江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学试题(附解析)
在正三棱柱
中， 为 的中点，
，且
，
依题意，有
，且
，
∴
，且
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
而 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）在正三棱柱
中，
平面 ，∴
，
又
，∴ 平面
，
因为
，∴ 平面
，
平面 ，
∴平面
平面
.
【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考
查运算求解能力，是中档题．
故答案为：3．
【点睛】本题考查算法与应用问题，考查分段函数的应用问题，是基础题．
5.函数
的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】
-2-
且
解不等式即可。
【详解】 且
，由此解得
,故填
【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于 0。
6.某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中选修 2 门课程，则该同学恰好
（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过 米，当景观窗格的面积（多边形
，
解得 cos∠AOB＝﹣ ，∴∠AOB＝120°． 由余弦定理可得 AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OBcos120°＝7,AB=
由正弦定理可得： 由正弦定理可得：
-6-
⇒sinA＝ ． ，
∵
，∠AOD＝60°．
∴
．
故答案为： ． 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
【答案】 【解析】 【分析】 设出圆锥的底面半径和高，分别求出圆柱和圆锥的体积，计算出比值．
【详解】设圆锥 SO 的底面半径为 r，高为 h，则圆柱 PO 的底面半径是 ，高为 ，
∴VSO＝ πr2h，VPO＝π（ ）2•
，
∴
=．
故答案为： ． 【点睛】本题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，是基础题．
解得 a1＝ ．
故答案为： ． 【点睛】本题考查等差数列的求和公式，以及数列的分组求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或 演算步骤.
15.如图，正三棱柱
中，点 分别是棱
的中点.
求证：（1） //平面 ；
【详解】集合
，
则
故答案为：
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.
2.已知复数 满足
（ 是虚数单位），则复数 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的商的运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可得到答案.
【详解】z=
=-i
故答案为：-i
【点睛】本题考查复数的商的运算，属于简单题.
角函数的图象与性质得出参数 φ 与 ω 的可能取值，再通过赋值的手段得出参数的最值
12.平面内不共线的三点 ，满足
，点 为线段 的中点，
的平分线交线段 于 ，
若
，则
【答案】 【解析】 【分析】
________.
点 为线段 的中点可得
，通过计算 ，即得∠AOB，由正弦定理可得：
，
，即可求解．
【详解】如图，∵点 C 为线段 AB 的中点，∴
【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．
11.已知函数
是偶函数，点 是函数
图象的对称中心，则 最小值为
________.
【答案】 【解析】 【分析】 由函数是偶函数得到 φ 的可能取值，再由函数过点（1，0）得出 ω+φ 的可能取值，从而得出 ω 的表达式， 再对参数赋值即可得出所求最小值 【详解】∵函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，
16.已知 中， 分别为三个内角 的对边，且
.
（1）求角 ；
（2）若
，且 ，求 的周长.
【答案】（1） ；（2）6.
-9-
【解析】
【分析】
(1)由余弦定理和同角三角函数关系式化简即可得到答案；（2）利于（1）所得 A 角和两角差的正切公式化
简
，可得角 B，可确定三角形为等边三角形，从而可得周长.
【详解】（1）由已知，得：
该同学恰好选中 1 文 1 理包含的基本事件总数 m＝ ＝6．
∴该同学恰好选中 1 文 1 理的概率 p＝
＝．
故答案为： ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.已知双曲线
的离心率为 2，直线
经过双曲线 的焦点，则双曲线 的渐近
线方程为________.
-5-
∴φ＝
,
∵点（1，0）是函数 y＝f（x）图象的对称中心
∴sin（ω+φ）＝0，可得 ω+φ＝k2π，k2∈Z，
∴ω＝k2π﹣φ＝（k2﹣k1）π﹣ ．
又 ω＞0，所以当 k2﹣k1＝1 时，ω 的最小值为 ．
故答案为： ． 【点睛】本题考查正弦类函数的奇偶性与对称性，解答的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，能根据三
14.数列
满足
，且数列 的前 项和为 ，已知数列
的前 项和为
1，那么数列 的首项 ________.
【答案】 【解析】 【分析】 由数列分组求和可得 a1+a2+…+a2018，由数列{bn}的前 n 项和以及数列的递推式可得 an 与 a1 的关系，求和解
-7-
方程即可得到所求值． 【详解】数列{an﹣n}的前 2018 项和为 1， 即有（a1+a2+…+a2018）﹣（1+2+…+2018）＝1， 可得 a1+a2+…+a2018＝1+1009×2019， 由数列{bn}的前 n 项和为 n2，可得 bn＝2n﹣1，
【答案】3 【解析】 【分析】
执行该算法后输出 y＝
，令 y＝1 求出对应 x 值即可．
【详解】执行如图所示的算法知，该算法输出 y＝ 当 x≥1 时，令 y＝x2﹣2x﹣2＝1，解得 x＝3 或 x＝﹣1（不合题意，舍去）；
当 x＜1 时，令 y＝ ＝1，此方程无解； 综上，则输入的实数 x 的值为 3．
3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数为
________. 【答案】9.5 【解析】 【分析】
-1-
，且这 5 个分数的平均数为 ，则实数
根据平均数的定义列方程求出 x 的值． 【详解】数据 9.1，9.3，x，9.2，9.4 的平均数为
×（9.1+9.3+x+9.2+9.4）＝9.3， 解得 x＝9.5． 故答案为：9.5． 【点睛】本题考查平均数的定义与计算，是基础题． 4.一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，若输出的 值为 ，则输入的实数 的值为________.
，
由余弦定理，得：
，
即
，又
,
所以 .
（2）
，
，
化简，得： 所以，三角形
，所以， 为等边三角形，其周长为：
； .
【点睛】本题考查余弦定理和两角和差公式的简单应用，考查计算能力，属于基础题.
17.已知，在平面直角坐标系 中，椭圆
的焦点在椭圆
是椭圆 （1）求椭圆
位于第一象限的交点. 的标准方程；
（2）过 轴上一点 的直线 与椭圆 相切，与椭圆 交于点 ，已知
常州市 2019 届高三上学期期末 试卷数学
参考公式：样本数据
的方差
，其中
.
柱体的体积
，其中 为柱体的底面积， 为高．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，则来自________.【答案】
【解析】
【分析】
两个集合取交集可直接得到答案.
10.若直线
与曲线 （ 是自然对数的底数）相切，则实数 ________.
【答案】
【解析】
【分析】 根据题意，设切点为（m，em），求 y＝ex 的导数，由导数几何意义可得 k，即得切线方程，结合切线
kx﹣y﹣k＝0 可得 m，从而得到 k． 【详解】根据题意，若直线 kx﹣y﹣k＝0 与曲线 y＝ex 相切，设切点为（m，em） 曲线 y＝ex，其导数 y′＝ex，则切线的斜率 k＝y′|x＝m＝em， 则切线的方程为 y﹣em＝em（x﹣m）， 又由 k＝em，则切线的方程为 y﹣k＝k（x﹣m），即 kx﹣y﹣mk+k＝0， 又由切线为 kx﹣y﹣k＝0，则有﹣m+1＝﹣1，解可得 m＝2， 则 k＝em＝e2， 故答案为：e2．
【答案】
【解析】
【分析】
利用双曲线的离心率以及焦距，列出方程，求解渐近线方程即可．
【详解】双曲线
的离心率为 2， =2，
直线 x+y+2＝0 经过双曲线 C 的焦点，可得 c＝2，所以 a＝1，
由
则 b＝ ，
又双曲线的焦点在 x 轴上，
所以双曲线 C 的渐近线方程为：
．
故答案为：
．
-3-
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题. 8.已知圆锥 ，过 的中点 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱 ，圆柱的下底面落在圆 锥的底面上（如图），则圆柱 的体积与圆锥 的体积的比值为________.
18.某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，
江苏省常州市2019届高三数学上学期期末考试试题2019032702160
x＋1 y←
x－1 End If Print y
4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的 y 值为1， 则输入的实数 x 的值为________.
5. 函数 y 1 ln x 的定义域为________.
(第 4 题)
6. 某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中选修 2 门课 程，则该同学恰好选中 1 文 1 理的概率为________.
P
体积的比值为________.
9. 已知正数 x, y 满足 x y 1 ，则 1 x 的最小值为________.
x
xy
10. 若直线 kx y k 0 与曲线 y ex （ e 是自然对数的底数）相切，则实数
O
（第 8 题）
1
k ________.
11. 已知函数 f (x) sin(x )( 0, R) 是偶函数，点 (1, 0) 是函数 y f (x) 图象 的对称中心，则 最小值为________.
， 33
是椭圆 C1，C2 位于第一象限的交点．
(1) 求椭圆 C1，C2 的标准方程；
→ 3→
(2)
过
y
轴上一点
P
的直线
l
与椭圆
C2
相切，与椭圆
C1
交于点
A，B，已知PA＝ PB， 5
求直线 l 的斜率．
3
18. (本小题满分 16 分)某公园要设计如图(1)所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个 角处对称地截去四个全等三角形所得，如图(2)中所示的多边形 ABCDEFGH)，整体设计方案 要求：内部井字形的两根水平横轴 AF＝BE＝1.6 m，两根竖轴 CH＝DG＝1.2 m，记景观窗格的 外框(图(2)中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为 l m.
江苏常州2019高三上年末调研测试--数学
江苏常州2019高三上年末调研测试--数学数 学Ⅰ参考公式： 样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11nii x n =∑、【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．、 1．设集合{A =，{}B a =，假设B A ⊆，那么实数a 的值为 、2．复数1i z =-+〔为虚数单位〕，计算：z z z z⋅-= 、 3．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线通过点(1,2)，那么该双曲线的离心率的值为 、4．依照右图所示的算法，可知输出的结果为 、5．某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品、某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，那么此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 、 6．函数(1)()coscos22x x f x -=p p 的最小正周期为 、 7．函数22()log (4)f x x =-的值域为 、8．点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C ：32(,,y ax bx d a b d =++为常数上，假设曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，那么32a b d ++= 、 9．向量a ，b 满足()22,4a b +=-，()38,16a b -=-，那么向量a ，b 的夹角的大小为 、〔1〕假设一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂0102321Pr int n S n While S S S n n End While n++ ≤ ←←0←←4(第题)直；〔2〕假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；〔3〕假设两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；〔4〕假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为、 11.函数f (x )＝32,2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩≥，假设关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是、 12.数列{}na 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，那么11n i ia =∑=、 13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ，N 两点，点P 为圆C 上任意一点，那么PM PN ⋅的最大值为、14.实数,x y 同时满足54276xy--+=，2741log log 6y x -≥，2741y x -≤，那么x y+的取值范围是、【二】解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 15、〔本小题总分值14分〕,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-、 〔1〕求sin()αβ-的值； 〔2〕求cos β的值、16、〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB，2AB ==，3CD =，直线PA 与底面ABCD所成角为60°，点M 、N 分别是PA ，PB 的中点、 〔1〕求证：MN ∥平面PCD ；〔2〕求证：四边形MNCD 是直角梯形； 〔3〕求证：DN ⊥平面PCB 、17、〔本小题总分值14分〕第八届中国花博会将于2018年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =、a ，b为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区〔点E ，F 分别在线段AB ，AD 上〕，且该直角三角形AEF 的周长为〔2l b >〕，如图、设AE x =，△AEF 的面积为S 、〔1〕求S 关于x 的函数关系式；〔2〕试确定点E 的位置，使得直角三角形地块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值、18、〔本小题总分值16别是椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2250AF BF +=.〔1〕求椭圆E 的离心率；〔2〕点()1,0D 为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点〔异于点A 、B 〕，连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由.19、〔本小题总分值16分〕数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =、〔1〕假设1243,a b a b ==、求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；〔2〕假设112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值、 20、〔本小题总分值16分〕函数()ln f x x x a x =--. 〔1〕假设a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; 〔2〕求函数()f x 的单调区间；〔3〕假设()0f x >恒成立，求a 的取值范围、数学Ⅱ〔附加题〕注意事项：考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用、本试卷第21题有A 、B 、C 、D4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题、假设考生选做了3题或4题，那么按选做题中的前2题计分、第22、23题为必答题、每题10分，共40分、考试时间30分钟、考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置、3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效、作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔、请注意字体工整，笔迹清晰、4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清晰，线条、符号等须加黑、加粗、5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损、一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔、21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每题10分，共计20分、请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、A 、选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D 、连结CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.B 、选修4—2：矩阵与变换 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，假设矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α矩阵A 的逆矩阵、C 、选修4—4：坐标系与参数方程 曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，判断两曲线的位置关系、D 、选修4—5：不等式选讲设2()14,||1f x x x x a =-+-<且，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+、【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分、请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 22、(本小题总分值10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个基本上白球的概率为512、现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止、用X 表示取球终止时取球的总次数、〔1〕求袋中原有白球的个数；〔2〕求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X 、23、(本小题总分值10分)空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分. 〔1〕求1234,,,a a a a ；〔2〕写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.参考答案数学Ⅰ 【一】填空题 1、02、i -4.115、8156、27、(,2]-∞8、79、p10、()1、()3、()411、10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12、2324nn ⋅--13、4+14、56⎧⎫⎨⎬⎩⎭【二】解答题15、解：〔1〕∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<、又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<、…………………………4分∴sin()αβ-=、………………………………6分〔2〕由〔1〕可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=、 (10)分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-…………12分=43(55+⨯、…………………………14分16、证明：〔1〕因为点M ，N 分别是PA ，PB 的中点，因此MN ∥AB ………………2分因为CD ∥AB ，因此MN ∥CD 、又CD ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ，因此MN ∥平面PCD .……4分 〔2〕因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，因此CD ⊥AD ， 又因为PD ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，因此CD ⊥PD ，又AD PD D =，因此CD ⊥平面PAD 、……………6分 因为MD ⊂平面PAD ，因此CD ⊥MD ，因此四边形MNCD 是直角梯形………………………………8分 〔3〕因为PD ⊥底面ABCD ，因此∠PAD 确实是直线PA 与底面ABCD 所成的角，从而∠PAD =60………………………9分在Rt △PDA中，AD =，PD =，PA =，MD =在直角梯形MNCD 中，1MN =，ND =，3CD =，CN ==，从而222DN CN CD +=，因此DN ⊥CN 、…………………………11分 在Rt △PDB 中，PD =DB，N 是PB 的中点，那么DN ⊥PB 、……13分 又因为PB CN N =，因此DN ⊥平面PCB 、…………………14分 17、解：〔1〕设AF y =，那么x y l ++=，整理，得222()l lx y l x -=-、………3分2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈、…………………………………4分〔2〕()()]22'22242,(0,44l x lx l l S x x x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+=⋅=-⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当b ≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-；当b >时，在x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S递增，在,x b ⎫∈⎪⎪⎭上，'0S <，S递减，故当x =时，2max S =. 18、解：〔1〕2250AF BF +=，225AF F B ∴=.()5a c a c ∴+=-，化简得23a c =，故椭圆E 的离心率为23.〔2〕存在满足条件的常数λ，47=-l .点()1,0D 为线段2OF 的中点，2c ∴=，从而3a =，b =，左焦点()12,0F -，椭圆E 的方程为22195x y +=.设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，那么直线MD 的方程为1111x x y y -=+，代入椭圆方程22195x y +=，整理得，2112115140x x y y y y --+-=.()1113115y x y y x -+=-，13145y y x ∴=-.从而131595x x x -=-，故点1111594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.同理，点2222594,55x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.三点M 、1F 、N 共线，121222y y x x ∴=++，从而()1221122x y x y y y -=-.从而()()()()121221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x --+-----=====--------.故21407k k -=，从而存在满足条件的常数λ，47=-l . 19、解：〔1〕由题得225,3a b ==，因此123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，因此21n a n =+，从而349b a ==，因此13n n b -=、……………………3分〔2〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 那么15a d =-，13b q=，35a d=+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，因此2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=、设1133a b m a b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，那么3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得d =〔舍去负根〕. 35a d =+，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =因此，最大的3a =………16分20、解：〔1〕假设a =1,那么()1ln f x x x x =--、 当[1,]x e ∈时,2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>， 因此()f x 在[1,]e 上单调增,2max()()1f x f e e e ∴==--……………2分〔2〕由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞、 〔ⅰ〕当0a ≤时，那么2()ln f x x ax x =--，2'121()2x ax f x x a x x--=--=， 令'()0f x =，得00x =>〔负根舍去〕， 且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >， 因此()f x 在上单调减，在)+∞上单调增.……4分〔ⅱ〕当0a >时， ①当x a ≥时，2'121()2x ax f x x a x x--=--=,令'()0f x =，得1x =x a=<舍〕，a≤，即1a ≥,那么'()0f x ≥，因此()f x 在(,)a +∞上单调增； 假设a>，即01a <<,那么当1(0,)x x ∈时，'()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在区间上是单调减，在)+∞上单调增.……………………6分 ②当0x a <<时,2'121()2x ax f x x a x x-+-=-+-=,令'()0f x =，得2210x ax -+-=，记28a ∆=-，假设280a ∆=-≤，即0a <≤,那么'()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减； 假设280a ∆=->，即a >那么由'()0f x =得3x =，4x =且340x x a <<<，当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'()0f x >；当4(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在区间上是单调减，在上单调增；在)+∞上单调减………………………………………8分 综上所述，当1a <时,()f x 单调递减区间是，()f x 单调递增区间是)+∞；当1a ≤≤时,()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是(,)a +∞；当a >,()f x 单调递减区间是)和)a ，()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞.………………10分〔3〕函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞、 由()0f x >，得ln x x a x->、*〔ⅰ〕当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0xx<，不等式*恒成立，因此R a ∈；〔ⅱ〕当1x =时，10a -≥，ln 0xx=，因此1a ≠………………12分〔ⅲ〕当1x >时，不等式*恒成立等价于ln xa x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立、 令ln ()x h x x x =-，那么221ln ()x xh x x -+'=、因为1x >，因此()0h x '>，从而()1h x >、 因为ln x a x x<-恒成立等价于min (())a h x <，因此1a ≤、 令ln ()xg x x x=+，那么221ln ()x xg x x +-'=、再令2()1ln e x x x =+-，那么1()20e x x x'=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值、综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞…………………………16分数学Ⅱ〔附加题〕 21.【选做题】A 、选修4—1：几何证明选讲 证明：连结OF 、因为DF 切⊙O 于F ，因此∠OFD =90°、 因此∠OFC +∠CFD =90°、 因为OC =OF ，因此∠OCF =∠OFC 、因为CO ⊥AB 于O ，因此∠OCF +∠CEO =90°、 因此∠CFD =∠CEO =∠DEF ，因此DF =DE 、 因为DF 是⊙O 的切线,因此DF 2=DB ·DA 、 因此DE 2=DB ·DA 、 B 、选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23，即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32.C 、选修4—4：坐标系与参数方程 解：将曲线12,C C 化为直角坐标方程得：1:20C x ++=，222:220C x y x y +--=即()()222:112C x y -+-=，圆心到直线的距离d >，∴曲线12C C 与相离、 D 、选修4—5：不等式选讲证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-|||2|1x a a ≤-++|2|2a <+ =2(||1)a +、 【必做题】22、解：〔1〕设袋中原有个白球，那么从9个球中任取2个球基本上白球的概率为229n C C，由题意知229n C C=512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300nn --=、解得6n =或5n =-〔舍去〕 故袋中原有白球的个数为6.〔2〕由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. 62(1)93P X ===； 361(2)984P X ⨯===⨯；3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯. 因此取球次数X 的概率分布列为：所求数学期望为E 〔X 〕=123+214+3114+4184=10.723、解：〔1〕12342,4,8,15a a a a ====； 〔2〕31(56)6n a n n =++.证明如下： 当1n =时显然成立，设(1,)n k k k N *=≥∈时结论成立，即31(56)6k a k k =++， 那么当1n k =+时，再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，因此可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线能够把第1k +个平面划最多分成21[(1)(1)2)]2k k +-++个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了21[(1)(1)2)]2k k +-++个，2321111[(1)(1)2)](56)[(1)(1)2)]262k k a a k k k k k k +∴=++-++=++++-++31[(1)5(1)6)]6k k =++++，即当1n k =+时，结论也成立. 综上，对n N *∀∈，31(56)6n a n n =++.。
精品解析：【区级联考】江苏省常州市武进区2019届高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019届第一学期期中考试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.设集合，，则______．【答案】【解析】【分析】解不等式得到集合A，根据函数的值域得到集合B，然后可得．【详解】由题意得，，所以．故答案为：．【点睛】本题以集合的运算为载体，考查二次函数的值域和简单的绝对值不等式的解法，属于基础题．2.已知向量，，若，则实数的值为______．【答案】2【解析】【分析】由向量垂直得到数量积为零，进而得到关于的方程，解方程可得所求．【详解】因为，所以，解得．故答案为2．【点睛】本题考查向量数量积的应用，解题时根据数量积的坐标表示直接求解即可，属于简单题．3.设R，则是的______条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断后可得结论．【详解】由得；由，得或．所以由“”可得“”，反之不成立，所以“”是“”充的分不必要条件．故答案为：充分不必要【点睛】充分、必要条件的判断方法（1）利用定义进行判断，即直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假．在判断时，首先要分清条件是什么、结论是什么．（2）从集合的角度判断，利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．4.已知等差数列的前项和为，若，则______．【答案】24【解析】【分析】由可得，然后再根据等差数列的前n项和公式求解即可．【详解】因为，所以，所以，所以．故答案为24．【点睛】本题考查等差数列的基本运算，解题的关键是得到以及合理运用项的下标和的性质，属于基础题．5.已知是函数的导函数，实数满足，则的值为______．【答案】【解析】【分析】求导后根据得到，然后根据倍角公式得到所求．【详解】由可得，因为所以，整理得，所以．故答案为．【点睛】本题考查导数的基本运算和简单的三角变换，解题的关键是正确运用公式，属于基础题．6.已知，，若向量与共线，则实数的值为______．【答案】1【解析】【分析】先求出的坐标，然后根据向量的共线得到的值．【详解】因为，，所以.又向量与共线，所以，解得．故答案为1．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量共线的充要条件，解题的关键是熟知向量运算的坐标表示．7.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据函数为偶函数和函数的单调性可求得函数的解析式，然后再解不等式可得所求的结果．【详解】由题意得，因为函数为偶函数，所以，所以．又在上单调递减，所以．由，得，解得：或，所以不等式的解集为．故答案为．【点睛】本题考查函数性质的应用和二次不等式的解法，解题的关键是得到函数的解析式，然后再根据一元二次不等式的解法可得所求，体现了函数与方程间的关系．8.在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段弧上，角以为始边，为终边．若，则所在的圆弧是______．【答案】【解析】【分析】根据四段弧所在的位置并结合三角函数线，分别判断出的大小关系后可得结果．【详解】（1）当点在上时，由于弧的位置在第一象限靠近x轴的一方，所以，不合题意；（2）当点在上时，由于弧的位置在第一象限靠近y轴的一方，所以，而，所以不合题意；（3）当点在上时，由于弧在第二象限靠近y轴的一方，所以，且，所以，符合题意．（4）当点在上时，由于弧在第三象限，所以，所以不合题意．由以上分析可得点所在的圆弧是．故答案为．【点睛】解答本题的关键是根据三角函数线得到各个三角函数值的符号，解题中要注意正弦线、余弦线、正切线分别对应的有向线段，进而得到三角函数值的正负和大小关系，体现了数形结合在解题中的作用．9.函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为_______．【答案】【解析】试题分析：由题意可知，令x+3=1，则y=-1，即x=-2,y=-1，所以A（-2，-1），可得2m+n=1，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为考点：本题考查基本不等式求最值点评：解决本题的关键是求出A点坐标，注意利用基本不等式的条件10.已知R，函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】画出函数的图象，然后结合图象分析后可得所求的范围．【详解】画出函数的图象，如下图所示．结合图象可得：当时，函数有1个零点，即点B的横坐标；当时，函数恰有2个零点，即点A,B的横坐标；当时，函数有1个零点，即点A的横坐标；当时，函数恰有2个零点，即点A，C的横坐标．综上可得当或时，函数有两个零点．所以实数的取值范围是．【点睛】已知函数的零点(方程的根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11.在等腰梯形中，∥，，，，若，，且，则实数的值为______．【答案】【解析】依题意得∥,，.∵∴∴∵∴∵∴∴故答案为.12.已知不等边（三条边都不相等的三角形）的内角的对边分别为，若，则的弧度数为______．【答案】【解析】【分析】在中运用余弦定理并进行变形后得到，再根据余弦定理的推论可得角A的大小．【详解】∵，∴，即，∴∴∴整理得，由题意得，∴，即．由余弦定理的推论得，又，∴．故答案为．【点睛】本题考查余弦定理的应用、考查计算能力，由于解题中需要用到大量的化简、计算，所以在解题时要注意运算的合理性和准确性，属于基础题．13.已知定义在R上的函数，若存在实数，使得对任意实数都有成立，则实数的最小值为______．【答案】【解析】【分析】由题意得对任意实数恒成立，又根据函数的值域可得，，故可得，解不等式可得所求．【详解】∵，∴．由题意得对任意实数恒成立，又的值域是（0,1）所以，所以由题意得，解得，∴实数的最小值为．故答案为．【点睛】解决不等式恒成立问题时，可通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，当恒成立时，只需即可，若的最大值不存在，则利用函数值域的端点值来代替，此时需要注意等号能否成立．14.若正实数、满足，且，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由结合重要不等式得到；由两边平方后变形，再根据重要不等式得到，进而可得所求的范围．【详解】由，得，当且仅当时等号成立，所以．由，得，即所以即，解得．所以．故的取值范围为．【点睛】本题考查综合应用不等式知识解决问题，考查变形应用的能力，解题时要根据所求选择合适的不等式，同时要正确判断是将式子进行放大还是进行缩小，特别要注意等号能否成立．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.的内角、、的对边分别为、、，已知，，.⑴求角的值；⑵求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得可求得；（2）由得到，然后根据余弦定理得到，于是可得所求的面积．【详解】（1）∵，∴，∴，又，∴，∴．（2）由及正弦定理得，∵，∴，由余弦定理得，所以，∴，∴的面积为．【点睛】（1）本题考查正弦定理、余弦定理的应用，解题时注意三角变换的运用，同时还要注意三角形中三内角间的关系．（2）余弦定理常与三角形的面积公式结合在一起考查，解题时注意余弦定理中的变形，如等．16.已知为坐标原点，，，，若.⑴求函数的最小正周期和单调递增区间；⑵将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最小值．【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）由题意得到，进而可得函数的周期和单调增区间；（2）根据图象变换得到，根据的范围得到的取值范围，然后可得的最小值．【详解】(1)由题意，，所以，所以函数的最小正周期为，由，得，所以的单调递增区间为.(2)由(1)得，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数为；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为，∴，∵，∴，∴当，即时，有最小值，且，∴函数在上的最小值为2．【点睛】（1）解决三角函数的有关问题时，一般将所给的函数化为的形式，然后将作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质进行求解．（2）求函数在给定区间上的最值或范围时，先由所给的范围得到的范围，然后结合函数的图象求解．17.常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为.⑴ 求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；⑵ 若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）1040；（2）120【解析】【分析】（1）根据题意得到的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值．【详解】（1）由题意知，，（为常数），∵，∴，∴，∴，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量人．（2）由，可得，①当时，，当且仅当时等号成立；②当时，，当时等号成立，∴当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值．（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．18.已知函数．⑴讨论的单调性；⑵若恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导，定义域为，由，可得或进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；（Ⅱ）若恒成立，只需即可，讨论函数单调性求最值即可.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，.由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，符合题意.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即，所以，所以.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即.所以，所以.综上所述，实数的取值范围是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .19.设函数，其中，．⑴若，，求曲线在点处的切线方程；⑵若，求的极值；⑶若曲线与直线有三个互异的公共点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解可得结果；（2）先根据导函数的符号得到函数的单调性，进而得到极大值和极小值；（3）由，得，故可将两函数图象有三个互异公共点的问题转化为方程有三个不同解的问题处理，然后根据函数的单调性、极值求解可得结果．【详解】（1）当，时，，∴，∴，又，∴曲线在点处的切线方程为，即．（2）当时，，∴，令，解得或；当变化时，，的变化情况如下表：由上表可得，当时，函数有极大值，且极大值为，当时，函数有极小值，且极小值为．（3）由，得，∴，令，可得．设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个不同的零点；又，（ⅰ）当时，恒成立，此时在上单调递增，不合题意；（ⅱ）当时，令，解得，；∴在上单调递增，在上单调递减，在上也单调递增；∴的极大值为；极小值为；①若，由的单调性可知，函数至多有两个零点，不合题意；②若，即，解得，此时，，且，，从而由的单调性可知，在区间，，内各有一个零点，符合题意．综上可得的取值范围是．【点睛】（1）本题考查导数的应用，解题时注意根据导函数的符号得到函数的单调性，进而可得函数的极值、最值等，然后再结合题意进行求解即可．（2）研究方程根的情况时，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个直观的展现．20.设数列的前项和为．已知，设.⑴ 求证：当时，为常数；⑵求数列的通项公式；⑶ 设数列是正项等比数列，满足：，，求数列的前n项的和．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由题意求出，然后通过作差可得，故结论成立；（2）根据（1）中的结论，即是常数列且，可得；（3）由题意得，所以，故利用错位相减法求和．【详解】（1）证明：由题意知，当n=1时，，∴；当时，，∴，∴∴，∴，∴当时，为常数0.（2）由（1）得，是常数列.∵，∴，∴，∴.（3）由（2）知，∵数列是正项等比数列，∴公比为2，∴．∴……③，∴……④，③④得：，设……⑤，∴……⑥，⑤⑥得：，，∴，∴．【点睛】用错位相减法求和的注意事项（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．。
江苏省18市县2021届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编：立体几何
江苏省18市县2021届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（常州市2019届高三上学期期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________.2、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，AC＝3，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B－EFC的体积为▲ ．3、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）已知正三棱柱ABC－则三棱锥D－BB1C1的体积为＿＿＿4、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，点D 是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，则三棱锥B1－EBD的体积为▲ ．5、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019高三期末） 已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为 ． 6、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ．7、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1－MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1－BB 1C 1C 的体积为V 2，则12V V 的值是8、（无锡市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于 ． 9、（宿迁市2019届高三上学期期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的正三角形，则该圆锥的体积为 ▲ cm 3． 10、（徐州市2019届高三上学期期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为棱1AA 上任意一点，则四棱锥11P BDD B -的体积为 ▲ ．11、（扬州市2019届高三上学期期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ． 12、（镇江市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为 ．参考答案 一、填空题 1、38 2、36 3、233 4、3 5、83 6、23 7、148、3π 9、3π 10、1311、223π12、33π二、解答题1、（常州市2019届高三上学期期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别是棱1,AB CC 的中点. 求证：（1）CM //平面1AB N ； （2）平面1A BN ⊥平面11AA B B .2、（海安市2019届高三上学期期末）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥PC ，M 是AB 的中点，点D 在PB 上，MD ∥平面P AC ，平面P AB ⊥平面PMC ，△CPM 为锐角三角形，求证： ⑴D 是PB 的中点；⑵平面ABC ⊥平面PM C ．3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的中点，且A1F⊥B1C1．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）A1F//平面ADE．4、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AD＝1，P A＝AB＝2，点E是棱PB的中点．（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；（2）求二面角B－EC－D的余弦值．5、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）6、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DC＝2AB，平面PCD 平面PAD，△PAD是PABC DE（第15题图）正三角形，E 是PD 的中点． （1）求证：AE ⊥PC ； （2）求证：AE ∥平面PBC ．7、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D E F ，，分别是111B C AB AA ，，的中点． （1）求证：EF ∥平面1A BD ；（2）若1111=A B AC ，求证：平面1A BD ⊥平面11BB C C ．8、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：C 1F//平面ABE ．9、（（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末））如图, 在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面ABC ，90CAB ∠=︒，且1AC AD ==，2AB =，E 为BD 的中点． （1）求异面直线AE 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角A CE B --的余弦值．10、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。
(word完整版)江苏省苏州市2019届高三第一学期期末考试数学试卷
苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高三数学2019.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．▲ ．1.已知集合{1,2,3}A=，{3,4}B=，则集合A B=I▲ ．2.复数12iiz+=(i )为虚数单位的虚部是▲ ．3.某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60:80分的学生人数是▲ ．4.连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为▲ ．5.已知3sin()cosαπα-=，则tan()πα-的值是▲ ．6.如图所示的流程图中，若输入的,a b分别为4，3，则输出n的值为▲ ．7.在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(3,1)-，则该双曲线的离心率为▲ ．注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本调研卷共4页，包含填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）．本调研卷满分160分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．8.曲线2e xy x =+在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ▲ ．9.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,3)A ，(4,6)B ，且圆心在直线210x y --=上的圆的标准方程为 ▲ ．11.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010+S S S = ▲ ． 12.设函数22,0()2,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩若方程()3f x kx -=有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，,M N 分别是边,BC CD 上的两个动点，且BM DN MN +=，则AM AN u u u u r u u u rg 的最小值是 ▲ ．14．设函数22()||,f x ax x=-若对任意1(,0)x ∈-∞，总存在2[2,)x ∈+∞，使得21()()f x f x ≤，则实数a 的取值范围 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB BC ⊥，,E F 分别是11A C ，BC 的中点 （1） 求证:平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2） 求证：1//C F 平面ABE .▲ ▲ ▲16．（本题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，已知2cos 23b A c a =-. (1) 求B(2) 设函数3()cos sin()3f x x x π=+g，求()f A 的最大值 ▲ ▲ ▲如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6 （1） 求椭圆E 的标准方程； （2） 过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标.▲ ▲ ▲18．（本题满分16分）如图，长途车站P 与地铁站O 的距离为5千米，从地铁站O 出发有两条道路12,l l ，经测量，12,l l 的夹角为45o，OP 与1l 的夹角θ满足1tan 2θ=（其中02πθ<<）,现要经过P修一条直路分别与道路12,l l 交汇于,A B 两点，并在,A B 处设立公共自行车停放点. (1) 已知修建道路,PA PB 的单位造价分别为2/m 元千米和/m 元千米，若两段道路的总造价相等，求此时点,A B 之间的距离；(2) 考虑环境因素，需要对,OA OB 段道路进行翻修，,OA OB 段的翻修单价分别为/n 元千米和22/n 元千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定,A B 点的位置.▲ ▲ ▲已知函数32()4(,R)f x ax bx a a b =+-∈ （1） 当1a b ==时，求()f x 的单调增区间；（2） 当0a ≠，若函数()f x 恰有两个不同零点，求ba的值; （3） 当0a =时，若()ln f x x <的解集为(,)m n ，且(,)m n 中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围.▲ ▲ ▲20．（本题满分16分）定义：对任意*N n ∈，21n n n x x x +++-仍为数列{}n a 中的项，则称数列{}n x 为“回归数列”.(1) 已知*2(N n n a n =∈），判断{}n a 是否为“回归数列”，并说明理由；(2) 若数列{}n b 为“回归数列”，393,9b b ==，且对于任意*N n ∈，均有1n n b b +<成立① 求数列{}n b 的通项公式② 求所有的正整数,s t ，使得等式2123131s s t ss b b b ++-=+-成立 ▲ ▲ ▲苏州市2018-2019学年第一学期学业质量阳光指标调研卷数学Ⅱ（附加题）2019.121.【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．，若多做题，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A.选修4-2,矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵723m M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵172n M m --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求实数,m nB.选修4-4,坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程是=4cos ρθ，在以极点为原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.C.选修4-5,不等式选讲（本小题满分10分） 设,,a b c 都是正数，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)已知正四棱锥S ABCD -的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围城的三角形面积为ζ. (1) 求概率(2)P ζ=； (2) 求ζ的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)如图，四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是边长为1的正方形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，PA 与平面PBC 所成角的正弦值为217（1） 求侧棱PA 的长;（2） 设E 为AB 中点，若PA AB ≥，求二面角B PC E --的余弦值.。
江苏省常州市19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
江苏省常州市19-20学年高三上学期期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设集合A ={1,2，3}，B ={x|x >1}，则A ∩B =______2. 已知复数z 满足iz+i =2−i ，则z = ______ ． 3. 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为______．4. 函数y =√2x −8的定义域为_________．5. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_________．6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________．7. 已知函数f(x)={2−x,x <1x 2−x,x ≥1，则f(f(0))的值为______ ．8. 已知函数y =acos(2x +π3)+3，x ∈[0,π2]的最大值为4，则正实数a 的值为______ ．9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，a 1，S 2，5成等差数列，则数列{a n }的公比q = ______ ． 10. 已知tanα=2，则tan2α=______． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点A(2,0)到渐近线的距离为√2，则b 的值为______．12. 若a >0，b >0，且2a +b =1，则S =2√ab −4a 2−b 2的最大值是___________.13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1,0)，B(4,0)，若直线x −y +m =0上存在唯一的点P 使得PB =2PA ，则m 的值是______．14. 如图，在△ABC 中，已知，AB =2，AC =4，点D 为边BC 上一点，满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是AD 上一点，满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BE =________．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且sinAcosC +cosAsinC =√32，若b =√7，△ABC 的面积S △ABC =34√3，求a +c 的值．16. 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别是AB 和PC的中点．(1)求证：AB ⊥平面PAD ； (2)求证：EF//平面PAD ．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1,0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记△AFP与△BFQ的面积分别为S1，S2，若S1S2=32，求直线l的方程．18.如图，将边长为6的等边三角形各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器．(1)若这个容器的底面边长为x，容积为y，写出y关于x的函数关系式并注明定义域；(2)求这个容器容积的最大值．19.已知函数f(x)=−x22+(a−1)x+(2−a)lnx+32(a∈R)．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调区间．20.已知数列{a n}，{c n}满足条件：a1=1,a n+1=2a n+1,c n=1(2n+1)(2n+3)．(1)求证数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{c n}的前n项和T n，并求使得a m>1T n对任意n∈N+都成立的正整数m的最小值．21.平面上的点A(2,−1)在矩阵M=[a1−1b]对应的变换作用下得到点B(3,−4)．(1)求实数a，b的值；(2)求矩阵M的逆矩阵M−1．22.在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点(3√2,π)，求圆C的极坐标方程．423.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示.据统计，随机变量X的概率分布如表所示．求a的值和X的数学期望．24.已知集合A={x|x2−4x+3=0}，B={x|mx−3=0}，且B⊆A，求实数m的集合．-------- 答案与解析 --------1.答案：{2,3}解析：进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．解：∵A={1,2，3}，B={x|x>1}；∴A∩B={2,3}．故答案为：{2,3}．2.答案：−15−35i解析：本题主要考查了复数的四则运算，注意i2=−1，属于基础题．将等式变形，利用复数的运算法则即可解答．解：由题意i=(2−i)(z+i)，整理得i=2z+2i−zi+1，所以z=1+i−2+i =(1+i)(−2−i)5=−15−35i；故答案为：−15−35i．3.答案：7解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S=1，i=1，满足条件i<4，执行循环体，S=2，i=2，满足条件i<4，执行循环体，S=4，i=3，满足条件i<4，执行循环体，S=7，i=4，此时，不满足条件i<4，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．4.答案：[3,+∞)解析：本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．因为是偶次根式，所以被开方数为非负数，列出不等式解除x范围即得定义域．解：要是原函数有意义，则2x−8≥0得，x≥3，所以原函数的定义域为[3,+∞).故答案为：[3,+∞)．5.答案：53解析：本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：x−=16(6+7+8+8+9+10)=8，∴该组数据的方差为：S2=16[(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=53．故答案为：53．6.答案：35解析：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出基本事件总数n =C 52=10，该同学恰好选中1文1理包含的基本事件总数m =C 31C 21=6，由此能求出该同学恰好选中1文1理的概率．解：某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类， 某同学从中选修2门课程，基本事件总数n =C 52=10，该同学恰好选中1文1理包含的基本事件总数m =C 31C 21=6．∴该同学恰好选中1文1理的概率p =m n=610=35．故答案为：35．7.答案：2解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 由已知得f(0)=2，从而f(f(0))=f(2)，由此能求出结果． 解：∵函数f(x)={2−x,x <1x 2−x,x ≥1，∴f(0)=2−0=2，f(f(0))=f(2)=22−2=2， 故答案为2．8.答案：2解析：由x ∈[0,π2]⇒2x +π3∈[π3,4π3]，利用余弦函数的单调性，结合题意即可求得实数a 的值．本题考查复合三角函数的单调性，考查转化与运算能力，属于中档题． 解：∵x ∈[0,π2]， ∴2x +π3∈[π3,4π3]，∴−1≤cos(2x+π3)≤12，当a>0时，−a≤acos(2x+π3)≤12a，∵y max=4，∴12a+3=4，∴a=2；当a<0时，12a≤acos(2x+π3)≤−a同理可得3−a=4，∴a=−1．综上所述：正实数a的值为2．故答案为2．9.答案：2解析：由a1，S2，5成等差数列，可得2S2=a1+5，即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：∵a1=1，a1，S2，5成等差数列，∴2S2=a1+5，∴2(1+q)=1+5，解得q=2．故答案为2．10.答案：−43解析：本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题．由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．解：∵tanα=2，∴tan2α=2tanα1−tan2α=41−4=−43，故答案为：−43．11.答案：2解析：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x ， 则右顶点A(2,0)到渐近线的距离为d =√a 2+b 2=√4+b 2=√2， 解得b =2， 故答案为：2先求出双曲线的渐近线方程，求出点到直线的距离即可求出b 的值． 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题12.答案：√2−12解析：本小题主要考查函数单调性的应用、一元二次不等式的解法、二次函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查换元的思想、化归与转化思想．属于中档题．由2a +b =1 得4a 2+b 2=1−4ab ，从而得到S =2√ab −4a 2−b 2=4ab +2√ab −1，令√ab =t >0，建立S 关于t 的二次函数，利用二次函数性质可得S 的最大值． 解：∵2a +b =1，∴4a 2+b 2=1−4ab ， ∴S =2√ab −4a 2−b 2=4ab +2√ab −1， 令√ab =t >0， 则S =4(t +14)2−54，∵2a +b =1，∴1≥2√2ab ⇒0<t ≤√24故当t =√24时，S 有最大值为：√2−12故答案为√2−12．13.答案：±2√2解析：本题考查了两点间的距离公式和直线与圆的位置关系，属中档题．先求出点P 的轨迹方程为圆：x 2+y 2=4，然后问题转化为直线x −y +m =0与圆相切．解：设P(x,y)，则由PB =2PA 得√(x −4)2+y 2=2√(x −1)2+y 2，化简得：x 2+y 2=4， 依题意得：直线x −y +m =0与圆x 2+y 2=4有唯一交点，即相切， 所以√1+1=2，解得m =±2√2，故答案为±2√2．14.答案：2√219解析：本题考查向量加法的平行四边形法则，等腰三角形的中线也是高线，余弦函数的定义，向量数乘的几何意义，以及余弦定理．可作图：延长AB 到F ，使得AF =2AB ，并连接CF ，取CF 的中点O ，连接AO ，则可以说明A ，D ，O 三点共线，且得到AO ⊥CF ， ∠CAO=π6，根据条件便可求出 AO=2√3，从而可得到AD =4√33.进一步便由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 得出AE =8√39，这样在△ABE 中由余弦定理即可求出BE 的值．解：如图，延长AB 到F ，使AF =2AB ，连接CF ，则：AC =AF ； 取CF 中点O ，连接AO ，则：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴A ，D ，O 三点共线； 又∠BAC =π3；∴∠CAO =π6，且AO ⊥CF ，AC =4； ∴AO=2√3； ∴AD=4√33；又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AE=2ED=23AD=8√39，且AB =2， ∠BAE=π6； ∴在△ABE 中，由余弦定理得BE 2=4+6427−2×2×8√39×√32=2827；∴BE =2√219． 故答案为2√219．15.答案：解：在△ABC 中，由条件sinAcosC +cosAsinC =√32可知，sin(A +C)=√32， 即sinB =√32，∵S △ABC =12acsinB =34√3，∴ac =3．根据b =√7，若B 为锐角，则cosB =12，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，得b 2=(a +c)2−2ac −2accosB ，于是，7=(a +c)2−2⋅3(1+12)，∴a +c =4．若B 为钝角，则cosB =−12，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，得b 2=(a +c)2−2ac −2accosB ， 于是，7=(a +c)2−2⋅3(1−12)，解得a +c =√10．此时，∵(a −c)2=(a +c)2−4ac =10−12=−2，矛盾，故a +c =√10是不可能的，即B 不能为钝角，综上可得，a +c =4．解析：由条件可知sin(A +C)=√32，根据△ABC 的面积S △ABC =34√3，求得ac =3，分B 为锐角和钝角两种情况，由余弦定理求得a +c 的值，综合可得结论．本题主要考查余弦定理，两角和差的正弦公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．16.答案：证：(1)∵侧棱PA 垂直于底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB ．又底面ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB ， ∵PA ∩AD =A ，PA,AD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ．(2)取PD 的中点G ，∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点， ∴FG 是三角形CPD 的中位线， ∴FG//CD ，且FG =12CD ．∵底面ABCD 是矩形，E 是AB 的中点，∴AE//CD ，且AE =12CD ． ∴FG//AE ，且FG =AE ．∴AEFG 为平行四边形，∴AG//EF ． ∵EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， ∴EF//平面PAD ．解析：本题主要考查了线面垂直的判定和线面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．(1)利用线面垂直的性质可证PA ⊥AB ，又ABCD 为矩形，AB ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理可证AB ⊥平面PAD ；(2)取PD 的中点G ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点，可证明AEFG 为平行四边形，即可证明EF//平面PAD ．17.答案：解：(1)由F(1,0)，得c =1，由点P 到两个焦点的距离之和为4，得2a =4，即a =2， ∴b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)可得S 1=12|AF|⋅|PF|sin∠AFP =32|PF|sin∠AFP ，S 2=12|BF|⋅|QF|sin∠BFQ =12|QF|sin∠BFQ由S 1S 2=32，得|QF|=2|PF|，即y Q =−2y P (y P >0) 设直线PQ 为：x =my +1，由{x =my +1x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，∴y P +y Q =−6m 3m 2+4①，y P ⋅y Q =−93m 2+4②，又y Q =−2y P ③ 由①和③求得：{y P =6m3m 2+4y Q =−12m 3m 2+4，代入②求得m 2=45，由y P>0可知m>0，∴m=2√55，所以直线PQ的方程：x=2√55y+1，化为一般式为：√5x−2y−√5=0．解析：(1)由椭圆方程求出a，b，c，即可得椭圆C的标准方程．(2)由S1S2=32，得|QF|=2|PF|，即y Q=−2y P(y P>0)，设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，求得P，Q的纵坐标，进而可得m的方程，解方程可得m，进而得到直线l的方程．本题考查直线的方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，解方程求交点，考查存在性问题的解法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)∵容器的底面边长为x，则高为√3(6−x)6(0<x<6)，∴容积y=√34x2⋅√3(6−x)6=6x2−x38(0<x<6)；(2)由(1)得，y′=18(−3x2+12x)(0<x<6)，令y′=0，则x=0(舍)，或x=4，∴函数y在(0,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，∴当x=4时，y max=4，∴这个容器的体积最大为4．解析：本题考查了棱柱的体积和利用导数研究函数的单调性与最值，属基础题．根据已知中箱子的制作方法，y的解析式后求导，根据单调性得到最值点即可．19.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=−x22+(a−1)x+(2−a)lnx+32(a∈R)，∴f(1)=a，f′(x)=−x+a−1+2−ax，f′(1)=0，∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=a；(Ⅱ)∵f′(x)=−x+a−1+2−ax=−x2+(a−1)x+2−ax(x>0)，∴f′(x)>0⇔−x2+(a−1)x+2−a>0，f′(x)<0⇔−x2+(a−1)x+2−a<0．令g(x)=−x2+(a−1)x+2−a=0，解得x1=1，x2=a−2．①当a>3时，x2>x1，g(x)>0的解集是{x|1<x<a−2}，g(x)<0的解集是{x|0<x<1或x>a−2}，∴f(x)的单调增区间是(1,a−2)，单调减区间是(0,1)，(a−2,+∞)；②当a=3时，x2=x1，对任意的x>0，都有g(x)≤0，∴f(x)的单调减区间是(0,+∞)；③当2<a<3时，0<x2<x1，g(x)>0的解集是{x|a−2<x<1}，g(x)<0的解集是{x|0<x<a−2或x>1}，∴f(x)的单调增区间是(a−2,1)，单调减区间是(0,a−2)，(1,+∞)；④当a≤2时，x2≤0，g(x)>0的解集是{x|0<x<1}，g(x)<0的解集是x>1，∴f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,+∞)．综上所述，当a>3时，f(x)的单调增区间是(1,a−2)，单调减区间是(0,1)，(a−2,+∞)；当a=3时，f(x)的单调减区间是(0,+∞)，没有单调增区间；当2<a<3时，f(x)的单调增区间是(a−2,1)，单调减区间是(0,a−2)，(1,+∞)；当a≤2时，f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,+∞)．解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．20.答案：(1)证明：∵a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2(a n+1)，∵a1=1，a1+1=2≠0，∴数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n+1=2×2n−1，则a n=2n−1；(2)解：∵c n=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，∴T n=12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)=n6n+9．∴1T n =6n+9n=6+9n，n∈N∗，则6+9n≤15．∴当n=1时，1T n取得最大值15．要使得a m>1Tn对任意n∈N∗恒成立，结合(1)的结果，只需2m−1>15，由此得m >4．∴正整数m 的最小值是5．解析：(1)由已知数列递推式可得数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列，求出等比数列的通项公式可得数列{a n }的通项公式；(2)由裂项相消法求出T n ，进一步求得1T n，求出1T n的最大值，结合a m >1T n对任意n ∈N ∗恒成立求得正整数m 的最小值．本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．21.答案：解：(1)由题意，知[a 1−1b ]⋅[2−1]=[2a −1−2−b ]=[3−4]， 则{2a −1=3−2−b =−4，解得a =2，b =2； (2)由(1)知，矩阵M =[21−12]，设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，∴M ⋅M −1=[21−12]⋅[mn pq ]=[2m +p 2n +q −m +2p −n +2q ]=[1001]， ∴{2m +p =12n +q =0−m +2p =0−n +2q =1，解得m =25，n =−15，p =15，q =25， ∴M −1=[25−151525]．解析：(1)由[a 1−1b ]⋅[2−1]=[3−4]，列方程组，求出a 、b 的值； (2)设矩阵M 的逆矩阵为M −1=[mn p q ]，利用M ⋅M −1=[1001]，列方程组求出m 、n 、p 和q 的值即可．本题考查了矩阵的变换与计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22.答案：解：法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为ρ=acos θ， 又因为点(3√2,π4)在圆C 上， 所以3√2=acos π4，解得a =6，所以圆C的极坐标方程为ρ=6cosθ．)的直角坐标为(3,3)，法二：点(3√2,π4因为圆C过点(0,0)，(3,3)，所以圆心C在直线为x+y−3=0上，又圆心C在极轴上，所以圆C的直角坐标方程为(x−3)2+y2=9，所以圆C的极坐标方程为ρ=6cosθ．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，属基础题．)在圆C上，代入求a即可．法一：设圆C的极坐标方程为ρ=acosθ，又因为点(3√2,π4)的直角坐标为(3,3)，圆C过(0,0)，(3,3)，则圆心C在直线为x+y−3=0上，即法二：点(3√2,π4可求出圆C的直角坐标方程，即可求解．23.答案：解：由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解得a=0.2．所以X的概率分布为：所以E(X)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7．解析：本题主要考查离散型随机变量的期望，先根据概率的性质，求出a的值，从而得到分布列，再由期望公式计算即可得到答案．24.答案：{0,1，3}解析：本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题．由题意可知A={1,3}，再对m进行讨论，使其满足B⊆A，结合集合的包含关系即可求解．解：A={x|x2−4x+3=0}={1,3}，当m=0时，B=⌀，满足B⊆A．}，当m≠0时，B={x|mx−3=0}={x|x=3m要使B⊆A，则m=1或3，综上实数m的集合为{0,1，3}．。
2019届江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题(解析版)
2019届江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题一、填空题1．已知集合，则________.【答案】【解析】两个集合取交集可直接得到答案.【详解】集合，则故答案为：【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．已知复数满足（是虚数单位），则复数________.【答案】【解析】利用复数的商的运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可得到答案.【详解】z==-i故答案为：-i【点睛】本题考查复数的商的运算，属于简单题.3．已知5位裁判给某运动员打出的分数为，且这5个分数的平均数为，则实数________.【答案】9.5【解析】根据平均数的定义列方程求出x的值．【详解】数据9.1，9.3，x，9.2，9.4的平均数为×（9.1+9.3+x+9.2+9.4）＝9.3，解得x＝9.5．故答案为：9.5．【点睛】本题考查平均数的定义与计算，是基础题．4．一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的值为，则输入的实数的值为________.【答案】3【解析】执行该算法后输出y＝，令y＝1求出对应x值即可．【详解】执行如图所示的算法知，该算法输出y＝当x≥1时，令y＝x2﹣2x﹣2＝1，解得x＝3或x＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜1时，令y＝＝1，此方程无解；综上，则输入的实数x的值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查算法与应用问题，考查分段函数的应用问题，是基础题．5．函数y=______．0,e【答案】(]【解析】分析：利用真数大于零与被开方式大于等于零布列不等式组，解出范围即可.详解：函数()f x ={ 10x lnx -≥＞, 解得0＜x≤e ． 故答案为： (]0,e ．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.【答案】【解析】先求出基本事件总数n 和该同学恰好选中1文1理包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式求解即可. 【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类， 某同学从中选修2门课程，基本事件总数n ＝＝10， 该同学恰好选中1文1理包含的基本事件总数m ＝＝6．∴该同学恰好选中1文1理的概率p ＝＝．故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知双曲线的离心率为2，直线经过双的焦点，则双曲线的渐近线方程为________.【答案】【解析】利用双曲线的离心率以及焦距，列出方程，求解渐近线方程即可．【详解】双曲线的离心率为2，=2，直线x+y+2＝0经过双曲线C的焦点，可得c＝2，所以a＝1，由则b＝，又双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线C的渐近线方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题. 8．已知圆锥，过的中点作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱的体积与圆锥的体积的比值为________.【答案】【解析】设出圆锥的底面半径和高，分别求出圆柱和圆锥的体积，计算出比值．【详解】设圆锥SO的底面半径为r，高为h，则圆柱PO的底面半径是，高为，∴V SO＝πr2h，V PO＝π（）2•，∴=．故答案为：．【点睛】本题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，是基础题．9．已知正数满足，则的最小值为________.【答案】4【解析】将代数式与相乘，利用基本不等式可求出最小值．【详解】由基本不等式可得，所以，当且仅当，即当y＝x2时，等号成立，因此，的最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行灵活配凑是解本题的关键，同时考查计算能力，属于基础题．10．若直线与曲线（是自然对数的底数）相切，则实数________.【答案】【解析】根据题意，设切点为（m，e m），求y＝e x的导数，由导数几何意义可得k，即得切线方程，结合切线kx﹣y﹣k＝0可得m，从而得到k．【详解】根据题意，若直线kx﹣y﹣k＝0与曲线y＝e x相切，设切点为（m，e m）曲线y＝e x，其导数y′＝e x，则切线的斜率k＝y′|x＝m＝e m，则切线的方程为y﹣e m＝e m（x﹣m），又由k＝e m，则切线的方程为y﹣k＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣mk+k＝0，又由切线为kx﹣y﹣k＝0，则有﹣m+1＝﹣1，解可得m＝2，则k＝e m＝e2，故答案为：e2．【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．11．已知函数是偶函数，点是函数图象的对称中心，则最小值为________.【答案】【解析】由函数是偶函数得到φ的可能取值，再由函数过点（1，0）得出ω+φ的可能取值，从而得出ω的表达式，再对参数赋值即可得出所求最小值【详解】∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，∴φ＝,∵点（1，0）是函数y＝f（x）图象的对称中心∴sin（ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k2π，k2∈Z，∴ω＝k2π﹣φ＝（k2﹣k1）π﹣．又ω＞0，所以当k2﹣k1＝1时，ω的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查正弦类函数的奇偶性与对称性，解答的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，能根据三角函数的图象与性质得出参数φ与ω的可能取值，再通过赋值的手段得出参数的最值12．平面内不共线的三点，满足，点为线段的中点，的平分线交线段于，若，则________.【答案】【解析】点为线段的中点可得，通过计算，即得∠AOB，由正弦定理可得：，，即可求解．【详解】如图，∵点C为线段AB的中点，∴，解得cos∠AOB＝﹣，∴∠AOB＝120°．由余弦定理可得AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB cos120°＝7,AB=由正弦定理可得：⇒sin A＝．由正弦定理可得：，∵，∠AOD＝60°．∴．故答案为：．【点睛】本题考查向量的线性运算，考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．13．过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为________.【答案】【解析】根据题意推得k l+k AP＝0，然后设P（x0，y0），解方程k l+k AP＝0可得x0，再代入圆的方程可解得y0，从而求出直线l方程．【详解】由以为直径的圆与直线有异于的交点，得k AN•k l＝﹣1，k AN•k AP＝1，所以k l+k AP＝0，设P（x0，y0）（y0≠0）则k l＝，k AP＝，∴+＝0，解得x0＝﹣，又x02+y02＝1，所以y0＝±，k l＝所以直线l的方程为：y＝x故答案为：y＝x【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，考查直线与直线垂直的性质的应用，属中档题．14．数列满足，且数列的前项和为，已知数列的前项和为1，那么数列的首项________.【答案】【解析】由数列分组求和可得a1+a2+…+a2018，由数列{b n}的前n项和以及数列的递推式可得a n与a1的关系，求和解方程即可得到所求值．【详解】数列{a n﹣n}的前2018项和为1，即有（a1+a2+…+a2018）﹣（1+2+…+2018）＝1，可得a1+a2+…+a2018＝1+1009×2019，由数列{b n}的前n项和为n2，可得b n＝2n﹣1，，a2＝1+a1，a3＝2﹣a1，a4＝7﹣a1，a5＝a1，a6＝9+a1，a7＝2﹣a1，a8＝15﹣a1，a9＝a1，…，可得a1+a2+…+a2018＝（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+…+（4025+2+4031）+（a1+4033+a1）＝505+×505×504×8+2×504+504×7+×504×503×8+2a1＝1+1009×2019，解得a1＝．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的求和公式，以及数列的分组求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．二、解答题15．如图，正三棱柱中，点分别是棱的中点.求证：（1）//平面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）设与的交点为，连，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得CM∥平面AB1N．（2）由已知证明平面，因为，可得平面，由面面垂直的判定定理即可得到证明.【详解】（1）设与的交点为，连，在正三棱柱中，为的中点，，且，依题意，有，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面.（2）在正三棱柱中，平面，∴，又，∴平面，因为，∴平面，平面，∴平面平面.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．已知中，分别为三个内角的对边，且.（1）求角；（2）若，且，求的周长.【答案】（1）；（2）6.【解析】(1)由余弦定理和同角三角函数关系式化简即可得到答案；（2）利于（1）所得A角和两角差的正切公式化简，可得角B，可确定三角形为等边三角形，从而可得周长.【详解】（1）由已知，得：，由余弦定理，得：，即，又,所以.（2），，化简，得：，所以，；所以，三角形为等边三角形，其周长为：.【点睛】本题考查余弦定理和两角和差公式的简单应用，考查计算能力，属于基础题.17．已知，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点在椭圆上，其中，且点是椭圆位于第一象限的交点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过轴上一点的直线与椭圆相切，与椭圆交于点，已知，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意得c=b,,将点代入椭圆C1，可得a，b，从而得到椭圆的方程；（2）设直线l为y＝kx+m，代入椭圆C2，由判别式为0，可得m，k的关系式，由直线方程和椭圆C1方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，可得m,k 的第二个关系，解方程组可得直线方程．【详解】（1）如下图所示，依题意，得，所以，，所以，椭圆为：，将点代入，解得：，所以，.（2）设斜率为，则直线方程为：，设，，，，，又或，故方程为：或.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式法和韦达定理、以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形），整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴米，两根竖轴米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为米.（1）若，且两根横轴之间的距离为米，求景观窗格的外框总长度；（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过米，当景观窗格的面积（多边形的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中的大小与的长度.【答案】（1）米；（2）的长度为米.【解析】（1）利用直角三角形分别求图中的各个边的长度求和即可得到答案；（2）设，景观窗格的面积为，将面积用x和y表示出来，利用已知条件和三角函数的有界性可得最值，从而得到答案.【详解】（1）米，，则米，米，故总长度米；答：景观窗格的外框总长度为米；（2）设，景观窗格的面积为，则，，当且仅当即时取等，，由知：，答：当景观窗格的面积最大时，的长度为米.【点睛】本题考查三角函数在实际生活中的应用，考查函数的最值问题，考查分析推理和计算能力，属于中档题.19．已知数列中，，且.（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析，；（2）不存在.【解析】（1）推导出a n+1+1＝﹣3（a n+1），n∈N．a1+1＝2，由此能证明{a n+1}是以2为首项，﹣3为公比的等比数列，可求数列{a n}通项公式．（2）假设a m，a n，a p构成等差数列，m≠n≠p，则2a n＝a m+a p，利用（1）的通项公式进行推导不满足2a n＝a m+a p，从而数列{a n}中不存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列．【详解】（1）因为，所以，因为，所以数列是以2为首项，以-3为公比的等比数列，所以，即；（2）假设存在三项按一定顺序重新排列后成等差.①若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.②若，则，整理得，两边同除以，可得，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.③若，则，整理得，两边同除以，可得，等式左边是-3的整数倍，右边不是-3的整数倍，故等式不成立；综上，不存在不同的三项符合题意.【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列能否构成等差数列的判断与求法，考查构造法、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知函数，函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；（3）若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）代入a值，求函数的导数，由导数的几何意义求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（2）求导数，通过讨论a的范围，求函数单调区间，结合函数单调性和函数的最值可求a的范围；（3）求g（x）解析式，求函数导数，讨论函数单调性，由函数单调性和最值可确定a的范围．【详解】（1）当时，，则，所以，所以切线方程为.（2），①当时，恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；②当时，令，解得，列表如下：由表可知，.（i）当，即时，，所以符合题意；（ii）当，即时，，因为，且，所以，故存在，使得，所以不符题意；（iii）当，即时，，因为，设，则，所以单调递增，即，所以，又因为，所以，故存在，使得，所以不符题意；综上，的取值范围为.（3），则，①当时，恒成立，所以单调递增，所以，即符合题意；②当时，恒成立，所以单调递增，又因为，所以存在，使得，且当时，，即在上单调递减，所以，即不符题意；综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，综合性较强．21．已知点在矩阵对应的变换作用下得到的点，求：（1）矩阵；（2）矩阵的特征值及对应的特征向量.【答案】（1）；（2）时，对应特征向量：；时，对应特征向量：.【解析】（1）根据矩阵的乘法公式计算即可；（2）写出矩阵的特征多项式，令＝0，得矩阵的特征值，即可得到特征向量.【详解】（1），所以，，解得：,所以，.（2）矩阵的特征多项式，令＝0，得矩阵的特征值：或，时，，得一非零解：，对应特征向量：；时，，得一非零解：，对应特征向量：.【点睛】本题给出二阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题．22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，求直线被曲线所截的弦长.【答案】【解析】求直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程，得到曲线C是以C（1，1）为圆心，以r＝为半径的圆，求圆心C到直线l的距离d，由弦长公式即可得到答案.【详解】直线的，圆C化为：,即，圆心为（1,1），半径R＝,圆心到直线距离为：,所截弦长为：.【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．已知，求证：.【答案】证明见解析【解析】将所证不等式利用三次基本不等式即可得到证明.【详解】证明：，，，上面三式相加，得：，所以，.【点睛】本题考查基本不等式在证明题中的应用，属于基础题.24．如图，在空间直角坐标系中，已知正四棱锥的高，点和分别在轴和轴上，且，点是棱的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出和平面P AB的法向量，利用向量法能求出直线AM与平面P AB所成角的正弦值．（2）求平面PBC的法向量和平面P AB的法向量，利用向量法求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【详解】（1）P（0，0，2），A（0，－1，0），B（1，0，0），M（0，，1），＝（0，1，2），＝（1，1，0），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝2，y＝－2，z＝1，＝（2，－2，1），＝（0，，1），，得cosθ＝＝,即线与平面所成角的正弦值为.（2）C（0，1，0），P（0，0，2），B（1，0，0）＝（－1，0，2），＝（－1，1，0），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝2，y＝2，z＝1，＝（2，2，1），，得cosα＝，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面的正弦值和二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25．是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】【解析】利用数列的的分组求和法对等式左边的式子求和，然后根据对应项的系数相等可得答案.【详解】，＝＝+＋＝＝所以，，.【点睛】本题考查数列分组求和方法的应用，考查等差数列的求和公式，属于基础题.。
2018-2019学年江苏省常州市高三(上)期末数学试卷
2018-2019学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0，1}，B={-1，1}，则A∩B=______．2.若复数z满足z（1+i）=1-i（i是虚数单位），则复数z=______．3.已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1，9.3，x，9.2，9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x=______．4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的y值为1，则输入的实数x的值为______．5.函数f（x）=的定义域为______．6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为______．7.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，直线x+y+2=0经过双曲线C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为______．8.已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为______．9.已知正数x，y满足，则的最小值为______．10.若直线kx-y-k=0与曲线y=e x（e是自然対数的底数）相切，则实数k=______．11.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，点（1，0）是函数y=f（x）图象的对称中心，则ω的最小值为______．12.平面内不共线的三点O，A，B，满足||=1，||=2，点C为线段AB的中点，∠AOB的平分线交线段AB于D，若||=，则||=______．13.过原点的直线与圆交于两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于Q的交点N，且直线与直线的斜率之积等于1，那么直线的方程为_________________________.14.数列{a n}，{b n}满足（n∈N*），且数列{b n}的前n项和为n2．已知数列{a n-n}的前2018项和为1，那么数列{a n}的首项a1=______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别是棱AB，CC1的中点．（1）求证：CM∥平面AB1N；（2）求证：平面A1BN⊥平面AA1B1B．16.已知△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且=a2．（1）求角A；（2）若tan B tan C=3，且a=2，求△ABC的周长．17.已知，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：的焦点在椭圆C2：上，其中a＞b＞0，且点P（，）是椭圆C1，C2位于第一象限的交点．（1）求椭圆C1，C2的标准方程；（2）过y轴上一点P的直线l与椭圆C2相切，与椭圆C1交于点A，B，已知，求直线l的斜率．18.某公园要设计如图一所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形ABCDEFGH），整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF=BE=1.6米，两根竖轴CH=DG=1.2米，记景观窗格的外框（图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为l米．（1）若∠ABC=，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度；（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC长度．19.已知数列{a n}中，a1=1，且a n+1+3a n+4=0，n∈N*．（1）求证：{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，说明理由．20.已知函数m（x）=x2，函数n（x）=a ln x+1（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=n（x）在点（1，n（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）=m（x）-n（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=n（x）+e x-ex≥0对x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．（e 是然对数的底数，e≈2.71828…）21.已知点（1，2）在矩阵A=对应的变换作用下得到的点（7，6），求：（1）矩阵A；（2）矩阵A的特征值及对应的特征向量．22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），求直线l被曲线C所截的弦长．23.已知a＞0，b＞0，求证：a+b+1≥++．24.如图，在空间直角坐标系O-xyz中，已知正四棱锥P-ABCD的高PO=2，点B，D和C，A分别在x轴和y轴上，且AB=，点M是棱PC的中点．（1）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角A-PB-C的余弦值．25 是否存在实数a，b，c，使得等式1•3•5+2•4•6+……+n（n+2）（n+4）=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．2018-2019学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷答案和解析【答案】1. {1}2. -i3. 9.54. 35. （0，e]6.7. =08.9. 410. e211.12.13. y=±14. 1.515. 证明：（1）以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面BCC1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=a，BB1=b，则C（0，0，0），B（a，0，0），A（，0，），M（，0，），B1（a，b，0），N（0，，0），=（，0，），=（，-，），=（a，，0），设平面AB1N的法向量=（x，y，z），则，取a=1，得=（1，-，-），=-0-=0，且CM⊄平面AB1N，∴CM∥平面AB1N．（2）A1（，b，），=（a，-，0），=（，，），设平面A1BN的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（，-），=（-，0，），=（0，b，0），设平面AA1B1B的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，0，1），∵==0，∴平面A1BN⊥平面AA1B1B．16. 解：（1）=a2，即有b2+c2-a2=2bc cos A=bc sin A，可得tan A==，由0＜A，π，可得A=；（2）由A=，B+C=，可得tan（B+C）==-，由tan B tan C=3，可得tan B+tan C=2，可得tan B=tan C=，则B=C=，则三角形ABC为等边三角形，可得三角形的周长为3a=6．17. 解：（1）椭圆C1：的焦点为（±，0），由题意可得a2-b2=b2，即a2=2b2，由P在椭圆上可得+=1，解得a=，b=1，可得椭圆C1：+y2=1；C2：+x2=1；（2）过y轴上一点P的直线为y=kx+t，由可得（2+k2）x2+2ktx+t2-2=0，由△=0，即4k2t2-4（2+k2）（t2-2）=0，可得t2=2+k2，①由可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，由16k2t2-8（1+2k2）（t2-1）＞0，即t2＜1+2k2，可得k＞1或k＜-1；设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，由，可得x1=x2，即有x2=-，x22=，②①代入②可得k4-6k2+8=0，解得k=±2或k=±．则直线l的斜率为±2或±．18. 解：（1）由题意可知AB=0.6，∠MBC=∠ABC-∠ABM=30°，CM=（HC-AB）=（1.2-0.6）=0.3，∴BC=2CM=0.6，BM=CM=．∴CD=BE-2BM=1.6-=，∴景观窗格的外框总长度l=2AB+2CD+4BC=1.2++2.4=米．（2）设BC=a，∠MBC=θ，则BM=a cosθ，CM=a sinθ，∴AB=1.2-2a sinθ，CD=1.6-2a cosθ，∴l=4a+2.4-4a sinθ+3.2-4a cosθ=5.6-4a sinθ-4a cosθ+4a≤5，∴4a（sinθ+cosθ-1）≥，即a≥．景观窗格的面积S=1.2×1.6-4S△BCM=-2a2sinθcosθ≤-，当且仅当4a（sinθ+cosθ-1）=时取等号．令t=sinθ+cosθ=sin（），则1＜t≤，sinθcosθ=，∴S≤-=-（1+）≤-（1+）=-．当且仅当t=即θ=时取等号．∴当θ=时，a==．∴当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH的面积）最大时，∠ABC=，BC=．19. 证明：（1）数列{a n}中，a1=1，且a n+1+3a n+4=0，n∈N*．∴a n+1=-3a n-4=0，n∈N*．∴a n+1+1=-3（a n+1），n∈N*．∵a1+1=2，∴{a n+1}是以2为首项，-3为公比的等比数列，∴a n+1=2×（-3）n-1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2×（-3）n-1-1．解：（2）假设a m，a n，a p构成等差数列，m≠n≠p，则2a n=a m+a p，即4×（-3）n-1-2=2×（-3）m-1-1+2×（-3）p-1-1，∴2（-3）n=（-3）m+（-3）p，∵m≠n≠p，且m，n，p∈N*，∴2（-3）n≠（-3）m+（-3）p，∴数列{a n}中不存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列．20. 解：（1）当a=2时，n（x）=2ln x+1，则n′（x）=，故n（1）=1，n′（1）=2，故切线方程是：y=2x-1；（2）f（x）=x2-a ln x-1，f′（x）=，①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）递增，∵f（1）=0，∴f（x）有唯一两点，即a≤0符合题意；②当a＞0时，令f′（x）=0，解得：x=，列表如下：，，故f（x）min=f（），（i）当=1即a=2时，f（x）min=f（1）=0，故a=2符合题意，（ii）当＜1即0＜a＜2时，f（）＜f（1）=0，∵f（）=＞0，且＜1，故＜，故存在x1∈（，），使得f（x1）=f（1）=0，故0＜a＜2不合题意，（iii）当＞1即a＞2时，f（）＜f（1）=0，∵f（a-1）=a（a-2-ln（a-1）），设a-1=t＞1，a-2-ln（a-1）=t-1-ln t=h（t），则h′（t）=1-＞0，故h（t）递增，即h（t）＞h（1）=0，故f（a-1）＞0，又a-1＞1，故a-1＞，故存在x2∈（，a-1），使得f（x2）=f（1）=0，故a＞2不合题意，综上，a的范围是（-∞，0]∪{2}；（3）g（x）=a ln x+e x-ex+1，g′（x）=+e x-e，g″（x）=e x-，①当a≥0时，g′（x）≥0恒成立，故g（x）递增，故g（x）≥g（1）=1，即a≥0符合题意，②当a＜0时，g″（x）＞0恒成立，g′（x）递增，又g′（1）=a＜0，g′（ln（e-a））=-a=a•＞0，故存在x0∈（1，ln（e-a）），使得g′（x0）=0，且当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）递减，故g（x0）＜g（1）=0，即a＜0不合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．21. 解：（1）由题意，可知：•=．整理，得：=，即：，解得：．∴矩阵A=．（2）由题意，可知：矩阵A的特征多项式f（λ）==（λ-1）（λ-2）-6=λ2-3λ-4=（λ+1）（λ-4）．令f（λ）=0，即：（λ+1）（λ-4）=0．解得：λ=-1，或λ=4．①当λ=-1时，相应的线性方程组为：，取其中一个非零解为：．∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为：．②当λ=4时，相应的线性方程组为：，取其中一个非零解为：．∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为：．综上所述，可知：矩阵A的属于特征值为-1和4，相应的特征向量为．和．22. 解：∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为x--1=0，∵曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），即ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=2，∴曲线C是以C（1，1）为圆心，以r=为半径的圆，∴圆心C（1，1）到直线l的距离d==，∴直线l被曲线C所截的弦长为2=2=．23. 证明：知a＞0，b＞0，由柯西不等式可得（a+b+1）（b+1+a）≥（++）2，当且仅当==时取等号，∴（a+b+1）2≥（++）2，∵a+b+1＞0，++＞0，∴a+b+1≥++．24. 解：（1）记直线AM与平面PAB所成角为α，A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），M（0，，1），则=（1，1，0），=（0，-1，-2），=（0，，1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，-2，1），∴sinα=|cos＜＞|===，∴直线AM与平面PAB所成角的正弦值为．（2）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），=（-1，1，0），=（1，0，-2），则，取x=2，得=（2，2，1），∴cos＜＞===，由图知二面角A-PB-C的平面角为钝角，∴二面角A-PB-C的余弦值为-．25. 解：令n=1，得15=（a+b+c），令n=2，得63=（4a+2b+c），令n=3，得168=（9a+3b+c），即，得，下面用数学归纳法进行证明：等式1•3•5+2•4•6+……+n（n+2）（n+4）=（n2+9n+20）对于一切正整数n都成立当n=1时，等式成立，假设当n=k时，等式成立，即等式1•3•5+2•4•6+……+k（k+2）（k+4）=（k2+9k+20）对于一切正整数k都成立，则当n=k+1时，1•3•5+2•4•6+……+k（k+2）（k+4）+（k+1）（k+3）（k+5）=（k2+9k+20）+（k+1）（k+3）（k+5）=k（k+1）（k+3）（k+5）+（k+1）（k+3）（k+5）=（k+1）（k+5）（k2+8k+12）=[（k+1+1）（k+1+5）]=[（k+1）2+9（k+1）+20]，即等式对n=k+1也成立，综上可得，等式1•3•5+2•4•6+……+n（n+2）（n+4）=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立，∴存在实数a，b，c，符号题意，且．【解析】1. 解：∵集合A={0，1}，B={-1，1}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：由z（1+i）=1-i，得．故答案为-i．把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3. 【分析】本题考查了平均数的定义与计算问题，是基础题．根据平均数的定义列方程求出x的值．【解答】解：数据9.1，9.3，x，9.2，9.4的平均数为×（9.1+9.3+x+9.2+9.4）=9.3，解得x=9.5．故答案为：9.5．4. 解：执行如图所示的算法知，该算法输出y=当x≥1时，令y=x2-2x-2=1，解得x=3或x=-1（不合题意，舍去）；当x＜1时，令y==1，此方程无解；综上，则输入的实数x的值为3．故答案为：3．执行该算法后输出y=，令y=1求出对应x的值即可．本题考查了算法与应用问题，也考查了分段函数的应用问题，是基础题．5. 解：函数的定义域为：{x|}，解得0＜x≤e．故答案为：（0，e]．函数的定义域为：{x|}，由此能求出结果．本题考查对数函数的图象和性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．6. 解：某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，基本事件总数n==10，该同学恰好选中1文1理包含的基本事件总数m==6．∴该同学恰好选中1文1理的概率p===．故答案为：．先求出基本事件总数n==10，该同学恰好选中1文1理包含的基本事件总数m==6，由此能求出该同学恰好选中1文1理的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，，直线x+y+2=0经过双曲线C的焦点，可得c=2，所以a=1，则b=，所以双曲线C的渐近线方程为：=0．故答案为：=0．利用双曲线的离心率以及焦距，列出方程，求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．8. 解：设圆锥SO的底面半径为r，高为h，则圆柱PO的底面半径是，高为，∴V SO=πr2h，V PO=π（）2•=，∴．故答案为：．设出圆锥的底面半径和高，分别求出圆柱和圆锥的体积，计算出比值．本题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，是基础题．9. 【分析】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行灵活配凑是解本题的关键，同时考查计算能力，属于基础题．将代数式与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【解答】解：由基本不等式可得，所以，，当且仅当，即当y=x2时，等号成立，因此，的最小值为4.故答案为4．10. 解：根据题意，若直线kx-y-k=0与曲线y=e x相切，设切点为（m，e m）曲线y=e x，其导数y′=e x，则切线的斜率k=y′|x=m=e m，则切线的方程为y-e m=e m（x-m），又由k=e m，则切线的方程为y-k=k（x-m），即kx-y-mk+k=0，又由切线为kx-y-k=0，则有-m+1=-1，解可得m=2，则k=e m=e2，故答案为：e2．根据题意，设切点为（m，e m），求出曲线y=e x的导数，由导数的几何意义可得k=y′|x=m=e m，即可得切线的方程y-k=k（x-m），结合直线kx-y-k=0分析可得m=2，则k=e m=e2，即可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．11. 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）是偶函数，∴φ=∵点（1，0）是函数y=f（x）图象的对称中心∴sin（ω+φ）=0，可得ω+φ=k2π，k2∈Z，∴ω=k2π-φ=（k2-k1）π-．又ω＞0，所以当k2-k1=1时，ω的最小值为．故答案为：．由题设条件，可由函数是偶函数得到φ的可能取值，再由函数过点（1，0）得出ω+φ的可能取值，从而得出ω的表达式，再对参数赋值即可得出所求的最小值本题考查正弦类函数的奇偶性与对称性，解答的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，能根据三角函数的图象与性质得出参数φ与ω的可能取值，再通过赋值的手段得出参数的最值12. 解：如图，∵点C为线段AB的中点，∴===（1+4+2×1×2×cos∠AOB）解得cos∠AOB=-，∴∠AOB=120°．由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA•OB cos120°=7．∴．由正弦定理可得：⇒sin A=．由正弦定理可得：，∵，∠AOD=60°．∴．故答案为：．可得=，==（1+4+2×1×2×cos∠AOB），即可得解得∠AOB，由正弦定理可得：，，即可求解．本题考查了向量的线性运算，正余弦定理，属于中档题．13. 解析：根据题意推得k l+k AP=0，然后设出P（x0，y0），解方程k l+k AP=0可得x0，再代入圆的方程可解得y0，从而可求出直线l的方程．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．解：依题意得k AN•k l=-1，k AN•k AP=1，所以k l+k AP=0，设P（x0，y0）（y0≠0）则k l=，k AP=，∴+=0，解得x0=-，又x02+y02=1，所以y0=±，k l==所以直线l的方程为：y=x故答案为：y=x14. 解：数列{a n-n}的前2018项和为1，即有（a1+a2+…+a2018）-（1+2+…+2018）=1，可得a1+a2+…+a2018=1+1009×2019，由数列{b n}的前n项和为n2，（n∈N*），可得b n=2n-1，a2=1+a1，a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，a7=2-a1，a8=15-a1，a9=a1，…，可得a1+a2+…+a2018=（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+…+（4025+2+4031）+（a1+4033+a1）=505+×505×504×8+2×504+504×7+×504×503×8+2a1=1+1009×2019，解得a1=1.5．故答案为：1.5．由数列的分组求和可得a1+a2+…+a2018=1+1009×2019，由数列{b n}的前n项和为n2，以及数列的递推式可得a n与a1的关系，求和解方程即可得到所求值．本题考查等差数列的求和公式，以及数列的分组求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15. （1）以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面BCC1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CM∥平面AB1N．（2）求出平面A1BN的法向量和平面AA1B1B的法向量，利用向量法能证明平面A1BN⊥平面AA1B1B．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16. （1）运用三角形的余弦定理和面积公式，以及同角公式，计算可得所求角；（2）由两角和的正切公式，解方程可得B=C，即三角形为等边三角形，即可得到所求周长．本题考查三角形的余弦定理和面积公式，以及两角和的正切公式的运用，考查化简运算能力，属于基础题．17. （1）求得椭圆C1的焦点，代入椭圆C2，将P代入椭圆方程，可得a，b的方程组，解方程可得椭圆方程；（2）设直线l为y=kx+t，代入椭圆C2，由判别式为0，可得t，k的关系式，由直线方程和椭圆C1方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，可得k的方程组，解方程可得所求值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式法和韦达定理、以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18. （1）计算AB，BC，CD的长度即可得出景观窗格的外框总长度；（2）设BC=a，∠MBC=θ，表示出景观窗格的外框总长度，列不等式得出a与θ的关系，利用基本不等式得出景观窗台面积的最大值，从而得出结论．本题考查了函数解析式的求解，不等式与函数最值的计算，属于中档题．19. （1）推导出a n+1+1=-3（a n+1），n∈N*．a1+1=2，由此能证明{a n+1}是以2为首项，-3为公比的等比数列，并能求出数列{a n}的通项公式．（2）假设a m，a n，a p构成等差数列，m≠n≠p，则2a n=a m+a p，推导出2（-3）n=（-3）m+（-3）p，由m≠n≠p，且m，n，p∈N*，得到2（-3）n≠（-3）m+（-3）p，从而数列{a n}中不存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列．本题考查等比数列的证明，考查数列能否构成等差数列的判断与求法，考查构造法、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. （1）代入a的值，求出函数的导数，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点求出a的范围即可；（3）求出g（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21. 本题第（1）题可根据题意写出相应的矩阵算式，然后转化成线性方程组进行计算x、y的值，即可得到矩阵A；第（2）题可根据第（1）题写出矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，即可得到矩阵A的特征值，然后根据特征值写出相应的线性方程组，取其中一个非零解即为特征值相应的特征向量．本题第（1）题主要考查根据题意写出相应的矩阵算式，然后转化成线性方程组进行计算出参数的值；第（2）题主要考查求一个矩阵的特征值及对应的特征向量．本题属中档题．22. 求出直线l的普通方程，曲线C的直角坐标方程，得到曲线C是以C（1，1）为圆心，以r=为半径的圆，求出圆心C（1，1）到直线l的距离d=，直线l被曲线C所截的弦长为2．本题考查直线被圆截得的弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. 直接根据柯西不等式即可证明．本题考查了柯西不等式的应用，属于中档题．24. （1）求出和平面PAB的法向量，利用向量法能求出直线AM与平面PAB所成角的正弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PAB的法向量，利用向量法能求出二面角A-PB-C 的余弦值．本题考查线面的正弦值和二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25. 先令n=1，2，3建立方程组，求出a，b，c，然后结合数学归纳法的步骤进行证明即可．本题主要考查数学归纳法的证明和应用，建立方程组求出a，b，c是解决本题的关键．注意数学归纳法的基本步骤．。
2019-2020学年江苏省常州市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷一、填空题：1．（5分）已知集合{1A =-，0，1}，2{|0}B x x =>，则A B =I． 2．（5分）若复数z 满足1z i i =-g ，则z 的实部为 ． 3．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是 ．4．（5分）函数21x y =-的定义域为 ．5．（5分）已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是 ．6．（5分）某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是 ．7．（5分）已知函数231,0,1(),0,x x f x x x ⎧⎪-=⎨⎪->⎩…则(f f （8）)= ．8．（5分）函数3sin(2),[0,]3y x x ππ=+∈取得最大值时自变量x 的值为 ．9．（5分）等比数列{}n a 中，若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列，则17a a = ．10．（5分）已知cos()22cos παα-=tan2α= ．11．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，过A做x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ，若2OB a =，则C 的离心率为 ．12．（5分）已知函数()|(2)|f x lg x =-，互不相等的实数a ，b 满足f （a ）f =（b ），则4a b +的最小值为 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆222:22210C x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点(0,1)的距离为2，则实数a 的取值范围是 ． 14．（5分）在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =u u u r u u u r，且对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-u u u r u u u r u u u r u u u r…恒成立，则cos ABC ∠= ．二、解答题：15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知31,cos a B ==． （1）若3A π=，求sin C 的值；（2）若2b =，求c 的值．16．（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP AD =，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证： （1）//MN 平面PBC ； （2）PC AM ⊥．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆右顶点为A ，点2F 在圆22(2)1x y -+=上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知132AM AN =-u u u u r u u u r ，求直线1F M 的斜率．18．（16分）请你设计一个包装盒，ABCD 是边长为102cm 的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图2中的点P ，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图2所示），设正四棱锥P EFGH -的底面边长为()x cm ．（1）若要求包装盒侧面积S 不小于275cm ，求x 的取值范围；（2）若要求包装盒容积3()V cm 最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的容积． 19．（16分）已知函数22()(2)1()2a f x ax x lnx x a R =+++∈． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间(1,)e 上有零点，求实数a 的取值范围．20．（16分）设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{}n A ，{}n B 满足：存在正数L ，当n m „时，都有||n n A B L -„，则称数列{}n A ，{}n B 是“(,)m L 接近的”．已知无穷等比数列{}n a 满足32841a a ==，无穷数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，且11()12n n n n n S b b b b ++-=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：对任意正整数m ，数列{}n a ，2{1}n a +是“(,1)m 接近的”；（3）给定正整数(5)m m …，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，2{}n b k +（其中)k R ∈是“(,)m L 接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k （均用m 表示）．（参考数据20.69)ln ≈ 三、附加题21．已知点(,)a b 在矩阵13[]24A =对应的变换作用下得到点(4,6)．（1）写出矩阵A 的逆矩阵； （2）求a b +的值．22．求圆心在极轴上，且过极点与点)6P π的圆的极坐标方程．23．批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中的优等品的个数．（1）求取出的3个样品中有优等品的概率； （2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．24．设集合{1A =，2}，1110{|333n n n n n A t t a a a a --==++⋯++g g g ，i a A ∈，0i =，1，2，⋯，}n ，*n N ∈．（1）求1A 中的所有元素的和，并写出集合n A 中元素的个数；（2）求证：能将集合(2,*)n A n n N ∈…分成两个没有公共元素的子集1{s B b =，2b ，⋯，}s b 和1{l C c =，2c ，⋯，}l c ，s ，*l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c ++⋯+=++⋯+成立．2019-2020学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（5分）已知集合{1A =-，0，1}，2{|0}B x x =>，则A B =I {1-，1} ． 【解答】解：{1A =-Q ，0，1}，{|0}B x x =≠， {1A B ∴=-I ，1}．故答案为：{1-，1}．2．（5分）若复数z 满足1z i i =-g ，则z 的实部为 1- ． 【解答】解：由1z i i =-g ，得21(1)()1i i i z i i i---===---， z ∴的实部为1-．故答案为：1-．3．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是 10 ．【解答】解：模拟程序的运行，可得 0S =，1i =执行循环体，1S =，3i =不满足条件3i >，执行循环体，1910S =+=，5i = 此时，满足条件3i >，退出循环，输出S 的值为10．故答案为：10．4．（5分）函数y =的定义域为 [0，)+∞ ． 【解答】解：根据题意得：210x -…，解得：0x …． ∴函数y =[0，)+∞．故答案为：[0，)+∞．5．（5分）已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是 2 ． 【解答】解：一组数据17，18，19，20，21的平均数为： 1(1718192021)195x =++++=，∴一组数据17，18，19，20，21的方差为：2222221[(1719)(1819)(1919)(2019)(2119)]25S =-+-+-+-+-=．故答案为：2．6．（5分）某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是710． 【解答】解：某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类， 某同学从中任选2门课程学习， 基本事件总数2510n C ==，该同学“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数2112327m C C C =+=， ∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是710m p n ==． 故答案为：710． 7．（5分）已知函数231,0,1(),0,x x f x x x ⎧⎪-=⎨⎪->⎩„则(f f （8）)= 15- ．【解答】解：Q 函数231,0,1(),0,x x f x x x ⎧⎪-=⎨⎪->⎩„f ∴（8）2384=-=-， (f f （8）11)(4)415f =-==---． 故答案为：15-．8．（5分）函数3sin(2),[0,]3y x x ππ=+∈取得最大值时自变量x 的值为 12π．【解答】解：由于函数3sin(2),[0,]3y x x ππ=+∈取得最大值时3．故当12x π=时，函数取得最大值．故答案为：12π．9．（5分）等比数列{}n a 中，若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列，则17a a = 64 ． 【解答】解：等比数列{}n a 的公比设为q ， 若11a =，24a ，32a ，4a 成等差数列， 可得32444a a a =+，即2344q q q =+， 解得2q =，则266171264a a q ===， 故答案为：64．10．（5分）已知cos()2cos παα-=tan2α=- 【解答】解：Q已知cos()sin 2tan cos cos πααααα-===，则22tan tan 21tan 1ααα===---故答案为：-11．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，过A做x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B ，若2OB a =，则C 的离心率为 2 ．【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点为(,0)A a ，由x a =代入双曲线的方程22221x y a b-=的渐近线0bx ay -=，可得y b =，即(,)B a b ，由22||2OB a b c a =+==， 即有2ce a==， 故答案为：2．12．（5分）已知函数()|(2)|f x lg x =-，互不相等的实数a ，b 满足f （a ）f =（b ），则4a b +的最小值为 14 ．【解答】解：函数()|(2)|f x lg x =-，若存在互不相等的实数a 、b 使得f （a ）f =（b ），可得|(2)||(2)|lg a lg b -=-，假设32b >>且3a >即有(2)(2)0lg a lg b -+-=，即(2)(2)1a b --=，32b >>且3a >； 122a b ∴=+-； 1114424(2)1024(2)1014222a b b b b b b b ∴+=++=+-+⨯-=---…．（当且仅当52b =时（此时4)a =等号成立）． 所以：4a b +的最小值为14． 故答案为：14．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆222:22210C x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点(0,1)的距离为2，则实数a 的取值范围是 117[-，0][1U ，117]+ ． 【解答】解：根据题意，222:22210C x ax y ay a -+-+-=，即22()()1x a y a -+-=， 其圆心(,)C a a ，半径1r =，以点(0,1)为圆心，半径为2的圆的方程为的22(1)4x y +-=，若圆222:22210C x ax y ay a -+-+-=上存在点P 到点(0,1)的距离为2，则圆C 与圆22(1)4x y +-=有交点，则有2221(1)21a a -+-+剟，变形可得：204a a -剟， 解可得：1170a -剟或1171a+剟； 即a 的取值范围为117[-，0][1U ，117]+；故答案为：117[2-，0][1U ，117]2+．14．（5分）在ABC ∆中，3A π∠=，点D 满足23AD AC =u u u r u u u r，且对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-u u u r u u u r u u u r u u u r …恒成立，则cos ABC ∠= 513．【解答】解：根据题意，在ABC ∆中，点D 满足23AD AC =u u u r u u u r，设2AD t =，则3AC t =，又由AD AB BD -=u u u r u u u r u u u r，若对任意x R ∈，||||xAC AB AD AB +-u u u r u u u r u u u r u u u r …恒成立，必有BD AC ⊥，即2ADB π∠=；又由3A π∠=，则24AB AD t ==，323BD AD t ==，则2213BC BD DC t =+=，ABC ∆中，4AB t =，3AC t =，13BC t =，则222513cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⨯⨯；故答案为：51326．二、解答题：15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知31,cos a B ==． （1）若3A π=，求sin C 的值；（2）若2b =，求c 的值．【解答】解：（1）在ABC ∆中，sin 0B >，26sin 1B cos B ∴=-=． 331636sin sin()sin()32C A B B π+=+=+=⨯+⨯=． （2）由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，23212c c ∴=+-⨯，0c >． 解得3c =，16．（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，AP AD =，点M ，N 分别是线段PD ，AC 的中点．求证： （1）//MN 平面PBC ； （2）PC AM ⊥．【解答】证明：（1）取PC ，BC 的中点E ，F ，连接ME ，EF ，FN ， 因为三角形PCD 中，M ，E 为PD ，PC 的中点， 所以//EM CD ，12EM CD =，因为三角形ABC 中，F ，N 为BC ，AC 的中点， 所以//FN AB ，12FN AB =， 因为四边形ABCD 是矩形， 所以//AB CD ，AB CD =， 从而//EM FN ，EM FN =， 所以四边形EMNF 是平行四边形， 所以//MN EF ，又EF ⊂平面PBC ，MN ⊂平面PBC ，MN ⊂/平面PBC ， 所以//MN 平面PBC ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为四边形ABCD 是矩形， 所以AD CD ⊥，又因为PA AD A =I ，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD ， 又AM ⊂平面PAD ， 所以CD AM ⊥，因为AP AD =，M 为PD 的中点， 所以AM PD ⊥，又因为PD CD D =I ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD ， 又PC ⊂平面PCD ， 所以PC AM ⊥．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆右顶点为A ，点2F 在圆22(2)1x y -+=上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆C 上，且位于第四象限，点N 在圆A 上，且位于第一象限，已知13AM =u u u u r u ur ，求直线1F M 的斜率．【解答】解：（1）由题意知，圆心(2,0)A ，由题意圆A 与x 轴的交点(1,0)，(3,0)， 又点2F 在圆22(2)1x y -+=上，所以2(1,0)F 所以2a =，1c = 又2223b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：22143x y +=；（2）由题意设(,)M x y ，02x <<，0y <，(,)N x y ''，0x '>，0y '>，则(2,)AM x y =-u u u u r ，(2,)AN x y ''=-u u u r ，而已知132AM AN =u u u u r u ur ，知A ，N ，M 三点共线，由题意知直线AM 的斜率存在，设直线AM 的方程为：(2)y k x =-，联立直线AM 与圆的方程整理：22(1)(2)1k x +-=，解得22121k x k k y ⎧+=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或22121k x k k y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以2(21N k+2)1k+，联立直线AM 与椭圆的方程整理：2222(34)1616120k x k x k +-+-=，解得20x y =⎧⎨=⎩或22286341234k x k ky k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以2286(34k M k -+，212)34k k -+， 代入13AM AN =u u u u r u u r ，可得22(49)(5251)0k k -+=，0k >，解得32k =， 所以3(1,)2M -，又1(1,0)F -，所以直线1F M 的斜率3321(1)4-=---．18．（16分）请你设计一个包装盒，ABCD是边长为102cm的正方形纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图2所示），设正四棱锥P EFGH的底面x cm．边长为()75cm，求x的取值范围；（1）若要求包装盒侧面积S不小于2（2）若要求包装盒容积3V cm最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的容积．()【解答】解：（1）图（1）中，AC，BD交于点O，BD与FG交于M，图（2）中，连接OP，因为ABCD 是边长为10()OB cm =， 由FG x =得12OM x =，1102PM BM x ==-， 因为PM OM >，即111022x x ->，所以010x <<，因为21142(10)2022S FG PM x x x x =⨯=-=-g ，由22075x x ->，可得515x 剟， 所以，510x <…，答：x 的取值范围[5，10)，（2）因为在Rt OMP ∆中，222OM OP PM +=，所以OP =，21133V FG OP x ==g ，(010)x <<，设45()10010f x x x =-，010x <<， 则343()4005050(8)f x x x x x '=-=-，当08x <<时，()0f x '>，函数单调递增，当8x >时，()0f x '<，函数单调递减，所以，当8x =时，函数取得极大值，也是极大值，此时V ．答：当8x =． 19．（16分）已知函数22()(2)1()2af x ax x lnx x a R =+++∈．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间(1,)e 上有零点，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21()(22)(2)2(1)(1)f x ax lnx ax x ax ax lnx x'=++++=++g ，则f '（1）2(1)2a =+=，解得0a =，()21(0)f x xlnx x ∴=+>，()2(1)f x lnx '=+， 令()0f x '>，解得1x e >；令()0f x '<，解得10x e<<；∴函数()f x 的单调递减区间为1(0,)e ，单调递增区间为1(,)e+∞；（2）函数22()(2)1()2a f x ax x lnx x a R =+++∈在区间(1,)e 上是一条不间断的曲线， 由（1）知，()2(1)(1)f x ax lnx '=++，①当0a …时，对任意(1,)x e ∈，10ax +>，10lnx +>，则()0f x '>，故函数()f x 在(1,)e 上单调递增，此时对任意的(1,)x e ∈，都有()(1)102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间(1,)e 上无零点；②当0a <时，令()0f x '=，解得1x e =或1x a=-，其中11e <，()i 若11a-„，即1a -„，则对任意(1,)x e ∈，()0f x '<，故函数()f x 在区间(1,)e 上单调递减，由题意可得22(1)10,()21022a a f f e ae e e =+>=+++<，解得22(21)23e a e +-<<-，其中2222(21)342(1)033e e e e e +-----=>，即22(21)13e e +->-，故a 的取值范围为21a -<-„；②若1e a -…，即10a e-<„，则对任意(1,)x e ∈，()0f x '>，所以函数()f x 在区间(1,)e 上单调递增，此时对任意(1,)x e ∈，都有()(1)102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间(1,)e 上无零点； ③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意1(1,),()0x f x a ∈-'>，所以函数在区间1(1,)a-上单调递增，对任意1(,),()0x e f x a ∈-'<，函数()f x 在区间1(,)e a -上单调递减，由题意可得22()2102a f e ae e e =+++<，解得22(21)3e a e+<-， 其中2222(21)13422()0333e e e e e e e e +-------==<，即22(21)1()3e e e +-<--，所以a 的取值范围为22(21)13e a e +-<<-， 综上所述，实数a 的取值范围为22(21)(2,)3e e+--． 20．（16分）设m 为正整数，若两个项数都不小于m 的数列{}n A ，{}n B 满足：存在正数L ，当n m „时，都有||n n A B L -„，则称数列{}n A ，{}n B 是“(,)m L 接近的”．已知无穷等比数列{}n a 满足32841a a ==，无穷数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，且11()12n n n n n S b b b b ++-=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：对任意正整数m ，数列{}n a ，2{1}n a +是“(,1)m 接近的”；（3）给定正整数(5)m m …，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，2{}n b k +（其中)k R ∈是“(,)m L 接近的”，求L 的最小值，并求出此时的k （均用m 表示）．（参考数据20.69)ln ≈【解答】解：（1）设等比数列{}n a 公比为q ，由32841a a ==，得211841a q a q ==， 解得112a q ==， 故12n na =； （2）证明：22211113113|(1)||()||()|()241224224n n n n n n a a -+=-=-+=-++， 对于任意正整数m ，当n N ∈g ，且n m „时，1110222m n<剟， ∴211313()122444n-+<+=，即2|(1)|1n n a a -+„成立， 故对任意正整数m ，数列{}n a ，2{1}n a +是“(,1)m 接近的”；（3）由11()12n n n n n S b b b b ++-=，得到1111(),0,02n n n n n n n S b b b b b b +++-=≠≠，从而10n n b b +-≠，于是112()n n n n n b b S b b ++=-，当1n =时，121121,12()b b S b b b ==-，解得22b =；当2n …时，111112()2()n n n nn n n n n n n b b b b b S S b b b b +--+-=-=---，又0n b ≠， 整理得112n n n b b b +-+=，∴数列{}n b 为等差数列，又11b =Q ，22b =， n b n ∴=，根据条件，对于给定的正整数(5)m m …，当n N ∈g ，且n m „时，都有221|()||2()|n n nb k n k L a -+=-+„成立， 即2222n n L n k L n -+-+-剟①对1n =，2，3，⋯⋯，m 都成立， 考察函数2()2x f x x =-，()22x f x lnx x '=-，令()22x g x lnx x =-，则2()2(2)2x g x ln '=-， 当5x >时，()0g x '>，故()g x 在[5，)+∞上单调递增， 又g （5）522100ln =->，∴当5x …时，()0g x >，即()0f x '>， ()f x ∴在[5，)+∞上单调递增，注意到f （1）1=，f （2）f =（4）0=，f （3）1=-，f （5）7=，故当1n =，2，3，⋯⋯，m 时，22n L n -+-的最大值为22m L m -+-，最小值为1L -， 欲使满足①的实数k 存在，必有221mL m L -+--„，即2212m m L -+…，因此L 的最小值为2212m m -+，此时2212m m k --=．三、附加题21．已知点(,)a b 在矩阵13[]24A =对应的变换作用下得到点(4,6)． （1）写出矩阵A 的逆矩阵； （2）求a b +的值．【解答】解：（1）设矩阵13[]24A =的逆矩阵为1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则11001A A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦g ，即3130240241a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得232112a b c d =-⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，所以矩阵A 的逆矩阵为1322112A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；（2）点(,)a b 在矩阵13[]24A =对应的变换作用下得到点(4,6)．所以46a A b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦g ，所以1324412616112a A b -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦g g ，所以1a =，1b =，计算2a b +=．22．求圆心在极轴上，且过极点与点)6P π的圆的极坐标方程．【解答】解：点)6P π转换为直角坐标为，所以圆心的坐标设为(,0)a ，且经过点(0,0)和的圆的方程为：半径为||a =2a =，故圆的方程为22(2)4x y -+=，转换为极坐标方程为：24cos ρρθ=， 即4cos ρθ=．23．批量较大的一批产品中有30%的优等品，现进行重复抽样检查，共取3个样品，以X 表示这3个样品中的优等品的个数．（1）求取出的3个样品中有优等品的概率； （2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．【解答】解：（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A ， 则3343()(103)1000P A =-=， P ∴（A ）343657110001000=-=， ∴取出的3个样品中有优等品的概率为6571000． （2）~(3,0.3)X B ，(P X =中）330307k k k C -=gg g ，0k =，1，2，3， X ∴的分布列为：()30.30.9E X =⨯=．24．设集合{1A =，2}，1110{|333n n n n n A t t a a a a --==++⋯++g g g ，i a A ∈，0i =，1，2，⋯，}n ，*n N ∈．（1）求1A 中的所有元素的和，并写出集合n A 中元素的个数；（2）求证：能将集合(2,*)n A n n N ∈…分成两个没有公共元素的子集1{s B b =，2b ，⋯，}s b 和1{l C c =，2c ，⋯，}l c ，s ，*l N ∈，使得2222221212s l b b b c c c ++⋯+=++⋯+成立． 【解答】解：（1）110{|3A t t a a ==+g ，i a A ∈，0i =，1}{4=，5，7，8}， 故1457824A =+++=，集合n A 中元素的个数为12n +； （2）证明：取2n s l ==，下面用归纳法进行证明，a ．当2n =时，2{13A =，14，16，17，22，23，25，26}，取113b =，217b =，323b =，425b =，114c =，216c =，322c =，426c =，有1234123478b b b b c c c c +++=+++=，且2222221241241612b b b c c c ++⋯+=++⋯+=成立； b ．假设2n k =…，*k N ∈时，结论成立，即2211k k i i i i b c ===∑∑，且222211k kii i i b c ===∑∑， 当1n k =+时，取111122{3,3k k k B b b +++=++，⋯，11123,23k k k b c ++++g ，112223,,23}k k k c c +++⋯+g g ， 11111111212222{3,3,,3,23,23,,23}k k k k k k k k k C c c c b b b +++++++=++⋯+++⋯+g g g ，此时112,2k k B C ++无共元素，且11122k k k B C A +++=U ，有222211111111(3)(23)(3)(23)kkkkk k k k i i i i i i i i b c c b ++++====+++=+++∑∑∑∑gg ， 且222222121222111212111111(3)(23)23432[(3)(23)]kk k kk kk k k k k k k ii iii ii i i i i i b c b c b c++++++======+++=+++++∑∑∑∑∑∑g g g g ，222222121222111212111111(3)(23)23432[(3)(23)]kkkkkkk k k k kk k ii iiiii i i i i i cb c b c c ++++++======+++=+++++∑∑∑∑∑∑g g g g ，由于2211kki i i i b c ===∑∑，且222211kkii i i b c ===∑∑，所以1=+时，成立，n k综上，原命题成立．。
2019-2020学年江苏常州市高三上学期期末考试数学试卷及答案
由 FG x ，得 OM x ， PM BM 10 x ，
2
2
因为
PM
OM
，即10
x 2
x 2
，所以
0
x
10
.
因为
S
4
1 2
FG PM
2x 10
x 2
20x
x2 ，
由 20x x2 75 ，得 5 x 15 ，所以 5 x 10 . 答： x 的取值范围是 5 x 10 .
（2）求证：对任意正整数 m ，数列an ， an2 1 是“ m,1 接近的”；
（3）给定正整数 m m 5 ，数列
1 an
， bn2 k （其中 k R ）是“ m, L 接近的”，
求 L 的最小值，并求出此时的 k （均用 m 表示）.（参考数据： ln 2 0.69 ）
21．已知点
（1） MN / / 平面 PBC ； （2） PC AM .
17．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
：
x a
2 2
y2 b2
1a
b
0 的左右焦点分
( ) 别为 F1 ， F2 ，椭圆右顶点为 A ，点 F2 在圆 A ： x - 2 2 + y2 = 1 上.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
2
2 1 2c
3 c2 ，
3
所以 c2 2 3 c 1 0 ， c 3
3
c
3 3
0
，
因为 c 3 0 ，所以 c 3 0 ，即 c 3 . 3
16、证明：（1）取 PC ， BC 的中点 E ， F ，连结 ME ， EF ， FN ， 三角形 PCD 中， M ， E 为 PD ， PC 的中点，所以 EM / /CD ， EM 1 CD ；三角形 ABC 中， F ， N 为 BC ， AC 的中点，