二次函数动点问题中面积最值的解法策略

二次函数动点问题中面积最值的解法策略摘要：我国正在实施新的基础教育课程改革，《义务教育数学课程标准（２０22年版）》指出要培养学生的数学核心素养，而二次函数和几何图形的综合应用题，能充分的考查学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算以及数学建模等综合能力。

这种类型的综合题，通常出现在中考的压轴题中，综合性强，计算强度大，具有较大的难度，在二次函数与几何图形的综合题中，求二次函数面积的最值问题比较常见，本文就此问题解法进行探讨。

关键词：二次函数与几何图形；函数动点问题；二次函数面积最值二次函数动点问题就是通过点的运动生成一种函数关系及函数图象，抛物线上点的运动与直线相结合而产生的三角形面积问题，就是将几何图形与函数图象有机地融合在一起，解决的关键是结合图形通过点坐标衔接函数、方程找到函数关系。

本文就求解二次函数面积最值的问题，浅谈几种解决此类问题的方法策略。

一、割补法在解决二次函数面积最值问题时，不规则多边形的面积往往可以通过割补法把多边形分为几个三角形或者是规则的四边形的面积来求解，当三角形中有一边是在坐标轴上，或者在以坐标轴平行的直线上，那么就可以把这一条边当作三角形的底边，第三个点到这一条边的距离，作为三角形的高，直接利用三角形的面积公式求解，或者过图形的各端点作两坐标轴的平行线，构造与轴平行的最小矩形对所要求面积的图形进行覆盖，然后所求图形的面积即为矩形面积减去多余的几个直角三角形的面积。

最终把多边形面积的最值问题，转化为求三角形面积的最值问题，这也体现了一种“化归”的思想方法。

题目1、(2019枣庄)已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点(点B在点A右侧)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)如图①，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由.[思路分析]（1）由抛物线的对称轴是直线x=3，解出a的值，即可求得抛物线的表达式，再令其y值为0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标。

（2）易求出点C的坐标为（0，4）。

连接OP,则不规则的四边形PBOC的面积等于△OPC的面积加上△OPB的面积,在平面直角坐标系中，解决函数动点问题的方法是设带有参数的动点坐标，本题可设动点P的坐标为(x，－x2＋x＋4)，因△OPC、△OPB中各有一边是在坐标轴上，可直接利用三角形的面积公式求解。

经计算得到四边形PBOC的面积是一个关于x的二次函数，把二次函数配方为顶点式，根据x的取值范围，可以求得四边形PBOC面积的最大值。

解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，∴－＝3，解得a＝－.∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.令y＝0，则－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(8，0)；(2)存在，如右图，连接OP.∵当x＝0时，y＝－x2＋x＋4＝4，∴点C的坐标为(0，4)．设点P的坐标为(x，－x2＋x＋4)，∴S四边形PBOC＝S△POC＋S△POB＝×4×x＋×8×(－x2＋x＋4)＝－x2＋8x＋16＝－(x－4)2＋32.∵－1＜0，0<x<8.∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大面积是32，此时y＝－x2＋x＋4＝－×42＋×4＋4＝6.∴点P的坐标是(4，6)．故存在点P，使四边形PBOC的面积最大，点P的坐标是(4，6)，四边形PBOC面积的最大值是32；点评：对于二次函数中不规则四边形面积最值的求法，我们常规的方法是把它转化为规则的图形去解决。

从而达到简化计算过程和计算难度的目的。

二、铅垂高法如图，过△ABC的三个顶点，分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫做△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫做△ABC的“铅垂高”（h），则S△ABC＝ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

公式证明如下：S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝h＋h ＝（＋）＝ ah铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，即AD= |－| , 为了保证这个差值是正数，用铅垂线上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标，因此，求出点A、 D 的坐标，是求铅垂高度 AD 的关键。

即，S△ABC＝AD|-| ＝|-||-|题目 2、在平面直角坐标系中，直线y＝x－2与x轴交于点B，与y轴交于C，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．(1)求二次函数的解析式及点A的坐标；(2)如图，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；[思路分析]（1）令关系式y＝x－2中的y、x的值分别为0，求出对应的x，y的值，可求得B、C两点坐标，然后利用待定系数法可求得抛物线解析式，再令其y值为0，解一元二次方程即可求出点A的坐标。

（2）△BCD是一个斜三角形，它没有任何一条边在坐标轴上或者在与坐标轴平行的直线上，可以考虑用铅垂法求它的面积。

过点D作DE∥y轴，交BC于点E, 则△BCD的铅垂高就是DE，水平宽就是OB, 因动点D在抛物线上，可设动点D的坐标为(x，x2－x－2)，点E在直线BC上，且与D点的横坐标相等，故可设E的坐标为 (x，x－2) ，则DE= |-| =（x－2）-（x2－x－2）=－x2＋2x，再利用三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半即可求出△BCD的面积。

2. 解：(1)令y＝x－2＝0，解得x＝4，令x＝0，则y＝x－2＝－2，∴点B(4，0)，C(0，－2)，将点B(4，0)，C(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c中得解得∴二次函数的表达式为y＝x2－x－2.令y＝x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴点A的坐标为(－1，0)．(2)如解图①，过点D作DE∥y轴，交BC于点E,设点D的坐标为(x，x2－x－2)，则点E(x，x－2)，∴DE＝x－2－(x2－x－2)＝－x2＋2x，第2题解图①∴S＝S△CDE＋S△BDE＝DE×OB ＝DE×4＝×(－x2＋2x)×4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∵－1＜0，0<x<4，∴当x＝2时，S有最大值，最大值为4；点评：用铅垂法解决斜三角形面积最值问题，先通过设立带有参数的点的坐标来确定线段长，进而求斜三角形面积的最值，体现了建模思想，数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。

三、平移法当三角形的底边已经确定，要求三角形面积的最大值，只有当高最大时，三角形的面积才是最大的。

平移三角形底边所在的直线，当这条直线与抛物线只有唯一的一个公共点的时候，能使得三角形的面积最大。

这个公共点就是能使得三角形面积最大的动点位置。

题目 3、直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．[思路分析]（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式。

（2）以 BC作为三角形的底边，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将直线 BC平移，与抛物线存在唯一的一个交点时，两直线的距离就是高的长度，此时三角形的面积最大。

解（1）∵直线y =﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴ 抛物线解析式为y = x2﹣4x+3；（2）把直线BC平移与抛物线仅有唯一的一个交点时，两条平行线间的距离最大，此时△CBE的面积最大，这个交点就是点E的位置，如图所示。

∵直线BC 的解析式为y =﹣x+3，直线DE与直线BC平行∴设直线DE 的解析式为y =﹣x+m ，直线DE与抛物线仅有一个交点，联立直线DE、抛物线解析式，得｛，消去y得：-3+3-m=0，由△=-4×(3-m)=0 解得：m=，即当 m=时，点E到BC的距离最大，△CBE的面积最大，此时x=，y =﹣+=﹣∴E（，﹣）即当E点坐标为（，﹣）时，△CBE的面积最大．点评：平移三角形底边所在的直线，当直线与抛物线有且只有一个交点时，三角形的面积最大，联立直线与抛物线两个函数，消去y，得关于x一元二次函数，使其判别式为0，最终求出交点坐标，平行线法解决二次函数中面积最值十分方便，使得二次函数压轴题面积最值迎刃而解。

二次函数动点问题中的综合题，一般借助函数图像上点的坐标建立与几何图形、图形运动的关系，总结解题策略是突破函数和几何图形综合题的关键,抓住知识之间的纽带,利用数形结合研究方法，依据点坐标的衔接作用对问题进行转化, 基于函数方程思想,构建研究模型，解决二次函数和几何图形综合题实际上就是策略运用和模型构建的过程,掌握解题策略即可显著提升解题能力，与此同时，在课堂解题教学中，还需要突出数学基本活动经验的积累，可采取由学生总结归纳,教师进行完善提炼，强调解决问题的思路策略，通过例题运用进行巩固和强化，切实提升学生解决问题和分析问题能力。

参考文献：[1]王唯一. 解二次函数中三角形面积最值问题. 数理化解题研究,2016 (35)[2] 熊猛. 二次函数中三角形面积问题的解法例析. 数理化解题研究2014(01)[3]杨洛瑞. “双轨平行线”破解二次函数面积最值. 教学改革2019 (9)[4] 陈艳. 关于二次函数综合题的探究与思考. 数学教学通讯试题研究2018(12)。