2022年九年级中考数学冲刺-几何模型讲义
2022~2023学年度中考数学几何最值模型第3讲隐含圆问题
在点P处，则点P到边AB距离的最小值是______.
3、隐含圆问题-例题精讲
【模型2：动点到定点定长】
2、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，
N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,则
−1
A′C长度的最小值是________.
3、隐含圆问题-例题精讲
远距离，PB为P到圆上最短距离。
【3】如图，AB为圆O的一条定弦，点C为圆上一动点。
点C在优
弧上
（1）如图①.若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心
图①：点C在优弧上
O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC 的
图②：点C在劣弧上
面积最大。（2）如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB
则弦AB所对的圆周角都相等（注意：
后语：若有一固定线段AB及线段AB所对的
∠C大小固定，C在圆O的优弧ACB上均可
（至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，
小于90°，则C在优弧上运动；等于90°，则
C在半圆上运动；大于90°则C在劣弧运动）
弦AB在劣弧）AB上也有圆周角，需
要根据题目灵活运用
2α
∠ACB=90°，则C在以AB为直径的圆上。
前言：在圆中，AB为直径，则始
终有AB所对的∠C=90°
（此类型本来属于定弦定角，但考频较高，
且较为特殊故单独归为一类）
【模型四：四点共圆】
1
3
2022年九年级中考数学冲刺专题---几何动态及最值问题
中考数学冲刺专题---几何动态及最值问题一、单选题1．（2020·江阴模拟）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．6B．3C．2D．1.52．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）.动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒，作AG⊥PQ于点G，则AG的最大值为（）C．365D．6 A．√73B．18√553．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），点P为线段OA上任意一点.在直线y＝34x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（）A．4.8B．5C．5.4D．64．（2020·宜兴模拟）如图，等边△ABC的边长为1，D，E两点分别在边AB，AC上，CE=DE，则线段CE的最小值为（）A．2﹣√3B．2 √3﹣3C．12D．√3−125．（2020·南通模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝17，折叠纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为PQ.当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，则点E在边AD上移动的最大距离为（）A．6B．7C．8D．96．（2020·无锡模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE=DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK//BC，且PK=2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为（）A．6B．2√5C．2√10D．4√27．（2020·镇江模拟）如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4 √3，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，EP⌢的长为（）A．12πB．πC．32πD．3π8．（2020·泰兴模拟）如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H.若⊙O的半径为1，则MA-MH的最大值为（）A．12B．13C．14D．159．（2020·如皋模拟）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3.E，F分别是AD，CD上的动点，EF=2.Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP，PQ.则AP+PQ的最小值等于()A．2B．3C．4D．510．（2019·丹阳模拟）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC=5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值（）A．2B．4C．5D．611．（2020·鼓楼模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（）A．√3B．√6C．2 √2D．2 √3 12．（2020·张家港模拟）如图，已知A，B两点的坐标分别为(8,0)，(0,8)，点C，F分别是直线x=−5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ΔABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．817B．4√217C．4√213D．71713．（2020·苏州模拟）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最小值是（）A．1B．√2C．√3D．√514．（2020·无锡模拟）如图，正方形ABCD中，AB=2，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将的最小值为（）ΔBEM沿着BM翻折得到ΔBFM.连接DF、CF，则DF+12FCA．52B．83C．94D．125二、填空题15．（2020·苏州模拟）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm.D是BC⏜上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为.16．（2020·扬州模拟）已知点A、B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA=120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是.17．（2020·昆山模拟）如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是18．（2020·南京模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是A边上一点，且AE＝√3，点F 是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD 的面积的最小值为.19．（2020·徐州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8，点E在AD边上，且AE:ED=1:3，动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，设M是线段EF 的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.20．（2020·苏州模拟）如图，折线AB−BC中，AB=3，BC=5，将折线AB−BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD−DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则tan∠EDC=°.21．（2020·扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（1，√3），B（2，0），C点在x轴上运动，过点Ｏ作直线AC的垂线，垂足为D.当点C在x轴上运动时，点D也随之运动.则线段BD长的最大值为.22．（2020·镇江模拟）如图，在RtΔABC中, ∠ACB=90°,AC=10,BC=5,将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M,N,则MN的最小值是.23．（2020·宜兴模拟）如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O 上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是.24．（2020·太仓模拟）如图所示，等边△ABC的边长为4，点D是BC边上一动点，且CE＝BD，连接AD，BE，AD与BE相交于点P，连接PC.则线段PC的最小值等于.25．（2020·惠山模拟）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=4.如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为.26．（2020·淮安模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为.27．（2020·江阴模拟）如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD=6，DE= √3，则OF的最小值为.28．（2020·灌南模拟）如图，在ΔABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是.29．（2019·崇川模拟）如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是.三、综合题30．（2021·泰州模拟）如图，在▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，sinB ＝45，点P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发，沿着B→C→D→A 的方向运动到点A 时停止，设点P 运动的时间为ts.（1）连接AC ，判断△ABC 是否是直角三角形，试说明理由；（2）在点P 运动的过程中，若以点C 为圆心、PC 长为半径的⊙C 与AD 边相切，求t 的值；（3）在点P 出发的同时，点Q 以每秒1个单位长度的速度从点C 出发，沿着C→D→A 的方向运动，当P 、Q 中的一点到达终点A 时，另一点也停止运动.求当BP ⊥CQ 时t 的值.31．（2021·扬州模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是AD 边上的动点，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在点A′处，连接A′C 、BD.（1）如图1，求证：∠DE A′＝2∠ABE ；（2）如图2，若点A′恰好落在BD 上，求tan ∠ABE 的值；（3）若AE ＝2，求S △A′CB .（4）点E 在AD 边上运动的过程中，∠A′ CB 的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE 的长；若不存在，请说明理由.32．（2020·无锡模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动.如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝8cm，AD＝6cm.连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD 和△BCE.保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）.在△BCE旋转过程中，边CE与边AB交于点F.（1）如图2，将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时，CF=；（2）继续旋转△BCE，当点E落在DA延长线上时，求出CF的长；（3）在△BCE旋转过程中，连接AE，AC，当AC＝AE时，直接写出此时α的度数及△AEC的面积.33．（2020·常州模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90∘,BC=6,AC=8.点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC.（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P.设AE=x,AP=y,求y关于x的函数解析式，写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AE,垂足为D.将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E.若点C到OE上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径.34．（2020·无锡模拟）如图1，已知：在矩形ABCD中，AB =3√3cm，AD＝9cm，点O从A点出发沿AD以acm/s的速度移向点D移动，以O为圆心，2cm长为半径作圆，交射线AD于M（点M在点O右侧）．同时点E从C点出发沿CD以√3cm/s的速度移向点D移动，过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为点G．若在整过移动过程中△EFG的直角顶点G 能与点M重合．设运动时间为t（0＜t≤3）秒．（1）求a的值；（2）在运动过程中，①当直线FG与⊙O相切时，求t的值；②是否存在某一时刻t，使点G恰好落在⊙O上（异于点M）？若存在，请写出t的值；若不存在，请说明理由．35．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm 的速度移动.设移动的时间为t秒.（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y=x与△OMN外接圆的另一个交点是点C.①试说明：当0<t<2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON= √2OC；②试探究：当t>2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由. 36．（2020·南通模拟）（1）如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE= 12BC．（2）利用第（1）题的结论，解决下列问题：①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE= 12（AD+BC）②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 √3，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．37．（2020·南京模拟）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC 的每条边都相交.⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G.设⊙O的半径为r.（1）（操作感知）根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；（2）（初步探究）求证：CD2+CE2＝4r2；（3）当r＝8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为；（4）（深入研究）直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为.38．（操作体验）如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，如图②，小明的作图方法如下：第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1,P2；所以图中P1,P2即为所求的点.（1）在图②中，连接P1A,P1B，说明∠AP1B=30°（方法迁移）（1）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC=45°，（不写做法，保留作图痕迹）.（2）已知矩形ABCD，BC=2.AB=m，P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P恰有两个，则m 的取值范围为.（3）已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为.39．（1）如图1，点A在⊙O上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形ABC，使得点B、C 都在⊙O上.（2）已知矩形ABCD中，AB=4，BC=m.①如图2，当m=4时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形AEF，使得点E在边BC上，点F在边CD上；②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形AEF，请直接写出m的取值范围. 40．（2020·建邺模拟）（概念认识）若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆.如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上.当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆.（1）（初步思考）若等边△ABC的边长为1，则边BC关联的极限内半圆的半径长为.（2）如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）.（3）（深入研究）如图③，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，OC＝6，点Q是射线OA上一动点.在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r，当1≤r≤2时，求OQ的长的取值范围.。
2022年中考数学几何模型提升专题07 正方形基本型—半角模型
专题07正方形基本型——半角模型【模型解读】知一推四：如图，ABCD 为正方形，E,F 分别是BC,DC 边上的点，母题：如图，ABCD 为正方形，E,F 分别是BC,DC 边上的点，∠EAF=45°，AG ⊥EF （2）DN ²+BM ²=MN ²（3）∠MGN=90°AA E 平分∠BEF BE +DF =EF∠EAF =45°作AH ⊥EF ，AH=AB AF 平分∠DFE⑤④③②①①DE+BF=EF ②BG 2+HD 2=GH 2③△AGD ∽△HGA ∽△HAB ：2子母型，1共享型 ④S ABCD =BH·DG⑤AH=HF ，AH ⊥HF ；AG=GE ，AG ⊥GE ⑥△AGH ∽△AEF （用全等导角） ⑦22==FC HD EF GH（4）证：①²•AM MN MD =；②²•AN NM NB =（5）证：△AMN 与△AFE 相似，并求出相似比（6）若BE=2,DF=3，①求AG ，②求MN 的值（7）①证明：AN=EN,②证明：AM ⊥MFFFF（8）证明BN•DM=S ABCD（9）证明NDEC（10）求BMFCFFFF【模型实例】1．如图，正方形ABCD 边长为6，E 是BC 的中点，连接AE ，以AE 为边在正方形内部作45EAF ∠=︒，边AF 交CD 于F ，连接EF ．则下列说法正确的有( ) ①30EAB ∠=︒；②BE DF EF +=；③tan 3AFE ∠=；④6CEF S ∆=．A ．①②③B ．②④C ．①④D ．②③④2．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE AF =，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE DF EF +=；③当15DAF ∠=︒时，AEF ∆为等边三角形；④当60EAF ∠=︒时，AEB AEF ∠=∠．其中正确的结论是( )A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④3．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上的动点（不与点B ，C ，D 重合），且45EAF ∠=︒，AE 、AF 与对角线BD 分别相交于点G 、H ，连接EH 、EF ，则下列结论：①ABH GAH ∆∆∽；②ABG HEG ∆∆∽；③AE =；④EH AF ⊥；⑤EF BE DF =+ 其中正确的有( )A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点（不与点B ，C ，D 重合），AM ，AN 分别交BD 于E ，F 两点，且45MAN ∠=︒，则下列结论：①MN BM DN =+；②AEF BEM ∆∆∽；③AF AM =；④FMC ∆是等腰三角形．其中正确的是 ．（填写正确序号）5．如图，点M 、N 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的两个动点，在运动过程中保持45MAN ∠=︒，AM 、AN 分别与对角线BD 交于点E 、F ，连接EN 、FM 相交于点O ，以下结论：①MN BM DN =+；②222BE DF EF +=；③2BC BF DE =⋅；④OM =，一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④6．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点（不与点B ，C ，D 重合），AM ，AN 分别交BD 于E ，F 两点，且45MAN ∠=︒，则下列结论：①MN BM DN =+；②AEF BEM ∆∆∽；③2AF AM =；④FMC ∆是等腰三角形．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个专题04正方形基本型【模型解读】①DE+BF=EF②BG2+HD2=GH2③△AGD∽△HGA∽△HAB：2子母型，1共享型④S ABCD=BH·DG⑤AH=HF，AH⊥HF；AG=GE，AG⊥GE⑥△AGH∽△AEF（用全等导角）⑦22==FCHDEFGH知一推四：如图，ABCD 为正方形，E,F 分别是BC,DC 边上的点，BADFA E 平分∠BEF BE +DF =EF∠EAF =45°作AH ⊥EF ，AH=AB AF 平分∠DFE⑤④③②①母题：如图，ABCD 为正方形，E,F 分别是BC,DC 边上的点，∠EAF=45°，AG ⊥EF （2）DN ²+BM ²=MN ²【简证】旋转△AND ，可得'BN DN =且∠N’BM=90°，由勾股定理可知222''N M N B BM =+易证△绿≌△蓝，可知'N MMN =,从而得证ADADADFF（3）∠MGN=90°【简证】两组全等可得2个45°，从而得证（4）证：①²•AM MN MD =；②²•AN NM NB =FFFF【①简证】子母型相似【②简证】子母型相似（5）证：△AMN 与△AFE 相似，并求出相似比【简证】导角得相似，对应边上的高之比等于相似比FFFF（6）若BE=2,DF=3，①求AG ，②求MN 的值【① 简证】如图，设EC x =，则有22²154x x x +-=⇒=（），∴AG=AB=6【②简证】MN AH AMN AFE MN EF AG⇒==⇒==△∽△F x-13F相似比：AH AG AH AB ∠1=∠2=∠3（7）①证明：AN=EN,②证明：AM ⊥MF【① 简证】两次相似：△AMN ∽△BME ⇒△BMA ∽△EMN ；或者四点共圆【② 简证】同上3FFFF（8）证明BN •DM=S ABCD【简证】∠1=45°+∠2=∠BAN ⇒△BAN ∽△DMA ⇒BN •DM=AB •AD（9）证明ND EC（10）求BMFC【（9）简证】旋转相似FFFFF∣【（10）简证】旋转相似∣【模型实例】1．如图，正方形ABCD 边长为6，E 是BC 的中点，连接AE ，以AE 为边在正方形内部作45EAF ∠=︒，边AF 交CD 于F ，连接EF ．则下列说法正确的有( )①30EAB ∠=︒；②BE DF EF +=；③tan 3AFE ∠=；④6CEF S ∆=．A ．①②③B ．②④C ．①④D ．②③④【解答】解：延长CB 到G ，使BG DF =，连接AG ．如图所示： 四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90ABE D ∠=∠=︒，90ABG D ∴∠=︒=∠，在ABG ∆和ADF ∆中，FFFFAB AD ABG D BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABG ADF SAS ∴∆≅∆， AG AF ∴=，12∠=∠，又45EAF ∠=︒，90DAB ∠=︒， 2345∴∠+∠=︒， 1345∴∠+∠=︒， 45GAE EAF ∴∠=∠=︒．在AEG ∆和AEF ∆中， AG AF GAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEG AEF SAS ∴∆≅∆， GE EF ∴=，GE BG BE =+，DF BG =，EF DF BE ∴=+，故②正确，3BE EC ==，6AB =， 1tan 32BE AB ∴∠==， 330∴∠≠︒，故①错误，设DF x =，则3EF x =+，在Rt EFC ∆中，222EF CF EC =+，222(3)3(6)x x ∴+=+-， 2x ∴=， 2DF BG ∴==，tan tan 3ABAFE G BG∴∠===，故③正确， 1134622CEF S CE CF ∆∴=⋅⋅=⨯⨯=，故④正确． 故选：D ．2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE AF=，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BE DF EF∆为+=；③当15DAF∠=︒时，AEF等边三角形；④当60∠=∠．其中正确的结论是()∠=︒时，AEB AEFEAFA．①③B．②④C．①③④D．②③④【解答】解：四边形ABCD是正方形，∠=∠=︒，ACD ACB∠=∠=︒，45AB AD BC CD∴===，90B D=，AE AFAB AD=，∴∆≅∆，Rt ABE Rt ADF(HL)∴=，BE DF∴=，CE CF又45∠=∠=︒，ACD ACBAC∴垂直平分EF，故①正确；BCD∠=︒，AC垂直平分EF，=，90CE CF∴=，EG GF当AE平分BAC+=，故②错误；=，即BE DF EF∠时，BE EG∆≅∆，Rt ABE Rt ADF∴∠=∠=︒，DAF BAE15∴∠=︒，60EAF又AE AF=，∴∆是等边三角形，故③正确；AEF=，60AE AF∠=︒，EAF∴∆是等边三角形，AEFAEF∴∠=︒，60∠=︒，∠=︒，30CAEBAC45∴∠=︒，15BAE75AEB AEF ∴∠=︒≠∠，故④错误；故选：A ．3．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上的动点（不与点B ，C ，D 重合），且45EAF ∠=︒，AE 、AF 与对角线BD 分别相交于点G 、H ，连接EH 、EF ，则下列结论：①ABH GAH ∆∆∽；②ABG HEG ∆∆∽；③AE =；④EH AF ⊥；⑤EF BE DF =+ 其中正确的有( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：在正方形ABCD 中， 45ABG ∴∠=︒，45AGH ABG BAG BAG ∴∠=∠+∠=︒+∠，45EAF ∠=︒， 45BAH BAG ∴∠=∠+︒， BAH AGH ∴∠=∠， AHG BHA ∠=∠，ABH GAH ∴∆∆∽，故①正确； 45EAF DBC ∠=∠=︒，A ∴，B ，E ，H 四点共圆，ABG GEH ∴∠=∠，BAG EHG ∠=∠， ABG HEG ∴∆∆∽；故②正确； 45AEH EAH ∠=∠=︒，AEH ∴∆是等腰直角三角形，90AHE ∴∠=︒，AE ，EH AF ∴⊥；故③④正确；将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABM ∆，此时AB 与AD 重合，由旋转可得AB AD =，BM DF =，12∠=∠，90ABM D ∠=∠=︒，AM AF =，9090180ABM ABE ∴∠+∠=︒+︒=︒，因此，点M ，B ，E 在同一条直线上． 45EAF ∠=︒，23904545BAD EAE ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒．12∠=∠，1345∴∠+∠=︒．即MAE FAE ∠=∠．在AME ∆与AFE ∆中AM AF MAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AME AFE ∴∆≅∆． ME EF ∴=，故EF BE DF =+，故⑤正确， 故选：D ．4．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点（不与点B ，C ，D 重合），AM ，AN 分别交BD 于E ，F 两点，且45MAN ∠=︒，则下列结论：①MN BM DN =+；②AEF BEM ∆∆∽；③AF AM ；④FMC ∆是等腰三角形．其中正确的是 ①②③④ ．（填写正确序号）【解答】解：将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADM ∆'，45M AN DAN MAB ∠'=∠+∠=︒，AM AM '=，BM DM ='，45M AN MAN ∠'=∠=︒，AN AN =， AMN ∴∆≅△()AM N SAS ''， MN NM ∴='，M N M D DN BM DN ∴'='+=+， MN BM DN ∴=+；故①正确； 135FDM ∠'=︒，45M AN ∠'=︒， 180M AFD ∴∠'+∠=︒， 180AFE AFD ∠+∠=︒，AFE M ∴∠=∠'， AMB M ∠=∠'， AMB AFE ∴∠=∠，45EAF EBM ∠=∠=︒，AEF BEM ∴∆∆∽，故②正确；∴AE EF BE EM =，即AE BEEF EM=， AEB MEF ∠=∠， AEB FEM ∴∆∆∽，45EMF ABE ∴∠=∠=︒，AFM ∴∆是等腰直角三角形，∴AF AM =；故③正确； 在ADF ∆与CDF ∆中， 45AD DC ADF CDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ADF CDF SAS ∴∆≅∆， AF CF ∴=，AF MF =，FM FC ∴=，FMC ∴∆是等腰三角形，故④正确；故答案为：①②③④．5．如图，点M 、N 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的两个动点，在运动过程中保持45MAN ∠=︒，AM 、AN 分别与对角线BD 交于点E 、F ，连接EN 、FM 相交于点O ，以下结论：①MN BM DN =+；②222BE DF EF +=；③2BC BF DE =⋅；④OM =，一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【解答】解：将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90︒，得到ADM ∆'，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABD '∆，AM AM '∴=，BM DM '=，BAM DAM '∠=∠，90MAM '∠=︒，90ABM ADM '∠=∠=︒， 180ADM ADC '∴∠+∠=︒，∴点M '在直线CD 上，45MAN ∠=︒，45DAN MAB DAN DAM M AN ''∴∠+∠=︒=∠+∠=∠， 45M AN MAN ∴∠'=∠=︒，又AN AN =，AM AM '=，AMN ∴∆≅△()AM N SAS '， MN NM ∴='，M N M D DN BM DN ∴'='+=+， MN BM DN ∴=+；故①正确；将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABD '∆，AF AD '∴=，DF D B '=，45ADF ABD '∠=∠=︒，DAF BAD '∠=∠，90D BE '∴∠=︒， 45MAN ∠=︒，45BAE DAF BAD BAE D AE ''∴∠+∠=︒=∠+∠=∠，45D AE EAF '∴∠=∠=︒，又AE AE =，AF AD '=，()AEF AED SAS '∴∆≅∆，EF D E '∴=，222D E BE D B ''=+，222BE DF EF ∴+=；故②正确；45BAF BAE EAF BAE ∠=∠+∠=∠+︒，45AEF BAE ABE BAE ∠=∠+∠=︒+∠， BAF AEF ∴∠=∠，又45ABF ADE ∠=∠=︒，DAE BFA ∴∆∆∽， ∴DE AD AB BF=， 又AB AD BC ==， 2BC DE DF ∴=⋅，故③正确；45FBM FAM ∠=∠=︒，∴点A ，点B ，点M ，点F 四点共圆，90ABM AFM ∴∠=∠=︒，45AMF ABF ∠=∠=︒，BAM BFM ∠=∠， 同理可求90AEN ∠=︒，DAN DEN ∠=∠，45EOM EMO ∴∠=︒=∠，EO EM ∴=，MO ∴=，BAM DAN ∠≠∠，BFM DEN ∴∠≠∠，EO FO ∴≠，OM ∴≠，故④错误，故选：A ．6．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点（不与点B ，C ，D 重合），AM ，AN 分别交BD 于E ，F 两点，且45MAN ∠=︒，则下列结论：①MN BM DN =+；②AEF BEM ∆∆∽；③AF AM ；④FMC ∆是等腰三角形．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADM ∆'，45M AN DAN MAB ∠'=∠+∠=︒，AM AM '=，BM DM ='，45M AN MAN ∠'=∠=︒，AN AN =，AMN ∴∆≅△()AM N SAS ''，MN NM ∴='，M N M D DN BM DN ∴'='+=+，MN BM DN ∴=+；故①正确；135FDM ∠'=︒，45M AN ∠'=︒，180M AFD ∴∠'+∠=︒，180AFE AFD ∠+∠=︒，AFE M ∴∠=∠'，AMB M ∠=∠'，AMB AFE ∴∠=∠，45EAF EBM ∠=∠=︒，AEF BEM ∴∆∆∽，故②正确； ∴AE EFBE EM =，即AEBEEF EM =，AEB MEF ∠=∠，AEB FEM ∴∆∆∽，45EMF ABE ∴∠=∠=︒，AFM ∴∆是等腰直角三角形，∴AF AM =；故③正确；在ADF ∆与CDF ∆中，45AD CDADF CDF DF DF=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADF CDF SAS ∴∆≅∆，AF CF ∴=，=，AF MF∴=，FM FC∴∆是等腰三角形，故④正确；FMC故选：D．。
加权逆等线最值模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
【模型总结】在求形如“QB+kPA”（k≠1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三角形构造出与kPA相等的线段(即kPA=QC)，将Q B +kPA”型问题转化为“QB +QC”型将军饮马问题．当k=1时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型，此种情况属于权为1的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可，然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可.需要注意：这里的QB、PA两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通过相似或全等三角形得到kPA的等线段．【解题方法】利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答案.考点一:直角三角形中的加权逆等线模型【例1】.如图，已知BC⊥AB，BC=AB=3,E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB 延长线上，且CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少.模型介绍例题精讲【变式1-1】.如图，等腰直角△ABC 中，斜边BC=2，点D 、E 分别为线段A B 和B C上的动点，BE =，求AE +的最小值.【变式1-2】.如图, 在Rt △ABC 中, AC=6,BC=8,∠ACB=90。
，点E 、F 分别是A B 、B C 边上的动点, 且2AE CF =, 求12CE+AF 的最小值.考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型【例2】.如图，在正方形ABCD 中，AB=1，E 、F 分别为CB 、DC 上的动点，且BE=2DF,求DE+2AF的最小值.实战演练【变式2-1】.如图，在矩形ABCD 中，AD=4,AB=4√3，点E 、F 分别是BD,BC 上的一动点，且BF=2DE ，则AF+2AE 的最小值为多少？【变式2-2】.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，CD ＝4，M ，N 分别是边AB ，AD 的动点，满足AM ＝DN ，连接CM 、CN ，E 是边CM 上的动点，F 是CM 上靠近C 的四等分点，连接AE 、BE 、NF ，当△CFN 面积最小时，BE +AE 的最小值为．1.如图,等腰 ABC,BAC 120,AB AC 1︒∠===△，D 、E 分别是 AB 、BC 边上的动点,且满足 3AD BE =, 求AE 3CD 的最小值.AB C DE2.如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为．3．如图，在正方形ABCD中，P为AD上一点，且APPD =21，E、F分别为CD、BC上的动点，且BF＝3DE，若AD=3，求PF+3AE的最小值．4．如图，在Rt△ACB，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝，点D在线段AB上，点E在线段AB的延长线上，且BE＝AD，则CE+CD的最小值是．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值等于．6．如图，平行四边形ABCD，AB＞AD，AD＝4，∠ADB＝60°，点E、F为对角线BD上的动点，DE＝2BF，连接AE、CF，则AE+2CF的最小值为．7．问题提出：（1）如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，则DE与AF的数量关系是：DE AF；问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，求GH的长；问题解决：（3）如图③，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝4，求ME+2AF的最小值．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为边AC、AB上两个动点．（1）如图1，若D为AC中点，且DE平分△ABC的周长；ⅰ）求AE﹣BE的值；ⅱ）求证：∠AED＝30°，并直接写出DE的值；（2）如图2，若AE＝CD，连接BD、CE，求BD+CE的最小值．9．如图1，在▱ABCD中．AB＝6．AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AC，CD 上的动点（点E，F不与A，C，D重合）．AE＝CF．设∠ACD＝a，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转a得到AP，连接PE，BE，BF．（1）求证：△APE≌△CBF：（2）如图2，若∠BOA＝90°，∠ACD＝40°，且点B、E、P在一条直线上，求BE+BF的值；（3）当OB＝OC，∠ACD＝60°时，BE+BF长的最小值是．10．平行四边形ABCD中，N为线段CD上一动点．（1）如图1，已知∠ADC＜90°．若DR＝BN，求证：四边形DRBN为平行四边形；（2）如图2，已知∠ABC＝60°．若BN为∠ABC的角平分线，T为线段BN上一点，DT的延长线交线段BC于点M，满足：tan∠BTM＝且DN＝BM．请认真思考（1）中图形，探究的值．（3）如图3，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，P在线段BD 上，Q在线段CD上，满足：BP＝2CQ．直接写出（2QA+AP）的最小值为．11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．（1）求BD的长；（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE ＝DF．①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．。
2022年中考数学几何模型之半角模型与倍角模型(讲+练)(解析版)
专题04 半角模型与倍角模型模型一、正方形中含半角模型如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.例.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为4．【答案】4【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，∴CF＝＝＝4，故答案为：4．【变式训练1】已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∵AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN BG DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，∵45DAN BAM BAD MAN ∠+∠=∠-∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM ∴∠=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∵BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∵AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，∵GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，∵90GAN BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAM GAN MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又∵BM BG GM -=，BG DN =，∵BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∵AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM ADG SAS ∴△≌△，AM AG ∴=，MAB GAD ∠=∠，∵MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠，∵90MAG BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AGN SAS ∴△≌△，10MN GN ∴==，设DG BM x ==，∵6CN =，8MC =，∵1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+，8BC MC BM x =-=-，∵DC BC =，∵48x x +=-，解得：2x =，∵6AB BC CD CN ====，∵//AB CD ，∵BAP CNP ∠=∠，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABP NCP AAS ∴△≌△，132CP BP BC ∴===， ∵CP 的长为3．【变式训练2】如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠MAN ＝∠BAD ．（1）如图1，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将∠MAN 绕着A 点旋转，它的两边分别交边BC 、CD 的反向延长线于M 、N ，试判断这一过程中线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明．【答案】见解析 【详解】解：（1）证明：延长MB 到G ，使BG ＝DN ，连接AG ．∵∵ABG ＝∵ABC ＝∵ADC ＝90°，AB ＝AD ，∵∵ABG ∵∵ADN ．∵AG ＝AN ，BG ＝DN ，∵1＝∵4．∵∵1+∵2＝∵4+∵2＝∵MAN ＝∵BAD ．∵∵GAM ＝∵MAN ．又AM＝AM，∵∵AMG∵∵AMN．∵MG＝MN．∵MG＝BM+BG．∵MN＝BM+DN．（2）MN＝BM﹣DN．证明：在BM上截取BG，使BG＝DN，连接AG．∵∵ABC＝∵ADC＝90°，AD＝AB，∵∵ADN∵∵ABG，∵AN＝AG，∵NAD＝∵GAB，∵∵MAN＝∵NAD+∵BAM＝∵DAB，∵∵MAG＝∵BAD，∵∵MAN＝∵MAG，∵∵MAN∵∵MAG，∵MN＝MG，∵MN＝BM﹣DN．（3）MN＝DN﹣BM．模型二、等腰直角三角形角含半角模型如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.例.如图，已知∵ABC中，∵BAC=90°，AB=AC,D,E是B C边上的点，将∵ABD绕点A旋转，得到∵AC D′，当∵DAE=45°时，求证：DE=D′E；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.【答案】见解析【详解】解析：因为∵ABD绕点A旋转，得到△ACD′∵AD=AD′，∵DAD’=∵BAC=90°∵∵DAE=45°，∵∵EAD’=∵DAD’-∵DAE=45°∵在∵AED和∵AED′中，AE=AE，∵EAD=∵AED’，AD=AD’∵∵AED∵∵AED’，∵DE=D’E由（1）得∵AED∵∵AED’，ED=ED’在∵ABC中，AB=AC,∵BAC=90°，∵∵B=∵ACB=45°∵∵ABD绕点A旋转，得到∵ACD’，∵BD=CD’,∵B=∵ACD’=45°∵∵BCD’=∵ACB+∵ACD’=45°+45°=90°【变式训练1】在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EF＝CE＋AF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）见解析；（2）AF－EF＝CE.【解析】（1）连接CO，过点O作OG⊥OF交BE于点G，如图所示：由题意可得△AOF≌△COG，∴OF＝OG，∴△EOF≌△EOG，∴EF＝EG，∴EF＝EG＝EC＋CG＝EC＋AF；（2）AF－EF＝CE.【变式训练2】如图所示，等腰直角∵ABC 中，∵ACB ＝90°，E 、F 为AB 上两点（E 左F 右），且∵ECF ＝45°，求证：222AE BF EF +=．【答案】见解析【详解】解：222AE BF EF +=，理由如下：如图，将∵BCF 绕点C 旋转得∵ACF ′，使∵BCF 的BC 与AC 边重合，即∵ACF ′∵∵BCF ，∵在∵ABC 中，∵ACB ＝90°，AC ＝BC ，∵∵CAF ′＝∵B ＝45°，∵∵EAF ′＝90°，∵∵ECF ＝45°，∵∵ACE ＋∵BCF ＝45°，∵∵ACF ′＝∵BCF ，∵∵ECF ′＝45°，在∵ECF 和∵ECF ′中45CE CE ECF ECF CF CF =⎧⎪∠=∠='︒⎨='⎪⎩∵∵ECF ∵∵ECF ′（SAS ），∵EF ＝EF ′，在Rt ∵AEF ′中，222AE F A F E ''+=，∵222AE BF EF +=．【变式训练3】如图，∵ABC 是边长为3的等边三角形，∵BDC 是等腰三角形，∵BDC ＝120º，以D 为顶点作一个60º的角，使其两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接MN ，则∵AMN 的周长是多少？【答案】6【详解】∵∵BDC 是等腰三角形，且∵BDC ＝120º，∵∵BCD ＝∵DBC ＝30º，∵∵ABC 是边长为3的等边三角形，∵∵ABC ＝∵BAC ＝∵BCA ＝60º，∵DBA ＝∵DCA ＝90º，如图，延长AB 至点F ，使BF ＝CN.连接DF，在∵BDF与∵CND中，∵∵BDF＝∵CDN，DF＝DN，∵∵MDN＝60º，∵∵BDM＋∵CDN＝60º，∵∵BDM＋∵BDF＝60º，在∵DMN与∵DMF中，∵MN＝MF，∵∵AMN的周长是：AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6.模型三、二倍角模型（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例.已知及的值（利用倍半角模型解题）.，.【解析】由图1，由图2可得.【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF⊥BE交CD边于点F，M是AD边上一点，且BM＝DM＋CD.（1）求证：点F是CD边上的中点；（2）求证：∠MBC＝2∠ABE.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90º，AB∥CD，∵AF⊥BE，∴∠AOE＝90º，∴∠EAF＋∠AEB＝90º，∠EAF＋∠BAF＝90º，∴∠AEB＝∠BAF，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD，∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE＝DF，∵点E是边AD的中点，∴点F是CD边上的中点；（2）延长AD至点G，使得MG＝MB，连接FG、FB，如图所示：∵BM＝DM＋CD，∴DG＝DC＝BC，∵∠GDF＝∠C＝90º，DF＝CF，∴△FDG≌△FCB，∴∠DFG＝∠CFB，∴点B、F、G共线，∵点E为AD边上的中点，点F是CD边上的中点，AD＝CD，∴AE＝CF，∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90º，AE＝CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，∵AG∥BC，∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，∴∠MBC＝2∠ABE.【变式训练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD 翻折得到△AED，连接CE，求线段CE的长.【解析】如图，连接BE交AD于点O，作AH⊥BC于点H.在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，∴BC＝5，∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝，，∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，，∴BE＝2OB＝，在Rt△BCE.课后训练1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若∠AMD＝∠BMD.求证：∠CDA＝2∠ACD.【答案】见解析【解析】证明：过点A作AG∥DC交BM延长线于点H交BC的延长线于点G，连接HC，如图所示：由题意可得∠BMD＝∠AHB，∠AMD＝∠HAM，∠HAC＝∠ACD，即，∵CM＝DM，∴HG＝AH，即点H是AG的中点，∵AC⊥BC，∴，∴∠HCA＝∠HAC＝∠ACD，∴∠HCM＝∠HCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠ACD＝2∠ACD，∵∠HAM＝∠AMD，∠AMD＝∠BMD，∠BMD＝∠AHB，∠BMD＝∠HMC，∴HM＝AM，∵MD＝MC，∠AMD＝∠HMC，AM＝HM，∴△AMD≌△HMC，∴∠ADM＝∠HCM＝2∠ACD.2.在△ABC中，∠C＝90º，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2BP与AB、AC.的半径为1【解析】过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，延长CA至点F，使得AF＝AB＝10，连接OA、BF，如图所示：由题意可得OD＝OE，AO平分∠EAO，∠F＝BAC，∴tan∠EAO＝tan∠F＝，设的半径为，由BC＝PC＝6，∴△PBC为等腰直角三角形，∴EP＝OE＝，EA＝＋2，，解得1.3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.【答案】见解析【解析】如图，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合.∵旋转，∴△ADF≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAG，又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF，∴GE＝EF，∵GE＝GB＋BE＝DF＋BE，∴EF＝BE＋FD.4.已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45º，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM＋DN＝MN.（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜想一下，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【解答】（1）猜想：BM＋DN＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN【解析】（1）猜想：BM＋DN＝MN.证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90º，得到△ABE，则E、B、M共线，∴∠EAM＝90º－∠NAM＝90º－45º＝45º，∵∠NAM＝45º，在△AEM与△ANM中，∴ME＝MN，∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN.证明：在线段DN上截取DQ＝BM，如图所示.在△ADQ与△ABM中，，∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN，在△AMN与△AQN中，∴MN＝QN，∴DN－BM＝MN.5.如图，在平面直角坐标系中，且.（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）如图2，A、B两点在轴上、轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON＝45º，试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论.【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1），且，∴，，∴OA ＝OB ＝OC ＝4，∵∠AOB ＝∠BOC ＝90º，∴∠BCA ＝∠CBO ＝∠OBA ＝∠BAC ＝45º，∴BA ＝BC 且∠CBA ＝90º，即△ABC 是等腰直角三角形；（2）猜想：.∵OA ＝OB ＝4，∴∠AOB ＝90º，如图，将△BOM 绕点O 顺时针旋转90º得到△AOD ， ∴AD ＝BM ，DO ＝MO ，∠OAD ＝∠OBM ＝45º，且∠DOM ＝∠AOB ＝90º，∴∠AOD ＝∠BOM ， ∵∠MON ＝45º，∠AOB ＝90º，∴∠BOM ＋∠AON ＝45º，∴∠AOD ＋∠AON ＝45º，即∠DON ＝∠MON ＝45º，∴△DON ≌△MON ，∴DN ＝MN ，∵∠OAD ＝∠OBM ＝∠BAO ＝45º，即∠NAD ＝90º，.6.已知正方形ABCD ，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC 于点M 、N ，AH MN ⊥于点H ．（1）如图①，当BM DN =时，可以通过证明≌ADN ABM ，得到AH 与AB 的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图②，当BM DN ≠时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图③，已知AMN 中，45MAN ∠=︒，AH MN ⊥于点H ，3MH =，7=NH ，求AH 的长．【答案】（1）AB AH =；（2）AB AH =成立，理由见解析；（3）AH =【详解】解：（1）∵正方形ABCD ，∵AB ＝AD ，∵B ＝∵D ＝∵BAD ＝90°，在Rt ∵ABM 和Rt ∵ADN 中，AB AD B D BM DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵Rt ∵ABM ∵Rt ∵ADN （SAS ），∵∵BAM ＝∵DAN ，AM ＝AN ， ∵∵MAN ＝45°，∵∵BAM ＋∵DAN ＝45°，∵∵BAM ＝∵DAN ＝22.5°，∵∵MAN ＝45°，AM ＝AN ，AH ∵MN ，∵∵MAH ＝∵NAH ＝22.5°，∵∵BAM ＝∵MAH ，在Rt ∵ABM 和Rt ∵AHM 中，BAM MAH B AHM AM AM ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵Rt ∵ABM ∵Rt ∵AHM （AAS ），∵AB ＝AH ，故答案为：AB ＝AH ；（2）AB ＝AH 成立，理由如下：延长CB 至E ，使BE ＝DN ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∵AB ＝AD ，∵D ＝∵ABE ＝90°，在Rt ∵AEB 和Rt ∵AND 中，AB AD ABE D BE DN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∵Rt ∵AEB ∵Rt ∵AND （SAS ），∵AE ＝AN ，∵EAB ＝∵NAD ，∵∵DAN ＋∵BAM ＝45°，∵∵EAB ＋∵BAM ＝45°，∵∵EAM ＝45°，∵∵EAM ＝∵NAM ＝45°，在∵AEM 和∵ANM 中，AE AN EAM MAN AM AM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∵∵AEM ∵∵ANM （SAS ），∵AB ，AH 是∵AEM 和∵ANM 对应边上的高，∵AB ＝AH ．（3）分别沿AM ，AN 翻折∵AMH 和∵ANH ，得到∵ABM 和∵AND ，分别延长BM 和DN 交于点C ，如图：∵沿AM ，AN 翻折∵AMH 和∵ANH ，得到∵ABM 和∵AND ，∵AB ＝AH ＝AD ，∵BAD ＝2∵MAN ＝90°，∵B ＝∵AHM ＝90°＝∵AHN ＝∵D ， ∵四边形ABCD 是正方形，∵AH ＝AB ＝BC ＝CD ＝AD ．由折叠可得BM ＝MH ＝3，NH ＝DN ＝7，设AH ＝AB ＝BC ＝CD ＝x ，在Rt ∵MCN 中，由勾股定理，得MN 2＝MC 2＋NC 2，∵()()()2227+3=37x x -+-，解得5x =5x =，∵AH =。
2022年中考数学几何模型之全等三角形的五种模型(讲+练)(解析版)
专题06 全等三角形的五种模型全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不再重复。
模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF 上截取BM=DF ，易证△BMC△△DFC （SAS ），则MC=FC=FG ，△BCM=△DCF ， 可得△MCF 为等腰直角三角形，又可证△CFE=45°，△CFG=90°，△CFG=△MCF ，FG△CM ，可得四边形CGFM 为平行四边形，则CG=MF ，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC 至N ，使CN=DF ，易证△CDF△△BCN （SAS ）， 可得CF=FG=BN ，△DFC=△BNC=135°，又知△FGC=45°，可证BN△FG ，于是四边形BFGN 为平行四边形，得BF=NG ， 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.例1.如图，△ABC 中，△B =2△A ，△ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，已知AC =16，BC =9，则BD 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】.B 【详解】解：如图，在CA 上截取,CN CB = 连接,DN CD 平分,ACB ∠ ,BCD NCD ∴∠=∠,CD CD = (),CBD CND SAS ∴≌ ,,,BD ND B CND CB CN ∴=∠=∠=9,16,BC AC == 9,7,CN AN AC CN ∴==-=,CND NDA A ∠=∠+∠ ,B NDA A ∴∠=∠+∠2,B A ∠=∠ ,A NDA ∴∠=∠,ND NA ∴= 7.BD AN ∴== 故选：.B【变式训练1】如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC ＝60°，线段AC 与AD 关于直线AP 对称，E 是线段BD 与直线AP 的交点．（1）若△DAE ＝15°，求证：△ABD 是等腰直角三角形；（2）连CE ，求证：BE ＝AE +CE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：（1）△在△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC ＝60°，△△ABC 是等边三角形， △AC ＝AB ＝BC ，△BAC ＝△ABC ＝△ACB ＝60°，△线段AC 与AD 关于直线AP 对称，△△CAE ＝△DAE ＝15°，AD ＝AC ，△△BAE ＝△BAC +△CAE ＝75°，△△BAD ＝90°，△AB ＝AC ＝AD ，△△ABD 是等腰直角三角形； （2）在BE 上取点F ，使BF ＝CE ，连接AF ，△线段AC 与AD 关于直线AP 对称，△△ACE ＝△ADE ，AD ＝AC ，△AD ＝AC ＝AB ，△△ADB ＝△ABD=∠ACE ，在△ABF 与△ACE 中，AC AB ACE ABF CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABF △△ACE （SAS ），△AF ＝AE ，△AD ＝AB ，△△D ＝△ABD ，又△CAE ＝△DAE ， △()()111806022AEB D DAE D ABD DAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-∠=︒， △在△AFE 中，AF ＝AE ，△AEF ＝60°，△△AFE 是等边三角形，△AF ＝FE ，△BE ＝BF +FE ＝CE +AE ．【变式训练2】如图，在△ABC 中，△ACB=△ABC=40o ，BD 是△ABC 的角平分线，延长BD 至点E ，使得DE=DA ，则△ECA=________．【答案】40°【详解】解：在BC 上截取BF=AB ，连接DF ，△ACB=△ABC=40°，BD 是△ABC 的角平分线，∴△A=100°，△ABD=△DBC=20°，∴△ADB=60°，△BDC=120°，BD=BD ，∴△ABD△△FBD ，DE=DA ，∴ DF=AD=DE ，△BDF=△FDC=△EDC=60°，△A=△DFB=100°，DC=DC ，∴△DEC△△DFC ，∴1006040DCB DCE DFC FDC ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒；故答案为40°．【变式训练3】已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB ADABG ADN BG DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，△45DAN BAM BAD MAN ∠+∠=∠-∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM ∴∠=∠，在AMN 与AMG 中，AM AMGAM NAM AN AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又△BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，△GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，△90GAN BAD ∠=∠=︒， 又45MAN ∠=︒，45GAM GAN MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又△BM BG GM -=，BG DN =，△BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM ADG SAS ∴△≌△，AM AG ∴=，MAB GAD ∠=∠，△MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠，△90MAG BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AGN SAS ∴△≌△，10MN GN ∴==，设DG BM x ==，△6CN =，8MC =，△1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+，8BC MC BM x =-=-，△DC BC =，△48x x +=-，解得：2x =，△6AB BC CD CN ====，△//AB CD ，△BAP CNP ∠=∠，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABP NCP AAS ∴△≌△，132CP BP BC ∴===，△CP 的长为3．模型二、平移全等模型例.如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB // DE ，AB = DE ，△A = △D ．（1）求证：ABC DEF ≌；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）BE =3．【详解】（1）证明：△AB△DE ，△△ABC ＝△DEF ，在△ABC 和△DEF 中A D AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△ABC△△DEF （ASA ）； （2）解：△△ABC△△DEF ，△BC ＝EF ，△BC －EC ＝EF －EC ，即BE ＝CF ，△BF ＝11，EC ＝5，△BF －EC ＝6．△BE ＋CF ＝6．△BE ＝3．【变式训练1】如图，AB//CD ，AB=CD 点E 、F 在BC 上，且BF=CE ．（1）求证：△ABE△△DCF （2）求证:AE//DF ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【详解】证明：（1）△AB △CD ，△B C ∠=∠，△BF =CE ，△CF EF BE EF +=+，△BE CF =，△AB =CD ，△ABE DCF △≌△（SAS ）；（2）由（1）可得：ABE DCF △≌△，△DFC AEB ∠=∠，△180,180DFC EFD AEF AEB ∠+∠=︒∠+∠=︒，△EFD AEF ∠=∠，△//AE DF ．【变式训练2】如图，已知点C 是AB 的中点，CD △BE ，且CD BE =．（1）求证：△ACD△△CBE ．（2）若87,32A D ∠=︒∠=︒，求△B 的度数．【答案】（1）见解析；（2）61【分析】（1）根据SAS 证明△ACD△△CBE ；（2）根据三角形内角和定理求得△ACD ，再根据三角形全等的性质得到△B=△ACD ．【详解】（1）△C 是AB 的中点，△AC ＝CB ，△CD//BE ，△ACD CBE ∠=∠，在△ACD 和△CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ACD CBE ∆≅∆；（2）△8732A D ︒︒∠=∠=，，△180180873261ACD A D ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，又△ACD CBE ∆≅∆，△61B ACD ︒∠=∠=．模型三、对称全等模型例.如图，已知△C ＝△F ＝90°，AC ＝DF ，AE ＝DB ，BC 与EF 交于点O ，（1）求证：Rt△ABC△Rt△DEF ；（2）若△A ＝51°，求△BOF 的度数．【答案】（1）见解析；（2）78°【详解】（1）证明：△AE ＝DB ，△AE ＋EB ＝DB ＋EB ，即AB ＝DE ．又△△C＝△F＝90°，AC＝DF，△Rt△ABC△Rt△DEF．（2）△△C＝90°，△A＝51°，△△ABC＝△C－△A＝90°－51°＝39°．由（1）知Rt△ABC△Rt△DEF，△△ABC＝△DEF．△△DEF＝39°．△△BOF＝△ABC＋△BEF＝39°＋39°＝78°．【变式训练1】如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90º，∠B ＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】B【解析】∵∠E＝∠F＝90º，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF，∵∠BAE＝∠CAF，∠BAE－∠BAC＝∠CAF－∠BAC，∴∠1＝∠2，∴△ABE≌△ACF，∴∠B＝∠C，AB＝AC，又∵∠BAC＝∠CAB，∴△ACN≌△ABM，④CD＝DN不能证明成立，∴共有3个结论正确．【变式训练2】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③【解答】D【解析】∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACF（第一个正确），∴AE＝AF，∴BF＝CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（第二个正确），∴DF＝DE，连接AD，∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD ＝∠EAD ，即点D 在∠BAC 的平分线上（第三个正确）.模型四、旋转全等模型例.如图，△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，△BAC =△DAE ，且点B ，D ，E 在同一条直线上，若△CAE +△ACE +△ADE =130°，则△ADE 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】B【详解】BAC DAE ∠=∠BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠BAD CAE ∴∠=∠,AB AC AD AE == ∴在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD ≌CAE （ SAS ） ABD ACE ∴∠=∠130CAE ACE ADE ∠+∠+∠=︒130ABD BAD ADE ∴∠+∠+∠=︒ADE ABD BAD ∠=∠+∠2130ADE ∴∠=︒65ADE ∴∠=︒故选：B ．【变式训练1】如图，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转60°得到正方形AB ′C ′D ′，线段CD ，B ′C ′交于点E ，若DE ＝1，则正方形的边长等于_____．【答案】2+【详解】解：连接AC 、AE ，延长C ′B ′交AC 于点F ，过点F 作GF △DC 于G ， 由题意得，AD =AB ′,△D =△AB ′E ，△B ′AB =60°,△CAB =△GCB ′=45°，△△DAB ′=30°，△CAB ′=15°在RT △ADE 与RT △AB ′E 中AD AB AE AE ='⎧⎨=⎩，△RT △ADE △RT △AB ′E （HL ）， △△DAE =△B′AE =12△DAB ′=15°，DE=EB ′=1，△△B′AE=△CAB ′在△AB′E 和△AB′F 中==B AE CAB AB AB EB A FB A ∠'=∠'⎧⎪''⎨⎪∠'∠'⎩ ，△△AB′E △△AB′F （ASA ），△EB′=BF=1 △△DEB ′=360°-△D -△EB A '-∠DAB′=150°，△△GEF =30°在RT △EGF 中，EG =EF ×cos △GEFDF =EF ×sin △GEF =2×12=1 在△CGF 中，△GCF =45°，△CG=GF =1，△DC =DE+EG+GC所以正方形的边长为【变式训练1】如图，,,,AC BC DC EC AC BC DC EC ⊥⊥==， 求证：（1）ACE BCD ∆≅∆；（2）AE BD ⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：()1AC BC ⊥，DC EC ⊥，90ACB DCE ∴∠=∠=︒， ACB ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，∴∠=∠DCB ECA ，在DCB ∆和ECA ∆中，AC BC DCB ECA CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCB ECA SAS ∴∆≅∆；()2如图，设AC 交BD 于N ，AE 交BD 于O ，∆≅∆DCB ECA ，A B ∴∠=∠，∠=∠AND BNC ，90∠+∠=︒B BNC ， 90∴∠+∠=︒A AND ，90∴∠=︒AON ，AE BD ∴⊥．【变式训练2】如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD α∠=∠=．（1）求证：AEC ADB ≅△△；（2）若90α=︒，试判断BD 与CE的数量及位置关系并证明；（3）若CAB EAD α∠=∠=，求CFA ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）BD=CE ，BD△CE ；（3）902α︒-【详解】（1）△△CAB=△EAD△△CAB+△BAE=△EAD+△BAE ，△ △CAE=△BAD ，△AB=AC ，AE=AD 在△AEC 和△ADB 中AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪⎨⎪⎩∠=∠=△ △AEC△△ADB （SAS ） （2）CE=BD 且CE△BD ，证明如下：将直线CE 与AB 的交点记为点O ，由（1）可知△AEC△△ADB ，△ CE=BD ， △ACE=△ABD ，△△BOF=△AOC ，△α=90°，△ △BFO=△CAB=△α=90°，△ CE△BD ．（3）过A 分别做AM△CE ，AN△BD 由（1）知△AEC△△ADB ，△两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD△AM=AN△AF 平分△DFC由（2）可知△BFC=△BAC=α△△DFC=180°-α△△CFA=12△DFC=902α︒- 【变式训练3】如图①，在△ABC 中，△A ＝90°，AB ＝AC1，BC ＝2D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ＝1，DE．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．如图②，连接CE 、BD 、CD ．（1）如图②，求证：CE ＝BD ；（2）利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE 所在的直线能否垂直平分BD？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由； （3）在旋转的过程中，当△BCD 的面积最大时，α＝ °．（直接写出答案即可）【答案】（1）证明见解析；（2）能，α=90°；（3）135α=︒．【详解】（1）证明：如图2中，根据题意：AB AC =，AD AE =，90CAB EAD ∠=∠=︒， 90CAE BAE BAD BAE ∠+∠=∠+∠=︒，CAE BAD ∴∠=∠，在ACE ∆和ABD ∆中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE ABD SAS ∴∆≅∆，CE BD ∴=；（2）能，若CE 所在直线垂直平分BD ，则CD =BC ，△AB ＝AC＋1，BC ＝2，AD ＝AE ＝1，DE△1122AC AD CD BC +=+=== △AC +AD =CD ，即A 、C 、D 在同一条直线上，此时α=90°，如下图，CE 的延长线与BD 交于F ，与（1）同理可得()ACE ABD SAS ∆≅∆，ACE ABD ∴∠=∠，90ACE AEC ∠+∠=︒，且AEC FEB ∠=∠，90ABD FEB ∴∠+∠=︒，90EFB ∴∠=︒，CF BD ∴⊥，BC CD =，CF ∴是线段BD 的垂直平分线；（3）解：BCD ∆中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时BCD ∆的面积有最大值， ∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，BCD ∆的面积取得最大值，如图中：1AB AC ==，1AD AE ==，90CAB EAD ∠=∠=︒，DG BC ⊥于G ，12AG BC ∴==45GAB ∠=︒，1DG AG AD ∴=+==，18045135DAB ∠=︒-︒=︒， BCD ∴∆的面积的最大值为：1122BC DG ⋅==135α=︒． 模型五、手拉手全等模型例.如图，B ，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．（1）求证：；（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立C E ABC ∆DCE ∆BD AC M AE CDN AE BD =DCE ∆C吗？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析．【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，，，，，，，即．在和中，，(SAS)．．即AE=BD ，（2）成立；理由如下：如图2中，、均为等边三角形， ，，，，即，在和中，，，．【变式训练1】如图，△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，△AOB ＝△COD ＝90°，AC 、BD 交于点M ．(1) 如图1，求证：AC=BD ，判断AC 与BD 的位置关系并说明理由；(2) 如图2，△AOB ＝△COD ＝60°时，△AMD 的度数为___________.【答案】(1)答案见解析；（2）120.ABC ∆DCE∆AC BC ∴=CD CE =60ACB DCE ∠=∠=︒180ACB ACD DCE ∠+∠+∠=60ACD ∴∠=︒ACB ACD ACD DCE ∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠BCD ∆ACE ∆BC AC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCD ACE ∴∆≅∆BD AE ∴=AE BD =ABC ∆DCE ∆BC AC ∴=CD CE =60BCA DCE ∠=∠=︒BCA ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠ACE ∆BCD ∆AC BC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACE BCD SAS ∴∆≅∆AE BD ∴=【详解】()190AOB COD ∠∠＝＝，.AOB AOD COD AOD ∠+∠∠+∠＝ 即：.BOD AOC ∠∠＝,,OA OB OC OD ＝＝易证.BOD AOC ≌.OBD OAC ∴∠=∠ AC=BD△,AMD ABM BAM ∠=∠+∠.BAM BAO OAC ∠=∠+∠△.AMD ABM BAO OBD OBA BAO ∠=∠+∠+∠=∠+∠△90.AOB ∠= △90.OBA BAO ∠+∠=90.AMD ∴∠= △AC△BD（2）同理可得. .AMD OBA BAO ∠=∠+∠60.AOB ∠= 120.OBA BAO ∠+∠= 120.AMD ∴∠= 故答案为： 120.【变式训练2】如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD 和△AOB 如图①摆放，连结AC ，BD ．（1）如图①，猜想线段AC 与BD 存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD 绕点O 顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD 绕点O 逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在怎样的关系？请直接写出结论．【答案】（1）AC=BD ，AC△BD ，证明见解析；（2）存在，AC=BD ，AC△BD ，证明见解析；（3）AC=BD ，AC△BD【详解】（1）AC=BD ，AC△BD ， 证明：延长BD 交AC 于点E ．△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△COA=△BOD=90º，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△△OAC=△OBD ，△△ADE=△BDO ，△△AED=△BOD=90º，△AC△BD ；（2）存在，证明：延长BD 交AC 于点F ，交AO 于点G ．△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△DOC=BOA=90º，△△AOC=△DOC －△DOA ，△BOD=△BOA －△DOA ，△△AOC=△BOD ，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△OAC=△OBD ，△△AGF=△BGO ，△△AFG=△BOG=90º，△AC△BD ；（3）AC=BD ，AC△BD ．证明：BD 交AC 于点H ，AO 于M ，△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△DOC=BOA=90º，△△AOC=△DOC+△DOA ，△BOD=△BOA+△DOA ，△△AOC=△BOD ，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△OAC=△OBD ，△△AMH=△BMO ，△△AHM=△BOH=90º，△AC△BD ．【变式训练3】已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）△ACE =62°；（3）△CBA =6°．【详解】解：（1）△△CAE =△DAB ，△△CAE +△CAD =△DAB +△CAD ，即△CAB =△EAD ，在△ABC 和△ADE 中，△△ABC△△ADE （AAS ），ABC ∆ADE ∆C E ∠=∠CAE DAB ∠=∠BC DE =ABC ADE ∆∆≌CE BD DE AD BC M N 56DMB ∠=︒ACE ∠CN EM =CBA∠C E CAB EAD BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（2）△△ABC△△ADE ，△△CBA=△EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，△△EDA +△MND+△DMB =，△CBA +△ANB +△DAB =，又△ △MND=△ANB ，△ △DAB=△DMB=，△△CAE =△DAB=，△AC=AE ，△△ACE =△AEC=，△△ACE =， （3）△CBA=，如图所示，连接AM ，,CN=EM,CA=EA,(SAS), AM=AN,,=即,由(2)可得：,=, △CAE =△DAB==-= .课后训练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒【答案】C 【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ △ABC △△ADE （SAS ）△△BAC =△DAE 180︒180︒56︒56︒1(18056)622︒︒︒-=62︒6︒NCA MEA ∠=∠∴NCA MEA ≅∴EAM CAN ∠=∠∴EAM CAM ∠-∠CAN CAM ∠-∠EAC MAN ∠=∠=56EAC MAN ︒∠=∠∴ANM ∠1(18056)622︒︒︒-=56︒∴CBA ANM DAB ∠=∠-∠62︒56︒6︒△△EAB =△BAC +△DAE +△CAD =120°△△BAC =△DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒ △△BAF =△BAC +△CAD =65°△在△AFB 中，△AFB =180°-△B -△BAF =90°△△GFD =90°在△FGD 中，△EGF =△D +△GFD =115°故选：C2.如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF△AB 于F ，△B ＝△1+△2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．【详解】在FA 上取一点T ，使得FT =BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK =ET ，连接DK ． △EB =ET ，△△B =△ETB ，△△ETB =△1+△AET ，△B =△1+△2，△△AET =△2，△AE =CD ，ET =CK ，△△AET △△DCK (SAS )，△DK =AT ，△ATE =△DKC ，△△ETB =△DKB ，△△B =△DKB ，△DB =DK ，△BD =AT ，△AD =BT ，△BT =2BF =83，△AD =83，故答案为：83．3.如图，2A C ，BD 平分ABC ∠，10BC =，6AB =，则AD =_____．【答案】4【详解】解：（1）在BC 上截取BE ＝BA ，如图，△BD 平分△ABC ，△△ABD ＝△EBD ，在△ABD 和△BED 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△EBD （SAS ），△DE ＝AD ，△BED ＝△A ，又△△A ＝2△C ，△△BED ＝△C +△EDC ＝2△C ，△△EDC ＝△C ，△ED ＝EC ，△EC ＝AD ，△BC ＝BE +EC ＝AB +AD ，△BC ＝10，AB ＝6，△AD ＝10﹣6＝4；故答案为：4．4.如图，正方形ABCD ，将边CD 绕点D 顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE ，连接AE ，CE ，过点A 作AF △CE 交线段CE 的延长线于点F ，连接BF ．（1）当AE ＝AB 时，求α的度数；（2）求证：△AEF ＝45°；（3）求证：AE △FB ．【答案】（1）α＝30°；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【详解】解：(1) 在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝DC ，由旋转可知，DC ＝DE ，△AE ＝AB △AE ＝AD ＝DE△△AED 是等边三角形，△∠ADE ＝60°，△△ADC ＝90°，△α＝△ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°．（2）证明：在△CDE 中，DC ＝DE ，△△DCE ＝△DEC ＝180=9022αα－－， 在△ADE 中，AD ＝ED ，△ADE ＝90°－α，△△DAE ＝△DEA ＝()18090=4522αα－－＋ △△AEC ＝△DEC ＋△DEA ＝90+45+22αα－＝135°．△△AEF ＝45°，（3）证明：过点B 作BG //CF 与AF 的延长线交于点G ，过点B 作BH //GF 与CF 交于点H ， 则四边形BGFH 是平行四边形，△AF △CE ，△平行四边形BGFH 是矩形，△△AFP ＝△ABC ＝90°，△APF ＝△BPC ，△△GAB ＝BCP ，在△ABG 和△CBH 中，GAB HCB BGA BHC AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABG △△CBH (AAS )，△BG ＝BH ，△矩形BGFH 是正方形，△△HFB ＝45°，由（2）可知：△AEF ＝45°，△△HFB ＝△AEF ＝45°，△AE△F B ．5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝65º，求∠BDC的度数．【答案】（1）见解析；（2）50º【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，即∠BAE ＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD；（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD＋∠BAC，∠BOC＝∠ACD ＋∠BDC，∴∠ABD＋∠BAC＝∠ACD＋∠BDC，∵∠ABD＝∠ACD，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ACB＝65º，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65º ，∴∠BAC＝180º－∠ABC－∠ACB＝180º－65º－65º＝50º ，∴∠BDC＝∠BAC＝50º．6.如图①，在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC 的外部作△CED，使△CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：EF=AE；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF、AE的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）AF=，见解析．【详解】解：（1）如图，四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，AB=AC，∴AC=DF，DE=EC∴AE=EF；（2）AF=，证明：连接EF，设DF交BC于K，四边形ABFD是平行四边形，∴AB//DF∴△DKE=△ABC=45°，∴△EKF=180°-△DKE=135°△ADE=180°-△EDC=180°-45°=135°，∴△EKF=△ADE，△DKC=△C，∴DK=DC ，DF=AB=AC，∴KF=AD在△EKF和△EDA中，EK DKEKF ADEKF AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKF△△EDA（SAS）∴EF=EA, △KEF=△AED，∴△FEA=△BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，AF=．7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB ＝CP＋CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）证明，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA＋∠ACG＝∠CAG＋45°＝∠CBE＋45°，∠PGC＝∠GCB＋∠CBE＝∠CBE＋45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG＋PG，BG＝CF，∴PB＝CF＋CP；（3）如图，过E作EM⊥AG，交AG于M，＝AG•EM，∵S由（2）得△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x＋x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM，∴M是AG的中点，∴AE＝EG，∴BE＝BG＋EG＝6＋，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝，∴AC＝AE＋EC．8.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．（1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE ＝AM，求证：2DE＝MC；（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．【解答】（1（2）见解析；（3【解析】（1）如图，过点C作CG⊥AB于G，∵AC＝CD，∴AG＝DG，设DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝DE，∴BG＝BD＋DG＋a，在Rt△BGC中，∠BCG＝90°－∠ABC＝30°，∴BC＝2BG，CG＝BG＝6＋a，在Rt△DGC中，CD＝AC＝3，根据勾股定理得，CG2＋DG2＝CD2，∴（6＋a）2＋a2＝90，∴（舍），∴BC＝EC＋BE＝EC＋BD，∴EC＋BD＝2（BD＋DG），∴EC＝BD＋2DG；（2）如图在MC上取一点P，使MP＝DE，连接AP，∵△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，BE＝DE，∴∠DEC＝120°，BE＝PM，∵AE＝AM，∴∠AEM＝∠AME，∴∠AEB＝∠AMP，∴△ABE≌△APM（SAS），∴∠APM＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝120°＝∠DEC，如图，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，∴∠CDE＝180°－∠BDE－∠ADC＝180°－60°－∠DAC＝120°－∠DAC，在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠DAC＝120°－∠DAC＝∠CDE，∵MQ∥AC，∴∠PMQ＝∠ACB，∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC（ASA），∴MQ＝CD，∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM（AAS），∴CP＝MP，∴CM＝MP＋CP＝2DE；（3）如图，在MC上取一点P，使PM＝DE，由（2）知，MC＝2CP＝2DE，由（2）知，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴BP＝AB，∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE＋PE＋CP＝DE＋PE＋DE＝2DE＋AD＝MC＋AD，过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m，在Rt△ABH，在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，∴∠CAH＝90°－∠ACB＝45°＝∠ACB，∴CH＝AH，∵MC＋AD＝BC＝BH＋CH＝，∴MC＋AD＝AC．。
2022年中考数学专题复习：几何最值模型 第6讲阿氏圆问题
6、阿氏圆-例题精讲
例题1，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4，BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、E两点，
1
13.
点P是圆C上的一个动点，则2 + 的最小值为________.
1
【分析】本题最大难点在于转化2 .此时P点
的轨迹是圆，注意圆C的半径为2，CA=4,连接
∵AB=BD=4,BD是切线，∴∠ABD=90d°，∠BAD=∠D=45°，
∵AB是直径，∴∠APB=90°，
∴∠PAB=∠PBA=45°，∴PA=PB，PO⊥AB,
∵AC=PO=2，AC//PO，∴四边形AOPC是平行四边形，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴OA=OP，∠AOP=90°，∴四边形AOPC是正方形，
∴PM=
6、阿氏圆-模型总结
2
【模型建立】如图1所示，圆的半径为R,点A、B都在圆外，P为圆O上一动点，已知 = 5 ，
2
连接PA、PB，则当“ + 5 PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
图1
解决办法：如图2，在线段OB上截取OC,使得OC=
2
图2
2
2
R,则可说明△BPO与PCO相似，则有
学无止境
中考数学几何最值模型
第（6）讲阿氏圆问题
苏科版九年级
模型汇总
6、阿波罗尼斯圆-人物介绍
人物介绍
阿波罗尼斯（Apollonius约公元前262-190年），古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德齐名．
2022年中考数学几何模型提升专题06 正方形基本型—中点+折叠
专题06正方形基本型——中点+折叠【模型解读】中点+折叠【模型实例】1．如图，在边长4的正方形ABCD 中，E 是边BC 的中点，将CDE ∆沿直线DE 折叠后，点C 落在点F 处，再将其打开、展平，得折痕DE ．连接CF 、BF 、EF ，延长BF 交AD 于点G ．则下列结论：①BG DE =；②CF BG ⊥；③1sin 2DFG ∠=；④125DFG S ∆=，其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，正方形ABCD 中，12AB =，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ，给出以下结论：①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③//BF DE ；④725BEF S ∆=．其中所有正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，矩形ABCD 中，AB =12BC =，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将AEF ∆沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．4.如图，正方形ABCD 中，AD ＝1，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则(1)FM＝________，(2)tan∠MDE＝________．专题06正方形基本型——中点+折叠【模型解读】中点+折叠【模型实例】1．如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将CDE∆沿直线DE折叠后，点C落在点F处，再将其打开、展平，得折痕DE．连接CF、BF、EF，延长BF交AD 于点G．则下列结论：①BG DE=；②CF BG⊥；③1sin2DFG∠=；④125DFGS∆=，其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解答】解：四边形ABCD 是正方形，4AB BC AD CD ∴====，90ABC BCD ∠=∠=︒， E 是边BC 的中点，2BE CE ∴==，将CDE ∆沿直线DE 折叠得到DFE ∆，4DF CD ∴==，2EF CE ==，90DFE DCE ∠=∠=︒，DEF DEC ∠=∠，EF EB ∴=，EBF BFE ∴∠=∠，1(180)2EBF BFE BEF ∠=∠=︒-∠，1(180)2CED FED BEF ∠=∠=︒-∠，GBE DEC ∴∠=∠，//BG DE ∴，//BE DG ，∴四边形BEDG 是平行四边形，BG DE ∴=，故①正确；EF CE =，EFC ECF ∴∠=∠，1180902FBE BCF BFE CFE ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，90BFC ∴∠=︒，CF BG ∴⊥，故②正确；90ABG CBG BFE DFG ∠+∠=∠+∠=︒，ABG DFG ∴∠=∠，4AB =，2DG BE ==，2AG ∴=，BG ∴=，sin sinAGDFG ABG BG ∴∠=∠===③错误；过G 作GH DF ⊥于H ，1tan tan 2GFH ABG ∠=∠=， ∴设GH x =，则2FH x =，DH =24DF FH DH x ∴=+=+，解得： 1.2x =，2x =（舍去），1.2GH ∴=，1124 1.225DFG S ∆∴=⨯⨯=，故④正确； 故选：C ．2．如图，正方形ABCD 中，12AB =，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ，给出以下结论：①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③//BF DE ；④725BEF S ∆=．其中所有正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：如图，由折叠可知，DF DC DA ==，90DFE C ∠=∠=︒，90DFG A ∴∠=∠=︒，在Rt ADG ∆和Rt FDG ∆中，AD DF DG DG =⎧⎨=⎩， Rt ADG Rt FDG(HL)∴∆≅∆，故①正确；正方形边长是12，6BE EC EF ∴===，设AG FG x ==，则6EG x =+，12BG x =-，由勾股定理得：222EG BE BG =+，即：222(6)6(12)x x +=+-，解得：4x =4AG GF ∴==，8BG =，2BG AG =，故②正确，EF EC EB ==，EFB EBF ∴∠=∠，DEC DEF ∠=∠，CEF EFB EBF ∠=∠+∠，DEC EBF ∴∠=∠，//BF DE ∴，故③正确；168242GBE S ∆=⨯⨯=，67224105BEF GBE EF S S EG ∆∆=⋅=⨯=，故④正确． 综上可知正确的结论的是4个．故选：D ．3．如图，矩形ABCD 中，AB =12BC =，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将AEF ∆沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是【解答】解：如图，连接EC ，四边形ABCD 为矩形，90A D ∴∠=∠=︒，12BC AD ==，DC AB == E 为AD 中点，162AE DE AD ∴=== 由翻折知，AEF GEF ∆≅∆，6AE GE ∴==，AEF GEF ∠=∠，90EGF EAF D ∠=∠=︒=∠， GE DE ∴=，EC ∴平分DCG ∠，DCE GCE ∴∠=∠，90GEC GCE ∠=︒-∠，90DEC DCE ∠=︒-∠，GEC DEC ∴∠=∠，1180902FEC FEG GEC ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒， 90FEC D ∴∠=∠=︒，又DCE GCE ∠=∠，FEC EDC ∴∆∆∽， ∴FE EC DE DC=，EC DE =∴6FE =FE ∴=故答案为：4.如图，正方形ABCD 中，AD ＝1，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥ED ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM ，连接DM ，交EF 于点N ，若点F 是AB 的中点，则(1)FM ＝________，(2)tan ∠MDE ＝________．进而求出FG，即可得出结论；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，AB＝AD＝1，∠BAD＝90°，∵点F是AB的中点，∵AB∥CD，∴△AFG∽△CDG，由折叠知，FM＝FG，（2）如图，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAD＝45°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°＝∠BAD，∴∠BAD＋∠DEF＝180°，∴点A，D，E，F四点共圆，∴∠DFE＝∠DAC＝45°，∴∠EDF＝45°，连接GM，交EF于P，由折叠知，PG＝PM，GM⊥EF，∵DE⊥EF，∴GM∥DE，∴△FPG∽△FED，∵GM∥DE，∴△MPN∽△DEN，【解答】解：∵正方形ABCD 中，AB ＝3，CD ＝3DE ，∴AD ＝AF ，EF ＝DE ＝1，∠AFE ＝∠D ＝90°，∴AB ＝AF ＝AD ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，⎩⎨⎧AG ＝AG AB ＝AF， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG (HL )，∴BG ＝FG ，设BG ＝FG ＝x ，则EG ＝EF ＋FG ＝1＋x ，CG ＝3－x ，在Rt △CEG 中,EG 2＝即(1＋x )2＝(3－x )2＋22,∴∠CGF≠180°－60°×2≠60°，又∵BG＝CG＝FG，∴△CGF不是等边三角形，故答案为：①③．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。