数学建模讲义统计模型优秀课件
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数学建模+建立统计模型进行预测课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)
年个人消费支出总额x/万元
1
1.5
2
2.5
3
恩格尔系数y
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
若y与x之间有线性相关关系,某人年个人消费支出总额为2.6万元,据此估
计其恩格尔系数为
.
5
5
=1
i=1
参考数据: ∑ xiyi=4, ∑ 2 =22.5.
^
参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其经验回归直线 =
现年宣传费x(单位:万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了
初步处理,得到下面的一些统计量的值.
x/万元
y/t
2
2.5
4
4
5
4.5
3
3
6
6
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程;
(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=y-0.05x2-1.85,根据(1)中的结果回答
5
=
则样本点的中心坐标为
19.65+m
,
5
19.65+m
4,
5
,
19.65+
代入y=1.03x+1.13,得 5 =1.03×4+1.13,
^
解得 m=6.6.故选 B.
答案:B
2.(多选题)下列说法正确的是(
)
附:χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
α
xα
0.1
2.706
0.05
3.841
直线附近,并且在逐步上升,
所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.
数据统计建模方法 ppt课件
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2020/12/2
4
校数 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
队数
1600 1400 1200 1000
800 600 400 200
就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺；
对所用方法一知半解，不管具体条件，套用现成的 方法，导致错误；
对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周；
写作方面的问题(摘要、简明、优缺点、参考文献);
队员之间合作精神差，孤军奋战；
依赖心理重，甚至违纪（指导教师、 网络）。
2020/12/2
11
竞赛内容与形式
2020/12/2
15
数 据 的 统 计 描 述 和 分 析
2020/12/2
统计的基本概念 参数估计 假设检验
16
一、统计量
1. 表示位置的统计量—平均值和中位数.
平均值（或均值，数学期望）： X
1 n
n i 1
Xi
中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.
2. 表示变异程度的统计量—标准差、方差和极差.
b,
注意要使每一个区间
(
x
' i
,
xi'
1
]
（i=1，2，…，n-1）
内都有样本观测值 xi（i=1，2，…，n-1）落入其中.
2.求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间
(
xi'
,
x' i 1
]
中出
现的次数 ni ，它就是这区间或这组的频数.计算频率
2020/12/2
4
校数 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
队数
1600 1400 1200 1000
800 600 400 200
就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺；
对所用方法一知半解，不管具体条件，套用现成的 方法，导致错误；
对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周；
写作方面的问题(摘要、简明、优缺点、参考文献);
队员之间合作精神差，孤军奋战；
依赖心理重，甚至违纪（指导教师、 网络）。
2020/12/2
11
竞赛内容与形式
2020/12/2
15
数 据 的 统 计 描 述 和 分 析
2020/12/2
统计的基本概念 参数估计 假设检验
16
一、统计量
1. 表示位置的统计量—平均值和中位数.
平均值（或均值，数学期望）： X
1 n
n i 1
Xi
中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.
2. 表示变异程度的统计量—标准差、方差和极差.
b,
注意要使每一个区间
(
x
' i
,
xi'
1
]
（i=1，2，…，n-1）
内都有样本观测值 xi（i=1，2，…，n-1）落入其中.
2.求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间
(
xi'
,
x' i 1
]
中出
现的次数 ni ，它就是这区间或这组的频数.计算频率
《数学建模》课件：第十章 统计回归模型
根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归 分析可以分为一元回归、多元回归、线性回归、多 项式（完全二次、交叉二次等）回归等许多类别。
回归和拟合比较相近，但并不一样。对拟合而言， 一个Y变量对应一个X变量，而回归分析的一个Y变 量则有可能对应多个X变量。从这个角度说，拟合 也属于回归的一种。
/view/0aa4c90c844769eae009ed7d.html? re=view （回归分析的基本理论及软件实现）
linear（线性）： y 0 1 x1 m xm
purequadratic（纯二次）：
y 0 1x1 m xm
n
jj
x
2 j
j1
interaction（交叉）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
1 jkm
quadratic（完全二次）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
6.80
0.55
9.26
问题分析
注意到牙膏是生活必需品，顾客在购买同类 产品时常常会更在意不同品牌之间的价格差异， 而不是他们价格本身。
因此，在研究各因素对销售量的影响时，用价 格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合 适。 下面建立牙膏销售量与价格差、广告费之间的关系 模型。
基本模型
y 10
(1) beta=nlinfit(X,Y,function,beta0) (2) [beta,r,J]=nlinfit(X,Y,function,beta0)
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型; 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
1
xn1
xn2
回归和拟合比较相近，但并不一样。对拟合而言， 一个Y变量对应一个X变量，而回归分析的一个Y变 量则有可能对应多个X变量。从这个角度说，拟合 也属于回归的一种。
/view/0aa4c90c844769eae009ed7d.html? re=view （回归分析的基本理论及软件实现）
linear（线性）： y 0 1 x1 m xm
purequadratic（纯二次）：
y 0 1x1 m xm
n
jj
x
2 j
j1
interaction（交叉）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
1 jkm
quadratic（完全二次）： y 0 1x1 m xm jk x j xk
6.80
0.55
9.26
问题分析
注意到牙膏是生活必需品，顾客在购买同类 产品时常常会更在意不同品牌之间的价格差异， 而不是他们价格本身。
因此，在研究各因素对销售量的影响时，用价 格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合 适。 下面建立牙膏销售量与价格差、广告费之间的关系 模型。
基本模型
y 10
(1) beta=nlinfit(X,Y,function,beta0) (2) [beta,r,J]=nlinfit(X,Y,function,beta0)
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型; 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
1
xn1
xn2
《数学建模统计模型》PPT课件
0.11 123 139 98 115
1.10 207 200 160 /
16
分 ❖ 酶促反应的基本性质
析
底物浓度较小时，反应速度大致与浓度成正比；
底物浓度很大、渐进饱和时，反应速度趋于固定值
基本模型
y
Michael应的速度 待定系数 =(1 , 2)
y f (x, ) 1x
建立实际回归模型的过程
• 实际问题 • 设置指标变量
– 解释变量的重要性；不相关性；用相近的变量代替或几个指标 复合；个数适当——这个过程需反复试算
• 收集整理数据 – 时间序列数据：随机误差项的序列相关，如人们的消费习惯 – 横截面数据：随机误差项的异方差性，如居民收入与消费 – 样本容量的个数应比解释变量个数多 – 缺失值，异常值处理
• 30个销售周期数据： – 销售量、价格、广告费用、同类产品均价
销售周期 公司价 (元) 它厂价 (元) 广告(百万元)
1
3.85
3.80
5.50
2
3.75
4.00
6.75
…
…
…
…
29
3.80
3.85
5.80
30
3.70
4.25
6.80
价差(元) -0.05 0.25 … 0.05 0.55
销售量(百万支) 7.38 8.51 … 7.93 9.26
1 j k m
quadratic（完全二次）： y 0 1 x1 m xm jk x j xk
1 j,k m
12
完全二次多项式模型
y 0 1x1 2 x2 3 x1x2 4 x12 5 x22
MATLAB中有命令rstool直接求解
【精品】数学建模数据统计与分析PPT课件
参数估计就是从样本（X1，X2，…，Xn）出发，构造一些统计量 ˆi( X1，
X2，…，Xn） （i=1，2，…，k）去估计总体X中的某些参数（或数字特
征）i（i=1，2，…，k）.这样的统计量称为估计量.
1. 点估计：构造（X1，X2，…，Xn）的函数 ˆi( X1，X2，…，Xn） 作为参数i的点估计量，称统计量ˆi为总体X参数i的点估计量.
（二）方差的区间估计 D X 在 置 信 水 平 1 - 下 的 置 信 区 间 为 [ ( n 2 1 ) s 2 , ( n 1 2 ) s 2 ] . 1 22
2021/7/15
数学建模
返回
14
对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据 抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检 验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假 设.
X n） ,使 得
P (ˆ1ˆ2)1 则 称 随 机 区 间 (ˆ1,ˆ2)为 参 数 的 置 信 水 平 为 1的 置 信 区 ˆ1 间 , 称 为 置 信 下 限 ,ˆ2称 为 置 信 上 限 .
2021/7/15
数学建模
13
(一)数学期望的置信区间 1、已知DX，求EX的置信区间
s 设 样 本 （ X 1 ， X 2 ， … ， X n ） 来 自 正 态 母 体 X ， 已 知 方 差 D 2 X ，
（ ） Y = X 1 2 X 2 2 X n 2
服 从 自 由 度 为 n 的 2分 布 ， 记 为 Y ~ 2 n.
Y 的 均 值 为 n ， 方 差 为 2 n .
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
X2，…，Xn） （i=1，2，…，k）去估计总体X中的某些参数（或数字特
征）i（i=1，2，…，k）.这样的统计量称为估计量.
1. 点估计：构造（X1，X2，…，Xn）的函数 ˆi( X1，X2，…，Xn） 作为参数i的点估计量，称统计量ˆi为总体X参数i的点估计量.
（二）方差的区间估计 D X 在 置 信 水 平 1 - 下 的 置 信 区 间 为 [ ( n 2 1 ) s 2 , ( n 1 2 ) s 2 ] . 1 22
2021/7/15
数学建模
返回
14
对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据 抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检 验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假 设.
X n） ,使 得
P (ˆ1ˆ2)1 则 称 随 机 区 间 (ˆ1,ˆ2)为 参 数 的 置 信 水 平 为 1的 置 信 区 ˆ1 间 , 称 为 置 信 下 限 ,ˆ2称 为 置 信 上 限 .
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数学建模
13
(一)数学期望的置信区间 1、已知DX，求EX的置信区间
s 设 样 本 （ X 1 ， X 2 ， … ， X n ） 来 自 正 态 母 体 X ， 已 知 方 差 D 2 X ，
（ ） Y = X 1 2 X 2 2 X n 2
服 从 自 由 度 为 n 的 2分 布 ， 记 为 Y ~ 2 n.
Y 的 均 值 为 n ， 方 差 为 2 n .
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
数学建模中的统计学ppt课件
i1
它反映了总体 方差的信息
样本标准差:
S
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
.
样本k阶原点矩 :
样本k阶中心矩 :
Ak
1 n
n i1
X
k i
它反映了总体k 阶矩的信息
M k
1 n
n
(Xi
i1
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
Байду номын сангаас
X
为样本1阶原点矩A1,样本二阶中心矩M
记为
2
Sn2 =
1 n
总体分布 的实际情
H 0 成立
况（未知） H 0 不成立
判断正确 犯第 II 类错误
犯第 I 类错误 判断正确
断言：在座的各位平均身高是170cm。
要检验这句话正确与否，我们可以采用单 正态总体的均值检验。
设总体 X ~ N(, 2 ) ，( X1, X 2,, X n )为取自
该总体的一组样本
y
y
y f (x)
Y f (X)
x
0
x0
(b) 统计关系
例 2 城镇居民的收入与消费支出之间有很大的关 联，居民的收入提高了，消费也随之潇洒，但居民的 收入不能完全确定消费，人们的消费支出受到不同年 龄段的消费习惯的影响，也受到不同消费理念的影响。
因此居民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确定
yˆ 33.73 0.516x (单位：英寸)
这1078对夫妇平均身高为 x 68 英寸，而
子代平均身高 y 69英寸
尽管“回归”这个名称的由来具有其 特定的含义，人们在研究大量的问题中变
量 x 与 y 之间的关系并不总是具有“回归” 的含义，但用这个名词来研究 x 与 y 之间
它反映了总体 方差的信息
样本标准差:
S
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
.
样本k阶原点矩 :
样本k阶中心矩 :
Ak
1 n
n i1
X
k i
它反映了总体k 阶矩的信息
M k
1 n
n
(Xi
i1
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
Байду номын сангаас
X
为样本1阶原点矩A1,样本二阶中心矩M
记为
2
Sn2 =
1 n
总体分布 的实际情
H 0 成立
况（未知） H 0 不成立
判断正确 犯第 II 类错误
犯第 I 类错误 判断正确
断言：在座的各位平均身高是170cm。
要检验这句话正确与否，我们可以采用单 正态总体的均值检验。
设总体 X ~ N(, 2 ) ，( X1, X 2,, X n )为取自
该总体的一组样本
y
y
y f (x)
Y f (X)
x
0
x0
(b) 统计关系
例 2 城镇居民的收入与消费支出之间有很大的关 联，居民的收入提高了，消费也随之潇洒，但居民的 收入不能完全确定消费，人们的消费支出受到不同年 龄段的消费习惯的影响，也受到不同消费理念的影响。
因此居民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确定
yˆ 33.73 0.516x (单位：英寸)
这1078对夫妇平均身高为 x 68 英寸，而
子代平均身高 y 69英寸
尽管“回归”这个名称的由来具有其 特定的含义，人们在研究大量的问题中变
量 x 与 y 之间的关系并不总是具有“回归” 的含义，但用这个名词来研究 x 与 y 之间
统计模型基本方法PPT课件
x
p•q
式中：p为二分变量中某一项所占比例；q为二分变量中另一
项所占比例，p+q=1; 为二分变量中比例为p部分所对应的连续
变量的平均数； 为二分变量中比例为q部分所对应X的p连续变量的平
均数.σx为连续变量的标准差。
Xq
第31页/共69页
例6 随机抽取某区初二数学期末考试卷15 份，试计算第二题的得分与总分相一致的程度 （即试题的区分度，它是衡量试题鉴别能力的指 标值）。数据见表5-6。
1
一、构建步骤
目录
1.假设（创新点）
2.变量设计（属性、尺度）
3.数据收集（问卷、访谈、实验）
4.数据分析（变量之间的关系）
5.建立模型（模型检验）
6.研究评估（信度与效度）
二、变量关系分析
1.变量之间的关联性检验
2.变量之间的变化关系的模型
第1页/共69页
2
研究过程的要点（创新点）
研究中最重要的是创新点，所研究问题的假设是研究过程 中的关键，所有这一切都必须抓住研究过程中两大环节。 （1）问题辨析 辨识问题、提炼主题 （2）论证和验证主题 （即回答解决什么问题，预期取得什么结果，选择论证该预期 结果的技术方法）
x
1
74
82
-1.6
2
71
75
-4.6
3
80
81
4.4
4
85
89
9.4
5
76
82
0.4
6
77
89
1.4
7
77
88
1.4
8
68
84
-7.6
9
74
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-1.6
p•q
式中：p为二分变量中某一项所占比例；q为二分变量中另一
项所占比例，p+q=1; 为二分变量中比例为p部分所对应的连续
变量的平均数； 为二分变量中比例为q部分所对应X的p连续变量的平
均数.σx为连续变量的标准差。
Xq
第31页/共69页
例6 随机抽取某区初二数学期末考试卷15 份，试计算第二题的得分与总分相一致的程度 （即试题的区分度，它是衡量试题鉴别能力的指 标值）。数据见表5-6。
1
一、构建步骤
目录
1.假设（创新点）
2.变量设计（属性、尺度）
3.数据收集（问卷、访谈、实验）
4.数据分析（变量之间的关系）
5.建立模型（模型检验）
6.研究评估（信度与效度）
二、变量关系分析
1.变量之间的关联性检验
2.变量之间的变化关系的模型
第1页/共69页
2
研究过程的要点（创新点）
研究中最重要的是创新点，所研究问题的假设是研究过程 中的关键，所有这一切都必须抓住研究过程中两大环节。 （1）问题辨析 辨识问题、提炼主题 （2）论证和验证主题 （即回答解决什么问题，预期取得什么结果，选择论证该预期 结果的技术方法）
x
1
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-1.6
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89
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-1.6
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cov(i,j)0, ij
(3)随机误差项与解释变量之间不相关:
c o v (i,x ij) 0 ,i 1 , ,n ;j 1 , ,k
多元线性回归
一 般 称
Y X E () 0 ,C( O ,) V 2 In
为 高 斯 — 马 尔 柯 夫 线 性 模 型 ( k 元 线 性 回 归 模 型 ) ， 并 简 记 为 (Y ,X ,2 In )
y1
1 x11 x12 ...x1k
0 1
Y...， X1 x21 x22 ...x2k， 1， 2
...
...... ... ... ...
... ...
yn
1 xn1 xn2 ...xnk
k n
y01 x 1 .. .kxk 称为回归平面方程.
线 性 模 型 (Y,X,2In)考 虑 的 主 要 问 题 是 ： (1)用 试 验 值 （ 样 本 值 ） 对 未 知 参 数和 2 作 点 估 计 和 假 设 检 验 ， 从 而 建 立 y与 x1,x2,..x.k,之
0 引例
例1: 水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、 x4 有关，今测得一组数据如下，试确定一个 线性模型.
序号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
x1 7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10
x2 26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68
则线性关系不显著，反之显著。 F 1 0 .1 (4 ,1 3 4 1 ) 2 .8 0 6 4
4 预测
（1）点预测
求 出 回 归 方 程 y ˆˆ0ˆ1x1.. .ˆkxk， 对 于 给 定 自 变 量 的 值 x1 *,.x .k .， ,用 y ˆ*ˆ0ˆ1x1*.. .ˆkxk*来 预 测 y01x1*.. . kxk*.称 y ˆ* y 为 * 的 点 预 测 .
1多元线性回归
y1 b0 b1x11b2x21 yn b0b1x1nb2x2n
bkxk11 bkxkn n
为了可以使用普通最小二乘法进行参数估计，需对 模型提出若干基本假设 ：
(1)随机误差项服从0均值、同方差的正态分布:
i N (0,2), i1 , ,n
(2)随机误差项在不同样本点之间是独立的,不存在序列相关:
n
Q(b0 , b1, b2 , b3, b4 ) (b0 b1x1i b2 x2i b3x3i b4 x4i yi )2 i1 1. 线性关系是否显著？
2. 当x=(8,30,10,10)时，95%的可能y落在哪个区间?
3. 是否4种化学成分都对释放的热量有显著影响？
4. y还受其他因素影响吗? 如x1*x2, yt-1,xt-1
n
n
其中U yˆi y2（回归平方和） Qe (yi yˆi)2 (残差平方和）
i1
i1
（Ⅱ）r检验法
定 义 R L U yyU U Q e为 y与 x1,x2,...,xk的 多 元 相 关 系 数 或 复 相 关 系 数 。 由 于 Fnk k11 R R 22， 故 用 F和 用 R检 验 是 等 效 的 。
x3 6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8
x4 60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12
y
78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4
y b 0 b 1 x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 b 4 x 4
数学建模讲义统计模型
主要内容
0 引例 1 (多元)线性回归模型 2 参数的最小二乘估计 3 线性关系的显著性检验 4 区间预测 5 参数的区间估计(假设检验) 6 matlab多元线性回归 7 matlab非线性回归 8 非线性回归化为线性回归 9 matlab逐步回归 10 综合实例：牙膏的销售量 11 综合实例：投资额与国民生产总值和物价指数
间 的 数 量 关 系 ；
(2)在 x1x0,1x2x0,2..xk. , x0k,处 对 y的 值 作 预 测 与 控 制 ， 即 对 y作 区 间 估 计 .
2 参数的最小二乘估计
用最小二乘法求0,...,k 的估计量：作离差平方和
n
Q i1
yi 0 1xi1...kxik
2
bˆ
0
6 2 .4 0
3 线性关系的显著性检验
假 设 H 0 :1 . . . k 0
（Ⅰ）F检验法
U/k 当H0成 立 时 ， FQe /(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk1)~F(k,nk1)
如 果F>F1-α （ k， n-k-1） ， 则 拒 绝H0， 认 为y与x1,… ,xk之 间 显 著 地 有 线 性 关 系 ； 否 则 就 接 受H0， 认 为y与x1,… , xk之 间 线 性 关 系 不 显 著 .
选择0,...,k 使Q达到最小。
解得 ˆXTX1XTY
bˆ1
bˆ
2
bˆ 3
1
.
5
5
0 .5 1
0
.
1
0
得 到 的 ˆi代 入 回 归 平 面 方 程 得 ： yˆ0 ˆ1 x 1 . . bˆ.4ˆ kx k 0 . 1 4
称 为 经 验 回 归 平 面 方 程 ˆ .i 称 为 经 验 回 归 系 数 .
（2）区间预测
y 的1 的预测区间（置信）区间为
ˆe
Qe nk 1
yˆ ˆe
1
X0
(X
T
X
)1
X
T 0
t1 /2
(n
k
1)，
Qe
n
(yi yˆi )2
yˆ ˆe
1
X0
(X
T
X
)1
X
T 0
t1
/2
(n
k
1)
残差平i方1 和：
4 预测
在未知点 (x1,x2, ,xk) 的点预测为： (7,40,10,30)
3 线性关系的显著性检验
记：
y
1 n
n i1
yi
y94.4231
回归平方和：
残差平方和：
n
U ( yˆi y)2 =2677.9 i1
n
Qe (yi yˆi )2 =47.86 i1
F U/k
F(k,nk1)
Q e/(nk1)
若 FF 1(k,nk1)
F 2677.9/4 111.48 47.86/(1341)
(3)随机误差项与解释变量之间不相关:
c o v (i,x ij) 0 ,i 1 , ,n ;j 1 , ,k
多元线性回归
一 般 称
Y X E () 0 ,C( O ,) V 2 In
为 高 斯 — 马 尔 柯 夫 线 性 模 型 ( k 元 线 性 回 归 模 型 ) ， 并 简 记 为 (Y ,X ,2 In )
y1
1 x11 x12 ...x1k
0 1
Y...， X1 x21 x22 ...x2k， 1， 2
...
...... ... ... ...
... ...
yn
1 xn1 xn2 ...xnk
k n
y01 x 1 .. .kxk 称为回归平面方程.
线 性 模 型 (Y,X,2In)考 虑 的 主 要 问 题 是 ： (1)用 试 验 值 （ 样 本 值 ） 对 未 知 参 数和 2 作 点 估 计 和 假 设 检 验 ， 从 而 建 立 y与 x1,x2,..x.k,之
0 引例
例1: 水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、 x4 有关，今测得一组数据如下，试确定一个 线性模型.
序号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
x1 7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10
x2 26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68
则线性关系不显著，反之显著。 F 1 0 .1 (4 ,1 3 4 1 ) 2 .8 0 6 4
4 预测
（1）点预测
求 出 回 归 方 程 y ˆˆ0ˆ1x1.. .ˆkxk， 对 于 给 定 自 变 量 的 值 x1 *,.x .k .， ,用 y ˆ*ˆ0ˆ1x1*.. .ˆkxk*来 预 测 y01x1*.. . kxk*.称 y ˆ* y 为 * 的 点 预 测 .
1多元线性回归
y1 b0 b1x11b2x21 yn b0b1x1nb2x2n
bkxk11 bkxkn n
为了可以使用普通最小二乘法进行参数估计，需对 模型提出若干基本假设 ：
(1)随机误差项服从0均值、同方差的正态分布:
i N (0,2), i1 , ,n
(2)随机误差项在不同样本点之间是独立的,不存在序列相关:
n
Q(b0 , b1, b2 , b3, b4 ) (b0 b1x1i b2 x2i b3x3i b4 x4i yi )2 i1 1. 线性关系是否显著？
2. 当x=(8,30,10,10)时，95%的可能y落在哪个区间?
3. 是否4种化学成分都对释放的热量有显著影响？
4. y还受其他因素影响吗? 如x1*x2, yt-1,xt-1
n
n
其中U yˆi y2（回归平方和） Qe (yi yˆi)2 (残差平方和）
i1
i1
（Ⅱ）r检验法
定 义 R L U yyU U Q e为 y与 x1,x2,...,xk的 多 元 相 关 系 数 或 复 相 关 系 数 。 由 于 Fnk k11 R R 22， 故 用 F和 用 R检 验 是 等 效 的 。
x3 6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8
x4 60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12
y
78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4
y b 0 b 1 x 1 b 2 x 2 b 3 x 3 b 4 x 4
数学建模讲义统计模型
主要内容
0 引例 1 (多元)线性回归模型 2 参数的最小二乘估计 3 线性关系的显著性检验 4 区间预测 5 参数的区间估计(假设检验) 6 matlab多元线性回归 7 matlab非线性回归 8 非线性回归化为线性回归 9 matlab逐步回归 10 综合实例：牙膏的销售量 11 综合实例：投资额与国民生产总值和物价指数
间 的 数 量 关 系 ；
(2)在 x1x0,1x2x0,2..xk. , x0k,处 对 y的 值 作 预 测 与 控 制 ， 即 对 y作 区 间 估 计 .
2 参数的最小二乘估计
用最小二乘法求0,...,k 的估计量：作离差平方和
n
Q i1
yi 0 1xi1...kxik
2
bˆ
0
6 2 .4 0
3 线性关系的显著性检验
假 设 H 0 :1 . . . k 0
（Ⅰ）F检验法
U/k 当H0成 立 时 ， FQe /(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk1)~F(k,nk1)
如 果F>F1-α （ k， n-k-1） ， 则 拒 绝H0， 认 为y与x1,… ,xk之 间 显 著 地 有 线 性 关 系 ； 否 则 就 接 受H0， 认 为y与x1,… , xk之 间 线 性 关 系 不 显 著 .
选择0,...,k 使Q达到最小。
解得 ˆXTX1XTY
bˆ1
bˆ
2
bˆ 3
1
.
5
5
0 .5 1
0
.
1
0
得 到 的 ˆi代 入 回 归 平 面 方 程 得 ： yˆ0 ˆ1 x 1 . . bˆ.4ˆ kx k 0 . 1 4
称 为 经 验 回 归 平 面 方 程 ˆ .i 称 为 经 验 回 归 系 数 .
（2）区间预测
y 的1 的预测区间（置信）区间为
ˆe
Qe nk 1
yˆ ˆe
1
X0
(X
T
X
)1
X
T 0
t1 /2
(n
k
1)，
Qe
n
(yi yˆi )2
yˆ ˆe
1
X0
(X
T
X
)1
X
T 0
t1
/2
(n
k
1)
残差平i方1 和：
4 预测
在未知点 (x1,x2, ,xk) 的点预测为： (7,40,10,30)
3 线性关系的显著性检验
记：
y
1 n
n i1
yi
y94.4231
回归平方和：
残差平方和：
n
U ( yˆi y)2 =2677.9 i1
n
Qe (yi yˆi )2 =47.86 i1
F U/k
F(k,nk1)
Q e/(nk1)
若 FF 1(k,nk1)
F 2677.9/4 111.48 47.86/(1341)