G ，连接CG ，交圆G （直径为AB ）于点P ，则此时CP 最小，据此求解即可．【解析】解：∵动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在边DC ，CB 上向各自终点C ，B 移动，∴DE =CF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADE =∠DCF =90°，AD =DC ，∴△ADE ≌△DCF （SAS ），∴∠DAE =∠CDF ，∵∠DAE +∠DEA =90°，∴∠PED +∠PDE =90°，∴∠DPE =90°，∴∠APD =90°，∴点P 在以AD 为直径的圆上运动，取AD 中点G ，连接CG ，交圆G （直径为AB ）于点P ，则此时CP 最小，∵四边形ABCD 是边长为2的正方形，∴112902DG AD CD ADC ====︒，，∠，∴CG ==∴1CP CG GP =-=，∴CP 1，1．12．如图，点E 在正方形ABCD 的CD 边上，连结BE ，将正方形折叠，使点B 与E 重合，折痕MN 交BC 边于点M ，交AD 边于点N ，若tan ∠EMC ＝34，ME ＋CE ＝8，则折痕MN 的长为___________．【答案】【分析】过N 作NH ⊥BC 于H ，得到四边形ABHN 是矩形，根据矩形的性质得到NH ＝AB ，∠NHM＝90°，证明△BCE≌△NHM，根据全等三角形的性质得到HM＝CE，设CE＝3x，则CM＝4x，根据勾股定理得到EM＝5x，求出x，可得NH＝9，再利用勾股定理计算即可．【解析】解：过N作NH⊥BC于H，则四边形ABHN是矩形，∴NH＝AB，∠NHM＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，AB＝BC，∴NH＝BC，∵将正方形折叠，使点B与E重合，∴MN⊥BE，BM＝ME，∴∠HNM＋∠NMH＝∠EBC＋∠BMN＝90°，∴∠EBC＝∠HNM，在△BCE与△NHM中，NHM CNH BCHNM CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCE≌△NHM（ASA），∴HM＝CE，在Rt△EMC中，∵tan∠EMC＝34 CECM=，∴设CE＝3x，则CM＝4x，由勾股定理得：EM＝5x，∵ME＋CE＝8，∴5x＋3x＝8，∴x＝1，∴EM＝5，HM＝CE＝3，CM＝4，∴BC＝BM＋CM＝EM＋CM＝9，∴NH＝9，∴MN=故答案为：三、解答题13．已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是边CD 、AD 上的点，AE ⊥BF．(1)求证：AE ＝BF ；(2)联结BE 、EF ，如果∠DEF ＝∠ABE ，求证：2·DF AF AD ＝．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）设BF 与AE 交于O 点，根据同角的余角相等得∠ABF ＝∠DAE ，再利用ASA 证明△ABF ≌△DAE ，得AE ＝BF ；（2）根据两个角相等证明△DEF ∽△CEB ，得DE DF CE BC=，由（1）得△ABF ≌△DAE ，则AF ＝DE ，等量代换即可．【解析】（1）证明：设BF 与AE 交于O点，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAF ＝∠D ＝90°，∵AE ⊥BF ．∴∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＋∠BAO ＝90°，∠BAO ＋∠DAE ＝90°，∴∠ABF ＝∠DAE ，在△ABF 和△DAE 中，ABF DAE AB AD BAF D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△DAE （ASA ），∴AE ＝BF ；（2）解：∵AB CD ，∴∠ABE ＝∠BEC ，∵∠DEF ＝∠ABE ，∴∠DEF ＝∠BEC ，∵∠D ＝∠C ，∴△DEF ∽△CEB ，∴DE DF CE BC=，由（1）得，△ABF ≌△DAE ，∴AF ＝DE ，∴CE ＝DF ，∵AD =BC ，∴2·DF AF AD ＝．14．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，CD 上，连接AF ，BE 相交于点G ，且AF ＝BE ．(1)求证：DE ＝CF ；(2)若AB =4，DE =1，求GF 的长．【答案】(1)证明见解析；(2) 2.6GF =【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE =∠ADF =90︒，AB =AD =CD ，AF =BE ，由HL 证明△BAE ≌△ADF ，即可得出结论；（2）由正方形的性质与已知线段求出AE ，再由勾股定理求得BE ，根据角之间的关系得到∠AGB =90︒，利用三角形的面积可得答案．【解析】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAE =∠ADF =90︒，AB =AD =CD ，在Rt △BAE 和Rt △ADF 中，{BA AD BE AF ==，∴△BAE ≌△ADF （HL ），∴AE =DF ，∴DE =CF ；（2）∵AB =4，四边形ABCD 是正方形，∴AD =4，∵DE =1，∴AE =3，∴5BE ===，∵△BAE ≌△ADF ，∴BE =AF =5，∠DAF =∠ABE ，又∵∠DAF +∠BAG =90︒，∴∠BAG +∠ABG =90︒，∴90,AGB ∠=︒∴AG ⊥BE ，则11,22AB AE AG BE = ∴34 2.45AG ⨯==，∴GF =AF -AG =5-2.4=2.6．15．如图1，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，连接AE ，过点B 作BG AE ⊥于点H ，交CD 于点G ．（1）求证：AE BG =；（2）如图2，连接AG 、GE ，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，试判断四边形MNPQ 的形状，并说明理由；（3）如图3，点F 、R 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 上，把正方形沿直线FR 翻折，使得BC 的对应边''B C 恰好经过点A ，过点A 作AO FR ⊥于点O ，若'1AB =，正方形的边长为3，求线段OF 的长．【答案】（1）见解析；（2）四边形MNPQ 为正方形，理由见解析；（3【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得90ABC BCD ∠=∠=︒，推得90ABG CBG ∠+∠=︒，由BG AE ⊥，可得90BAE ABG ∠+∠=︒，可证()ABE BCG ASA ≅△△即可；（2）M 、N 为AB 、AG 中点，可得MN 为ABG 的中位线，可证//MN BG ，12MN BG =，由点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，可得PQ 是BEG 的中位线，MQ 为ABE △的中位线，NP 为AEG △的中位线，可证//PQ BG ，12PQ BG =，//MQ AE ，12MQ AE =，//NP AE ，12NP AE =，可证四边形MNPQ 为平行四边形．再证四边形MNPQ 为菱形，最后证MN MQ ⊥即可；（3）延长AO 交BC 于点S ，由对称性可得'BF B F =，'1AB BS ==，AO SO =，由勾股定理可求AS =12AO AS ==AF x =，在'Rt AB F △中，2221(3)x x +-=，解得53x =，在Rt AOF中，可求OF =【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴90ABC BCD ∠=∠=︒，∴90ABG CBG ∠+∠=︒，∵BG AE ⊥，∴∠AHB =90°，∴90BAE ABG ∠+∠=︒，∴BAE CBG ∠=∠，在ABE △与BCG 中，BAE CBG AB BC ABC BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ABE BCG ASA ≅△△，∴AE BG =．（2）解：四边形MNPQ 为正方形，理由如下：∵M 、N 为AB 、AG 中点，∴MN 为ABG 的中位线，∴//MN BG ，12MN BG =，∵点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，∴PQ 是BEG 的中位线，MQ 为ABE △的中位线，NP 为AEG △的中位线，，∴//PQ BG ，12PQ BG =，//MQ AE ，12MQ AE =，//NP AE ，12NP AE =，∴MN PQ =，MQ NP =，∴四边形MNPQ 为平行四边形．∵AE BG =，∴MN MQ =，∴四边形MNPQ 为菱形，∵BG AE ⊥，//MQ AE ，∴MQ BG ⊥，∵//MN BG ，∴MN MQ ⊥，∴四边形MNPQ 为正方形．（3）解：延长AO 交BC 于点S ，由对称性可知'BF B F =，'1AB BS ==，AO SO =，在Rt ABS 中，AS，∴12AO AS ==设AF x =，则'3BF B F x ==-，在'Rt AB F △中，2221(3)x x +-=，53x =，∴53AF =，在Rt AOF 中，6OF ===．16．如图，正方形ABCD 边长为4，点G 在边AD 上（不与点A 、D 重合），BG 的垂直平分线分别交AB 、CD 于E 、F 两点，连接EG ．（1）当AG =1时，求EG 的长；（2）当AG 的值等于时，BE =8－2DF ；（3）过G 点作GM ⊥EG 交CD 于M①求证：GB 平分∠AGM ；②设AG =x ，CM =y ，试说明16441xy x y---的值为定值．【答案】（1）178；（2）843-3）①见解析；②164410xy x y ---=，理由见解析【分析】（1）根据EF 是线段BG 的垂直平分线，BE =EG ，设EG =EB =x ，则AE =AB -BE =4-x ，再由勾股定理求解即可；（2）过点F 作FH ⊥AB 于H ，连接FB ，FG ，由BE =8-2DF ，CF =CD -DF =4-DF ，得到BE =2CF ，先证明四边形BCFH 是矩形，得到CF =HB ，则BH =EH =FC ，设AG =x ，BE =y ，则AE =4-y ，GD =4-x ，CF =12y ，142DF y =-由222AE AG EG +=，222GD DF GF +=，222BC FC BF +=，可以得到()2224y x y -+=①，()22221144422x y y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，联立①②求解即可得到答案；（3）①先证明∠EBG =∠EGB ，然后根据ABG +∠AGB =90°，∠EGB +∠BGM =90°，即可得到∠AGB =∠BGM ；②连接BM ，过点B 作BH ⊥GM ，由角平分线的性质得到BH =AB =4，由=44=16ABG MBG BCM CDM ABCD S S S S S +++=⨯△△△△正方形，可以得到()()122244=162x GM y x y +++--，由勾股定理可以得到222DM GD GM +=即()()2224444xy x y ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，最后解方程即可得到答案．【解析】解：（1）∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴BE =EG ，∵四边形ABCD 是正方形，且边长为4，∴AB =4，∠A =90°，设EG =EB =x ，则AE =AB -BE =4-x ，∵222AE AG EG +=，∴()22241x x -+=，解得178=x ，∴178EG =；（2）如图所示，过点F 作FH ⊥AB 于H ，连接FB ，FG∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴BF =FG ，∵BE =8-2DF ，CF =CD -DF =4-DF ，∴BE =2CF ，∵四边形ABCD 是正方形，FH ⊥AB ，∴∠HBC =∠C =∠BHF =90°，∴四边形BCFH 是矩形，∴CF =HB ，∴BH =EH =FC ，设AG =x ，BE =y ，则AE =4-y ，GD =4-x ，CF =12y ，142DF y =-∵222AE AG EG +=，222GD DF GF +=，222BC FC BF +=，∴()2224y x y -+=①，()22221144422x y y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，联立①②解得8x =-8x =+，∴当8AG =-BE =8-2DF ，故答案为：8-（3）①∵EF 是线段BG 的垂直平分线，∴EG =BE ，∴∠EBG =∠EGB ，∵四边形ABCD 是正方形，EG ⊥GM ，∴∠A =∠EGM =90°，∴∠ABG +∠AGB =90°，∠EGB +∠BGM =90°，∴∠AGB =∠BGM ，∴BG 平分∠AGM ；②如图，连接BM ，过点B 作BH ⊥GM ，由（3）①得BG 平分∠AGM ，∴BH =AB =4，∵AG =x ，CM =y ，∴DG =4-x ，DM =4-y ，∵=44=16ABG MBG BCM CDM ABCD S S S S S +++=⨯△△△△正方形，∴1111=162222AG AB GM BH CM BC DM GD +++g g g g ，∴()()122244=162x GM y x y +++--，∴44xy GM =-，∵222DM GD GM +=，∴()()2224444xy x y ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭∴222216816816216x y x x y y xy -++-+=-+∴()()22281616x y x y x y +-++=，∴()222416x y x y +-=，∴44xy x y +-=±，当44xy x y +-=时，则4416x y xy +-=，∴16444x y x-==-（不符合题意），∴4416x y xy+-=-∴164410xy x y---=．17．已知：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 为正方形．(1)若正方形OABC边长为12，①如图1，E、F分别在边OA、OC上，CE⊥BF于H，且OE＝9，则点F的坐标为（______，_______）．②如图2，若D为x轴上一点，且OD＝8，Q为y轴正半轴上一点，且∠DBQ＝45°，求点Q的坐标．(2)若正方形OABC边长为4，如图3，E、F分别在边OA、OC上，当F为OC的中点，CE⊥BF 于H，在直线CE上E点的两侧有点D、G，能使线段AD＝OG，AD//OG，且CH＝DH，求BG．【答案】(1)①3，0；②Q点坐标为（0，15）或（0，6）(2)BG8105【分析】（1）①通过证明△OEC≌△CFB（AAS），求出OF，即可求点的坐标；②分两种情况讨论：当D（8，0）时，过B点作BM⊥BD交y轴于点M，可证明△ABM≌△CBD （AAS），连接BQ，可证明△MBQ≌△DBQ（SAS），设AQ＝x，则OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，在Rt△ODQ中由勾股定理求出x＝6，即可求Q（0，6）；当D（﹣8，0）时，过BN⊥BQ 交x轴于点N，同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），连接DQ，可得△QBD≌△NBD（SAS），设AQ＝CN＝y，则DN＝20﹣y，QO＝12+y，在Rt△DOQ中，由勾股定理求出y＝3，即可求Q（0，15）；（2）在Rt△BCF中，求出BF＝5CH＝455，再由CH＝DH，可得DC＝855，连接OD，OH，证明△OCD≌△CBH（ASA），分别得到CD＝BH855，OD＝CH 45 5OH＝4105，再证明△AOD≌△OCH（SAS），可求OH＝AD＝OG＝4105，∠OAD＝∠HOC，推导出∠GOH＝90°，在Rt△GHO中，由勾股定理求出GH＝855，在Rt△BHG中，由勾股定理求出BG＝810 5．【解析】（1）①∵CE⊥BF，∴∠BHC＝90°，∴∠ECO+∠HFC＝90°，∵∠OEC+∠OCE＝90°，∴∠HFC＝∠OEC，∵BC＝OC，∴△OEC≌△CFB（AAS），∴OE＝CF＝9，∴OF＝3，∴F（3，0），故答案为：3，0；②∵D为x轴上一点，且OD＝8，∴D（8，0）或（﹣8，0），当D（8，0）时，如图2，过B点作BM⊥BD交y轴于点M，∴∠DBM＝90°，∴∠MBA+∠ABD＝90°，∵∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠MBA＝∠CBD，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CBD（AAS），∴BM＝BD，CD＝AM，连接BQ，∵∠DBQ＝45°，∴∠MBQ＝45°，又∵BM＝BD，∴△MBQ≌△DBQ（SAS），∴DQ＝MA，∵OD＝8，OC＝12，∴CD＝MA＝4，设AQ＝x，则OQ＝12﹣x，DQ＝4+x，在Rt△ODQ中，（4+x）2＝64+（12﹣x）2，解得x＝6，∴Q（0，6）；如图3，当D（﹣8，0）时，过BN⊥BQ交x轴于点N，同理可得△ABQ≌△CBN（AAS），∴AQ＝CN，BQ＝BN，连接DQ，同理可得△QBD≌△NBD（SAS），∴DN＝DQ，设AQ＝CN＝y，则DN＝20﹣y，QO＝12+y，在Rt△DOQ中，（20﹣y）2＝（12+y）2+64，解得y＝3，∴Q（0，15）；综上所述：Q点坐标为（0，15）或（0，6）；（2）∵F为OC的中点，CO＝4，∴CF＝OF＝2，在Rt△BCF中，BC＝4，CF＝2，∴BF＝∵BF⊥CH，∴CH∵CH＝DH，∴DC＝5，如图4，连接OD，OH，∵H 是CD 的中点，F 是OC 的中点，∴FH ∥OD ，∴OD ⊥CD ，∴∠ODC ＝∠GHC ＝90°，∵BC ＝CO ，∠FBC ＝∠DCO ，∴△OCD ≌△CBH （ASA ），∴CD ＝BH ＝855，OD ＝CH 455∴OH ＝105，∵∠AOD +∠DOC ＝∠DOC +∠DCO ＝90°，∴∠AOD ＝∠DCO ，∵AO ＝CO ，OH ＝OD ，∴△AOD ≌△OCH （SAS ），∴OH ＝AD ＝OG ＝4105，∠OAD ＝∠HOC ，∵AD ∥GO ，∴∠OAD ＝∠GOA ，∴∠GOH ＝90°，在Rt △GHO 中，GH 22GO OH +855，在Rt △BHG 中，BG 22GH BH +8105．18．如图，正方形ABCD 中，点E 为BC 边上一点，点F 为CD 边上一点，且BE CF =，连接AE 、BF 交于点G ．(1)求证：90AGF ∠= ；(2)连接GC ，若GC 平分EGF ∠，求证：2AB CF =；(3)在（2）的条件下，连接GD ，过点E 作EH ∥GD 交CD 边于点H ，交BF 于点M ，若2FH =，求线段FM 的长．【答案】(1)过程见解析；(2)过程见解析；(3)655【分析】（1），根据“SAS ”证明△ABE ≌△BCF ，可得∠BAG=∠CBF ，再根据∠CBF+∠ABG=90°，即可得出答案；（2），过点C 作CH ⊥EG ，CI ⊥FG ，可得CH=CI ，进而得出四边形GHCI 是矩形，再根据“AAS ”证明△CEH ≌△CFI ，得出CE=CF ，然后根据BE=CF ，可知BC=2CE ，即可得出结论；（3），设正方形的边长为2a ，分别表示出BE ，CF ，DF ，根据勾股定理求出BF ，再根据BEG BFC V :V 求出BG ，进而得出FG ，然后根据FMH FGD V :V ，得FM FG FH FD=，再代数答案可求．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABE=∠BCF =90°．∵BE=CF ，∴△ABE ≌△BCF ，∴∠BAG=∠CBF ．∵∠CBF+∠ABG=90°，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠AGB=90°，即∠AGF=90°；（2）过点C 作CH ⊥EG ，于点H ，CI ⊥FG ，于点I ，∵GC 平分∠EGF ，∴CH=CI ．∵∠EGF=∠CHG =∠CIG=90°，∴四边形GHCI 是矩形．∵∠HCE+∠ECI=∠ECI+∠FCI =90°，∴∠ECH=∠FCI ．∵∠CHE=∠CIF=90°，∴△CEH ≌△CFI ，∴CE=CF ．∵BE=CF ，∴CE=BE ，则BC=2CE ，∴AB=2CF ；（3）设正方形的边长BC=2a ，则BE=a ，CF=a ，DF=a ，根据勾股定理得BF ==．∵∠EBG=∠FBC ，∠BGE=∠BCF=90°，∴BEG BFC V :V ，∴BE BG BF BC =，2BG a =，解得5BG a =，∴5FG a =．∵EH DG ∥，∴FMH FGD V :V ，∴FM FG FH FD=，即52a FM a=，解得5FM =．19．（1）如图1，在正方形ABCD 中，AE ，DF 相交于点O 且AE ⊥DF ．则AE 和DF 的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是边AD ，BC ，CD 上的点，BG ⊥EF ，垂足为H ．求证：EF ＝BG ．（3）如图3，在正方形ABCD 中，E ，F ，M 分别是边AD ，BC ，AB 上的点，AE ＝2，BF ＝4，BM ＝1，将正方形沿EF 折叠，点M 的对应点与CD 边上的点N 重合，求CN的长度．【答案】（1）AE ＝DF ；（2）见解析；（3）CN 的长度为3【分析】（1）证明∠BAE =∠ADF ，则△ABE ≌△DAF （AAS ），即可求解；（2）由正方形的性质得出∠CBG =∠MEF ，证明△BCG ≌△EMF （ASA ），即可求解；（3）证明△EHF ≌△MGN （ASA ），则NG =HF ，而AE =2，BF =4，故NG =HF =4-2=2，进而求解．【解析】解：（1）∵∠DAO +∠BAE =90°，∠DAO +∠ADF =90°，∴∠BAE =∠ADF ，在△ABE 和△DAF 中，BAE ADF ABE DAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AE =DF ，故答案为：AE =DF ；（2）如图1，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，则四边形ABME 为矩形，则AB =EM ，在正方形ABCD 中，AB =BC ，∴EM =BC ，∵EM ⊥BC ，∴∠MEF +∠EFM =90°，∵BG ⊥EF ，∴∠CBG +∠EFM =90°，∴∠CBG =∠MEF ，在△BCG 和△EMF 中，90CBG MEF BC EM C EMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BCG ≌△EMF （ASA ），∴EF =BG ；（3）如图2，连接MN ，∵M 、N 关于EF 对称，∴MN ⊥EF ，过点E 作EH ⊥BC 于点H，过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则EH ⊥MG ，由（2）同理可得：△EHF ≌△MGN （ASA ），∴NG =HF ，∵AE =2，BF =4，∴NG =HF =4-2=2，又∵GC =MB =1，∴NC =NG +CG =2+1=3．20．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．求证：CE DF =．证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B DCF ∠=∠=︒，BC CD =．∴90BCE DCE ∠+∠=︒，∵CE DF ⊥，∴90COD ∠=︒．∴90CDF DCE ∠+∠=︒．∴CDF BCE ∠=∠，∴CBE DFC △△≌．∴CE DF =．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．试猜想EG FH的值，并证明你的猜想．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD 中，AB a =，BC b =，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．则EG FH=______．【拓展应用】如图3，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，AB =，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且CE BF ⊥．直接写出CE BF 的值．【答案】（1）1EG FH =，理由见详解；（2）b a；（3）13【分析】（1）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，利用正方形ABCD ，AB =AD ，∠ABM =∠BAD =∠ADN =90°求证△ABM ≌△ADN 即可；（2）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，利用在长方形ABCD 中，BC =AD ，∠ABM =∠BAD =∠ADN =90°求证△ABM ∽△ADN ．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；（3）如图3中，过点C 作CM ⊥AB 于点M ．设CE 交BF 于点O ．证明△CME ∽△BAF ，推出BCE BF CM A =，可得结论．【解析】解：结论：1EG FH =理由：如图（1）中，过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∴AM =HF ，AN =EG ，在正方形ABCD 中，AB =AD ，∠ABM =∠BAD =∠ADN =90°，∵EG ⊥FH ，∴∠NAM =90°，∴∠BAM =∠DAN ，在△ABM 和△ADN 中，∠BAM =∠DAN ，AB =AD ，∠ABM =∠ADN ，∴△ABM ≌△ADN （ASA ），∴AM =AN ，即EG =FH ，∴1EG FH=；（2）如图（2）中，过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∴AM=HF，AN=EG，在长方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM=90°，∴∠BAM=∠DAN．∴△ABM∽△ADN．∴AM AB AN AD=，∵AB=a，BC=AD=b∴EG b FH a=．故答案为：b a；（3）如图，过点C作CM⊥AB于点M．设CE交BF于点O，CM交BF于点G．∵CM⊥AB，∴∠CME=90°，∴∠MBG+∠MGB=90°，∵CE⊥BF，∴∠BOC=90°，∴∠CGO+∠GCO=90°，∵∠MGB=∠CGO∴∠MBG=∠GCO，∵∠A=∠CME=90°，∴△CME ∽△BAF ，∴BCE BF CM A =，∵AB =，45ABC ∠=︒，∴sin 452CM BC BC =︒= ，即BC ；∴32AB CM ==⨯=，∴13CE CM BF AB ==．。
模型30平行四边形十字架模型-原卷版
平行四边形模型（三十）——十字架模型◎结论1：正方形内部，AE⊥BF，则 AE=BF,△ABE≌△BCF .△BCF≌△IME △ABE≌△MNF ∠IHQ＝∠PJK，△JPK≌△HQI相等未必垂直过点H作HP⊥CD与P，作I关于HP对称点Q,虽然HI＝JK，但HQ≠JK1．（2021·全国·八年级课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使5DE ，若折痕为PQ，则PQ的长为（）A．13B．14C．15D．162．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（）A．B．C．6D．53．（2022·广东·模拟预测）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为（）A．32B．3C．94D．1541．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝____．2．（2022·江苏盐城·八年级期中）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使5DE=，折痕为PQ，则PQ的长__________．3．（2021·江苏泰州·八年级期末）如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG 的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG．（1）当AG=1时，求EG的长；（2）当AG的值等于时，BE=8－2DF；（3）过G点作GM⊥EG交CD于M⊥求证：GB平分⊥AGM；⊥设AG=x，CM=y，试说明16441xy x y---的值为定值．1．（2021·云南曲靖·八年级期末）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG AE⊥于点H，交CD于点G．（1）求证：AE BG =；（2）如图2，连接AG 、GE ，点M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AG 、GE 、EB 的中点，试判断四边形MNPQ 的形状，并说明理由；（3）如图3，点F 、R 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 上，把正方形沿直线FR 翻折，使得BC 的对应边''B C 恰好经过点A ，过点A 作AO FR ⊥于点O ，若'1AB =，正方形的边长为3，求线段OF 的长．2．正方形ABCD 中，点E 、F 在BC 、CD 上，且BE ＝CF ，AE 与BF 交于点G ．（1）如图1，求证AE ⊥BF ；（2）如图2，在GF 上截取GM ＝GB ，⊥MAD 的平分线交CD 于点H ，交BF 于点N ，连接CN ，求证：AN +CN；。
初三数学复习十字架模型
探究正方形中的“十字架模型”一、考题研究在特殊的四边形问题中翻折的问题是比较常见的，不论是期中、期末和中考中都比较常见，能否采用合适的方法求出线段长，或者是利用面积之间关系求线段之间关系，这就是我们今天重点学习的一个模型“十字架模型”二、知识回顾1、全等三角形的性质与判定2、相似三角形的性质与判定3、矩形和正方形的性质与判定4、图形的变换--轴对称三、十字架模型【十字架模型】--正方形第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别AB 、BC 、CD 、DA 边上的点，其中：EG ⊥FH ，可得EG=FH【导入】如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在边CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AD 、BC 上，则折痕FG 的长度为______．【分析】过点G 作GH AD ⊥于H ，根据翻折变换的性质可得GF AE ⊥，然后求出GFH D ∠=∠，再利用“角角边”证明ADE ∆和GHF ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得GF AE =，再利用勾股定理列式求出AE ，从而得解．【解答】法一：解：如图，过点G 作GH AD ⊥于H ，则四边形ABGH 中，HG AB =， 由翻折变换的性质得GF AE ⊥，90AFG DAE ∠+∠=︒，90AED DAE ∠+∠=︒， AFG AED ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，AD AB ∴=，HG AD ∴=，在ADE ∆和GHF ∆中， GHF D AFG AED GH AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE GHF AAS ∴∆≅∆，GF AE ∴=，点E 是CD 的中点，122DE CD ∴==，在Rt ADE ∆中，由勾股定理得，22224225AE AD DE =+=+GF ∴的长为25故答案为：5【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．法二：分析：连接AE ，求解FG 相当于求AE 。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型之十字模型(教师版)
专题18全等与相似模型之十字模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。
在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。
本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。
模型1.正方形的十字架模型（全等模型）“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。
1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则AE=BF。
2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则AE=GF。
3）如图3，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则HE=GF。
模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.例1．（22·23下·广东·课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点DE ，若折痕为PQ，则PQ的长为（）E，使5A．13B．14【答案】A在正方形ABCD中，AD∥BCA ．1个B ．2【答案】C 【分析】利用正方形的性质找条件证明到90ECD CDF ，则AH DF ，在Rt CGD △中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到∴，∴同理可得：ADH DCF △≌△∴1122HG CD AD ，即2HG ∵12HG HD CD ，∴DGH 若AG DG ，则ADG △是等边三角形，则则12CF DF ，而12CF BC模型2.矩形的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。
通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则DE BCAC AB.如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则EF BCAC AB.如图3，在矩形ABCD 中，若E 、F 、M 、N 分别是AB 、CD 、AD 、BC 上的点，且EF ⊥MN ，则EF BC MN AB .【答案】2103【分析】先证明BDF DMG △△∽再利用全等三角形的性质，即可得到答案．【详解】解：如图，连接BD 与∴90MDF DFB ，∴MDB 又∵MN BD ，∴DMG MDG 又∵90BFD DGM ，∴BDF △∵22AB 且45ABF ，∴BE 又∵4BC ，∴BF BC CF BC ∴2222622BD BF DF ∴2101063DF DG MG BF ，∴DMG BNG △≌△，∴MG NG ，(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点证：EF ADGH AB；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若EFGH值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边∵四边形ABCD 是矩形，∴∥DC ，AD ∥BC ．∴四边形AEFP 、四边形BHGQ 都是平行四边形，∴AP ＝EF ，GH ＝BQ ．又∵GH ⊥EF ，∴AP ⊥BQ ，∴∠QAT +∠AQT ＝90°．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠D ＝90°，∴∠DAP +∠DPA ＝90°，∽△QAB ，∴AP AD BQ AB ，∴EF AD GH AB；模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型）1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。
全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型(学生版)
全等与相似三角形中的基本模型之十字架模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。
在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。
本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。
模型1.矩形的十字架模型(相似模型)矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。
通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则DEAC=BCAB.如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则EFAC=BCAB.如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则EFMN=BCAB.1(23·24上·成都市·九年级期中)如图，把边长为AB=6，BC=8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长．2(22·23下·河北·九年级期中)如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BC、AB、CD边上的点，当EF⊥GH时，证明：EF:GH=AB:BC．3(22·23下·湖北·九年级期中)在矩形纸片ABCD 中AB =5，AD =3，点E 、F 在矩形的边上，连接EF ，将纸片沿EF 折叠，点D 的对应点为点P ．(1)如图①，若点P 在边AB 上，当点P 与点A 重合时，则∠DEF =°，当点E 与点A 重合时，则∠DEF =°．(2)如图②，若点P 在边AB 上，且点E 、F 分别在AD 、DC 边上，则线段AP 的取值范围是；(3)如图③，若点F 与点C 重合，点E 在AD 上，线段BA 、PF 交于点M ，且AM =DE ，求线段AE 的长度．4(江苏2022-2023学年九年级上学期期中数学试题)某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：(1)如图1，矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，将矩形对折，使得点B 、点D 重叠，折痕为EF ，过点F 作AB 的垂线交AB 于点G ，求EF 的长；(2)如图2，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点E ，F 分别在AB ，DC上，点G ，H 分别在AD ，BC 上且EF ⊥GH ，求EFGH的值；(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AB =AD =8，BC =CD =4，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DNAM的值．模型2.三角形的十字架模型(全等+相似模型)1)等边三角形中的斜十字模型(全等+相似)：如图1，已知等边△ABC ，BD =EC (或CD =AE )，则①AD =BE ，②AD 和BE 夹角为60°，③△ADB ∽△BDF ∽△BEC 。
2021年中考数学复习 几何模型1——十字模型
正方形中的十字模型分析：1.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是CD、AD上的两点，则有AE⊥BF AE＝BF（互逆）2.如图2，在正方形ABCD中，点E、F、H分别在CD、AD、BC边上，则有AE⊥HF AE＝BF（不互逆）3.如图3，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、CD、AD、BC上，则有EF⊥GH EF＝GH（不互逆）图1 图2 图3正方形中，看到垂直，找边等例5：如图①，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A、B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F（1）求证：△ABF≌△BCE（2）如图②，当E运动到AB中点时，连接DG，求证DC＝DG（3）如图③，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD、BF于点M，N，求MN∶NH的值例6：如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点B恰好落在AD边上，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P（1）如图①，当点F为AD的中点时，填空：AE＝，△FDM的周长为；（2）如图②，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合①探究△FDM的周长是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由②猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系并证明例4：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为AC上一点，连接BD，E 为AB上一点，CE⊥BD于点F，当AD＝CD时，求CE的长例题精讲2：综合强化例5：已知四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：△ADE∽△DCF（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，是探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，DECF =ADCD成立？并证明你的结论（3）如图③，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出DECF的值例6：（1）推断证明：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC 、AB 上，DQ⊥AE 于点O ，点G 、F 分别在边CD 、AB 上，GF⊥AE ①求证：DQ ＝AE②推断：GFAE 的值为 ；（2）类比探究：如图②，在矩形ABCD 中，BCAB =k （k 为常数），将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ，试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当k ＝23时，若tan ∠CGP =34，GF =2√10，求CP 的长。
专题6.2直角三角---十字架模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
⑴若EF⊥GH,证明：EF=GH；
⑵若EF=GH,证明：EF⊥GH.
以上结论，称之为“垂等图”！
以上方法：改斜归正,横平竖直.
过点H作HN⊥BC,过点F作FM⊥AB.
【结论】△HNG≌△FME,GH=EF.
H D
A
E
M
P
B G
F
N C
针对训练
正方形中的十字架结构
考点4-1
1.如图,将边长为4的正方形纸片ABCD折叠,使得点A落在CD的中点E处,折
42 ∴ DE = AD = 8 = 25
解得：x= 25
24
CF AM
192
25
针对训练
其他四边形中的十字架结构
考点4-3
【探究证明】(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与
矩形两邻边的数量关系进行探究,提出下列问题,请你给出证明.
如图1,矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分别变AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点
⑸D、C、E、F四点共圆.
E
F
B
D
C
典例精讲
任意三角形中的斜十字
知识点四
【例4】如图：△ABC中,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,G为AD、
A
BE、CF的交点,且BD:DC=2:1.求：AG:GE.
F
G
B
图中三边三线被分成的六个线段比知二求四！
1.平行线截线段成比例定理的应用.
2.三角形三条中线交点(重心)的性质定理.
1
E
F
2
D
∴∠ADC=∠G,CD=BG.
∵点D为BC的中点，∴CD=BD. ∴BD=BG
本题运用了构造法,通过作辅助线构造△
2023中考数学专题复习——第七章 四边形
2023中考专题复习——第七章四边形时间：45分钟满分：80分一、选择题(每题4分，共32分)1．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是() A．两组对边分别平行的四边形B．两组对角分别相等的四边形C．两条对角线互相平分的四边形D．一组对边平行另一组对边相等的四边形2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点M，N分别为边AB和AC的中点，若AB ＝2，AC＝4，则MN的长度为()A．2 3 B. 3 C．2 5 D. 5(第2题)(第3题)3．如图，在▱ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝()A．80°B．100°C．120°D．140°4．如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标分别为A(0，3)，B(4，0)，则点D的坐标为()A．(0，1) B．(0，－1)C．(0，2) D．(0，－2)(第4题)(第5题)5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，连接AE，则∠DAE的度数是()A．15°B．20°C．12.5°D．10°6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则DE的长是()A．3 B．5 C．2.4 D．2.5(第6题)(第7题)7．如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5，对角线BD＝8，则▱ABCD的面积为() A．20 B．24 C．40 D．488．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出()A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C. △BEF的面积D. △AEH的面积(第8题)(第9题)二、填空题(每题4分，共16分)9．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有________条．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(5，4)，若四边形OABC是平行四边形，则▱OABC的周长等于________．11．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则线段EF的最小值为________．(第11题)(第12题)12．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，已知AF＝2DF，若FG ＝3，则GB＝________．三、解答题(共32分)13．(8分)如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且BE＝DF，AF＝CE.求证：四边形ABCD为平行四边形．(第13题)14．(24分)如图，已知在矩形ABCD中，点M，N分别是边AD，BC的中点，点P，Q分别是边BM，DN的中点．(1)求证：BM∥DN；(2)求证：四边形MPNQ是菱形；(3)当矩形ABCD的边AB与AD满足什么数量关系时，四边形MPNQ为正方形？请说明理由．3(第14题)答案一、1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A7.B8.C二、9.410.1411.12 512. 63点拨：如图，过点F作FP∥AB，交DE于点P，则△DFP∽△DAE.∵AF＝2DF，∴FPAE＝DFDA＝13.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AE＝DF，∴BE＝AF，∴BE＝2AE，∴FPBE＝FP2AE＝16.∵FP∥AB，∴△FPG∽△BEG，∴GFGB＝FPBE＝16，∴GB＝6GF＝6 3.(第12题)三、13.证明：∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF.∴AB∥CD.∴四边形ABCD为平行四边形．14．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵点M，N分别为边AD，BC的中点，∴DM＝BN，∴四边形DMBN是平行四边形．∴BM∥DN.(2)证明：由(1)可知四边形DMBN是平行四边形，∴BM＝DN，BM∥DN.5∵点P，Q分别为边BM，DN的中点，∴MP＝NQ.∴四边形MPNQ是平行四边形．如图，连接MN.(第14题)由(1)可知AD∥BC，AD＝BC.∵点M，N分别为边AD，BC的中点，∴DM＝CN，∴四边形DMNC是平行四边形．由题可知∠C＝90°，∴四边形DMNC是矩形，∴∠DMN＝∠C＝90°.∵点Q是边DN的中点，∴MQ＝NQ，∴四边形MPNQ是菱形．(3)解：当矩形ABCD的边AB与AD满足AB＝12AD时，四边形MPNQ为正方形．理由：∵AB＝12AD，点M是边AD的中点，∴AB＝AM.易得矩形ABNM是正方形．∵P为正方形ABNM对角线BM的中点，∴∠NPM＝90°.由(2)知四边形MPNQ是菱形，∴四边形MPNQ是正方形．。
2024年中考数学复习专题课件+重难突破微专题+ 十字模型
4．如图，四边形 ABCD 是矩形，E，G 分别是 BC，AD 边上的点，且 GE⊥ BD，若 AB＝3，BC＝4，求 GE 的长．
在 Rt△ACD 中，根据勾股定理，得 AD2＝AC2＋CD2， 即 AD2＝42＋22， 解得 AD＝2 5(负值已舍去)． 由(1)可知 AE·AD＝AG·AC，
AG·AC 130×4 4 5 ∴AE＝ AD ＝ 2 5 ＝ 3 ，
4 5 2 5 AE ∴ED＝AD－AE＝2 5－ 3 ＝ 3 ，∴ED＝2.
∵DE＝CF，∴AD－DE＝CD－CF，即 AE＝DF.
AB＝DA，
在△ABE 和△DAF 中，∠BAE＝∠ADF， AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴BE＝AF.
(2)解：∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝4－1＝3. ∴BE＝ AB2＋AE2＝ 42＋32＝5. 由(1)知∠EBA＝∠FAD， ∴∠FAD＋∠AEB＝∠EBA＋∠AEB＝90°，即∠AGE＝∠BAE＝90°， ∴△AGE∽△BAE，∴ABGA＝ABEE，即A4G＝35，解得 AG＝152.
【模型分析】 1．正方形的十字模型 如图，E，F 分别为正方形 ABCD 边 CD，AD 上两点，且 AE⊥BF.
结论：△ABF≌△DAE.
2．矩形的十字模型 如图，点 E，F 分别在矩形 ABCD 的边 BC，CD 上，且 AE⊥BF.
结论：△ABE∽BCF.
2.如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 的延长线上，连接 AE， BF 交于点 G，若 AE⊥BF，求证：AE＝BF.
18 全等与相似模型之十字模型(学生版)-2024年中考数学几何模型归纳讲练(全国通用)
例 4．（22·23 下·六安·一模）如图 1，等边 VABC 中，点 D、E 分别在 BC、AC 上，且 BD CE ，连接 AD、BE 交于点 F．(1)求证： AFE 60 ；(2)如图 2，连接 CF ，若 BD 1 BC ，判断 CF 与 AD 的位置关系并说明理
3
由；(3)如图 3，在 2 的条件下，点 G 在 AE 上， GF 的延长线交 BD 于 H，当 AG FG 5 时，请直接写出
例 2．（22·23 下·河北·九年级期中）如图，在矩形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别为 AD 、 BC 、 AB 、 CD 边上的点，当 EF GH 时，证明： EF : GH AB : BC ．
例 3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形 ABCD 中， AB 6 ， AD 2 3 ， P 是 BC 边上的一个动点，将 矩形 ABCD 折叠，使点 A 与点 P 重合，点 D 落在点 G 处，折痕为 EF ．（1）如图 1，当点 P 与点 C 重合时， 则线段 EB _______________， EF _____________；（2）如图 2，当点 P 与点 B ， C 均不重合时，取 EF 的中点 O ，连接并延长 PO 与 GF 的延长线交于点 M ，连接 PF ， ME ， MA ．①求证：四边形 MEPF 是平 行四边形：②当 tan MAD 1 时，求四边形 MEPF 的面积．
3
例 4．（2022 年四川乐山中考数学适应性试卷）解答(1)如图 1，矩形 ABCD 中，EF⊥GH，EF 分别交 AB，CD
于点 E，F，GH 分别交 AD，BC
于点 G，H．求证：
EF
AD ；(2)如图
2，在满足（1）的条件下，点 M，