2020年广东省深圳高中高一(下)期中数学试卷解析版
B. y=-log2x
C. y=3x
D. y=x3+x
3. α 是第三象限角，且 sin
，则 tanα=（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 已知向量 ， 的夹角为 60°，且| |=2，| |=1，则|
|=（ ）
A. 2
B.
C. 2
D. 2
5. △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A=60°，a=4 ，b=4 ，
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1.【答案】C
答案和解析
【解析】解：∵A={a，1}，B={2，a}，且 A∪B={1，2，4}； ∴a=4； ∴A∩B={4}． 故选：C． 根据条件可求出 a=4，然后进行交集的运算即可． 考查列举法表示集合的定义，以及交集、并集的运算．
2.【答案】D
20. 已知 f（x）=2sinxcosx+ （cos2x-sin2x）． （1）求函数 y=f（x）的最小正周期和对称轴方程； （2）若 x∈[0， ]，求 y=f（x）的值域．
21. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比 q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2． （1）求等比数列{an}的通项公式；
则 B=（ ）
A. 45°或 135°
B. 135°
C. 45°
D. 以上都不对
6. 在 a，b 中插入 n 个数，使它们和 a、b 组成等差数列 a，a1，a2，…an，b，则
a1+a2+…+an=（ ）
A. n（a+b）
B.
C.
D.
7. 若
，
，则一定有（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 在等比数列{an}中，若 a1-a5=- ，前四项的和 S4=-5，则 a4=（ ）
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知 A={a，1}，B={2，a}，且 A∪B={1，2，4}，则 A∩B=（ ）
A. {1，2}
B. {2，4}
C. {4}
D. ∅
2. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A. y=x2
A. 1
B. -1
C.
D.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9. 已知函数 f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则 a 的取值范围是（ ）
A. （-∞，4]
B. （-∞，2]
C. （-4，4]
D. （-4，2]
10. 圆锥的高 h 和底面半径 r 之比 h：r=2：1，且圆锥的体积 V=18π，则圆锥的表面积
14. 已知 tanα=2，则
=______．
15. 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，M 为 B1C1 中 点，连接 A1B，D1M，则异面直线 A1B 和 D1M 所成角的余 弦值为______．
16. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，M 是 BC 的中点，BM=2，AM=c-b ，△ABC 面积的最大值为______．
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19. 北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总 务办公室用 1000 万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层 1000 平方米 的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平 方米建筑费用提高 0.02 万元，已知建筑第 5 层楼房时，每平方米建筑费用为 0.8 万 元． （1）若学生宿舍建筑为 x 层楼时，该楼房综合费用为 y 万元（综合费用是建筑费 用与购地费用之和），写出 y=f（x）的表达式； （2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时 平均综合费用为每平方米多少万元？
5.【答案】C
=4+4+4=12；
，从而便求出
．
的长度先求
的方法．
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【解析】解：∵A=60°，a=4 ，b=4 ，
∴由正弦定理 = 得：sinB= = = ，
为（ ）
A. 18 π
B. 9（1+2 ）π
C. 9 π
D. 9（1+ ）π
11. 函数 f（x）=（ ）cosx 的图象大致为（ ）
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A.
B.
C.
D.
12. 设 a+b=2，b＞0，则 + 的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 在等比数列{an}中，a2a3a4=8，a7=8，则 a1=______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知 A={x|-x2+4＜0}，B={x|x2-2x-3＜0}，求 A∩B 及 A∪B．
18. 已知在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，2ccosB=2a+b． （1）求角 C 的值； （2）若 a=2b，求 tanA．
【解析】解：由题意，可知： 对于 A：很明显 y=x2 是偶函数，所以排除 A； 对于 B：y=-log2x 在其定义域内是减函数，所以排除 B； 对于 C：y=3x 不是奇函数，所以排除 C； 对于 D：y=x3+x，y′=3x2+1＞0，∴y=x3+x 是增函数，∵f（-x）=-f（x），∴y=x3+x 是奇函 数． 故选：D． 本题可根据各种函数的奇偶性及单调性采用排除法逐个判别．最终能得出正确选项． 本题主要考查二次函数、对数函数、指数函数及三次函数的奇偶性和单调性，本题属基 础题．
（2）设 bn=log2an，求{ }的前 n 项和 Tn．
22. 已知函数 f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象上有两点 A（m1，f（m1）），B（m2 ，f（m2））（m1≠m20．函数 f（x）满足 f（1）=0，且（a+f（m1））（a+f（m2）） =0．
（1）求证：-2
；
（2）求证：b≥0； （3）能否保证 f（m1+3）和 f（m2+3）中至少有一个为正数？请证明你的结论．
3.【答案】B
【解析】解：因为 α 是第三象限角，且 sin
，
所以
，
所以
．
故选：B． 利用同角三角函数的基本关系可得结果． 本题考查了同角三角函数的基本关系，属基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据已知条件，
∴
．
故选：D．
由已知条件及向量数量积的运算即可求出
考查数量积的运算及数量积的计算公式，求向量
深圳市高一数学下学期期中试卷及答案(共3套)
深圳市高一第二学期期中测试卷数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(3,)B m 两点，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．1-2．过点A 且倾斜角为120︒的直线方程为（ ）3．下列四个命题中正确的是（ ）①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A. ①和③ B. ①和④ C. ①②和④ D. ①③和④4．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 ( )A B C D5．如图，平面⊥α平面β，AB B A ,,βα∈∈与两平面βα,所成的角分别为4π和6π，过B A ,分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，若16AB =，则A B ''=（ ）.A 4 .B 6 .C 8 .D 96、已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ⋂,//m α,n β⊥,则 （ ）A ．//m nB ．m n ⊥ C.//m l D ．n l ⊥7．已知向量()1,2a =--，()3,0b =，若()()2//a b ma b +-，则m的值为 （ ） A．2- D ．28．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为 （ ）A ．32B ．64 C．．9、已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a b （ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．210．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++=； （2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=． 则点O 依次为ABC ∆的（ ）（注：重心是三条中线的交点；垂心是三条高的交点；内心是内切圆的圆心；外心是外接圆的圆心） A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心 D ．外心、内心、垂心、重心11．已知O 是正三角形ABC 内部一点，且32=++,则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为 （ ）A ．23 B ．25C ．2D ．512．直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其外接球的体积为（ ）AB ．43πC ．3πD ．4π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 131=的倾斜角等于 ． 14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．15．设a 、b 是单位向量，其夹角为θ．若t +a b 的最小值为12，其中t R ∈．则θ=______． 16．在棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -中，以A为 。
2020年广东省深圳高中高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={a，1}，B={2，a}，且A∪B={1，2，4}，则A∩B=（）A. {1，2}B. {2，4}C. {4}D. ∅2.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. y=x2B. y=-log2xC. y=3xD. y=x3+x3.α是第三象限角，且sin，则tanα=（）A. B. C. D.4.已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则||=（）A. 2B.C. 2D. 25.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，a=4，b=4，则B=（）A. 45°或135°B. 135°C. 45°D. 以上都不对6.在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列a，a1，a2，…a n，b，则a1+a2+…+a n=（）A. n（a+b）B.C.D.7.若，，则一定有（）A. B. C. D.8.在等比数列{a n}中，若a1-a5=-，前四项的和S4=-5，则a4=（）A. 1B. -1C.D.9.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A. （-∞，4]B. （-∞，2]C. （-4，4]D. （-4，2]10.圆锥的高h和底面半径r之比h：r=2：1，且圆锥的体积V=18π，则圆锥的表面积为（）A. 18πB. 9（1+2）πC. 9πD. 9（1+）π11.函数f（x）=（）cos x的图象大致为（）A. B.C. D.12.设a+b=2，b＞0，则+的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等比数列{a n}中，a2a3a4=8，a7=8，则a1=______．14.已知tanα=2，则=______．15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为______．16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c-b，△ABC面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知A={x|-x2+4＜0}，B={x|x2-2x-3＜0}，求A∩B及A∪B．18.已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2c cos B=2a+b．（1）求角C的值；（2）若a=2b，求tan A．19.北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．（1）若学生宿舍建筑为x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出y=f（x）的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？20.已知f（x）=2sin x cosx+（cos2x-sin2x）．（1）求函数y=f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若x∈[0，]，求y=f（x）的值域．21.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求{}的前n项和T n．22.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象上有两点A（m1，f（m1）），B（m2，f（m2））（m1≠m20．函数f（x）满足f（1）=0，且（a+f（m1））（a+f（m2））=0．（1）求证：-2；（2）求证：b≥0；（3）能否保证f（m1+3）和f（m2+3）中至少有一个为正数？请证明你的结论．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={a，1}，B={2，a}，且A∪B={1，2，4}；∴a=4；∴A∩B={4}．故选：C．根据条件可求出a=4，然后进行交集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，以及交集、并集的运算．2.【答案】D【解析】解：由题意，可知：对于A：很明显y=x2是偶函数，所以排除A；对于B：y=-log2x在其定义域内是减函数，所以排除B；对于C：y=3x不是奇函数，所以排除C；对于D：y=x3+x，y′=3x2+1＞0，∴y=x3+x是增函数，∵f（-x）=-f（x），∴y=x3+x是奇函数．故选：D．本题可根据各种函数的奇偶性及单调性采用排除法逐个判别．最终能得出正确选项．本题主要考查二次函数、对数函数、指数函数及三次函数的奇偶性和单调性，本题属基础题．3.【答案】B【解析】解：因为α是第三象限角，且sin，所以，所以．故选：B．利用同角三角函数的基本关系可得结果．本题考查了同角三角函数的基本关系，属基础题．4.【答案】D【解析】解：根据已知条件，=4+4+4=12；∴．故选：D．由已知条件及向量数量积的运算即可求出，从而便求出．考查数量积的运算及数量积的计算公式，求向量的长度先求的方法．5.【答案】C【解析】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sin B===，∵a＞b，∴A＞B，则B=45°．故选：C．由A的度数求出sin A的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin B的值，由b小于a，得到B小于A，即可求出B的度数．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6.【答案】B【解析】解：依题意，设等差数列a，a1，a2，…a n，b，记为{c n}，其前n项和为S n，则c1=a，c n+2=b，所以a1+a2+…+a n=S n+2-（a+b）==，故选：B．在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列，则第一项为a，第n+2项为b，根据等差数列的前n项和公式求解即可．本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式比较大小，特值法有效，倒数计算正确．利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=-3，d=-1，则，，∴A、B不正确；，=-，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴-c＞-d＞0，∵a＞b＞0，∴-ac＞-bd，∴，∴．故选：D．8.【答案】A【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1-a5=-，即a1（1-q4）=-，若其前四项的和S4=-5，则有S4==-5，解可得q=-，又由a1（1-q4）=-，则a1=-8，则a4=a1×q3=（-8）×（-）3=1；故选：A．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由a1-a5=-分析可得a1（1-q4）=-，结合等比数列的前n项和公式可得S4==-5，解可得q的值，进而可得a1=-8，结合等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及前n项和公式，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，属于简单题．若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2-ax+3a＞0在[2，+∞）恒成立,结合二次函数的单调性，得a的不等式求解即可．【解答】解：若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则函数g（x）=x2-ax+3a在[2,+∞)上为增函数，且x∈[2，+∞）上，x2-ax+3a＞0恒成立，所以，g（2）=4+a＞0，解得-4＜a≤4．故选C．10.【答案】D【解析】解：圆锥的高h和底面半径r之比h：r=2：1，∴h=2r，又圆锥的体积V=18π，即πr2h==18π，解得r=3；∴h=6，母线长为l===3，则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π•3•3+π•32=9（1+）π．故选：D．根据圆锥的体积求出底面圆的半径r和高h，再求出母线长l，即可计算圆锥的表面积．本题考查了圆锥的体积与表面积计算问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可，属于中档题．【解答】解：函数f（x）=（）cos x，当x=时，是函数的一个零点，所以排除A，B；当x∈（0，1）时，cos x＞0，＜0，函数f（x）=（）cos x＜0，函数的图象在x轴下方；排除D；故选C．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力．由题意得=1代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1，∴+=（+）=++，∵b＞0，|a|＞0，∴+≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），∴+≥+1，故当a＜0时，+的最小值为．故选：D．13.【答案】1【解析】解：根据题意，等比数列{a n}中，其公比为q，a2a3a4=8，则（a3）3=8，解可得a3=2，又由a7=8，则有q4==4，则q2=2，则a1===1；故答案为：1．根据题意，由等比数列的性质可得（a3）3=8，解可得a3=2，又由q4=，计算可得q2的值，进而计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．14.【答案】【解析】解：tanα=2，则==故答案为：．=$\frac{tan\alpha-3}{2tan\alpha+1}，将tanα=2代入求值即可．本题考查了三角函数的化简求值，属基础题．15.【答案】【解析】解：如图，连接CD1，CM，由A1D1∥BC，A1D1=BC，可得四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B∥CD1，∴∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，得，．在△CMD1中，由余弦定理可得，cos∠CD1M=．∴异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为．故答案为：．连接CD1，CM，由A1D1∥BC，A1D1=BC，可得四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B∥CD1，可得∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，再由已知求出△CD1M的三边长，由余弦定理求解．本题考查异面直线所成角及其求法，考查余弦定理的应用，是基础的计算题．16.【答案】2【解析】解：在△ABM中，由余弦定理得：cos B==．在△ABC中，由余弦定理得：cos B==．∴=．即b2+c2=4bc-8．∵cos A==，∴sin A==．∴S=sin A=bc=．由cos A=∈（-1，1）可得bc∈（4，12）．∴当bc=8时，S取得最大值2．故答案为2．在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cos A，sin A，代入面积公式求出最大值．本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．17.【答案】解：A={x|x＜-2，或x＞2}，B={x|-1＜x＜3}；∴A∩B={x|2＜x＜3}，A∪B={x|x＜-2，或x＞-1}．【解析】可求出集合A，B，然后进行交集、并集的运算即可．考查描述法表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、并集的运算．18.【答案】解（1）因为2sin C cos B=2sin A+sin B⇒2sin C cos B=2（sin B cos C+cos B sin C）+sin B ⇒cos C=-，C是三角形内角，C=120°．（2）根据余弦定理c== b根据正弦定理=，所以sin A=sin C=•=．cos A===所以tan A===．【解析】（1）将已知条件边化角可得；（2）先根据余弦定理求得c=b，再根据正弦定理求得sin A=，然后根据同角公式求得正切值．本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．19.【答案】解：（1）由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：0.72万元．建筑第1层楼房建筑费用为：0.72×1000=720（万元）．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：0.02×1000=20（万元）．建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：y=f（x）=720x++1000=10x2+710x+1000．∴y=f（x）=10x2+710x+1000（x≥1，x∈Z）；（2）设该楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则：g（x）===≥2=0.91，∴学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米0.91万元．【解析】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．（1）由已知求出第1层楼房每平方米建筑费用为0.72万元，得到第1层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20（万元），然后利用等差数列前n项和求建筑x层楼时的综合费用y=f（x）；（2）设楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则g（x）=，然后利用基本不等式求最值．20.【答案】解：（1）f（x）=2sin x cosx+（cos2x-sin2x）=令，则f（x）的对称轴为，最小正周期；（2）当x∈[0，]时，，因为y=sin x在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以f（x）∈[-1，2]．【解析】（1）将f（x）化简，利用整体法求出f（x）的对称轴和周期即可；（2）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的最大值和最小值即可．本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数的化简求值，属基础题．21.【答案】解：（1）等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2-2①，S3=a4-2②．②-①，得a3=a4-2a2，则q2-q-2=0，又q＞0，所以q=2，因为S2=2a2-2，所以a1+a2=2a2-2，所以a1=2，所以a n=2n；（2）b n=log2a n=log22n=n，==-，所以前n项和T n=1-+-+…+-=1-=．【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的通项公式，解方程可得公比，由等比数列的求和可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=log2a n=log22n=n，==-，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．22.【答案】（1）证明：f（1）=a+b+c=0，且a＞b＞c，所以a＞0，c＜0，因为b=-a-c，所以a＞-a-c＞c，所以，（2）因为（a+f（m1））（a+f（m2））=0．所以f（m1）=-a或f（m2）=-a，即m1或m2是方程f（x）=-a的一个实根，即ax2+bx+c+a=0的有根，所以△=b2-4a（a+c）≥0，因为b=-a-c，所以b2≥4a（a+c）=-4ab，即b（b+4a）≥0，即b（3a-c）≥0，因为3a-c＞0，所以b≥0（3）设f（x）=0的两根为x1，x2，显然其中一根为1，另一根为设f（x）=a（x-1）（x-），若f（m1）=-a，则a（m1-1）（m2-）=-a＜0所以，所以又函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以f（m1+3）＞f（1）=0．同理当f（m2）=-a时，f（m2+3）＞0所以f（m1+3），f（m2+3）中至少有一个是正数．【解析】（1）由f（1）=0，且a＞b＞c，可判断a＞0，c＜0且b=-a-c，所以a＞-a-c＞c，从而可证明；（2）由已知可知f（m1）=-a或f（m2）=-a，即m1或m2是方程f（x）=-a的一个实根，即ax2+bx+c+a=0的有根，结合二次方程的实根存在条件即可证；（3）由f（x）=0的两根中，其中一根为1，另一根为，结合二次方程的根的存在及二次函数的单调性可证．本题主要考查了二次方程的根的存在及二次不等式的求解，二次函数性质的综合应用，属于中档试题。
2020-2021深圳市高一数学下期中试卷带答案
2020-2021深圳市高一数学下期中试卷带答案一、选择题 1．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r ，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒ 2．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o5．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．8 6．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-= 7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C ．26D ．42+9．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π10．已知点()1,2-和3,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．B ．C ．D ．12．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．15．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.16．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．17．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．18．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.19．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______. 三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥；（2）E 是侧棱PC 上一点，记PE PCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值22．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为3，求AP PC 的值. 24．如图四棱锥C ABDE -的侧面ABC ∆是正三角形，BD ⊥面ABC ，//BD AE 且2BD AE =，F 为CD 的中点.（1）求证：//EF 面ABC（2）若6BD AB ==，求BF 与平面BCE 所成角的正弦值25．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ；（2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.26．如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内， 且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒， 所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.2．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO „，即满足2PO „，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO „故22220000103634PO x y y y ==+-+„ 解得0825y 剟，0605x 剟即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围． 3．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.4．C解析：C【解析】【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90o ．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5．C解析：C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 6．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．8．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9．C解析：C【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10．D解析：D【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()121,01PA PB k k ---==-==- ∵点(1,−2)和(3,0)在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<. 本题选择D 选项.解析：C【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面边长为，侧面平面，点在底面的射影为，所以,所以,,,,底面边长为，所以最长的棱长为，故选C.考点：简单几何体的三视图．12．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．二、填空题13．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问解析：4x －5y +1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M ，再根据两点式求 MQ 方程，即得结果.【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M --， 所以反射光线方程为13:1(1),451014MQ y x x y +-=--+=+. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题. 14．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个 解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离d =，Q圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=Q ，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．15．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程 16．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程解析：(0,1)-，1【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大，此时0k =()2211x y ∴++=，所以圆心为(0,1)-半径为1考点：圆的方程 17．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围解析：32a ≤-或3a ≥ 【解析】【分析】判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围．【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤，则PA a k ≤-或PB a k ≥-，即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥． 故答案为：32a ≤-或3a ≥． 【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题． 18．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率()033303k --==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状解析：15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法20．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为 解析：2⎡⎣【解析】【分析】由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。
广东省深圳市高级中学20xx学年高一数学下学期期中试题理.doc
深圳高级中学（集团）2020 学年第二学期期中考试高一数学（理科）本试卷由两部分组成。
第一部分：高一数学第一学期期末前的基础知识和能力考查，共44 分；选择题包含第1题.第7题.第9题.共20分填空题没有，共0 分解答题包含第19题.第 22题，共 24分第二部分：高一数学第一学期期末后的基础知识和能力考查，共106 分选择题包含第2题.第3题.第5题.第6题.第8题，第 10题.第 10 题.第 12 题，共 40 分填空题包含第13题.第 14题. 第 15题，第16 题，共20 分解答题包含第17题.第 18题. 第 20题.第 21题，共 46分全卷共计150 分。
考试时间 120 分钟 .一．选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合A x 2x 1 0,B x x2 1 0，则A BA. x x 1B. x x 1C. x 1 x 1D.x 1x 12 22. 已知, 且 sin 3，则 tan2 53B. 4 3 4A. C. D.34 3 4r r( 2, 4), 则在方向上的投影是3. 若a (1,3), bA. B. C. D.4. 在ABC中，ABC, AB 2, BC 3, 则 sin BAC ＝4A．10B．10C．3 10D．5 10510 55.设，则A. B. C. D.6. 如图，在uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuurABC 中，AN NC ，P是BN上的一点，若AP mAB AC ，则实数 m3 9的值为A.1B.1C.1D.39 37. 已知两点A0, 3,B4,0, 若点P 是圆x 2 y 2 2 y 0 上的动点，则ABP面积的最小值为A． 6 B. 11C．8D. 21 2 28. 若为第一象限角，且，则的值为7 7 1 7A. B. C. D.5 5 3 39. 已知四棱锥P ABCD 的三视图如图，则四棱锥P ABCD 的全面积为A．2 5 B．35C．5D．410. 已知两个单位向量vvv va,b 的夹角为120，k R ，则a kb 的最小值为A. 3B.3C.1D. 34 2 211.同时满足下列三个条件的函数为①在0,R 上的偶函数；③最小正周期为ππ 上是增函数；②为．2A.y tan xB.y cosxC.y cos2xD.y sin2 x12. 将函数 f x1 2sin2 x cos cos 2xsin 的图象向右平移个单位后，所得23函数图象关于原点对称，则 的取值可能为 A.5B. C.D.63 2 6二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 .13. 已知角的终边经过点 P 1,2 ，则sin2cos 2___________.sina sin2ABC 中， BAC 120o, ABuuur uuur14. 在 2, AC 1, DC2BD ， D 是边 BC 上的一点，则 uuur uuur AD BC ＝ __________．15.已知 sinx1，则 sin5x sin 2x___________．646316. 函数 f x sin2x3 的图像为 C ，如下结论中正确的是 __________（写出所有正确结论的编号） .①图象 C 关于直线 x11 对称；12②图象 C 关于点2 ,0 对称；3③ f x 在区间1 , 5内是增函数 .12 12三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .17. （本小题满分 10 分）已知 cos 24 为第三象限角 .，且5（ 1）求 cos的值；2tansinsin（ 2）求 f2的值 .cos18. （本小题满分 12 分）设两个向量 vv，满足 v 2 ， v.a 、bab 1 v v v v v v（ 1）若 a 2b a b 1 ，求 a 、 b 的夹角；v vv v v v t 的取值范围 .（ 2）若 a 、 b 夹角为 60°，向量 2ta 7b 与 a tb 的夹角为钝角，求实数 19. （本小题满分 12 分）如图，已知 PA 矩形 ABCD 所在的平面， M 、N 分别为 AB 、PC 的中点， PDA 450 , AB 2, AD1.（ 1）求证： （ 2）求证：（ 3）求 PCMN //平面PAD ； MN 面PCD ；与面 PAD 所成角大小的正弦值.20. （本小题满分 12 分）函数 f xAsin x （ A 0 ， 0 ，π）的部分图象如图所示．2（ 1）求函数 f x 的解析式；（ 2）若将 f x 的图象向右平移π个单位，再将所得图象的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐6标不变，得到 g x 的图象，求不等式g x 1的解集．21. （本小题满分 12 分）已知函数f x 4sin 2x sin 2 x2.6（ 1）求函数 f x 的单调递减区间；（ 2）求函数 f x 在区间 0,上的最大值，并求出取得最大值时x 的值 .222.（本小题满分 12 分）设 f xx 1x 为奇函数，且实数 a 0。
广东省深圳高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题 1．已知复数，为虚数单位，则（ ） 26i1iz +=-i z =A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用复数除法运算求得，然后求得.z z 【详解】，()()()()()()()()26i 1i 26i 1i 13i 1i 24i1i 1i 2z ++++===++=-+-+. =故选：C2．已知集合，集合，则（ ）{}220A x x x =∈--≤Z {B x y ==A B = A ． B ． C ． D ．[]1,2-(]1,2{}1,2{}1,1,2-【答案】C【分析】根据题意，先将集合化简，然后根据交集的运算即可得到结果.,A B 【详解】因为{}{}{}220121,0,1,2A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=-Z Z，则且，则可得 {B x y ==21log 0x -≥0x >{}02B x x =<≤所以 {}1,2A B = 故选:C3．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是（ ） A ．y ＝ex ＋e －x B ．y ＝ln(|x |＋1) C ．y ＝D ．y ＝x －sin xx1x【答案】D【分析】利用函数奇偶性的定义判断奇偶性，利用函数的解析式判断单调性即可.【详解】A.，是偶函数，故错误；()()x x x xf x e e e e f x ---=+=+=B.，是偶函数，故错误； ()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=C.是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，故错误； ()()()sin sin x xf x f x x x---===--D.是奇函数，且y ＝x 和y ＝－在(0， ＋∞)上均为增函数，故()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭1x y ＝x －在(0，＋∞)上为增函数，故正确. 1x故选：D【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题. 4．已知，则（ ）tan 7=-αcos 21sin 2αα=+A ．B ．C ．D ．43-34-3443【答案】A【分析】利用公式变形化弦为切求出，代入求值. sin 2,cos 2αα【详解】因为， tan 7=-α所以，2222sin cos 2tan 147sin 22sin cos sin cos tan 149125ααααααααα-=====-+++， 22222222cos sin 1tan 14924cos 2cos sin cos sin 1tan 14925ααααααααα---=-====-+++故. 24cos 242571sin 23125αα-==-+-故选：A5．已知a 、b 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） αβ、A ．若，，则 //a b b α⊂//a αB ．若，，，则 a α⊂b β⊂//a b //αβC ．若，，则 //αβa α⊂//a βD ．若，，，则 //αβa α⊂b β⊂//a b 【答案】C【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于A ：若，，则或，故A 错误； //a b b α⊂//a αa α⊂对于B ：若，，则或与相交，故B 错误； a α⊂b β⊂//,a b //αβαβ对于C ：若，，则，故C 正确；//αβa α⊂//a β对于D ：若，，，则或与异面，故D 错误. //αβa α⊂b β⊂//a b a b 故选：C.6．已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量,a b(2)(2)a b a b +⊥- b a 14a a与的夹角是（ ）bA ．B ．C ．D ．6π3π2π23π【答案】B【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两2a b = b a 1cos ,4b a b a =式得出，进而得出夹角.1cos ,2a b=【详解】因为，所以，即①.(2)(2)a b a b +⊥-22(2)(2)40a b a b a b +⋅-=-= 2a b = 因为向量在向量方向的投影向量是，所以.b a14a 1cos ,4ab a b a a ⋅= 所以②，将①代入②得，，又，1cos ,4b a b a =1cos ,2a b =[],0,a b π∈ 所以.π,3a b =故选：B7．已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足0PA PB ⋅=，则的取值范围是（ ） CP DP ⋅A ．B ．C ．D ．(]0,8[)0,8(]0,4[)0,4【答案】D【分析】通过建立合适的直角坐标系，设，得到的轨迹方程，最后得到的表达(),P x y P CP DP ⋅式，根据函数单调性即可得到其范围.【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系；AB则，，，()()1,0,1,0A B -()1,2C ()1,2D -设，则，， (),P x y ()1,PA x y =---()1,PB x y =-- 则，()2210PA PB x y ⋅=--+= 即，则，其中，，221x y +=221x y -=-11x -<<01y <≤则，()()1,2,1,2CP x y DP x y =--=+-01y <≤则， ()()[)2222122440,4CP DP x y y y y ⋅=-+-=-+-=-+∈ 故选：D.8．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，()f x R ()1f x +()10-,1x ，且，都有成立，，则不等式的解集()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()11f =()0f x x ->为（ ）A ．B ． ()(),11,-∞-⋃+∞()1,1-C ．D ．()(),10,1-∞-⋃()()1,01,-⋃+∞【答案】D【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由()1f x +()10-,()f x R 可得，故可得在上单调递增，然后分()()2112120x f x x f x x x ->-()()1212120f x f x x x x x ->-()()f x g x x=()0,+∞，和三种情况进行求范围即可0x =0x >0x <【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是()1f x +()f x ()1f x +，()10-,所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， ()f x ()0,0()f x R ()()111f f -=-=-对任意的，，且，都有成立，1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-所以， ()()()()()122112*********f x f x x f x x f x x x x x x x x x --=>--令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， ()()f xg x x=()g x ()0,+∞由是上的奇函数可得是上的偶函数 ()f x R ()g x ()(),00,∞-+∞U 所以在上单调递减，()g x (),0∞-当时，不等式得到，矛盾；0x =()0f x x ->000->当时，转化成即，所以； 0x >()0f x x ->()()111f x f x >=()()1g x g >1x >当时，转化成，，所以， 0x <()0f x x ->()()111f x f x -<=-()()1g x g <-10x -<<综上所述，不等式的解集为 ()0f x x ->()()1,01,-⋃+∞故选：D二、多选题9．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）1122log log a b <A ．B ．11a b>1143a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D ．n 0()l a b ->31a b ->【答案】BD【分析】由对数函数的性质得，再结合不等式性质、指对数函数的性质判断各项的正误. 0a b >>【详解】由题设，则，A错误；，D 正确； 0a b >>11a b<0331a b ->=由，B 正确；由于与1的大小未知，C 错误； 111443abb⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b -故选：BD10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）()ππsin cos cos sin 66f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．是图象的一条对称轴 π12x =()f x C ．的最小正周期为 ()f x πD ．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称 ()f x π6y 【答案】ACD【分析】对选项A ，根据两角和公式得到，即可判断A 正确，对选项B ，根据()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可判断B 错误，对选项C ，根据周期公式即可判断C 正确，对选项D ，根据π112f ⎛⎫=≠± ⎪⎝⎭三角函数平移公式和函数的奇偶性即可判断D 正确. 【详解】对选项A ，，()ππππsin cos cos sin sin sin 26666f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故A 正确；，故B 错误；ππππsin 2sin 1121263f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对选项C ，，C 正确； 2ππ2T ==将的图象向左平移个单位后得，()f x π6()πππsin 2sin 2cos2662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦定义域为，， R ()()()cos 2cos 2g x x x g x -=-==所以为偶函数，图象关于轴对称，D 正确. ()g x y 故选：ACD11．在中，角、、所对的边分别为、、，且，且ABC A A B C a b c 4sin cos 4sin cos sin B C C B a A +=，则下列说法正确的是（ ） π3A =A ．ABC A B ．若只有一个解，则的取值范围为或 ABC A b04b <<b =C ．若为锐角，则的取值范围为B ∠cD ．面积的最大值为ABC A 【答案】AD【分析】首先利用三角恒等变换求，再根据正弦定理判断A ； 4a =根据三角形的个数，建立不等式，判断B ；求角的范围，利用正弦定理求，并求的取值范围，判断C ； C c c 利用余弦定理，结合基本不等式求的最大值，即可判断D. bc 【详解】因为， 4sin cos 4sin cos sin B C C B a A +=所以，， ()4sin 4sin sin B C A a A +==sin 0A ≠所以，4a =因为，所以，解得：A 正确； π3A =2sin aR A==R =B.若只有一个解，则或， ABC A sin b A a =0a b ≥>得，故B 错误； b =04b <≤C.因为角为锐角，，所以， B π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2π3C A B B π=--=-所以，， π2π,63C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin sin a C c C A ===所以，故C 错误；c ∈D.，当时，等号成立， 222222cos 16a b c bc A b c bc bc =+-=+-=≥b c =所以1sin 2ABC S bc A ==≤△所以面积的最大值为D 正确. ABC A 故选：AD12．已知正方体的棱长为2（如图所示），点为线段（含端点）上的动1111ABCD A B C D -M1CC 点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是（ ）A 1D M αA ．平面截正方体的截面始终为四边形αB ．点运动过程中，三棱锥的体积为定值 M 11A AD M -C ．平面截正方体的截面面积的最大值为αD ．三棱锥的外接球表面积的取值范围为11A AD M -41π,12π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】根据线面平行的判定定理，运动变化思想，函数思想，即可分别求解. 【详解】对A 选项，当与点重合时，平面截正方体的截面为，错误； M C α1AD C A 对B 选项，∵，又平面，平面， 11//CC DD 1CC ⊄11A AD 1DD ⊂11A AD ∴平面，又点为线段（含端点）上的动点， 1CC ⊥11A AD M 1CC ∴到平面的距离为定值，又的面积也为定值， M 11A AD 11A AD A ∴三棱锥的体积为定值，正确；11A AD M -对C 选项，当由移动到的过程中，利用平面的基本性质，延长交于，连接M C 1C 1D M DC G AG 交于，BC K 所以，从到之间，平面截正方体的截面为为等腰梯形，且， C 1C α1AKMD 1//KM AD当与重合时，截面为矩形，此时面积最大为M 1C 11ABC D对D 选项，如图，分别取左右侧面的中心，，则垂直于左右侧面， E F EF 根据对称性易知：三棱锥的外接球的球心在线段上，11A AD M -O EF设到的距离为，则，M F x x ⎡∈⎣设，则，又易知的半径，OF t =2OE t =-1ED =O 1R OD OM ==在与中，由勾股定理可得：，两式相减得：， 1Rt D EO △Rt MFO △()2222222t R t x R ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩264x t -=∴，令，又，则， 222264x R x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2m x =x ⎡∈⎣[]1,2m ∈∴，， 2226436416m m m R m -++⎛⎫=+=⎪⎝⎭[]1,2m ∈设函数，，则的对称轴为，的开口向上，2436()16m m f m ++=[]1,2m ∈()f m 2m =-∴在上单调递增，最小值为，最大值为，即，()f m []1,2()41116f =()23f =241,316R ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴三棱锥的外接球表面积，正确.11A AD M -2414ππ,12π4S R ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦故选：BCD.三、填空题13．已知函数在区间上有零点，则实数m 的取值范围是________．()sin 2f x x x m =++π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】()1π,0--【分析】先利用基本初等函数的单调性判断得在上都单调递增，再利用零点存在定理得()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭到，解之即可得解. ()00π02f f ⎧<⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩【详解】因为与在上都单调递增，sin y x =2y x m =+π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在上单调递增，()sin 2f x x x m =++π0,2⎛⎫⎪⎝⎭因为在区间上有零点，()sin 2f x x x m =++π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，即， ()00π02f f ⎧<⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩sin 0200ππsin 2022m m +⨯+<⎧⎪⎨+⨯+>⎪⎩01π0m m <⎧⎨++>⎩解得，1π0m --<<所以实数m 的取值范围为. ()1π,0--故答案为：.()1π,0--14．如图，是用斜二测画法得到的△AOB 的直观图，其中则AB 的长度A O B '''A 23O A O B ''''==，，为 ______．【答案】【分析】把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出AB 的长度即可． 【详解】把直观图还原为,如图所示：A OB '''V AOBA根据直观图画法规则知,, 2,2236OA O A OB O B ''''====⨯=所以的长度为ABAB ===故答案为：.15．中，角、、所对的边分别为、、.若，且ABC A A B C a b c ()2coscos a c B b C -=b =周长的最大值为______.ABC A 【答案】【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角cos B B B 的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值. a c +ABC A 【详解】因为，由正弦定理可得， ()2cos cos a c B b C -=()2sin sin cos sin cos A C B B C -=所以，， ()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B C B C B C A =+=+=因为、，则，所以，，故，A ()0,πB ∈sin 0A >1cos 2B =π3B =由余弦定理可得()22222232cos 3b a c ac B a c ac a c ac ==+-=+-=+-，()()()222344a c a ca c ++≥+-=所以，，即()212a c +≤a c +≤a b c ++≤当且仅当周长的最大值为a c ==ABC A 故答案为：16．函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过的最大整数，例如()int x x ，已知函数，且，若的图像上()()int 3.94,int 2.42-=-=()()()int ,0,(0log ,0a x x x f x a x x ⎧->⎪=>⎨-<⎪⎩1)a ≠()f x恰有3对点关于原点对称，则实数的最小值为__________. a 【答案】/150.2【分析】根据题意，画出函数的图像，转化为两函数图像有3个交点，数形结合，列出不等()f x 式，即可求得结果.【详解】根据题意，作出函数，且，的图像，如图所示， ()()()int ,0,(0log ,0a x x x f x a x x ⎧->⎪=>⎨-<⎪⎩1)a ≠要使的图像上恰有3对点关于原点对称，()f x 则函数与的图像恰有3个交点，1log log a ay x x =-=()int ,(0)y x x x =->则，解得，1101log 41log 51aaa ⎧⎪<<⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩1154≤<a 所以实数的最小值为，a 15故答案为:15【点睛】方法点睛：解答此题要根据函数解析式的特征作出图象，采用数形结合的方法，将原问题转化为函数图象的交点个数问题，即可解决.四、解答题17．已知函数．π()tan 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求的值；π6f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)设，若，求和． 3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π234f α⎛⎫-=⎪⎝⎭πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭tan 2α【答案】(1)1(2)πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭4tan 23α=-【分析】（1）根据解析式直接求出答案；（2）由条件可得，然后求出的值，然后根据和差公式和倍角公式可得答案. tan 2α=sin ,cos αα【详解】（1）因为，所以；π()tan 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππππtan tan 16244f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为，()πtan πtan 234f ααα⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭所以，sin 2cos αα=因为，，所以可解得 22sin cos 1αα+=3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin αα==所以 )πsin sin cos 4ααα⎛⎛⎫+=+== ⎪ ⎝⎭⎝. 22tan 44tan 21tan 143ααα===---18．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，ABC A 25AD AB =E ACF BC C 设，． CA a = CB b =(1)用，表示，；a b CD EF(2)如果，且，求．2AC =CD EF ⊥BC 【答案】(1)，3525CD a b =+ 1132EF b a =-(2)3【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基本表示向量； （2）根据（1）的结果，利用，即可求解.0CD EF ⋅=【详解】（1）因为，25AD AB =()223232555555CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b =+=+=+-=+=+ ；11113232EF CF CE CB CA b a =-=-=- （2）因为，所以，CD EF ⊥231105532CD EF b a b a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，由，可得，222301510b a -= 2a = 3b =所以的长为．BC319．如图，在中，，点在边上，.ABCA AC=π6C=D BC1cos3ADB∠=(1)求的长；AD(2)若的面积为的长.ABD△AB【答案】(1)3AD=(2)3AB=【分析】（1）根据三角形中邻补角互补，，由平方关系得，再结合正弦定1cos3ADB∠=sin ADC∠理即可求得的长；AD（2）由得面积可得，再结合余弦定理即可求得的长.ABD△sin sinADC ADB∠=∠=AB【详解】（1）因为，所以πADB ADC∠+∠=1cos cos3ADC ADB∠=-∠=-在中，因为ADC△()0,πADC∠∈所以sin ADC∠==在中，由正弦定理得，ABD△sin sinAD ACC ADC=∠所以；sin3sinAC CADADC⋅===∠（2）的面积为，得ABD△1sin2DB DA ADB⋅∠=因为，所以πADB ADC∠+∠=sin sinADC ADB∠=∠=又因为，所以3AD=2BD=在中，由余弦定理得ABD△2222212cos3223293AB DA DB DA DB ADB=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=所以.3AB=20．如图，在三棱锥中，是正三角形，平面分别为，-P ABC ABCA PA⊥,,,ABC D E F,PA PB PC上的点，且．已知． 13PE PF AD PB PC AP ===6,9AB AP ==(1)设平面平面，证明：平面； DEF ⋂=ABC l l A PBC (2)求五面体的体积． DEF ABC -【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）首先证明，则有平面,再根据线面平行的性质定理得到，则//EF BC //EF ABC //EF l 得到线面平行；（2）根据相似得，则，则.19PEF PBC S S =A A 227D PEF P ABC V V --=P ABC V -=【详解】（1）因为,所以， PE PFPB PC=//EF BC 因为平面平面， BC ⊂,ABC EF ⊂/ABC 所以平面,//EF ABC 又平面平面平面,所以, DEF ⋂,ABC l EF =⊂DEF //EF l 又平面平面,所以平面， EF ⊂,PBC l ⊂/PBC //l PBC （2）因为,所以13PE PF AD PB PC AP ===19PEF PBC S S =A A 所以22232727D PEF A PEF A PBC P ABC V V V V ----===所以五面体的体积 DEF ABC -2527P ABC D PEF P ABC V V V V ---=-=因为所以2116932P ABC V -=⨯⨯=V =21．如图，在平面四边形中，，，．ABCD 2AB =6BC =4AD CD ==(1)当四边形内接于圆时，求角；ABCD O C (2)当四边形的面积最大时，求对角线的长． ABCD BD 【答案】(1) π3C =(2)BD =【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可；πA C +=（2）结合余弦定理和面积公式得，进而得，再根据三角函sin 3sin 423cos cos SA C C A ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩()266cos 16S A C =-+数性质得时，有最大值，结合余弦定理求解即可. πA C +=S 【详解】（1）解：连接，由余弦定理可得：BD ， 222222cos 24224cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯，222222cos 46246cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯所以． 2016cos 5248cos A C -=-又四边形内接于圆， ABCD O 所以，πA C +=所以， ()2016cos π5248cos C C --=-化简可得，又， 1cos 2C =()0,πC ∈所以． π3C =（2）解：设四边形的面积为， ABCD S 则， 11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C =+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅△△又，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅222cos BC CD BC CD C =+-⋅⋅所以，即， 22221124sin 46sin 2224224cos 46246cos S A CA C ⎧=⨯⨯+⨯⨯⎪⎨⎪+-⨯⨯=+-⨯⨯⎩sin 3sin 423cos cos S A C C A⎧=+⎪⎨⎪=-⎩平方后相加得，即， 24106sin sin 6cos cos 16S A C A C +=+-()266cos 16S A C =-+又，()0,2πA C +∈所以时，有最大值，即有最大值．πA C +=216S S 此时，，代入得． πA C =-23cos cos C A =-1cos 2C =又，所以． ()0,πC ∈π3C =在中，可得：BCD △，即． 22222π2cos 46246cos283BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=BD =所以，对角线的长为BD 22．已知函数是偶函数．()()2ln e 1xf x kx =++(1)求实数的值；k (2)当时，函数存在零点，求实数的取值范围；0x ≤()()g x f x x a =--a (3)设函数（且），若函数与的图像有两个公共点，()e ln e 22x x h x m m -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0m >1m ≠()f x ()h x 求实数的取值范围． m 【答案】(1) 1k =-(2)[)ln 2,+∞(3) 112m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）函数是偶函数，所以，计算可得；()f x ()()f x f x -=（2）依题意问题转化为在上有实数解，求出的值域()2ln e 12x a x =+-(],0-∞()()2ln e 12xh x x =+-即可得解；（3）因为函数与的图像有两个公共点，所以关于的方程()f x ()h x x 有两个解，所以，换元，研究二次函数图()2e ln e 2ln e 12x x x m m x -⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭e e 2e e 2x x x x m m --++=+象及性质即可得出实数的取值范围.m 【详解】（1）解：因为函数是偶函数， ()()2ln e 1xf x kx =++所以，即，()()f x f x -=()()22ln e 1ln e 1x xkx kx -+-=++所以，即， ()()22ln e1ln e 12xxkx -+-+=222e 11ln ln 22e 1e x x xx kx -⎛⎫+==-= ⎪+⎝⎭所以，解得.22k =-1k =-（2）解：由（1）可知，则，()()2ln e 1x f x x =+-()()()2ln e 12xx a g x f x x a +--=--=因为当时，函数存在零点，即在上有实数解，0x ≤()()g x f x x a =--()2ln e 120xx a +--=(],0-∞即在上有实数解，()2ln e 12xa x =+-(],0-∞令，，()()()22221ln e 12ln e 1ln e ln 1e x x xx h x x ⎛⎫=+-=+-+ ⎝=⎪⎭(],0x ∈-∞因为，则，所以，则，所以(],0x ∈-∞(]2e 0,1x∈[)211,e x ∈+∞[)2112,e x +∈+∞[)21ln 1ln 2,ex⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，即，所以.()[)ln 2,h x ∈+∞[)ln 2,a ∈+∞（3）解：因为函数与的图像有两个公共点，()f x ()h x 所以关于的方程有两个解， x ()2e ln e 2ln e 12x x x m m x -⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭所以，即，显然，e e 2e e 2x xx x m m --++=+()1e 202e 1xx m m --+=e 0x >所以()21e 2e 021x xm m --+=令，得…（*）， (0)x t e t =>21(1)202m t mt -+-=记，21()(1)22p t m t mt =-+-①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实1m >()p t 10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭根，所以不符合题意； 1m >②当时，因为，所以只需，01m <<202(1)mm ->-()222(1)0m m ∆=+->解得或，12m >1m <-又，所以01m <<112m <<方程（*）有两个不相等的正实根，所以满足题意， 112m <<综上，的取值范围是.m 112m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭。
深圳市高一下学期期中数学试卷含答案(共3套)
深圳市第二学期期中测试卷高一数学分值：150 时间：120分钟一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（ ）1．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(3,)B m 两点，则m =A ．3B ．3-C ．5D ．1-（ ）2．过点(3,1)A 且倾斜角为120︒的直线方程为A.34y x =--B.34y x =-+C.323y x =-- D.323y x =-+ （ ）3．下列四个命题中正确的是①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A. ①和③ B. ①和④ C. ①②和④ D. ①③和④（ ）4．如右图，某几何体的正视图与侧视图 都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可能是（ ）5．已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ⋂,//m α,n β⊥,则A ．//m nB ．m n ⊥ C.//m l D ．n l ⊥（ ）6．已知向量()1,2a =--，()3,0b =，若()()2//a b ma b +-，则m 的值为A ．37 B ．37- C ．2- D ．2 （ ）7．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝A. 12AC →＋13AB →B. 12AC →＋16AB →C. 16AC →＋12AB →D. 16AC →＋32AB →（ ）8．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为A ．32B ．64C ．162D ．322（ ）9．如图，平面⊥α平面β，AB B A ,,βα∈∈与两平面βα,所成的角分别为4π和6π，过B A ,分别作两平面交线的垂线，垂足为'',B A ，若16AB =，则=''B A.A 4 .B 6 .C 8 .D 9（ ）10．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 PA →，则A.x ＝23，y ＝13B.x ＝13，y ＝23C.x ＝14，y ＝34D.x ＝34，y ＝14（ ）11．已知M 是ABC ∆内部一点，且4AB AC AM +=,则MBC ∆的面积与ABC ∆ 的面积之比为A ．13B ．12C ．2D ．14（ ）12．直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其表面积为A ．()12322++ B ．()1422+ C ．()1522+ D ．()13322++B A B ’A ‘βα二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．直线331x y +=的倾斜角等于 ．14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 090,ACB ∠=11AA AC BC ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．15．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 16．已知棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，则球的体积为 。
2019-2020学年深圳高中高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年深圳高中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,2}，B ={x|mx +1=0}，若A ∩B =B ，则所有实数m 的值组成的集合是( )A. {−1,2}B. {1,−12}C. {1,0，−12}D. {−1,0，12}2. 已知函数f(x)={(x −1)3,x ≤1lnx,x >1，若a =log 34，b =log 68，c =log 912，则( )A. f(a)>f(b)>f(c)B. f(b)>f(a)>f(c)C. f(c)>f(a)>f(b)D. f(b)>f(c)>f(a)3. 已知cosβ=−2√55，则sin 4β−cos 4β的值为( )A. −15B. −35C. 15D. 354. 已知|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=4，(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +3b ⃗ )=33则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A.B.C.D.5. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且角A =60°，若S △ABC =15√34，且5sinB =3sinC ，则ABC 的周长等于( )A. 8+√19B. 14C. 10+3√5D. 186. 在数列{a n }中，若a 1=1,a 2=12,2an+1=1a n+1an+2(n ∈N ∗)，设数列{b n }满足log 2bn =1a n(n ∈N ∗)，则b n 的前n 项和S n 为( )A. 2n 一1B. 2n 一2C. 2n+1一1D. 2n+1一27. 设ab <0，则下列四个式子：(1)|a −b|=|a|+|b|，(2)|a −b|<|a +b|，(3)|a +b|<|b|，(4)|a −b|>|a|−|b|中，正确的是( )A. (1)、(2)B. (1)、(4)C. (3)、(4)D. (2)、(4)8. 设等比数列{a n }的公比q =1，前n 项和为S n ，则S4a 2=( )A. 2B. 4C. 152D. 1729. 已知，是(−∞,+∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A. [，3)B. (0,3)C. (1,3)D. (1,+∞)10.半径为的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为()A. B. C. D.11.7、函数在R上是单调函数的充要条件是A. B. C. D.12.设，，若直线与圆相切，则的取值范围是()A. B.C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.方程x2−6x+4=0的两根的等比中项是．14.在等式sin()(1+√3tan70°)=1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是______ ．15.如图，在底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为．16.△ABC中，已知a=√2，c=3，B=45°，则b=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(本小题满分12分)已知，其中，如果，求实数的取值范围．18.已知向量a⃗=(cosωx,sinωx)，b⃗ =(cosωx,√3cosωx)，其中(0<ω<2)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12．其图象的一条对称轴为x=π6(I)求函数f(x)的表达式及单调递增区间；)=1，b=1，S△ABC=√3，(Ⅱ)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若f(A2求a的值．19.如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道(假设河道足够长)，现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC.为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度(即△ABC的周长)为l.设EC=x百米．(1)试用x表示线段BC的长度；(2)求l关于x的函数解析式f(x)，并求f(x)的最小值．20.如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA=2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA=θ，公路MB，MN的总长为f(θ)．(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)当θ为何值时，投资费用最低？并求出f(θ)的最小值．21.设数列{a n}的n项和为S n，若对任意∈N∗，都有．S n=3a n−5n(1)求数列{a n}的首项；(2)求证：数列{a n+5}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(3)数列{b n}满足b n=9n+4，问是否存m在，使得b n<m恒成立？如果存在，求出m的值，如a n+5果不存在，说明理由．22.已知函数(Ⅰ)若，且在上的最大值为，求；(Ⅱ)若，函数在上不单调，且它的图象与轴相切，求的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ， ∵A ={−1,2}，B ={x|mx +1=0}， ∴当B 为空集时，满足题意，此时m =0；当B 不为空集时，m ≠0，此时B 中方程解得：x =−1m ， 可得−1m =−1或−1m =2， 解得：m =1或m =−12，综上，所有满足实数m 的值组成的集合为{1,0，−12}. 故选：C ．由A 与B 的交集为B ，得到B 为A 的子集，分B 为空集与B 不为空集两种情况，分别求出实数m 的值，即可确定出满足题意m 的集合．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：解：当x ≤1时，f(x)=(x −1)3为增函数，且f(x)≤0， 当x >1时，f(x)=lnx 为增函数，且f(x)>0， 综上f(x)在R 上为增函数，a =log 34=log 3(3×43)=1+log 343>1，b =log 68=log 6(6×43)=1+log 643>1，c =log 912=log 9(9×43)=1+log 943>1， ∵log 433<log 436<log 439，∴1 log 433>1log 436>1log 439，∴1log 343<1log 643<1log 943，∴log 343>log 643>log 943，∴1+log 343>1+log 643>1+log 943，∴a >b >c >1，∵当x >1时，f(x)=lnx 为增函数，∴f(a)>f(b)>f(c)， 故选：A ．根据条件判断函数的单调性，结合对数的运算法则和换底公式将对数进行化简，再利用函数的单调性比较大小即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合对数的运算法则和换底公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．3.答案：B解析：解：∵cosβ=−2√55， ∴sin 4β−cos 4=(sin 2β+cos 2β)⋅(sin 2β−cos 2β)=(sin 2β−cos 2β) =−cos2β=−[2cos 2β−1]=−(2×2025−1)=−35， 故选：B ．利用同角三角函数的基本关系吧要求的式子化为(sin 2β−cos 2β)，再利用条件、二倍角的余弦公式，计算求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．4.答案：C解析：本题主要考查平面向量的数量积，夹角计算，属于基础题.先推出a ⇀·b ⇀=−6，再依据cos <a ⇀,b ⇀>=a ⇀·b⇀|a ⇀|·|b ⇀|，即可推出结论．解：因为|a ⇀|=3，|b ⇀|=4，(a ⇀+b ⇀)·(a ⇀+3b ⇀)=33所以|a ⇀|2+3|b ⇀|2+4a ⇀·b ⇀=33，a ⇀·b ⇀=−6，cos <a ⇀,b ⇀>=a ⇀·b⇀|a ⇀|·|b ⇀|=−，且，所以a ⇀与b ⇀的夹角为，故选C ．5.答案：A解析：解：在ABC中，∵5sinB=3sinC，∴由正弦定理可得5b=3c，即b=35c.再根据S△ABC=15√34=12bc⋅sinA=12⋅35c⋅c⋅sin60°，解得c=5，∴b=3，a=√b2+c2−2bc⋅cosA=√19，故△ABC的周长为a+b+c=8+√19，故选：A．由条件利用正弦定理可得b=35c，再根据S△ABC=15√34=12bc⋅sinA求得b、c的值，再利用余弦定理求得a，从而求得三角形的周长．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．6.答案：D解析：解：若a1=1,a2=12,2an+1=1a n+1a n+2(n∈N∗)，可得1a n+2−1a n+1=1a n+1−1a n=⋯=1a2−1a1=1，即有{1an}为首项和公差均为1的等差数列，可得1a n=n，由log2b n=1an=n，可得b n=2n，则S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2．故选：D．由条件可得{1an}为首项和公差均为1的等差数列，运用等差数列的求和公式和对数的运算性质可得b n=2n，再由等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式，以及等比数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：ab <0，则下列四个式子： (1)|a −b|=|a|+|−b|=|a|+|b|，正确； (2)由(1)可知：|a −b|<|a +b|，不正确；(3)例如取a =−5，b =1，可得|a +b|>|b|，因此(3)不正确； (4)由(1)可得|a −b|=|a|+|b|>|a|−|b|，正确． 故选：B ．利用不等式的基本性质即可判断出结论．本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力由于计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：∵等比数列{a n }的公比q =1，前n 项和为S n ， ∴S 4a 2=4a 1a 1=4．故选：B ．由等比数列的性质得S4a 2=4a 1a 1，由此能求出结果．本题考查等比数列的前4项和与第2项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．9.答案：A解析：∵f(x)={(3−a)x −a,x <1log a x,x ≥1是(−∞,+∞)上的增函数，∴x <1时，f(x)=(3−a)x −a 是增函数∴3−a >0，解得a <3；x ≥1时，f(x)=log a x 是增函数，解得a >1． ∵f(1)=log a 1=0 ∴x <1时，f(x)<0∵x =1，(3−a)x −a =3−2a ∵x <1时，f(x)=(3−a)x −a 递增 ∴3−2a ≤f(1)=0，解得a ≥32． 所以32≤a <3．故选A．10.答案：C解析：试题分析：半径为的半圆卷成一个圆锥，该圆锥的母线长为，底面圆的周长为该半圆的弧长，设底面圆的半径为，则有，故该圆锥的高，所以该圆锥的体积，选C．考点：1.扇形的弧长公式；2.空间几何体的体积．11.答案：B解析：12.答案：D解析：试题分析：因为直线与圆相切，所以，即，所以，所以的取值范围是。
广东省深圳市高一下学期期中联考数学试题(解析版)
一、单选题1．设向量，，则（ ） (3,2)AB →=-(1,2)AC →=-BC →=A ． B ． C ． D ．(1,1)(4,4)-(2,0)(4,4)-【答案】B【分析】根据向量减法的定义及坐标运算即可解得. 【详解】. (1,2)(3,2)(4,4)BC AC AB →→→=-=---=-故选：B.2．已知是虚数单位，，则复数在复平面内对应的点位于（ ） i 2i1iz =+z A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】整理变形求复数的代数形式即可. z 【详解】， ()()()()2i 1i 2i 12i 1i 1i 1i 1i 2z -+====+++-所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. z ()1,1故选：A3．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，（ ） ABC A 30A =︒45B =︒a =b =AB ．2 CD ．【答案】B【分析】用正弦定理即可解得.【详解】∵，，∴由正弦定理可得，则30A =︒45B =︒a =sin sin a b A B =sin sin a B bA ===.2=故选：B.4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin2g x x =A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 12π3πC ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度12π3π【分析】根据三角函数的平移变换法则（左加右减）即可求解.【详解】由于函数，所以要得到函数的图()sin 2sin 2612f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.()sin2g x x =12π故选：A.5．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点ABC A A B C '''是斜边的中点，且，则△ABC 的面积为（ ）O 'B C ''2O A ''=A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据斜二测画法，即直观图中平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变为原来的一x y 半，根据题中所给的数据以及图形，可知角形为直角三角形，，，ABC 90ABC ∠=︒4BC =，由此即可求出结果.AB =【详解】因为为等腰直角三角形且，所以， A B C '''A 2O A ''=4B C ''=A B ''=由斜二测画法可知，，且三角形为直角三角形，，4BC =AB =ABC 90ABC ∠=︒所以三角形ABC 的面积为142ABC S =⨯⨯=A6．已知非零向量与的夹角为120°，，则（）的最小值为（ ） a b ||2a = ||a b λ+R λ∈A ．B ．C D72【答案】D【分析】首先根据平面向量的模的求法得到，因为当且仅当时等2||a b λ+2(||1)3b λ=-+ ||1b λ= 号成立，从而可以求出结果.【详解】2222||||2||a b a a b b λλλ+=+⋅+ 222|2cos120|a a b b λλ=+⋅⋅+242||(||)b b λλ=-+2(||1)3b λ=-+，3…当且仅当时等号成立；||1b λ=∴，当且仅当时等号成立.||a b λ+…||1b λ= 故选：D.7．在中，角，，的对边分别是，，，，，ABC A A B C a b c cos cos 2cos a B b A c C +=1a =4b =，则 c =A ．2BC ．D【答案】B【详解】由正弦定理可得，()cos cos 2cos ,sin 2,2sinA B sinB A sinC C A B sinCcosC sinC sinCcosC +=∴+=∴=由于所以 0sinC ≠，12cosC =由余弦定理可得 222213c a b abcosC =+-=所以c =故选B.8．梯形中，，，，，，点E 在线段上，点ABCD //AB CD 4AB =1DC =AD =45DAB ∠=︒BD F 在线段上，且，，则（ ）AC 12BE BD →→=13CF CA →→=AE DF →→⋅=A ．B ．C ．D ．234323-43-【答案】A【分析】将视为基底，表示出运算即可 ,AD AB →→AE DF →→⋅【详解】，，，14AC AD DC AD AB →→→→→=+=+111334CF CA AD AB →→→→⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭11()22BE BD AD AB →→→→==-，，1122AE AB BE AD AB →→→→→=+=+111111443436DF DC CF AB CF AB AD AB AD AB →→→→→→→→→→⎛⎫=+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭.22111111122236612123AE DF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+=-+-⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.二、多选题9．若直线不平行于平面，则下列结论不成立的是（ ） a αA ．内所有的直线都与异面 B ．内不存在与平行的直线 αa αa C ．内所有的直线都与相交 D ．直线与平面有公共点αa a α【答案】ABC【分析】直线不平行于平面，可得或与平面相交．据此可判断出结论． a αa α⊂a α【详解】直线不平行于平面，可得或与平面相交． a αa α⊂a α对于A ：直线与平面内的直线相交、平行或为异面直线，故A 错误； a α对于B ：当时，平面内存在与直线平行的直线，故B 错误； a α⊂αa 对于C ：当时，内的直线可能与平行，故C 错误； a α⊂αa 对于D ：直线与平面有公共点，故D 正确． a α故选：ABC ．10．下列四个等式中正确的有（ ）A ．B ． 1sin 62cos32cos 62sin 322︒︒-︒︒=sin 75cos 75︒︒=C ．D1tan 751tan 75+︒=-︒1=【答案】AD【分析】由正弦函数的差角公式可判断选项A ；由正弦的二倍角公式可判断选项B ；由正切的和角公式可判断选项C ；由辅助角公式结合直线的二倍角公式可判断选项D. 【详解】，A 正确； 1sin 62cos32cos 62sin 32sin 302︒︒-︒︒=︒=，B 错误；C 错误；11sin 75cos 75sin15024︒︒=︒=1tan 75tan 45tan 75tan1201tan 751tan 45tan 75+︒︒+︒==︒=-︒-︒︒，D 正确．2sin 40cos 40sin 801cos10sin 80︒︒︒===︒︒故选：AD11．已知向量，将绕坐标原点分别旋转，，到，，OP = OPO 30-︒30︒60︒1OP 2OP 3OP 的位置，则（ ） A ． 12OP OP ⋅=B ．112PP PP =C ．312OP OP OP OP⋅=⋅D．点坐标为 1P 【答案】CD【分析】设，根据三角函数的定义得到，，依题意画出图形，即可得到夹角，xOP θ∠=cos θsin θ根据数量积的定义判断A 、C ，利用余弦定理求出，即可判断B ，再根据两角差的正、余弦公1PP式判断D.【详解】已知向量，将绕坐标原点分别旋转，，到，，OP =OPO 30-︒30︒60︒1OP 2OP的位置，3OP设，则，，，xOP θ∠=cos θ=sin θ=130POP ∠=︒230P OP ∠=︒2330P OP ∠=︒对于A ，，即A 错误； 12121211cos ,1122OP OP OP OP OP OP ⋅==⨯⨯=对于B ，，即B 错误；=121PP = 对于C ，，，即，即选项C 正确； 3111122OP OP ⋅=⨯⨯= 12111122OP OP ⋅=⨯⨯= 312OP OP OP OP ⋅=⋅对于D ，由 1cos(30)sin 2θθθ-︒+1sin(30)cos 2θθθ-︒=-即点坐标为，即选项D 正确． 1P 故选：CD ．12．在中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，若ABC A sin sin sin sin a A b B c C b C -=-4b c +=，则a 的值可以为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】AB【分析】根据正弦定理，结合余弦定理、基本不等式与三角形内角的范围可得，再逐个选24a ≤<项判断即可【详解】由三角形三边关系，得到；由正弦定理得，即4a b c <+=222a b c bc -=-222b c a bc+-=，由余弦定理得，因为，所以，且，，所以2221cos 22b c a A bc +-==()0,πA ∈π3A =4b c +=22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以，当且仅当2222cos a b c bc A =+-()()22221344b c bc b c bc b c =+-=+-≥+=2a ≥2b c ==时，等号成立，故． 24a ≤<故选：AB三、填空题 13．已知（为虚数单位），则__________.()20212i iz -=i z =【答案】12i 55-+【分析】先求得，结合复数的运算法则，即可求解. 202150541i i i ⨯+==【详解】由的计算规律，可得，所以. i n 202150541i i i ⨯+==i 12i 2i 55z ==-+-故答案为：12i 55-+14．已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为__________.【分析】取上、下底面的中心，过点作，再利用条件和正四棱台的性质即可求出1,O O 1A 1A H AO ⊥结果.【详解】如图，在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连， 1111ABCD A B C D -1,O O 1O O因为正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，所以作11O A OA ==1A ，垂足为，则易知且，1A H AO ⊥H 11//A H O O 11A H O O =在Rt 中，，所以1A HA A 11AH OA O A =-=12A A =1A H ===..15．在中，内角的对边分别为，若，则__________. ABC A ,,A B C ,,a b c 2,7,33A a b π===ABC S =A【分析】利用余弦定理列出方程求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 5c =【详解】因为， 2,7,33A a b π===由余弦定理得，解得，22229491cos 262b c a c A bc c +-+-===-5c =所以. 11sin 3522ABC S bc A ==⨯⨯=A16．已知，如果存在实数，使得对任意的实数，都有()()2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>0x x 成立，则的最小值为__________. ()()()002022πf x f x f x ≤≤+ω【答案】14044【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，分析可知是函数的最小值，()f x ()0f x ()f x 是函数的最大值，求出函数最小正周期的最大值，可求得的最小值. ()02022πf x +()f x ()f x ω【详解】因为())111cos2sin2sin2222f x x x x x ωωωω=++=πsin 23x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立， 0x 0x ()()()002022πf x f x f x ≤≤+则是函数的最小值，是函数的最大值， ()0f x ()f x ()02022πf x +()f x 因为，若使得最小，则函数的最小正周期取最大值， 0ω>ω()f x 且函数最小正周期的最大值为， ()f x 22022π4044π⨯=故的最小值为，则的最小值为. 2ω2π14044π2022=ω111220224044⨯=故答案为：. 14044四、解答题17．已知复数是纯虚数． ()()2i z m m m m =-+∈R （1）求实数的值；m （2）若复数满足，，求复数． ωz ω=2ωω+=ω【答案】（1）；（2）或．2m =1ω=+1ω=【分析】（1）由复数为纯虚数，可得，从而可求出的值；z ()200m m m ⎧-=⎨≠⎩m （2）由（1）知，令，由，，列方程可求出的值，从2i z =()i ,a b a b ω=+∈R z ω=2ωω+=,a b 而可求出复数ω【详解】解：（1）由复数为纯虚数，有，得．z ()200m m m ⎧-=⎨≠⎩2m =（2）由（1）知，令． 2i z =()i ,a b a b ω=+∈R 2=又由，得，有． ()()i i 22a b a b a ωω+=++-==1a =b =由上知或． 1ω=+1ω=18．已知向量，.(3,4)a =-(1,2)b = （1）设向量与的夹角为，求； a b θsin θ（2）若向量与向量垂直，求实数m .ma b - a b +【答案】（1；（2）0.【分析】（1）用夹角公式算出余弦值，进而算出正弦值；（2）向量垂直即数量积为0，进而求出m.【详解】（1）cos||||a babθ⋅====⋅∴sinθ===（2）若向量与向量垂直，则，ma b-a b+()()0ma b a b-⋅+=即，22(1)0ma m a b b+-⋅-=，，，2223(4)25a=+-=385a b⋅=-=-222125b=+=∴，解得：.255(1)50m m---=0m=19．某地帆赛举行之前，为确保赛事安全，海事部门举行安保海上安全演习.为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为2千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得，6分钟后该船行驶至B处，此时测得，30ADC∠=︒60ACB∠=︒，，求船的速度是多少千米/分钟.45BCD∠=︒60ADB∠=︒/分钟.【分析】先根据条件求出BD，BC再在△ACD中用正弦定理解出AC，最后在△ACB中，用余弦定理即可解出AB，进而求出速度.【详解】由已知条件可得中，，，Rt BCDA2CD=CD BD=∴，2BD=BC=在中，，，，ACDA45CAD∠=︒30ADC∠=︒2CD=由正弦定理，sin sinAC CDADC CAD=∠∠∴AC=在中，根据余弦定理可得，ACB△2222cosAB AC BC AC BC ACB=+-⋅⋅∠则， AC =BC =60ACB ∠=︒∴AB =∴/分钟v =20．已知函数的部分图象如图所示.()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<(1)求函数的解析式； ()f x (2)求函数的单调区间； ()f x(3)若的取值范围.()f x >x 【答案】(1)()2sin 2π23x f x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭(2)单调递增区间为；单调递减区间为；7πππ,π,1212k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z π5ππ,π,1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (3)ππ,π,6k k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z【分析】（1）根据图象得到最小正周期，进而得到，代入特殊点，求出，求出2π2Tω==23ϕπ=函数解析式；（2）利用整体法求解单调区间；（3）利用三角函数的图象及性质解不等式，得到答案.【详解】（1）由图知函数的最小正周期，所以， ()f x 2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭2π2T ω==又，所以.2sin 063ππf ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3π,3πππk k k ϕϕ+=∈=-Z 因为，所以， 0πϕ<<23ϕπ=所以；()2sin 2π23x f x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭（2）令，解得； π2ππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z 7ππππ,1212k x k k -≤≤-∈Z令，解得； π2π3π2π22π,232k x k k +≤+≤+∈Z π5πππ,1212k x k k -≤≤+∈Z 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为()f x 7πππ,π,1212k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z π5ππ,π,1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）当， ()f x >22sin 23πx ⎛⎫+> ⎪⎝⎭可得，解得， 22222333πππππk x k +<+<+ππ,π6k x k k -<<∈Z 所以的取值范围为. x ππ,π,6k k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 21．已知向量，，，其中A 、B 、C 为的内(cos ,sin )m A B = (cos ,sin )n B A =- cos 2m n C ⋅= ABC A 角，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边.（1）求C ；（2）若，且，求c .2c a b =+cos 18ab C =【答案】（1）；（2）6. π3【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式结合二倍角公式，得到关于一元二次方程，求解cos C 即可；（2）由（1）结合已知得出，再由余弦定理，配方再将代入，得到关于的一元二次ab 2c a b =+c 方程，求解即可得出结论.【详解】（1），cos cos sin sin cos()m n A B A B A B ⋅=-=+ 对于，，ABC A πA B C +=-∴，∴.cos()cos A B C +=-cos m n C ⋅=- 又∵，cos 2m n C ⋅= ∴，22cos 22cos 1cos ,2cos cos 10C C C C C =-=-+-=，或（舍去） 1cos 2C =cos 1C =-又，； 0πC <<π3C ∴=（2）∵，，∴，2c a b =+cos 18ab C =36ab =由余弦定理，22222cos ()3c a b ab C a b ab =+-=+-∴，，224336c c =-⨯236c =∴.6c =22．已知锐角的内角的对边分别为. ABC A ,,A B C ,,a b c tan tan A B =+(1)求；B (2)若，求面积的取值范围.4c =ABC A 【答案】(1) π3(2)(【分析】（1sin cos cos C A B =，求得，即可求解；tan B =（2）由（1）和是锐角三角形，求得，利用三角形面积公式和正弦定理，得到ABC A 62C ππ<<，结合正切函数的性质，即可求解. 2a =【详解】（1=又由， sin sin tan tan cos cos A B A B A B +=+sin cos cos sin sin cos cos cos cos A B A B C A B AB +==， tan tan A B =+sin cos cosC A B =因为，可得，所以，(0,π)C ∈sin 0C >tan B =又因为，所以. ()0,πB ∈π3B =（2）解：因为是锐角三角形，由（1）知且，可得， ABC A π3B =πA B C ++=23+=A C π因为，所以， 20,0232πππC C <<<-<ππ62C <<由三角形面积公式得 1sin 2ABC S ac B ==A 又由正弦定理且， sin sin a c A C=4c =所以， 2π4sin sin 4sin 32sin sin sin C c A A a C C C ⎛⎫- ⎪⎝⎭====因为，所以，ππ62C <<tan C>228<<所以，即面积的取值范围为. ABC S <<△ABC A (。
2020-2021深圳市新洲中学高一数学下期中试题附答案
2020-2021深圳市新洲中学高一数学下期中试题附答案一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30o ，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．832．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．202π+B ．203π+C ．242π+D ．243π+3．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．32-B ．4C ．6D ．32+4．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 5．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=6．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm7．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．328．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a9．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( ) A ．153B ．53C ．64D ．10411．如图，正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是线段BD 的动点，则( )A ．存在点G ，使PG EF ⊥成立B ．存在点G ，使FG EP ⊥成立C ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立D ．不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立 12．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．15．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为_________.16．已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______．17．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．18．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r； ②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）19．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ． 20．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________.三、解答题21．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.（1）求证：EF P 平面ABD ；（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .22．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线34100x y -+=上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．23．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．24．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值． 25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．（1）求证：//AB 平面DEF ； （2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ； （3）求三棱锥1E ACB -的体积.26．如图,四边形ABCD 为矩形,且2,1,AD AB PA ==⊥平面ABCD , 1PA =,E 为BC 的中点.（1）求证:PE DE ⊥； （2）求三棱锥C PDE -的体积；（3）探究在PA 上是否存在点G ,使得EG P 平面PCD ，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=o，因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯= C. 【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为2215221122032S πππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．3．D解析：D 【解析】 【分析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 的距离最大，所以高最大为3212+，PAB S ∆最大值为32 【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k-1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1 ∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y=1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB 的距离为2.∴△PAB 面积的最大值是112||(1)2222AB +=⨯= 故选D ． 【点睛】主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.4．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++-229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=． 故选B ．6．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4， ∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）． 考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.7．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．8．B解析：B 【解析】 【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ． 故选:B ． 【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．9．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．10．D解析：D 【解析】 【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N , 所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===， 设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为104，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项进行一一验证，即可得答案． 【详解】正四面体ABCD 中，,E F 分别是线段AC 的三等分点，P 是线段AB 的中点，G 是直线BD 的动点，在A 中，不存在点G ，使PG EF ⊥成立，故A 错误； 在B 中，不存在点G ，使FG EP ⊥成立，故B 错误；在C 中，不存在点G ，使平面EFG ⊥平面ACD 成立，故C 正确； 在D 中，存在点G ，使平面EFG ⊥平面ABD 成立，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．12．B解析：B【解析】【分析】【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.二、填空题13．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本解析：3π【解析】【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解． 【详解】先把三棱锥P ABC -,所以球的半径为所以球的表面积为24π3π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：l =,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．14．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 15．【解析】【分析】取正的外心为过作平面的垂线在上取点使得即得是三棱锥外接球球心求出球半径可得体积【详解】如图是外心延长线与交于点是中点过作平面取∵平面ABC∴到的距离相等∴是三棱锥外接球球心∴所以故答解析：【解析】 【分析】取正ABC 的外心为M ，过M 作平面ABC 的垂线，在上取点O ，使得12OM AD =，即得O 是三棱锥A BCD -外接球球心，求出球半径可得体积． 【详解】如图，M 是ABC ∆外心，AM 延长线与BC 交于点E ，E 是BC 中点，过M 作MO ⊥平面ABC ，取12OM AD =， ∵AD ⊥平面ABC ，∴//MO AD ，O 到,A D 的距离相等，∴O 是三棱锥A BCD -外接球球心，233332AM =⨯⨯=，3OM =，∴22223(3)23OA OM AM =+=+=， 所以2344()(23)32333V OA πππ==⨯=． 故答案为：323π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是作出外接球球心．三棱锥外接球球心在过各面中点且与面垂直的直线上．16．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握 解析：()2224x y -+=【解析】 【分析】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，代入方程利用点差法计算得到答案. 【详解】直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，则221136x y +=，222236x y +=，两式相减得到()()()()121212120x x x x y y y y +-++-=，即220x ky +=. 故2204y x y x +=-，整理得到：()2224x y -+=. 故答案为：()2224x y -+=. 【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生对于点差法的理解和掌握.17．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323π【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。
广东省2020版高一下学期数学期中考试试卷(II)卷
广东省2020版高一下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2020高二上·武汉期中) 己知直线：与：，则这两条直线的位置关系是（）A . 重合B . 平行C . 垂直D . 不能确定2. （2分）函数f(x)= sin2x-2sin2x,(0≤x≤π/2)则函数f(x)的最小值为（）A . 1B . -2C .D . -3. （2分） (2020高二下·南宁期中) 如图，在正方体中，E，F依次是和的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（）A .B .C .D . 04. （2分） (2020高三上·大庆期中) 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边位于第三象限且过点，若，则（）A .B . 2C .D . -25. （2分） (2020高一下·西安期末) 在中，已知，则该的形状为（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 正三角形D . 等腰或直角三角形6. （2分） (2020高二上·南昌月考) 若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·山东) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A . a=2bB . b=2aC . A=2BD . B=2A8. （2分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A . 相切B . 相交C . 相离D . 不确定二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高二上·武汉期中) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF a，以下结论正确的有（）A . AC⊥BEB . 点A到△BEF的距离为定值C . 三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D . 异面直线AE，BF所成的角为定值10. （3分） (2020高一下·辽宁期中) 以下命题（其中a，b表示直线，a表示平面），其中错误的是（）A . 若则B . 若则C . 若则D . 若，，，则11. （3分） (2020高二上·大名月考) 已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点， .当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的可能取值为（）A . -3B . -2C . 0D . 112. （3分） (2020高一下·南京期中) 若圆与圆相切，则m的值可以是（）A .B .C .D .三、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2017高二上·南通开学考) 已知直线l1的方程为3x+4y-7=0，直线l2的方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2的距离为________．14. （1分）函数y=3﹣cos x的最大值为________．15. （1分）已知直线a，b的方向向量分别为 =（4，k，k﹣1）和 =（k，k+3，），若∥ ，则k=________四、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）(2017·兰州模拟) cos2165°﹣sin215°=________．五、解答题 (共6题；共57分)17. （10分） (2019高一下·双鸭山期中) 在中，分别是角的对边，且．（1）求的大小；（2）若，求的面积．18. （10分）(2013·湖北理) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．19. （10分）已知两直线l1：3x+y+1=0，l2：x+y﹣1=0相交于一点P，（1）求交点P的坐标．（2）若直线l过点P且与直线l1垂直，求直线l的方程．20. （10分） (2020高一下·重庆期末) 已知分别为三个内角的对边，且满足：.（1）求；（2）若，且，求的面积.21. （2分） (2019高三上·长春月考) 在中，角的对边长分别为，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值.22. （15分）写出圆心为C（1，﹣2），半径r=3的圆的方程，并判断点M（4，﹣2）、N（1，0）、P（5，1）与圆C的位置关系．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、多选题 (共4题；共12分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：五、解答题 (共6题；共57分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。