高考培优课程数学讲义：排列组合的经典模型及其应用【学生版】
6.2排列与组合(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册
排列与组合一排列概念的理解1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素_完全相同；(2)元素的排列顺序也相同．注意点：(1)要求m≤n.(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同．二画树状图写排列利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．三简单的排列问题要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么．四排列数公式1．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(n，m∈N*，m≤n)．3．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A n n＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！.规定：0！＝1.注意点：(1)乘积是m个连续正整数的乘积；(2)第一个数最大，是A的下标n；(3)第m个数最小，是n－m＋1.五利用排列数公式化简与证明排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．六排列数公式的简单应用对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．情况较多的情形，可以进行分类后进行．七元素的“在”与“不在”问题解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”．八“相邻”与“不相邻”问题处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．九定序问题在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有A m＋nm＋n种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A m m种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有A m＋nm＋nA m m种满足条件的不同排法；(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．十组合概念的理解组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．注意点：(1)组合中取出的元素没有顺序；(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．十一利用组合数公式化简、求值与证明(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．(2)组合数公式：C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！或C m n＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)．(3)规定：C0n＝1.注意点：(1)m≤n，m，n∈N*；(2)C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…[n－m－1]m！常用于计算；(3)C m n＝n！m！n－m！常用于证明．(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C m n中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．十二简单的组合问题解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．十三组合数的性质1组合数的性质1：C m n＝C n－mn.注意点：(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想；(2)两边下标相同，上标之和等于下标．十四组合数的性质2组合数的性质2：C m n＋1＝C m n＋C m－1n.注意点：(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；(2)体现了“含”与“不含”的分类思想．性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆＝C m n＋1－用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C m－1nC m n，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．十五组合数在实际问题中的简单应用在求与两个基本原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．十六有限制条件的排列、组合问题有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．十七多面手问题解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理．十八分组、分配问题角度1不同元素分组、分配问题“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．角度2相同元素分配问题反思感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1种方法．可描述为(n－1)个空中插n－1入(m－1)块隔板．考点一 排列的概念【例1】(2021年广东汕头)(1)下列问题是排列问题的是( )A ．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B ．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C ．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D ．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？(2)从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【练1】(2020·新疆)已知2132n A =，则n =( )A ．11B ．12C ．13D ．14考点二 排列数 【例2】(2020·全国高二单元测试)对于满足13n ≥的正整数n ，(5)(6)(12)n n n --⋅⋅⋅-=( )A ．712n A -B ．75n A -C ．85n A -D ．125n A -【练2】(2020·江西九江一中)5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45考点三 排队问题【例3】(2021·全国高二练习)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【练3】(2020·江苏高二期中)由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是( )A．36B．72C．600D．480考点四数字问题【例4】(2020·浙江省东阳中学)由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是( )A．144B．216C．288D．432考点五组合的概念【例5】(2020·广东湛江高二单元测试)给出下列问题：①有10个车站，共需要准备多少种车票？②有10个车站，共有多少中不同的票价？③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？以上问题中，属于组合问题的是_________(填写问题序号).【练5】下列问题不是组合问题的是 ( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？考点六 组合数【例6】(2020·陕西高二期末)若()6671*n n n C C C n +-=∈Ν，则n 等于( )A ．11B ．12C ．13D ．14【练6】(2020·山东菏泽·高二期末)已知4m ≥，3441m m m C C C +-+=( )A ．1B ．mC ．1m +D ．0考点七 组合应用 【例7】(2020·江苏金湖中学)一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球(1)从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？【练7】(2020·北京朝阳·高二期末)从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是( )A．12B．18C．35D．36考点八全排列【例8】(2020·全国专题练习)在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有( )A．4种B．12种C．18种D．24种【练8】(2020·中山大学附属中学高二期中)一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( )A．4B．44C．24D．48考点九相邻问题【例9】(2021·河北张家口市)某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( )A．24B．36C．48D．60【练9】(2020·沙坪坝区·重庆八中)小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为( )A．6B．12C．18D．24考点十 不相邻问题【例10】(2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中)省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有( )种安排方式. A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【练10】(2020·全国)六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为( ) A ．760B ．16C ．1360D ．14考点十一 分组分配【例11】(2020·全国)疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有( ) A ．60种 B ．90种C ．150种D ．240种【练11】(2020·全国)将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．考点十二 几何问题【例12】(2020·全国)如图，MON 的边OM 上有四点1A 、2A 、3A 、4A ，ON 上有三点1B 、2B 、3B ，则以O 、1A 、2A 、3A 、4A 、1B 、2B 、3B 中三点为顶点的三角形的个数为( )A ．30B ．42C ．54D ．56【练12】(2021·全国)直线x m =，y x =将圆面224x y +≤分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是( ) A ．20 B ．60C ．120D ．240考点十三 方程不等式问题【例13】(2020·全国)方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.【练13】(2021·太原市)不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为( ) A ．55 B ．60C ．91D ．540考点十四 数字问题【例14】(2020·南通西藏民族中学)从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有( ) A ．6种 B ．9种C ．10种D ．15种【练14】已知集合{}A a b c d =，，，，从集合A 中任取2个元素组成集合B ，则集合B 中含有元素b 的概率为( )A．16B．13C．12D．1课后练习1.（2021高二下·天津期中）用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有（）个A.120B.216C.222D.2522.（2021高二下·临沂期末）若A n3=8C n2，则n=（）A.4B.5C.6D.73.（2021高二下·梅州期末）在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．现有四名学生分别统计全部选手的总得分为55分，56分，57分，58分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）A.6位B.7位C.8位D.9位4.（2021高三上·运城开学考）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）A.90B.216C.144D.2405.（2020高二上·昌平期末）某社区5名工作人员要到4个小区进行“爱分类”活动的宣传，要求每名工作人员只去一个小区，每个小区至少去一名工作人员，则不同的安排方法共有种.6.（2021·富平模拟）2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》､《英雄赞歌》､《唱支山歌给党听》､《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》､《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有种.7.（2021高二下·郑州期末）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成个不同的六位数．8.（2021·三明模拟）设n∈N且n<5，若62021+n能被5整除，则n等于.9.（2021高二下·江苏期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？)m(m∈N∗)的展开式中，第三项系数是10.（2021高二下·郑州期末）在二项式(x2+2√x．倒数第三项系数的18（1）求m的值；（2）求展开式中所有的有理项．精讲答案【例1】 【答案】(1)B(2)B【解析】(1)排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B 中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B. (2)排列与顺序有关，故②④⑤是排列． 【练1】 【答案】B【解析】∵2132n A =，∴(1)132n n -=，整理，得，21320n n --=；解得12n =，或11n =- (不合题意，舍去)；∴n 的值为12. 故选：B. 【例2】 【答案】C【解析】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为5n -，选取个数为(5)(12)18n n ---+=，85(5)(6)(12)n n n n A ---⋅⋅⋅-=.故选：C ．【练2】 【答案】C【解析】将5人随机排成一列，共有55120A =种排列方法；当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入，故共有323461272A A =⨯=种排列方法，则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为7231205P ==. 故选：C. 【例3】【答案】(1)2520；(2)5040；(3)576；(4)1440；(5)3600；(6)3720.【解析】(1)从7人中选5人排列，共有57765432520A =⨯⨯⨯⨯=(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有37A 种方法，余下4人站后排，有44A 种方法，按照分步乘法计数原理计算可得一共有347476543215040A A ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种).(3)捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，有44A 种，再与3名男生进行全排列有44A 种，共有4444576A A ⨯=(种)．(4)插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有43451440A A ⨯=(种)． (5)先排甲，有5种方法，其余6人有66A 种排列方法，共有6653600A ⨯=(种).(6) 7名学生全排列，有77A 种方法，其中甲在最左边时，有66A 种方法，乙在最右边时，有66A 种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有55A 种方法，故共有76576523720A A A -⨯+= (种).【练3】 【答案】D【解析】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选：D .【例4】 【答案】B【解析】先从3个奇数中选出2个捆绑内部全排共有236A =种排法，再把捆绑的2个奇数看成一个整体，因为这个整体与剩下的一个奇数不相邻，将2个非0偶数全排有222A =种选法， 奇数插空全排有236A =种选法，最后把0插空，0不能在两端，有3种排法，可组成这样不同的6位的个数为6263216⨯⨯⨯=种排法， 故选：B【例5】 【答案】②④【解析】①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；②有10个车站，共有多少中不同的票价？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；以上问题中，属于排列问题的是②④. 【练5】 【答案】 D【解析】 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D. 【例6】 【答案】B【解析】根据题意，6671n n n C C C +-=变形可得，6671n n n C C C +=+；由组合性质可得，6771n n n C C C ++=，即6711n n C C ++=，则可得到16712n n +=+⇒=.故选：B.【练6】 【答案】D【解析】3443444411110m m m m m m m m C C C C C C C C ++++=--++-==.故选：D【例7】【答案】(1) 13；(2) 22.【解析】(1 )从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法：红球3个，红球2个和白球1个.当取红球3个时，取法有1种；当取红球2个和白球1个时，.取法有213412C C =种.根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有11213+=种. (2 )使总分不少于6分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个.第一种，红球2个和白球2个，取法有223418C C =种; 第二种，红球3个和白球1个，取法有31344C C =种,根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18422+=种. 【练7】 【答案】B【解析】先从3名男生中选出2人有233C =种，再从4名女生中选出2人有246C =种，所以共有1863=⨯种，故选：B【例8】 【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A =种，故选：D.【练8】 【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为44=432124A ⨯⨯⨯=.故选：C 【例9】 【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有22A 种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为424248A A ⨯=.故选：C【练9】 【答案】B【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A ⋅=故选：B【例10】 【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为3424A =.故选：B.【练10】 【答案】C【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共33A 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得24A ，此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有1424C A 排法，甲和乙不排在第一位， 则剩下3人有1人排在第一位，则有122323C A A 种排法，此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选：C. 【例11】【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=故选：C 【练11】 【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有16C 种选法；再从余下的5本中选2本，有25C 种选法；最后余下3本全选，有33C 种选法．故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.【例12】 【答案】B【解析】利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，因此，符合条件的三角形的个数为33384542C C C --=.故选：B.【练12】 【答案】D【解析】当2m ≤-或2m ≥时，圆面224x y +≤被分成2块， 此时不同的涂色方法有5420⨯=种，当22m -<≤-或22m ≤<时，圆面224x y +≤被分成3块， 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种， 当22m -<<时，圆面224x y +≤被分成4块， 此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种， 所有可能的涂色种数是240． 故选：D 【例13】 【答案】36【解析】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36 【练13】【答案】C【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位(不包含两端)中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.【例14】 【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1236++=，和的最大值为45615++=，所以当从1，2，3，4，5，6中任取三个数相加时，则不同结果有10种．故选：C. 【练14】 【答案】C【解析】A 中任取2个元素组成集合B ，则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======，共6个，其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个，故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选：C练习答案1. 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】解：由题意知，分两种情况：①五位数是由2个偶数，3个奇数组成，共有A 33C 32A 42=216个； ②五位数是由3个偶数，2个奇数组成，共有C 32A 22A 33=36个；则这样的五位数一共有216+36=252个故答案为：D【分析】由排列与组合，结合题意，直接求解即可2.【答案】C【考点】排列及排列数公式，组合及组合数公式【解析】由题意知：n!3!=8⋅n!2!(n−2)!，即(n−2)!=24=4!，可得n−2=4，∴n=6.故答案为：C【分析】利用排列组合数计算公式，即可得出答案。
【学而思 高中数学讲义】排列与组合.版块六.排列组合问题的常见模型2.学生版
1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．知识内容排列组合问题的常见模型22)(n m-+ n n典例分析分堆问题【例1】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？⑴一堆一本，一堆两本，一堆三本；⑵甲得一本，乙得两本，丙得三本；⑶一人得一本，一人得二本，一人得三本；⑷平均分给甲、乙、丙三人；⑸平均分成三堆．【例2】有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【例3】七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人；⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人；⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．【例8】将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．150【例9】某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）染色问题【例10】如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（）A．30种B．27种C．24种D．21种【例11】将123的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，，，填入33则不同的填写方法共有____________．321321321【例12】 将1,2,3填入33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种【例13】 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）．DC B AA ．24B ．36C ．72D ．84【例14】 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）．【例15】如图所示A、B、C、D、E为5个区域，现备有5种颜色为5个区域涂色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？E DCB A【例16】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．【例17】如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）．错位排列【例18】编号为1,2,3,4,5的五人入座编号也为1,2,3,4,5的五个座位，至多有2人对号的坐法有______种．【例19】7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，问：共有多少种旅游方案?【例20】7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，问：共有多少种旅游方案?。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册精品课件 第六章 培优课——排列与组合的综合应用
(1)元素是否有序.
(2)对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是
分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.
变式训练4
有6名男医生,4名女医生.把10名医生分成2组,每组5人,且每组要有女医生,
有多少种不同的分派方法?若将这两组医生分派到两地去,并且每组选出
正、副组长2人,又有多少种方法?
果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、
乙两人中产生,则不同的传递方法共有
种.(用数字作答)
答案 96
解析 甲传第一棒,乙传最后一棒,共有A44 种方法.乙传第一棒,甲传最后一棒,
共有A44 种方法.丙传第一棒,共有C21 ·A44 种方法.由分类加法计数原理得,共有
A44 + A44 + C21 ·A44 =96(种)方法.
解医生的选法有两类:
第 1 步,在 6 名教师中任取 1 名作为一组,有C61 种分法;
第 2 步,在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组,有C52 种分法;
第 3 步,余下的 3 名教师作为一组,有C33 种分法.
根据分步乘法计数原理,共有C61 C52 C33 =60(种)分法.
再将这 3 组教师分配到 3 所中学,有A33 =6(种)分法,故共有 60×6=360(种)不同
或-1,其余等于 0,于是有C51 C21 =10(种)情况;第 2 类,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此
时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取两个让其都等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一
个等于-1,其余等于 0,于是有 2× C52 + C52 C21 =40(种)情况;第 3
高考数学理一轮复习 102排列组合及其应用课件
备选例题3 某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴 定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
2．解决有关排列应用题，要注意防止发生以下错误： (1)没有仔细审题，盲目套用公式和方法 (2)不能用公式或常用方法解答时，不会用一一列举的 方法来解决．
3．求解排列组合应用题，要仔细读题、用心理解、合 理转化、寻找解题的最佳切入点，切忌概念模糊、审题不清、 方法不明、“加”“乘”颠倒、有序无序混淆、公式乱用， 还有讨论要做到不重不漏．
解析：(1)∵Ayx＝Cyx·y！，由已知得 y！＝2， ∴y＝2，由 Ax2＝272，即 x(x－1)＝272， 解得 x＝17.
答案：17 2
题型二 简单的排列应用题
思维提 ①排列数计算 示 ②排列应用题的方法
例2 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数 字的
(1)六位奇数； (2)个位数字不是5的六位数； (3)不大于4310的四位偶数． [分析] 有大小要求的排数问题要注意首位数字，有奇 偶要求的排数问题要注意个位数，有数位要求的排数问题要 注意0的位置，有重复多减的要将多减的部分补算回来．
②几何中的计算问题，要注意分清“对应关系”，如不 共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体 等等，解题时可借图形来帮助思考，并善于利用几何性质于 解题之中．
③对于有多个约束条件的问题，可以通过分析每个约束 条件，然后再综合考虑是分类、分步或交替使用两个基本原 理，也可以先不考虑约束条件，然后扣除不符合条件的情况 获得结果.
高考数学第十章排列与组合-教学课件
[自主解答] 依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参与，就
司机这项工作的实际参与人数进行分类：
第一类，司机这项工作的实际参与人数恰有1人，满足题意的方法有
C 31
·C
1 3
·C
2 4
·C
12＝108(种)(注：C31
表示从除甲、乙外的3人中任选1人从事司
机工作的方法数；C
1 3
·C
2 4
表示从除司机工作外的其余3项工作中任选定1
答案： A
[冲关锦囊] 组合问题的两种主要类型 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则 先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则 先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考题逆向思 维，用间接法处理.
[精析考题]
[例3] (2011·北京海淀区期末)世博会期间，某班有四
A．C82A32 C．C82A62
B．C28A66 D．C82A25
()
解析：先从后排8人中任取2人，有C82种取法，然这两人逐个 安插有5×6种方法．故C正确．
答案： C
7．(2012·开封定位评估)2位男生和3位女生共5位同学
站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只
有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ( )
公式
排列数公式 Amn ＝ n(n－1) …(n－m＋1) ＝ n！
n－m！
组合数公式
Cmn ＝nAAnmnmm－1…n－m＋1
＝
m！
＝
n！ m！n－m！
性 (1)Ann＝ n！； (1)C0n＝ 1 ；(2)Cmn ＝Cnn－m；
质 (2)0！＝ 1
(3)Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1
高三数学排列组合讲解
高三数学排列组合讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是以高三数学中的排列组合为主题，通过对排列组合基本概念、原理及解题策略的深入讲解，使学生掌握排列组合问题的解题方法和技巧。
具体包括以下几个方面：（1）排列组合的基本概念及其应用；（2）排列组合的计算公式及推导过程；（3）排列组合在实际问题中的应用和转化；（4）排列组合问题的解题策略和技巧。
2、教学对象本节课的教学对象为高三学生，他们在前两年的数学学习中，已经接触过一些排列组合的知识，具备一定的数学基础和逻辑思维能力。
然而，由于排列组合问题具有较强的抽象性和复杂性，学生在解决实际问题时仍存在一定的困难。
因此，本节课旨在帮助学生巩固和提升排列组合方面的知识与技能，为高考数学复习打下坚实基础。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握排列组合的基本概念，包括排列、组合的定义及其区别；（2）熟练运用排列组合的计算公式，如排列公式、组合公式、多重集合的排列组合等；（3）掌握排列组合问题的解题策略，如特殊元素优先法、捆绑法、插空法等；（4）能够将实际问题转化为排列组合问题，运用所学知识解决具体问题；（5）通过排列组合的学习，提高学生的逻辑思维能力和数学素养。
2、过程与方法（1）通过实例分析，让学生体会从具体问题中抽象出排列组合问题的过程，培养他们发现问题、分析问题的能力；（2）采用启发式教学方法，引导学生积极参与课堂讨论，培养他们主动探究、合作学习的习惯；（3）通过讲解、练习、讨论等多种教学方式，使学生掌握排列组合的计算方法和解题技巧；（4）注重培养学生的数学思维能力，让他们在解决排列组合问题的过程中，学会运用数学方法进行推理和论证；（5）鼓励学生多角度思考问题，培养他们的创新意识和发散性思维。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，培养他们热爱数学、探究数学的情感；（2）通过解决排列组合问题，使学生体验到数学学习的成就感，增强自信心；（3）培养学生严谨、踏实的学术态度，让他们认识到数学学习需要勤奋和思考；（4）引导学生正确看待数学学习中的困难，培养他们面对挑战、克服困难的勇气和毅力；（5）通过小组合作学习，培养学生的团队协作精神，使他们学会尊重他人、倾听他人意见；（6）将数学学习与实际生活相结合，让学生认识到数学知识在实际生活中的重要价值，提高他们的数学应用意识。
排列组合常见模型及解题技巧
排列组合常见模型及解题技巧排列组合常见模型及解题技巧___________________________________排列组合是数学中的一个重要概念，其主要用于解决有关物品数量、顺序、种类等问题，十分重要。
尤其在中考、高考中，排列组合模型非常常见。
因此，想要在考试中取得好成绩，需要对排列组合的相关知识有所了解。
### 一、常见的排列组合模型1. 元素排列模型：当有n个元素时，可以有n!种不同的排列方式。
2. 重复的排列模型：当有n个元素中有m个重复的元素时，可以有$\frac{n!}{m!}$种不同的排列方式。
3. 选择排列模型：当从n个元素中选出m个元素进行排列时，可以有$\frac{n!}{(n-m)!}$种不同的排列方式。
4. 组合模型：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，可以有$\frac{n!}{m!(n-m)!}$种不同的组合方式。
5. 组合中出现重复的情况：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，若有k个重复的元素，可以有$\frac{n!}{(m-k)!(n-m)!}$种不同的组合方式。
### 二、解题技巧1. 明确问题：排列组合问题一般都是要求出物品的总数量或者某一种情况出现的总次数。
因此，在解决这样的问题之前，要明确问题是要计算出总数量还是总次数。
2. 对物品进行分类：在解决排列组合问题时，要明确物品的数量、重复的情况以及可以选择的情况，将物品分成不同的分类。
3. 认真计算：根据不同的情况，选择对应的模型来计算出总数量或者总次数。
在计算之前一定要仔细地去理解问题，以免出错。
4. 熟悉常用公式：在处理排列组合问题时，要能够准确地使用对应的公式来计算出正确的答案。
因此，对于常用的公式一定要牢记于心，并能够准确地使用。
### 三、总结通过本文，我们可以了解到排列组合常见的几个模型以及如何正确地使用它们来解决问题。
排列组合问题是数学考试中常见的问题之一，因此在备考考试时一定要加强对这方面的学习。
高三数学课件：排列、组合综合应用
复习回顾前面我们系统的学习了排列组合的基本方法以及简单应用，现在我们回顾一下：1、排列的基本方法:直排法㈡优先法排除法捆绑法插空法除法2、组合的基本方法:分配法二＞插入闸板法插入法走步问题多元问题几何问题1、9个人分成3排，每排3人，有多少种排法?比较：9个人分成3排，每排3人，要求甲必须站在第一排，乙、丙站在第二排有多少种排法？GW&2、五名同学排成一排，要求甲不站在两端，有多少种排法？C^43、排一个5门功课的课程表，数学不排最后一节，体育不排第一节，有多少种排法？& -£ -2x304；4、书架上有3本不同的语文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，竖成一排，要求同类的书必须排在一起, 有多少种不同的排法？5、4名男生，3名女生排成一排，要求女生不箱令着备少种排法？若男女相间呢？划&6、4名男生，3名女生排成一排，身高均宗扁同，要求男生女生都要按高矮顺序排，有多少种排法？£ x 41、9本书分给甲、乙、丙三人，每人至少两本，有多少种分法？3°入I V-XQ入^^3 * 2 入/in 21.^2、10个小球分到5个盒中，每个盒中至少一本，有多少种分法?3、10个人站成一排，甲.乙、丙三人两两不相邻且不站1、9个人分成3排，每排3人，有多少种排法?从A到B最短路线, 多少种走法？其中7名英语译CM要求经过C,有6名日语译员,4人翻译日语，有多少种方法?厂4厂4 厂3厂1厂4 厂2厂2厂4 在两端，问有多少种站法?从中找4人翻译英语,讲授新课例1：有5个男生和3个女生，从中选出5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数。
(1)某女生甲一定担任语文科代表。
(2)某男生乙必须在内，但不担任数学科代表。
(3)有女生但人数少于男生。
(4)某女生甲、某男生乙必须在内，甲一定担任语文科代表、乙不担任数学科代表。
变式:有四个不同的球，四个不同的盒子，把球全放入盒内;(1)恰有一个空盒,有几种放法？(2)恰有两个空盒，有几种放法？例2、某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考培优数学“排列组合的经典模型及其应用”讲义编号：排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？经典方法知识的讲解已结合在下面的例题中。
排列组合中的经典方法（★★☆☆☆）我竟然不知道以下经典方法，太恐怖了！1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂()()()()n A B n A n B n A B例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70种B、64种C、58种D、52种（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A、150种B、147种C、144种D、141种16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a -L L L L 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有!n n种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n -元素全排列.例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有n m 种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？18.复杂排列组合问题构造模型法:例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？ （2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式： 用A 、B 、C……表示写着n 位友人名字的信封，a 、b 、c……表示n 份相应的写好的信纸。
把错装的总数为记作f(n)。
假设把a 错装进B 里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：（1）b 装入A 里，这时每种错装的其余部分都与A 、B 、a 、b 无关，应有f(n-2)种错装法。
（2）b 装入A 、B 之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a 之外的） 份信纸b 、c……装入（除B 以外的）n －1个信封A 、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。
总之在a 装入B 的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。
a 装入C ，装入D……的n －2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:得到一个递推公式： f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}，分别带入n=2、3、4等可推得结果。
也可用迭代法推导出一般公式： )!1)1(!31!21!111(!)(n n n f n -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=易错问题归纳（★★★☆☆）知其“错”而知其所以“错”，请深度反思之。
1. 概念理解不清致错例1．抛掷一枚均匀的骰子，若事件A ：“朝上一面为奇数”，事件B ：“朝上一面的点数不超过3”，求P （A+B ）例2．某人抛掷一枚均匀骰子，构造数列}{n a ，使⎩⎨⎧-=)(,1)(,1次掷出奇数当第次掷出偶数当第n n a n ，记n n a a a S +++= (21)求)4,3,2,1(0=≥i S i 且28=S 的概率。
2. 有序与无序不分致错例3．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题。
求：（1）甲抽到选择题，乙提到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？ 例4．已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支，求：A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率。
3. 分步与分类不清致错例5．某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次打开房门的概率？例5’．某种射击比赛的规则是：开始时在距目标100m 处射击，若命中记3分，同时停止射击。
若第一次未命中，进行第二次射击，但目标已在150m 远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第2次仍未命中，还可以进行第3次射击，此时目标已在200m 远处。
若第3次命中则记1分，同时停止射击，若前3次都未命中，则记0分。
已知身手甲在100m 处击中目标的概率为21，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。
求：射手甲得k 分的概率为P k ，求P 3，P 2，P 1，P 0的值。
4. 考虑不周致错例6．某运动员射击一次所得环数x 的分布列如下：x 7 8 9 10 P 0.2 0.2 0.2 0.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为ξ，求：ξ的分布列。
例7．将n 个球等可能地放入到N （n ×n ）个有编号的盒子中（盒子中容纳球的个数不限）。